11 Analytická geometrie v rovině

V této části se budeme zabývat pouze rovinou 2. Využijeme některých vlastností, které

v prostoru 3 neplatí.

11.1 Poznámka: Opakování

u = (u1, u2), v = (v1, v2) vektory

||u||= (u12 + u2

2) velikost vektoru

u.v = u1v1 + u2v2 skalární součin vektorů

A = [a1, a2], B = [b1, b2] body

AB = (b1 – a1, b2 – a2) vektor

||AB|| = ((b1 – a1)2 + (b2 – a2)

2) vzdálenost dvou bodů

parametrické rovnice přímky p = {A, u}, u – směrový vektor

p: x = a1 + tu1

y = a2 + tu2 t R

11.2 Příklad:

Dokažte, že ∆ABC, A=[3,2], B=[3,7], C=[5,6] je pravoúhlý

a) pomocí skalárního součinu

b) pomocí Pythagorovy věty

Řešení:

a) AB = (0,5), AC = (2,4), BC = (2,-1)

AC.BC = 4 – 4 = 0 pravý úhel je při vrcholu C

b) c=||AB||=5 b=||AC||= (22+4

2)= 20 a=||BC||= 5

a2 + b

2 = 5 + 20 = 25 = 5

2 = c

2

11.3 Příklad:

Určete y tak, aby ∆ABC byl pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu B, A=[4,1], B=[-3,2],

C=[1,y]

Řešení: BA = (7,-1) BC = (4,y-2)

BA.BC = 28 – y + 2 = 0 => y = 30

11.4 Příklad:

Ukažte, že body A=[-3,4], B=[3,2], C=[6,1] jsou kolineární

Řešení: body A,B,C jsou kolineární <=> AB je násobkem AC

AB = (6,-2), AC = (9,-3) => AB = 3/2 AC

11.5 Poznámka: Obecná rovnice přímky

V rovině platí, že k přímce existuje jednoznačně (až na násobek) kolmý vektor.

přímku můžeme určit bodem a směrovým vektorem

přímku můžeme určit bodem a normálovým vektorem

X p AX u AX.u = 0

A = [a1, a2], X = [x, y], u = (a, b)

AX.u = 0 (x – a1)a + (y – a2)b = 0

ax + by + ( - aa1 – ba2) = 0

ax + by + c = 0

koeficienty u x a y jsou souřadnice normálového vektoru

Napište obecnou rovnici přímky určenou A = [3,2], u = (15, -5)

15x – 5y – 35 = 0

15.3 – 5. 2 + c = 0 => c= -35 počítat zpaměti !!!

u = (15, -5) ~ (3, -1) lepší vzít vektor s menšími čísly souřadnic, ale stejného směru

3x – y – 7 = 0 /5

15x – 5y – 35 = 0

Obecná rovnice přímky je dána jednoznačně až na násobek.

11.6a Poznámka: obecná -> parametrické

Přechod mezi rovnicí obecnou a rovnicemi parametrickými.

protože (a,b).(-b,a)=-ab+ab=0

u =(a,b) a zároveň u .u|| = 0 <=> u|| = (-b,a)

z obecné rovnice na parametrické

p: 3x – y + 1 = 0 => u =(3,-1) => u|| = (1,3) souřadnice mezi sebou prohodit a u

jedné změnit znaménko

A = [0,1] jednu souřadnici volím a druhou

dopočtu, vhodná volba něco = 0

=> p: x = t

y = 1 + 3t

11.6b Poznámka: parametrické -> obecná

z parametrických na obecnou

q: x = 2 – 3t

y = -1 – 2t

=> u|| = (-3,-2) => u =(2,-3)

souřadnice mezi sebou prohodit a u

jedné změnit znaménko

A = [2,-1]

q: 2x – 3y – 7 = 0

11.7 Poznámka: směrnice

Směrnicový a úsekový tvar přímky

ax + by + c = 0

b≠0 y=(-a/b)x + (-c/b)

přeznačení y = kx + q - směrnicový tvar

k - směrnice

q – úsek na ose y

Nejdou tak napsat rovnoběžky s osou y !!!

a≠0 , b≠0, c≠0

1

b

c

y

a

c

x

cbyax

přeznačení 1B

y

A

x směrnicový tvar

A – úsek na ose x

B – úsek na ose y

Nejdou tak napsat žádné rovnoběžky s osou x, ani s osou y ani žádná přímka procházející

počátkem - využívá se při rýsování

11.8 Příklady: na převod

S přímkami a jejími částmi se v geometrii pracuje neustále. V analytické geometrii pomocí

přímek počítáme délky, vzdálenosti, úhly, společné body, apod. Ke každé úloze je výhodnější

jiné vyjádření téže přímky: parametricky, obecnou rovnicí či pomocí směrnice a úseku. Pro je

třeba umět rychle převádět rovnici přímky z jednoho typu vyjádření na druhý.

Pod označením Cvičení na převod najdete v menu tabulku, ve které jsou příklady na napsání

rovnice přímky ve všech typech při různém výchozím zadání (informacích o přímce). Napsat

potřebný tvar rovnic přímky musí být rychlý, abyste se mohli zabývat podstatou zadaného

příkladu a netopili se na takovém základu (napsat rovnici přímky). Proto byste měli v průměru

dosáhnout vyplnění jednoho řádku tabulky zhruba za jednu minutu. Kontrolu správnosti

můžete provést v textu Výsledky převodu.

Několik vzorů je postupovat:

dány dva body přímky A = [-1,2], B = [0,6]

směrový vektor u|| ≈ B-A ≈ (1,4) => normálový vektor u = (4,-1) přehodit

parametrické x = -1 + t, y = 2 + 4t směrový vektor a bod A

obecná 4x – y + 6 = 0 normálový vektor a bod A

směrnicový y = 4x + 6 výpočet y z obecné

dán jeden bod A a jeden z vektorů (směrový či normálový)

druhý vektor získáme přehozením souřadnic a změnou znaménka u jedné z nich

a dál je to jako v předchozím případě

dán bod A = [2,-2] a směrnice k = 3

směrnicový tvar přímky y = 3x +q, dosadím bod A, -2 = 6 + q => q = -8

y = 3x – 8

obecná rovnice 3x – y – 8 = 0 jen převedeno na jednu stranu

=> normálový u = (3,-1) a směrový u|| = (1,3)

parametrické x = 2 + t, y = -2 + 3t

dány parametrické rovnice x = 3 – 2t, y = 1 + t

vyčteme bod A = [3,1] a u|| = (-2,1) a tedy u = (1,2)

obecná rovnice x + 2y –5 = 0 normálový vektor a bod A

směrnicový tvar y = -½ x + 5/2 vyjádřit y z obecné rovnice

dána obecná rovnice x – 2y + 3 = 0

normálový vektor u = (1,-2) tedy směrový u|| = (2,1)

potřebujeme ještě jeden bod: volím např. y = 0 a z rovnice vypočtu x = -3 A =[-3,0]

parametrický tvar x = -3 + 2t, y = t

směrnicový tvar y = ½ x + 3/2

dán směrnicový tvar y = 2x –1

obecná rovnice 2x – y – 1 = 0 vše převedeno na jednu stranu

normálový vektor u = (2,-1) tedy směrový u|| = (1,2)

potřebujeme ještě jeden bod: volím např. x = 0 a z rovnice vypočtu y = -1 A =[0,-1]

parametrický tvar x = t, y = -1 + 2t

11.9 Příklad:

Určete obecnou rovnici přímky určenou body A = [2,4], B = [-1,3]. Výsledek porovnejte

s rovnicí z determinantu 0

311

421

1 yx

Řešení: u|| = AB = (-3,-1) => u =(1,-3) => x – 3y + 10 = 0

311

421

1 yx

= 6 +4x – y – 2y –3x +4 = x – 3y + 10 = 0

11.10 Poznámka:

Obecnou rovnici přímky určenou dvěma různými body

A = [a1,a2], B = [b1,b2] získáme sestavením determinantu

0

1

1

1

21

21

bb

aa

yx

11.11 Příklad:

Určete obecné rovnice přímek určených dvojicí bodů pomocí determinantu.

a) A = [0,2], B = [2,0]

b) A = [1,3], B = [1,5]

c) A = [-2,5], B = [0,0]

Výsledky:

a) A = [0,2], B = [2,0] 2x + 2y – 4 = 0

b) A = [1,3], B = [1,5] x – 1 = 0

c) A = [-2,5], B = [0,0] 5x +2y = 0

11.12 Příklad:

Rozhodněte, zda jsou následující trojice bodů kolineární

a) A = [0,5], B = [2,1] , C[-1,7]

b) A = [-3,2], B = [0,3], C[4,4]

c) A = [1,3], B = [1,5] , C[1,7]

d) A = [-2,5], B = [1,1] , C[4,4]

e) A = [-3,4], B = [3,2] , C[6,1]

Řešení: Kolineární body leží na jedné přímce. Když napíšeme rovnici přímky určenou dvěma

body a souřadnice třetího bodu mu budou vyhovovat, pak jsou kolineární. S výhodou lze

použít determinant.

a)

711

121

501

= 14 – 5 –10 + 1 = 0 => body jsou kolineární

b) nejsou c) jsou d) nejsou e) jsou

11.13 Věta: obsah ∆

Jsou dány tři body v rovině A = [a1,a2], B = [b1,b2], C = [c1,c2]. Označme D determinant

21

21

21

1

1

1

cc

bb

aa

D . Body A,B,C jsou kolineární právě když D = 0. Jsou-li body A,B,C

nekolineární, pak obsah ∆ABC je roven ½ |D| (jedné polovině absolutní hodnoty determinantu

D.

11.14 Příklad:

Určete obsah ∆ABC, kde A = [2,-3], B = [4,2] , C = [-10,-4].

Řešení:

29582081230416

4101

241

321

P

11.15 Příklad:

Vypočtěte souřadnice vrcholů kosočtverce, jsou-li známy rovnice jeho stran AB: x + 2y – 4 =

0, CD: x + 2y –10 = 0 a rovnice jedné jeho úhlopříčky DB: y = x + 2

Řešení:

průsečík AB, DB je bod B

x + 2y – 4 = 0 1 2 -4

x - y + 2 = 0 1 -1 2

0 -6 -3 Dx –Dy D

B = [0,2]

průsečík CD, DB je bod D

x + 2y – 10 = 0 1 2 -10

x - y + 2 = 0 1 -1 2

-6 -12 -3

D = [2,4]

S = (B + D)/2 = [1,3] přímka AC je určena bodem S a normálovým vektorem BD

2x + 2y – 8 = 0 => x + y – 4 = 0

průsečík AC, AB je bod A x + y – 4 = 0

x + 2y – 4 = 0

4 0 1 A = [4,0]

průsečík AC, DB je bod C x + y – 4 = 0

x + 2y – 10 = 0

-2 6 1 C = [-2,6]

11.16 Příklad:

Jsou dány vrcholy ∆ABC, A = [-4,3], B = [4,1] a průsečík výšek (ortocentrum) V = [3,3].

Určete souřadnice třetího vrcholu a obsah trojúhelníka.

Řešení:

C je průsečík přímek AC a BC

přímka AC je určena bodem A a normálovým vektorem BV

přímka BC je určena bodem B a normálovým vektorem AV

AC: -x + 2y –10 = 0 -x + 2y – 10 = 0

BC: 7x - 28 = 0 x - 4 = 0

C = [4,7]

obsah ∆ABC = 48/2 = 24

11.17 Příklad:

Jsou dány body A = [-3,1], B = [3,-7]. Na ose y najděte bod N tak, aby AN BN.

Řešení: Na ose y mají všechny body souřadnice N = [0, y].

AN BN <=> AN.BN = 0 <=> (3,y-1)(-3,y+7) = 0

-9 + (y-1)(y+7) = 0

y2 + 6y –16 = 0

=> N1 = [0,2], N2 = [0,-8]

11.18 Příklad:

Určete střed a poloměr kružnice opsané ∆ABC, kde A = [4,5], B = [3,-2] , C = [1,-4].

Řešení: nutno postupně vyřešit

1) rovnici osy úsečky AB: p = {SAB, AB }

2) rovnici osy úsečky AC: q = {SAC, AC }

3) průsečík S = p q

4) poloměr r = |AS|

ad 1) SAB = [7/2,3/2] AB = (-1,-7) ~ (1,7) p: x + 7y – 14 = 0

ad 2) SAC = [5/2,1/2] AC = (-3,-9) ~ (1,3) q: x + 3y – 4 = 0

ad 3) x + 7y – 14 = 0

x + 3y – 4 = 0

14 -10 -4 S = [-7/2, 5/2]

ad 4) r2 = |AS|

2 = (4 + 7/2)

2 + (5 – 5/2)

2 = 250/4 =>

2

105r

11.19 Příklad:

Na ose x nalezněte bod, který je stejně vzdálen od počátku souřadnic jako od bodu A = [8,4]

Řešení: 1) osu úsečky AP: p = {SAP, AP }

2) hledaný průsečík X = p ox

ad 1) SAP = [4,2], PA = (8,4) ~ (2,1) p: 2x + y – 10 = 0

ad 2) ox: y = 0 => X = [5,0]

11.20 Příklad:

Je dán ∆ABC, kde A = [-1,-2], B = [1,1] , C = [0,3]. Určete velikost jeho úhlů.

Řešení: úhel α svírají vektory AB, AC CZ

AB = (2,3) ||AB|| = 13 'cos 232226

217

2613

17

BC = (-1,2) ||BC|| = 5 'cos 4511965

654

513

4

AC = (1,5) ||AC|| = 26 'cos 5237130

1309

265

9

11.21 Poznámka: Odchylka dvou přímek

11.22 poznámka: Kritéria kolmosti a rovnoběžnosti přímek

p||q <=> p|| . q = 0

p . q|| = 0

k1 = k2

p q <=> p|| . q|| = 0

p . q = 0

k1.k2 = -1

D: α1 = α2 + 90o

k1 = tg α1 =

= tg (α2 + 90o) = - cotg α2 = - 1/tg α2 = - 1/k2

11.23 Příklad:

Napište rovnici přímky, která prochází bodem A = [-1,-1] a svírá s přímkou

a: 4x – 3y + 2 = 0 úhel 45o.

Řešení: Takovouhle úlohu je nejlepší řešit přes směrnice

a: y = (4/3)x + (2/3)

b: y = kx + q hledaná přímka

k

k

k

k

tg

3

41

3

4

3

41

3

4

145

77

1

07487

1624916249

9

16

3

8

9

16

3

41

3

4

3

41

21

2

22

22

k,k

kk

kkkk

kkkk

kk

=> dvě řešení = dvě přímky b1: y = x/7 – 6/7 b2: y = -7 + -8

11.24 Příklad:

Ukažte, že body K=[3,8], L=[-11,3], M=[-8,-2] jsou vrcholy rovnoramenného trojúhelníka

1. pomocí úhlů

2. pomocí délek stran

Řešení:

KL = (14,5), LM = (-3,5), KM = (11,10)

||KL|| = 221, ||LM|| = 34, ||KM|| = 221

ad 2 dokázáno, norma vektoru je rovna velikosti úsečky |KL|=|KM|

221221

204cos

34.221

17

34221

5)5()14)(3(cos

34.221

17

34221

5033cos

11.25 Poznámka: Svazky přímek

Vyskytuje-li se v rovnici přímky nějaký parametr, jde o systém nekonečně mnoha přímek,

který nazýváme svazkem přímek.

11.26 Příklad:

Pro kterou hodnotu parametru a R dostaneme rovnici přímky ze svazku

(3a + 4)x + (2 – a)y + a – 9 = 0

která je (řešte sami, jen v krajním případě se inspirujte návodem):

a

rovnoběžná s osou x -4/3

rovnoběžná s osou y 2

svírá s osou x orientovaný úhel +45o -3

prochází bodem A = [0,1] neexistuje

prochází počátkem 9

prochází bodem B = [7/10, 31/10] a R

rovnoběžná s přímkou p: x – 3y + 2 = 0 -7/4

rovnoběžná s přímkou q: x = 2 + 2t, y = -1 – t -6/7

kolmá na přímku p 1/3

kolmá na přímku q -8

návod

rovnoběžná s osou x normálový vektor osy x je (0,1)

rovnoběžná s osou y normálový vektor osy y je (1,0)

svírá s osou x orientovaný úhel +45o směrnice musí být tg45

o = 1 => souřadnice

normálového vektoru přímky jsou stejné

prochází bodem A = [0,1] dosadíme do rovnice => rovnice pro a nemá

řešení

prochází počátkem dosadíme počátek P = [0,0]

prochází bodem B = [7/10, 31/10] dosadíme a zjistíme, že na a nezáleží

rovnoběžná s přímkou p: x – 3y + 2 = 0 směrový vektor přímky p a normálový

svazku musí dát skalárně 0 (kritérium ||)

rovnoběžná s přímkou q: x = 2 + 2t, y = -1 – t dtto

kolmá na přímku p normálový vektor přímky p a normálový

svazku musí dát skalárně 0 (kritérium )

kolmá na přímku q dtto

11.27 Poznámka: Vzdálenost bodu od přímky

AX.p = 0 <=> p: ax +by +c = 0 p =(a,b), X = [X0,Y0]

22

00

ba

cbyaxd

11.28 Příklad:

Určete délku kolmice spuštěné z bodu S = [4,-1] na přímku

p: 12x – 5y – 27 = 0

Řešení:

213

26

)5(12

27)1.(54.12

22Sp

11.29 Příklad:

Napište rovnice přímek rovnoběžných s přímkou p: 4x-3y-12=0, jejichž vzdálenost od bodu

[2,3] je rovna 5.

Řešení: hledané přímky musí mít stejný normálový vektor

tedy q: 4x – 3y + c = 0 a vzorec pro vzdálenost představuje rovnici pro c

242612534

33245 21

22ccc

c..

q1: 4x – 3y + 26 = 0

q2: 4x – 3y – 24 = 0

11.30 Poznámka: Osa úhlu.

Osa úhlu ABC je určena bodem B a

směrovým vektorem u

Musíme dostat jednotkové vektory ve směrech

BA, BC. To jsou vektory

BC

BC,

BA

BA

je jednotkový protože (norma je číslo, tak lze

vytknout)

11

BABABA

BA

Tedy BC

BC

BA

BAu .

11.31 Příklad:

Napište rovnici osy BAC, kde A=[1,-2], B=[4,1], C=[0,5].

Řešení:

1) vektory AB, AC a jejich velikost

2) vektor u – směrový osy úhlu

3) rovnici osy úhlu BAC

AB = (3,3) ||AB|| = 18 = 3 2 AC = (-1,7) ||AC||= 50=5 2

10

27,

10

2)7,1(

25

1

2

2,

2

2)3,3(

23

1

AC

ACc

AB

ABb

)3,1()3,1(10

24

10

212,

10

24cbu

u = (3,-1) a bod B o: 3x - y - 5 = 0

11.32 Příklad:

Určete souřadnice středů kružnic, které se dotýkají přímek t1: x + y + 4 = 0,

t2: 7x – y + 4 = 0, víte-li že leží na přímce p: 4x + 3y – 2 = 0. Určete poloměr těchto kružnic.

Řešení:

1. průsečík T

2. osa o1

3. S1 = p o1, r1 = |S1,t1|

4. osa o2 o1

5. S2 = p o2, r1 = |S2,t2|

ad 1 x + y + 4 = 0

7x – y + 4 = 0

8 24 -8 T = [-1,-3]

ad 2 a = (1,-1), b = (1,7), ||a||= 2 , ||b||=5 2

)1,3(~25

2,

25

6

25

7,

25

1

2

1,

2

1u

u = (1,-3)

o1: x – 3y – 8 = 0

ad 3

x – 3y + 8 = 0 S1 = [2,-2]

4x + 3y – 2 = 0 r1 = |2 – 2 + 4|/ 2 = 2 2

ad 4

o2: 3x + y + 6 = 0

ad 5

3x + y + 6 = 0 S2 = [-4,6]

4x + 3y – 2 = 0 r2 = |-4 +6 +4|/ 2 = 3 2

11.33 Poznámka: Střed kružnice vepsané ∆

a) Střed najdeme jako průsečík os dvou vnitřních úhlů ∆ - postup viz 11.30

b) Využitím výsledků úlohy 4.17

cba

PCcPBbPAaPO

P je libovolný bod, A,B,C jsou vrcholy ∆, a,b,c jsou délky stran

Označme tedy P = [0,0], A = [a1,a2], B = [b1,b2], C = [c1,c2], S = [s1,s2]

Pak platí 21,i,cba

c.cb.ba.as iiii

11.34 Příklad:

Je dán ∆ABC, A=[5,2], B=[1,5], C=[-2,1]. Určete:

1. jeho obsah

2. velikost stran

3. velikost vnitřních úhlů

4. velikost výšek

5. střed kružnice vepsané a její poloměr

Řešení:

ad 1) 2252552101425

121

511

251

/P

ad 2)

2517

543

534

ACb,AC

BCa,BC

ABc,AB

ad 3) 452

2

255

328

..coscos

90025

0cos

ad 4) Vzhledem k tomu, že je to pravoúhlý trojúhelník rovnoramenný =>

va = vc = a = c = 5, vb = b = 5 2/2

ad 5) střed kružnice vepsané

2

274

22

253

2510

522510

2

24

22

23

2510

2515

2555

102525

2

1

s

s

Poloměr je vzdálenost středu od přímky AB: 3x + 4y – 23 = 0

53810

2255046228162312

10

1

5

232

2744

2

243

,r

11.35 Příklad:

Je dán ∆ABC, A=[12,0], B=[0,5], C=[0,0]. Určete střed O kružnice opsané a V střed kružnice

vepsané a jejich poloměry.

Výsledky: O = [6; 2,5] R = ||AB||/2 = 13/2

V = [2, 2] r = 2

11.36 Příklad:

Je dán ∆ABC, A=[8,6], B=[4,8], C=[2,4].

1. Určete obsah ∆ABC.

2. Napište rovnici přímky PT, kde P je počátek souřadnic a T je těžiště ∆ABC.

3. Napište rovnice přímek AB, BC, AC po řadě ve tvaru parametrickém, obecném a

směrnicovém.

4. Dokažte, že AB BC.

5. Rovnici přímky AC v obecném tvaru vynásobte číslem p a přičtěte k tomu obecnou

rovnici přímky AB. Vzniklý svazek přímek označte t.

6. Dokažte, že všechny přímky svazku t procházejí bodem A.

7. Pro kterou hodnotu parametru dostanete přímku procházející počátkem souřadnic?

8. Pro kterou hodnotu parametru dostanete přímku rovnoběžnou s přímkou BC?

9. Pro kterou hodnotu parametru dostanete přímku kolmou k přímce BC?

Výsledky:

ad 1) obsah = 10

ad 2) T = [14/3,6] p: 18x - 14y = 0

ad 3) AB = (-4,2) x=8-4t, y=6+2t x+2y-20=0 y=(-1/2)x+10

BC = (-2,-4) x=4-2t, y=8-4t 2x-y =0 y=2x

CA = (6,2) x=2+3t, y=4+t x-3y+10=0 y=(1/3)x+10/3

ad 4) AB.BC=0

ad 5) t: (1+p)x + (2-3p)y + (10p-20) = 0

ad 6) (1+p)8 + (2-3p)6 + (10p-20) = 0

ad 7) 10p – 20 = 0 p = 2

ad 8) t||BC BC.t =0 -2(1+p)-4(2-3p)=0 p=5/2

ad 9) t BC BC.t||=0 -2(2-3p)+4(1+p)=0 p=0

11.37 Příklad:

V pravoúhlém ∆ABC ve standardním značení platí: vc = ab/c

Řešení:

Zavedeme si soustavu souřadnic podle obrázku. Pak přímka,

v níž leží strana c má rovnici

ax + by – ab = 0

AB = (b, -a) je směrový vektor

vc=|C, c| = c

b.a

ba

abb.a.

22

00

11.38 Příklad:

V ∆ABC ve standardním značení označme R poloměr kružnice opsané a r poloměr kružnice

vepsané. Dokažte, že platí: je-li ∆ABC pravoúhlý, pak R+r = (a+b)/2.

Řešení:

Zavedeme souřadný systém podle obrázku.

Mějme na paměti, že v pravoúhlém ∆ platí Pythagorova věta,

tedy a2+b

2=c

2

R = c/2

střed kružnice vepsané

cba

ab,cba

ab

cba

.ca.b.a,

cba

.c.bb.aS

0000

r = vzdálenost středu S např. od strany b, tj. y-ová souřadnice

A tedy

2)(2

))((

)(2

)()(

)(2

2)(

)(2

2

)(2

2)(

2

222

2

ba

cba

bacba

cba

babac

cba

abbabac

cba

abccbca

cba

abcbac

cba

abcrR

q.e.d.

11.39 Poznámka: Poloroviny

přímka p dělí rovinu na dvě poloroviny

p: ax + by + c = 0 - p(X) = ax + by + c

p(A).p(B) > 0 body A,B jsou ve stejné polorovině

p(A).p(B) < 0 body A,B jsou v různých polorovinách

11.40 Příklad:

Je dána přímka q: x – 2y + 3 = 0. Zjistěte, které z následujících bodů jsou ve stejné polorovině

jako bod M = [2,0].

A = [1,1], B = [-2,3], C = [2,-3], D = [1,5], E = [-1,-3], P = [0,0]

Řešení: q(M) > 0

q(A) > 0 ano, q(B) < ne, q(C) > 0 ano, q(D) < 0 ne, q(E) > 0 ano, q(P) > 0 ano

KONEC