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316
Cuerpos geomtricos11
POLIEDROS REGULARES
PRISMAS
REA TOTAL
AT = PB h + 2AB
REA TOTAL
AP a P a
TB B= + 2 2
'
PIRMIDES
POLIEDROS
CILINDRO CONO
REA TOTAL
AT = rg + r 2REA TOTAL
AT = 2rh + 2r 2REA TOTAL
AT = 4r 2
ESFERA
CUERPOS DE REVOLUCIN
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El centro del universo
Como a otros les ocurri antes y a otros muchos despus, Aristarco de Samos se vio irremediablemente atrado por Alejandra: una ciudad tranquila, patria adoptiva de sabios y protectora del conocimiento.
La magnfica biblioteca de la ciudad le abri sus puertas y Aristarco se empap de los conocimientos de los sabios de otros tiempos. Despus, tras aos de silencioso estudio se decidi por fin a hacer pblicas sus teoras y, ante un concurrido auditorio de sabios, comenz:
Amigos, tras exhaustivos estudios puedo afirmar que la Tierra no est inmvil: se mueve en crculo alrededor del Sol, completando un crculo cada ao y, adems, gira sobre s misma, una vuelta cada da.
Un murmullo de protestas se alz en la sala, entre insultos y burlas que le decan:
Partiendo del hecho de que la Tierra es redonda, lo que ha sido probado por Aristteles, si girara una vuelta cada da, la velocidad en la superficie sera tan elevada que nunca podramos avanzar hacia el Este, pues la Tierra nos adelantara.
Aristarco, en vano, intentaba explicar que ellos tambin giraban a la misma velocidad. Incapaz de convencer al auditorio, recogi los escritos donde explicaba su teora y abandon la sala, diciendo:
A veces lo ms necio es un hombre sabio.
Seala el eje de giro y el radio de la esfera.
Eje
Radio
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318
EJERCICIOS
Determina el nombre de los siguientes poliedros. Cuntas caras tienen? Y cuntas aristas?
a) Pirmide cuadrangular: 5 caras y 8 aristas.
b) Prisma triangular: 5 caras y 9 aristas.
Realiza el desarrollo plano de los poliedros del ejercicio anterior, indicando los pasos que sigues al hacerlo.
Justifica si es verdadero o falso.
a) En un poliedro, todas sus caras son iguales.b) El menor nmero de caras de un poliedro es 4.c) En cada vrtice de un poliedro concurre siempre el mismo nmero de aristas.
a) Falso, pues las caras pueden ser diferentes, y solo son iguales en los poliedros regulares.
b) Verdadero, ya que el polgono con menor nmero de aristas tiene 3 aristas, y como cada arista es la interseccin con otra cara, son 4 caras.
c) Falso, por ejemplo en los vrtices de la base de las pirmides concurren3 aristas, y en el vrtice superior concurren tantas aristas como lados tienela base.
Prueba que todos los poliedros regulares cumplen la frmula de Euler.
Tetraedro Caras: 4, vrtices: 4, aristas: 6 4 + 4 = 6 + 2Cubo Caras: 6, vrtices: 8, aristas: 12 6 + 8 = 12 + 2Octaedro Caras: 8, vrtices: 6, aristas: 12 8 + 6 = 12 + 2Dodecaedro Caras: 12, vrtices: 20, aristas: 30 12 + 20 = 30 + 2Icosaedro Caras: 20, vrtices: 12, aristas: 30 20 + 12 = 30 + 2
004
003
002
a) b)
001
Cuerpos geomtricos
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11
Determina el nmero de caras que concurre en los vrtices de cada uno de los poliedros regulares.
Tetraedro: 3 caras. Dodecaedro: 3 caras.
Cubo: 3 caras. Icosaedro: 5 caras.
Octaedro: 4 caras.
Dibuja un poliedro que tenga 7 vrtices. Cumple la frmula de Euler?
Caras: 7.
Aristas: 12.
Vrtices: 7.
C + V = A + 27 + 7 = 12 + 2
Puede existir un poliedro regular de 3 caras?
No es posible, ya que el polgono con menor nmero de aristas tiene 3 aristas, y como cada arista es la interseccin con otra cara, al menos tendr 4 caras.
Dibuja un prisma recto de base triangular y otro de base pentagonal.
a) Calcula su nmero de caras, aristas y vrtices.b) Cumplen la frmula de Euler?c) Dibuja sus desarrollos planos.
a) Prisma triangular Caras: 5, aristas: 9, vrtices: 6
Prisma pentagonal Caras: 7, aristas: 15, vrtices: 10
b) Prisma triangular 5 + 6 = 9 + 2Prisma pentagonal 7 + 10 = 15 + 2
c)
008
007
006
005
SOLUCIONARIO
F
F
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320
Dibuja el desarrollo plano de un prisma oblicuo de base cuadrangular.
Qu polgono forma la base de un prisma que tiene 18 aristas?
La base del prisma es un hexgono.
Calcula el rea de un cubo cuya arista mide 2 cm.
A = 6 AB = 6 22 = 24 cm2
Determina el rea de un prisma:
a) Pentagonal regular de altura 10 cm, lado de la base 4 cm y apotema 2,75 cm.
b) Triangular regular de altura 8 cm, lado de la base 4 cm y altura de la base 3,46 cm.
a)
b)
Un prisma cuadrangular recto, con arista de la base de 3 cm, tiene un rea total de 78 cm2. Calcula su altura.
Halla la longitud de la arista de un cubo para que su rea sea igual que la de un ortoedro de 6 cm de ancho, 3 cm de alto y 2 cm de profundidad.
AOrtoedro = 2 6 3 + 2 6 2 + 2 3 2 = 72 cm2
ACubo = 6l2 6l2 = 72 l = = 3,46 cm
La arista mide 3,46 cm.
12
014
A A P h h hB= + = + = =2 78 2 3 3 460
1252 cm
013
A P hP a
= +
= + =22
12 8 12 23,46 140,98 cm
A P hP a
= +
= + =22
20 10 20 455 22,75 cm
012
011
010
009
Cuerpos geomtricos
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11
Dibuja una pirmide recta de base triangular y otra de base pentagonal.
a) Calcula su nmero de caras, aristas y vrtices.b) Comprueba que ambos poliedros cumplen la frmula de Euler.c) Dibuja sus desarrollos planos.
a) Pirmide triangular Caras: 4, aristas: 6, vrtices: 4
Pirmide pentagonal Caras: 6, aristas: 10, vrtices: 6
b) Pirmide triangular 4 + 4 = 6 + 2Pirmide pentagonal 6 + 6 = 10 + 2
c)
Dibuja el desarrollo plano de una pirmide oblicua de base cuadrangular.
Qu polgono forma la base de una pirmide que tiene 18 aristas? Y de una pirmide que tiene 9 vrtices?
La pirmide con 18 aristas tiene un enegono de base.
La pirmide con 9 vrtices tiene un octgono de base.
017
016
015
SOLUCIONARIO
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Calcula el rea de una pirmide regular de base cuadrangular, si su arista bsicamide 7 cm y la altura de sus caras laterales es 4 cm.
AL 56 cm2
AB = l2 = 72 = 49 cm2
AT = AL + AB = 56 + 49 = 105 cm2
Halla el rea total de una pirmide cuadrangular de altura 4 cm y arista de la base 4 cm.
La altura de los tringulos laterales es:
a = = 4,47 cm
Determina el rea total de la pirmide regular.
La apotema del hexgono es:
La altura de los tringulos laterales es:
Dibuja el desarrollo plano de un cilindro de 3 cm de radio y 7 cm de altura.021
A AP a
T B= +
=
+
='
2
18
2
18
222,6 4,77 66,33 cm
a a h' = + = =2 2 22,75 4,77 cm
a = = =3
4
27
42l 2,6 cm
4 cm
3 cm
020
A A AT B t= + = +
=4 4 4 44
224,47 51,76 cm
16 4+
019
=
=
=42
47 4
2
b a
018
322
7 cm
9,42 cm
3 cm
Cuerpos geomtricos
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Dibuja el desarrollo plano de un cilindro cuya circunferencia de la base mide 12 cm y tiene una altura de 6 cm.
Determina los cuerpos de revolucin que al girar generan estas figuras planas.
Calcula el rea total de un cilindro de altura 10 cm y radio de la base 7 cm.
AL = 2rh = 2 7 10 = 439,6 cm2
AB = r 2 = 72 = 153,86 cm2
AT = AL + 2 AB = 747,32 cm2
Luis y Ana tienen que forrar un tubo cilndrico de 12 m de altura y 2 m de dimetro. Si el papel les cuesta 12 /m2, cunto les costar forrar la superficie lateral del tubo?
AL = 2rh = 2 1 12 = 75,36 m2
Les costar forrarla: 75,36 12 = 904,32 .
Halla la superficie total de un tronco de madera cilndrico recto, de 3 m de altura y dimetro de la base de 30 cm.
AL = 2rh = 2 0,15 3 = 2,83 m2
AB = r 2 = 0,152 = 0,07 m2
AT = AL + 2 AB = 2,97 m2
026
025
024
023
022
323
11SOLUCIONARIO
6 cm
12 cm
1,91 cm
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Un botn de forma cilndrica tiene una altura de 1 mm. Si su rea total es 188,4 mm2, cabe por un ojal que tiene una altura de 8 mm?
Calculamos el dimetro del botn:
A = 2r 2 + 2rh 188,4 = 2 (r 2 + r) 30 = r 2 + r r 2 + r 30 = 0
Por tanto, el dimetro es 12 mm, y no cabe por el ojal de 8 mm.
Dibuja el desarrollo plano de un cono con radio de la base 4 cm y generatriz 8 cm.
Calcula la generatriz del cono.
g = + =5 42 2 6,4 cm
5 cm
4 cm
029
028
r
r
=+
=
=
=
1 11
26
1 11
25
mm
(solucin no vlida))
r r r2 30 01 1 120
2+ = =
+
027
Cuerpos geomtricos
F F
4 cm
8 cm
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325
11
Determina la altura de este cono.
132 = h2 + 92
h2 = 132 92
Un tringulo equiltero, al girar sobre cualquiera de sus lados, genera un cono?Y uno obtusngulo?
Solo generan conos los tringulos rectngulos al girar sobre uno de sus catetos.
Un cono tiene 12 cm de generatriz y 8 cm de dimetro de la base. Calcula su rea total.
AL = rg = 4 12 = 150,72 cm2
AB = r 2 = 42 = 50,24 cm2
AT = AL + AB = 150,72 + 50,24 = 200,96 cm2
Cul es el rea de esta esfera?
A = 4 52 = 314 cm2
Se desea cubrir con lona un torren de forma cnica de 15 m de altura y dimetro de 8 m. Qu cantidad de lona se necesita?
Hallamos su generatriz:
AL = rg = 4 15,5 = 194,98 m2
Razona si un crculo puede generar una esfera. Cuntos ejes de giro puede tener?
Un crculo genera una esfera al girar sobre alguno de sus dimetros, por lo que tiene infinitos ejes de giro.
035
g = + = + = =15 4 225 16 2412 2 15,5 m15 m
4 m
g
034
5 cmG
033
032
031
h = =13 92 2 9,38 cm
030
13 cmh
SOLUCIONARIO
9 cmG
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ACTIVIDADES
Un cubo tiene de arista 5 cm. Calcula la longitud de la diagonal de la cara y de la diagonal del cubo.
Diagonal de la cara:
Aplicamos el teorema de Pitgoras:
d2 = 52 + 52 d2 = 50 d = 7,07 cm
037
036
Cuerpos geomtricos
HAZLO AS
CMO SE CALCULAN LAS DIAGONALES DE UN ORTOEDRO CONOCIENDO SUS ARISTAS?
Calcula la longitud de las diagonales de este ortoedro.
PRIMERO. Se identifican los tipos de diagonales que hay en el poliedro.
En un ortoedro hay tres tipos de diagonales: las de sus caras laterales, las de susbases y las situadas entre vrtices de caras opuestas.
SEGUNDO. Se determinan las diagonales de las caras, que son la hipotenusa deltringulo rectngulo cuyos catetos son los lados de la cara. Se aplica el teorema dePitgoras.
d2 = 22 + 42
d2 = 22 + 22
TERCERO. Se determinan las diagonales que hay situadas entre vrtices de carasopuestas.
Estas diagonales son la hipotenusa del tringulo rectngulo cuyos catetos son lasdiagonales de las caras laterales y las aristas de la base. Se aplica el teorema dePitgoras.
d2 = 22 + 4,472
d = + =22 24,47 4,9 cm
4,47 cm
2 cmd
d = + =2 2 2 832 2 , cm2 cm
2 cm d
d = + =2 4 4 472 2 , cm4 cm
2 cm d
4 cm2 c
m
2 cm
D
d
d
5 cm
5 cm
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327
11
Diagonal del cubo:
Aparece otra vez un tringulo rectngulo:
D2 = 52 + 7,072 D2 = 74,98 D = 8,66 cm
Un ortoedro tiene aristas de 5 cm, 7 cm y 9 cm. Halla la longitud de las diagonales de las caras y de la diagonal del ortoedro.
Diagonal de la cara rectangular mayor:
Aplicamos el teorema de Pitgoras:
d2 = 52 + 92 d2 = 106 d = 10,3 cm
Diagonal de la cara rectangular menor:
Aplicamos el teorema de Pitgoras:
d' 2 = 72 + 52 d' 2 = 74 d' = 8,6 cm
Diagonal del ortoedro:
Aparece otra vez un tringulo rectngulo:
D2 = 72 + 10,32 D2 = 155,09 D = 12,45 cm
Un cubo tiene una diagonal de cara de 4 cm. Determina la longitud de la aristay de la diagonal del cubo.
d2 = l2 + l2 = 2l2
D2 = l2 + d2
Completa la tabla, sabiendo que los datos pertenecen a poliedros en los que se cumple la frmula de Euler.
040
D D= + = + = =4 2 2 16 8 242 2( ) 4,9 cm
dd
= = = =l l22
4
22 2 cm
039
038
SOLUCIONARIO
D
7,07 cm
D
5 cm
5 cm d
9 cm
5 cm
7 cm
d'
7 cm 9 cm
5 cm10,3 cm
D
D
N. de caras N. de vrtices N. de aristas9 14 216 8 12
11 18 2712 20 3010 16 24
7 cm
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328
Clasifica los siguientes poliedros en cncavos o convexos. Evala si cumplen la frmula de Euler.
a) c) e) g)
b) d) f) h)
a) Convexo. Caras: 24, vrtices: 14, aristas: 36 24 + 14 = 36 + 2 S cumple la frmula de Euler.
b) Cncavo. La cumple por ser cncavo.
c) Cncavo. La cumple por ser cncavo.
d) Convexo. Caras: 10, vrtices: 16, aristas: 24 10 + 16 = 24 + 2 S cumple la frmula de Euler.
e) Cncavo. La cumple por ser cncavo.
f) Cncavo. La cumple por ser cncavo.
g) Convexo. Caras: 10, vrtices: 16, aristas: 24 10 + 16 = 24 + 2 S cumple la frmula de Euler.
h) Convexo. Caras: 9, vrtices: 13, aristas: 21 9 + 13 21 + 2 No cumple la frmula de Euler.
Comprueba que se cumple la frmula de Euler.
Qu poliedro o poliedros regulares se pueden obtener utilizando como caras tringulos equilteros? Y con pentgonos regulares? Y con hexgonosregulares?
Tringulos equilteros: tetraedro, octaedro e icosaedro.
Pentgonos regulares: dodecaedro.
Hexgonos regulares: no se puede obtener ningn poliedro regular.
043
042
041
Cuerpos geomtricos
Poliedro N. de caras N. de vrtices N. de aristas C + V A + 2Tetraedro 4 4 6 8 8Cubo 6 8 12 14 14Octaedro 8 6 12 14 14Dodecaedro 12 20 30 32 32Icosaedro 20 12 30 32 32
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11
Dibuja estos prismas, indicando todos sus elementos. Dibuja tambin sus desarrollos planos.
a) Prisma triangular
b) Prisma cuadrangular
c) Prisma pentagonal
d) Prisma hexagonal
a)
b)
c)
d)
Dibuja un prisma regular y otro irregular.
Regular Irregular
045
F
F
F
F
044
SOLUCIONARIO
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330
Dibuja un prisma recto y otro oblicuo que tengan la misma base.
Recto Oblicuo
Dibuja un prisma pentagonal regular y su desarrollo. Colorea en azul el realateral, y en rojo, el rea de las bases. Cmo se calcula el rea total?
AT = AL + 2 AB
Seala qu afirmaciones son verdaderas y corrige las falsas. Justifica tu decisin.
a) Un cubo es un ortoedro.
b) La altura de un prisma oblicuo es la arista lateral.
c) Los prismas oblicuos se clasifican en regulares e irregulares.
a) Verdadera.
b) Falsa.
c) Falsa, pues todos los prismas oblicuos son irregulares.
048
047
046
Cuerpos geomtricos
h
F
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331
11
Calcula el rea total de estos prismas.
a) d) g) i)
b) e) h) j)
c) f)
a) A = 2 2 7 + 2 2 4 + 2 4 7 = 100 cm2
b)
c)
d)
e)
f) A = 6 72 = 294 cm2
g)
h)
i)
j)
A =
+ =28
23 8 2
6,935,2 180,24 cm
hCara Lateral 5,2 cm= =6 32 2
hTringulo 6,93 cm= =8 42 2
A =
+ =2 86
248 15 2
7,241.067,52 cm
A =
+ =2 55
25 5 11 361 2
3,44cm
h = =4,25 2,5 3,44 cm2 2
A =
+ =68
26 8 12 2
6,93742,32 cm
a = =8 42 2 6,93 cm
A =
+ =26 4
28 5 3 144 2cm
h = =5 3 42 2 cm
A =
+ =25 5
25 5 12 386 2
3,44cm
A =
+ =2 66 5 2
26 6 8 2
,475,2 cm
A =
+ =25
23 5 9 2
4,33156,65 cm
h = =52 22,5 4,33 cm
049
7 cm
7 cm
4 cm
8 cm
12 c
m
5 cm
9 cm
12 c
m
15 c
m
6 cm
5 cm 6 cm
8 cm
5 cm5 cm
6 cm
3 cm8 cm
6 cm
5,2 cm
4,25 cm
8 cm
2 cm
5 cm
G
G
G
5 cm
4,25 cm
7,24 cm
11 c
m
G
SOLUCIONARIO
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332
El rea total de un cubo mide 24 cm2. Calcula la arista del cubo, la diagonal de la cara y la diagonal del cubo.
A = 6l2 24 = 6l2 l = 2 cm
d2 = l2 + l2
D2 = 3l2
Halla la diagonal de un cubo de rea total 150 m2.
A = 6l2 150 = 6l2 l = 5 m
Diagonal de la cara:
Aplicamos el teorema de Pitgoras:
d2 = 52 + 52 d2 = 50 d = 7,07 m
Diagonal del cubo:
Aparece otra vez un tringulo rectngulo:
D2 = 52 + 7,072 D2 = 74,98 D = 8,66 m
052
D = =l 3 2 3 cm
d = =l 2 2 2 cm
051
050
Cuerpos geomtricos
HAZLO AS
CMO SE CALCULA LA ARISTA DE UN CUBO CONOCIENDO SU REA?
Calcula la arista de un cubo sabiendo que su rea es 54 cm2.
PRIMERO. Se aplica la frmula del rea total.
AT = 6 ACuadrado = 6 l l = 6l2
SEGUNDO. Se iguala con el rea conocida.
6 5454
69 9 32 2l l l= = = = = cm
l
l
D
D
d
d
5 m
7,07 m
D
5 m
5 m
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333
11
Calcula el rea de los tringulos coloreados.
a) c)
b) d)
a) La diagonal de cada cara es: .
Se forma un tringulo equiltero, de lado 19,8 cm.
b) La diagonal de cada cara es: .
Se forma un tringulo rectngulo, de catetos 28,28 cm y 20 cm.
c) Las diagonales de cada cara son:
Se forma un tringulo, de lados 14,42 cm, 13 cm y 9,43 cm.
169 89 + 208 = 28,84x x = 9,67 cm
h2 = 132 x2 h2 = 169 93,58 h = 8,68 cm
d) La diagonal del lateral es: .
Se forma un tringulo rectngulo, de catetos 7,21 cm y 10 cm.
A =
=10
227,21 36,05 cm
d = + =16 36 7,21 cm
A =
=14,42 8,68
62,58 cm22
x = 9,67
h xh x
x2 2 2
2 2 22 213 13=
=
=9,43 14,42( )
99,43 14,422 2 ( )x
d 3 2 28 5= + = 9,43 cm
d 2 2 212 5= + = 13 cm
d 1 2 212 8= + = 14,42 cm
A =
=20
2228,28 282,8 cm
d = + =20 202 2 28,28 cm
A =
=19,8 17,15
cm2
169 78 2,
h = =392 98 17,15 cm
d = + =14 142 2 19,8 cm
10 cm 6 cm
4 cm
20 c
m
12 cm 8 cm
5 cm
14 c
m
053
SOLUCIONARIO
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334
Dibuja estas pirmides y su desarrollo plano, indicando todos sus elementos.
a) Pirmide triangular c) Pirmide pentagonalb) Pirmide cuadrangular d) Pirmide hexagonal
a)
b)
c)
d)
Dibuja una pirmide regular y otra irregular.
Regular Irregular
055
054
Cuerpos geomtricos
F
F
F
F
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Dibuja una pirmide recta y otra oblicua que tengan la misma base.
Recta Oblicua
Dibuja el desarrollo plano de una pirmide triangular regular con aristas lateralesde 6 cm, y base, un tringulo equiltero de 4 cm de lado.
Identifica similitudes y diferencias entre una pirmide triangular regular y un tetraedro.
El tetraedro es una pirmide triangular con la caracterstica de que las aristaslaterales miden igual que las aristas de la base, por lo que es una pirmidetriangular regular.
Seala qu afirmaciones son verdaderas y corrige las falsas. Justifica tu decisin.
a) En una pirmide regular, las caras laterales son tringulos equilteros.
b) Una pirmide es un prisma triangular.
c) La altura de una pirmide es cualquiera de sus aristas laterales.
d) Una pirmide regular es un tetraedro.
a) Falsa, pues los tringulos son issceles.
b) Falsa, ya que la pirmide tiene caras laterales que son tringulos, y los prismas, paralelogramos.
c) Falsa, porque la altura es la perpendicular que pasa por el vrtice superior.
d) Falsa, ya que el tetraedro es una pirmide regular en la que las aristaslaterales miden igual que las aristas de la base.
059
058
057
056
335
11SOLUCIONARIO
4 cm
6 cm
F
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336
Calcula el rea total de estas pirmides.
Pirmide cuadrangular:
AT = AB + AL = 252 + 100 31,62 = 3.787 m2
Pirmide pentagonal:
A A AT B L= + =
+
=30
2
30
224,12 8,49 189,15 m
a' = =5,1 4,12 m2 23
a = =9 32 2 8,49 m
a = =34 12 52 2, 31,62 m
34 m
25 m
9 m
6 m
5,1 m F
061
060
Cuerpos geomtricos
HAZLO AS
CMO SE CALCULA EL REA DE UNA PIRMIDE CONOCIENDO SUS ARISTAS?
Calcula el rea total de esta pirmide.
PRIMERO. Se calcula la apotema de la pirmide.
Se aplica el teorema de Pitgoras al tringulo rectngulo for-mado por: la apotema de la pirmide, la mitad del lado de labase y la arista lateral.
252 = a2 + 52
SEGUNDO. Se calcula la apotema de la base.
Se aplica el teorema de Pitgoras al tringulo rectngulo formado por: la apotemade la base, la mitad del lado de la base y el radio de la base.
TERCERO. Se determina el rea.
AP a P a
TB B=
+
=
+
=
2 2
6 10 24 49
2
6 10 8 66
2
' ( ) , ( ) ,9994,5 cm2
10 5 10 52 2 2 2 2= + = =( ) 8,66 cma a' '
10 c
m
5 cm
r = 10 cm
r
a'r
F
a = =25 5 24 492 2 , cm5 cm
25 cm
a
10 cm
25 cm
a
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337
11
Halla el rea total de un tetraedro de arista:
a) 3 cm b) 5 cm c) 9 cm d) 6,2 cm
a)
b)
c)
d)
Calcula el rea total de estas pirmides.
a) b)
a)
b)
Determina el rea total de una pirmide pentagonal que tiene un rea de la basede 100 cm2 y una altura de 20 cm.
Como la base es un hexgono: .
Calculamos la apotema de la pirmide:
El rea lateral es: .
AT = 100 + 385,02 = 485,2 cm2
AL =
=62
26,2 20,7 385,02 cm
a = + =5,36 20,7 cm2 220
l l= = =38,5 6,2 cm 5,36 cm3
2
3 3
2100
100 2
3 32 2l l= =
= 38,5
AB =
=6
3
22
3 3
22
l l
l
064
A A AT B L= + =
+
=36
2
32
225,2 9,54 265,52 m
a' = + =8 272 9,54 ma = =6 32 2 5,2 m
A A AT B L= + = +
=6432
2210,77 236,32 m
a = + =10 42 2 10,77 m
8 m
6 m
10 m
8 m
063
A AT B= =
=4 42
26,2 5,37 66,59 cma = =6,2 3,1 5,37 cm2 2
A AT B= =
=4 49
227,79 140,22 cma = =92 24,5 7,79 cm
A AT B= =
=4 45
224,33 34,3 cma = =52 22,5 4,33 cm
A AT B= =
=4 43
222,6 15,6 cma = =32 21,5 2,6 cm
062
SOLUCIONARIO
l
3
2l
l
2
G
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El rea total de una pirmide cuadrangular regular es 4 cm2 y su altura mide 6 cm. Calcula la arista que tiene un cubo cuya rea total es igual que la de la pirmide.
AT = 6 AB 4 = 6l2 l = 0,81 cm
Halla la longitud de la arista de un tetraedro, para que su rea sea igual que la de una pirmide hexagonal regular, con arista bsica 3 cm y apotema de sus caras laterales 10 cm.
Pirmide hexagonal:
Tetraedro:
La arista del tetraedro es 8,1 cm.
La altura de un cilindro es 9 cm y el dimetro de la base mide 6 cm. Dibuja su desarrollo.
Calcula el rea total de estos cilindros.
a) b)
a) A = 2 72 + 2 7 10 = 747,32 m2
b) A = 2 122 + 2 12 5 = 1.281,12 m2
5 m
12 m
10 m
7 m
068
067
A AT B= =
= =4 4
3
22
3 2 113,4 113,4 8,1 cml l
l l
a =
=l
ll2
2
2
3
2
A A AT B L= + =
+
=18
2
18 10
222,6 113,4 cm
a = =32 21,5 2,6 cm
066
065
338
Cuerpos geomtricos
9 cm
2r
3 cm
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339
11
Halla la altura de un cilindro de rea lateral 756,6 cm2 y radio de la base 10 cm.
AL = 2rg 756,6 = 2 10 g
El rea total de un cilindro es 471 cm2 y su altura es el doble de su radio. Obtn la altura y el radio.
471 = 2r 2 + 2r 2r 471 = 6r 2 r = 5 cm
h = 2r h = 10 cm
Dibuja el desarrollo de un cono, y calcula el valor de la longitud del arco del sector correspondiente, si el radio de la base del cono es 4 cm y su generatriz 15 cm.
La longitud de arco es igual a la longitud de la circunferencia de la base: L = 2 4 = 25,12 cm.
Un cono tiene 12 cm de generatriz y 8 cm de dimetro de la base. Calcula su rea total.
A = 2 42 + 2 4 12 = 401,92 cm2
Halla la altura de un cono cuya generatriz mide 13 cm y el radio de la base 5 cm.
Obtn el radio de una esfera, sabiendo que el rea de su superficie es 803,84 cm2.
A = 4r 2 803,84 = 4r 2 r = 8 cm
074
h = =13 5 122 5 cm
073
072
071
r = 5 cm
471 2 22
2= +=
r rhh r
070
g = =756,6
62,8cm12
069
SOLUCIONARIO
15 c
m
4 cm
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340
Halla el rea total de estas figuras.
a) A = 2rg + r 2 + rg' A = 2 5 10 + 52 + 5 10 A = 314 + 78,5 + 157 = 549,5 cm2
b) A =
= 50 + 150 + 157 = 357 cm2
Averigua cul debe ser la generatriz del cono para que ambos tengan:
a) La misma rea lateral.
b) La misma rea total.
a) AL = 2 10 1.000 = 62.800 cm2
62.800 = 10 g g = 2.000 cm
b) AT = 2 10 10 + 2 10 1.000 = 63.428 cm2
63.428 = 10 10 + 10 g g = 2.010 cm
Las paredes y el techo de una habitacin tienen un rea de 94 m2. Si el suelo es un rectngulo de 7 m de largo y 4 m de ancho, qu altura tiene dicha habitacin?
ATecho = ASuelo = 7 4 = 28 m2
Las cuatro paredes ocuparn un rea de: 94 28 = 66 m2.
Hay dos paredes de 7 m de largo y h de altura, y otras dos paredes de 4 m de largo y h de altura:
2 7 h + 2 4 h = 66 14h + 8h = 66 22h = 66 h = 3 m
Un edificio tiene forma de prisma recto de 30 m de altura y la base es un tringuloequiltero de 5 m de lado. Qu reas lateral y total tiene el edificio?
AL = 15 30 = 450 m2
AT =
+ =25
2540 2
4,33561,65 m
a = =52 22,5 4,33 m
078
077
10 c
m
10 cm 10 cm
076
10 5 10 10 5 5 52 5 2 5 5
2
2
+ + + + + +
=( )
10 cm
10 cm 10 cm
5 cm
10 cm
a) b)
5 cm
G
075
Cuerpos geomtricos
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341
11
Calcula el rea lateral y total de un monolito en forma de pirmide hexagonal,cuyo lado del hexgono mide 10 cm y el lado de los tringulos laterales mide 25 cm.
AL = 60 24,49 = 1.469,4 cm2
Determina el coste de construir este edificio, sabiendo que el metro cuadrado de ladrillos cuesta 4,35 , y el de tejas, 9,65 .
Tejado de la torre:
Tejado de la iglesia:
A = 2 15,81 30 = 948,6 m2
Fachadas laterales: 2 (30 15 + 10 30) = 1.500 m2
Fachadas frontales y traseras: 15 30 + 15 15 + 15 15 = 900 m2
Coste de las tejas: (223,6 + 948,6) 9,65 = 11.311,73
Coste de los ladrillos: (1.500 + 900) 4,35 = 10.440
Coste total: 11.311,73 + 10.440 = 21.751,73
Una tienda de campaa de forma cnica tiene una altura de 2 m y un dimetrode 1 m. Cuntos metros cuadrados se necesitan para forrarla, incluyendo la base?
El rea total de la tienda es la superficie que hay que forrar:
A = 0,52 + 2 0,5 2 = 7,065 m2
081
l = + =15 52 2 15,81 m
A =
=40
2211,18 223,6 m
a = + =10 52 2 11,18 m
080
AT =
+ =60
228,66 1.469,4 1.729,2 cm
a' = =25 52 2 24,49 cm
a = =10 52 2 8,66 cm
079
15 m
30 m 10 m 15 m
10 m
5 m G
GF
30 m
GF
SOLUCIONARIO
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342
Una bobina de papel de forma cilndrica tiene una altura de 1,75 m y un dimetro de la base circular de 80 cm. Calcula el rea total.
A = 2 402 + 2 40 175 = 54.008 cm2
Determina la superficie esfrica de un baln que tiene 30 cm de dimetro.
A = 4 152 = 2.826 cm2
Obtn el rea total de estas figuras.
rea de la casa:
rea del helado:
rea de la cpula:
Si consideramos C = 11, V = 11 y A = 20 se cumple la frmula de Euler.Existe algn poliedro cuyas caras, aristas y vrtices coincidan con esas cantidades? En caso afirmativo, dibjalo.
S, por ejemplo un prisma coronado por una pirmide.
085
A =
+ =4 5
25
22 235,5 m2
A =
+
=4 3
2
2 3 7
2
94,2 cm2
A = + +
=
3 2 32
22 2,5
3,5 4,03119,65 m2
g Tejado 3,5 4,03 m= + =22 2
7 cm
3 m
2,5
m
3,5 m
2 m
10 m
5 m
3 cm
084
083
082
Cuerpos geomtricos
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343
11
Con 1.000 cubitos construimos un cubo que tiene 10 cubitos por arista. A continuacin, pintamos las 6 caras del cubo. Cuntos cubitos tienen 3 caraspintadas? Cuntos cubitos tienen 2 caras pintadas? Y cuntos tienen 1 cara?Cuntos cubitos no tienen ninguna cara pintada?
Tienen 3 caras pintadas los cubitos que forman las esquinas: 8 cubitos.
Tienen 2 caras pintadas los cubitos que forman las aristas menos los que estn en las esquinas: 12 8 = 96 cubitos.
Tienen 1 cara pintada los cubitos que forman las caras exteriores menos las aristas: 81 6 = 486 cubitos.
No tienen ninguna cara pintada: 1.000 486 96 8 = 810 cubitos.
Ariel tiene 36 cubitos de madera para hacer construcciones. Cuntos prismasdiferentes puede formar utilizando todos los cubitos?
Considerando que son iguales los prismas que tienen las mismasdimensiones, aunque estn en posicin diferente, tenemos estos prismas con las siguientes dimensiones.
1 1 36 1 6 6
1 2 18 2 2 9
1 3 12 2 3 6
1 4 9 3 3 4
En total, se pueden formar 8 prismas diferentes.
Una hormiga se desplaza desde el punto X al punto Ysobre la superficie de un cilindro.
Cul es la mnima distancia recorrida por la hormiga?
La mnima distancia recorrida es dando menos de una vuelta. Si desarrollamos el rea lateral, la distancia es la diagonal de un rectngulo de base la mitad de la circunferencia, y de altura, la altura del cilindro.
L = + h r2 2( )
088
087
086
SOLUCIONARIO
X
Y
r
h L
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344
EN LA VIDA COTIDIANA
La empresa FACHADAS LIMPIAS se dedica al cuidado y limpieza de fachadas de edificios. El ltimo trabajo que les han encargado consiste en limpiar las ventanas y puertas, as como pulir el mrmol de la fachada de un edificio.
Para elaborar el presupuesto, un tcnico se ha acercado hasta el edificio para tomar medidas.
Estas medidas se entregan en el departamento de Facturacin y Presupuestos,donde se calculan los costes de la limpieza.
089
17 m 9 m
2 m
1 m
1m1 m
2 m
3 m
5 m
Cuerpos geomtricos
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345
Cul es el coste de la limpieza total del edificio?
Suponemos que el edificio ocupa la totalidad de la manzana y que las ventanas se reparten de manera similar por todo el edificio.
El nmero de ventanas es: 2 9 4 + 2 2 9 = 108 ventanas, que tienen un rea de: 108 1 2 = 216 m2, que es la superficie de cristal de las plantas altas.
El mrmol que recubre cada ventana tiene una superficie de: 3 4 1 2 = 10 m2, siendo 1.080 m2 la superficie de mrmol en las plantas altas.
En la planta baja hay una puerta con 8 cristales de: 2 3 = 6 m2, que hacenun total de 48 m2 de cristal en la planta baja.
La superficie de mrmol de la planta baja es la superficie del zcalo menos la del espacio de la puerta: (17 2 + 9 2) 5 4 3 = 248 m2.
El coste de la limpieza del edificio ser:
48 8,50 + 216 14,30 + 248 19,80 + 1.080 26,10 = 36.595,20
La escultora Mara Cincel ha recibido un encargo del ayuntamiento de Buril.
Queremos una escultura que simbolice la relacin entre el ser humano
y la naturaleza, la simbiosis entre nuestrasgentes y el entorno que les rodea.
090
En planta baja En planta alta
Cristal 8,50 /m2 14,30 /m2
Mrmol 19,80 /m2 26,10 /m2
COSTES DE LIMPIEZA
11SOLUCIONARIO
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346
La escultora ha pensado en realizar una escultura de granito, que es la piedrapredominante en los alrededores, y en una estructura similar a esta.
Cuando ha llamado a una cantera en la que le pueden proporcionar el granito, le han informado de que tienen estas piezas.
Para conseguir esa estructura tendr que hacer un corte al cono y otro a la esfera.A qu altura los tiene que hacer?
Como son tringulos semejantes:
El cono lo ha de cortar a 1,37 m de la base.
La esfera ha de cortarla a una distancia de 30 cm del centro o, lo que es lo mismo, a 20 cm de la superficie.
h = =0,5 0,4 0,3 m2 2
1,4
2,4
0,81,37 m= =
hh
Un cono de 2,4 m de altura
y un dimetro de 1,4 m.
Un cilindro de 0,4 m de
radio y 0,6 m de altura.
Una esfera de 0,5 m
de radio.
Cuerpos geomtricos
1,4 m
2,4 m 0,8 m
h
0,8 m
0,5 mh
G
F
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347
11
Tenemos un trozo de corcho con esta forma.
Si la boca de la botella es un crculo de 314 mm2 de rea, a partir de qupunto podemos cortar el corcho para que sirva para tapar la botella?
El radio de la boca de la botella es:
A = r 2 314 = r 2 r = 10 mm = 1 cm
El dimetro es 2 cm.
La altura del cono es: .
La altura del tronco de cono medir: .
Hay que cortar el corcho a partir de 2,29 cm de la base.
4
2= =
4,582,29 cm
hh
H = =5 22 2 4,58 cm
091
314 mm2
SOLUCIONARIO
4 cm
5 cm
4 cm
5 cm 2 cm
h
H
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