11 - Derivadas [Modo de Compatibilidade]€¦ · Derivadas Prof. Edson Pedro Ferlin 1 Prof. Edson Pedro Ferlin professorferlin.blogspot.com Introdução O estudo da derivada está

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Introdução

O estudo da derivada está relacionado com a determinação da reta tangente auma curva y=f(x) em um determinado pontouma curva y=f(x) em um determinado ponto.

Obs.: Esse estudo foi desenvolvido por Isaac Newton e outros matemáticos doséculo XVII.

Esse estudo possibilita a resolução de problemas que envolvem a determinaçãoda reta tangente a uma curva e, ainda, taxas de variação.



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Definição

Dada a função y = f(x) definida no intervalo (a,b) e dois pontos, xo e xo+x,pertencentes a esse mesmo intervalo sendo x um acréscimo sofrido na variaçãopertencentes a esse mesmo intervalo, sendo x um acréscimo sofrido na variaçãoda variável independente x.



Taxa média de variação da função

O quociente entre y e x é denominada de Taxa média de variação da funçãoe vale:e vale:

Essa taxa expressa a variação média sofrida pelos valores da função entre os


p ç p çpontos xo e xo+ x.


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Derivada da função

O limite:

Quando existe, é denominado de Derivada da Função f(x) no ponto xo. Diz-se


Q , ç ( ) pque a função f(x) é derivável no ponto xo.


Notação

A notação utilizada para dizer que a função é derivável no ponto xo é:

Se f’(x) > 0 A função é crescenteSe f’(x) < 0 A função é decrescente;Se f’(x) = 0 A função é constante;


Se f (x) 0 A função é constante;

Se f”(x) > 0 A concavidade é voltada para cima;Se f”(x) < 0 A concavidade é voltada para baixo.


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Exemplo

Considerando-se a função e o ponto xo = 2, determine a derivadadessa função nesse pontodessa função nesse ponto.


Logo, a derivada da função no ponto xo = 2 é f’(xo)=f’(2)=12.


Função Derivada

Seja f(x) uma função derivável em todo ponto x do intervalo (a, b). A função que atodo x associa o número f’(x) é denominado de Função Derivada de f(x) em (a,b).



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Exemplo

Qual é a função derivada da função ?


Logo, função derivada da função é


Regras de Derivação



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Derivada de uma Constante

Sendo K um número real qualquer tem-se:

Exemplo:



Derivada da função identidade

A derivada da função identidade é igual a unidade.



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Derivada da Função Potência

A derivada de uma função potência de x de expoente genérico “n”, é verificada peladefinição de derivadas e pelo Binômio de Newton.

Exemplo:



Derivada de uma Função do 1º Grau

A derivada de uma função do 1º grau e igual ao coeficiente de x.

Exemplo:



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Derivada de uma Função multiplicada por constante

A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto daconstante pela derivada da função.

Exemplo:



Derivada da soma ou da diferença de função

A derivada de uma soma/subtração de funções é igual à soma/diferença dasderivadas dessas funções.

Exemplo:



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Derivada de um Produto de Funções

Sendo u e v funções de x, a derivada do produto de duas funções é igual à somados produtos de uma das funções pela derivada da outra.

Exemplo:



Derivada de um Quociente de Funções

Sendo u e v funções de x, a derivada do quociente destas funções é dada pelarelação.

Exemplo:



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Derivada da Função Exponencial

Sendo ”a” um número real (a > 0 e a ≠ 1) então a derivada da função é dadapor:

Exemplo:



Derivada da Função Logarítmica

A derivada de uma função logarítmica é dada por:

Exemplo:



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Regra da Cadeia

Derivação de uma função composta.

Sejam u(x) e v(x) duas funções deriváveis e f(x) = u(v(x)) ou, em uma outra notaçãode função composta, f(x) = (u v)(x).



Exemplo #1



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Exemplo #2


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