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Prof. Edson Pedro Ferlin 1 professorferlin.blogspot.com Derivadas Derivadas Derivadas Derivadas Prof. Edson Pedro Ferlin Prof. Edson Pedro Ferlin Prof. Edson Pedro Ferlin 1 professorferlin.blogspot.com Introdução O estudo da derivada está relacionado com a determinação da reta tangente a uma curva y=f(x) em um determinado ponto uma curva y=f(x) em um determinado ponto. Obs.: Esse estudo foi desenvolvido por Isaac Newton e outros matemáticos do século XVII. Esse estudo possibilita a resolução de problemas que envolvem a determinação da reta tangente a uma curva e, ainda, taxas de variação. Prof. Edson Pedro Ferlin 2

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    Introdução

    O estudo da derivada está relacionado com a determinação da reta tangente auma curva y=f(x) em um determinado pontouma curva y=f(x) em um determinado ponto.

    Obs.: Esse estudo foi desenvolvido por Isaac Newton e outros matemáticos doséculo XVII.

    Esse estudo possibilita a resolução de problemas que envolvem a determinaçãoda reta tangente a uma curva e, ainda, taxas de variação.

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    Definição

    Dada a função y = f(x) definida no intervalo (a,b) e dois pontos, xo e xo+x,pertencentes a esse mesmo intervalo sendo x um acréscimo sofrido na variaçãopertencentes a esse mesmo intervalo, sendo x um acréscimo sofrido na variaçãoda variável independente x.

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    Taxa média de variação da função

    O quociente entre y e x é denominada de Taxa média de variação da funçãoe vale:e vale:

    Essa taxa expressa a variação média sofrida pelos valores da função entre os

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    p ç p çpontos xo e xo+ x.

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    Derivada da função

    O limite:

    Quando existe, é denominado de Derivada da Função f(x) no ponto xo. Diz-se

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    Q , ç ( ) pque a função f(x) é derivável no ponto xo.

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    Notação

    A notação utilizada para dizer que a função é derivável no ponto xo é:

    Se f’(x) > 0 A função é crescenteSe f’(x) < 0 A função é decrescente;Se f’(x) = 0 A função é constante;

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    Se f (x) 0 A função é constante;

    Se f”(x) > 0 A concavidade é voltada para cima;Se f”(x) < 0 A concavidade é voltada para baixo.

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    Exemplo

    Considerando-se a função e o ponto xo = 2, determine a derivadadessa função nesse pontodessa função nesse ponto.

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    Logo, a derivada da função no ponto xo = 2 é f’(xo)=f’(2)=12.

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    Função Derivada

    Seja f(x) uma função derivável em todo ponto x do intervalo (a, b). A função que atodo x associa o número f’(x) é denominado de Função Derivada de f(x) em (a,b).

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    Exemplo

    Qual é a função derivada da função ?

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    Logo, função derivada da função é

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    Regras de Derivação

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    Derivada de uma Constante

    Sendo K um número real qualquer tem-se:

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    Derivada da função identidade

    A derivada da função identidade é igual a unidade.

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    Derivada da Função Potência

    A derivada de uma função potência de x de expoente genérico “n”, é verificada peladefinição de derivadas e pelo Binômio de Newton.

    Exemplo:

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    Derivada de uma Função do 1º Grau

    A derivada de uma função do 1º grau e igual ao coeficiente de x.

    Exemplo:

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    Derivada de uma Função multiplicada por constante

    A derivada do produto de uma constante por uma função é igual ao produto daconstante pela derivada da função.

    Exemplo:

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    Derivada da soma ou da diferença de função

    A derivada de uma soma/subtração de funções é igual à soma/diferença dasderivadas dessas funções.

    Exemplo:

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    Derivada de um Produto de Funções

    Sendo u e v funções de x, a derivada do produto de duas funções é igual à somados produtos de uma das funções pela derivada da outra.

    Exemplo:

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    Derivada de um Quociente de Funções

    Sendo u e v funções de x, a derivada do quociente destas funções é dada pelarelação.

    Exemplo:

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    Derivada da Função Exponencial

    Sendo ”a” um número real (a > 0 e a ≠ 1) então a derivada da função é dadapor:

    Exemplo:

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    Derivada da Função Logarítmica

    A derivada de uma função logarítmica é dada por:

    Exemplo:

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    Regra da Cadeia

    Derivação de uma função composta.

    Sejam u(x) e v(x) duas funções deriváveis e f(x) = u(v(x)) ou, em uma outra notaçãode função composta, f(x) = (u v)(x).

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    Exemplo #1

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    Exemplo #2

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