ÁREAS I

1. En un triángulo rectángulo BAC recto en A, el ángulo B mide 75° y

la distancia de A a la hipotenusa

mide 6 2 cm. Calcule el área de la

región ABC.

A) 100 cm2 B) 36 cm2

C) 84 cm2 D) 144cm2

E) 72cm2

RESOLUCIÓN

Propiedad (75º; 75º)

BCAH

4

AC 24 2

2

BAC

24 2 6 2A 144cm

2

RPTA.: D

2. Los catetos AB y AC de un triángulo rectángulo ABC recto en

A, miden 21cm y 28cm. Se trazan las bisectrices CP y AQ, las cuales se cortan en el punto I.

Calcule el área de la región CIQ.

A) 20cm2 B) 30 cm2

C) 45 cm2 D) 70cm2 E) 75 cm2

RESOLUCIÓN

Propiedad de la Bisectriz:

7k 35

K 5 ……………………………………...

Teorema de Poncelet: 21 28 35 2r

r 7 ……………………………………….

CIQ

4K rA

2

……………………

Remplazando y en:

2

CJQ

7 20A 70cm

2

RPTA.: D

3. El triángulo ABC tiene como lados

AB = 20cm, AC = 6 5 cm y

BC = 10cm. Se traza la altura CE

y por E se traza EM perpendicular

aAC . Calcule el área de la región

EMC.

A) 10 cm2

B) 5,5 cm2

C) 8 cm2 D) 7,2 cm2 E) 6,2 cm2

1

2

3

1 2 3

45º45º

28I

P21

Q CBK

4k

r

A

3 k

35

1575º

6 2

H24 2

A

BC

RESOLUCIÓN

Teorema de Euclides:

2

2 210 20 6 5 2 20 AE

AE 12

CE 6

AEC:

5a 6 5 6 5

a5

2

EMC

2a aA a

2

2

2

EMC

6 5A 7,2cm

5

RPTA.: D

4. Se da un triángulo isósceles ABC (AB = BC), en donde AC = 5m y

la altura AH mide 4m. Calcule el área de la región BOH siendo “O”

la intersección de las alturas AH y BP

A) 25/6 m2 B) 7 m2

C) 7/8 m2 D) 49/96 m2

E) 14m2

RESOLUCIÓN

APO: 53;37

15

OP8

BPC: 53;37

15 205K

8 6

7

K24

……………………………………..

2

OHB

3K 4KA 6K

2

……………

Reemplazando: a :

2

2

OHB

7 49A 6 m

24 96

RPTA.: D

5. En un triángulo ABC recto en B, se

traza la bisectriz interior AP y en

AC se ubica el punto Q, de modo

que mAPQ = 45°. Calcule el área de la región QPC, si (BP)(PC)=20 u2.

A) 5 u2 B) 10 u2

C) 12,5 u2 D) 15 u2 E) 20 u2

37º

a

4a

53º

2a

53/2

53/2

12 EBA

65

C

106M

208

53º

37º37º

3 KH

4 K

5/25/237º

A CP

B

53º

O

5 K

3

1

2

1 2

RESOLUCIÓN

Dato: a b = 20

Se Traza:PH QC

PH = PB a (Propiedad de la bisectriz)

QPC: Isósceles

PC = QC = b

2

PQC

ab 20A 10

2 2

RPTA.: B

6. En un triángulo ABC se traza la

mediana BM, de modo que

m BMA = 45°. Calcule el área de la región ABC, si BC2 – AB2 =20

u2

A) 5 u2 B) 7,5 u2 C) 10 u2 D) 12,5 u2 E) 15 u2

RESOLUCIÓN

Dato: 2 2a c 20 ……………………..

Teorema de la proyección de la

mediana 2 2a c 2AC HM ………………………..

= 2C HM 20

AC BH 10

(ABC)Área = 2AC BH 10

2 2

2

ABCÁrea 5

RPTA.: A

7. En un triángulo ABC se traza la

bisectriz interior CD y en el triángulo DBC se traza la ceviana

BM, de modo que m CBM =

m BAC. Si el área de la región MBC es 5 cm2 y AC = 2(BC), calcule el área de la región BMA.

A) 5 cm2 B) 10 cm2

C) 15 cm2 D) 20 cm2 E) 25 cm2

RESOLUCIÓN

Propiedad de la Bisectriz:

AD = 2(BD) BMC ADC:

2

2

5 a

2S 10 2a

20 25 10

S = 5

2

AMBA 3 5 3 5 15cm

RPTA.: C

8. En un triángulo isósceles ABC

(AB=BC), se inscribe un cuadrado el cual tiene un lado contenido en la base AC del triángulo; calcule el

área de la región ABC si el baricentro de este es el centro del

B

P

C

b

H

a

Q

a

b

90º

45º 45

A

45

B

Ca

cA

2

b b

45º

H M

45

S

2S

5

10

M

a

B

K

2 K

A2 a

C

D

I

II

II I

cuadrado y la base del triángulo mide 6m.

A) 16 m2 B) 14 m2

C) 8 3 m2 D) 9m2

E) 18m2

RESOLUCIÓN

Propiedad del Baricentro: 2GH BG BR RG GH a

NBS ABC:

6 2a

a 13a a

2

ABC

6 3a 6 3 1A 9m

2 2

RPTA.: D

9. Se tiene un cuadrado ABCD; en la región interior se ubica un punto P

tal que mBPC = 90º; y en la

prolongación de BP se ubica al

punto Q tal que m PQD = 90º. Si BP = 4u y PC = 6u, calcule el área de la región AQD.

A) 4 u2 B) 8 u2

C) 2 13 u2 D) 6 u2

E) 15 u2

RESOLUCIÓN

BPC DLC ASD

PL 2; QD 2 y AS 4

2

AQD

2 4A 4

2

RPTA.: A

10. Se tiene un triángulo rectángulo ABC recto en B. La mediatriz de

BC es tangente a la circunferencia

inscrita cuyo centro es 0; calcule el área de la región AOC si AB =

6u

A) 20 u2 B) 8 2 u2

C) 6 3 u2 D) 5 6 u2

E) 10 u2

RESOLUCIÓN

G

a

a

R

2a

a

B

N S

2a

H TMA C

6 m

46

L

CB

DA

P

4

S

Q2

r

B

r

r

O

A C

M

2 r

8

N10

6

r r

r37

2372

T

OTC: Auxiliar 37º

2

Propiedad de la Mediatriz BM = MC = 2r

4r 8

r 2

2

AOC

10 R 10 2A 10

2 2

RPTA.: E

11. En un triángulo ABC, se ubican los

puntos “M” en AB y “N” en la

prolongación de AC . MN y BC se

interceptan en “P” tal que las

regiones MBP y PCN tienen igual

área y AM = MB. Calcule: AC

CN

A) 1/2 B) 1/4 C) 1

D) 1/6 E) 1/5

RESOLUCIÓN

Se Traza: BN

MBN AMNA A

Luego: ABC BCNA A

AC x1

CN y

RPTA.: C

12. En un cuadrilátero convexo ABCD, se toma el punto medio M de la

diagonal AC. Calcule el área de la región MBD sabiendo que las áreas de los triángulos ABD y BDC

miden 50m2 y 30m2

A) 10 m2 B) 9 m2

C) 8 m2 D) 15 m2

E) 20 m2

RESOLUCIÓN

Piden: BMDA x y

AM = MC

ABM BMCA A

AMD DMCDA A

Datos: A ABD 50 2x 2y A B

A BDC 30 A B

Restando: 20 2 x y

x + y = 10

RPTA.: A

13. En un triángulo ABC se traza la

altura BH y en el triángulo BHC se

traza la bisectriz interior BD. Siendo 3 (AD) = 4 (DC), HD = 4u

y BC = 12u; calcule el área de la región ABD.

A) 8 2 B) 16 2 C) 32 2 D) 24 2 E) 40 2

RESOLUCIÓN

B

AH D C

3 s4 s

4

S

12

4

4 K 3 K

y + B

x +

AM

y

x

A

B

C

DA

B

Z

S

S

Z

B

A x C y N

P

M

Se Traza: DS BC

HD= DS = 4 (Propiedad de la

bisectriz)

Del Dato:

3 AD 4 DC

AB = 4K DC = 3K

ABDA 4S

BDCA 3S

12 4

3S2

S 8

2

ABDA 4S 4 8 32

RPTA.: C

14. En la figura, m = m , encuentre la razón entre las área

de las regiones AGO y OFE.

A) 2/3

B) 3/32

C) 4/3

D) 3/5

E) 6/3

RESOLUCIÓN

AGO:

r2

2

r 2

AGO

OFE

2A 2 32A 33

2

RPTA.: B

15. En un triángulo rectángulo ABC

recto en B, en AC se ubica el

punto “P” y en el interior de la

región PBC el punto “D”. Siendo

mABP = mPCD, BC = PC y

BP = PD = 4cm; calcule el área de la región BPD.

A) 4 3 cm2 B) 4 cm2

C) 2 3 cm2 D) 8 3 cm2

E) 8 cm2

RESOLUCIÓN

BECP : Isósceles

m PCD m DCB

PD BD 4

BPD: Equilátero

2

2

BPD

4 3A 4 3 cm

4

RPTA.: A

16. En la figura, CO = 6 . Calcule al área de la región sombreada.

A) 18 2

B) 9 2

C) 13,5 2

D) 21 2

E) 27 I 2

AB BC

D

PA

B

4

4

4

90

C90

E

D

B

A

FG 3

2

O

4545

r = 2

r

RESOLUCIÓN

OCD:

26 r a

r a

2

ABO

r a 36A 18

2 2

RPTA.: A

17. En la figura, AC = CD,

mCBD = 2m BDA y el área de

la región triangular BCD es 82,

calcule el área de la región sombreada.

A) 42

B) 72

C) 32

D) 52

E) 62

RESOLUCIÓN

i) BCD

abA 8 sen53

2

ab 20

ii) BCA

abA sen30

2

220 15

2 2

RPTA.: D

18. En la figura 3 (RQ) = 2 (PR) = AP

y RC = BC. Calcular la relación de áreas de las regiones APQ y QRC.

A) 1/2 B) 1 C) 1/3

D) 1/4 E) 2

RESOLUCIÓN

i) PB RP 3K (Propiedad de la

Bisectriz)

ii) RPCA 3S

QRCA 2S

También:

APC PBCA 2A

Z 5S 2 3S

Z S

APQ

QRC

A S 1

A 2S 2

3 s

2 s

3 s

Z = s

R

P

3 K

6 K

Q

3 K

2 K

A

B

C

B

A D

C

a

a

30º

30º

2

b 30º23º

a

B

r O

6 a

r

A

D

C

RPTA.: C

19. En un triángulo ABC en AB y BC

se ubican los puntos “P” y “Q”

respectivamente de modo que AP = 2(PB) y BQ = 2(QC). Calcule

el área de la región PBQ, si el área de la región ABC es 45cm2.

A) 5 cm2 B) 10 cm2

C) 15 cm2 D) 20 cm2

E) 25 cm2

RESOLUCIÓN

i) APQ PBQA 2 A

ii) AQB AQCA 2A

AQCA 3S

Dato: 9s 45

S 5

PBQA 2S 2 5

22 5 10 cm

RPTA.: B

20. En un triángulo ABC: AB = 2 (BC)=10 cm. Se traza la bisectriz interior BP y la

perpendicular AQ a BP (Q en la prolongación de BP). Calcule el

área de la región ABC, si PQ = 2 cm.

A) 12 cm2 B) 18 cm2

C) 24 cm2 D) 30 cm2 E) 32 cm2

RESOLUCIÓN

i) Se construye (Isósceles)

AQ = QT ii) Se traza

CR = 3 (Teorema de los puntos medios)

CRT: (37º; 53º)

QR = 4 y AQ =8

ABC ABT

1A A

2

2

ABC

1 16 6A 24cm

2 2

RPTA.: C

B

2 b

b

Q

CA

2 a

a

P 2 s

4 s

3 s

5

C

5

T

4R

3

4

Q

2 53º

4

P

10

B

A

37º

8

CE AT

ABT :