11 ESO aáia 2 - Intergranadaselectividad.intergranada.com/.../Anaya_17/Tema11.pdf11 ESO 2 E xperimenta y descubre cuerpos geométricos 2. Dibuja el cuerpo geométrico que se genera

Unidad 11. Cuerpos geométricos ESOMatemáticas 2

1

Página 215

Herramientas para construir prismas y pirámides

1. Construye tú, o describe cómo se haría, y dibuja el resultado final en cada caso.

•Untroncodepirámide •Unapirámidetriangular. •Dospirámidescuadrangulares pentagonal. pegadasporlasbases.Sellama octaedro.

•Seensamblanlascuerdasenlosvérticescorrespondientesdeambasfiguras, lagrandeylapequeña,ysetensanluego.

•Seatanlastrescuerdasjuntasporunextremo.Elotroextremodecadaunaseensamblaacadaunodelosvérticesdeltriángulo.

•Seatanlosextremosdecuatrocuerdasporunladoydelasotrascuatroporotrolado.Losotrosochoextremosseensamblandedosendosencadavérticedelcuadrado.


2

Experimenta y descubre cuerpos geométricos

2. Dibujaelcuerpogeométricoquesegeneraalhacergirar,encadacaso,lacartulinaalre-dedordelpalillo.

Troncodecono. Dosconos Mediaesfera. Cilindroconun unidosporlabase. conoencadabase.


3

1 Prismas

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1. Observalossiguientesprismas:

A B C D

a)¿Quétipodeprismaescadauno?

b)Indicacuálessonregulares.

c)DibujaeldesarrolloplanodelprismaA.

a)A:Triangular,regular.

B:Cuadrangular,noregular.

C:Pentagonal,noregular.

D:Hexagonal,regular.

b)SonregulareselAyelD.

c)


4

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2. Laalturadeunprismarectoesde20cm.Susbasessontrapeciosrectángulostalesquelasbasesdeltrapeciomiden11cmy16cm,ylaaltura,12cm.Hallaeláreatotaldelprisma.

Alat=1040cm2

Abase=162cm2 →Suáreatotalesde1364cm2.

16 cm

11 cm12 cm

20 cmd

3. Hallaeláreatotaldeuncubode10cmdearista.

Cadacara:A=100cm2

Atotal=600cm2

4. Lasdimensionesdeunortoedroson4cm,3cmy12 cm.Hallaeláreatotalylalongituddeladiagonal.

d'=5cm

Atotal=2(4·3+4·12+3·12)=192cm2

d=13cm5 cm

3 cm

4 cm 12 cm dd'

5. Labasedeunortoedroesunrectángulodelados9 cmy12cm.Ladiagonaldelortoedromide17cm.Calculalaalturadelortoedroysuáreatotal.

d'=15cm

d=8cm

Laalturaes8cm.9 cm

15 cm

12 cm17 cm

dd'

Atotal=2(9·12+9·8+8·12)=552cm2


5

2 Pirámides

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1. Hallaeláreatotaldeunapirámideregularcuyabaseesuncuadradode10cmdeladoycuyaalturaesde12cm.

10 cm12

cm

a'=5cm

Apotemadelapirámide,a= 12 52 2+ =13cm

Atotal=100+·2

40 13 =360cm2

2. Labasedeunapirámideregularesunpentágonode16dmdeladoy11dmdeapotema.Laalturadelapirámideesde26,4dm.Hallasuáreatotal.

26,4 dm

11 dm16 dm

Apotema,a= ,26 4 112 2+ =28,6dm

Atotal=· · · · ,2

16 5 112

16 5 28 6+ =1584dm2


6

3 Troncos de pirámide

Página 220

1. Hallaelárealateraldeuntroncodepirámidehexagonalregularcuyasdimensionessonlas del dibujo.

38 cm

20 cm

41 cm

a= 41 9–2 2 =40cm

Alat=· ·

26 20 6 38+ ·40=6960cm2

938 cm

20 cm

41 cm a

2. Unapirámide regulardebasecuadradade10cmde ladoyarista lateralde13cmescortadaporunplanoamitaddesualtura.Hallaeláreatotaldeltroncodepirámidere-sultante.

10 cm

6,5 cm

6,5 cm

,y

56 513= →y=2,5

x= , ,6 5 2 5–2 2 =6cm a= , ,6 5 2 5–2 2 =6cm

5 cm 2,5 cm

6,5 cm

6,5

6,5

y

x

x a

5 cm 2,5 cm

6,5 cm

6,5

6,5

y

x

x a

AA

A

25100

4 210 5 6 180

cmcm

· · cm

2

2

2

BASE MENOR

BASE MAYOR

LAT

==

= + =c m

_

`

a

bbb

bb

Atotal=25+100+180=305cm2


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4 Poliedros regulares

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1. Considerandolasumadelosángulosquecoincidenencadavértice,justificaporquénosepuedeconstruirunpoliedroenlossiguientescasos:

a)Con6triángulosequiláterosencadavértice.

b)Con4cuadradosencadavértice.

c)Con4pentágonosregularesencadavértice.

d)Conhexágonosregularesopolígonosregularesdemáslados.

a)Sumarían360°yesoesplano,nosepuedetorcer.

b)Tambiénsuman360°,yesplano.

c)Miden432°yesoesmásqueunplano.Sesuperpondrían.

d)Contreshexágonossuman360°,esunplano;yconsolodosnosepuedeformar.Lospo-liedrosregularesdemásladostienenángulosmayoresque360°y,portanto,nopodemos,puestoquesesuperpondrían.


8

Página 223

2. Hallaeláreade:

a)Untriánguloequiláterodelado2cm.

b)Uncuadradodelado2cm.

c)Unpentágonoregulardelado2cmyapotema1,38cm.

a)

h= 2 1–2 2 =1,73cm

A= · ,2

2 1 73 =1,73cm2

h

2 cm1 cm

2 cm2 cm

b)A=4cm2

c)A= ( · ) · ,2

5 2 1 38 =6,9cm2

3. Hallaeláreade:

a)Untetraedro.

b)Uncubo.

c)Unoctaedro.

d)Undodecaedro.

e)Unicosaedro.

Todosellostienen2cmdearista.

Tomamoslosdatosobtenidosenelejercicioanterior.

a)A=4·1,73=6,9cm2

b)A=6·4=24cm2

c)A=8·1,73=13,84cm2

d)A=12·6,9=82,8cm2

e)A=20·1,73=34,6cm2


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5 Secciones planas de poliedros

Página 224

1. Indicapordóndehayquecortaresteoctaedroregularparaobtener:

a)Uncuadrado.

b)Elcuadradomásgrandeposible.

c)Untrapecio.

d)Unhexágono.

e)Unpentágono.

a)Porunplanoperpendicularasudiagonal.

b)Porunplanoperpendicularaladiagonalenlamitaddelamisma,estoes,porelcentrodeloctaedro.

c)Elplanodelapartadob)loinclinamostomandocomoejesobreelquegiraunadelasaristasdelcuadrado.

d)Porunplanoquepaseporelcentrodeloctaedroyseaparaleloaunadelascaras.

e)Elplanopasaríaporunvérticeydospuntosdearistasquenoconcurrenenesevértice.

2. Observaelicosaedroregularycontesta:

a)Siunplanocortaalascincoaristasquesalendeunvértice,¿quéfiguraseobtiene?

b)Sicortamosporunplanoparaleloaunacaraypróximoaella,¿quéobtene-mos?

c)¿Sepodríaobtenerundecágonoregularapartirdeuncorte?

a)Unpentágono.

b)Unpolígonodenuevelados.

c)Obtendríamosundecágonoregularsicortásemosporunplanohorizontal,estandoelico-saedroapoyadosobreunvértice,amitaddelaalturadeladiagonalqueuneesevérticeconelopuestoaél.


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Página 225

3. Cortandouncubodeestaformaseobtieneunhexágonoregular.

a)¿Cuántomideellado?¿Ylaapotema?

b)Calculasuárea.

c)¿Quévolumentienecadaunadelaspartesenquequedadividido?

a)Elladomide 2 =1,41cmylaapotema1,22cm.

1 cm

1 cm

b)Eláreamide · , · ,2

6 1 41 1 22 =5,16cm2.

c)Cadapartetendrálamitaddelvolumendelcubo,puestoqueelcortedividealcuboendospartesiguales,asíqueelvolumendecadaparteseráde4cm3.

4. Cortandountetraedroregulardeestemodo,seobtieneuncuadrado.Noesnadadifícilcalcularsuárea.¿Sabríascalculareláreatotaldecadaunodelosdoscuer-posquequedan?

Losdoscuerposquequedansonigualesysuscarassondostriángulosequiláterosdearista1 cm,elcuadradode1cmdeladoydostrapeciosdebases1cmy2cmyaltura

1 cm

1 cm

23cm.

Por tanto, la sumade estas áreas es:·1

· · ·2 223

2 21 2

23 1 2 3 1+ + + = +` j cm2,

queeseláreadecadaunodelosdoscuerposquequedan.

5. Esteotrocorteesuntrapecio.¿Cuántomidelabasepequeña?¿Porquélabasemayoreseldoblequelamenor?

Sisualturaes1,66cm,¿cuálessuárea?¿Cuáleseláreadelrectánguloverde?

Labasepequeñadeltrapeciomide1cm,puesquedaarribaenlacaradondeseapoya

untriánguloequiláterodearista1cm.

1 cm

1 cm

1 cm

Labasemayoreseldoblequelamenoryaqueeltriánguloquedeterminaenlacaradeltetraedrosobrelaqueseapoya,esequiláterodearista2cm.

Suáreaes: 21 2+ ·1,66=2,49cm2,yeláreadelrectánguloverde,delados1cmy2cmes:

2 cm2.

6. Alcortarundodecaedroporunplano,¿esposibleobtenerunrectángulo?¿Yuncuadrado?

Unplanocortaaldodecaedroendostrozosigualespasandopordosaristasopuestas.

¿Quépolígonoeslasecciónobtenida?

Lasecciónobtenidaesunhexágono.


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6 Cilindros

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1. Dibuja en tu cuaderno los cilindrosque se generan alhacer girar esterectánguloalrededorde:

a) CD b) BD

A B

C Da) b)

2. ¿Qué cantidad de chapa se necesita para construir un depósito cilíndrico cerrado de0,6 mderadiodelabasey1,8mdealtura?

2·π·0,6·1,8+2·π·0,62=2,16π+0,72π=9,0432m2dechapa.

3. Sehandeimpermeabilizarelsueloylasparedesinterioresdeunaljibecilíndricoabiertoporarriba.Elradiodesubasemide4m,ylaaltura,5m.Sicuesta18€impermeabilizar1m2,¿cuáleselcostedetodalaobra?

Aaljibe=2π·4·5+π·16=56π=175,84m2

Costará175,84m2·18€/m2=3165,12€.

4. Dibujaeldesarrollodeuncilindrorectocuyabasetiene2cmderadioycuyaalturaesde8cm.

12,56 cm

2 cm

8 cm

5. Tomaalgunasmedidasydecidecuáldelossiguientesdesarrolloscorrespondeauncilindro.

Elprimero.


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7 Conos

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1. Calculaelárealateralyeláreatotaldeestecono,sabiendoque:

MO =84cm

MN =85cm

ON 85 84–2 2= =13cm

Alat=π·13·85=3469,7cm2

Atotal=3469,7+530,66=4000,36cm2N

M

O

2. Dibujalosconosqueseobtienenalhacergirarestetriángulorectángulo:

a)AlrededordeAC.

b)AlrededordeBC.

Calculaeláreatotaldeambos.

A

C B

16 cm

30 cm

a) b)

30 cm30 cm

34 cm

34 cm

16 cm

16 cm16 cm

Alat=30·π·34=3202,8cm2 Alat=16·π·34=1708,16cm2

Atotal=3202,8+2826=6028,8cm2 Atotal=1708,16+803,84=2512cm2


13

8 Troncos de cono

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1. Elconocuyabasetieneunradiode12cmycuyaalturaesde16cmescortadoporunplanoperpendicularasuejequepasaa4cmdelabase.

Hallalasdimensiones,elárealateralyeláreatotaldeltroncodeconoqueseforma.

'r12 16

12= →r'=9cm

'g

12 1620= →g'=15cm

Alat=12·π·20–9·π·15=329,7cm2

Alat+Binf=329,7+π·122=781,86cm2

12 cm

5 cm

g = 20 cm

4 cm

12 cm16 cm

r'

g'

Atotal=781,86+π·92=1036,2cm2

2. Hallalasuperficiedeunaflaneraabiertaporarriba,conlassiguientesmedidas:radiodelasbases,10cmy15cm;generatriz,13cm.

g g10 15

13=

+→g=26cm

Alat=15·π·39–10·π·26=1020,5cm2

Atotal=1020,5+π·102=1334,5cm2

15 cm

g = 26 cm

12 cm

24 cm

13 cm

10 cm


14

Página 229

3. Ennuestro jardín tenemos32macetonescon formade troncodecono.Losradiosdesusbasesmiden14 cmy20cm,respectivamente,ysugeneratriz,38 cm.Calculacuántocuestapintarlos(sololaparteexterior)arazónde40€pormetrocuadrado.

Alat=π·(14+20)·38=4056,88cm2

Alattodos=4056,88·32=129820,16cm2=12,982016m2≈13m2

Costaráaproximadamente520€.

4. Observaestetroncodeconocuyasbasestienenradiosde17cmy22 cm,ycuyaalturaesde12 cm.

22 cm

17 cm

12 cm

a)Hallasugeneratriz.

b)Calculasuárealateral.

c)Hallaeláreatotal.

22 cm

g = 13 cm12 cm

17 cm

5 cm

a)g= 12 52 2+ =13cm

b)Alat=π(r+r' )·g=1591,98cm2

c)Atotal=1591,98+907,46+1519,76=4019,2cm2


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9 Esferas

Página 230

1. Enunaesfera terrestreescolarde20cmderadioestánseñaladas laszonasclimáticas.Sabemosquecadacasquetepolartiene2cmdealtura,ycadazonatemplada,10cmdealtura.

POLAR

TEMPLADA

CÁLIDA

TEMPLADA

POLAR

Hallalasuperficiedecadazonaclimática.

Zonaspolares→20·2·2·π·2=502,4cm2

Zonastempladas→2·2·π·20·10=2512cm2

Zonacálida→2·16·π·20=2009,6cm2

2. Sehacaídounbalóndefútbolenunbarreñollenodepinturaverde.Sabemosquelasuperficiedelbalónesde6079cm2.Sisehahundidounos15cmenlapintura,¿quéproporcióndebalónsehamanchadodeverde?

Toma el valor de π como 3,14.

Despejandoelradiodelafórmuladelasuperficiedelaesfera,obtenemosqueesaproximada-mente22cm,porloquelasuperficiequesemanchadepinturaseráde:

2·22·π·15=2072,4cm2


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10 Secciones de esferas, cilindros y conos

Página 232

1. Unaesferade12cmdediámetrosecortaporunplanoobteniendounaseccióncircularcuyasuperficiees72,3456cm2.Calculaladistanciadelplanoalcentrodelaesfera.

Toma el valor de π como 3,14.

S=π·r2=72,3456cm2→r=4,8cm

d= ,6 4 8–2 2 =3,6cm

rd 612

2. Uncubocilíndricode10,5cmdealturacuyabasemide7cmderadioestállenodeagua.Loinclinamosparavaciar lamitaddesucontenido. ¿Cuántomidenlosdosejesde laelipsequeformalasuperficiedelagua?

Elejemayormide:x= ,14 10 52 2+ =17,5cm

Elejemenormidelomismoqueeldiámetrodelcubo,14cm.14 cm 10,5 cm

7 cm

3. Indicapordóndedebecortarunplanoalcilindroparaobtener:

a)Unrectángulo.

b)Elmayorrectánguloposible.

c)Uncuadrado.

d)Laelipseconelejemayormásgrandeposible.

a)Porunplanoperpendicularalasbases.

b)Porunplanoperpendicularalasbasesquepaseporcualquierdiámetrodeesasbases.

c)Porunplanoperpendicularalasbasesquepaseporunacuerdadelacircunferenciadelabasequemidalomismoquelaalturadelcilindro.

d)Esteejemayortendrádelongitudladiagonaldelcilindro(segmentoquevadeunpuntodelabasesuperioralopuestodelabaseinferior).Elplanoeselmismoqueapareceeneldibujodelejercicio2formadoporlasuperficiedelagua.

4. Sielcilindrodelaactividadanteriortuvieraunaalturamayorqueeldiámetrodesuba-se,¿seríaposibleobteneruncuadrado?Explicaporqué.

Noseríaposible,puesdosdelosladosdelcuadradoseríanesaaltura,ylalongitudmayorpo-sibleparalosotrosdosladosseríajustoesadiagonaldelabasequemeestándiciendoqueesmenorquelaaltura.


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Ejercicios y problemas

Página 233

Tipos de cuerpos geométricos

1. Indica cuálesde estospoliedrosno soncatalogables entre los conocidos (prisma,pirámide,troncodepirámide,poliedroregular).Catalogalosdemás.

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)

a)Prismaoctogonalrecto b)Troncodepirámidehexagonal c)Octaedro

d)Pirámidepentagonalrecta e)Nocatalogable f )Ortoedro

g)Prismatriangularrecto h)Nocatalogable i)Pirámidetriangular

2. Explicaporquéestospoliedrosnosonregulares.

a)Pirámidecuadrangularregular.

b)Estepoliedrocuyascarassonrombosiguales:

c)Estepoliedroformadoporseistriángulosequiláteros:

a)No,porquenotodassuscarassonpolígonosregularesiguales.

b)Porquesuscarasnosonpolígonosregulares.

c)Porqueenalgunosvérticesconcurrentrescarasyenotros,cuatro.Paraquefueraregulardeberíanconcurrirelmismonúmerodecarasentodoslosvértices.


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3. ¿Sontodasestasfigurascuerposderevolución?Identificalasquereconozcas.

a) b) c)

d) e) f )

Todassoncuerposderevolución,lasconocidasson:

a)Mediaesfera c)Cono

d)Cilindro e)Troncodecono

4. Dibujaloscuerposderevolucióngeneradosalgirarcadaunadeestasfigurasalre-dedor del eje.

a) b) c)

Relacionacadaunadelasfigurasquehasdibujadoconunadelejercicioanterior.

a)Aldibujarestafigurasaleunconocomoeldelafigurac)delejercicioanterior.

b)Aldibujarestafigurasaleuncilindrocomoeldelafigurad)delejercicioanterior.

c)Aldibujarestafigurasaleunabombillacomolafiguraf )delejercicioanterior.

5. Dibujaentucuadernolafigurayelejesobreelquedebegirarparagenerarlosob-jetosdelosapartadosa),b)ye)delejercicio3.

a) b) e)


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Desarrollo de cuerpos geométricos

6. ¿Concuálesdeestosdesarrollossepuedencompletarunpoliedroouncuerpoderevolución?Catalogaaquellosquesepuedancompletar.

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)

a)Esunortoedro. b)Esunapirámidecuadrangularconbaserectangular.

f )Esunapirámidepentagonal. h)Esuncilindro.

Conc),d),e),g)ei)nosepuedenconstruirnipoliedrosnicuerposderevolución.

7. Dibujadeformaaproximadaeldesarrolloplanodelospoliedrosdelosapartadosa),b),d),f)yg)delejercicio1.

a) b) d)

f ) g)


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Página 234

Áreas de cuerpos geométricos

8. Calculaeláreadecadacuerpogeométrico:

10 cm

20 cm15 cm

5 cm2 m 7 mm

10 m

m 3 mm

2 dm 4 cm

6 cm

5 dm

6 m

2 m

12 cm

4 cm

3 cm

5 km

11 m

60 m

8 m

3 cm

2,1

cm

10 dm

3 dm

a) b) c)

d) e) f )

g) h) i)

j) k) l)

16 m

a)Atotal=4·2·6+2·22=56m2 b)Atotal=· ·

24 7 4 3+ ·10+72+32=258mm2

c)Atotal=2·π·5·15+2·π·52=628cm2 d)Atotal=4·π·52=314km2

e)Atotal=· · · ·2

5 16 602

5 16 11+ =2840m2

f )g= 20 102 2+ =22,4cm g)g= 4 32 2+ =5cm

Atotal=π·10·22,4+π·102=1017,36cm2 Atotal=π·(6+3)·5+π·62+π·32=282,6cm2

h)Atotal=6·2·5+2·· · ,2

6 2 1 7 =80,4dm2 i)Atotal=3·4·6+2·· ,2

4 3 5 =86cm2

j)Atotal=12·· · ,2

5 3 2 1 =189cm2 k)Atotal=8·· ,2

8 6 9 =220,8m2

l)Atotal=2·π·10·3=188,4dm2


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9. Hallaeláreatotaldeunapirámidehexagonalregularconaristaslateralesde13cmyaristasdelabasede10cm.

Alturadeunacaralateral,h=12cm

a= 10 5 75–2 2 = ≈8,66cm

Abase=· · ,2

10 6 8 66 =259,8cm2

Alat=10·12·3=360cm2 Atotal=619,8cm2 10 cm

13 cm

a

10. Calculaeláreatotaldeunprismarectode15cmdealturacuyasbasessonromboscuyasdiagonalesmiden16cmy12cm.

Arombo=·2

16 12 =96cm2 x= 8 62 2+ =10cm

Alat=10·15·4=600cm2 Atotal=600+2·96=792cm2

x

11. Labasedeunapirámideregularesuncuadradode6dmdelado.Sualturaesde4 dm.Calculasuáreatotal.

Alturadeunacaralateral,h= 4 32 2+ =5dm

Abase=36dm2

Alat=5·3·4=60dm2 Atotal=36+60=96dm2

6 dm

4 dm

12. Lasbasesdeuntroncodepirámideregularsoncuadradosde10cmy20cmdela-do,respectivamente.Lasaristaslateralesmiden13cm.Hallasuáreatotal.

Alturadeunacaralateral,h= 13 5–2 2 =12cm

Abases=202+102=500cm2 Alat= 220 10+ ·12·4=720cm2

Atotal=720+500=1220cm2

10 cm

20 cm

13 cm

13. Hallaeláreatotaldeunprismahexagonalregularcuyaaristalateralmide4cm,ylasaristasdelabase,2cm.

Apotemadelabase,a= 3≈1,73cm

Abases=6·1,73·2=20,76cm2

Alat=2·4·6=48cm2

Atotal=20,76+48=68,76cm2

14. Unapirámide regular tieneporbaseunpentágono regularde2,5mde lado.Laapotemadelapirámidemide4,2m.¿Cuálessusuperficielateral?

Alat=, · ,2

2 5 4 2 ·5=26,25m2


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15. Hallaeláreatotaldeestoscuerpos:

4,5 cm 16 cm

17 cm

a) b)

6 cm

2 cm

a)Atotal=π(4,5+2)·6,5+π·22+π·4,52=208,81cm2

b)Atotal=π·8·17+82·π=628cm2

16. Calculaeláreatotaldeunortoedrodedimensiones3cm,4cmy12cm.Hallatam-biénlalongituddesudiagonal.

Atotal=3·4·2+12·4·2+12·3·2=192cm2

d= 12 3 42 2 2+ + =13cm

17. Calculalassuperficiesdelcasqueteesféricode2 dmdealturaydeunazonaesféricade4dmdealturacontenidosenunaesferade10dmdediámetro.

Acasqueteesférico=2π·5·2=62,8dm2

Azonaesférica=2π·5·4=125,6dm2

10 dm

2 dm

4 dm

18. Eláreatotaldeuncuboesde150dm2.Hallasudiagonal.

A=l2·6=150→l2=25→l=5dm

d= 5 5 5 5 32 2 2+ + = ≈8,66dm

Secciones en los cuerpos geométricos

19. Buscaydibujalosposiblescortesdeunplanoconcadaunodeestoscuerposgeomé-tricosparaobteneruncuadrado,unrectángulo,untrapecio,unacircunferencia,unaelipse,unpentágonoyunhexágono.a) b)

Uncuadrado→Enb),planosperpendicularesalaaltura.

Unrectángulo→Enb),planosperpendicularesalabase.

Untrapecio→Ena),planosquecortenalasdosbases.

Unacircunferencia→Ena),planosparalelosalasbases.

Unaelipse→Ena),planosinclinadosquenocortenalasbases.

Unpentágono→Enb),planoporunvérticeyquecortelacaraopuesta.

Unhexágono→Enb),planoinclinadoquecortealasdosbases.


23

20. Observaestecilindroylasseccionesquepodemosobtenerenél.Laprimeraeselmayorrectánguloylasegunda,lamayorelipse.

10 cm

16 cm

a)Hallalasdimensionesdelrectánguloydelaelipse.

b)¿Pordóndehabríaquecortarelcilindroparaobtenerunrectángulocuyaalturafueraeldoblequelabase?¿Yunaelipsecuyosejesmayorymenorfueran12,5cmy10cm,respectivamente?

a)rectángulo:largo→16cm;ancho→10cm

ejesdelaelipse:mayor→ 16 102 2+ =18,87cm;menor→10cm

b)Paraobtenereserectángulohabríaquecortarelcilindroporunplanoperpendicularalabase,a3cmdelcentrodelamisma.

8 cm

10

12,5

cm16x

5 5d

d= 5 4–2 2 =3cm

Paraobteneresaelipsehabríaquecortarelcilindroporunplanoinclinadoquepasaseporunpuntodelacircunferenciadelabaseyporunpuntoa7,5cmdealturaenunagenera-trizopuesta.

8 cm

10

12,5

cm16x

5 5d

x= ,12 5 10–2 2 =7,5cm


24

Página 235

Resuelve problemas

21. Begoñahapartidopara la familiauna sandía endos trozosy entre todos sehancomidoeltrozogrande.Eltrozopequeñoesuncasquetede14cmdealturaenelcualvemosunaseccióndecircunferenciade56cmdediámetro.¿Quéradioteníalasandía?

Haciéndolocomoenelejemploresueltodearriba:

r2=(r–14)2+ 256 2c m =35

Elradiodelasandíaerade35cm.

22. Marcoshacortadounasandíade15cmderadio.Lazonarojacomestibleocupaunasuperficiedeunos407cm2quecorrespondeal90%delasección.¿Aquéalturasehacortadolasandía?

15 cm

El100%delasecciónporlaquesehacortadolasandíaes 90407 ·100=452,22cm2.

Despejandodelafórmuladeláreadeuncírculo,seobtienequeelradiodelasecciónesde

aproximadamenter= ,π

452 22 =12cm,portantolaalturaalaquesehacortadolasandía

esah= 15 12–2 2 =9cmdelcentro.


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Página 236

23. Queremosforraruncajóndeembalajededimensiones0,6m×0,5m×0,4mconunachapametálica.

a)¿Cuántocostaráhacerlosilachapaestáa18€/m2?

b)Siqueremoscubrir lasaristasconunembellecedordemaderade23€/m,¿cuántodinerohemosdepagar?

a)A=2(0,6·0,5+0,5·0,4+0,6·0,4)=1,48m2

Elprecioes1,48·18=26,64€.

b)Lasumadelongitudesdetodaslasaristases6m.

Hemosdepagar23·6=138€.

24. Deseamosconstruirconalambreselesqueletodetodoslospoliedrosregulares,demodoquecadaunadelasaristasmida1dm.¿Quécantidaddealambreutilizaremosencadaunodeellos?

tetraedro cubo octaedro dodecaedro icosaedro

número de aristas 6 12 12 30 30longitud total 6dm 12dm 12dm 30dm 30dm

25. Aníbal quiere forrar un cubo de 4 cm de arista con láminas de oro a 5€/cm2. ¿Cuántolecostará?

Finalmente,hadecididocortarloparahacerdospisapapeles iguales,peronosabedequéformahacerlodemaneraquealforrarlolesalgamásbarato:comoindicalafiguraIocomoindicalaII.¿Puedesayudarle?

I II

Eláreatotaldelcuboes6·42=96cm2.

AAntoniolecostaráforrarelcubo96·5=480€.

I Eláreadecadamitades48+4·4 2 =70,63cm2.

II Eláreadecadamitades48+42=64cm2.

Laopción II tienemenorsuperficie.Es,portanto,laopciónmásbarata.

26. Lasparedesdeunpozode12mdeprofundidady1,6mdediámetrohansidoen-foscadasconcemento.Elpreciodeltrabajoesde40€elmetrocuadrado.¿Cuálhasidoelcoste?

2πrh=60,288m2→Elcostehasidode2411,52€,aproximadamente.


26

27. Unpintorhacobrado1000€porimpermeabilizarelinteriordeldepósitosintapadelaizquierda.¿Cuántodeberácobrarporimpermeabilizareldeladerecha,tambiénsintapa?

4 m2 m 1 m

2 m

Eláreadelaesferacompletaesigualqueladelcilindro.

Eláreadeldepósitodeladerecha,de3mdealtura,eslas43 partedeladelcilindro.

Portanto,elcosteserá43 ·1000=750€.

28. Unaverjasecomponede20barrotesdehierrode2,5mdealturay1,5cmdediá-metro.Hayquedarlesunamanodeminioarazónde24€/m2.¿Cuáleselcoste?

Superficiedeunbarrote=2π·0,0075·2,5=0,11775m2

Superficietotal=0,11775·20=2,355m2

Coste=2,355·24=56,52€.

29. Unacajaenformadeortoedrotiene9dmdelargay6dmdeancha.Susuperficietotales228dm2.Hallasualturaysudiagonal.

Atotal=9·h·2+9·6·2+6·h·2=108+30h=228→h=4dm

d= 4 6 9 1332 2 2+ + = ≈11,53dm

30. Maríacortaunquesodebolade16cmdediámetrodetalmaneraqueseobtieneunacircunferenciade6,4cmderadio.¿Quéalturatienenlosdosquesossiseapoyansobreelcorte?¿Porqué?

82=x2+6,42→x=4,8

Eltrozograndetendráunaalturade4,8+8=12,8cmyeltrozopequeño,8–4,8=3,2cm.

16 cm8 cm

6,48 – x

x

31. Ejercicio resuelto.

Ejercicioresueltoenellibrodelalumnado.


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32. Unvasocuyabasetieneundiámetrode4cmsehallenadodeaguahastalamitad.Loinclinamoshastaquelleguealbordeysehaformadounaelipseeltripledelargaquedeancha.¿Quécantidaddeaguacontieneelvaso?

Laalturadelvasoes:alt= 12 4–2 2 =11,3cm

Elvolumendelvasoes:V=π·22·11,3≈142cm3

Hay71cm3deagua,aproximadamente.

33. Indicapordóndedebecortarunplanoaesteprismaparaobtener:

a)Uncuadrado.

b)Eltriánguloconmayoralturaposible.

c)Elrectánguloconmássuperficieposible.

d)Unpentágonoregularyunoirregular.

e)Eltrapecioconmayoráreaposible.

a) b)

c) d)Pentágonoregular:planoparaleloalasbases.

Pentágonoirregular:planoinclinadoparaleloalasbasesyquecortealascincocaraslaterales.

e)


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Página 237

Problemas “+”

34. Dibujaentucuadernoeldesarrollodeuntroncodepirámidecuadrangularregularcuyasaristasmiden:lasdelabasemayor,4cm;lasdelamenor,2 cm,ylaslaterales,5 cm.

Hallasuáreatotal. (Lascaras lateralessontrapecios.Compruebaquesualturaesde4,9 cm).

Alturadeunacaralateral,h= 5 1–2 2 =4,9cm

Atotal=22+42+4· 22 4+c m·4,9=78,8cm2

4 cm

5 cm

2 cm

35. Eldesarrollolateraldeunconoesunsemicírculoderadio12cm.

Hallaelradiodesubaseysualtura.

2πr=12π→r=6cm

122=62+h2→h= 108=10,39cm

36. a)Compruebaquelaalturadeestetriángulorectánguloesde4,8cm.

6 cm8 cm

10 cm

b)Hallalasuperficietotaldelasfigurasengendradasporestetriánguloalgiraralrede-dor de cada uno de sus lados.

I II

6

6

68

8

8

III

a) ·2

8 62

10 · h = →h=4,8cm

b) I π·6·10+π·62=301,44 II π·8·10+π·82=452,16

III π·4,8·8+π·4,8·6=211


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37. Una pirámide regular de base cuadrada de 10 cmde lado yaltura12cmescortadaporunplanoamitaddesualtura.Hallaeláreatotaldeltroncodepirámideresultante.

Apotemadelapirámidegrande,a= 12 52 2+ =13cm

10 cm

12 c

m

6 cm

, · ·A A

A A A

4 210 13 260

41 260

41 65

pirámide grande cm

pirámide cmpequeña,

12

2 12

LAT

LAT

= =

= = =

_

`

a

bb

bbAlattronco,A=A1–A2=

=260–65=195cm2

Atotaltronco=195+102+52=320cm2

38. Labasedeunapirámide regular esunhexágonode10 cmde lado.Su altura es24 cm.

Secortaporunplanoquepasaa18cmdelabase.Hallaeláreatotaldeltroncodepirá-midequeresulta.

Apotemadelabasemayor,a= 10 5–2 2 = 75≈8,66cm

Calculamoslaapotemadelabasemenor,a':

'a a6 24

= →a'= , ·24

8 66 6 =2,165cm

l hexágonomenor=·'a32 =2,5cm

Alturadeunacaralateral,h= ( )'a a18 –2 2+ =19,13cm

18 cm

6 cm

10 cm

Abases=3·10·a+3·2,5·a'=259,8+16,238=276,038cm2

Atotal=276,038+(10+2,5)·19,13·3=276,038+717,375=993,413cm2

39. Hallaeláreatotaldeunoctaedroregularenelqueladistanciaentredosvérticesnocontiguoses20 cm.

x2+x2=202→x2=200→x= 200≈14,14cm

h= , ,14 14 7 07–2 2 =12,25cm

Atotal=8·, · ,

214 14 12 25 =692,86cm2 7,07 cm

hx 14,14 cm

40. Unvasodetubode15,5cmdealtosehallenadohastalamitadconunrefresco.Alinclinarlo,ellíquidosequedahastaelborde.Silasuperficiedelrefrescoesunaelipsecuyoejemayores4veceselejemenor,¿quécantidadderefrescohayenelvaso?

Calculamoslamedidadelosejes:(4x)2=x2+15,52→15x2=240,25→x= ,16 02≈4

Elejemenormide4cmyelmayor16cm.

Elvolumendelvasoes:V=π·22·15,5≈194,7cm3

Hay97,35cm3derefresco,aproximadamente.


30

41. Unaprobetacilíndrica,quesehallenadohastalamitad,tienedosmar-casquedividensualturaentrespartesiguales.Alinclinarlademodoqueellíquidotoqueunadelasmarcas,porelladoopuestotocarálaotra.Silasuperficiedellíquidoesunaelipsecuyoejemayormide10cmycuyoejemenormide8cm,¿quéalturatienelaprobeta?¿Quécantidaddelíquidocontiene?

Seax= 31 delaalturadelaprobeta.Entonces:x= 10 8–2 2 =6

Laalturadelaprobetaes6·3=18cm.

Elvolumendelaprobetaes:V=π·42·18≈904,3cm3

Hay452,2cm3delíquidoenlaprobeta,aproximadamente.

Reflexiona sobre la teoría

42. a)Enuncubo,enuntetraedroyenunoctaedroesfácilcontarelnúmerodearistasyelnúmerodevértices.Hazlo.

Paracontarelnúmerodearistasdeundodecaedro,razonamosasí:

•Cadacaratiene5aristasyhay12caras:5·12=60.

•Perocadadoscarascompartenunaaristacomún,porloqueelnúmerodearistases60:2=30.

Paracontarelnúmerodevérticesrazonamosdeformasimilar:

•Cadacaratiene5vértices:5·12=60.

•Pero cada tres caras comparten un vértice, por lo que el número de vértices es60 : 3 = 20.

b)Calculacuántasaristasycuántosvérticestieneelicosaedroregular.

c)Completaentucuadernolasiguientetabla:

caras aristas vértices

tetraedro 4

cubo 6

octaedro 8

dodecaedro 12

icosaedro 20

caras aristas vértices

tetraedro 4 6 4cubo 6 12 8

octaedro 8 12 6dodecaedro 12 30 20

icosaedro 20 30 12

Compruebaqueenloscincopoliedrosregularessecumplelasiguienterelación:

caras + vértices – aristas=2

b)•Númerodearistas:Cadacaratiene3aristasyhay20caras→3·20=60

Pero cada dos caras tienen una arista común. Por tanto, el número de aristas es 60: 2 = 30.

•Númerodevértices:Cadacaratiene3vértices→3·20=60

Pero cada 5 caras comparten unmismo vértice, por lo que el número de vértices es60 : 5 =12.

c)C+V=A+2


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Taller de matemáticas

Página 238

Lee y reflexionaLas copas equidistantesCuandoestéscontusamigosocontufamiliaenunacomida,puedesplantearlesestejuegode mesa.

Tienescuatrocopascomoestas:

Lapreguntaes:¿cómocolocarestascopasdeformaquesuspiesequidistenentresí?Laso-lucióneslasiguiente:

•Siunimoslospiesdelascopascomosifueranpuntos,¿quépoliedroconocidoforman?

Lospiesdelascopasformanuntetraedro.

Experimenta y disfrutaEscalera de caracol¿Cómomedimoslalongituddeunaescaleradecaracol?

Imagínateuncilindroque laenvuelveyque lodesarrollamoscortándolocomovesen lafigura.

Deestaforma,esmásfácil,¿verdad?

Longitud de la circunferencia

Altu

ra

l= ( )πr2 h2 2+


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Página 239

Entrénate resolviendo problemas•¿Cuántoscuboscomponenestafigura?¿Cuántosnoves?

Lafiguralacomponen30cubosynoseven14.

•Sehaconstruidounprismarectodebaserectangularcon60cubosde1cmdearista.¿Cuáleslaalturadelprisma,sabiendoqueelperímetrodelabasemide14 cm?

Hay más de una solución.

Laalturaseráde5cm(basede3×4),6cm(basede2×5)o10cm(basede6×1).

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11 ESO aáia 2 - Intergranadaselectividad.intergranada.com/.../Anaya_17/Tema11.pdf11 ESO 2 E xperimenta y descubre cuerpos geométricos 2. Dibuja el cuerpo geométrico que se genera