28

CARACTERÍSTICAS GEOMETRICAS DE SUPERFICIES PLANAS

1 –CENTRÓIDES E BARICENTROS

1.1 – Introdução

Freqüentemente consideramos a força peso dos corpos como cargas concentradas

atuando num único ponto, quando na realidade o que se passa é que o peso é uma força

distribuída, isto é, cada pequena porção de matéria tem o seu próprio peso. Esta

simplificação pode ser feita se aplicarmos a força concentrada num ponto especial

denominado Baricentro. Este ponto deve ter uma distribuição de matéria homogênea em

torno de si. Terá importância também a determinação de um ponto de uma superfície e não

somente de um corpo tridimensional que terá uma distribuição homogênea de área em torno

de si. A este ponto especial chamaremos de Centróide (ou Centro de Gravidade – CG).

Demonstra-se que as coordenadas deste ponto serão obtidas, no caso geral,

tomando-se um elemento de área dA e partindo do centróide deste elemento (xel; yel)

fazemos a integração em toda a área A.

x

y

xel

yel

x

y

29

As coordenadas deste ponto serão:

∫∫ ⋅

=dA

dAxx el__

∫

∫ ⋅=

dA

dAyy el__

A integral ∫ dAx é conhecida como Momento Estático de 1a Ordem ou Momento

Estático de Área em relação ao eixo y. Analogamente, a integral ∫ dAy define o Momento

Estático de 1a Ordem ou Momento Estático de Área em relação ao eixo x.

1.2 – Determinação do Centróide

a – Por Integração

Escolha do elemento de área – pode-se escolher qualquer elemento de área para o

cálculo do CG. A resolução da maior parte dos problemas será possível com elemento de

área em forma de uma faixa retangular ou um setor circular. Ex.:

Retângulo

x

y

xel

b

h

dx

30

∫∫ ⋅

=dA

dAxx el__

xel = x e dA = y ⋅ dx

2b

x b1

2b

xh

2x

h

dxh

dxhx

dxy

dxyx

x__2

b0

b

0

2

b

0

b

0b

0

b

0__

=→⋅=⋅

⋅

=

⋅

⋅⋅

=

⋅

⋅⋅

=

∫

∫

∫

∫

∫∫ ⋅

=dA

dAyy el__

yel = y e dA = x ⋅ dy

2h

y h1

2h

yb

2y

b

dyb

dyby

dyx

dyxy

y__2

h0

h

0

2

h

0

h

0h

0

h

0__

=→⋅=⋅

⋅

=

⋅

⋅⋅

=

⋅

⋅⋅

=

∫

∫

∫

∫

Portanto, para o retângulo temos:

x

y

yel

b

h

dy

31

A partir destes resultados, toda vez que utilizarmos um elemento de área em forma

de faixa retangular colocaremos:

2b

xel = e 2b

xel =

b – Por Composição de Figuras

Muitas figuras são resultantes de soma ou diferença de outras figuras conhecidas e

para estas há um segundo método para se determinar o CG. Ex.:

x

y

b

h

h/2

h/2

b/2 b/2

CG

100mm

60mm

120mm

x

y

32

Notamos que a figura resultante pode ser obtida pela soma de um retângulo com um

triângulo ou pela diferença de um outro retângulo e um triângulo. Faremos a opção pela

soma.

Observamos que o CG de cada figura (retângulo e triângulo) já são conhecidos, pois

foram obtidos por integração. Contudo, Estas coordenadas devem ser tomadas em relação à

origem do sistema dado.

Como trata-se de soma de figuras conhecidas, as integrais dA xel∫ , dA yel∫ e

∫dA se tornam Ax__

∑ , Ay__

∑ e ∑A .

Figura __x

__y A Ax

__ Ay

__

Retângulo 60 110 12000 720000 1320000 Triângulo 40 40 3600 144000 144000

∑ 15600 864000 1464000

55,38mm15600864000

AAx

x

____

===∑∑ 93,85mm

156001464000

AAy

y

____

===∑∑

1.3 – Aplicações do Cálculo do CG

Teoremas de Pappus-Guldinus: para a aplicação dos teoremas torna-se necessário

definirmos:

Superfície de revolução: é uma superfície que pode ser gerada pela rotação de uma

curva plana em torno de um eixo dado.

Corpo de revolução: é um corpo que pode ser gerado pela rotação de uma área

plana em torno de um eixo fixo.

Curva plana (reta) Superfície de revolução – casca do cone

33

Teorema I: a área de uma superfície de revolução é igual ao comprimento da curva

geratriz, multiplicada pela distância percorrida pelo centróide da curva durante a geração da

superfície.

Teorema II: o volume de um corpo de revolução é igual à área geratriz, multiplicada

pela distância percorrida pelo centróide da área durante a geração do corpo.

1.4 – Centróide de um Corpo Tridimensional

Analogamente ao que foi feito para áreas planas, a determinação do Centróide de

um Corpo Tridimensional pode ser obtida pelas expressões:

∫∫ ⋅

=dV

dVxx__

∫∫ ⋅

=dV

dVyy__

e ∫∫ ⋅

=dVdVz

z__

Para corpos homogêneos, isto é, os que possuem peso específico constante, o

Centróide coincide com o Baricentro. Relembremos que Centróide é um ponto com

distribuição de volume homogênea em torno de si (do ponto de vista geométrico) e

Baricentro é um ponto com distribuição homogênea de massa em torno de si (ponto onde

deve situar a força peso, que sozinha substitui o peso distribuído de cada porção de

matéria).

A integral ∫ ⋅ dVx é conhecida como Momento Estático ou Momento de Primeira

Ordem de Volume em relação ao plano yz. Analogamente, ∫ ⋅ dVy com em relação a xz

e ∫ ⋅ dVz em relação a xy.

Área plana (triângulo) Corpo (cone)

34

No cálculo de centróide de áreas pudemos observar que figuras com eixo de

simetria possuíam o CG sobre este eixo. O mesmo se aplica para o CG de corpos

tridimensionais. Desta forma é imediato o CG de esferas, elipsóides, cubos,

paralelepípedos, etc.

Semelhante ao que foi feito para as áreas, há dois métodos para determinar o CG de

volumes: por Integração e Composição de Corpos.

35

Lista de Exercícios

1. Determinar, por integração direta, o CG das áreas abaixo:

a) Triângulo

b) Parábola do 2o grau

x

y

xel

b

h

dx

y

yel

x (x;y)

y = f(x) = k⋅x

CG

x

y

xel

b

h

dx y yel

x (x;y) y = f(x) = k⋅x2

CG

36

2. Determinar, por composição de figuras, o CG das áreas abaixo:

a)

b)

c)

120mm

100mm

60mm

x

y

100mm

75mm

12,50mm

12,50mm

x

y

200mm

300mm r = 100mm

x

y

37

d)

e)

f)

r1 = 50mm

r2 = 75mm

x

y

200mm

150mm

75mm

25mm

25mm

25mm 37,5mm

37,5mm

37,5mm

x

y

50mm

r2 = 100mm r1 = 75mm

α α x

y

38

g)

3. Um cone e um cilindro de mesmo raio a e altura h estão unidos como ilustrado abaixo.

Determine a posição do centróide do corpo.

r1 = 250mm

r2 = 200mm 100mm

x

y

h

h

a

39

2. Momento de Inércia de Figuras Planas

No desenvolvimento da expressão da tensão Normal no estudo da flexão, surgem as

integrais dSy2 ⋅∫ e dSz2 ⋅∫ chamadas de Momento Estático de 2a ordem ou

Momento de Inércia. Estudaremos o desenvolvimento e expressões finais dessas integrais

para as figuras mais comuns.

Momento de Inércia é uma grandeza que mede a resistência que uma determinada

área oferece quando solicitada ao giro em torno de um determinado eixo. Normalmente

representamos pelas letras I e J. Assim a resistência que a Figura 1 oferece ao giro em torno

do eixo z é representada por dSyJ 2z ⋅= ∫ e em torno do eixo y é representada por

dSzJ 2y ⋅= ∫ , onde dS é um elemento de área da Figura 5.1, z é a distância do elemento

de área ao eixo y e y é a distância do elemento de área ao eixo z.

Da mesma maneira que fizemos para os Momentos Estáticos de 1a ordem (cálculos

de Centro de Gravidade), desenvolveremos as integrais para as figuras comuns, retângulo,

triângulo, parábola e círculo. A escolha do elemento de área adequado facilita a resolução

das integrais. Deve-se utilizar um elemento de área que eqüidiste do eixo em torno do qual

se calcula o Momento de Inércia.

z

y z

y

O

dS S

40

• Retângulo

3bh

J3z

hdzhzdSzJ3

y

b

0

3b

0

22y

⋅=⇒⋅=⋅⋅=⋅= ∫ ∫

3hb

J3y

bdybydSyJ3

z

h

0

3h

0

22z

⋅=⇒⋅=⋅⋅=⋅= ∫ ∫

• Triângulo

z

y

z b

h

dz

dS = h⋅dz

z

y

y

b

h

dy dS = b⋅dy

( )hy-h

z b

zbh

hy⋅

=→⋅−=

b

h dy

y

y

z

dS = z⋅dy

( )hy-h

z b

zbh

hy⋅

=→⋅−=

b

h

y

dz

z

dS = y⋅dz

z

41

( )12

hbJ

4hyb

3yb

dyh

yhbydSyJ

3

z

h

0

43h

0

22z

⋅=⇒

⋅−

⋅=⋅

−⋅=⋅= ∫∫

12bh

J 4b

zh3zh

dzzbh

hzdSzJ3

y

b

0

43b

0

22y

⋅=⇒

⋅−

⋅=⋅

−⋅=⋅= ∫∫

2.1. Teorema dos Eixos Paralelos

Freqüentemente necessitamos do momento de inércia de uma área em relação a um

eixo qualquer (este eixo será qualquer para a figura em si, mas especial para a seção da qual

a referida figura faz parte). para evitar o cálculo constante de integrais, desenvolveremos

uma expressão para o cálculo do momento de inércia em relação a este eixo qualquer a

partir do valor do momento de inércia em relação a outro eixo, já conhecido.

( ) dSd'ydSyJ22

AA ⋅+=⋅= ∫ ∫

∫∫ ∫ ⋅+⋅⋅+⋅= dSddS'yd2dS'yJ 22AA

A integral ∫ ⋅dS'y 2 já é conhecida. Como o eixo BB é o horizontal que contém o

CG, esta integral é chamada Jz.

A integral ∫ ⋅dS'y é igual a zero pois refere-se ao CG.

A integral ∫dS resulta a área S.

Portanto:

SdJJ 2BBAA ⋅+=

CG

A A

B B

dS

d

y '

y

42

Sendo d a distância de eixo a eixo.

Para eixos horizontais teremos:

SdJJ 2zz CG

⋅+=

SdJJ 2yy CG

⋅+=

• Retângulo

12

43hb

323

2 hbJhb

hJSdJJ

CGCGCG zzzz⋅

=⇒⋅⋅+=⋅

→⋅+=

12

43

3232 bh

Jhbb

Jbh

SdJJCGCGCG yzyy

⋅=⇒⋅⋅+=

⋅→⋅+=

• Tritângulo

h

b/2 b/2

b

CG

z

y

h h/2

h/2

b

CG

z

y

h

b h/3

2h/3

CG z

y

43

36

2912hb

323

2 hbJ

hbhJSdJJ

CGCGCG zzzz⋅

=⇒⋅

⋅+=⋅

→⋅+=

36

2912

3232 bh

Jhbb

Jbh

SdJJCGCGCG yzyy

⋅=⇒

⋅⋅+=

⋅→⋅+=

3. Momento Polar de Inércia

No estudo da torção em peças cilíndricas terá grande importância a integral

∫ ⋅dSr 2, que é chamada de Momento Polar de Inércia. É utilizada quando houver

solicitação em torno de um eixo (na seção estudada teremos um ponto = Pólo).

Temos que:

( ) dSyzdSr JJ 222p0 ⋅+=⋅== ∫∫

dSydSz JJ 22p0 ⋅+⋅== ∫∫

h

b

b/3 2b/3

CG z

y

dS

y

y

z

z

r

44

yzp0 JJ JJ +==

A terceira figura importante para a qual precisamos dos valores dos Momentos de

Inércia é o Círculo. A dedução mais simples é a de J0.

dSu JJ 2p0 ⋅== ∫

duu2πdS ⋅⋅=

duu2πuJr

0

20 ⋅⋅⋅= ∫

duu2πJr

0

30 ⋅⋅= ∫

2r π

JJ4

p0 ==

Em função da simetria, podemos concluir que para o círculo os valores de Jz e Jy são

iguais. Como o ponto O é o encontro dos eixos z e y, teremos:

yz0 JJJ +=

Jz2JJ2rπ

yz

4

⋅=+=⋅

(pois Jz = Jy)

Portanto, para o círculo teremos:

4r π

J4

z = 4r π

J4

y = 2r π

JJ4

p0 ==

Ou, escrevendo em função do diâmetro:

r

u

du

z

y

45

64d π

J4

z = 64d π

J4

y = 32d π

JJ4

p0 ==

Figuras Circulares

222 ryz =+

θsen ry ⋅=

θ cosrz ⋅=

dyz2dS ⋅⋅=

dθθ cosrdy ⋅⋅=

dyz2y dSy J 22z ⋅⋅⋅=⋅= ∫∫

∫ ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅= dθθ cosrθ cosr2θsenr J 22z

dθθcos θsen r2 J 2--

--

24z ⋅⋅⋅⋅= ∫ ⇒ dθθcos θsen r2 J 2

--

--

24z ⋅⋅⋅⋅= ∫

−−

−−

−⋅⋅=32

sen4θ8θ

r2 J 4z

Para descrever o círculo θ deve variar de 2π

− a 2π

+ .

−−⋅⋅=16π

16π

r2 J 4z ⇒

4r π

J4

z =

Para o semi-círculo θ deve variar de θ a 2π

+ . Então 8r π

J4

z =

r

z

y

dS (z ; y)

θ

46

Para o quarto de círculo θ deve variar de 0 a 2π

+ e o elemento de área deve

ser dyzdS ⋅= . Então 16

r πJ

4

z =

Resumindo teremos:

64d π

4r π

JJ44

yz ===

128

d π8r π

JJ44

yz ===

256

d π16

r πJJ

44

yz ===

3.1. Teorema dos Eixos Paralelos

• Círculo: os valores obtidos já são em relação aos eixos que passam pelo Centro de

Gravidade.

• Semi-Círculo:

SdJJ 2CGzz ⋅+=

2r π

π3r4

J8r π 22

CGz

4

⋅

⋅+=

z

y

z

y

z

y

47

44CGz r0,1097569

π98

8π

rJ ⋅=

−=

• Quarto de Círculo:

SdJJ 2CGzz ⋅+=

4r π

π3r4

J16

r π 22

CGz

4

⋅

⋅+=

44CGz r0,0548784

π94

16π

rJ ⋅=

−=

4. Produto de Inércia

É definido com a integral ∫ ⋅⋅ dSyz obtida multiplicando-se cada elemento de

área dS de uma área S por suas coordenadas z e y em relação aos eixos coordenados z e y e

integrando sobre a área.

Ao contrário dos Momentos de Inércia Jz e Jy, o Produto de Inércia pode ser

positivo, negativo ou nulo e não tem significado físico. Será útil mais tarde para a

determinação dos próprios Momentos de Inércia. É indicado pela abreviação Jzy.

Calculando ∫ ⋅⋅= dSyzJzy para as figuras mais comuns temos:

z

dS

y

y

z

S

48

• Retângulo:

2b

z = yy = dybdS ⋅=

∫ ⋅⋅= dSyzJzy

h

0

22h

0zy 2

y2b

dyby2b

J

⋅=⋅⋅⋅= ∫

4

hbJ

22

zy⋅

=

• Triângulo:

Há quatro posições para os triângulos. Desenvolveremos uma delas.

zz = 2y

y =

dSyz21

dSy2y

zdSyzJb

0

b

0

2zy ⋅⋅=⋅⋅⋅=⋅⋅= ∫ ∫ ∫

dz bz

b2z

z2h

dz bz

b2z

-1hz21

Jb

02

322

2

22

b

0zy ∫∫

+−=

+⋅=

+−=

+−=

4b

32b

2b

2h

4bb

3b2b

2b

2h

J2222

2

4322

zy

Z

y

y

b

h

CG

z

−=+⋅−=bz

1hh zbh

y

b

h

y

dz

z

dS = y⋅dz

z

49

( )

+=

12b 38-6

2h

J22

zy ⇒ 24

hbJ

22

zy⋅

=

4.1. Teorema dos Eixos Paralelos

De forma semelhante ao que fizemos com os Momentos de Inércia teremos:

2d z'z +=

1d 'y += y

∫ ⋅⋅= dSyzJzy

( ) ( )∫ ⋅+⋅+= dSdy'dz'J 12zy

∫∫∫∫ ⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅= dSy'z'dSy'ddSz'ddSddJ 2121zy

SdJJ 21CGzyzy ⋅⋅+= d

O z

y

dS

CG

S

z

y

d1

d2

y’

z’

z

y

50

Aplicando para cada uma das figuras principais teremos:

• Retângulo:

SdJJ 21CGzyzy ⋅⋅+= d

hb2h

2b

J4hb

CGzy

22

⋅⋅⋅+=⋅

0=CGzyJ

• Triângulo:

SdJJ 21CGzyzy ⋅⋅+= d ⇒ 2

hb3h

3b

J24

hbCGzy

22 ⋅⋅⋅+=

⋅

72

22 hbJ CGzy

⋅−=

Z

y

h/2

b

h CG

b/2

zCG

yCG

b

h

y

z

zCG CG

yCG

h/3

b/3

51

5 – Momentos de inércia de uma área em relação a eixos inclinados

Muitas vezes é necessário calcular os momentos e o produto de inércia Ix’, Iy’ e Ix’y’ para

uma área em relação a um par de eixos u e v inclinados em relação aos eixos x e y , sendo

os valores de θ , Ix, Iy e Ixy conhecidos. Para isso utilizaremos as equações de transformação

que relacionam as coordenadas x, y e x’ e y’.

)sen()cos('

)sen()cos('

θθθθ

xyy

yxx

−=

+=

Sabendo-se que :

∫∫∫

=

=

=

dAyxI

dAxI

dAyI

yx

y

x

''

'

'

''

2'

2'

Substituindo x’ e y’ na expressão acima, tem-se:

dAyxxyI

dAyxI

dAxyI

yx

y

x

))sen()cos(())sen()cos((

))sen()cos((

))sen()cos((

''

2'

2'

θθθθ

θθ

θθ

+−=

+=

−=

∫∫∫

Expandindo cada expressão e lembrando que

dA

A

x'

y'

x

y

θ

θ

x

x'

y'

y

θ

52

∫∫∫

=

=

=

xydAI

dAxI

dAyI

xy

y

x

2

2

obtem-se

)sen(coscossencossen

cossen2cossen

cossen2sencos

22''

22'

22'

θθθθθθ

θθθθ

θθθθ

−+−=

++=

−+=

xyyxyx

xyyxy

xyyxx

IIII

IIII

IIII

Simplificando estas equações utilizando as identidades trigonométricas

θθθ

θθθ22 sencos2cos

cossen22sen

−=

=

resulta:

θθ

θθ

θθ

2cos2sen2

2sen2cos22

2sen2cos22

''

'

'

xyyx

yx

xyyxyx

y

xyyxyx

x

III

I

IIIII

I

IIIII

I

+−

=

+−

−+

=

−−

++

=

(1)

Se a primeira e a segunda equações forem somadas, pode-se mostrar que o momento polar

de inércia em relação ao eixo z que passa pelo ponto O é independente da orientação dos

eixo x’ e y’, ou seja:

yxyx IIIII +=+= ''0

Momentos principais de inércia

As equações (1) mostram que Ix’, Iy’ e Ix’y’ dependem do ângulo de inclinação V dos

eixos x’e y’. Deseja-se determinar agora a orientação desses eixos para os quais os

momentos de inércia da área, Ix’ e Iy’ são extremos, isto é, máximo e mínimo. Este par de

eixos em particular é chamado de eixos principais de inércia e os correspondentes

momentos de inércia em relação a eles são os chamados momentos principais de inércia .

Em geral existe um par de eixos para cada origem O escolhida. Nos projetos estruturais e

mecânicos de um elemento, a origem O é geralmente localizada no centróide da área de

seção reta.

53

O ângulo θ=θp que define a orientação dos eixos principais da área pode ser obtido por

derivação da primeira das equações (1) em relação a θ , impondo-se resultado nulo.

02cos22sen2

2' =−−

−= θθθ xy

yxx III

ddI

Assim, em θ=θp

)(22tan

yx

xyp II

I

−−=θ (2)

Essa equação possui duas raízes θp1 e θp2 defasadas de 90 º e estabelecem a inclinação dos

eixos principais. De forma a substitui-las nas equações (1) devemos inicialmente obter o

seno e o cosseno de 2 θp1 e 2θp2 o que pode ser feito pela relação (2) em associação com a

identidade trigonométrica 12cos2sen 22 =+ pp θθ . Obtem-se dessa forma:

Para 1pθ

221

221

2

22cos

2

2sen

xyyx

yx

p

xyyx

xyp

III

II

III

I

+

−

−

=

+

−

−=

θ

θ

Para 2pθ

222

222

2

22cos

2

2sen

xyyx

yx

p

xyyx

xyp

III

II

III

I

+

−

−−

=

+

−=

θ

θ

Substituindo esses dois pares de relações trigonométricas nas equações (1) e simplificando

tem-se:

54

0

22

12

22

21

minmax

=

+

−±

+==

I

IIIII

II xyyxyx

55

Lista de Exercícios

1. Calcular os valores de Jz e Jy em relação ao sistema de eixos que passa pelo CG da

seção.

a)

5 5 3

3

18 (cm)

y

x

56

b)

2. Determine o produto de inércia (Jzy) para as figuras abaixo.

a)

5 5

5

3

8 8

9

18

z

y

(cm)

CG

h

b

y

h - y z dz

y

z

57

b)

c)

3. Determine o valor de CGzyJ para as figuras abaixo.

a)

CG h

b

y

h - y

z dz

y

z

CG h

b

y

h - y

z dz

y

z

CG h

b

2b/3

y

z h/3

zCG

yCG

58

b)

c)

CG h

b

2b/3

y

z

2h/3

zCG

yCG

CG h

b

2h/3

zCG

y

z

b/3

yCG