1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf

7/21/2019 1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf

1/42183

10 - Analiza reelelor de curent continuu

01. Ce este analiza unei reele electrice

Unele configuraii de reea (circuite) nu pot fi rezolvate prin reducerea conform regulilor circuitelor serie -

paralel datorit existenei necunoscutelor multiple.

Pentru rezolvarea acestor tipuri de probleme se pot folosi sistemele de ecuaii.

General vorbind, analiza reelei este o metod matematic folosit pentru analiza unui circuit electric

Imposibilitatea reducerii circuitului la o combinaie serie-paralel

. n

multe cazuri, vom ntlni circuite ce conin surse de putere multiple sau configuraii ale componentelor ce nu se pot

simplifica prin metodele de analiz serie-paralel. n aceste cazuri este necesar utilizarea altor mijloace. Acest

capitol prezint cteva tehnici folositoare pentru analiza unor astfel de circuite complexe.

Pentru ilustrarea faptului c un circuit relativ simplu poate fi imposibil de redus n sub-circuite serie sau

paralel, s luam urmtorul circuit serie-paralel ca i exemplu:

Pentru analiza circuitului alturat, paii sunt urmtorii:

gsirea rezistenei echivalente pentru R2i R3n paralel;

adugarea rezistorului R1 n serie pentru aflarea

rezistenei echivalente totale; cunoscnd tensiunea

bateriei B1

Rezistorii R

i rezistena total a circuitului, putem afla

curentul total folosind legea lui Ohm (I = E / R);

folosirea valorii curentului pentru calcularea cderilor de

tensiune din circuit. O procedur destul de simpl pn la urma.

Totui, dac adugm o singur baterie n circuit, problema analizei circuitului se complic:

2i R3nu mai sunt conectai n paralel

unul cu cellalt, pentru c bateria B 2a fost introdus

n ramura de circuit a lui R3

.


2/42184

Dac suntem i mai ateni, putem observa c n acest circuit nu exist doi rezistori legai direct n serie sau

paralel

Analiza unei puni dezechilibrate

unul cu cellalt. Aceasta reprezint de fapt dificultatea problemei: n analiza circuitelor serie-paralel, primul

pas era identificarea rezistorilor n serie sau n paralel, reducndu-i la o rezisten echivalent la urmtorul pas. Dar

dac niciun rezistor nu este legat n serie sau paralel cu un altul, ce putem face?

Este evident faptul c reducerea acestui circuit relativ simplu, cu doar trei rezistori, este imposibil de

realizat prin metoda analizei circuitelor serie-paralel. Totui, acesta nu este singurul tip de circuit ce sfideaz

analiza serie-paralel.

n acest caz avem un circuit n punte; pentru simplitatea exemplului

presupunem c nu este echilibrat (raportul R1/R4nu este egal cu raportul

R2/R5). Dac puntea ar fi echilibrat, curentul prin R3 ar fi zero, prin

urmare circuitul s-ar putea reduce la o combinaie serie-paralel (R1--R4//R2--R5

).

Din pcate, orice curent prin R3 face imposibil aplicarea analizei serie-paralel. Rezistorul R1 nu este n

serie cu R4datorit existenei unei alte ci pentru curgerea electronilor, prin R3. Dar nici R2nu este n serie cu R5

din aceleai motive. De asemenea, R1nu este n paralel cu R2pentru c existena rezistorului R3separ terminalii

celor doi rezistori n partea de jos. Nici R4nu este n paralel cu R5

Imposibilitatea aflrii tuturor necunoscutelor implicate

.

Dei s-ar putea s nu fie evident n acest moment, problema o reprezint existena prea multor variabile

necunoscute

Utilizarea sistemelor de ecuaii

. ntr-o combinaie serie-paralel cel puin, exista o metod de aflare a cderii de tensiune i a rezistenei

totale, calcularea curentului fiind apoi posibil utiliznd acest valori. n cazul circuitelor de mai sus, exist mai mult

de o singur variabil (parametru) necunoscut n cea mai simpl configuraie a circuitului posibil.

n cazul unui circuit cu dou baterii, este imposibil s ajungem la valoarea rezistenei totale, datorit

existenei a dou surse de putere ce furnizeaz tensiune i curent (am avea nevoie de dou rezistene totalepentru

a continua cu aplicarea legii lui Ohm). n cazul punii dezechilibrate, exist o rezisten total la bornele bateriei,

dar curentul total se mparte n proporii necunoscute n cadrul punii, astfel c nu putem aplica legea lui Ohm

pentru aflarea celorlalte valori din circuit.


3/42185

Prin urmare, ce putem face n astfel de cazuri? Un prim rspuns este utilizarea unui proces matematic

cunoscut sub numele de ecuaii simultane sau sisteme de ecuaii. ntr-un scenariu cu o singur necunoscut, este

suficient existen unei singure relaii pentru aflarea necunoscutei. Totui, atunci cnd dorim o rezolvare pentru

mai multe necunoscute simultan, avem nevoie de un numr de ecuaii egal cu numrul necunoscutelor

02. Metoda ramurii de curent

. Rezolvarea

unor astfel de ecuaii se poate dovedi destul de dificil n unele cazuri. Din fericire, n cele ce urmeaz, vom

prezenta unele metode de analiz a circuitelor pentru evitatea folosirii acestor sisteme de ecuaii.

Paii pentru aplicarea metodei ramurii de curent: Alegerea unui nod i a direciilor curenilor (aleator)

Scrierea ecuaiei legii lui Kirchhoff pentru curent pentru acel nod Notarea polaritilor cderilor de tensiune n funcie de direcia aleas a curenilor

Scrierea ecuaiilor legii lui Kirchhoff pentru fiecare bucl din circuit, nlocuind cderea de tensiune de pe

fiecare rezistor (E) cu produsul IR n fiecare ecuaie

Aflarea curenilor necunoscui de pe fiecare ramur (rezolvarea sistemului de ecuaii)

Dac oricare dintre soluii este negativ, atunci direcia pe care am intuit-o la punctul 1 este greit!

Calcularea cderilor de tensiune la bornele tuturor rezistorilor (E = IR)

Definiie

Folosind aceasta metod, presupunem i indicm un sens al curenilor prin circuit i scriem apoi ecuaiile ce

descriu relaiile dintre acetia folosind legile lui Ohm i Kirchhoff. n momentul n care avem cte o ecuaie pentru

fiecare curent necunoscut, putem rezolva sistemul de ecuaii pentru determinarea tuturor curenilor i prin urmare a

tuturor cderilor de tensiune din reea.

Exemplu

S folosim urmtorul circuit pentru ilustrarea

metodei.


4/42186

Alegerea nodului de referin

Primul pas este alegerea unui nod din circuit (loc de

ntlnire a cel puin trei ramuri) ca i punct de

referin pentru curenii necunoscui.

Alegerea aleatoare a direciei curenilor prin nodul de referin

Ghicim apoi direcia curenilor din acest nod,

notnd curenii cu I1, I2 i I3. Nu este neaprat ca

direciile acestea s fie cele corecte (reale), n acest

moment acestea sunt pur speculative. Vom tii dac

intuiia noastr a fost greit n momentul rezolvrii

ecuaiilor matematice pentru cureni; orice direcie

greit va aprea n ecuaii cu semnul minus

Aplicarea legii lui Kirchhoff pentru curent

.

Legea lui Kirchhoff pentru curenii(LKC) spune c suma algebric a tuturor curenilor ce intr i ies dintr-

un nod de reea trebuie s fie egal cu zero, prin urmare putem introduce curenii I 1, I 2i I 3

Notarea polaritilor tuturor cderilor de tensiune din circuit

ntr-o singur ecuaie.

Vom nota toi curenii ce intr ntr-un nod cu semnul pozitiv i toi curenii ce ies dintr-un nod cu semnul negativ

(aceasta este doar o convenie; inversnd semnele, rezultatul final va fi exact acelai):

Pasul urmtor este notarea tuturor semnelor

cderilor de tensiune n funcie de sensul presupus

al curenilor. inei minte c partea din amonte a

rezistorului va fi tot timpul negativ, iar partea din

aval tot timpul pozitiv ntruct electronii posed

o sarcin negativ.


5/42187

Desigur, polaritatea bateriilor rmne aceeai. Nu este nicio problem dac polaritatea rezistorului nu se

asorteaz cu cea a bateriei att timp ct polaritatea rezistorului este bazat pe direcia presupus de curgere a

curentului prin acesta. Toate calculele efectuate de acum ncolo se vor baza pe direcia presupus a curenilor prin

nodul ales.

Aplicarea legii lui Kirchhoff pentru tensiune

Legea lui Kirchhoff pentru tensiune (LKU) spune c suma algebric atuturor cderilor de tensiune dintr-o

bucl de reea trebuie s fie egal cu zero

Parcurgerea buclei din stnga

. Pentru a obine ecuaiile folosind LKU, trebuie s introducem valorile

cderilor de tensiune ca i cum le-am fi msurat cu un voltmetru real.

Putem ncepe parcurgerea buclei din orice punct dorim; n cazul de faa ncepem de la bornele bateriei i

continum n sens invers acelor de ceasornic pn ajungem n punctul de unde am plecat:

Dup ce am parcurs ntreaga bucl din stnga, adunm toate aceste valori ale tensiunii pentru a forma o

ecuaie:


6/42188

Evident, nu cunoatem nc valoarea cderilor de tensiune la bornele rezistorilor R1i R2aa c nuputem

introduce valorile lor reale n ecuaie n acest moment.Totui, timfaptul c suma tuturor acestor cderi de tensiune

trebuie s fie egal cu zero, prin urmare ecuaia este adevrat i o putem folosi mai departe n analiza noastr.

Putem dezvolta ecuaia nlocuind tensiunile necunoscute cu produsul dintre curenii necunoscui, I1 i I2

Parcurgerea buclei din dreapta

, ivaloarea rezistorilor prin care acetia trec, folosind legea lui Ohm (E = IR). Eliminm de asemenea i valoarea 0 din

sum:

Din moment ce cunoatem valorile tuturor rezistorilor n ohmi, putem nlocui aceste valori n ecuaie pentru

a ne uura calculele:

Motivul pentru care am redus ecuaia n acest fel (pn la urm, avem tot dou necunoscute) este folosirea

acelorai variabile necunoscute ce le-am folosit i n ecuaia LKC de mai sus>. Acest pas este necesar pentru aflarea

soluiei sistemului final de ecuaii.


7/42189

Aplicnd aceeai pai i pentru bucla din dreapta, obinem o alt ecuaie:

Cunoscnd faptul c tensiunea de pe fiecare rezistor poate fi exprimat ca i produsul dintre curent i

rezistena

Formarea i rezolvarea sistemului de ecuaii

fiecarrui rezistor, putem rescrie ecuaia de mai sus astfel:

n acest moment avem un sistem matematic format din trei ecuaii(o ecuaie LKC i dou ecuaii LKT) i

trei necunoscute:

Putem rescrie ecuaiile de mai sus trecnd n dreapta valorile cunoscute (constantele ecuaiilor) i lsnd n

partea stng valorile necunoscute(I1, I2i I3), trecnd explicit toi coeficienii pentru claritate. Putem oberva c

toate cele trei variabile sunt prezente n toate cele trei ecuaii:

Rezolvnd ecuaiile de mai sus, ajungem la soluia ecuaiilor

Revenirea la circuitul iniial

, reprezentat prin cele trei valori ale

curenilor:


8/42190

Prin urmare, valoarea curentului I1este de 5 A,

I2de 4 A iar I3de -1 A. Dar ce nseamn curent

negativ? n acest caz, nseamn c intuiia

noastr cu privire la direcia curentului I3a fost

greit. Revenind la circuitul iniial, putem

reface schema acestuia schimbnd direcia

curentului I3 i schimbnd n acelai timp i

polaritatea cderii de tensiune de pe rezistorul R3.

Observm faptul c, prin bateria B2curentul circul n sens invers datorit tensiunii mai ridicate a bateriei

B1. n ciuda faptului c polaritatea bateriei ncerc s mping electronii prin acea ramur de circuit, electronii sunt

de fapt forai s se deplaseze n sens contrar datorit tensiunii superioare a bateriei B 1. nseamn acest lucru c

ntotdeauna bateria mai puternic va ctiga iar curentul prin bateria mai slab va fi forat n sens contrar? Nu

neaprat. Acest lucru depinde de fapt att de diferena de tensiune dintre cele dou baterii ct i de valoarea

rezistorilor din circuit. Singura metod sigur de aflare a comportamentului circuitului este analiza matematic a

acestuia

Aflarea cderilor de tensiune pe toate componentele

.

Cunoscnd acum valoarea tuturor curenilor din circuit, putem calcula cderile de tensiune la bornele

tuturor rezistorilor folosind legea lui Ohm (E = IR):

03. Metoda buclei de curentPaii pentru aplicarea metodei buclei de curent:

Trasarea buclelor de curent n circuit astfel nct s fie cuprinse toate componentele

Notarea polaritii cderilor de tensiune de pe rezistori n funcie de direciile curenilor de bucla alei

Scrierea ecuaiilor legii lui Kirchhoff pentru tensiune n cazul fiecrei bucle din circuit, nlocuind tensiunea

(E) cu produsul dintre curent i rezisten (IR) pentru fiecare rezistor din ecuaie. Acolo unde doi cureni de


9/42191

bucl se intersecteaz unul cu cellalt printr-un component, curentul se exprim ca i sum algebric dintre

cei doi cureni (ex. I1+ I2) dac au aceeai direcie prin component; n caz contrar, curentul se va exprima

ca i diferen (I1- I2

Rezolvare sistemului de ecuaii rezultat i aflarea curenilor de bucl

)

Dac oricare dintre soluii este negativ, nseamn c direcia iniial presupus pentru curent este greit!

Adunarea algebric a curenilor de bucl pentru aflarea curenilor prin componentele prin care trec mai

muli cureni de bucl

Aflarea cderilor de tensiune pe toi rezistorii (E = IR)

Definiie

Metoda buclei de curent sau metoda ochiului de curent

Exemplu

este asemntoare metodei ramurii de curent prin

faptul c folosete un sistem de ecuaii descris de legea lui Kirchhoff pentru tensiune i legea lui Ohm pentru

determinarea curenilor necunoscui din circuit. Difer de metoda ramurii de curent prin faptul c nu utilizeazlegea lui Kirchhoff pentru curent i de obicei este nevoie de mai puine variabile i ecuaii pentru rezolvare, ceea ce

reprezint un avantaj.

S vedem cum funcioneaz aceast metod

folosind acelai circuit.

Trasarea buclelor din circuit

Primul pas n metoda buclei este identificarea

buclelor din circuit astfel nct s cuprindem toate

componentele. n circuitul de mai sus, prima bucla

va fi cea format de B1, R1, i R2, iar cea de a doua

din B2, R2, i R3. Partea cea mai ciudat a acestei

metode este imaginarea circulaiei curenilor prin

fiecare dintre aceste bucle

.


10/42192

Alegerea aleatoare a direciei curenilor din circuit

Alegerea direciei fiecrui curent este complet arbitrar precum n cazul metodei ramurii de curent, dar

ecuaiile rezultate sunt mai uor de rezolvat dac avem aceeai direcie prin componentele aflate la intersecia celor

dou bucleformate (putem observa faptul c att curentul I 1ct i I2trec prin rezistorul R2

Notarea polaritilor tuturor cderilor de tensiune din circuit

de jos n sus n locul n

care se intersecteaz). Dac direcia curentului presupus iniial se dovedete a fi greit, acest lucru se va observan soluia final prin faptul c valoarea va fi negativ.

Urmtorul pas este notarea tuturor polaritilor

cderilor de tensiune la bornele rezistorilor n funcie

de direcia curenilor indicat de bucle

Aplicarea legii lui Kirchhoff pentru tensiune

. inei minte

c partea din amonte a rezistorului va fi tot timpul

negativ, iar partea din aval tot timpul pozitiv

ntruct electronii posed o sarcin negativ.

Polaritile bateriei depind desigur deorientarea lor

n diagram i pot s corespund sau s nu corespund polaritilor rezistorilor.

Utiliznd legea lui Kirchhoff pentru tensiune, putem parcurge fiecare dintre cele dou bucle, genernd

ecuaii n funcie de cderile de tensiune ale componentelor i de polariti. La fel ca n cazul metodei ramurii de

curent, vom desemna cderea de tensiune a unui rezistor ca produsul dintre rezistena acestuia (n ohmi) i curentul

buclei respective (I1sau I2n acest caz), a crei valoare nu este cunoscut n acest moment.

Cnd cei doi cureni se intersecteaz (cazul rezistenei R2), vom scrie acel termen al ecuaiei ca produsul

dintre cderea de tensiune pe acel component i suma celor doi cureni ai buclelor (ER2*(I1+ I2

Parcurgerea buclei din stnga

)).

ncepem cu bucla din stnga i parcurgem ntregul ochi de reea n direcia invers acelor de ceasornic

(direcia este pur arbitrar), obinnd urmtoarea ecuaie:

Observai faptul cprin rezistorul R2curentul care trece este de fapt suma curenilor celor dou bucle( I1i

I2). Acest lucru se datoreaz faptului c ambii cureni trec prin R2n aceeai direcie. Simplificnd ecuaia obinem:


11/42193

Parcurgerea buclei din dreapta

n acest moment avem o singur ecuaie cu dou necunoscute. Acest lucru nseamn ca mai avem nevoie

de nc o ecuaiepentru a determina curenii buclelor. Aceast ecuaie o obinem prin parcurgerea buclei din

dreapta a circuitului, i obinem:

Simplificnd ecuaia

Rezolvarea sistemului de ecuaii i determinarea curenilor de bucl

cum am fcut i nainte, obinem:

Avnd dou ecuaii putem folosi metode matematice pentru determinarea necunoscutelor I1i I2


:

Dar, atenie, aceste valori ale curenilor sunt

valabile pentru bucle i nu sunt curenii efectivi ai

ramurilor

. S ne ntoarcem la circuitul iniial pentrua vedea care este relaia dintre ei.

Rezultatul de -1 A pentru curentul buclei I2

nseamn c direcia indicat iniial (aleator) este

incorect. n realitate, direcia curentului I2

este

contrar direciei iniiale (observai modificarea

sensului buclei pe desen!).


12/42194

Determinarea valorii curenilor i a cderilor de tensiune prin fiecare component

Aceast modificare a direciei curentului fa de ceea ce am presupus iniial va modifica polaritatea

cderilor de tensiune pe rezistorii R2i R3datorit curentului I2. De aici putem deduce curentul prin R1, 5 A i

cderea de tensiune (I*R), 20 V. De asemenea, curentul prin R3este 1 A, cu o cdere de tensiune de 1 V. Dar ce se

ntmpl n cazul rezistorului R2

Curentul de bucl I?

1trece prin R2de jos n sus, iar

curentul I2 de sus n jos. Pentru a determina

curentul real prin R2, trebuie s observm foarte

atent interaciunea dintre curenii celor dou bucle,

I1 i I2

Din moment ce I

(n acest caz sunt n opoziie); valoarea

final va fi suma algebric a celor doi.

1are 5 A ntr-o direcie i I21 A n direcia opus, curentul realprin R2este diferenacelor doi, adic 4 A i trece prin R2de jos n sus. Cu un curent de 4 A prin R2

Avantajul utilizrii metodei buclei de curent

rezult o cdere de tensiune de 8 V.

Principalul avantaj al metodei buclei de curent

este c n general soluia unei reele mari poate

fi gsit cu relativ puine ecuaii i puine

necunoscute

.

Pentru circuitul analizat de noi a fost nevoie de 3 ecuaii folosind metoda ramurii de curent i doar dou

folosind metoda buclei de curent. Acest avantaj crete semnificativ atunci cnd reeaua crete n complexitate.

Pentru rezolvarea acestui circuit folosind

metoda ramurii de curent, am avea nevoie de 5

variabile pentru fiecare curent posibil din

circuit (de la I1 la I5

) i prin urmare 5 ecuaii

pentru aflarea soluiei, dou pentru LKC i trei

pentru LKT:


13/42195

n schimb, folosind metoda buclei de curent

avem doar trei necunoscute

i prin urmare doar

trei ecuaii de rezolvat pentru rezolvarea reelei,

ceea ce constituie un avantaj.

04. Metoda nodului de tensiune

Paii pentru aplicarea metodei ramurii de curent: nlocuirea surselor de tensiune conectate n serie cu un rezistor cu o surs de curent conectat n paralel cu

un rezistor. Cele dou reprezentri sunt echivalente

Schimbarea valorilor rezistorilor cu conductane

Selectarea unui nod de referin (E0

Atribuirea de tensiuni necunoscute (E

)

1)(E2) ... (En

Scrierea legii lui Kirchhoff pentru curent pentru fiecare din nodurile 1, 2, ... N. Coeficientul pozitiv al

primei tensiuni din prima ecuaie reprezint suma conductanelor legate la acel nod. Coeficientul pozitiv al

celei de a doua tensiuni, din ecuaia a doua, este suma conductanelor conectate la acel nod. Acelai lucru

este valabil i pentru coeficientul celei de a treia tensiuni din ecuaia a treia, precum i pentru toate celelalte

ecuaii. Toi coeficienii se regsesc pe diagonala principal

) nodurilor rmase

Toi ceilali coeficieni ale celorlalte ecuaii sunt negativi i reprezint conductanele dintre noduri. n prima

ecuaie, al doilea coeficient reprezint conductana dintre nodul 1 i nodul 2; coeficientul al treilea


14/42196

reprezint conductana dintre nodul 1 i nodul 3. Acelai lucru este valabil pentru toi ceilali coeficieni ai

tuturor ecuaiilor

Termenii dinpartea dreapta a ecuaiei reprezint sursele de curent conectate la nodurile respective

Se rezolv sistemul de ecuaii pentru aflarea tensiunilor de nod necunoscute

Definiie

Metoda nodului de tensiune pentru analiza circuitelor determin tensiunea nodurilor n funcie de ecuaiile

legii lui Kirchhoff pentru curent (LKC). Aceast analiz arat puin ciudat pentru c necesit nlocuirea surselor de

tensiune cu surse echivalente de curent. De asemenea, valorile rezistorilor n ohmi sunt nlocuite prin conductanele

echivalente n Siemens, G = 1/R. Unitatea de msur pentru conductan este Siemens-ul, S=-1

Alegerea punctului de referin

.

ncepem cu un circuit ce conine surse de

tensiune convenionale. Un punct comun E0este

ales ca i punct de referin. Tensiunile pentru

celelalte noduri, E1 i E2

nlocuirea surselor de tensiune cu surse de curent

sunt calculate n

funcie de acest punct.

O surs de tensiune n serie cu o

rezisten trebuie s fie nlocuit de

o surs de curent echivalent n

paralel cu o rezisten

. Circuitul

modificat arat astfel.

Scrierea ecuaiilor legii lui Kirchhoff pentru curent

Vom scrie apoi ecuaiile LKC pentru fiecare nod. Partea dreapt a ecuaiei reprezint valoarea sursei de

curent ce alimenteaz nodul respectiv:


15/42197

nlocuirea rezistenelor cu conductane

nlocuim rezistena rezistorilor n ohmi cu conductana acestora n Siemens:

Aflarea conductanelor echivalente

Conductanele paralele (rezistorii) pot fi

combinai prin adunarea conductanelor. Dei nu

vom redesena circuitul, putem deja aplica

metoda nodului de tensiune:

Formarea sistemului de ecuaii

Pentru dezvoltarea unei metode generale, vom scrie ecuaiile LKC n funcie de tensiunile necunoscute ale

nodurilor 1 i 2, V1i V2de aceast dat.


16/42198

Pentru figura de mai sus, ecuaiile arat astfel:

Suma conductanelor conectate la primul nod este coeficientul pozitiv al primei tensiuni din ecuaia (1).

Suma conductanelor conectate la cel de al doilea nod este coeficientul pozitiv al celei de a doua tensiuni din

ecuaia (2). Ceilali coeficieni sunt negativi, reprezentnd conductanele dintre noduri. Pentru ambele ecuaii,

partea dreapt a ecuaiei este egal cu sursa de curent respectiv conectat la nod.

Reguli pentru aplicarea metodei nodului de tensiune

Aceast metod ne permite s scriem rapid ecuaiile prin inspecie i duce la urmtoarele reguli pentru

aplicarea metodei nodului de tensiune:

nlocuirea surselor de tensiune n serie cu un rezistor cu o surs echivalent de curent i un rezistor n

paralel

Schimbarea valorilor rezistorilor n conductane

Selectarea unui nod de referin (E0

Desemnarea unor tensiuni necunoscute pentru nodurile rmase, (E

)

1)(E2) ... (EN Scrierea unei ecuaii LKC pentru fiecare nod, 1, 2, ... N. Coeficientul pozitiv a primei tensiuni din prima

ecuaie este suma conductanelor conectate la primul nod. Coeficientul pentru a doua tensiune din a doua

ecuaie este suma conductanelor conectate la acel nod. Acelai lucru este valabil i pentru a treia tensiune

n ecuaia a treia i pentru celelalte ecuaii. Aceti coeficieni se gsesc pe o diagonal.

)


17/42199

Toi ceilali coeficieni ai ecuaiei sunt negativi, reprezentnd conductanele dintre noduri. n prima ecuaie,

coeficientul al doile reprezint conductana dintre nodul 1 i nodul 2, al treilea coeficient reprezint

conductan dintre nodul 1 i nodul 3. Acelai lucru este valabil i pentru celelalte ecuaii

Partea din dreapta a ecuaiilor reprezint sursa de curent conectat la nodurile respective

Rezolvarea sistemului de ecuaii i aflarea tensiunilor nodurilor necunoscute

Analiza unei puni dezechilibrate folosind metoda nodului de tensiune

Circuitul de mai jos are trei noduri. Conductanele nu apar pe desen, dar G1=1/R1

Exist trei noduri pentru care putem scrie ecuaii. Coeficienii

sunt pozitivi pentru E

, etc.

1 (ecuaia 1), E2 (ecuaia 2) i E3

Diagonala matricii formate are coeficieni pozitivi. Toi ceilali coeficieni sunt negativi.Soluia sistemului

de ecuaii este:

(ecuaia 3). Acestea sunt sumele tuturor conductanelor

conectate la nodurile respective. Toi ceilali coeficieni sunt

negativi, reprezentnd conductana ntre noduri. Partea dindreapta a ecuaiei reprezint sursa de curent, 0.136092

amperi, singura surs pentru nodul 1. Celelalte ecuaii au zero

n partea dreapta datorit lipsei unei surse de tensiune.

05. Teorema lui Millman

Teorema lui Millman consider circuitul o reea paralel de ramuri.

Toate tensiunile introduse i aflate din teorema lui Millman au ca referin unul i acelai punct din circuit

(de obicei latura de jos a circuitului)


18/42200

Definiie

Prin intermediul teoremei lui Millman, circuitul este redesenat ca i o reea de ramuri paralele, fiecare

ramur coninnd un rezistor sau o combinaie serie baterie/rezistor. Aceast teorem se poate aplica doar n cazul

circuitelor ce pot suferi aceast modificare.

Exemplu

Avem (din nou) circuitul alturat.

Redesenarea circuitului

Acelaicircuit

redesenat pentru aplicarea teoremei lui

Millman (cele dou circuite sunt echivalente).

Lund n considerare rezistena i tensiunea furnizat n fiecare ramur, putem folosi teorema lui Millman

pentru aflarea cderilor de tensiune n toate ramurile. Chiar dac nu exist bateria B2, notaia B3

Ecuaia teoremei lui Millman

pentru bateria din

dreapta este pentru a scoate n eviden faptul c aceasta aparine ramurii 3 din circuit

Teorema nu este altceva dect o ecuaie lung aplicabil oricrui circuit ce poate fi redesenat ca i ramuri

paralele, fiecare ramur cu propria sa surs de tensiune i rezisten n serie:


19/42201

Aflarea cderii de tensiune pe ramuri

nlocuind valorile din exemplul de mai sus ajungem la urmtorul rezultat:

Valoarea rezultatului, 8 V, reprezint cdereade tensiune pe toate ramurile

.

Polaritile tuturor tensiunilor au ca i referina acelai punct. n exemplul de mai sus, firul de jos este

folosit ca i punct de referin, prin urmare tensiunile pentru fiecare ramur au fost introduse n ecuaie ca fiindpozitive (28 pentru R1, 0 pentru R2i 7 pentru R3

Aflarea cderilor de tensiune pe fiecare rezistor

).

Pentru aflarea cderilor de tensiune pe fiecare rezistor, tensiunea Millman (8 V n acest caz) trebuie

comparat cu tensiunea fiecrei surse din fiecare ramur, folosind principiul aditivitii tensiunilor n serie

Determinarea curenilor pe fiecare ramur

:

Pentru aflarea curenilor prin fiecare ramur, aplicm legea lui Ohm (I = E/R):


20/42202

Direcia curentului prin fiecare rezistor este

determinat de polaritatea fiecrui rezistor i nu

de polaritatea bateriei, curentul putnd fi forat s

se deplaseze invers printr-o baterie, precum n

cazul bateriei B3

.

Acest lucru este bine de inut minte fiindc teorema lui Millman nu ne ofer niciun indiciu cu privire la

posibilitatea unei direcii greite a curenilor precum este cazul metodelor ramurii de curent i abuclei de curent.

Trebuie s fim ateni la polaritatea cderii de tensiune la bornele rezistorilor, determinnd de acolo direcia de

curgere a curentului.

06. Teorema superpoziiei

Conform teoremei superpoziiei, un circuit poate fi analizat considernd funcionarea unei singure surse de

putere odat; valorile tensiunilor i curenilor pentru fiecare caz n parte se adun pentru aflarea soluiei

finale, atunci cnd n circuit funcioneaz toate sursele de putere

Pentru a scoate toate sursele de putere din circuit exceptnd una singur, toate sursele de tensiune se

nlocuiesc cu un scurt-circuit, i toate sursele de curent cu un circuit deschis.

Definiie

Teorema superpoziiei reprezint acea viziune de geniu ce transform un subiect complex ntr-o versiune

simpl i uor de neles.


21/42203

Strategia const n eliminarea rnd pe rnd a tuturor surselor de putere din c ircuit exceptnd una singur,

utilizndanaliza serie/paralel

Exemplu

pentru determinarea cderilor de tensiune i a curenilor din reeaua modificat pentru

fiecare surs de putere separat. Apoi, dup ce toate cderile de tensiune i curenii au fost determinai pentru fiecare

surs de tensiune funcionnd separat/independent n reea, valorile sunt suprapuse una peste cealalt (adunare

algebric) pentru determinarea efectiv a curenilor i tensiunilor atunci cnd n circuit funcioneaz toate sursele de

putere mpreun.

S lum acelai circuit ca i exemplu.

mprirea circuitului n funcie de sursele de putere

Din moment ce avem dou surse de putere n acest

circuit, va trebui s calculm dou seturi de date pentru

cderile de tensiune i curent, un set pentru circuitul

funcionnd doar cu sursa de tensiune de 28 de V

...

...cellalt pentru circuitul funcionnd doar cu bateria de

7 V

.

Atunci cnd redesenm un circuit pentru analiza serie/paralel cu o singur surs, toate celelalte surse de

tensiune sunt nlocuite de fire (scurt-circuit), i toate sursele de curent sunt nlocuite de circuite deschise. Din


22/42204

moment ce avem doar surse de tensiune (baterii) n circuitul de mai sus, toate sursele de putere inactive vor fi

nlocuite de fire.

Primul (sub)circuit

Analiznd circuitul n care acioneaz doar bateria de

28 V, obinem urmtoarele valori pentru tensiune i

curent.

Al doilea (sub)circuit

Analiznd circuitul n care acioneaz doar bateria de 7

V, obinem urmtoarele valori pentru tensiune i

curent.

Suprapunerea (sub)circuitelor

Mrime R R1 R2 R3 2// R R3 1+ R2// R3 Unitate(total)E 24 4 4 4 28 VI 6 2 4 6 6 A

R 4 2 1 0.667 4.667

Mrime R R1 R2 R3 1// R R2 3+ R1// R2 Unitate(total)E 4 4 3 4 7 V

I 1 2 3 3 3 AR 4 2 1 1,333 2,333


23/42205

Atunci cnd realizm suprapunerea, trebuie s fim foarte ateni la polaritatea cderilor i la direcia

curenilor, pentru c aceste valori se adun algebric.

Aflarea cderilor de tensiune din circuit

Aplicnd aceste valori, rezultatul final arat astfel.

Aflarea valorilor curenilor din circuit

Acelai lucru este valabil i n cazul curenilor.


24/42206

Folosind valorile aflate dup aplicarea

superpoziiei, circuitul arat astfel.

Concluzii i restricii de aplicabilitate

Simplu i elegant n acelai timp. Totui, teorema superpoziiei poate fi aplicat doar circuitelor ce pot fi

reduse la combinaii de circuite serie/paralel pentru fiecare surs de putere n parte (nu poate fi folosit, de

exemplu, pentru analiza unei puni dezechilibrate), i doar atunci cnd ecuaiile folosite sunt liniare. Acest lucru

nseamn ca teorema nu poate fi folosit dect pentru determinare tensiunii i a curentului nu i a puterii! Puterile

disipate n circuit, fiind funcii neliniare, nu pot fi adunate algebric atunci cnd se consider doar o surs de putere.

aceeai nevoie de liniaritate nseamn ca teorema este inutil n circuitele n care rezistena componentelor se

modific odat cu tensiunea sau temperatura, ca de exemplu becuri incandescente sau varistoare.

O alt condiie este ca toate componentele s fie bilaterale, nsemnnd faptul c trebuie s se comporte

exact le fel indiferent care este direcia de deplasare a electronilor prin ele. Rezistenele ndeplinesc aceast cerin,

precum i toate circuitele studiate pn acum.

Teorema superpoziiei se folosete i n studiul circuitelor de curent alternativ i circuitele cu

amplificatoare semiconductoare, acolo unde de multe ori curentul alternativ este mixat (suprapus) peste curentul

continuu. n astfel de cazuri putem analiza circuitul cnd doar sursa de curent continuu este prezent n circuit i

atunci cnd doar cea de curent alternativ este prezent; rezultatul final este superpoziia celor dou cazuri. Pn una


25/42207

alta, folosind teorema superpoziiei, nu mai suntem nevoii s folosim sistemele de ecuaii pentru analiza

circuitelor.

07. Teorema lui Thevenin

Teorema lui Thevenin este o modalitate de reducere a unei reele la un circuit echivalent compus dintr-o

singur surs de tensiune, o rezisten serie i rezistena de sarcin

Paii pentru aplicarea teoremei lui Thevenin:

Gsirea sursei de tensiune Thevenin prin ndeprtarea sarcinii din circuitul original i calcularea cderii de

tensiune dintre punctele n care se afla sarcina iniial

Gsirea rezistenei Thevenin prin ndeprtarea tuturor surselor de putere din circuitul original i calcularea

rezistenei totale dintre cele dou puncte

Desenarea circuitului Thevenin echivalent, cu sursa de tensiune i rezistena Thevenin n serie. Rezistorul

de sarcin se reintroduce ntre cele dou puncte (deschise) din circuit

Aflarea cderii de tensiune i a curentului prin rezistorul de sarcin folosind regulile circuitelor serie

Definiie

Teorema lui Thevenin susine c orice circuit liniar poate fi simplificat, indiferent de complexitatea sa, la

un circuit echivalent cu doar o singur surs de tensiune i o rezisten legat n serie

Exemplu

. Semnificaia termenului

liniar este aceeai ca i n cazul teoremei superpoziiei, unde toate ecuaiile folosite trebuie s fie liniare. Dac

avem de a face cu componente pasive (rezistori, bobine i condensatori) aceast condiie este ndeplinit. Dar,

exist unele componente, precum cele semiconductoare, ce sunt neliniare. Aceste circuite le vom numi prin urmare

circuite neliniare.

Teorema lui Thevenin este folosit n special pentru analiza sistemelor de putere i ale circuitelor n care

rezistorul de sarcin (sau simplu, sarcina) este supus modificrilor; recalcularea circuitului fiind necesar cu

fiecare valoare a rezistenei de sarcin pentru determinarea tensiunii i curentului prin aceasta.

S relum circuitul studiat pn acum cu celelalte

metode.


26/42208

S presupunem c rezistorul R2este sarcina din acest circuit. Avem deja la dispoziie patru metode pentru

determinarea tensiunii i curentului prin R2, dar niciuna dintre aceste metode nu este eficient din punct de vedere

al timpului de lucru. Imaginai-v c ai folosi aceste metodede fiecare dat cnd valoarea sarcinii variaz (variaia

rezistenei sarcinii este un lucru foarte des ntlnit n sistemele de putere

Circuitul Thevenin echivalent

). Aceast situaie ar presupune mult

munc!

Teorema lui Thevenin nltur temporar sarcina din

circuitul iniial transformnd ceea ce rmne ntr-un

circuit echivalent compus dintr-o singur surs de

tensiune i rezistene n serie. Rezistena de sarcin

poate fi apoi reconectat n acest circuit Thevenin

echivalent i se pot continua calculele pentruntreaga reea ca i cum nu ar fi dect un simplu circuit serie.

Dup conversia circuitului vom avea circuitul

alturat.

Circuitul Thevenin echivalent este echivalentul electric ale surselor i rezistorilor B1, R1, R3i B2vzute

din cele dou puncte de contact al rezistorului de sarcin R2. Acest circuit echivalent, dac este dedus corect, se va

comporta exact ca i circuitul original. Cu alte cuvinte, curentul i tensiunea sarcinii (R2) ar trebui s fie exact


27/42209

aceeai n ambele circuite. Rezistena R2nu poate face diferena dintre reeaua original i circuitul echivalent, atta

timp ct EThevenini RThevenin

nlturarea temporar a sarcinii din circuit

au fost calculate corect.

Avantajul transformrii const n uurina calculelorpentru circuitul simplificat, mult mai uoar dect n

cazul circuitului original. Primul pas este nlturarea

rezistenei de sarcin din circuitul original i

nlocuirea acesteia cu un circuit deschis.

Determinarea cderii de tensiune Thevenin

Apoi determinm cderea de tensiune ntre punctele fostei sarcini, folosind

orice metode disponibile. n acest caz, circuitul original, mai puin sarcina, nu

este altceva dect un circuit serie simplu cu dou baterii; putem aplica prin

urmare regulile circuitelor serie, legea lui Ohm i legea lui Kirchhoff pentru

tensiune.

Cderea de tensiune ntre cele dou puncte ale sarcinii

poate fi dedus din tensiunea uneia dintre bateriei i

cderea de tensiune pe unul dintre rezistori, astfel:

Mrime R R1 Total3 UnitateE 16.84.2 21 V

I 4.24.2 4.2 A

R 4 1 5


28/42210

Aceast tensiune de 11,2 V este tensiunea Thevenin,

EThevenin

din circuitul echivalent.

Determinarea rezistenei (echivalente) Thevenin

Pentru aflarea rezistenei serie din circuitul echivalent, trebuie

s lum circuitul original, mai puin sarcina, s nlturm

sursele de putere (la fel ca n cazul teoremei superpoziiei) is determinm rezistena de la un terminal la cellalt.

Dup nlturarea celor dou baterii, rezistena

total msurat n aceast locaie este egal cu

rezistenele R1 i R3 n paralel: 0,8 . Aceasta

reprezint rezistena Thevenin (RThevenin

) pentru

circuitul echivalent.

Determinarea cderii de tensiune i a curentului prin sarcin

Cunoscnd valoarea rezistorului (2) dintre cele dou puncte deconexiune, putem determina cderea de tensiune i curentul prin acesta,

ca i cum ntregul circuit nu ar fi altceva dect un simplu circuit serie.

Putem observa c valorile pentru curent i tensiune (4 A, 8 V) sunt identice cu valorile gsite aplicnd

celelalte metode de analiz . De asemenea, valorile tensiunilor i curenilor pentru rezistena serie i sursa Thevenin

Mrime R RThevenin Totalsarcin UnitateE 3,2 8 11,2 V

I 4 4 4 A

R 0,8 2 2,8


29/42211

echivalente nu se aplic componentelor din circuitul original. Teorema lui Thevenin este folositoare doar pentru

determinarea comportamentului unui singur rezistor din reea: sarcina

08. Teorema lui Norton

.

Teorema lui Norton este o metod de reducere a reelei la un circuit echivalent compus dintr-o singur

surs de curent, un rezistor n paralel i o sarcin n paralel.

Paii pentru implementarea teoremei lui Norton: Gsirea sursei Norton de curent prin ndeprtarea tuturor rezistorilor din circuitul iniial i calcularea

curentului prin scurt-circuitul creat ntre punctele de contact ale fostei sarcini a circuitului (scurt-circuit)

Aflarea rezistenei Norton prin ndeprtarea tuturor surselor de putere din circuit i calcularea rezistenei

totale dintre punctele de contact ale fostei sarcini a circuitului (circuit deschis) Realizarea circuitului Norton echivalent, cu sursa de curent i rezistorul Norton n paralel. Rezistorulde

sarcin se reintroduce ntre cele dou puncte deschise ale circuitului echivalent

Aflarea tensiunii i curentului prin sarcin aplicnd regulile circuitelor paralele

Definiie

Conform teoremei lui Norton este posibil simplificarea oricrui circuit liniar, indiferent de complexitate, la

un circuit echivalent dotat cu o singur surs de curent i o rezisten paralel, ambele conectate la o sarcin . La felca n cazul teoremei lui Thevenin, termenul liniar are semnificaia teoremei superpoziiei: ecuaiile implicate

trebuie s fie liniare

Exemplu

.

Circuitul iniial este cel folosit i n exemplele

precedente.

Principiul teoremei lui Norton


30/42212

Circuitul echivalent dup aplicarea teoremei lui Norton

va fi cel alturat.

Sursa de curent este un component a crui scop este furnizarea unei valori constante de curent, indiferent de

valoarea tensiunii.

La fel ca n cazul teoremei lui Thevenin, ntreg circuitul original, n afar de rezistena de sarcin, a fost

redus la un circuit echivalent ce este mult mai uor de analizat. Paii folosii pentru calcularea sursei de curent,

INorton, i a rezistenei Norton, RNorton

nlturarea temporar a sarcinii din circuit

, sunt de asemenea similari teoremei precedente.

Primul pas este identificarea rezistenei de sarcin i

nlturarea acesteia din circuitul original.

Calcularea curentului Norton

Pentru aflarea curentului Norton, plasm un fir (scurt-

circuit) ntre cele dou puncte ale sarcinii i

determinm curentul rezultat. Observai c acest pas

este exact invers

n teorema lui Thevenin, unde am

nlocuit sarcina cu un circuit deschis.


31/42213

Acum c avem o cdere de 0 V ntre punctele de

conexiune a sarcinii (nlturate), nseamn c valoarea

curentului prin R1, n partea stng a circuitului,

depinde doar de tensiunea bateriei B1 i de valoarea

rezistorului R1

Acelai lucru este valabil i n partea dreapta a

circuitului, unde curentul este tot 7 A. Prin urmare,

curentul total prin scurt-circuitul sarcinii este de 14 A

i reprezint curentul sursei Norton (I

: 7 A (I = E / R).

Norton

Calcularea rezistenei Norton

).

Din nou, direcia sgeii unei surse de curent este contrar deplasrii reale a electronilorprintr-un circuit,

notaie ce o folosim n aceast carte.

Pentru calcularea rezistenei Norton, procedm precum n

cazul teoremei lui Thevenin: lum circuitul original, fr

rezistena de sarcin, ndeprtm sursele de putere conform

principiului aplicat n cadrul teoremei superpoziiei (sursele

de tensiune le nlocuim cu scurt-circuit iar sursele de tensiune

cu circuit deschis) i aflm apoi rezistena total dintr-un

punct al sarcinii la cellalt (cei doi rezistori legai n paralel).

Circuitul Norton echivalent

Reconectnd rezistena de sarcin iniial (2), vom

analiza circuitul Norton precum o conexiune paralel

simpl. n acest moment circuitul Norton echivalent

arat astfel.

Mrime R RNorton Totalsarcin UnitateE 8 8 8 V

I 10 4 14 A


32/42214

R 0,8 2 0,5

Observaii

La fel cum am vzut i n cazul teoremei lui Thevenin, singurele informaii utile din aceast analiz sunt

valoarea tensiunii i a curentului prin rezistena de sarcin R2

09. Echivalena teoremelor Thevenin-Norton

; celelalte informaii cu privire la circuit suntirelevante. Avantajul const n simplitatea analizei circuitului atunci cnd avem mai multe valori ale rezistenei de

sarcin pentru care vrem s aflm tensiunea i curentul.

Rezistenele Thevenin i Norton sunt egale Tensiunea Norton este egal produsul dintre curentul i rezistena Norton

Curentul Norton este egal cu raportul dintre tensiunea i rezistena Thevenin

Scop

Din moment ce ambele teoreme, att Thevenin ct i Norton, reprezint metode valide de reducere a

reelelor complexe spre circuite mult mai simple i uor de analizat, trebuie s existe un procedeu de transformare a

unui circuit Thevenin echivalent ntr-unul Norton echivalent.

Rezistenele echivalente Thevenin i Norton sunt egale

Metoda de calculare a rezistenei este aceeai n ambele cazuri: ndeprtarea tuturor surselor de putere i

determinarea rezistenei ntre punctele de conexiune rmase libere.

Cele dou rezistene sunt prin urmare egale:


33/42215

Relaia dintre tensiunea Thevenin i curentul Norton

Lund n considerare faptul c ambele circuite echivalente sunt gndite s se comporte asemenea reelei

originale n ceea ce privete alimentarea sarcinii cu tensiune i curent electric, circuitele Thevenin i Norton artrebui i ele s se comporte identic.

Acest lucru se traduce prin faptul c ambele circuite ar trebui s produc aceeai cdere de tensiune ntre

punctele de contact ale sarcinii, atunci cnd aceasta nu este prezent n circuit. Pentru circuitul Thevenin, cderea

de tensiune pentru circuitul deschis trebuie s fie egal cu sursa de tensiune Thevenin, 11,2 V n acest caz. n cazul

circuitului Norton, toi cei 14 A generai de sursa de curent trebuie s treac prin rezistena de 0,8, producnd

prin urmare o cdere de tensiune de 11,2 V (E = IR). Putem susine astfel c tensiunea Thevenin este egal cu

produsul dintre curentul Norton i rezistena Norton:

Transformarea unui circuit Norton ntr-un circuit Thevenin se realizeaz folosind aceeai valoare a

rezistenei i calculnd tensiunea Thevenin cu ajutorul legii lui Ohm.

n aceeai ordine de idei, att circuitul Thevenin ct i circuitul Norton ar trebui s genereze aceeai

cantitate de curent printr-un scurt-circuit ntre terminalii sarcinii, atunci cnd aceasta nu este prezent n circuit. n

circuitul Norton, curentul de scurt-circuit este exact curentul sursei (de curent), 14 A n acest caz. n circuitul

Thevenin, ntreaga cdere de tensiune de 11,2 V se regsete la bornele rezistorului de 0,8 , ceea ce produce exact

acelai curent prin scurt-circuit, 14 A (I = E / R). Putem susine astfel c,

10. Teorema lui Millman revizuit

curentul Norton este egal cu raportul

dintre tensiunea Thevenin i rezistena Thevenin:

Vom utiliza relaia de echivalen dintre cele dou teoreme n urmtoarea seciune.

Ecuaia teoremei lui Millman


34/42216

Revenim acum asupra teoremei lui Millman pentru a elucida forma ciudat a ecuaiei i proveniena

acesteia.Numitorul ecuaiei seamn cu numitorulecuaiei pentru calculul rezistenei paralele, iar termenii E/R ai

numrtorului reprezint valori ale curentului, conform legii lui Ohm (I = E / R).

Utilizarea echivalenei Thevenin-Norton

Pentru nelegerea acestei ecuaii folosim echivalena

Thevenin-Norton discutat n seciunea precedent.

Ecuaia Millman consider c fiecare ramur reprezint de

fapt un circuit Thevenin echivalent; fiecare ramur este

apoi transformat ntr-un circuit Norton echivalent.

n circuitul de mai sus, bateria B1i

rezistorul R1

Determinarea curentului total prin circuit

sunt vzute ca i o

surs Thevenin potrivite pentru

transformarea ntr-o surs Nortonde 7 A (28 V / 4 ) n paralel cu un

rezistor de 4 . Ramura din dreapta

se transform ntr-o surs de curent de 7 A (7 V / 1 ) i un rezistor de 1 c onectat n paralel. Ramura din centru,

ne-coninnd nicio surs de tensiune, se transform ntr-o surs de curent Norton de 0 A n paralel cu un rezistor de

2 .

Din moment ce valorile surselor de curent sunt aditive algebric, curentul total prin circuit este de 7 A + 0 A

+ 7 A, adic 14 A. Aceast adunare a curenilor surselor Norton se regsete la numrtorul ecuaiei Millman:


35/42217

Determinarea rezistenei totale a circuitului

Toate rezistenele Norton sunt conectate n paralel. Acest lucru se regsete la numitorul ecuaiei lui

Millman.

Redesenarea circuitului echivalent

n cazul de fa, rezistena total este de 571.43 m. Circuitul echivalent

se poate acum redesena i conine doar o surs (de curent) Norton i o

singur rezisten Norton.Folosim legea lui Ohm pentru aflarea cderii de tensiune pe aceste dou

componente (E = IR):

Determinarea ecuaiei lui Millman

Pe scurt, tim despre acest circuit c valoarea total a curentul este dat de raportul dintre suma tuturor

tensiunilor pe ramuri i curenilor respectivi. tim de asemenea c rezisten total este inversul sumei inversului

tuturor rezistenelor ramurilor. i, trebuie s lum n considerare faptul c putem afla tensiunea total pe toate

ramurile prin nmulirea curentului total cu rezistenatotal (E = IR). Tot ce trebuie s facem acum este s punemmpreun cele dou ecuaii pentru curentul i rezistena total, mai exact, putem afla tensiunea total prin nmulirea

lor:


36/42218

n acest moment, putem realiza faptul c ecuaia lui Millman nu este nimic altceva dect o transformare

Thevenin-Norton i o aplicare a formulei rezistenei paralele

11. Teorema transferului maxim de putere

pentru determinarea cderii de tensiune pe toate

ramurile circuitului.

Conform teoremei transferului maxim de putere, cantitatea de putere disipat pe o sarcin este maxim

atunci cnd valoarea acestei rezistene este egal cu rezistena Thevenin sau Norton a reelei de alimentare a

sarcinii

Definiie

Teorema transferului maxim de putere nu este neaprat o metod de analiza a reelelor ci este folosit

pentru optimizarea proiectrii sistemelor. Pe scurt, puterea disipat pe o rezisten este maxim atunci cnd

valoarea rezistenei este egal cu rezistena Thevenin/Norton a reelei de alimentare

Exemplu

. Dac rezistena sarcinii estemai mare sau mai mic dect rezistena Thevenin/Norton,puterea disipatde aceasta nu va atinge valoarea maxim

(eficien sczut).

Acest lucru se urmrete n realizarea unui sistem stereo, unde dorim ca impedan difuzorului s fie

aceeai cu impedana amplificatorului pentru puterea de ieire (sunet) maxim. Impedana este asemntoare

rezistenei, doar c implic i efectele curentului alternativpe lng cel continuu. O valoare a impedenei prea mare

va rezulta ntr-o putere de ieire sczut. O impedan prea mic, pe de alt parte, va rezulta de asemenea ntr-o

putere de ieire sczut dar i ntr-o posibil nclzire excesiv a amplificatorului.

Revenind la circuitul studiat pn acum...


37/42219

...conform teoremei transferului maxim de putere,

valoarea rezistenei de sarcin pentru disiparea

puterii maxime din circuit, trebuie s fie egal cu

rezistena Thevenin (0,8 , n acest caz).

Calcularea puterii disipate totale pe sarcin

Cu aceast valoare a rezistenei, puterea disipat va fi de 39,2 W.

Micorarea valorii rezistenei de sarcin

Dac valoarea rezistenei de sarcin scade (la 0,5 n loc de 0,8, de

exemplu), scade i puterea disipat pe sarcin.

Creterea valorii rezistenei de sarcin

Mrime R RThevenin Totalsarcin UnitateE 4,716 6,484 11,2 V

I 5,895 5,895 5,895 A

R 0,8 1,1 1,9

P 27,80 38,22 66,02 W

Dac valoarea rezistenei sarcinii crete (la 1,1 n loc de 0,8, de exemplu), puterea disipat va fi de

asemenea mai mic dect valoarea acesteia pentru 0.8 .

Utilizare

Aceast teorem este foarte folositoare atunci cnd dezvoltm un circuit electric pentru folosirea (disiparea)

puterii maxime pe sarcin.

Mrime R RThevenin Totalsarcin Unitate

E 5,6 5,6 11,2 VI 7 7 7 A

R 0,8 0,8 1,6

P 39,2 39,2 78,4 W

Mrime R RThevenin Totalsarcin UnitateE 6,892 4,308 11,2 V

I 8,615 8,615 8,615 A

R 0,8 0,5 1,3

P 59,38 37,11 96,49 W


38/42220

12. Transformarea triunghi-stea i stea-triunghi

Configuraiile (triunghi) mai sunt cunoscute i sub numele de (Pi)

Configuraiile Y (stea) mai sunt cunoscute i sub numele de T

Att configuraiile ct i Y pot fi transformate (transfigurate) n complementele lor echivalente cu

ajutorul formulelor corecte ale rezistenelor. Prin echivalent, se nelege faptul c cele dou reele sunt

electric identice atunci cnd sunt msurate de la cele trei terminale (A, B i C)

O punte poate fi simplificat la un circuit serie/paralel prin transformarea unei jumti din circuit din n

Y. Valorile cderilor de tensiune din circuitul Y sunt aceleai i n circuitul ntre punctele A, B i C

Conexiunile triunghi i stea

De multe ori componentele sunt conectate

ntr-o reea cu trei terminale, astfel:

conexiunea triunghi () cunoscut i sub

numele de delta sau Pi () i configuraia stea

(Y) cunoscut i sub numele de T. Ne putem

da seama de unde vine numele acestora

urmrind desenele alturate.

Este posibil calcularea real a valorilor rezistorilor necesari pentru formarea unui tip de configuraie (

sau Y) bazndu-ne pe valorile rezistorilor celeilalte configuraii, prin simpla analiz a conexiunilor terminalilor. Pe

scurt, dac avem dou reele de rezistori, una i una Y, n cadrul crora rezistorii nu sunt v izibil dar avem la

dispoziie trei terminali (A, B i C), rezistorii pot fi proiectai pentru ambele reele astfel nct nu am putea face


39/42221

diferena dintre cele dou reele din punct de vedere electric. Cu alte cuvinte, configuraiile echivalente i Y se

comport identic

Ecuaiile de transfigurare

.

Exist cteva ecuaii pentru transformare unei reele n celelalte:

Transformarea -Y

Transformarea Y-

Acest tip de configuraii sunt frecvent ntlnite n sistemele de putere trifazate de curent alternativ, dar

acestea sunt de obicei reele echilibrate (toi rezistorii au aceeai valoare) i prin urmare calculele nu sunt att de

complexe.

Aplicarea transformrii -Y punilor dezechilibrate

O aplicaie a transformrii -Y se gsete n cadrul circuitelor

punte dezechilibrate,precum cel alturat.


40/42222

Rezolvarea acestui circuit folosind analiza curentului de ramur sau buclei de curent este destul de

laborioas, iar fiindc exist doar o singur surs de putere, nici teoremele lui Millman sau superpoziieinu ne sunt

de prea mare ajutor n acest caz. Putem folosi teorema lui Thevenin sau Norton considernd R3

Alegerea configuraiei triunghi de transformat

rezistorul de

sarcin, dar acest lucru nu ne-ar ajuta foarte mult.

n schimb, putem considera c rezistorii R1, R2 i R3 sunt

conectai n (respectiv Rab, Raci Rbc

); generm apoi o reea Y

echivalent pentru nlocuirea lor i transformm prin acest pas

puntea ntr-un circuit combinat (mai simplu) serie/paralel.

Aplicarea transformrii

Determinarea valorilor rezistenelor

Dup efectuarea corect a calculelor, cderile de tensiune ntre punctele A, B i C vor fi aceleai n ambele

circuite:


41/42223

Analiza circuitului echivalent rezultat

Desigur, valorile rezistorilor R4i R5

Mrime

rmn aceleai, 18 respectiv 12 . Acum putem analiza circuitul

precum o combinaie serie/paralel, obinnd urmtoarele rezultate:

RB+ R R4 C+ R R5 B+ R4// RC+ R Total5 UnitateE 5,882 5,882 5,882 10 V

I 0,294 0,392 0,686 0,686 A

R 20 15 8,571 14,571

Determinarea cderilor de tensiune ntre punctele A, B i C

Folosim valorile cderilor de tensiune din tabelul de mai

sus pentru determinarea cderilor de tensiune ntre punctele

A, B i C, fiind ateni la adunarea sau scderea lor (precum

este cazul tensiunii ntre punctele B i C).

Mrime R RA RB RC R4 Unitate5E 4,1180,5881,1765,2944,706 V

I 0,6860,2940,3920,2940,392 A

R 6 2 3 18 12


42/42


Cu valorile acestor cderi de tensiune aflate, putem trece la circuitul

original unde aceste cderi de tensiune sunt aceleai

(ntre aceleai

puncte).

Desigur, cderile de tensiune pe rezistorii R4i R5

sunt aceleai ca i n cazul circuitului transformat (Y).

Acum putem determina curenii prin rezistori folosind valorile acestor tensiuni i aplicnd repetat legea lui Ohm (I

= E / R):

Documents

1.10-Analiza-retelelor-de-curent-continuu.pdf