11/11/2019 10:07:52 AM 當您發現本教材錯誤時，盡速通知老 …elearning.nkust.edu.tw/base/10001/course/10005366/content/public/Publish/04 Probability...11/11/2019 10:07:52

11112019 100752 AM 當您發現本教材錯誤時盡速通知老師修改教學才會進步

第 1頁共 47頁

目錄

四機率 3

41機率意涵 4

42機率分布 4

43計數法則 5

431乘法定理 5

432排列計數法 5

全部樣本排列計數或全排列計數 5

部分樣本排列計數或選排列計數 6

具有相同物件的排列方式 8

環狀排列方式 11

433組合計數法 11

44機率理論 13

441古典機率 13

442客觀機率 14

443主觀機率 15

444機率性質 15

445集合基本運算 16

4451空事件 16

4452必然事件 16

4453餘事件 16

4454交集 17

4455聯集 17

4456互斥事件 18

4457狄摩根定理 18

4458交換律 19

4459結合律(associative rule) 19

44510分配律(distributive rule) 19

45事件機率 20

451聯合機率 21

452邊際機率 22

453條件機率 22

46機率運算法則 26

461獨立事件 26

462相依事件 28

463互斥事件 29

464加法法則 29

4641兩事件屬互斥關係 29

4642兩事件屬非互斥關係 29


第 2頁共 47頁

465乘法法則 30

4651兩個事件交集機率 31

4652三個事件交集機率 31

466分割集合 31

總(全)機率定理(法則)(total probability theorem theorem of total probability) 32

47貝氏定理 33

討論議題 44

重點整理 45

圖目錄

圖 4-1文氏圖 16

圖 4-2餘事件文氏圖 17

圖 4-3交集文氏圖 17

圖 4-4聯集文氏圖 17

圖 4-5互斥事件文氏圖 18

圖 4-6狄摩根定理文氏圖 18

圖 4-7聯合機率文氏圖 21

圖 4-8條件機率文氏圖 23


圖 4-10樹狀圖 31

圖 4-11分隔集合示意圖 32

圖 4-12總機率定理文氏圖 32

圖 4-13貝氏公式文氏圖 34


第 3頁共 47頁

四機率

Chapter 4 Probability

學習目標

知識(認知)

1可以描述各種計數法則適用的狀況

2可以描述各種集合基本運算適用的狀況

3分辨各種機率理論之間的差異性

4評價各種機率理論的使用價值

技能

1能夠計算各種事件機率之數值

2能夠繪製各種事件的文氏圖

3能夠依循步驟製作樹狀圖協助解析事件機率

態度(情意)

1意識到在各種情境下「機率」概念的重要性

2在各種實務領域中可以客觀地接受機率數值的意涵

針對特定事件發生的可能程度利用數值化表達的一種方式即為機率的典型概念研究調查結論的

推定主要依據實驗或觀測資料的可信度(certainty)若可信度高其結論可靠和受信賴程度高可信度

低結論就不可靠和受信賴程度低決定可信度高低的方法即是機率理論(probability theory)和不確定性科

學(the science of uncertainty)機率數值介於 0和 1區間機率 p = 0時代表該特定事件幾乎不會發生

機率 p = 1 時代表該特定事件幾乎一定會發生機率數值可以提供決策者對於未知的事件進行決策

判斷制訂的重要依據推算特定事件未來可能發生的機率即是統計推論(statistical inference)或推論統

計學(inferential statistics)在經營一家餐廳或旅館時經常面臨的問題是下個月業績會不會成長下個月

來客人數會不會增加下個月員工的工作效益會不會提升下個月會不會有盈餘等不確定性的問題

欲衡量其發生的可能性大小就必須具體地善用機率的概念清楚的呈現不確定性問題的可能性高低

以便於管理者採取適當的方式因應現代社會中經常會在選舉運動賽事賭盤或賭博中聽到所謂的賠

率表示贏的勝算或機會有多高一般賠率使用 K1 比 K2 的方式表示其代表贏的機率為1198702

1198701+1198702故一

個運動賽事賭盤開出賠率 10比 1代表特定一方贏的機率為1

10+1

4機率

41機率意涵

42機率分布

43計數法則 45事件機率

451聯合機率

452邊際機率

431乘法定理

432排列計數法

433組合計數法

44機率理論 46機率運算法則

461獨立事件

462相依事件

441古典機率

442客觀機率

443主觀機率

444機率性質

445集合基本運算

453條件機率 463互斥事件

464加法法則

465乘法法則

466分割集合

47貝氏定理


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章節結構圖

41機率意涵

隨機實驗或隨機試驗(Random experiment)對於未能預知結果的一種實驗或評量過程隨機實驗可以

重複進行其每次出現的結果之分布會產生一種穩定的分布狀態(regular distribution)此穩定狀態下的

結果分布即是此隨機實驗中每種可能結果機率的分布情況

丟錢幣有正面(H)與反面(T)兩種若丟很多次其可能出現的結果如下

HHTHTTHHHTTHTH

此實驗結果稱為隨機序列(random sequence or random series)序列中的 H 或 T 稱為試驗(trial)事件

(event)或結果(outcome)當實驗次數增加時H或 T在序列中所得的結果會趨近於特定數值H或 T會在

全部實驗中約各佔1

2的比例此種比例稱為實驗結果的機率(probability)

機率概念就是特定事件自然發生之結果所佔的一種比例相對次數和機會機率屬於無因次單位

(dimensionless unit)機率評量事件發生的可能性大小

42機率分布

機率分布(Probability distribution)是應用機率相關理論描述特定隨機變數的特性離散型機率分布會

顯示隨機變數所有可能結果及各種結果個別發生的機率連續型機率分布顯示隨機變數在特定範圍內的

機率

隨機變數(random variable)一個隨機抽樣過程中出現不同結果的數值樣本空間(sample space)上的實數

函數(real-value function)一般使用 XYZ等符號代表隨機變數

樣本空間(sample space)一個隨機抽樣過程中全部可能獲得樣本點(結果元素觀測點或出象)所組成的

集合(set)一般使用 S 或 Ω 標示例如S = H T所有可能 n 個事件的聯集cup即為樣本空間 S =

⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894

119899119894=1

間斷樣本空間(discrete sample space)具有有限個或可數的樣本點例如一家餐廳現有的菜單項

目

連續樣本空間(continuous sample space)具有無限個的樣本點例如餐廳冰箱的壽命一家餐廳

的營業額

樣本點(sample point)觀測點出象結果(outcome)基本出象(elementary outcome)元素(element)每

一個隨機抽樣過程中可能的結果故樣本點所組成的集合即為樣本空間

事件(event)可視為樣本空間中的子集合或樣本空間中的部分集合通常會使用 E符號代表事件特定隨

機試驗中可能出現的結果之組別在投擲錢幣的隨機試驗中H即是一種事件其出現的機率為

05000

簡單事件(simple event)包含一個樣本點的部分集合

複合事件(composite event compound event)包含兩個或兩個以上樣本點的部分集合


第 5頁共 47頁

機率模型(probability models)陳述特定隨機試驗中所有可能出現之樣本點(結果元素觀測點或出

象)(a list of possible outcomes)與其機率(a probability for each outcome)的分布情況

學生到校上課時主要交通工具的機率模型

交通工具機車自行車公車捷運步行

機率 0553 0120 0025 0111 0191

43計數法則

學習計數法則(Counting principles)的目的是不需要一一列出所有可能的結果排列或組合就能夠快速

地決定一個隨機試驗可以產生的結果排列或組合數量排列(permutation)(前後出現順序需考慮)和組合

(combination)(前後出現順序不考慮)是兩種最常見的基本計數模型

431乘法定理

若一個隨機實驗可拆解成 n個步驟第 1個步驟有 m1種可能結果第 2個步驟有 m2種可能結果以

此類推第 n 個步驟有 mn 種可能結果依據乘法定理多步驟隨機試驗之計數法則乘法公式

(multiplication formula)或乘數定理此隨機實驗共有 m1 times m2 times m3 timeshelliptimes mn種可能結果(排列)

可能產生之結果排列的總數 = m1 times m2 times m3 timeshelliptimes mn

範例 41 丟擲兩個銅板其結果有幾種排列方式

題解每一個銅板皆有兩種丟擲結果(H T)將此丟擲銅板的過程拆解成兩個步驟分別丟擲一個銅板

故共有 2 times 2 = 4種丟擲可能結果

樣本空間 S = (H H) (H T) (T H) (T T)共有四個樣本點(結果元素觀測點或出象)

答案丟擲兩個銅板有 4種排列方式

練習 41 阿飛餐廳菜單中飲料有 5 種主菜有 6 種湯類有 3 種甜點有 3 種此餐廳消費者對

於選擇飲料主菜湯類和甜點有幾種選擇結果排列方式

題解依據多步驟隨機試驗之計數法則若隨機實驗可拆解成 n 個步驟第 1 個步驟有 m1種可能結果

第 2 個步驟有 m2種可能結果以此類推第 n 個步驟有 mn種可能結果此隨機實驗共有 m1 times m2 times

m3 timeshelliptimes mn種可能結果(排列)

飲料 5 times 主菜 6 times 湯類 3 times 甜點 3 = 270種排列方式

答案270種排列方式

432排列計數法

欲將數個不同物件排成一列同時考慮到不同物件之間前後順序時評估一共可以排出幾種排法的

數量即為排列計數法(Permutation count)的目的排列計數法可以區分為將所有的物件皆進行排列的全

部樣本排列計數僅將部分物件進行排列的部分樣本排列計數具有相同物件的排列方式環狀排列方

式等四種

全部樣本排列計數或全排列計數

排列(permutation)即是將數個不同的物件排成一列估算最多有幾種的排列方式物件可能出現的前

後順序皆必須納入考慮

在 n個不同物件排列中最多可以排列出 n種的方式


第 6頁共 47頁

n = n times (n ndash 1) times (n ndash 2) times (n ndash 3) timeshelliptimes 1n階乘(factorial)為所有小於或等於 n的正整數之乘積

定義0 = 1

n階乘 Excel函數

利用 Excel軟體插入(I)rarr函數(F)helliprarr在插入函數對話方塊中選取類別(C) 數學與三角函數選取函數

(N) FACTrarr確定在函數引數對話視窗中Number 方塊輸入階乘數確定即會在原先選定的儲存

格中出現階乘的數值等於 1 times 2 times 3 timeshelliptimes numberFACT(number)

範例 42 觀光系一年級欲搭乘交通車前往另一個校區上課若有兩位學生欲搭乘交通車此兩位學

生上車的順序有幾種

題解假設為了計算上車人數所以僅能從前門上車兩位學生搭乘所以有 n = 2 個不同物件排列搭

乘順序有 AB和 BA 2種排列數量 n = 2 = 2 times 1 = 2(可以使用 Excel軟體 FACT函數查詢獲得)


範例 43 觀光系一年級欲搭乘交通車前往另一個校區上課若有三位學生欲搭乘交通車此三位學


題解假設為了計算上車人數所以僅能從前門上車三位學生搭乘所以有 n = 3 個不同物件排列搭

乘順序有 ABCACBBACBCACBA和 CAB 6 種排列數量 n = 3 = 3 times 2 times 1 = 6(可以使用

Excel軟體 FACT函數查詢獲得)


練習 42 觀光系一年級欲搭乘交通車前往另一個校區上課若有四位學生欲搭乘交通車此四位學

生上車的順序有幾種若有五位學生欲搭乘交通車此五位學生上車的順序有幾種

題解假設為了計算上車人數所以僅能從前門上車四位學生搭車排列數量所以有 n = 4 個不同物件

排列排列數量 n = 4 = 4 times 3 times 2 times 1 = 24五位學生搭車排列數量所以有 n = 5個不同物件排列

排列數量 n = 5 = 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 120(可以使用 Excel軟體 FACT函數查詢獲得)

答案24種排列方式120種排列方式

練習 43 觀光系真心咖啡吧同時接獲六個不同班級訂購咖啡飲料僅安排一位外送人員若訂購

的六個班級上課教室皆不在同一棟大樓中請問有幾種不同的外送路線可以選擇

題解排列數量 n = 6 = 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 720(可以使用 Excel軟體 FACT函數查詢獲得)

答案720種外送路線

部分樣本排列計數或選排列計數

從全部 n個不同的原始資料中隨機抽取 i個樣本(已抽取的樣本不再放回以供下一回合抽樣故

每一個資料最多只會被抽中一次)依序排列在 i個位置共有 n times (n ndash 1) times (n ndash 2) timeshelliptimes (n ndash i + 1)種不同的

排列(分配)方式一般使用119875119894119899符號表示排列公式(permutation formula)

119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = n times (n ndash 1) times (n ndash 2) timeshelliptimes (n ndash i + 1)

其中 n = n times (n ndash 1) times (n ndash 2) times (n ndash 3) timeshelliptimes 1n階乘(factorial)為所有小於或等於 n的正整數之乘

積

定義0 = 1


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排列方式數 Excel函數

利用 Excel軟體公式rarr函數程式庫rarr其他函數rarr統計(S)選取函數(N)PERMUTrarr確定在函數引數

對話視窗中Number 方塊輸入物體總數Number_chosen 方塊輸入選取物體數確定即會在原先

選定的儲存格中出現排列方式數量

範例 44 真真飲料店中有 4 位員工舉行尾牙活動老闆準備 2 個摸彩獎品每位員工最多只能獲

得一個獎品分別為 37吋液晶電視和高級自行車試問有幾種可能的排列分配情況

題解獎品 37 吋液晶電視和高級自行車 2 種必須分開獨立獲得即已抽中者不能再具有後續的抽獎機

會從全部 n = 4個不同的原始資料中隨機抽取 i = 2個樣本

119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198752

4 = 4

(4minus2) =

4

2 =

4times3times2times1

2times1 =

4times3times2times1

2times1 = 4 times 3 = 12種排列方式(可以使用 Excel軟體 PERMUT函數

查詢獲得)

假設有ABC和D四位員工分配方式有【A電視B自行車】【A電視C自行車】【A電

視D自行車】【B電視A自行車】【B電視C自行車】【B電視D自行車】【C電視A

自行車】【C 電視B 自行車】【C 電視D 自行車】【D 電視A 自行車】【D 電視B 自行

車】【D電視C自行車】共 12種

答案12種排列分配方式

範例 45 阿飛餐廳中有 50 位員工舉行忘年會活動老闆準備 3 個摸彩獎品每位員工最多只能

獲得一個獎品依序為超級 37 吋液晶電視高級墾丁荒野度假村住宿券和高級自行車

試問有幾種可能的排列(分配)情況

題解獎品超級 37 吋液晶電視高級墾丁荒野度假村住宿券高級自行車三種必須分開獨立獲得即已

抽中者不能再具有後續的抽獎機會從全部 n = 50個不同的原始資料中隨機抽取 i = 3個樣本

119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198753

50 = 50

(50minus3) =

50

47 =

50times49times48times47

47 = 50 times 49 times 48 = 117600(可以使用 Excel軟體 PERMUT函數查

詢獲得)


範例 46 餐旅系四年級總共有 5 位同學欲舉行下一學期班級幹部一位同學最多只能擔任一個職

務需選舉的班級幹部有班代副班代學藝和總務試問有幾種可能的排列分配情況

題解從全部 n = 5個不同的原始資料中隨機抽取 i = 4個樣本

119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198754

5 = 5

(5minus4) =

5

1 =

5times4times3times2times1

1 = 5 times 4 times 3 times 2 = 120 可能的排列分配方式(可以使用 Excel 軟體

PERMUT函數查詢獲得)


練習 44 奇遇餐廳冷凍庫利用密碼控制人員進出以 0~9 阿拉伯數字中不同的 3 個數字當成密碼

密碼中數字不能重複出現系統會考慮數字出現的前後順序正確才開啟試問總共有幾

種密碼數字的排列方式


119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198753

10 = 10

(10minus3) =


7 =

10

7 = 10 times 9 times 8 = 720種排列方式(可以使用 Excel軟體 PERMUT函數

查詢獲得)



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練習 45 若從 26 個英文字母中選取 4 個不同英文字母若依據英文字母前後順序排列請估算

有幾種排列方式


119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198754

26 = 26

(26minus4) =

26

22 =


22 = 26 times 25 times 24 times 23 = 358800(可以使用 Excel軟體 PERMUT

函數查詢獲得)


練習 46 AC 連鎖咖啡店欲籌設 AB 和 C 三家新咖啡店欲從 8 個儲備幹部中分別選出新咖啡

店的店長請估算在選派店長時有幾種安排方式


119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198753

8 = 8

(8minus3) =

8

5 =

8times7times6times5

5 = 8 times 7 times 6 = 336(可以使用 Excel軟體 PERMUT函數查詢獲得)


具有相同物件的排列方式

在四個不同物件的排列方式中有 4 = 4 times 3 times 2 times 1 = 24種排列方式若是四個物件皆相同(A A A A)

時不計較此四個物件的前後順序就會剩下 1種排列方式在相同物件的排列方式中前後位置對調

其外觀皆屬相同無法觀察出其間的差異因此只能算一種排列方式

在 n個物件中可以區分為 k類每一類中的物件皆相同無法辨識相同物件之間的差異其每一類的

物件數量分別為 n1n2n3nk個會有119899

1198991times1198992times1198993timeshelliptimes119899119896種排列方式

範例 47 欲將 3 枝相同廠牌和樣式的自動鉛筆與 2 枝相同廠牌和樣式的一般鉛筆共 5 枝筆分給 5

位同學每人一枝試問共有幾種分法

題解在 n = 5個筆物件中可以區分為 k = 2類(三種筆)每一類中的物件彼此間皆相同其每一類的物件

數量分別為 n1 = 3(自動鉛筆數量)和 n2 = 2個(一般鉛筆數量) 119899

1198991times1198992times1198993timeshelliptimes119899119896 =

5

3times2 =

5times4times3

3times2 =

5times4times3

3times2 =

5times4

2times1 = 10種可能的排列分配方式(數量)

5 位同學依序排列分配方式自自自一一自自一一自自一一自自一一自自自自一自一自自一自

自一一自自一自一自自自一一自一自自和自一自自一 10種排列方式


範例 48 欲將 2 枝相同廠牌和樣式的自動鉛筆3 枝相同廠牌和樣式的一般鉛筆及 2 枝相同廠牌和

樣式的著色筆共 7枝筆分給 7位同學每人一枝試問共有幾種分法


數量分別為 n1 = 2(自動鉛筆數量)n2 = 3個(一般鉛筆數量)和 n3 = 2個(著色筆數量) 119899


7

2times3times2 =


2times3times2 =


2times3times2 = 7 times 6 times 5 = 210種可能的排列分配方式(數量)


範例 49 觀光系欲舉辦擲銅板比賽假設投擲成正面和反面的機率相等若投擲 4 次有 2 次為正面

者有幾種排列方式若投擲 4次有 2次為正面者其機率有多少

題解在 n = 4個物件中可以區分為 k = 2類(正面和反面兩類)每一類中的物件彼此間皆相同其每一類

的物件數量分別為 n1 = 2(正面數量)和 n2 = 2個(反面數量) 119899


4

2times2 = 6可能的排列分配方式(數量)


第 9頁共 47頁

排列分配正正反反正反正反正反反正反正正反反正反正反反正正

一個銅板投擲 4次全部有 2 times 2 times 2 times 2 = 24 = 16種排列分配方式(數量)機率 = 相同物件排列數量

全部排列數量 =

6

16 = 0375

答案6種排列方式機率 0375

範例 410 統計學考試題目有 6 題是非題若事先沒有唸書考試時答案用投擲銅板決定假設投擲

成正面和反面的機率相等(A)請計算答對 5 題的機率(B)請計算答對 6 題的機率(答案

有效位數四捨五入取到小數點後第 4位)

題解答對 5題在 n = 6個物件中可以區分為 k = 2類(答對與答錯兩類)每一類中的物件皆相同其每

一類的物件數量分別為 n1 = 5(答對者)和 n2 = 1個(答錯者)有119899


6

5times1 = 6可能的排列分

配方式(數量)

投擲 6次全部有 2 times 2 times 2 times 2 times 2 times 2 = 26 = 64種排列分配方式(數量)機率 = 相同物件排列數量


6

64 = 00938

答對 6題在 n = 6個物件中可以區分為 k = 2類(答對與答錯兩類)每一類中的物件皆相同其每一類的

物件數量分別為 n1 = 6(答對者)和 n2 = 0個(答錯者)有119899


6

6times0 = 1可能的分配方式



1

64 = 00156

答案(A)機率 00938(B)機率 00156

練習 47 統計學考試題目有 8 題是非題若事先沒有唸書考試時答案用投擲銅板決定假設投擲

成正面和反面的機率相等(A)請計算答對 5 題的機率(B)請計算答對 6 題的機率(C)請

計算答對 7 題的機率(D)請計算答對 8 題的機率(答案有效位數四捨五入取到小數點後

第 4位)




8

5times3 = 56可能的排列

分配方式(數量)

投擲 8次全部有 2 times 2 times 2 times 2 times 2 times 2 times 2 times 2 = 28 = 256種排列分配方式(數量)機率 = 相同物件排列數量


56

256 =

02188




8

6times2 = 28可能的排列分配方

式機率 = 相同物件排列數量


28

256 = 01094


物件數量分別為 n1 = 7(答對者)和 n2 = 1 個(答錯者)有119899


8

7times1 = 8 可能的排列分配方



8

256 = 00313




8




1

256 = 00039

答案(A)機率 02188(B)機率 01094(C)機率 00313(D)機率 00039


第 10頁共 47頁

練習 48 觀光系校外參訪活動欲安排住宿房間若有 6 位學生有一間雙人房和一間四人房請

估算有幾種排列安排方式

題解在 n = 6個物件中可以區分為 k = 2類(雙人房和四人房兩類)每一類中的物件彼此之間皆相同其

每一類的物件數量分別為 n1 = 2(雙人房安排人數)和 n2 = 4個(四人房安排人數)有119899


6

2times4 =

6times5times4times3times2times1

2times1times4times3times2times1 =


2times1times4times3times2times1 = 15種排列安排方式

分別如下【AB】【CDEF】【AC】【BDEF】【AD】【BCEF】【AE】【BCDF】【AF】

【BCDE】【BC】【ADEF】【BD】【ACEF】【BE】【ACDF】【BF】【ACDE】【CD】

【ABEF】【CE】【ABDF】【CF】【ABCD】【DE】【ABCF】【DF】【ABCE】【EF】

【ABCD】15種排列安排方式

答案15種排列安排方式

練習 49 觀光系校外參訪活動欲安排住宿房間若有 6 位學生有三間雙人房請估算有幾種排

列方式

題解在 n = 6個物件中可以區分為 k = 3類(雙人房 3間)每一類中的物件皆相同其每一類的物件數量

分別為 n1 = 2(雙人房安排人數)n2 = 2 個(雙人房安排人數)和 n3 = 2 個(雙人房安排人數)有119899


6

2times2times2 =




2times1times2times1times2times1 = 90種排列方式


練習 410 觀光系校外參訪活動欲安排住宿房間若有 10 位學生有一間雙人房和兩間四人房

請估算有幾種排列方式

題解在 n = 10個物件中可以區分為 k = 3類(雙人房 1間和四人房 2間)每一類中的物件皆相同其每一

類的物件數量分別為 n1 = 2(雙人房安排人數)n2 = 4 個(四人房安排人數)和 n3 = 4 個(四人房安排人

數)有119899


10

2times4times4 =

10times9times8times7times6times5times4times3times2times1

2times1times4times3times2times1times4times3times2times1 =


2times1times4times3times2times1times4times3times2times1 = 3150種排列方式


範例 411 投擲五個錢幣出現三個正面的機率

題解在 n = 5個物件中可以區分為 k = 2類(正面和反面 2類)每一類中的物件皆相同其每一類的物件

數量分別為 n1 = 3(正面數量)和 n2 = 2個(反面數量)有119899


5

3times2 =


3times2times1times2times1 =



= 10種排列方式(數量)

投擲 5個錢幣全部有 2 times 2 times 2 times 2 times 2 = 25 = 32種排列分配方式(數量)機率 = 相同物件排列數量


10

32 = 03125

C35 times (

1

2)2 times (

1

2)3 = 10 times

1

32 =

5

16 = 03125

答案機率 03215

練習 411 請估算字母 MINGTMIINGHM的排列數量有幾種排列方式

題解在 n = 12個物件中可以區分為 k = 6類(字母種類數量)每一類中的物件皆相同其每一類的物件數

量分別為 n1 = 3(M出現次數)n2 = 3個(I出現次數)n3 = 2個(N出現次數)n4 = 2個(G出現次數)

n5 = 1 個 (T 出現次數 ) 和 n6 = 1 個 (H 出現次數 ) 有119899


12


12times11times10times9times8times7times6times5times4times3times2times1

3times2times1times3times2times1times2times1times2times1times1times1 = 3326400種



第 11頁共 47頁

環狀排列方式

若有 n個相異物件排列成一個環狀會有(n ndash 1)種排列方式

範例 412 觀光系三位學生欲前往咖啡廣場找一個圓形桌子討論統計學功課不計方位會有幾種座

法

題解相異物件數量 n = 3排列數量(n ndash 1) = (3 ndash 1) = 2 = 2

分別有「甲乙丙」與「甲丙乙」共 2種環狀順序座法

甲學生

丙學生乙學生

甲學生

乙學生丙學生


範例 413 觀光系四位學生欲前往咖啡廣場找一個圓形桌子討論統計學功課不計方位會有幾種座

法


分別有「甲乙丙丁」「甲乙丁丙」「甲丙乙丁」「甲丙丁乙」「甲丁乙丙」和「甲丁丙

乙」共 6種環狀順序座法

甲學生

丙學生乙學生

丁學生甲學生

丁學生乙學生

丙學生甲學生

乙學生丙學生

丁學生甲學生

丁學生丙學生

乙學生甲學生

乙學生丁學生

丙學生甲學生

丙學生丁學生

乙學生


433組合計數法

組合計數法(Combination count)使用於計算由 n不同物件中取出 i個物件的不同取法數量其中在所取

出的 i個物件之間不考慮前後次序的問題

從全部 n個不同的物件中抽取 i個物件(已抽取的物件不再放回以供下一回合抽樣故每一個物

件最多只會被抽中一次)共有119862119894119899或C

n i

種選擇組合(抽選方式)

組合公式(combination formula)

119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 =

部分樣本排列數量

119894

組合計數法只考慮抽取的 i 物件為何不考慮其被抽取的出現順序或位置若 ABC 三人被抽中

的分配方式有(ABC)(ACB)(BAC)(BCA)(CAB)和(CBA)共六種排列方式惟在組合計數法中都被

視為一種組合方式(number of combinations)物件出現的前後順序不論(不考慮)故在 i個樣本中有 i種不

同的組合排列方式因此在公式中組合計數等於部分樣本排列計數除以 i

範例 414 若樂透彩券從 1至 4號中選取 2個不同號碼此種樂透彩中有幾種選擇法

題解從 1至 4 號選取 2 個不同號碼選取的前後順序不影響組合結果從全部 n = 4 個不同的物件中

抽取 i = 2個物件

119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198622

4 = 4

2times(4minus2) =

4

2times2 =

4times3times2times1

2times1times2times1 =

4times3times2times1


24

4 = 6 種組合數量(利用 Excel 軟體 COMBIN 函數

查詢獲得)

1234抽出兩個rarr12 13 14 23 24 34一共有六種不同組合


第 12頁共 47頁

答案6種組合


題解從 1至 16號選取 4個不同號碼選取的前後順序不影響組合結果從全部 n = 16個不同的物件中


119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

16 = 16

4times(16minus4) =

16

4times12 =




4times3times2times1times12 = 1820種組合數量(利用 Excel軟體

COMBIN函數查詢獲得)

答案1820種組合

練習 412 若從 26 個英文字母中選取 4 個不同英文字母若英文字母前後順序不影響組合結果

請估算有幾種組合方式

題解從 1至 26號選取 4個不同字母選取的前後順序不影響組合結果從全部 n = 26個不同的物件中


119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

26 = 26

4times(26minus4) =

26

4times22 =




4times3times2times1times22 = 14950(利用 Excel 軟體 COMBIN

函數查詢獲得)

答案14950種組合

練習 413 觀光系學生參加旅館參訪活動晚上空閒時間玩尋寶遊戲在特定房間內有 12 位學生

每一位學生皆有自己的編號從 1～12 號今若隨機抽取 4 位學生請估算抽中的學生

其最小編號是 6號的機率(答案有效位數四捨五入取到小數點後第 4位)

題解所以編號 6號一定會被抽中其他三個號碼必須是 7~12之間的號碼從 7~12編號(n = 6)抽出 i = 3

個號碼的組合數為 combin(63) = 119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198623

6 = 6

3times(6minus3) =

6

3times3 =




3times2times1times3times2times1 = 20

從 12位學生隨機抽出 4位的組合數為 combin(124) = 119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

12 = 12

4times(12minus4) =

12

4times8 =




4times3times2times1times8 = 495(利用 Excel軟體 COMBIN函數查詢獲得)

隨機抽取 4位學生其最小編號是 6號的機率 = 從 7~12 編號(119899 = 6)抽出119894 = 3 個號碼的組合數

從 12 位學生隨機抽出 4 位的組合數 =

20

495 = 00404

答案機率 = 00404

練習 414 投擲公正骰子兩次請估算至少有一次為四點的機率

題解投擲公正骰子兩次至少有一次為四點的機率 = P(投擲兩次有一次四點) + P(投擲兩次有兩次四點)

= 投擲骰子兩次有一次四點的組合數 times 投擲兩個骰子出現一次四點的機率 + 投擲骰子兩次有兩次

四點的組合數 times 投擲兩個骰子出現兩次四點的機率 = C12 times

1

6 times

5

6 + C2

2 times 1

6 = 2 times

1

6 times

5

6 + 1 times

1

6 =

11

36

答案11

36

範例 416 觀光系 4 位學生欲前往咖啡廣場找一個圓形桌子僅有 3 個座位討論統計學功課不計方位

會有幾種座法

題解C34 times (n ndash 1) = C3

4 times (3 ndash 1) = 4 times 2 = 8種座法

甲乙丙丁 4為學生有「甲乙丙」「甲丙乙」「甲乙丁」「甲丁乙」「甲丙丁」「甲丁丙」

「乙丙丁」和「乙丁丙」共 8種環狀順序座法

答案8種


第 13頁共 47頁

練習 415 觀光系 10 位學生欲前往咖啡廣場找一個圓形桌子僅有 4 個座位討論統計學功課不計方

位會有幾種座法



答案1260種

Excel函數


(N)COMBINrarr確定在函數引數對話視窗中Number 方塊輸入物件的數目Number_chosen 方塊中

輸入每個組合中要選的物件數目確定即會在原先選定的儲存格中出現組合數量

COMBIN(numbernumber_choosen)

44機率理論

對社會科學或自然科學中所有現象或事件的解析可分為確定模式(deterministic model)與機率模式

(probabilistic model)兩種機率理論(Probability theorem)就是分析機率模式的工具與方法

若小玟連鎖飲料店珍珠奶茶大杯定價 50元該飲料店此項產品收入金額為定價販售數量若販售數

量確定時該項產品收入即可獲得明確金額因此該項產品收入金額 = 定價販售數量就是屬於確定模

式

若小玟咖啡店年終舉行尾牙餐會老闆提供一台 iPhone 手機提供摸彩一共有 10 位員工參加此餐會

若摸彩執行過程公正公開舉行雖然無法確定哪一位幸運的員工可以獲得手機但是每位參加的員工

皆有1

10機會獲得因此摸彩不確定的過程中每位員工獲得手機的機率各為

1

10就是屬於機率模式

客觀機率(Objective probability)

古典機率(classical probability)

經驗機率(empirical probability)

主觀機率(Subjective probability)

441古典機率

在古典機率(Classical probability)或稱為事先機率先驗機率(Prior probability)的概念中強調在隨機

實驗中各種可能出現的樣本點(結果元素觀測點或出象)總數 n[n數量屬於有限(finite)]皆是相互排斥(

一次實驗只會出現一個樣本點不會同時出現兩個樣本點)和獨立(前一次實驗出現的樣本點不會影響下

次實驗出現的樣本點)且每一個樣本點出現的機率相同隨機實驗中任何一個樣本點出現的機率皆是1

119899

在特定事件 A有 nA個樣本點特定事件 A發生的機率 P(A) = 119899119860

119899古典機率強調樣本點出現機會均等的現

象

每一個特定樣本點(結果元素觀測點或出象)發生的機率 = 1

119899

特定事件 A發生的機率 = 符合事件 A 定義的觀測點數量(119899119860)

可能出現的觀測點總數(119899) = P(A) =

119899119860

119899

互斥(mutually exclusive)兩個事件之間屬於互斥關係時即代表一個事件發生時同一時間內另一

個事件不會發生例如投擲銅板出現正面(事件)時即不會出現反面(事件)即代表投擲銅板


第 14頁共 47頁

出現正面和反面兩事件之間屬於互斥關係

周延(collectively exhaustive)在一次隨機試驗中出現的樣本點(結果元素觀測點或出象)一定在

事先規劃好的選項之中

古典機率理論的缺失若可能出現樣本點(結果元素觀測點或出象)總數 n 趨近於無限infin不知或屬於

動態無法估算其事件發生的機率若每一個試驗樣本點出現的機率不相等時亦無法估算其發生

的機率

範例 417 若從 1 至 16 號樂透彩球中抽出一個彩球彩球數字是 4 的倍數的機率(答案有效位數

四捨五入取到小數點後第 2位)

題解在總數 n = 16個彩球中事件 A彩球數字符合 4的倍數的樣本點(結果元素觀測點或出象)有

4 8 12 16共 nA = 4個

抽出彩球數字符合 4的倍數之機率 = 符合事件 A4 的倍數之觀測點數量(119899119860)

可能出現的觀測點總數(119899) =

4

16 = 025

答案025

範例 418 系學會舉辦彩球摸彩活動其中 m 個彩球有獎項n 個彩球沒有獎項(銘謝惠顧)抽獎後

彩球不再放回去供下一位同學抽獎請問同學先抽或後抽的中獎機率是否相等請說明理

由

題解第一位抽獎同學中獎機率 P1 = 119898

119898+119899

第二位抽獎同學中獎機率 P2 = P(第一位同學中獎後第二位同學中獎的機率) + P(第一位同學沒有中

獎後第二位同學中獎的機率) = 119898

119898+119899 times

119898minus1

119898+119899minus1 +

119899

119898+119899 times

119898

119898+119899minus1 =

119898times(119898minus1)+119899times119898

(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898times(119898+119899minus1)

(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898

119898+119899 = P1

答案因為 P2 = P1故同學先抽與後抽中獎機率相同

442客觀機率

在客觀機率(Objective probability)或稱為事後機率後驗機率(Posterior probability)的概念中陳述在

重複 n次的隨機實驗中特定事件(event)A發生的機率為出現該特定事件之次數 fA與隨機實驗次數 n之比

率或相對次數(relative frequencies)

特定事件 A發生的機率 = 出現特定事件的次數

隨機實驗次數(119899) = P(A) = lim

119899rarrinfin

119891A

119899

多次重複隨機實驗時 nrarrinfin每一種可能事件(event)出現的相對次數比(頻率)會漸漸趨近於穩定的數

值每一個事件(event)的穩定相對次數比即為該事件的發生機率

範例 419 若從 1 至 10 號樂透彩球中抽出一個彩球欲瞭解每一號彩球被抽中的機率每次抽出

一個彩球後放回彩球箱重新再抽取連續抽取 10000次(答案有效位數四捨五入取到小

數點後第 3位)

題解每一號彩球被抽中的次數會趨近於 1000次

依據客觀機率理論每一號彩球被抽中的機率 = 1000

10000 = 0100

答案0100

大數法則(Law of large numbers)大數定理或大數律


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若大量(無限次)重複特定隨機實驗時 nrarrinfin特定事件出現的相對次數比會接近該事件實際的發生

機率

443主觀機率

在主觀機率(Subjective probability)的概念下特定事件發生的機率取決於特定個人或族群對發生此

事件的相信信賴或認知程度而主觀判斷可能發生的可能性

在面對事先無法進行實驗的事件中在沒有客觀的依據或理論下主觀機率的表達方式愈來愈受到

大家的接受與重視惟其精確程度無法和客觀機率比較主觀機率的論述上缺乏明確的理論依據故事

件的發生機率最好依據客觀機率進行估算

444機率性質

在一個隨機實驗中樣本空間為 S任何一個特定事件 A發生的機率為 P(A)應符合

P(S) = 1

樣本空間 S內所有樣本點(結果元素觀測點或出象)皆發生的機率總和等於 1

0 le P(A) le 1其中 AisinS

任何一個特定事件 A發生的機率皆介於 0和 1之間機率不可能有負值或大於 1的情況發生若

特定事件不會發生其事件機率為 0特定事件一定會發生其事件機率為 1

加法定理(rule of addition)

P(E1cupE2cupE3) = P(E1) + P(E2) + P(E3)其中 E1E2與 E3彼此之間為互斥事件

若 E1E2與 E3彼此之間為互斥事件三個事件彼此之間的交集機率 P(E1capE2capE3) = 0(代表三個事件

不會同時發生)E1E2或 E3事件發生的機率為 E1E2和 E3個別發生事件機率的總和

E1 E2 E3

上述公式可以延續到 n個彼此之間皆為互斥事件的情況

P(⋃ 119864119894119899119894=1 ) = sum 119875(119864119894)119899

119894=1

範例 420 高高飲料店以人工方式充填飲料訂定每一杯飲料容量標準為 1000 plusmn 20 ml過多或過少

皆不符合標準過去一年裝填的狀況分布如下表隨機抽取一杯飲料容量過少或過多的機

率

容量事件代號數量發生機率

過少 A 505 00174

符合標準 B 25000 08619

過多 C 3502 01207

合計 29007 10000

題解過多符合標準和過多事件之間為互斥事件故可以使用加法定理


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P(A或 C) = P(AcupC) = P(A) + P(C) = 00174 + 01207 = 01381

答案機率 = 01381

文氏圖范氏圖(Venn diagram)

利用一個矩型圖形代表所有可能的樣本點(結果元素觀測點或出象)矩型圖形範圍內即是一個樣

本空間以圓形或橢圓形表示特定事件矩型內每一個點代表一個可能的樣本點

在隨機試驗中每進行一次試驗即會產生一個點此樣本點(結果元素觀測點或出象)若在特定

事件的圈圈之中即代表此特定事件會發生若此樣本點在特定事件的圈圈之外代表此特定事件不會

發生

A B

A且B 非A是B是A非B

非A非B

圖 4-1文氏圖


4451空事件

空事件 A(Null event A)空集合(empty set)或不可能事件代表在樣本空間 S中特定事件 A不含任何

樣本點(結果元素觀測點或出象)而且一定不會發生的事件以 ϕ 或符號表示

A = = ϕ rarr P(ϕ) = 0

4452必然事件

特定事件 A包含所有可能樣本點(結果元素觀測點或出象)即事件 A包含所有的樣本空間 S中的

每一個樣本點因此一定會發生的事件此種集合稱為宇集(universal set)利用 Ω(少用)符號表示故

事件 A發生的機率等於 1

A = S rarr P(A) = P(S) = 1

4453餘事件

事件 A的餘事件補集(Complement of event A complementary event A)或餘集代表樣本空間內不包含

A事件的其他所有樣本點(結果元素觀測點或出象)的集合利用 AC~AArsquo或119860(此符號盡量少用恐

會與平均值符號混淆)標示AC為事件 A的餘事件

AC + A = S rarr P(AC) + P(A) = P(S) = 1 rarr P(AC) = 1 ndash P(A)

如下圖中所示事件 A的餘事件即在事件 A不發生的其他所有事件表示於圖中灰色底的部分


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A B

圖 4-2餘事件文氏圖

在兩個集合中當集合 A屬於集合 B的一部份A稱為 B的子集合(subset)以符號 AB表示讀音

為【A包含於 B】或以符號 BA表示讀音為【B包含 A】

4454交集

事件 A和 B的交集(Intersection of events A and B)代表在相同樣本空間 S中在事件 A和 B中共同出

現的樣本點(結果元素觀測點或出象)所組成的集合利用 AcapB標示如同英文中 and的意涵

A B

AcapB

圖 4-3交集文氏圖

對 A和 B兩事件可以將其機率解析為如下關係

P(A) = P(AcapS) = P[Acap(B + BC)] = P(AcapB) + P(AcapBC)

P(B) = P(BcapS) = P[Bcap(A + AC)] = P(AcapB) + P(ACcapB)

4455聯集

事件 A和 B的聯集(Union of events A and B)代表在相同樣本空間 S中所有屬於 AB或兩者都有的

樣本點(結果元素觀測點或出象)所組成的集合利用 AcupB標示如同英文中 or的意涵

A B

AcupB

圖 4-4聯集文氏圖

P(AcupB) = P(A) + P(B) ndash P(AcapB)

練習 416 若 P(E) = 035和 P(F) = 032P(E or F)機率為(A)剛好等於 003(B)剛好等於 067(C)等

於或小於 067(D)等於或大於 067


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答案(C)

部分集合

集合 A 每一個樣本點(結果元素觀測點或出象)都屬於集合 B 內的樣本點稱 A 是 B 的部分集合

或子集合(subset)以符號 AsubB(讀作 A 包含於 B)標記集合 A 中有一個樣本點 a 使得 anotinBA 就不是 B

的子集合以符號 AnsubB(讀作 A不包含 B)標記

4456互斥事件

互斥事件或相斥事件(mutually exclusive event)代表在相同樣本空間 S中A和 B事件沒有共同的樣本

點(結果元素觀測點或出象)即 A與 B兩事件不可能同時發生

AcapB = ϕ 空集合 rarr P(AcapB) = P(ϕ) = 0

A B

圖 4-5互斥事件文氏圖

4457狄摩根定理

狄摩根定理(de-Morgen rule)或迪摩根律屬於集合理論中敘述餘事件之間運算的一種定律

A和 B兩事件之間下列成立

ACcapBC = (AcupB)C

A B

ACcupBC = (AcapB)C

A B

AcapB

圖 4-6狄摩根定理文氏圖

狄摩根定理亦可推展到 n個集合

(⋂ A119894119899119894=1 )119862 = ⋃ A119894

119862119899119894=1 (⋃ A119894

119899119894=1 )119862 = ⋂ A119894

119862119899119894=1


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4458交換律

交換律(commutative rule)敘述兩個事件之間交集與聯集時不受前後呈現順序的影響

AcupB = BcupA AcapB = BcapA

4459結合律(associative rule)

(AcupB)cupC = Acup(BcupC) (AcapB)capC = Acap(BcapC)

44510分配律(distributive rule)

(AcupB)capC = (AcapC)cup(BcapC) (AcapB)cupC = (AcupC)cap(BcupC)

範例 421 E和 F兩事件中若 P(E) = 056P(F) = 043和 P(EcapF) = 025EC和 FC分別是 E和 F的餘

集(complement)試計算(A)P(FC)(B)P(ECcapF)(C)P(EcupF)(D)P(ECcupFC)機率

題解

(A)依據餘事件 P(FC) = 1 ndash P(F) = 1 ndash 043 = 057

(B)依據 P(F) = P(EcapF) + P(ECcapF)P(ECcapF) = P(F) ndash P(EcapF) = 043 ndash 025 = 018

(C)依據聯集 P(EcupF) = P(E) + P(F) ndash P(EcapF) = 056 + 043 ndash 025 = 074

(D)依據狄摩根定理 P(ECcupFC) = P(EcapF)C = 1 ndash P(EcapF) = 1 ndash 025 = 075

答案(A)P(FC) = 057(B) P(ECcapF) = 018(C) P(EcupF) = 074(D) P(ECcupFC) = 075

練習 417 E 和 F兩事件中若 P(E) = 04P(F) = 05 和 P(EcapF) = 03EC和 FC分別是 E和 F的餘集

(complement)試計算(A)P(EcapFC)(B)P(ECcapFC)機率(答案有效位數四捨五入取到小數

點後第 1位)

題解

(A)依據 P(E) = P(EcapF) + P(EcapFC)P(EcapFC) = P(E) ndash P(EcapF) = 04 ndash 03 = 01

(B)依據狄摩根定理 P(ECcapFC) = P[(EcupF)C] = 1 ndash P(EcupF) = 1 ndash [P(E) + P(F) ndash P(EcapF)] = 1 ndash [04 +05 ndash 03] =

04

答案(A) P(EcapFC) = 01(B) P(ECcapFC) = 04

練習 418 小花期中考試統計學及格的機率為 065經濟學及格的機率 054兩科目至少一科及格

的機率為 085請估計兩科目皆及格的機率(答案有效位數四捨五入取到小數點後第 2

位)

題解假設統計學及格為 E 事件統計學及格機率 P(E) = 065經濟學及格為 F 事件經濟學及格機率

P(F) = 054兩科目至少一科及格 P(EcupF) = 085

P(EcupF) = P(E) + P(F) ndash P(EcapF) rarr P(EcapF) = P(E) + P(F) ndash P(EcupF) = 065 + 054 ndash 085 = 034

答案034

練習 419 E和 F兩事件中已知 P(E) = 047P(F) = 035和 P(ECcapF) = 015EC和 FC分別是 E和 F

的餘集(complement)試計算(A) P(EcapF)(B) P(EcapFC)(C) P(EcupF)(D) P(ECcapFC)機率

題解

(A)依據 P(F) = P(EcapF) + P(ECcapF)P(EcapF) = P(F) ndash P(ECcapF) = 035 ndash 015 = 020

(B)依據 P(E) = P(EcapF) + P(EcapFC)P(EcapFC) = P(E) ndash P(EcapF) = 047 ndash 020 = 027


(D)依據狄摩根定理 P(ECcapFC) = P[(EcupF)C] = 1 ndash P(EcupF) = 1 ndash 062 = 038

答案(A) P(EcapF) = 020(B) P(EcapFC) = 027(C) P(EcupF) = 062(D) P(ECcapFC) = 038


第 20頁共 47頁

練習 420 觀光系一年級甲班 2 位學生學習統計學很用心老師提供 1 張有機餐廳招待券給該 2 位學

生抽獎製作 1 張招待券的籤另外再製作 3 張空白籤一起放到抽獎箱抽獎抽中空白

籤者再將空白籤折好放回抽獎箱兩人輪流抽獎優先抽中招待券籤者可以獲得招待

券試計算(A)第 1 位抽獎的學生抽中招待券的機率(答案有效位數四捨五入取到小數

點後第 4位)

題解設 E1 為第 1 位抽籤學生抽中招待券的事件題目設計【抽中空白籤者再將空白籤折好放回抽

獎箱兩人輪流抽獎】所以當第一輪都沒有人抽中時就必須進入第二輪的抽獎同理當第

一和二輪都沒有人抽中時就必須進入第三輪抽獎依此類推因為抽中空白籤時隨即再將空

白籤摺好放回抽獎箱因此前一回合抽籤的結果不會影響下回合抽籤的機率分布故兩者是獨

立狀態

(A) P(E1) = P(第 1回 E1抽中招待券籤) + P(第 2回 E1抽中招待券籤) + P(第 3回 E1抽中招待券籤) + P(第 4

回 E1抽中招待券籤) + hellip = P(第 1回capE1抽中招待券籤) + P(第 2回capE1抽中招待券籤) + P(第 3回cap

E1抽中招待券籤) + P(第 4回capE1抽中招待券籤) + hellip = P(第 1回) times P(E1抽中招待券籤) + P(第 2回) times

P(E1抽中招待券籤) + P(第 3回) times P(E1抽中招待券籤) + P(第 4回) times P(E1抽中招待券籤) + hellip = 1 times 1

1+3

+ (3

1+3)2 times (

1

1+3) + (

3

1+3)4 times (

1

1+3) + (

3

1+3)6 times (

1

1+3) + (

3

1+3)8 times (

1

1+3) + (

3

1+3)10 times (

1

1+3) + (

3

1+3)12 times (

1

1+3) + (

3

1+3)14 times

(1

1+3) +hellip = 05714

答案(A)第 1位抽籤學生抽中招待券的機率 = 05714

1張招

待券籤

3張空

白籤

E1抽中招

待券籤

E2抽中招

待券籤

第1回抽籤

P(E1) = 025

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤

P(N) = 075

E1抽中招

待券籤

第2回抽籤

P(E1) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075

未抽中招

待券籤P(N) = 075

E2抽中招

待券籤

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075





點後第 4位)

題解設 E為第 1位抽籤學生抽中招待券的事件

P(E) = 1

5 + (

4

5)2 times

1

5 + (45)4 times

1

5 + (45)6 times

1

5 + (45)8 times

1

5 + (45)10 times

1

5 + (45)12 times

1

5 + (45)14 times

1

5 + (45)16 times

1

5 +hellip =

06000

答案P(E) = 05556

45事件機率

事件機率可分為一個事件發生的機率兩個事件發生的機率或多個事件發生的機率單獨一個事件

發生的機率可稱為事件機率(Event probability)當兩個事件或兩個以上事件同時發生的機率稱為聯合機率

(Joint probability)


第 21頁共 47頁

特定事件A發生的事件機率(Event probability)通常使用 P(A)符號代表為特定事件A內共有(包含)n

個樣本點(結果元素觀測點或出象)出現個別機率的總和

事件機率 P(A) = sum 119875(119864119894)119899119894=1 EiisinA

範例 422 投擲公正骰子一次出現奇數或單數(add number)的機率

題解投擲一個公正骰子樣本空間S = 1 2 3 4 5 6可能出現的樣本點(結果元素觀測點或出象)

有 6種依據客觀機率理論每個樣本點的機率皆相等機率為1

6

A為出現奇數的事件A = 1 3 5該事件機率為各樣本點出現機率的和

出現奇數的事件機率 P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 1

6 +

1

6 +

1

6 =

1

2 = 050

答案機率 = 050

451聯合機率

在相同的樣本空間 S 中2 個或 2 個以上特定事件同時發生的機率表示 2 個或 2 個以上特定事件之

交集的機率一般使用 P(A1capA2capA3caphellipcapAk)符號表示其聯合機率(Joint probability)

A B

AcapB

圖 4-7聯合機率文氏圖

範例 423 餐旅系二年級 50 位同學修「統計學」與「資料蒐集與應用」兩門課程試計算兩門課程

分別及格和不及格各種組合的聯合機率(答案有效位數四捨五入取到小數點後第 2位)

學生數統計學

及格 E1 不及格 E2

資料蒐集與應用及格 E3 12 14

不及格 E4 11 13

題解設 E1與 E2依序分別為「統計學」及格的事件與不及格的事件設 E3與 E4依序分別為「資料蒐集

與應用」及格的事件與不及格的事件故E1capE3 為「統計學」和「資料蒐集與應用」都及格的事

件E1capE4 為「統計學」及格但「資料蒐集與應用」不及格的事件E2capE3 為「統計學」不及格但

「資料蒐集與應用」及格的事件E2capE4為「統計學」和「資料蒐集與應用」都不及格的事件

「統計學」和「資料蒐集與應用」都及格的聯合機率 P(E1capE3) = 12

50 = 024

「統計學」及格但「資料蒐集與應用」不及格的聯合機率 P(E1capE4) = 11

50 = 022

「統計學」不及格但「資料蒐集與應用」及格的聯合機率 P(E2capE3) = 14

50 = 028

「統計學」和「資料蒐集與應用」都不及格的聯合機率 P(E2capE4) = 13

50 = 026


第 22頁共 47頁

聯合機率表

聯合機率統計學合計(邊際

機率) 及格 E1 不及格 E2

資料蒐集

與應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100

四項聯合機率的和為 1即[P(E1capE3) = 12

50] + [P(E1capE4) =

11

50] + [P(E2capE3) =

14

50] + [P(E2capE4) =

13

50] = 1

452邊際機率

同時擁有 2 個或 2 個以上事件的樣本空間 S 中僅考慮特定一個特定條件(事件)下個別發生的機率

即稱為邊際機率(Marginal probability)或簡單機率(Simple probability)

範例 424 餐旅系二年級 50 位同學修「統計學」和「資料蒐集與應用」兩門課程試計算兩門課程

及格與不及格的邊際機率(答案有效位數四捨五入取到小數點後第 2位)

學生數統計學


資料蒐集與

應用

及格 E3 12 14

不及格 E4 11 13

題解E1E2E3和 E4的邊際機率分別為

統計學及格的邊際機率 P(E1) = P(E1capS) = P[E1cap(E3 + E4)] = P(E1capE3) + P(E1capE4) = 024 + 022 = 046

統計學不及格的邊際機率 P(E2) = P(E2capS) = P[E2cap(E3 + E4)] = P(E2capE3) + P(E2capE4) = 028 + 026 = 054

資料蒐集與應用及格的邊際機率 P(E3) = P(ScapE3) = P[(E1 + E2)capE3] = P(E1capE3) + P(E2capE3) = 024 + 028 =

052

資料蒐集與應用不及格的邊際機率 P(E4) = P(ScapE4) = P[(E1 + E2)capE4] = P(E1capE4) + P(E2capE4) = 022 + 026 =

048

聯合機率表



資料蒐集與

應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100

在聯合機率表中每一欄或每一列事件機率總和的機率即為邊際機率統計學及格 E1和不及格 E2

的邊際機率和為 1即[統計學及格的邊際機率 P(E1) = 046] + [統計學不及格的邊際機率 P(E2) = 054] =

100資料蒐集與應用及格 E3和不及格 E4的邊際機率和為 1即[資料蒐集與應用及格的邊際機率 P(E3) =

052] + [資料蒐集與應用不及格的邊際機率 P(E4) = 048] = 100

453條件機率


第 23頁共 47頁

在已知特定事件發生的情況下另一事件發生的機率為何已知事件 B 發生時[P(B) ne 0]事件 A 發

生的機率稱為事件 A 的條件機率(Conditional probability)利用 P(A|B)符號表示讀法「在 B 條件

下出現 A的機率」條件機率為聯合機率和邊際機率的比值

P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B)其中 P(B) ne 0

P(AcapB) = P(B) times P(A|B)

A B

AcapB

圖 4-8條件機率文氏圖

同理已知 A發生的事件下[P(A) ne 0]事件 B發生的機率稱為事件 B的條件機率

P(B|A) = 119875(AcapB)

119875(A)其中 P(A) ne 0

P(AcapB) = P(A) times P(B|A)

範例 425 餐旅系二年級 50 位同學修「統計學」和「資料蒐集與應用」兩門課程若「統計學」已

經及格時「資料蒐集與應用」及格的機率(答案有效位數四捨五入取到小數點後第 4

位)



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100

題解「統計學」及格時 E1「資料蒐集與應用」及格 E3的機率

P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 07500

若「統計學」已經及格時「資料蒐集與應用」及格的機率為 07500而原本整體的及格機率為

06800故「統計學」及格時「資料蒐集與應用」及格的機率可從 06800提高到 07500

答案P(「資料蒐集與應用」及格|「統計學」及格) = 07500

「統計學」及格時 E1「資料蒐集與應用」不及格 E4的機率 P(E4|E1) = 119875(1198641cap1198644)

119875(1198641) =

010

040 = 02500

「統計學」不及格時 E2「資料蒐集與應用」及格 E3的機率 P(E3|E2) = 119875(1198642cap1198643)

119875(1198642) =

038

060 = 06333

「統計學」不及格時 E2「資料蒐集與應用」不及格 E4的機率 P(E4|E2) = 119875(1198642cap1198644)

119875(1198642) =

022

060 = 03667

「資料蒐集與應用」及格時 E3「統計學」及格 E1的機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 04412

「資料蒐集與應用」及格時 E3「統計學」不及格 E2的機率 P(E2|E3) = 119875(1198642cap1198643)

119875(1198643) =

038

068 = 05588

「資料蒐集與應用」不及格時 E4「統計學」及格 E1的機率 P(E1|E4) = 119875(1198641cap1198644)

119875(1198644) =

010

032 = 03125

「資料蒐集與應用」不及格時 E4「統計學」不及格 E2的機率 P(E2|E4) = 119875(1198642cap1198644)

119875(1198644) =

022

032 = 06875


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2

統計學資料蒐集與應用

06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4

練習 422 奇遇餐廳販售茶碗蒸由於餐廳保存不佳導致現存 12 個茶碗蒸中有 3 個已經生菌數過

高不宜食用請估算(A)小雯到該餐廳欲購買 2 個茶碗蒸其所購得的茶碗蒸皆是生菌

數過高的機率(B)小雯到該餐廳欲購買 2個茶碗蒸其所購得的茶碗蒸皆是生菌數未過高

的機率

題解(A)設 E為第一個購得茶碗蒸為生菌數過高的事件F為第二個購得茶碗蒸為生菌數過高的事件

P(EcapF) = P(E) times P(F|E) = (3

12) times (

2

11) = 00455

(B)設 E為第一個購得茶碗蒸為生菌數未過高的事件F為第二個購得茶碗蒸為生菌數未過高的事件


12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455

練習 423 已知 E和 F事件來自於相同的樣本空間若 P(E) = 033P(F|E) = 027和 P(E|F) = 029

(A)請計算 E與 F的聯合機率(B)P(F)(答案有效位數四捨五入取到小數點後第 4位)

題解

(A)運用已知的條件機率與邊際機率計算獲得聯合機率 P(EcapF) = P(E) times P(F|E) = 033 times 027 = 00891

(B)運用前面已經計算出來的聯合機率和已知的條件機率計算邊際機率 P(F) = 119875(EcapF)

119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072

練習 424 已知 E和 F事件來自於相同的樣本空間若 P(F) = 083P(E|F) = 027和 P(E|FC) = 069

FC是 F的餘集(complement)請計算(A) P(E)(B) P(F|E)(答案有效位數四捨五入取到小

數點後第 4位)

題解運用已知的條件機率與邊際機率計算獲得聯合機率 P(EcapF) = P(F) times P(E|F) = 083 times 027 = 02241

P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(E)minus119875(EcapF)

1minus119875(F) =

119875(E)minus02241

1minus083 = 069 rarr P(E) ndash 02241 = 069 times (1 ndash 083) = 069 times 017 = 01173

rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564

練習 425 已知 E和 F事件來自於相同的樣本空間若 P(E) = 038P(F) = 023和 P(EcupF) = 057EC

和 FC分別是 E和 F的餘集(complement)請計算(A) P(E|F)(B) P(EcapFC)(C) P(ECcupFC)

(D) P(E|FC)(答案有效位數四捨五入取到小數點後第 4位)

題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739

(B) P(EcapFC) = P(E) ndash P(EcapF) = P(E) ndash [P(E) + P(F) ndash P(EcupF)] = 03400

(C) P(ECcupFC) = 1 ndash P(EcapF) = 1 ndash [P(E) + P(F) ndash P(EcupF)] = 09600

(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416

答案(A) P(E|F) = 01739(B) P(EcapFC) = 03400(C) P(ECcupFC) = 09600(D) P(E|FC) = 04416


第 25頁共 47頁

練習 426 提供 P(E) = 038P(F|E) = 023和 P(F|EC) = 005機率數值EC和 FC分別是 E和 F的餘集

(complement)請計算(A) P(F)(B) P(EcapFC)(C) P(EcupF)(D) P(ECcapFC)(答案有效位數


題解

P(EcapF) = P(E) times P(F|E) = 038 times 023 = 00874

P(ECcapF) = P(EC) times P(F|EC) = (1 ndash 038) times 005 = 00310

(A) P(F) = P(EcapF) + P(ECcapF) = 00874 + 00310 = 01184

(B) P(EcapFC) = P(E) ndash P(EcapF) = 038 ndash 00874 = 02926

(C) P(EcupF) = P(E) + P(F) ndash P(EcapF) = 038 + 01184 ndash 00874 = 04110

(D) P(ECcapFC) = 1 ndash P(EcupF) = 1 ndash 04110 = 05890

答案(A) P(F) = 00874(B) P(EcapFC) = 02926(C) P(EcupF) = 04110(D) P(ECcapFC) = 05890

練習 427 提供 P(E) = 060P(F) = 050 和 P(FcapE) = 032 機率數值EC和 FC分別是 E 和 F 的餘集

(complement)請計算 (A) P(ECcapF)(B) P(EcapFC) (C) P(ECcupFC) (D) P(ECcapFC) (E)

P(E|FC)(答案有效位數四捨五入取到小數點後第 4位)

題解

(A) P(ECcapF) = P(F) ndash P(EcapF) = 050 ndash 032 = 018


(C) P(ECcupFC) = P(EcapF)C = 1 ndash P(EcapF) = 1 ndash 032 = 068

(D) P(ECcapFC) = 1 ndash P(EcupF) = 1 ndash [P(E) + P(F) ndash P(EcapF)] = 1 ndash (06 + 050 ndash 032) = 022

(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056

答案(A) P(ECcapF) = 01800(B) P(EcapFC) = 02800(C) P(ECcupFC) = 06800(D) P(ECcapFC) = 02200(E)

P(E|FC) = 05600

範例 426 提供 P(E) = 060P(F|E) = 050和 P(E|F) = 032機率數值請計算 P(F)(答案有效位數四捨

五入取到小數點後第 4位)

題解P(EcapF) = P(E) times P(F|E) = P(F) times P(E|F) = 060 times 050 = P(F) times 032 rarr P(F) = 09375

答案P(F) = 09375

練習 428 觀光系一年級甲班 10 位學生學習統計學很用心老師提供 3 張有機餐廳招待券給該 10 位

學生抽獎製作 3 張招待券的籤另外再製作 10 張空白籤一起放到抽獎箱抽獎經抽

出的籤不再放回去抽獎箱中供下一位抽取試計算(A)第 1 位抽獎的學生抽中招待券的

機率(B)第 2位抽獎的學生抽中招待券的機率(C)第 10 位抽獎的學生抽中招待券的

機率(D)10位學生都沒有抽中的機率(答案有效位數四捨五入取到小數點後第 4位)

題解設 Ei為第 i位學生抽中招待券的事件E119894119862代表第 i位學生沒有抽中招待券的事件

(A) P(E1) = 招待券數

招待券數+空白籤數 =

3

3+10 = 02308

(B) P(E2) = P(E1capE2) + P(E1119862capE2) = P(E1) times P(E2|E1) + P(E1

C) times P(E2|E1C) =

3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3

13 = 02308在每一個籤被抽中機率皆相等的前題下故在抽籤後不放回去情況時前抽者

或後抽者的抽中機率相等在抽籤後放回去情況時前抽者或後抽者的抽中機率亦相等

(C) P(E10) = 02308 同理

(D) 10 位學生沒有抽中的組合數即是 10 張空白券都被 10 位學生抽中剩下 3 張剛好都是招待券的

籤故僅有一種組合即1198621010 = 1所有結果的組合數從 13 個籤中隨機抽出 10 個一共有11986210

13 =


第 26頁共 47頁

286(利用 Excel 軟體 COMBIN 函數查詢獲得)種組合數10 位學生都沒有抽中的機率 = 沒有抽中的組合數

所有結果的組合數

= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035






題解設 Ei為第 i位學生抽中招待券的事件E119894C代表第 i位學生沒有抽中招待券的事件



3

3+12 = 02000

(B) P(E2) = P(E1capE2) + P(E1CcapE2) = P(E1) times P(E2|E1) + P(E1


3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理

(D) 10位學生沒有抽中的組合數即是 12張空白券都被 10位學生抽中剩下 5張籤中有三張是招待券

的籤故有 66種組合即1198621012 = 66(利用 Excel軟體 COMBIN函數查詢獲得)所有結果的組合數從

12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003

沒有抽中的組合數

所有結果的組合數 =

1198621012

1198621015 =

12

10times(12minus10)15

10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10

10times2times115times14times13times12times11times10


=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220

範例 427 已知 P(E) = 052P(F) = 025與 P(E|F) = 083FC是 F的餘集(complement)請計算 P(E|FC)

機率(答案有效位數四捨五入取到小數點後第 2位)

題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)

025 rarr P(EcapF) = 02075

P(FC) = 1 ndash P(F) = 1 ndash 025 = 075

P(EcapFC) = P(E) ndash P(EcapF) = 052 ndash 02075 = 03125


119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042

46機率運算法則

一個事件與其他事件的關係可以區分為獨立事件(Independent event)相依事件(dependent event)和互

斥事件(mutually exclusive event)三種型態

461獨立事件

在相同的樣本空間中A 事件發生不會影響 B 事件發生的機率故 A 和 B 事件之間互為獨立事件

下列關係式皆會成立以 AperpB符號代表 A和 B兩事件之間屬於獨立事件(Independent events)

P(A|B) = P(A) 條件機率 = 邊際機率


第 27頁共 47頁

P(B|A) = P(B) 條件機率 = 邊際機率

P(AcapB) = P(A) times P(B)

上述三者中任何一個條件成立時A和 B兩事件可以被判定互為獨立事件當上述任何一個條件成立

時其他兩個條件亦會同時成立當 A 和 B 兩事件之間屬於獨立事件時A 事件發生的機率不受到 B 事

件發生與否的影響故P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B) = P(A)因此P(AcapB) = P(A) times P(B)

在相同的樣本空間中若 AB 和 C 事件之間為完全獨立事件(Mutually independent)下列關係式皆

會成立以 AperpBperpC符號代表 AB和 C三事件之間屬於(互為)獨立事件


P(AcapC) = P(A) times P(C)

P(BcapC) = P(B) times P(C)

P(AcapBcapC) = P(A) times P(B) times P(C)

當 A和 B兩個事件互為獨立事件時A與 BC之間關係亦為獨立事件AC與 B之間關係亦為獨立事件

和 AC與 BC之間關係亦為獨立事件

範例 428 大學某班級 62位學生全部參加中餐丙級檢定考試判斷學生性別和通過與否是否獨立

檢定考試

性別通過(A) 未通過(B) 合計

男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810

因為 P(AcapC) = 02581 ne P(A) times P(C) = 02810因此判斷性別與檢定通過與否兩者之間不為獨立事件

答案性別與檢定通過與否兩者之間不為獨立事件

範例 429 同時投擲公正骰子和銅板一次出現骰子 3和銅板 H的機率

題解同時投擲公正骰子和銅板屬於相互獨立事件

A事件骰子樣本空間S = 1 2 3 4 5 6可能出現的樣本點(結果元素觀測點或出象)有 6種依

據古典機率理論每個樣本點的機率皆相等機率為1

6

B 事件銅板樣本空間S = H T可能出現的樣本點有 2 種依據古典機率理論每個樣本點的機率皆

為1

2

P(AcapB) = P(A) times P(B) = 1

6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)

答案出現骰子 3和銅板 H的機率1

12

範例 430 事件 E與 F互為獨立事件且已知 P(E) = 052與 P(F) = 025請計算 P(EcapF)與 P(EcapFC)機

率(答案有效位數四捨五入取到小數點後第 2位)

題解事件 E與 F之間屬於獨立事件故 P(EcapF) = P(E) times P(F) = 052 times 025 = 013

因 P(E) = P(EcapS) = P[Ecap(F + FC)] = P(EcapF) + P(EcapFC)故 P(EcapFC) = P(E) ndash P(EcapF) = 052 ndash 013 = 039

答案P(EcapF) = 013P(EcapFC) = 039


第 28頁共 47頁

練習 430 事件 E與 F互為獨立事件且已知 P(E) = 052與 P(F) = 025EC和 FC分別是 E和 F的餘

集(complement)請計算 P(EcupF)P(ECcapF)P(ECcupF)P(ECcapFC)與 P(ECcupFC)機率(答

案有效位數四捨五入取到小數點後第 2位)

題解

P(EcapF) = P(E) times P(F) = 052 times 025 = 013

P(EcupF) = P(E) + P(F) ndash P(EcapF) = 052 + 025 ndash 013 = 064

P(ECcapF) = P(F) ndash P(EcapF) = 025 ndash 013 = 012

P(ECcupF) = P(EC) + P(F) ndash P(ECcapF) = 1 ndash P(E) + P(F) ndash P(ECcapF) = 1 ndash 052 + 025 ndash 012 = 061

P(ECcapFC) = P[(EcupF)C] = 1 ndash P(EcupF) = 1 ndash 064 = 036

P(ECcupFC) = P[(EcapF)C] = 1 ndash P(EcapF) = 1 ndash 013 = 087

答案P(EcupF) = 064P(ECcapF) = 012P(ECcupF) = 061P(ECcapFC) = 036P(ECcupFC) = 087

範例 431 假設事件 E與 F互為獨立事件請證明事件 E的餘集 EC和事件 F的餘集 FC兩者亦是互為

獨立事件

題解事件 E與 F互為獨立事件事件 E與 F交集機率 P(EcapF) = P(E) times P(F)

P(ECcapFC) = P[(EcupF)C] = 1 ndash P(EcupF) = 1 ndash [P(E) + P(F) ndash P(EcapF)] = 1 ndash P(E) - P(F) + P(EcapF) = 1 ndash P(E) - P(F)

+ P(E) times P(F) = [1 ndash P(E)] times [1 ndash P(F)] = P(EC) times P(FC)

因 P(ECcapFC) = P(EC) times P(FC)關係成立故事件 E的餘集 EC和事件 F的餘集 FC兩者亦是互為獨立事件

462相依事件

A事件發生會影響另一個 B事件發生的機率下列關係式皆不會成立

P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)


上述三者中任何一個條件不成立時A 和 B 兩事件之間可以被判定為相依事件(Dependent events)

從屬事件或不獨立事件當上述任何一個條件不成立時其他兩個條件亦會同時不成立

範例 432 餐旅系二年級 50 位同學修「統計學」和「資料蒐集與應用」兩門課試問「統計學」及

格與否是否會影響「資料蒐集與應用」及格的機率



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100

題解P(E1) = 040「統計學」及格的事件機率P(E2) = 060「統計學」不及格的事件機率P(E3) = 068

「資料蒐集與應用」及格的事件機率P(E4) = 032「資料蒐集與應用」不及格的事件機率

P(E1capE3) = 030 ne P(E1) times P(E3) = 040 times 068 = 0272

條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率

事件 E3(「資料蒐集與應用」及格事件)的條件機率不等於事件 E3(「資料蒐集與應用」及格事件)的邊

際機率

事件 E1(「統計學」及格事件)的條件機率不等於事件 E1(「統計學」及格事件)的邊際機率


第 29頁共 47頁

故「統計學」及格與否會影響「資料蒐集與應用」及格的機率「統計學」及格或不及格和「資料蒐集

與應用」及格或不及格兩者為相依事件

463互斥事件

A 與 B 兩事件沒有共同的樣本點(結果元素觀測點或出象)A 與 B 兩事件之間屬於互斥事件

(Mutually exclusive events disjoint events)即 A事件發生時B事件絕不會發生故 P(AcapB) = 0A與 B

兩事件交集為空集合另 P(AcupB) = P(A) + P(B)

A B


464加法法則

加法法則(Addition rule)使用於計算兩事件聯集的機率兩個事件(單獨一個或兩個一起)可能發生的機

率

4641兩事件屬互斥關係

兩個事件屬於互斥(exclusive)關係或互斥事件代表兩個事件不會同時發生即兩個事件屬於互斥關

係時兩個事件同時發生的機率為 0P(AcapB) = 0在兩個事件之間屬於互斥關係時其加法法則為

P(A或 B) = P(AcupB) = P(A) + P(B)

4642兩事件屬非互斥關係

P(A或 B或 A及 B同時發生) = P(AcupB) = P(A) + P(B) ndash P(AcapB)

式中 P(AcapB)是 A及 B事件同時發生的機率

範例 433 餐旅系某班學生 50人其中 20歲的學生有 35人女性學生有 30人而女性學生中 20歲

的有 21人該班學生年齡為 20歲或是女性的機率有多少(答案有效位數四捨五入取到小

數點後第 2位)

題解20歲(E事件)和女性(F事件)兩者非互斥關係20歲學生(E事件)機率 P(E) = 35

50 = 07女性學生(F事

件)機率 P(F) = 30

50 = 06

E和 F事件交集機率 P(EcapF) = 21

50 = 042代表 20歲學生同時也是女性學生的機率

E和 F事件聯集機率 P(EcupF) = P(E) + P(F) ndash P(EcapF) = 07 + 06 ndash 042 = 088即為學生年齡 20歲或女性的

機率

答案學生年齡為 20歲或女性的機率 088

練習 431 已知 P(EcapF) = 018P(EcapFC) = 012 與 P(ECcapF) = 042EC和 FC分別是 E 和 F 的餘集

(complement)請計算 P(EcupF)P(ECcupFC)與 P(ECcapFC)機率事件 E 與 F 是否為互斥事

件是否為獨立事件為什麼(答案有效位數四捨五入取到小數點後第 2位)

題解P(E) = P(EcapS) = P[Ecap(F + FC)] = P(EcapF) + P(EcapFC) = 018 + 012 = 030


第 30頁共 47頁

P(F) = P(FcapS) = P(ScapF) = P[(E + EC)capF] = P(EcapF) + P(ECcapF) = 018 + 042 = 060




P(EcupF) = 072 ne P(E) + P(F) = 030 + 060 = 090故 E和 F兩者非互斥事件

P(EcapF) = 018 = P(E) times P(F) =030 times 060 = 018故 E和 F兩者獨立事件

答案P(EcupF) = 072P(ECcupFC) = 082P(ECcapFC) = 028事件 E與 F兩者非互斥事件兩者為獨立事

件

練習 432 已知 EF與 G為互斥事件P(E) = 032P(F) = 024與 P(G) = 021EC和 GC分別是 E和

G 的餘集(complement)請計算 P(EcupFcupG)P[ECcap(FcupG)]與 P[(FcupGC)C]機率(答案有

效位數四捨五入取到小數點後第 2位)

題解

P(EcupFcupG) = P(E) + P(F) + P(G) = 032 + 024 + 021 = 077

EF與 G為互斥事件E分別與 F和 G沒有交集故 E的餘集與 F和 G的聯集之交集亦等於 F和 G的

聯集 P[ECcap(FcupG)] = P(FcupG) = P(F) + P(G) = 024 + 021 = 045

P[(FcupGC)C] = 1 ndash P(FcupGC) = 1 ndash P(GC) = 1 ndash [1 ndash P(G)] = P(G) = 021

答案P(EcupFcupG) = 077P[ECcap(FcupG)] = 045P[(FcupGC)C] = 021

E F G

465乘法法則

當兩個隨機試驗同時進行各隨機試驗之特定事件同時發生之機率可以透過條件機率的方式呈現

P(AcapB) = P(A) times P(B|A) = P(B) times P(A|B) rarr 獨立和非獨立都成立

當兩個隨機試驗同時進行各隨機試驗之特定事件同時發生之機率為兩事件獨立發生機率之相乘

積即為乘法法則(Multiplication rule)或乘法定理(Multiplication theorem)當事件 A 和 B 為獨立事件

P(B|A) = P(B)和 P(A|B) = P(A)故 P(AcapB) = P(A) times P(B)

P(AcapB) = P(A) times P(B) rarr 僅獨立成立

乘法法則運用可以推展至三個事件(A1A2A3hellipAk)以上

P(A1capA2capA3caphellipcapAk) = P(A1) times P(A2|A1) times P(A3|A1capA2) timeshelliptimes P(Ak|A1capA2capA3caphellipcapAk-1) rarr 獨立和非獨立都

成立

當 k個隨機試驗同時進行各隨機試驗之特定事件同時發生之機率為 k事件獨立發生機率之相乘積

即為乘法法則(Multiplication rule)或乘法定理(Multiplication theorem)當事件 A1A2hellipAk彼此間互為

獨立事件P(A2|A1) = P(A2)和 P(A3|A1capA2) = P(A3)故 P(A1capA2capA3caphellipcapAk) = P(A1) times P(A2) times P(A3) timeshelliptimes

P(Ak)

P(A1capA2capA3caphellipcapAk) = P(A1) times P(A2) times P(A3) timeshelliptimes P(Ak) rarr 僅獨立成立

範例 434 設同時擲公正硬幣及骰子其出現正面(H)及 3 點之機率(答案有效位數四捨五入取到小

數點後第 4位)


第 31頁共 47頁

題解同時擲公正硬幣及骰子屬於兩個相互獨立事件

硬幣出現 H之機率 P(H) = 1

2 骰子出現 3點之機率 P(3) =

1

6

同時出現正面(H)及 3點之機率 P(Hcap3) = P(H) times P(3) = 1

2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖

範例 435 設高雄地區居民男女性別比例男性為 051而女性比例為 1 ndash 051 = 049一個家庭出生四

個嬰兒全為女性之機率為 P(GGGG) = (049)4 = 00576若一家庭中 4個嬰兒中有一個為男

性之現象有 BGGGGBGGGGBG和 GGGB共 4種每種情形之機率為(049)3 times (051) =

006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024

家庭中有四個嬰兒各種出生性別組合之機率

男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000

4651兩個事件交集機率

計算兩事件交集的機率可透過條件機率(已知時)進行估算

P(AcapB) = P(A) times P(B|A) = P(B) times P(A|B)

4652三個事件交集機率

計算三個事件交集的機率亦可透過條件機率(已知時)進行估算

P(AcapBcapC) = P(A) times P(B|A) times P(C|AcapB)

P(AcapBcapCcapD) = P(A) times P(B|A) times P(C|AcapB) times P(D|AcapBcapC)

466分割集合

若在樣本空間 S 中有 A1 A2 A3hellip Am 事件為彼此皆為互斥事件(mutually exclusive event)和周延事件

(exhaustive events)其中任何兩個不同事件 Ai和 Aj的交集cap皆為空集合(AicapAj = ϕ其中 i ne ji j = 1hellip


第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894

119898119894=1 = A1 + A2 + A3 +hellip+ Am此A1 A2 A3hellip Am為分割集合(partition

set)

符合下列公式的集合即為分割集合(partition set)

P(A1cupA2cupA3cuphellipcupAm) = P(A1) + P(A2) + P(A3) +hellip+ P(Am) = P(S) = 10000代表周延特性

P(AicapAj) = 00000其中 i ne ji j = 1hellip m代表互斥特性

A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5

圖 4-11分隔集合示意圖

總(全)機率定理(法則)(total probability theorem theorem of total probability)

B事件為與 Ai事件在同一樣本空間 S中另一個特定事件B事件分別與 A1 A2 A3hellip Am事件有交集存

在其中A1 A2 A3hellip Am事件所構成的集合A1 A2 A3hellip Am為分割集合(partition set)

P(B) = P(BcapS) = P(Bcapsum 119860119894119898119894=1 ) = sum 119875(119861 cap 119860119894)119898

119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1

說明P(B) = P(BcapS) = P[Bcap(A + AC)] = P(BcapA) + P(BcapAC) = P(Bcapsum 119860119894119898119894=1 ) = P(BcapA1) + P(BcapA2) +hellip+

P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB

圖 4-12總機率定理文氏圖

範例 436 深水大學觀光系一年級修統計學課程期中考男生考試不及格人數佔全班1

6女生考試不

及格人數佔全班1

4試估算隨機抽取一位觀光系一年級學生其統計學期中考成績不及格

的機率(答案有效位數四捨五入取到小數點後第 4位)

題解樣本空間 S全部觀光系一年級學生 = F1 F2F1代表男生F2代表女生則 F1和 F2屬於分

割集合E代表統計學期中考不及格的事件

P(統計學期中考不及格的事件cap男生) = P(EcapF1) = 1

6 = 01667題目提供聯合機率

P(統計學期中考不及格的事件cap女生) = P(EcapF2) = 1

4 = 02500

邊際機率不及格機率 P(E) = P(EcapS) = P[Ecap(F1 + F2)] = P(EcapF1) + P(EcapF2) = 01667 + 02500 = 04167

答案隨機抽取一位學生統計學期中考成績不及格機率 04167


第 33頁共 47頁

範例 437 觀光系一年級修統計學課程期中考男生考試不及格者有1

6女生考試不及格者有

1

7男生

有 10 位女生有 40 位試估算隨機抽取一位觀光系一年級學生其統計學期中考成績不

及格的機率(答案有效位數四捨五入取到小數點後第 4位)

題解樣本空間 S全部觀光系一年級學生 = F1 F2事件 F1代表男生 P(F1) = 10

10+40 = 02000事件

F2代表女生 P(F2) = 40

10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事

件屬於分割集合E代表統計學期中考不及格的事件

P(統計學期中考不及格的事件|男生) = P(E|F1) = 1

6 = 01667題目提供條件機率

P(統計學期中考不及格的事件|女生) = P(E|F2) = 1

7 = 01429

邊際機率隨機抽取一位學生期中考成績不及格的機率 P(E) = P(EcapS) = P[Ecap(F1 + F2)] = P(EcapF1) +

P(EcapF2) = P(F1) times P(E|F1) + P(F2) times P(E|F2) = 02000 times 01667 + 08000 times 01429 = 01476

答案隨機抽取一位學生期中考成績不及格的機率 01476

範例 438 阿良餐廳販售螃蟹大餐其供應商提供螃蟹經民間業者檢驗是否硝基夫喃代謝物殘留依

據該民間業者以往的檢驗記錄顯示硝基夫喃代謝物實際低於標準者被檢驗為高於標準

者(誤判)機率為 002硝基夫喃代謝物實際高於標準者被檢驗為低於標準者(誤判)機率

為 008若今進貨一批螃蟹硝基夫喃代謝物高於標準者有 10 低於標準者有 90

進貨現場抽取一隻螃蟹送驗試估算在檢驗結果誤判的機率(答案有效位數四捨五入取

到小數點後第 3位)

題解E1硝基夫喃代謝物高於標準者的事件 P(E1) = 010E2硝基夫喃代謝物低於標準者的事件 P(E2)

= 090P(E1) + P(E2) = 010 + 090 = 100 = P(S)則 E1和 E2屬於分割集合F檢驗結果誤判的事

件

P(檢驗結果誤判|硝基夫喃代謝物高於標準者) = P(F|E1) = 002

P(檢驗結果誤判|硝基夫喃代謝物低於標準者) = P(F|E2) = 008

邊際機率檢驗結果誤判的機率 P(F) = P(FcapS) = P[Fcap(E1 + E2)] = P(FcapE1) + P(FcapE2) = P(E1) times P(F|E1) +

P(E2) times P(F|E2) = 010 times 002 + 090 times 008 = 0074

答案現場抽取一隻螃蟹送驗檢驗結果誤判的機率為 0074

練習 433 若 E1E2和 E3事件之間屬於分割集合與 E1E2和 E3事件在相同樣本空間中有另一個 F

事件已知 P(E1) = 040P(E2) = 029P(E3) = 031P(F|E1) = 047P(F|E2) = 039 和

P(F|E3) = 041請計算(A) P(E1|F)(B) P(E2|F)(C) P(E3|F) (答案有效位數四捨五入取到小

數點後第 4位)

題解P(F) = P(FcapS) = P[Fcap(E1 + E2 + E3)] = P(FcapE1) + P(FcapE2) + P(FcapE3) = P(E1) times P(F|E1) + P(E2) times

P(F|E2) + P(E3) times P(F|E3) = 040 times 047 + 029 times 039 + 031 times 041 = 04282

(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁

貝氏定理(Bayesrsquo theorem Bayes rule)是詮釋隨機事件 A 和 B 的條件機率與邊際機率的一種定理通

常在事件 B發生的前提下事件 A發生的機率 P(A|B)與事件 A發生的前提下事件 B發生的機率 P(B|A)

兩者是不一樣的狀況貝氏定理也是在陳述此兩者之間的關係

若已知在樣本空間 S中有 A1 A2 A3hellip Am事件為彼此皆為互斥事件(mutually exclusive event)和周延事

件(exhaustive events)其中任何兩個不同事件 Ai和 Aj的交集cap皆為空集合(AicapAj = ϕ其中 i ne ji j = 1hellip

m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894

119899119894=1 此A1 A2 A3 hellip Am為分割集合(partition set)

B 事件為與 Ai事件同一樣本空間 S中的另一特定事件另已知 P(Ai)及 P(B|Ai)數值在已知 B事件發

生的條件下Ai事件發生的條件機率 P(Ai|B)

P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)

119875(A1)times119875(B|A1)+119875(A2)times119875(B|A2)+119875(A3)times119875(B|A3)+⋯+119875(A119898)times119875(B|A119898)

P(Ai)為事前機率(prior probability)已知者在獲得隨機試驗與樣本空間的特性依據機率概念與機

率運算法則獲得特定事件的機率

P(B|Ai)為條件機率(conditional probability)已知者

P(Ai|B)為事後機率(posterior probability)或修正機率(revised probability)欲知者供後續決策時準確

性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB

圖 4-13貝氏公式文氏圖

貝氏公式(Bayes formula)

P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1

範例 439 阿良餐廳前半年同時向 S1和 S2兩家肉品供應商採購冷凍豬肉S1供應商採購 300箱S2供

應商採購 200 箱阿良餐廳老闆不惜成本自費送衛生局檢驗豬肉抗生素殘留量結果其中

發現 S1供應商的供貨有 5 箱抗生素殘留過量(B)S2供應商有 6 箱抗生素殘留過量(B)阿

良餐廳老闆皆將殘留過量的豬肉整箱送焚化場銷毀試估算在送焚化場銷毀的豬肉中來

自 S1供應商的機率(答案有效位數四捨五入取到小數點後第 4位)

題解S1供應商提供肉品的事件機率 P(S1) = 300

300+200 =

300

500 = 06S2供應商提供肉品的事件機率 P(S2) =

200

500

= 200

300+200 = 04P(S1) + P(S2) = 06 + 04 = 10 = P(S)S1和 S2兩事件屬於分割集合

抗生素殘留是否合格的條件機率

S1供應商 S2供應商

抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁

S1供應商提供肉品抗生素殘留不過量的機率 P(G|S1) = 119875(GcapS1)

119875(S1) =

295

300 = 09833

S1供應商提供肉品抗生素殘留過量的機率 P(B|S1) = 119875(BcapS1)

119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300

抗生素殘留是否合格的聯合機率

S1供應商 S2供應商合計(邊際機率)

抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000

所有肉品中 S1供應商提供且抗生素殘留不過量的機率 P(GcapS1) = P(G|S1) times P(S1) = 09833 times 06 = 05900

所有肉品中 S1供應商提供且抗生素殘留過量的機率 P(BcapS1) = P(B|S1) times P(S1) = 00167 times 06 = 00100



不論是 S1或 S2供應商肉品中抗生素殘留不過量的機率 P(G) = P(GcapS) = P[Gcap(S1 + S2)] = P(GcapS1) +

P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780

不論是 S1或 S2供應商肉品中抗生素殘留過量的機率 P(B) = P(BcapS) = P[Bcap(S1 + S2)] = P(BcapS1) + P(BcapS2)

= 00100 + 00120 = 00220

送焚化場銷毀的豬肉(B)中來自 S1供應商的機率 P(S1|B) = 119875(S1capB)

119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商

的供貨有 5箱抗生素殘留過量(B)S2供應商有 6箱抗生素殘留過量(B)]

同理送焚化場銷毀的豬肉(B)中來自 S2供應商的機率 P(S2|B) = 119875(S2capB)

119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1

供應商的供貨有 5箱抗生素殘留過量(B)S2供應商有 6箱抗生素殘留過量(B)]

肉品

供應商S1

供應商S2

供應商抗生素殘留

P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G

聯合機率P(S1capB) =

P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100

練習 434 深水大學餐旅系四年級學生男生佔 15 女生佔 85 已知男生中有 70 擁有中餐丙

級證照女生 85 擁有中餐丙級證照若從該系四年級學生隨機抽取一位學生若確定

此學生擁有中餐丙級證照此生屬於男生的機率女生的機率(答案有效位數四捨五入

取到小數點後第 4位)

題解C表示擁有中餐丙級證照的事件M表示男生的事件 P(M) = 015F表示女生的事件 P(F) = 085

M 和 F 兩事件屬於分割集合 P(M) + P(F) = 015 + 085 = 100 = P(S)男生 70 擁有中餐丙級證照

P(C|M) = 070女生 85 擁有中餐丙級證照 P(C|F) = 085

隨機抽一位學生擁有中餐丙級證照的機率 P(C) = P(CcapS) = P[Ccap(M + F)] = P(CcapM) + P(CcapF) = P(M) times

P(C|M) + P(F) times P(C|F) = 015 times 070 + 085 times 085 = 08275依據總機率定理


第 36頁共 47頁

確定此學生擁有中餐丙級證照此生屬於男生的機率 P(M|C) = 119875(119872cap119862)

119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269

確定此學生擁有中餐丙級證照此生屬於女生的機率 P(F|C) = 119875(119865cap119862)

119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731

答案隨機抽取一位學生若確定此學生擁有中餐丙級證照此生屬於男生的機率 01269女生的機率

08731

四年級學生

男生M

女生F

性別中餐丙級證照

P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有

聯合機率P(McapC) =

P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105

練習 435 使用 H1N1新流感快篩試劑檢測國人罹患 H1N1新流感的準確性和可靠性假設經過長時間

的統計分析獲得罹患 H1N1新流感時 92 可以利用H1N1快篩試劑篩選出陽性反應沒有

罹患H1N1新流感者使用快篩試劑會有 1 會產生陽性反應被誤認為罹患新流感假設

有 52 的國人罹患新流感若從全體國人隨機抽選一位以 H1N1快篩試劑檢測發現其

為陽性者請估算此位國人隨後以血清檢查確認其罹患新流感的機率(答案有效位數四

捨五入取到小數點後第 4位)

題解E 表示被抽中的國人罹患新流感之事件未罹患新流感為 EC 事件E 與 EC 兩事件屬於分割集合

P(E) + P(EC) = P(S) = 10000F 表示被抽中的國人經快篩試劑檢驗為陽性之事件P(E) = 0052

P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)

119875(E)times119875(F|E)+119875(EC)times119875(F|EC) =

0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感

是否罹患快篩結果

P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性

練習 436 本系畢業生小琦欲應徵進入深水高級連鎖餐廳服務以往應徵者經書面審查後有一部份會

通知面試再決定是否錄取也有經書面審查即通知錄取者已知該高級餐廳的平均錄取

率為 32 以往被錄取的人員有 60 經過面試而未被錄取的應徵者僅有 34 經過面

試該生已經有面試請估算其被錄取的機率(答案有效位數四捨五入取到小數點後第 4

位)

題解E表示被錄取之事件未被錄取之事件為 ECE和 EC兩事件為分割集合P(E) + P(EC) = 10000F

表示參加面試之事件P(E) = 0032P(F|E) = 060P(EC) = 0968P(F|EC) = 0034

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取

是否錄取面試邀請

P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試

練習 437 小琦餐廳擁有三部全自動研磨咖啡機已知 E1E2和 E3咖啡機分別製作 1530和 55 咖

啡飲料依據以往操作紀錄E1E2 和 E3 咖啡機在製作咖啡飲料時水量太多或太少的

不良率依序分別為 65 和 4 (A)試求在全部咖啡飲料中隨機抽取一杯為水量太多或

太少的機率(B)在已知咖啡飲料為水量太多或太少此咖啡飲料分別來自 E1E2和 E3咖

啡機的機率(答案有效位數四捨五入取到小數點後第 4位)

題解E1E2和 E3表示不同咖啡機製作之事件E1E2和 E3三事件屬於分割集合P(E1) + P(E2) + P(E3)

= 10000F 表示咖啡水量未在標準值內(不良)之事件P(E1) = 015P(F|E1) = 006P(E2) = 030

P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004

隨機抽取一杯為水量太多或太少的機率 P(F) = P(FcapS) = P[Fcap(E1 + E2 + E3)] = P[(E1 + E2 + E3)capF] = P(E1capF)

+ P(E2capF) + P(E3capF) = P(E1) times P(F|E1) + P(E2) times P(F|E2) + P(E3) times P(F|E3) = 015 times 006 + 030 times 005 +

055 times 004 = 00460依據總機率定理

已知咖啡飲料為水量太多或太少此咖啡飲料來自 E1 咖啡機的機率 P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783

答案(A)機率 = 00460(B) P(E1|F) = 01957P(E2|F) = 03261P(E3|F) = 04783

咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096

範例 440 高雄深水商業大樓每位員工每天皆有喝一杯咖啡的習慣該大樓一樓有A和 B兩家不同體

系連鎖咖啡館若小歐今天喝的是 A家咖啡明天喝 A和 B兩家咖啡的機率分別為 04和

06若小歐今天喝的是 B家咖啡明天喝 A和 B兩家咖啡的機率分別為 052 和 048假

設本週星期一小歐喝的是A家咖啡星期四喝的是 B家咖啡請估算小歐星期二和星期三

喝的是不同連鎖體系咖啡之機率

題解星期四喝的是 B家咖啡星期二和星期三喝的是不同連鎖體系咖啡之機率 = P(星期二喝 A星期三

喝 B或星期二喝 B星期三喝 A|星期四喝 B) = 119875(星期二喝 A 星期三喝 B 或星期二喝 B 星期三喝 Acap星期四喝 B)

119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁

119875(星期二喝 A 星期三喝 B 星期四喝 B)+119875(星期二喝 B 星期三喝 A 星期四喝 B)

119875(星期四喝 BcapS) =


119875[星期四喝 Bcap(星期二喝 A 星期三喝 A+星期二喝 A 星期三喝 B+星期二喝 B 星期三喝 A+星期二喝 B 星期三喝 B)] =


119875(星期二 A 星期三 A 星期四 B)+119875(星期二 A 星期三 B 星期四 B)+119875(星期二 B 星期三 A 星期四 B)+119875(星期二 B 星期三 B 星期四 B) =

(040times060times048)+(060times052times060)

(040times040times060)+(040times060times048)+(060times052times060)+(060times048times048) =

01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635

答案P(星期二喝 A星期三喝 B或星期二喝 B星期三喝 A|星期四喝 B) = 05635

04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

練習 438 阿良餐廳前半年同時向 S1S2和 S3三家肉品供應商採購冷凍豬肉S1供應商採購 300箱

S2供應商採購 200 箱S3供應商採購 400 箱阿良餐廳老闆不惜成本自費送衛生局檢驗豬

肉抗生素殘留量結果其中發現 S1供應商的供貨有 5箱抗生素殘留過量(B)S2供應商有 6

箱抗生素殘留過量(B)S3 供應商有 2 箱抗生素殘留過量(B)阿良餐廳老闆皆將殘留過量

的豬肉整箱送焚化場銷毀試估算在送焚化場銷毀的豬肉中來自 S1供應商的機率來自

S2供應商的機率來自 S3供應商的機率(答案有效位數四捨五入取到小數點後第 4位)

答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538

練習 439 擲一個公正骰子(有 6 面每 1 面點數分別為 12345 和 6)三次點數和為 5 的機


題解計數法則6 times 6 times 6 = 216種排列方式點數和 5事件的樣本空間 = (113) (122) (131) (212)

(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278

練習 441 若 P(F) = 035P(E|F) = 045和 P(F|E) = 035請計算 P(E)機率

題解P(F) times P(E|F) = P(EcapF) P(E) times P(F|E) = P(EcapF)

P(F) times P(E|F) = P(E) times P(F|E) rarr 035 times 045 = P(E) times 035 rarr P(E) = 045

答案P(E) = 045

練習 442 若 E與 F二事件互相獨立則下列何者正確(A)P(EcupF) = P(E) + P(F)(B)P(EcapF) = P(E)

+ P(F)(C)P(EcapF) = 0(D)P(E|F) = P(E)(99年公務人員初等考試統計學大意) D

練習 443 設有 E和 F二事件且 P(E) = 04 P(F|E) = 035 P(EcupF) = 069則 P(F)等於(A)014

(B)043(C)075(D)059(99年公務人員初等考試統計學大意) B

練習 444 袋中有 1個黑球與 1個白球「事件」A代表第 1球取到白球「事件」B代表第 2球取到

白球一次取 1 球而且取出不放回則下列敘述何者正確①A 與 B 是「互斥事件」

(disjoint events)②A 與 B 是「獨立事件」(independent events)(A)①與②都正確(B)僅

①正確(C)僅②正確(D)①與②都不正確(2007初等考試統計學大意) B 事件 A 的

樣本空間 S = 白球黑球事件 B的樣本空間 S = 白球黑球


白球一次取 1 球而且取出放回則下列敘述何者正確①A 與 B 是「互斥事件」


①正確(C)僅②正確(D)①與②都不正確(2007初等考試統計學大意) C

練習 446 一個機器人投籃球的進球率為 07假設每次投擲互為獨立機器人要投進一球才罷手

則至少投 10球之機率為(A)(07)9(B)(07)10(C)(03)9(D)(03)10(2007初等考試統計

學大意) C

練習 447 袋中共有 10個球其中有 2個紅球一次取 1球取出不放回則第 2球會取到紅球之機

率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1

9(D)不一定(2007初等考試統計學大意) A

題解第一球紅球非紅球兩者是分割集合

P(第二球是紅色) = P(第二球是紅色capS) = P[第二球是紅色cap(第一球是紅色 + 第一球是非紅色)] = P(第二

球是紅色cap第一球是紅球) + P(第二球是紅色cap第一球是非紅球) = P(第二球是紅色|第一球是紅球) times

P(第一球是紅色) + P(第二球是紅色|第一球是非紅球) times P(第一球是非紅色) = 1

1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000

答案第二球是紅色的機率2

10

練習 448 人群中男生的比例為 α有 34男生體重超過 70公斤有 15女生體重超過 70公斤今由

此人群隨機抽取 1 人若此人體重超過 70 公斤則此人為男生之機率為(A) le α(B) ge

α(C) le (1 ndash α)(D) ge (1 ndash α)(2007初等考試統計學大意) B


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練習 449 一箱燈泡 10 個其中 1 個是有瑕疵的訂購者收到燈泡後隨機抽出二個檢驗只要發現

其中有 1 個是瑕疵品則全箱退回試問會退貨的機率為(A)09(B)08(C)02

(D)01(99年公務人員初等考試統計學大意) C

練習 450 AB 和 C 三人依序丟擲一個公正骰子第一位擲到 6 點者就是贏者第一輪就有人會

贏的機率是多少(A)1216(B)91216(C)12(D)59(99 年公務人員初等考試統計學

大意) B

練習 451 人群中有 B 型肝炎的人占有 30 B 型肝炎檢驗「偽陽性」(沒病的人但檢驗結果呈陽性

反應)占有 10 而「偽陰性」(有病的人但檢驗結果呈陰性反應)占有 20 今有一人 B

型肝炎檢驗呈陽性反應則此人真有 B 型肝炎之機率為何(取到小數第二位) (A) 077

(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A

題解事件 F表示罹患 B型肝炎事件 F的餘集 FC表示未罹患 B型肝炎事件 F和 FC兩者屬於分割集合

P(F) + P(FC) = 10000P(F) = 030P(FC) = 1 ndash 030 = 070

事件 E表示檢驗為陽性事件 E的餘集 EC表示檢驗為陰性事件 E和 EC兩者屬於分割集合 P(E) + P(EC)

= 10000

B 型肝炎檢驗「偽陽性」(沒病的人但檢驗結果呈陽性反應) = P(E|FC) = 010 = 119875(EcapFC)

119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =


070 rarr 010 times 070 = 007 = P(E) ndash P(EcapF)

B 型肝炎檢驗「偽陰性」(有病的人但檢驗結果呈陰性反應) = P(EC|F) = 020 = 119875(ECcapF)

119875(F) =

119875(F)minus119875(EcapF)

119875(F) =

030minus119875(EcapF)

030 rarr 020 times 030 = 006 = 030 ndash P(EcapF) rarr P(EcapF) = 030 ndash 006 = 024

007 = P(E) ndash P(EcapF) = P(E) ndash 024 rarr P(E) = 007 + 024 = 031

一人 B型肝炎檢驗呈陽性反應此人真有 B型肝炎之機率 = P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742

答案一人 B型肝炎檢驗呈陽性反應此人真有 B型肝炎之機率 = 07742

練習 452 Suppose that the following contingency table was set up

C D

A 12 15

B 35 26

(a) What was the probability of event B (b)What was the probability of event A and D (c) What was

the probability of event A or D

範例 441 隨機變數 X與 Y的機率分布(probability distribution)如下表所示試估算(A)P(X gt 2|Y = 1)

(B)P(X = Y|Y lt 3)(答案有效位數四捨五入取到小數點後第 4位)

Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019

練習 453 是非題()若 A和 B屬於獨立事件P(A) = 06P(B) = 04則 P(ACcapBC) = 024

題解P(ACcapBC) = P(AC) times P(BC) = 04 times 06 = 024


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練習 454 是非題()若 P(AcapB) lt P(A) times P(B)則 P(A|B) lt P(A)

範例 442 自 A連鎖餐廳正職員工中隨機抽取 300位員工調查其對餐廳提供的薪資的滿意程度

結果如下表所示試估算(A)從此連鎖餐廳中選出一位男性員工該員工對餐廳薪資的滿

意機率(B)從此連鎖餐廳中找出一位不滿意的員工此員工為女性的機率(答案有效位

數四捨五入取到小數點後第 4位)

滿意不滿意沒有意見

男 034 005 013

女 021 006 021

題解(A) P(滿意|男) = 119875(滿意cap男)

119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =

119875(女cap不滿意)

119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455

練習 455 若有三個摸彩箱甲箱有 2 個白球和 3 個黑球乙箱中有 2 個白球和 4 個黑球丙箱中有

1 個白球和 2 個黑球請估算(A)從每一個摸彩箱中皆隨機抽出一球三球皆為黑球的機

率(B)隨機選擇一個摸彩箱從此摸彩箱中隨機抽出一球其為黑球的機率(C)銜接

前一小題若抽出之球為黑球其來自甲摸彩箱的機率(答案有效位數四捨五入取到小

數點後第 4位)

題解假設 E為抽出黑球的事件

隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323

(A) 每一個摸彩箱皆抽出黑球的機率 = 3

2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667

(B) P(E) = P(Ecap甲) + P(Ecap乙) + P(Ecap丙) = P(甲) times P(E|甲) + P(乙) times P(E|乙) + P(丙) times P(E|丙) = 1

3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103

範例 443 若有兩個摸彩箱甲摸彩箱有 2 個白球和 3 個黑球乙摸彩箱有 1 個白球和 3 個黑球從

甲摸彩箱隨機抽出 1 球放入乙摸彩箱中再從乙摸彩箱中隨機抽取一個球請估算(A)

抽出者為白球的機率(B)若已知抽出為白球計算原先由甲摸彩箱抽出放入乙摸彩箱為

白球之機率(答案有效位數四捨五入取到小數點後第 4位)

題解假設 E為自乙摸彩箱抽出白球的事件F為由甲摸彩箱抽出白球放入乙摸彩箱之事件FC為由甲摸

彩箱抽出黑球放入乙摸彩箱之事件

(A) P(E) = P(EcapS) = P[Ecap(F + FC)] = P(EcapF) + P(EcapFC) = P(F) times P(E|F) + P(FC) times P(E|FC) = 2

2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714

練習 456 若有甲和乙兩台咖啡機每台每次可以製作一杯咖啡飲料甲咖啡機製作咖啡飲料的不良

率為 002乙咖啡機不良率為 004現今隨機選擇一台咖啡機製作 10 杯咖啡飲料兩台

咖啡機被選中的機率相等請估算(A)所有咖啡飲料皆合乎標準的機率(B)若所有咖啡飲

料皆合乎標準所用咖啡機為乙咖啡機的機率(答案有效位數四捨五入取到小數點後第 4

位)

題解

(A) 所有咖啡飲料皆合乎標準的機率 = 1

2 times (1 ndash 002)10 +

1

2 times (1 ndash 004)10 =

1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410

(B) P(乙咖啡機|合格) = 119875(乙咖啡機cap合格)

119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1

2times(1minus002)10+

1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486

範例 444 若有甲和乙兩台咖啡機每台每次可以製作一杯咖啡飲料甲咖啡機製作咖啡飲料的不合

格率為 002乙咖啡機不合格率為 004現今利用兩台咖啡機製作咖啡飲料甲咖啡機生

產 60 乙咖啡機製作 40 請估算(A)製作過程品管發現一杯咖啡飲料不合格此杯咖

啡飲料由乙咖啡機製作的機率(B)製作過程隨機抽取一杯其不合格的機率(答案有效

位數四捨五入取到小數點後第 4位)

題解

(A) P(乙咖啡機 |不合格) = 119875(乙咖啡機cap不合格)

119875(不合格) =

119875(乙咖啡機)times119875(不合格|乙咖啡機)

119875(甲咖啡機)times119875(不合格|甲咖啡機)+119875(乙咖啡機)times119875(不合格|乙咖啡機)

=

040times004

060times002+040times004 =

0016

0012+0016 = 05714

(B) P(不合格) = P(甲咖啡機cap不合格) + P(乙咖啡機cap不合格) = P(甲咖啡機) times P(不合格|甲咖啡機) + P(乙

咖啡機) times P(不合格|乙咖啡機) = 060 times 002 + 040 times 004 = 00280

答案(A) 05714(B) 00280

範例 445 若由五張分別標示 1234 和 5 的卡片中由甲隨機抽選一張乙由剩下的四張隨機

抽選一張請估算(A)甲抽選卡片數字大於乙抽選卡片數字的機率(B)甲抽選卡片數字剛

好等於乙抽選卡片數字加 2的機率(答案有效位數四捨五入取到小數點後第 4位)

題解

(A) P(甲卡片數字 gt 乙卡片數字) = P(甲=2 乙=1) + P(甲=3 乙=2) + P(甲=3 乙=1) + P(甲=4 乙=3) + P(甲=4

乙=2) + P(甲=4 乙=1) + P(甲=5 乙=4) + P(甲=5 乙=3) + P(甲=5 乙=2) + P(甲=5 乙=1) = 10 times (1

5 times

1

4) =

1

2 = 050

(B) P(甲卡片數字 = 乙卡片數字 + 2) = P(甲=3 乙=1) + P(甲=4 乙=2) + P(甲=5 乙=3) = 3 times (1

5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015

範例 446 投擲一個不平衡(不公正)的骰子1 點和 4 點出現的機率皆為1

4另外2 點3 點5 點和

6 點出現的機率皆為1

8請計算投擲此骰子兩次點數和小於 5 的機率(答案有效位數四捨



第 43頁共 47頁

題解投擲此骰子兩次點數和小於 5的樣本空間 = (11) (12) (13) (21) (22) (31)投擲此骰子兩次的

點數彼此之間屬於相互獨立

投擲此骰子兩次點數和小於 5的機率 = (1

4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031

答案投擲此骰子兩次點數和小於 5的機率 = 13

64 = 02031

範例 447 假設 E和 F為兩個相互獨立事件P(E) = 05與 P(F) = 06EC和 FC分別是 E和 F的餘集

(complement)請計算(A) P(EcupF)(B) P(ECcapF)(C) P(ECcupF)(D) P(ECcapFC)(G) P(EC

cupFC)(答案有效位數四捨五入取到小數點後第 4位)

題解因為 E與 F為相互獨立事件 EperpF所以 P(EcapF) = P(E) times P(F) = 05 times 06 = 030

(A) P(EcupF) = P(E) + P(F) ndash P(EcapF) = 05 + 06 ndash 030 = 080

(B) P(F) = P(FcapS) = P(ScapF)= P[(E + EC)capF] = P(EcapF) + P(ECcapF) rarr P(ECcapF) = P(F) ndash P(EcapF) = 06 ndash

030 = 030

(C) P(ECcupF) = P(EC) + P(F) ndash P(ECcapF) = 1 ndash P(E) + P(F) ndash P(ECcapF) = 1 ndash 05 + 06 ndash 030 = 080

(D) P(ECcapFC) = P(EcupF)C = 1 ndash P(EcupF) = 1 ndash 080 = 020

(G) P(ECcupFC) = P(EcapF)C = 1 ndash P(EcapF) = 1 ndash 030 = 070

答案(A) P(EcupF) = 080(B) P(ECcapF) = 030(C) P(ECcupF) = 080(D) P(ECcapFC) = 020(G) P(ECcupFC)

= 070

範例 448 已知隨機變數 X 和 Y 的聯合機率分布如下表所示請計算相關係數(答案有效位數四捨


X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi

1 2 f(yi)合計(邊際機率)

1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04

f(xi)合計(邊際機率) 06 04 10

E(X) = sum 119909119894 times 119891(119909119894)119899119909119894=1 = 1times06 + 2times04 = 14

E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910

119894=1 = 1times04 + 2times02 + 3times04 = 20

E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910


V(X) = sum [119909119894 minus 119864(119883)]2 times 119891(119909119894)119899119909119894=1 = sum 119909119894

2 times 119891(119909119894)119899119894=1 ndash [E(X)]2 = 22 ndash 142 = 024

V(Y) = sum [119910119894 minus 119864(119884)]2 times 119891(119910119894)119899119910

119894=1 = sum 119910119894

2 times 119891(119910119894)119899119894=1 ndash [E(Y)]2 = 48 ndash 202 = 080

E(XtimesY) = sum sum 119909119894 times 119910119895 times 119891(119909119894119910119895)119899119910

119895=1

119899119909119894=1 = 1times1times03 + 1times2times01 + 1times3times02 + 2times1times01 + 2times2times01 + 2times3times02 = 29

母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =

sum (119909119894minus120583119909)times(119910119894minus120583119910)119873119894=1

119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873

timesradicsum (119910119894minus120583119910)2119873

119894=1119873

= sum (119909119894minus120583119909)times(119910119894minus120583119910)119873

119894=1

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873119894=1 timesradicsum (119910119894minus120583119910)

2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2

119873timesradicsum 119910119894

2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873

= 119864(119909times119910)minus119864(119909)times119864(119910)

radic119881(119909)timesradic119881(119910) =

29minus14times20

radic024timesradic080 =

01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁

答案相關係數 02282

機率樹型圖(probability tree)樹狀圖(tree diagram)

綜合兩事件或兩事件以上的機率或條件機率所構成的圖形

討論議題

1師生在非同步教學討論議題期中考準備分享

針對進入大學後第一次的期中考試第 1章到第 4章的課程內容分享一下現階段自己準備的方

式第一回合請於 D 日中午 1200 以前從「議題討論」區【張貼】標題「期中考準備分享」本文

請分享自己準備的心得並分析一下較弱的單元項目與積極改善的方式(50個字以上)

期望可以透過學習經驗的交流相互激勵提升學習效益待有 40 篇第一回合【張貼】回應後

或第一回合回應【張貼】時間結束後一一檢視其他同學的張貼內容第二回合【張貼】標題「

最大收穫」本文自己靜下心來思考一下給您最大的收穫(25 個字以上詮釋)透過同學之間的

討論分享可以提升學習效益加油第二回合【張貼】截止時間就是本議題在平台上的關閉時間

2學生同步教學討論議題期中考高分關鍵因素分析

針對進入大學後第一次的期中考試統計學期中考試要考高分的關鍵因素討論第一回合請於D

日早上 0920 以前從「議題討論」區【張貼】標題「高分關鍵」本文請分享自己經歷過期中考

試後請分析若要考取統計學高分的最重要關鍵因素(建議 10個字以內詮釋)



最大收穫」本文自己靜下心來思考一下此議題討論後給您最大的收穫(建議 10 個字以內詮釋

)透過同學之間的討論分享可以提升學習效益加油第二回合【張貼】截止時間就是本議題在

平台上的關閉時間

3師生在非(學習者)同步教學討論議題閉書平常考 20181105應考心得與分享

第一回合請於 D 日早上 1130 以前從「議題討論」區【張貼】標題「閉書平常考分享」本文

在此之前所有考試評量和練習都是開書的方式進行在 D 日(星期一)第 1 章到第 4章閉書複習平

常考後分析一下自己的應考心得分享一下自己比較得心應手的單元項目與其解題的技巧(20 個

字以上)可以貼上考試過程使用的 Excel檔案參考說明


或第一回合回應【張貼】時間結束後檢視其他同學的回應內容第二回合【張貼】標題「最大

收穫」本文自己靜下心來思考一下給您最大的收穫請再具體回應一次(10 個字以上)透過

同學之間的討論分享可以提升學習效益加油第二回合【張貼】截止時間就是本議題在平台上

的關閉時間

4師生在非同步教學討論議題期中考後學習檢討與分享

在經歷過人生中第一次的大學期中考試也體驗數位教材和數位參數化評量試題的功力在整

個學習歷程中都是很新鮮的體會不過數位化的學習評量就是快速就是公平就是現實

馬上知道客觀的成績第一回合請於 D+3 日中午 1200 以前從「議題討論」區【張貼】標題「學習

檢討與分析」本文來檢討自己學習的狀況以及往後補強的積極作為(10個字以上詮釋)


第 45頁共 47頁

期中考試經歷過了不要太計較過去勇於面對未來的學習內容透過自己的學習檢討以及

彼此的激勵和分享提升學習效益待有 40 篇第一回合【張貼】回應後或第一回合回應【張貼】時

間結束後檢視其他同學的回應內容第二回合【張貼】標題「最大收穫」本文自己靜下心

來思考一下給您最大的收穫請再具體回應一次(10 個字以上)透過同學之間的檢討與分享可

以提升學習效益加油第二回合【張貼】截止時間就是本議題在平台上的關閉時間

5非同步教學中學習者相互討論議題您對 20171105第 3章和第 4章平常考心得分享

第一回合請於 20171106中午 1200以前從「議題討論」區【張貼】標題「平常考檢討與分析」

本文請於 20171105(星期三)第 3 章和第 4 章平常考後回應一下您準備的方向與應考心得(25 個

字以上詮釋)


或第一回合回應【張貼】時間結束後檢視其他同學的張貼內容第二回合【張貼】標題「最大

收穫」本文自己靜下心來思考一下給您最大的收穫請再具體回應一次(25 個字以上詮釋)

加油第二回合【張貼】截止時間就是本議題在平台上的關閉時間

6師生在非同步教學討論議題期中考成績相關係數分析

依據平台統計至 20191109 2300 為止的紀錄分析獲得下列相關係數數值請詳細敘述表格內中

各種相關係數所代表的意涵第一回合請於 D+3 日中午 1200 以前從「議題討論」區【張貼】標題

「期中考成績相關係數分析」本文請分析各種相關係數代表那些意義與由該數值呈現的意義

接下來自己該有的具體學習作為(10個字以上)

待有 40 篇第一回合【張貼】回應後或第一回合回應【張貼】時間結束後請一一檢視其他同學

的張貼內容第二回合【張貼】標題「最大收穫」本文請具體評論哪一個同學回應得最具體

與明確有哪些可以讓自己學習之處(10 個字以上詮釋)第二回合【張貼】截止時間就是本議題在


相關係數期中考 20191105成績

上課次數(進入平台本課程上課次數) 03600

張貼篇數(所有討論版張貼文章) 05776

討論次數(課程討論和議題討論次數) 00759

閱讀時數(閱讀節點教材時間) 01277

閱讀次數(閱讀節點數量) -01465

上課練習平均分數 02738

開書平常考平均分數 03669

模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁

Excel函數統計功能輸入資料輸出資料

PRODUCT 連續相乘數個需要連續相乘的數值相乘數值

FACT 階乘數數值階乘數

PERMUT 排列數物體總數選取物體數排列方式數量

COMBIN 組合數物件的數目每個組合中要選的物件數目組合數量

QUARTILE 四分位數統計欄位四分位序四分位數

機率(probability)

機率(probability)概念就是特定事件自然發生之結果所佔的一種比例相對次數和機會

隨機變數(random variable)

一個隨機抽樣過程中出現不同結果的數值

樣本空間(sample space)

一個隨機抽樣過程中全部可能獲得結果(outcome)所組成的集合(set)

樣本點(sample point)觀測點

每一個隨機抽樣過程中可能的結果故樣本點(結果元素觀測點或出象)所組成的集合即為樣本空

間

事件(event)

可視為樣本空間中的子集合或樣本空間中的部分集合

機率模型(probability models)

陳述特定隨機試驗中所有可能出現之樣本點(結果元素觀測點或出象)(a list of possible outcomes)

與其機率(a probability for each outcome)的分布情況

多步驟隨機試驗之計數法則乘法定理乘法公式(multiplication formula)

可能產生之結果組合的總數 = m1 times m2 times m3 timeshelliptimes mn

排列(permutation)


部分樣本排列計數

119875119894119899 =

119899



119899

1198991 times 1198992 times 1198993 times hellip times 119899119896

環狀排列方式

若有 n個相異物件排列成一個環狀有(n ndash 1)種排列方式


119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i

古典機率理論(Classical probability theorem)

特定事件 A發生的機率 = 符合事件 A 定義的觀測點數量


119899119860

119899

客觀機率理論(Objective probability theorem)



119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁


P(E1cupE2cupE3) = P(E1) + P(E2) + P(E3)E1E2E3彼此為互斥事件

事件 A的餘集

P(AC) = 1 ndash P(A)

事件 A和 B的聯集(Union of events A and B)


互斥事件

AcapB = 空集合 P(AcapB) = 0

狄摩根定理(de-Morgen rule)

ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C

交換律(commutative rule)

AcupB = BcupA

AcapB = BcapA

結合律(associative rule)

(AcupB)cupC = Acup(BcupC)

(AcapB)capC = Acap(BcapC)

分配律(distributive rule)

(AcupB)capC = (AcapC)cup(BcapC)

(AcapB)cupC = (AcupC)cap(BcupC)

條件機率(Conditional probability)

條件機率為聯合機率和邊際機率的比值

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0


分割集合(partition set)

P(A1cupA2cupA3cuphellipcupAm) = P(A1) + P(A2) + P(A3) +hellip+ P(Am) = 10000

P(AicapAj) = 00000其中 i ne ji j = 1hellip m

總機率定理

P(B) = P(BcapS) = sum 119875(119861 cap 119860119894)119898119894=1 = sum 119875(119860119894)119898

119894=1 times P(B|Ai)

貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 2頁共 47頁

465乘法法則 30

4651兩個事件交集機率 31

4652三個事件交集機率 31

466分割集合 31

總(全)機率定理(法則)(total probability theorem theorem of total probability) 32

47貝氏定理 33

討論議題 44

重點整理 45

圖目錄

圖 4-1文氏圖 16

圖 4-2餘事件文氏圖 17

圖 4-3交集文氏圖 17

圖 4-4聯集文氏圖 17


圖 4-6狄摩根定理文氏圖 18

圖 4-7聯合機率文氏圖 21

圖 4-8條件機率文氏圖 23


圖 4-10樹狀圖 31

圖 4-11分隔集合示意圖 32

圖 4-12總機率定理文氏圖 32

圖 4-13貝氏公式文氏圖 34


第 3頁共 47頁

四機率


學習目標

知識(認知)





技能




態度(情意)














1198701+1198702故一


10+1

4機率

41機率意涵

42機率分布


451聯合機率

452邊際機率

431乘法定理

432排列計數法

433組合計數法


461獨立事件

462相依事件

441古典機率

442客觀機率

443主觀機率

444機率性質



464加法法則

465乘法法則

466分割集合

47貝氏定理


第 4頁共 47頁

章節結構圖

41機率意涵





HHTHTTHHHTTHTH







42機率分布



機率





⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894

119899119894=1


目


的營業額





05000




第 5頁共 47頁





機率 0553 0120 0025 0111 0191

43計數法則




431乘法定理

















432排列計數法




式等四種






第 6頁共 47頁


定義0 = 1

n階乘 Excel函數





























119875119894119899 =

119899



積

定義0 = 1


第 7頁共 47頁









119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198752

4 = 4

(4minus2) =

4

2 =

4times3times2times1

2times1 =

4times3times2times1


查詢獲得)











119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198753

50 = 50

(50minus3) =

50

47 =



詢獲得)





119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198754

5 = 5

(5minus4) =

5

1 =









119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198753

10 = 10

(10minus3) =


7 =

10


查詢獲得)



第 8頁共 47頁




119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198754

26 = 26

(26minus4) =

26

22 =



函數查詢獲得)





119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198753

8 = 8

(8minus3) =

8

5 =

8times7times6times5















5

3times2 =

5times4times3

3times2 =

5times4times3

3times2 =

5times4










7

2times3times2 =


2times3times2 =









4



第 9頁共 47頁




6

16 = 0375








6


配方式(數量)



6

64 = 00938




6




1

64 = 00156

答案(A)機率 00938(B)機率 00156




第 4位)




8





56

256 =

02188




8




28

256 = 01094




8




8

256 = 00313




8




1

256 = 00039

答案(A)機率 02188(B)機率 01094(C)機率 00313(D)機率 00039


第 10頁共 47頁






6

2times4 =











列方式




6

2times2times2 =










數)有119899


10

2times4times4 =










5

3times2 =








10

32 = 03125

C35 times (

1

2)2 times (

1

2)3 = 10 times

1

32 =

5

16 = 03125

答案機率 03215






12






第 11頁共 47頁

環狀排列方式



法



甲學生

丙學生乙學生

甲學生

乙學生丙學生



法




甲學生

丙學生乙學生

丁學生甲學生

丁學生乙學生

丙學生甲學生

乙學生丙學生

丁學生甲學生

丁學生丙學生

乙學生甲學生

乙學生丁學生

丙學生甲學生

丙學生丁學生

乙學生


433組合計數法





n i



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 =


119894








119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198622

4 = 4

2times(4minus2) =

4

2times2 =

4times3times2times1


4times3times2times1


24


查詢獲得)



第 12頁共 47頁

答案6種組合




119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

16 = 16

4times(16minus4) =

16

4times12 =






答案1820種組合





119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

26 = 26

4times(26minus4) =

26

4times22 =





函數查詢獲得)






個號碼的組合數為 combin(63) = 119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198623

6 = 6

3times(6minus3) =

6

3times3 =






119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

12 = 12

4times(12minus4) =

12

4times8 =







20

495 = 00404

答案機率 = 00404





1

6 times

5

6 + C2

2 times 1

6 = 2 times

1

6 times

5

6 + 1 times

1

6 =

11

36

答案11

36


會有幾種座法





答案8種


第 13頁共 47頁





答案1260種

Excel函數





44機率理論





式



皆有1


1






441古典機率





119899



象


119899



119899119860

119899




第 14頁共 47頁






的機率




4 8 12 16共 nA = 4個



4

16 = 025

答案025



由


119898+119899



119898+119899 times

119898minus1

119898+119899minus1 +

119899

119898+119899 times

119898

119898+119899minus1 =


(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898times(119898+119899minus1)

(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898

119898+119899 = P1


442客觀機率






119899rarrinfin

119891A

119899





數點後第 3位)



10000 = 0100

答案0100



第 15頁共 47頁


機率

443主觀機率






444機率性質


P(S) = 1









E1 E2 E3


P(⋃ 119864119894119899119894=1 ) = sum 119875(119864119894)119899

119894=1



率


過少 A 505 00174

符合標準 B 25000 08619

過多 C 3502 01207

合計 29007 10000



第 16頁共 47頁

P(A或 C) = P(AcupC) = P(A) + P(C) = 00174 + 01207 = 01381

答案機率 = 01381






發生

A B


非A非B

圖 4-1文氏圖


4451空事件



A = = ϕ rarr P(ϕ) = 0

4452必然事件




A = S rarr P(A) = P(S) = 1

4453餘事件







第 17頁共 47頁

A B




4454交集



A B

AcapB





4455聯集



A B

AcupB






第 18頁共 47頁

答案(C)

部分集合




4456互斥事件




A B


4457狄摩根定理



ACcapBC = (AcupB)C

A B

ACcupBC = (AcapB)C

A B

AcapB



(⋂ A119894119899119894=1 )119862 = ⋃ A119894

119862119899119894=1 (⋃ A119894

119899119894=1 )119862 = ⋂ A119894

119862119899119894=1


第 19頁共 47頁

4458交換律









題解








點後第 1位)

題解



04




位)




答案034



題解







第 20頁共 47頁





點後第 4位)





立狀態





1+3

+ (3

1+3)2 times (

1

1+3) + (

3

1+3)4 times (

1

1+3) + (

3

1+3)6 times (

1

1+3) + (

3

1+3)8 times (

1

1+3) + (

3

1+3)10 times (

1

1+3) + (

3

1+3)12 times (

1

1+3) + (

3

1+3)14 times

(1

1+3) +hellip = 05714


1張招

待券籤

3張空

白籤

E1抽中招

待券籤

E2抽中招

待券籤

第1回抽籤

P(E1) = 025

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤

P(N) = 075

E1抽中招

待券籤

第2回抽籤

P(E1) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075

未抽中招

待券籤P(N) = 075

E2抽中招

待券籤

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075





點後第 4位)


P(E) = 1

5 + (

4

5)2 times

1

5 + (45)4 times

1

5 + (45)6 times

1

5 + (45)8 times

1

5 + (45)10 times

1

5 + (45)12 times

1

5 + (45)14 times

1

5 + (45)16 times

1

5 +hellip =

06000

答案P(E) = 05556

45事件機率



(Joint probability)


第 21頁共 47頁







6


出現奇數的事件機率 P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 1

6 +

1

6 +

1

6 =

1

2 = 050

答案機率 = 050

451聯合機率



A B

AcapB




學生數統計學



不及格 E4 11 13






50 = 024


50 = 022


50 = 028


50 = 026


第 22頁共 47頁

聯合機率表



資料蒐集

與應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100


50] + [P(E1capE4) =

11

50] + [P(E2capE3) =

14

50] + [P(E2capE4) =

13

50] = 1

452邊際機率





學生數統計學


資料蒐集與

應用

及格 E3 12 14

不及格 E4 11 13





052


048

聯合機率表



資料蒐集與

應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100





453條件機率


第 23頁共 47頁




P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B)其中 P(B) ne 0


A B

AcapB



P(B|A) = 119875(AcapB)

119875(A)其中 P(A) ne 0




位)



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100


P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 07500





119875(1198641) =

010

040 = 02500


119875(1198642) =

038

060 = 06333


119875(1198642) =

022

060 = 03667


119875(1198643) =

030

068 = 04412


119875(1198643) =

038

068 = 05588


119875(1198644) =

010

032 = 03125


119875(1198644) =

022

032 = 06875


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2


06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4




的機率



12) times (

2

11) = 00455



12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455



題解



119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072



數點後第 4位)



119875(FC) =


1minus119875(F) =

119875(E)minus02241


rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564




題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739



(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416



第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 3頁共 47頁

四機率


學習目標

知識(認知)





技能




態度(情意)














1198701+1198702故一


10+1

4機率

41機率意涵

42機率分布


451聯合機率

452邊際機率

431乘法定理

432排列計數法

433組合計數法


461獨立事件

462相依事件

441古典機率

442客觀機率

443主觀機率

444機率性質



464加法法則

465乘法法則

466分割集合

47貝氏定理


第 4頁共 47頁

章節結構圖

41機率意涵





HHTHTTHHHTTHTH







42機率分布



機率





⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894

119899119894=1


目


的營業額





05000




第 5頁共 47頁





機率 0553 0120 0025 0111 0191

43計數法則




431乘法定理

















432排列計數法




式等四種






第 6頁共 47頁


定義0 = 1

n階乘 Excel函數





























119875119894119899 =

119899



積

定義0 = 1


第 7頁共 47頁









119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198752

4 = 4

(4minus2) =

4

2 =

4times3times2times1

2times1 =

4times3times2times1


查詢獲得)











119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198753

50 = 50

(50minus3) =

50

47 =



詢獲得)





119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198754

5 = 5

(5minus4) =

5

1 =









119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198753

10 = 10

(10minus3) =


7 =

10


查詢獲得)



第 8頁共 47頁




119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198754

26 = 26

(26minus4) =

26

22 =



函數查詢獲得)





119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198753

8 = 8

(8minus3) =

8

5 =

8times7times6times5















5

3times2 =

5times4times3

3times2 =

5times4times3

3times2 =

5times4










7

2times3times2 =


2times3times2 =









4



第 9頁共 47頁




6

16 = 0375








6


配方式(數量)



6

64 = 00938




6




1

64 = 00156

答案(A)機率 00938(B)機率 00156




第 4位)




8





56

256 =

02188




8




28

256 = 01094




8




8

256 = 00313




8




1

256 = 00039

答案(A)機率 02188(B)機率 01094(C)機率 00313(D)機率 00039


第 10頁共 47頁






6

2times4 =











列方式




6

2times2times2 =










數)有119899


10

2times4times4 =










5

3times2 =








10

32 = 03125

C35 times (

1

2)2 times (

1

2)3 = 10 times

1

32 =

5

16 = 03125

答案機率 03215






12






第 11頁共 47頁

環狀排列方式



法



甲學生

丙學生乙學生

甲學生

乙學生丙學生



法




甲學生

丙學生乙學生

丁學生甲學生

丁學生乙學生

丙學生甲學生

乙學生丙學生

丁學生甲學生

丁學生丙學生

乙學生甲學生

乙學生丁學生

丙學生甲學生

丙學生丁學生

乙學生


433組合計數法





n i



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 =


119894








119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198622

4 = 4

2times(4minus2) =

4

2times2 =

4times3times2times1


4times3times2times1


24


查詢獲得)



第 12頁共 47頁

答案6種組合




119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

16 = 16

4times(16minus4) =

16

4times12 =






答案1820種組合





119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

26 = 26

4times(26minus4) =

26

4times22 =





函數查詢獲得)






個號碼的組合數為 combin(63) = 119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198623

6 = 6

3times(6minus3) =

6

3times3 =






119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

12 = 12

4times(12minus4) =

12

4times8 =







20

495 = 00404

答案機率 = 00404





1

6 times

5

6 + C2

2 times 1

6 = 2 times

1

6 times

5

6 + 1 times

1

6 =

11

36

答案11

36


會有幾種座法





答案8種


第 13頁共 47頁





答案1260種

Excel函數





44機率理論





式



皆有1


1






441古典機率





119899



象


119899



119899119860

119899




第 14頁共 47頁






的機率




4 8 12 16共 nA = 4個



4

16 = 025

答案025



由


119898+119899



119898+119899 times

119898minus1

119898+119899minus1 +

119899

119898+119899 times

119898

119898+119899minus1 =


(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898times(119898+119899minus1)

(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898

119898+119899 = P1


442客觀機率






119899rarrinfin

119891A

119899





數點後第 3位)



10000 = 0100

答案0100



第 15頁共 47頁


機率

443主觀機率






444機率性質


P(S) = 1









E1 E2 E3


P(⋃ 119864119894119899119894=1 ) = sum 119875(119864119894)119899

119894=1



率


過少 A 505 00174

符合標準 B 25000 08619

過多 C 3502 01207

合計 29007 10000



第 16頁共 47頁

P(A或 C) = P(AcupC) = P(A) + P(C) = 00174 + 01207 = 01381

答案機率 = 01381






發生

A B


非A非B

圖 4-1文氏圖


4451空事件



A = = ϕ rarr P(ϕ) = 0

4452必然事件




A = S rarr P(A) = P(S) = 1

4453餘事件







第 17頁共 47頁

A B




4454交集



A B

AcapB





4455聯集



A B

AcupB






第 18頁共 47頁

答案(C)

部分集合




4456互斥事件




A B


4457狄摩根定理



ACcapBC = (AcupB)C

A B

ACcupBC = (AcapB)C

A B

AcapB



(⋂ A119894119899119894=1 )119862 = ⋃ A119894

119862119899119894=1 (⋃ A119894

119899119894=1 )119862 = ⋂ A119894

119862119899119894=1


第 19頁共 47頁

4458交換律









題解








點後第 1位)

題解



04




位)




答案034



題解







第 20頁共 47頁





點後第 4位)





立狀態





1+3

+ (3

1+3)2 times (

1

1+3) + (

3

1+3)4 times (

1

1+3) + (

3

1+3)6 times (

1

1+3) + (

3

1+3)8 times (

1

1+3) + (

3

1+3)10 times (

1

1+3) + (

3

1+3)12 times (

1

1+3) + (

3

1+3)14 times

(1

1+3) +hellip = 05714


1張招

待券籤

3張空

白籤

E1抽中招

待券籤

E2抽中招

待券籤

第1回抽籤

P(E1) = 025

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤

P(N) = 075

E1抽中招

待券籤

第2回抽籤

P(E1) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075

未抽中招

待券籤P(N) = 075

E2抽中招

待券籤

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075





點後第 4位)


P(E) = 1

5 + (

4

5)2 times

1

5 + (45)4 times

1

5 + (45)6 times

1

5 + (45)8 times

1

5 + (45)10 times

1

5 + (45)12 times

1

5 + (45)14 times

1

5 + (45)16 times

1

5 +hellip =

06000

答案P(E) = 05556

45事件機率



(Joint probability)


第 21頁共 47頁







6


出現奇數的事件機率 P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 1

6 +

1

6 +

1

6 =

1

2 = 050

答案機率 = 050

451聯合機率



A B

AcapB




學生數統計學



不及格 E4 11 13






50 = 024


50 = 022


50 = 028


50 = 026


第 22頁共 47頁

聯合機率表



資料蒐集

與應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100


50] + [P(E1capE4) =

11

50] + [P(E2capE3) =

14

50] + [P(E2capE4) =

13

50] = 1

452邊際機率





學生數統計學


資料蒐集與

應用

及格 E3 12 14

不及格 E4 11 13





052


048

聯合機率表



資料蒐集與

應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100





453條件機率


第 23頁共 47頁




P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B)其中 P(B) ne 0


A B

AcapB



P(B|A) = 119875(AcapB)

119875(A)其中 P(A) ne 0




位)



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100


P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 07500





119875(1198641) =

010

040 = 02500


119875(1198642) =

038

060 = 06333


119875(1198642) =

022

060 = 03667


119875(1198643) =

030

068 = 04412


119875(1198643) =

038

068 = 05588


119875(1198644) =

010

032 = 03125


119875(1198644) =

022

032 = 06875


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2


06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4




的機率



12) times (

2

11) = 00455



12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455



題解



119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072



數點後第 4位)



119875(FC) =


1minus119875(F) =

119875(E)minus02241


rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564




題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739



(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416



第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 4頁共 47頁

章節結構圖

41機率意涵





HHTHTTHHHTTHTH







42機率分布



機率





⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894

119899119894=1


目


的營業額





05000




第 5頁共 47頁





機率 0553 0120 0025 0111 0191

43計數法則




431乘法定理

















432排列計數法




式等四種






第 6頁共 47頁


定義0 = 1

n階乘 Excel函數





























119875119894119899 =

119899



積

定義0 = 1


第 7頁共 47頁









119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198752

4 = 4

(4minus2) =

4

2 =

4times3times2times1

2times1 =

4times3times2times1


查詢獲得)











119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198753

50 = 50

(50minus3) =

50

47 =



詢獲得)





119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198754

5 = 5

(5minus4) =

5

1 =









119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198753

10 = 10

(10minus3) =


7 =

10


查詢獲得)



第 8頁共 47頁




119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198754

26 = 26

(26minus4) =

26

22 =



函數查詢獲得)





119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198753

8 = 8

(8minus3) =

8

5 =

8times7times6times5















5

3times2 =

5times4times3

3times2 =

5times4times3

3times2 =

5times4










7

2times3times2 =


2times3times2 =









4



第 9頁共 47頁




6

16 = 0375








6


配方式(數量)



6

64 = 00938




6




1

64 = 00156

答案(A)機率 00938(B)機率 00156




第 4位)




8





56

256 =

02188




8




28

256 = 01094




8




8

256 = 00313




8




1

256 = 00039

答案(A)機率 02188(B)機率 01094(C)機率 00313(D)機率 00039


第 10頁共 47頁






6

2times4 =











列方式




6

2times2times2 =










數)有119899


10

2times4times4 =










5

3times2 =








10

32 = 03125

C35 times (

1

2)2 times (

1

2)3 = 10 times

1

32 =

5

16 = 03125

答案機率 03215






12






第 11頁共 47頁

環狀排列方式



法



甲學生

丙學生乙學生

甲學生

乙學生丙學生



法




甲學生

丙學生乙學生

丁學生甲學生

丁學生乙學生

丙學生甲學生

乙學生丙學生

丁學生甲學生

丁學生丙學生

乙學生甲學生

乙學生丁學生

丙學生甲學生

丙學生丁學生

乙學生


433組合計數法





n i



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 =


119894








119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198622

4 = 4

2times(4minus2) =

4

2times2 =

4times3times2times1


4times3times2times1


24


查詢獲得)



第 12頁共 47頁

答案6種組合




119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

16 = 16

4times(16minus4) =

16

4times12 =






答案1820種組合





119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

26 = 26

4times(26minus4) =

26

4times22 =





函數查詢獲得)






個號碼的組合數為 combin(63) = 119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198623

6 = 6

3times(6minus3) =

6

3times3 =






119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

12 = 12

4times(12minus4) =

12

4times8 =







20

495 = 00404

答案機率 = 00404





1

6 times

5

6 + C2

2 times 1

6 = 2 times

1

6 times

5

6 + 1 times

1

6 =

11

36

答案11

36


會有幾種座法





答案8種


第 13頁共 47頁





答案1260種

Excel函數





44機率理論





式



皆有1


1






441古典機率





119899



象


119899



119899119860

119899




第 14頁共 47頁






的機率




4 8 12 16共 nA = 4個



4

16 = 025

答案025



由


119898+119899



119898+119899 times

119898minus1

119898+119899minus1 +

119899

119898+119899 times

119898

119898+119899minus1 =


(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898times(119898+119899minus1)

(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898

119898+119899 = P1


442客觀機率






119899rarrinfin

119891A

119899





數點後第 3位)



10000 = 0100

答案0100



第 15頁共 47頁


機率

443主觀機率






444機率性質


P(S) = 1









E1 E2 E3


P(⋃ 119864119894119899119894=1 ) = sum 119875(119864119894)119899

119894=1



率


過少 A 505 00174

符合標準 B 25000 08619

過多 C 3502 01207

合計 29007 10000



第 16頁共 47頁

P(A或 C) = P(AcupC) = P(A) + P(C) = 00174 + 01207 = 01381

答案機率 = 01381






發生

A B


非A非B

圖 4-1文氏圖


4451空事件



A = = ϕ rarr P(ϕ) = 0

4452必然事件




A = S rarr P(A) = P(S) = 1

4453餘事件







第 17頁共 47頁

A B




4454交集



A B

AcapB





4455聯集



A B

AcupB






第 18頁共 47頁

答案(C)

部分集合




4456互斥事件




A B


4457狄摩根定理



ACcapBC = (AcupB)C

A B

ACcupBC = (AcapB)C

A B

AcapB



(⋂ A119894119899119894=1 )119862 = ⋃ A119894

119862119899119894=1 (⋃ A119894

119899119894=1 )119862 = ⋂ A119894

119862119899119894=1


第 19頁共 47頁

4458交換律









題解








點後第 1位)

題解



04




位)




答案034



題解







第 20頁共 47頁





點後第 4位)





立狀態





1+3

+ (3

1+3)2 times (

1

1+3) + (

3

1+3)4 times (

1

1+3) + (

3

1+3)6 times (

1

1+3) + (

3

1+3)8 times (

1

1+3) + (

3

1+3)10 times (

1

1+3) + (

3

1+3)12 times (

1

1+3) + (

3

1+3)14 times

(1

1+3) +hellip = 05714


1張招

待券籤

3張空

白籤

E1抽中招

待券籤

E2抽中招

待券籤

第1回抽籤

P(E1) = 025

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤

P(N) = 075

E1抽中招

待券籤

第2回抽籤

P(E1) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075

未抽中招

待券籤P(N) = 075

E2抽中招

待券籤

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075





點後第 4位)


P(E) = 1

5 + (

4

5)2 times

1

5 + (45)4 times

1

5 + (45)6 times

1

5 + (45)8 times

1

5 + (45)10 times

1

5 + (45)12 times

1

5 + (45)14 times

1

5 + (45)16 times

1

5 +hellip =

06000

答案P(E) = 05556

45事件機率



(Joint probability)


第 21頁共 47頁







6


出現奇數的事件機率 P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 1

6 +

1

6 +

1

6 =

1

2 = 050

答案機率 = 050

451聯合機率



A B

AcapB




學生數統計學



不及格 E4 11 13






50 = 024


50 = 022


50 = 028


50 = 026


第 22頁共 47頁

聯合機率表



資料蒐集

與應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100


50] + [P(E1capE4) =

11

50] + [P(E2capE3) =

14

50] + [P(E2capE4) =

13

50] = 1

452邊際機率





學生數統計學


資料蒐集與

應用

及格 E3 12 14

不及格 E4 11 13





052


048

聯合機率表



資料蒐集與

應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100





453條件機率


第 23頁共 47頁




P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B)其中 P(B) ne 0


A B

AcapB



P(B|A) = 119875(AcapB)

119875(A)其中 P(A) ne 0




位)



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100


P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 07500





119875(1198641) =

010

040 = 02500


119875(1198642) =

038

060 = 06333


119875(1198642) =

022

060 = 03667


119875(1198643) =

030

068 = 04412


119875(1198643) =

038

068 = 05588


119875(1198644) =

010

032 = 03125


119875(1198644) =

022

032 = 06875


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2


06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4




的機率



12) times (

2

11) = 00455



12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455



題解



119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072



數點後第 4位)



119875(FC) =


1minus119875(F) =

119875(E)minus02241


rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564




題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739



(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416



第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 5頁共 47頁





機率 0553 0120 0025 0111 0191

43計數法則




431乘法定理

















432排列計數法




式等四種






第 6頁共 47頁


定義0 = 1

n階乘 Excel函數





























119875119894119899 =

119899



積

定義0 = 1


第 7頁共 47頁









119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198752

4 = 4

(4minus2) =

4

2 =

4times3times2times1

2times1 =

4times3times2times1


查詢獲得)











119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198753

50 = 50

(50minus3) =

50

47 =



詢獲得)





119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198754

5 = 5

(5minus4) =

5

1 =









119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198753

10 = 10

(10minus3) =


7 =

10


查詢獲得)



第 8頁共 47頁




119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198754

26 = 26

(26minus4) =

26

22 =



函數查詢獲得)





119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198753

8 = 8

(8minus3) =

8

5 =

8times7times6times5















5

3times2 =

5times4times3

3times2 =

5times4times3

3times2 =

5times4










7

2times3times2 =


2times3times2 =









4



第 9頁共 47頁




6

16 = 0375








6


配方式(數量)



6

64 = 00938




6




1

64 = 00156

答案(A)機率 00938(B)機率 00156




第 4位)




8





56

256 =

02188




8




28

256 = 01094




8




8

256 = 00313




8




1

256 = 00039

答案(A)機率 02188(B)機率 01094(C)機率 00313(D)機率 00039


第 10頁共 47頁






6

2times4 =











列方式




6

2times2times2 =










數)有119899


10

2times4times4 =










5

3times2 =








10

32 = 03125

C35 times (

1

2)2 times (

1

2)3 = 10 times

1

32 =

5

16 = 03125

答案機率 03215






12






第 11頁共 47頁

環狀排列方式



法



甲學生

丙學生乙學生

甲學生

乙學生丙學生



法




甲學生

丙學生乙學生

丁學生甲學生

丁學生乙學生

丙學生甲學生

乙學生丙學生

丁學生甲學生

丁學生丙學生

乙學生甲學生

乙學生丁學生

丙學生甲學生

丙學生丁學生

乙學生


433組合計數法





n i



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 =


119894








119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198622

4 = 4

2times(4minus2) =

4

2times2 =

4times3times2times1


4times3times2times1


24


查詢獲得)



第 12頁共 47頁

答案6種組合




119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

16 = 16

4times(16minus4) =

16

4times12 =






答案1820種組合





119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

26 = 26

4times(26minus4) =

26

4times22 =





函數查詢獲得)






個號碼的組合數為 combin(63) = 119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198623

6 = 6

3times(6minus3) =

6

3times3 =






119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

12 = 12

4times(12minus4) =

12

4times8 =







20

495 = 00404

答案機率 = 00404





1

6 times

5

6 + C2

2 times 1

6 = 2 times

1

6 times

5

6 + 1 times

1

6 =

11

36

答案11

36


會有幾種座法





答案8種


第 13頁共 47頁





答案1260種

Excel函數





44機率理論





式



皆有1


1






441古典機率





119899



象


119899



119899119860

119899




第 14頁共 47頁






的機率




4 8 12 16共 nA = 4個



4

16 = 025

答案025



由


119898+119899



119898+119899 times

119898minus1

119898+119899minus1 +

119899

119898+119899 times

119898

119898+119899minus1 =


(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898times(119898+119899minus1)

(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898

119898+119899 = P1


442客觀機率






119899rarrinfin

119891A

119899





數點後第 3位)



10000 = 0100

答案0100



第 15頁共 47頁


機率

443主觀機率






444機率性質


P(S) = 1









E1 E2 E3


P(⋃ 119864119894119899119894=1 ) = sum 119875(119864119894)119899

119894=1



率


過少 A 505 00174

符合標準 B 25000 08619

過多 C 3502 01207

合計 29007 10000



第 16頁共 47頁

P(A或 C) = P(AcupC) = P(A) + P(C) = 00174 + 01207 = 01381

答案機率 = 01381






發生

A B


非A非B

圖 4-1文氏圖


4451空事件



A = = ϕ rarr P(ϕ) = 0

4452必然事件




A = S rarr P(A) = P(S) = 1

4453餘事件







第 17頁共 47頁

A B




4454交集



A B

AcapB





4455聯集



A B

AcupB






第 18頁共 47頁

答案(C)

部分集合




4456互斥事件




A B


4457狄摩根定理



ACcapBC = (AcupB)C

A B

ACcupBC = (AcapB)C

A B

AcapB



(⋂ A119894119899119894=1 )119862 = ⋃ A119894

119862119899119894=1 (⋃ A119894

119899119894=1 )119862 = ⋂ A119894

119862119899119894=1


第 19頁共 47頁

4458交換律









題解








點後第 1位)

題解



04




位)




答案034



題解







第 20頁共 47頁





點後第 4位)





立狀態





1+3

+ (3

1+3)2 times (

1

1+3) + (

3

1+3)4 times (

1

1+3) + (

3

1+3)6 times (

1

1+3) + (

3

1+3)8 times (

1

1+3) + (

3

1+3)10 times (

1

1+3) + (

3

1+3)12 times (

1

1+3) + (

3

1+3)14 times

(1

1+3) +hellip = 05714


1張招

待券籤

3張空

白籤

E1抽中招

待券籤

E2抽中招

待券籤

第1回抽籤

P(E1) = 025

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤

P(N) = 075

E1抽中招

待券籤

第2回抽籤

P(E1) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075

未抽中招

待券籤P(N) = 075

E2抽中招

待券籤

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075





點後第 4位)


P(E) = 1

5 + (

4

5)2 times

1

5 + (45)4 times

1

5 + (45)6 times

1

5 + (45)8 times

1

5 + (45)10 times

1

5 + (45)12 times

1

5 + (45)14 times

1

5 + (45)16 times

1

5 +hellip =

06000

答案P(E) = 05556

45事件機率



(Joint probability)


第 21頁共 47頁







6


出現奇數的事件機率 P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 1

6 +

1

6 +

1

6 =

1

2 = 050

答案機率 = 050

451聯合機率



A B

AcapB




學生數統計學



不及格 E4 11 13






50 = 024


50 = 022


50 = 028


50 = 026


第 22頁共 47頁

聯合機率表



資料蒐集

與應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100


50] + [P(E1capE4) =

11

50] + [P(E2capE3) =

14

50] + [P(E2capE4) =

13

50] = 1

452邊際機率





學生數統計學


資料蒐集與

應用

及格 E3 12 14

不及格 E4 11 13





052


048

聯合機率表



資料蒐集與

應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100





453條件機率


第 23頁共 47頁




P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B)其中 P(B) ne 0


A B

AcapB



P(B|A) = 119875(AcapB)

119875(A)其中 P(A) ne 0




位)



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100


P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 07500





119875(1198641) =

010

040 = 02500


119875(1198642) =

038

060 = 06333


119875(1198642) =

022

060 = 03667


119875(1198643) =

030

068 = 04412


119875(1198643) =

038

068 = 05588


119875(1198644) =

010

032 = 03125


119875(1198644) =

022

032 = 06875


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2


06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4




的機率



12) times (

2

11) = 00455



12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455



題解



119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072



數點後第 4位)



119875(FC) =


1minus119875(F) =

119875(E)minus02241


rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564




題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739



(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416



第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 6頁共 47頁


定義0 = 1

n階乘 Excel函數





























119875119894119899 =

119899



積

定義0 = 1


第 7頁共 47頁









119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198752

4 = 4

(4minus2) =

4

2 =

4times3times2times1

2times1 =

4times3times2times1


查詢獲得)











119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198753

50 = 50

(50minus3) =

50

47 =



詢獲得)





119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198754

5 = 5

(5minus4) =

5

1 =









119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198753

10 = 10

(10minus3) =


7 =

10


查詢獲得)



第 8頁共 47頁




119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198754

26 = 26

(26minus4) =

26

22 =



函數查詢獲得)





119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198753

8 = 8

(8minus3) =

8

5 =

8times7times6times5















5

3times2 =

5times4times3

3times2 =

5times4times3

3times2 =

5times4










7

2times3times2 =


2times3times2 =









4



第 9頁共 47頁




6

16 = 0375








6


配方式(數量)



6

64 = 00938




6




1

64 = 00156

答案(A)機率 00938(B)機率 00156




第 4位)




8





56

256 =

02188




8




28

256 = 01094




8




8

256 = 00313




8




1

256 = 00039

答案(A)機率 02188(B)機率 01094(C)機率 00313(D)機率 00039


第 10頁共 47頁






6

2times4 =











列方式




6

2times2times2 =










數)有119899


10

2times4times4 =










5

3times2 =








10

32 = 03125

C35 times (

1

2)2 times (

1

2)3 = 10 times

1

32 =

5

16 = 03125

答案機率 03215






12






第 11頁共 47頁

環狀排列方式



法



甲學生

丙學生乙學生

甲學生

乙學生丙學生



法




甲學生

丙學生乙學生

丁學生甲學生

丁學生乙學生

丙學生甲學生

乙學生丙學生

丁學生甲學生

丁學生丙學生

乙學生甲學生

乙學生丁學生

丙學生甲學生

丙學生丁學生

乙學生


433組合計數法





n i



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 =


119894








119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198622

4 = 4

2times(4minus2) =

4

2times2 =

4times3times2times1


4times3times2times1


24


查詢獲得)



第 12頁共 47頁

答案6種組合




119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

16 = 16

4times(16minus4) =

16

4times12 =






答案1820種組合





119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

26 = 26

4times(26minus4) =

26

4times22 =





函數查詢獲得)






個號碼的組合數為 combin(63) = 119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198623

6 = 6

3times(6minus3) =

6

3times3 =






119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

12 = 12

4times(12minus4) =

12

4times8 =







20

495 = 00404

答案機率 = 00404





1

6 times

5

6 + C2

2 times 1

6 = 2 times

1

6 times

5

6 + 1 times

1

6 =

11

36

答案11

36


會有幾種座法





答案8種


第 13頁共 47頁





答案1260種

Excel函數





44機率理論





式



皆有1


1






441古典機率





119899



象


119899



119899119860

119899




第 14頁共 47頁






的機率




4 8 12 16共 nA = 4個



4

16 = 025

答案025



由


119898+119899



119898+119899 times

119898minus1

119898+119899minus1 +

119899

119898+119899 times

119898

119898+119899minus1 =


(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898times(119898+119899minus1)

(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898

119898+119899 = P1


442客觀機率






119899rarrinfin

119891A

119899





數點後第 3位)



10000 = 0100

答案0100



第 15頁共 47頁


機率

443主觀機率






444機率性質


P(S) = 1









E1 E2 E3


P(⋃ 119864119894119899119894=1 ) = sum 119875(119864119894)119899

119894=1



率


過少 A 505 00174

符合標準 B 25000 08619

過多 C 3502 01207

合計 29007 10000



第 16頁共 47頁

P(A或 C) = P(AcupC) = P(A) + P(C) = 00174 + 01207 = 01381

答案機率 = 01381






發生

A B


非A非B

圖 4-1文氏圖


4451空事件



A = = ϕ rarr P(ϕ) = 0

4452必然事件




A = S rarr P(A) = P(S) = 1

4453餘事件







第 17頁共 47頁

A B




4454交集



A B

AcapB





4455聯集



A B

AcupB






第 18頁共 47頁

答案(C)

部分集合




4456互斥事件




A B


4457狄摩根定理



ACcapBC = (AcupB)C

A B

ACcupBC = (AcapB)C

A B

AcapB



(⋂ A119894119899119894=1 )119862 = ⋃ A119894

119862119899119894=1 (⋃ A119894

119899119894=1 )119862 = ⋂ A119894

119862119899119894=1


第 19頁共 47頁

4458交換律









題解








點後第 1位)

題解



04




位)




答案034



題解







第 20頁共 47頁





點後第 4位)





立狀態





1+3

+ (3

1+3)2 times (

1

1+3) + (

3

1+3)4 times (

1

1+3) + (

3

1+3)6 times (

1

1+3) + (

3

1+3)8 times (

1

1+3) + (

3

1+3)10 times (

1

1+3) + (

3

1+3)12 times (

1

1+3) + (

3

1+3)14 times

(1

1+3) +hellip = 05714


1張招

待券籤

3張空

白籤

E1抽中招

待券籤

E2抽中招

待券籤

第1回抽籤

P(E1) = 025

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤

P(N) = 075

E1抽中招

待券籤

第2回抽籤

P(E1) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075

未抽中招

待券籤P(N) = 075

E2抽中招

待券籤

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075





點後第 4位)


P(E) = 1

5 + (

4

5)2 times

1

5 + (45)4 times

1

5 + (45)6 times

1

5 + (45)8 times

1

5 + (45)10 times

1

5 + (45)12 times

1

5 + (45)14 times

1

5 + (45)16 times

1

5 +hellip =

06000

答案P(E) = 05556

45事件機率



(Joint probability)


第 21頁共 47頁







6


出現奇數的事件機率 P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 1

6 +

1

6 +

1

6 =

1

2 = 050

答案機率 = 050

451聯合機率



A B

AcapB




學生數統計學



不及格 E4 11 13






50 = 024


50 = 022


50 = 028


50 = 026


第 22頁共 47頁

聯合機率表



資料蒐集

與應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100


50] + [P(E1capE4) =

11

50] + [P(E2capE3) =

14

50] + [P(E2capE4) =

13

50] = 1

452邊際機率





學生數統計學


資料蒐集與

應用

及格 E3 12 14

不及格 E4 11 13





052


048

聯合機率表



資料蒐集與

應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100





453條件機率


第 23頁共 47頁




P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B)其中 P(B) ne 0


A B

AcapB



P(B|A) = 119875(AcapB)

119875(A)其中 P(A) ne 0




位)



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100


P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 07500





119875(1198641) =

010

040 = 02500


119875(1198642) =

038

060 = 06333


119875(1198642) =

022

060 = 03667


119875(1198643) =

030

068 = 04412


119875(1198643) =

038

068 = 05588


119875(1198644) =

010

032 = 03125


119875(1198644) =

022

032 = 06875


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2


06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4




的機率



12) times (

2

11) = 00455



12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455



題解



119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072



數點後第 4位)



119875(FC) =


1minus119875(F) =

119875(E)minus02241


rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564




題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739



(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416



第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 7頁共 47頁









119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198752

4 = 4

(4minus2) =

4

2 =

4times3times2times1

2times1 =

4times3times2times1


查詢獲得)











119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198753

50 = 50

(50minus3) =

50

47 =



詢獲得)





119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198754

5 = 5

(5minus4) =

5

1 =









119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198753

10 = 10

(10minus3) =


7 =

10


查詢獲得)



第 8頁共 47頁




119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198754

26 = 26

(26minus4) =

26

22 =



函數查詢獲得)





119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198753

8 = 8

(8minus3) =

8

5 =

8times7times6times5















5

3times2 =

5times4times3

3times2 =

5times4times3

3times2 =

5times4










7

2times3times2 =


2times3times2 =









4



第 9頁共 47頁




6

16 = 0375








6


配方式(數量)



6

64 = 00938




6




1

64 = 00156

答案(A)機率 00938(B)機率 00156




第 4位)




8





56

256 =

02188




8




28

256 = 01094




8




8

256 = 00313




8




1

256 = 00039

答案(A)機率 02188(B)機率 01094(C)機率 00313(D)機率 00039


第 10頁共 47頁






6

2times4 =











列方式




6

2times2times2 =










數)有119899


10

2times4times4 =










5

3times2 =








10

32 = 03125

C35 times (

1

2)2 times (

1

2)3 = 10 times

1

32 =

5

16 = 03125

答案機率 03215






12






第 11頁共 47頁

環狀排列方式



法



甲學生

丙學生乙學生

甲學生

乙學生丙學生



法




甲學生

丙學生乙學生

丁學生甲學生

丁學生乙學生

丙學生甲學生

乙學生丙學生

丁學生甲學生

丁學生丙學生

乙學生甲學生

乙學生丁學生

丙學生甲學生

丙學生丁學生

乙學生


433組合計數法





n i



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 =


119894








119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198622

4 = 4

2times(4minus2) =

4

2times2 =

4times3times2times1


4times3times2times1


24


查詢獲得)



第 12頁共 47頁

答案6種組合




119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

16 = 16

4times(16minus4) =

16

4times12 =






答案1820種組合





119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

26 = 26

4times(26minus4) =

26

4times22 =





函數查詢獲得)






個號碼的組合數為 combin(63) = 119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198623

6 = 6

3times(6minus3) =

6

3times3 =






119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

12 = 12

4times(12minus4) =

12

4times8 =







20

495 = 00404

答案機率 = 00404





1

6 times

5

6 + C2

2 times 1

6 = 2 times

1

6 times

5

6 + 1 times

1

6 =

11

36

答案11

36


會有幾種座法





答案8種


第 13頁共 47頁





答案1260種

Excel函數





44機率理論





式



皆有1


1






441古典機率





119899



象


119899



119899119860

119899




第 14頁共 47頁






的機率




4 8 12 16共 nA = 4個



4

16 = 025

答案025



由


119898+119899



119898+119899 times

119898minus1

119898+119899minus1 +

119899

119898+119899 times

119898

119898+119899minus1 =


(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898times(119898+119899minus1)

(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898

119898+119899 = P1


442客觀機率






119899rarrinfin

119891A

119899





數點後第 3位)



10000 = 0100

答案0100



第 15頁共 47頁


機率

443主觀機率






444機率性質


P(S) = 1









E1 E2 E3


P(⋃ 119864119894119899119894=1 ) = sum 119875(119864119894)119899

119894=1



率


過少 A 505 00174

符合標準 B 25000 08619

過多 C 3502 01207

合計 29007 10000



第 16頁共 47頁

P(A或 C) = P(AcupC) = P(A) + P(C) = 00174 + 01207 = 01381

答案機率 = 01381






發生

A B


非A非B

圖 4-1文氏圖


4451空事件



A = = ϕ rarr P(ϕ) = 0

4452必然事件




A = S rarr P(A) = P(S) = 1

4453餘事件







第 17頁共 47頁

A B




4454交集



A B

AcapB





4455聯集



A B

AcupB






第 18頁共 47頁

答案(C)

部分集合




4456互斥事件




A B


4457狄摩根定理



ACcapBC = (AcupB)C

A B

ACcupBC = (AcapB)C

A B

AcapB



(⋂ A119894119899119894=1 )119862 = ⋃ A119894

119862119899119894=1 (⋃ A119894

119899119894=1 )119862 = ⋂ A119894

119862119899119894=1


第 19頁共 47頁

4458交換律









題解








點後第 1位)

題解



04




位)




答案034



題解







第 20頁共 47頁





點後第 4位)





立狀態





1+3

+ (3

1+3)2 times (

1

1+3) + (

3

1+3)4 times (

1

1+3) + (

3

1+3)6 times (

1

1+3) + (

3

1+3)8 times (

1

1+3) + (

3

1+3)10 times (

1

1+3) + (

3

1+3)12 times (

1

1+3) + (

3

1+3)14 times

(1

1+3) +hellip = 05714


1張招

待券籤

3張空

白籤

E1抽中招

待券籤

E2抽中招

待券籤

第1回抽籤

P(E1) = 025

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤

P(N) = 075

E1抽中招

待券籤

第2回抽籤

P(E1) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075

未抽中招

待券籤P(N) = 075

E2抽中招

待券籤

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075





點後第 4位)


P(E) = 1

5 + (

4

5)2 times

1

5 + (45)4 times

1

5 + (45)6 times

1

5 + (45)8 times

1

5 + (45)10 times

1

5 + (45)12 times

1

5 + (45)14 times

1

5 + (45)16 times

1

5 +hellip =

06000

答案P(E) = 05556

45事件機率



(Joint probability)


第 21頁共 47頁







6


出現奇數的事件機率 P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 1

6 +

1

6 +

1

6 =

1

2 = 050

答案機率 = 050

451聯合機率



A B

AcapB




學生數統計學



不及格 E4 11 13






50 = 024


50 = 022


50 = 028


50 = 026


第 22頁共 47頁

聯合機率表



資料蒐集

與應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100


50] + [P(E1capE4) =

11

50] + [P(E2capE3) =

14

50] + [P(E2capE4) =

13

50] = 1

452邊際機率





學生數統計學


資料蒐集與

應用

及格 E3 12 14

不及格 E4 11 13





052


048

聯合機率表



資料蒐集與

應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100





453條件機率


第 23頁共 47頁




P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B)其中 P(B) ne 0


A B

AcapB



P(B|A) = 119875(AcapB)

119875(A)其中 P(A) ne 0




位)



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100


P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 07500





119875(1198641) =

010

040 = 02500


119875(1198642) =

038

060 = 06333


119875(1198642) =

022

060 = 03667


119875(1198643) =

030

068 = 04412


119875(1198643) =

038

068 = 05588


119875(1198644) =

010

032 = 03125


119875(1198644) =

022

032 = 06875


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2


06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4




的機率



12) times (

2

11) = 00455



12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455



題解



119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072



數點後第 4位)



119875(FC) =


1minus119875(F) =

119875(E)minus02241


rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564




題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739



(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416



第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 8頁共 47頁




119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198754

26 = 26

(26minus4) =

26

22 =



函數查詢獲得)





119875119894119899 =

119899

(119899minus119894) = 1198753

8 = 8

(8minus3) =

8

5 =

8times7times6times5















5

3times2 =

5times4times3

3times2 =

5times4times3

3times2 =

5times4










7

2times3times2 =


2times3times2 =









4



第 9頁共 47頁




6

16 = 0375








6


配方式(數量)



6

64 = 00938




6




1

64 = 00156

答案(A)機率 00938(B)機率 00156




第 4位)




8





56

256 =

02188




8




28

256 = 01094




8




8

256 = 00313




8




1

256 = 00039

答案(A)機率 02188(B)機率 01094(C)機率 00313(D)機率 00039


第 10頁共 47頁






6

2times4 =











列方式




6

2times2times2 =










數)有119899


10

2times4times4 =










5

3times2 =








10

32 = 03125

C35 times (

1

2)2 times (

1

2)3 = 10 times

1

32 =

5

16 = 03125

答案機率 03215






12






第 11頁共 47頁

環狀排列方式



法



甲學生

丙學生乙學生

甲學生

乙學生丙學生



法




甲學生

丙學生乙學生

丁學生甲學生

丁學生乙學生

丙學生甲學生

乙學生丙學生

丁學生甲學生

丁學生丙學生

乙學生甲學生

乙學生丁學生

丙學生甲學生

丙學生丁學生

乙學生


433組合計數法





n i



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 =


119894








119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198622

4 = 4

2times(4minus2) =

4

2times2 =

4times3times2times1


4times3times2times1


24


查詢獲得)



第 12頁共 47頁

答案6種組合




119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

16 = 16

4times(16minus4) =

16

4times12 =






答案1820種組合





119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

26 = 26

4times(26minus4) =

26

4times22 =





函數查詢獲得)






個號碼的組合數為 combin(63) = 119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198623

6 = 6

3times(6minus3) =

6

3times3 =






119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

12 = 12

4times(12minus4) =

12

4times8 =







20

495 = 00404

答案機率 = 00404





1

6 times

5

6 + C2

2 times 1

6 = 2 times

1

6 times

5

6 + 1 times

1

6 =

11

36

答案11

36


會有幾種座法





答案8種


第 13頁共 47頁





答案1260種

Excel函數





44機率理論





式



皆有1


1






441古典機率





119899



象


119899



119899119860

119899




第 14頁共 47頁






的機率




4 8 12 16共 nA = 4個



4

16 = 025

答案025



由


119898+119899



119898+119899 times

119898minus1

119898+119899minus1 +

119899

119898+119899 times

119898

119898+119899minus1 =


(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898times(119898+119899minus1)

(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898

119898+119899 = P1


442客觀機率






119899rarrinfin

119891A

119899





數點後第 3位)



10000 = 0100

答案0100



第 15頁共 47頁


機率

443主觀機率






444機率性質


P(S) = 1









E1 E2 E3


P(⋃ 119864119894119899119894=1 ) = sum 119875(119864119894)119899

119894=1



率


過少 A 505 00174

符合標準 B 25000 08619

過多 C 3502 01207

合計 29007 10000



第 16頁共 47頁

P(A或 C) = P(AcupC) = P(A) + P(C) = 00174 + 01207 = 01381

答案機率 = 01381






發生

A B


非A非B

圖 4-1文氏圖


4451空事件



A = = ϕ rarr P(ϕ) = 0

4452必然事件




A = S rarr P(A) = P(S) = 1

4453餘事件







第 17頁共 47頁

A B




4454交集



A B

AcapB





4455聯集



A B

AcupB






第 18頁共 47頁

答案(C)

部分集合




4456互斥事件




A B


4457狄摩根定理



ACcapBC = (AcupB)C

A B

ACcupBC = (AcapB)C

A B

AcapB



(⋂ A119894119899119894=1 )119862 = ⋃ A119894

119862119899119894=1 (⋃ A119894

119899119894=1 )119862 = ⋂ A119894

119862119899119894=1


第 19頁共 47頁

4458交換律









題解








點後第 1位)

題解



04




位)




答案034



題解







第 20頁共 47頁





點後第 4位)





立狀態





1+3

+ (3

1+3)2 times (

1

1+3) + (

3

1+3)4 times (

1

1+3) + (

3

1+3)6 times (

1

1+3) + (

3

1+3)8 times (

1

1+3) + (

3

1+3)10 times (

1

1+3) + (

3

1+3)12 times (

1

1+3) + (

3

1+3)14 times

(1

1+3) +hellip = 05714


1張招

待券籤

3張空

白籤

E1抽中招

待券籤

E2抽中招

待券籤

第1回抽籤

P(E1) = 025

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤

P(N) = 075

E1抽中招

待券籤

第2回抽籤

P(E1) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075

未抽中招

待券籤P(N) = 075

E2抽中招

待券籤

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075





點後第 4位)


P(E) = 1

5 + (

4

5)2 times

1

5 + (45)4 times

1

5 + (45)6 times

1

5 + (45)8 times

1

5 + (45)10 times

1

5 + (45)12 times

1

5 + (45)14 times

1

5 + (45)16 times

1

5 +hellip =

06000

答案P(E) = 05556

45事件機率



(Joint probability)


第 21頁共 47頁







6


出現奇數的事件機率 P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 1

6 +

1

6 +

1

6 =

1

2 = 050

答案機率 = 050

451聯合機率



A B

AcapB




學生數統計學



不及格 E4 11 13






50 = 024


50 = 022


50 = 028


50 = 026


第 22頁共 47頁

聯合機率表



資料蒐集

與應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100


50] + [P(E1capE4) =

11

50] + [P(E2capE3) =

14

50] + [P(E2capE4) =

13

50] = 1

452邊際機率





學生數統計學


資料蒐集與

應用

及格 E3 12 14

不及格 E4 11 13





052


048

聯合機率表



資料蒐集與

應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100





453條件機率


第 23頁共 47頁




P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B)其中 P(B) ne 0


A B

AcapB



P(B|A) = 119875(AcapB)

119875(A)其中 P(A) ne 0




位)



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100


P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 07500





119875(1198641) =

010

040 = 02500


119875(1198642) =

038

060 = 06333


119875(1198642) =

022

060 = 03667


119875(1198643) =

030

068 = 04412


119875(1198643) =

038

068 = 05588


119875(1198644) =

010

032 = 03125


119875(1198644) =

022

032 = 06875


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2


06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4




的機率



12) times (

2

11) = 00455



12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455



題解



119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072



數點後第 4位)



119875(FC) =


1minus119875(F) =

119875(E)minus02241


rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564




題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739



(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416



第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 9頁共 47頁




6

16 = 0375








6


配方式(數量)



6

64 = 00938




6




1

64 = 00156

答案(A)機率 00938(B)機率 00156




第 4位)




8





56

256 =

02188




8




28

256 = 01094




8




8

256 = 00313




8




1

256 = 00039

答案(A)機率 02188(B)機率 01094(C)機率 00313(D)機率 00039


第 10頁共 47頁






6

2times4 =











列方式




6

2times2times2 =










數)有119899


10

2times4times4 =










5

3times2 =








10

32 = 03125

C35 times (

1

2)2 times (

1

2)3 = 10 times

1

32 =

5

16 = 03125

答案機率 03215






12






第 11頁共 47頁

環狀排列方式



法



甲學生

丙學生乙學生

甲學生

乙學生丙學生



法




甲學生

丙學生乙學生

丁學生甲學生

丁學生乙學生

丙學生甲學生

乙學生丙學生

丁學生甲學生

丁學生丙學生

乙學生甲學生

乙學生丁學生

丙學生甲學生

丙學生丁學生

乙學生


433組合計數法





n i



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 =


119894








119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198622

4 = 4

2times(4minus2) =

4

2times2 =

4times3times2times1


4times3times2times1


24


查詢獲得)



第 12頁共 47頁

答案6種組合




119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

16 = 16

4times(16minus4) =

16

4times12 =






答案1820種組合





119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

26 = 26

4times(26minus4) =

26

4times22 =





函數查詢獲得)






個號碼的組合數為 combin(63) = 119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198623

6 = 6

3times(6minus3) =

6

3times3 =






119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

12 = 12

4times(12minus4) =

12

4times8 =







20

495 = 00404

答案機率 = 00404





1

6 times

5

6 + C2

2 times 1

6 = 2 times

1

6 times

5

6 + 1 times

1

6 =

11

36

答案11

36


會有幾種座法





答案8種


第 13頁共 47頁





答案1260種

Excel函數





44機率理論





式



皆有1


1






441古典機率





119899



象


119899



119899119860

119899




第 14頁共 47頁






的機率




4 8 12 16共 nA = 4個



4

16 = 025

答案025



由


119898+119899



119898+119899 times

119898minus1

119898+119899minus1 +

119899

119898+119899 times

119898

119898+119899minus1 =


(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898times(119898+119899minus1)

(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898

119898+119899 = P1


442客觀機率






119899rarrinfin

119891A

119899





數點後第 3位)



10000 = 0100

答案0100



第 15頁共 47頁


機率

443主觀機率






444機率性質


P(S) = 1









E1 E2 E3


P(⋃ 119864119894119899119894=1 ) = sum 119875(119864119894)119899

119894=1



率


過少 A 505 00174

符合標準 B 25000 08619

過多 C 3502 01207

合計 29007 10000



第 16頁共 47頁

P(A或 C) = P(AcupC) = P(A) + P(C) = 00174 + 01207 = 01381

答案機率 = 01381






發生

A B


非A非B

圖 4-1文氏圖


4451空事件



A = = ϕ rarr P(ϕ) = 0

4452必然事件




A = S rarr P(A) = P(S) = 1

4453餘事件







第 17頁共 47頁

A B




4454交集



A B

AcapB





4455聯集



A B

AcupB






第 18頁共 47頁

答案(C)

部分集合




4456互斥事件




A B


4457狄摩根定理



ACcapBC = (AcupB)C

A B

ACcupBC = (AcapB)C

A B

AcapB



(⋂ A119894119899119894=1 )119862 = ⋃ A119894

119862119899119894=1 (⋃ A119894

119899119894=1 )119862 = ⋂ A119894

119862119899119894=1


第 19頁共 47頁

4458交換律









題解








點後第 1位)

題解



04




位)




答案034



題解







第 20頁共 47頁





點後第 4位)





立狀態





1+3

+ (3

1+3)2 times (

1

1+3) + (

3

1+3)4 times (

1

1+3) + (

3

1+3)6 times (

1

1+3) + (

3

1+3)8 times (

1

1+3) + (

3

1+3)10 times (

1

1+3) + (

3

1+3)12 times (

1

1+3) + (

3

1+3)14 times

(1

1+3) +hellip = 05714


1張招

待券籤

3張空

白籤

E1抽中招

待券籤

E2抽中招

待券籤

第1回抽籤

P(E1) = 025

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤

P(N) = 075

E1抽中招

待券籤

第2回抽籤

P(E1) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075

未抽中招

待券籤P(N) = 075

E2抽中招

待券籤

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075





點後第 4位)


P(E) = 1

5 + (

4

5)2 times

1

5 + (45)4 times

1

5 + (45)6 times

1

5 + (45)8 times

1

5 + (45)10 times

1

5 + (45)12 times

1

5 + (45)14 times

1

5 + (45)16 times

1

5 +hellip =

06000

答案P(E) = 05556

45事件機率



(Joint probability)


第 21頁共 47頁







6


出現奇數的事件機率 P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 1

6 +

1

6 +

1

6 =

1

2 = 050

答案機率 = 050

451聯合機率



A B

AcapB




學生數統計學



不及格 E4 11 13






50 = 024


50 = 022


50 = 028


50 = 026


第 22頁共 47頁

聯合機率表



資料蒐集

與應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100


50] + [P(E1capE4) =

11

50] + [P(E2capE3) =

14

50] + [P(E2capE4) =

13

50] = 1

452邊際機率





學生數統計學


資料蒐集與

應用

及格 E3 12 14

不及格 E4 11 13





052


048

聯合機率表



資料蒐集與

應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100





453條件機率


第 23頁共 47頁




P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B)其中 P(B) ne 0


A B

AcapB



P(B|A) = 119875(AcapB)

119875(A)其中 P(A) ne 0




位)



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100


P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 07500





119875(1198641) =

010

040 = 02500


119875(1198642) =

038

060 = 06333


119875(1198642) =

022

060 = 03667


119875(1198643) =

030

068 = 04412


119875(1198643) =

038

068 = 05588


119875(1198644) =

010

032 = 03125


119875(1198644) =

022

032 = 06875


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2


06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4




的機率



12) times (

2

11) = 00455



12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455



題解



119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072



數點後第 4位)



119875(FC) =


1minus119875(F) =

119875(E)minus02241


rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564




題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739



(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416



第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 10頁共 47頁






6

2times4 =











列方式




6

2times2times2 =










數)有119899


10

2times4times4 =










5

3times2 =








10

32 = 03125

C35 times (

1

2)2 times (

1

2)3 = 10 times

1

32 =

5

16 = 03125

答案機率 03215






12






第 11頁共 47頁

環狀排列方式



法



甲學生

丙學生乙學生

甲學生

乙學生丙學生



法




甲學生

丙學生乙學生

丁學生甲學生

丁學生乙學生

丙學生甲學生

乙學生丙學生

丁學生甲學生

丁學生丙學生

乙學生甲學生

乙學生丁學生

丙學生甲學生

丙學生丁學生

乙學生


433組合計數法





n i



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 =


119894








119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198622

4 = 4

2times(4minus2) =

4

2times2 =

4times3times2times1


4times3times2times1


24


查詢獲得)



第 12頁共 47頁

答案6種組合




119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

16 = 16

4times(16minus4) =

16

4times12 =






答案1820種組合





119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

26 = 26

4times(26minus4) =

26

4times22 =





函數查詢獲得)






個號碼的組合數為 combin(63) = 119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198623

6 = 6

3times(6minus3) =

6

3times3 =






119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

12 = 12

4times(12minus4) =

12

4times8 =







20

495 = 00404

答案機率 = 00404





1

6 times

5

6 + C2

2 times 1

6 = 2 times

1

6 times

5

6 + 1 times

1

6 =

11

36

答案11

36


會有幾種座法





答案8種


第 13頁共 47頁





答案1260種

Excel函數





44機率理論





式



皆有1


1






441古典機率





119899



象


119899



119899119860

119899




第 14頁共 47頁






的機率




4 8 12 16共 nA = 4個



4

16 = 025

答案025



由


119898+119899



119898+119899 times

119898minus1

119898+119899minus1 +

119899

119898+119899 times

119898

119898+119899minus1 =


(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898times(119898+119899minus1)

(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898

119898+119899 = P1


442客觀機率






119899rarrinfin

119891A

119899





數點後第 3位)



10000 = 0100

答案0100



第 15頁共 47頁


機率

443主觀機率






444機率性質


P(S) = 1









E1 E2 E3


P(⋃ 119864119894119899119894=1 ) = sum 119875(119864119894)119899

119894=1



率


過少 A 505 00174

符合標準 B 25000 08619

過多 C 3502 01207

合計 29007 10000



第 16頁共 47頁

P(A或 C) = P(AcupC) = P(A) + P(C) = 00174 + 01207 = 01381

答案機率 = 01381






發生

A B


非A非B

圖 4-1文氏圖


4451空事件



A = = ϕ rarr P(ϕ) = 0

4452必然事件




A = S rarr P(A) = P(S) = 1

4453餘事件







第 17頁共 47頁

A B




4454交集



A B

AcapB





4455聯集



A B

AcupB






第 18頁共 47頁

答案(C)

部分集合




4456互斥事件




A B


4457狄摩根定理



ACcapBC = (AcupB)C

A B

ACcupBC = (AcapB)C

A B

AcapB



(⋂ A119894119899119894=1 )119862 = ⋃ A119894

119862119899119894=1 (⋃ A119894

119899119894=1 )119862 = ⋂ A119894

119862119899119894=1


第 19頁共 47頁

4458交換律









題解








點後第 1位)

題解



04




位)




答案034



題解







第 20頁共 47頁





點後第 4位)





立狀態





1+3

+ (3

1+3)2 times (

1

1+3) + (

3

1+3)4 times (

1

1+3) + (

3

1+3)6 times (

1

1+3) + (

3

1+3)8 times (

1

1+3) + (

3

1+3)10 times (

1

1+3) + (

3

1+3)12 times (

1

1+3) + (

3

1+3)14 times

(1

1+3) +hellip = 05714


1張招

待券籤

3張空

白籤

E1抽中招

待券籤

E2抽中招

待券籤

第1回抽籤

P(E1) = 025

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤

P(N) = 075

E1抽中招

待券籤

第2回抽籤

P(E1) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075

未抽中招

待券籤P(N) = 075

E2抽中招

待券籤

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075





點後第 4位)


P(E) = 1

5 + (

4

5)2 times

1

5 + (45)4 times

1

5 + (45)6 times

1

5 + (45)8 times

1

5 + (45)10 times

1

5 + (45)12 times

1

5 + (45)14 times

1

5 + (45)16 times

1

5 +hellip =

06000

答案P(E) = 05556

45事件機率



(Joint probability)


第 21頁共 47頁







6


出現奇數的事件機率 P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 1

6 +

1

6 +

1

6 =

1

2 = 050

答案機率 = 050

451聯合機率



A B

AcapB




學生數統計學



不及格 E4 11 13






50 = 024


50 = 022


50 = 028


50 = 026


第 22頁共 47頁

聯合機率表



資料蒐集

與應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100


50] + [P(E1capE4) =

11

50] + [P(E2capE3) =

14

50] + [P(E2capE4) =

13

50] = 1

452邊際機率





學生數統計學


資料蒐集與

應用

及格 E3 12 14

不及格 E4 11 13





052


048

聯合機率表



資料蒐集與

應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100





453條件機率


第 23頁共 47頁




P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B)其中 P(B) ne 0


A B

AcapB



P(B|A) = 119875(AcapB)

119875(A)其中 P(A) ne 0




位)



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100


P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 07500





119875(1198641) =

010

040 = 02500


119875(1198642) =

038

060 = 06333


119875(1198642) =

022

060 = 03667


119875(1198643) =

030

068 = 04412


119875(1198643) =

038

068 = 05588


119875(1198644) =

010

032 = 03125


119875(1198644) =

022

032 = 06875


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2


06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4




的機率



12) times (

2

11) = 00455



12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455



題解



119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072



數點後第 4位)



119875(FC) =


1minus119875(F) =

119875(E)minus02241


rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564




題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739



(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416



第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 11頁共 47頁

環狀排列方式



法



甲學生

丙學生乙學生

甲學生

乙學生丙學生



法




甲學生

丙學生乙學生

丁學生甲學生

丁學生乙學生

丙學生甲學生

乙學生丙學生

丁學生甲學生

丁學生丙學生

乙學生甲學生

乙學生丁學生

丙學生甲學生

丙學生丁學生

乙學生


433組合計數法





n i



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 =


119894








119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198622

4 = 4

2times(4minus2) =

4

2times2 =

4times3times2times1


4times3times2times1


24


查詢獲得)



第 12頁共 47頁

答案6種組合




119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

16 = 16

4times(16minus4) =

16

4times12 =






答案1820種組合





119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

26 = 26

4times(26minus4) =

26

4times22 =





函數查詢獲得)






個號碼的組合數為 combin(63) = 119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198623

6 = 6

3times(6minus3) =

6

3times3 =






119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

12 = 12

4times(12minus4) =

12

4times8 =







20

495 = 00404

答案機率 = 00404





1

6 times

5

6 + C2

2 times 1

6 = 2 times

1

6 times

5

6 + 1 times

1

6 =

11

36

答案11

36


會有幾種座法





答案8種


第 13頁共 47頁





答案1260種

Excel函數





44機率理論





式



皆有1


1






441古典機率





119899



象


119899



119899119860

119899




第 14頁共 47頁






的機率




4 8 12 16共 nA = 4個



4

16 = 025

答案025



由


119898+119899



119898+119899 times

119898minus1

119898+119899minus1 +

119899

119898+119899 times

119898

119898+119899minus1 =


(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898times(119898+119899minus1)

(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898

119898+119899 = P1


442客觀機率






119899rarrinfin

119891A

119899





數點後第 3位)



10000 = 0100

答案0100



第 15頁共 47頁


機率

443主觀機率






444機率性質


P(S) = 1









E1 E2 E3


P(⋃ 119864119894119899119894=1 ) = sum 119875(119864119894)119899

119894=1



率


過少 A 505 00174

符合標準 B 25000 08619

過多 C 3502 01207

合計 29007 10000



第 16頁共 47頁

P(A或 C) = P(AcupC) = P(A) + P(C) = 00174 + 01207 = 01381

答案機率 = 01381






發生

A B


非A非B

圖 4-1文氏圖


4451空事件



A = = ϕ rarr P(ϕ) = 0

4452必然事件




A = S rarr P(A) = P(S) = 1

4453餘事件







第 17頁共 47頁

A B




4454交集



A B

AcapB





4455聯集



A B

AcupB






第 18頁共 47頁

答案(C)

部分集合




4456互斥事件




A B


4457狄摩根定理



ACcapBC = (AcupB)C

A B

ACcupBC = (AcapB)C

A B

AcapB



(⋂ A119894119899119894=1 )119862 = ⋃ A119894

119862119899119894=1 (⋃ A119894

119899119894=1 )119862 = ⋂ A119894

119862119899119894=1


第 19頁共 47頁

4458交換律









題解








點後第 1位)

題解



04




位)




答案034



題解







第 20頁共 47頁





點後第 4位)





立狀態





1+3

+ (3

1+3)2 times (

1

1+3) + (

3

1+3)4 times (

1

1+3) + (

3

1+3)6 times (

1

1+3) + (

3

1+3)8 times (

1

1+3) + (

3

1+3)10 times (

1

1+3) + (

3

1+3)12 times (

1

1+3) + (

3

1+3)14 times

(1

1+3) +hellip = 05714


1張招

待券籤

3張空

白籤

E1抽中招

待券籤

E2抽中招

待券籤

第1回抽籤

P(E1) = 025

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤

P(N) = 075

E1抽中招

待券籤

第2回抽籤

P(E1) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075

未抽中招

待券籤P(N) = 075

E2抽中招

待券籤

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075





點後第 4位)


P(E) = 1

5 + (

4

5)2 times

1

5 + (45)4 times

1

5 + (45)6 times

1

5 + (45)8 times

1

5 + (45)10 times

1

5 + (45)12 times

1

5 + (45)14 times

1

5 + (45)16 times

1

5 +hellip =

06000

答案P(E) = 05556

45事件機率



(Joint probability)


第 21頁共 47頁







6


出現奇數的事件機率 P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 1

6 +

1

6 +

1

6 =

1

2 = 050

答案機率 = 050

451聯合機率



A B

AcapB




學生數統計學



不及格 E4 11 13






50 = 024


50 = 022


50 = 028


50 = 026


第 22頁共 47頁

聯合機率表



資料蒐集

與應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100


50] + [P(E1capE4) =

11

50] + [P(E2capE3) =

14

50] + [P(E2capE4) =

13

50] = 1

452邊際機率





學生數統計學


資料蒐集與

應用

及格 E3 12 14

不及格 E4 11 13





052


048

聯合機率表



資料蒐集與

應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100





453條件機率


第 23頁共 47頁




P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B)其中 P(B) ne 0


A B

AcapB



P(B|A) = 119875(AcapB)

119875(A)其中 P(A) ne 0




位)



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100


P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 07500





119875(1198641) =

010

040 = 02500


119875(1198642) =

038

060 = 06333


119875(1198642) =

022

060 = 03667


119875(1198643) =

030

068 = 04412


119875(1198643) =

038

068 = 05588


119875(1198644) =

010

032 = 03125


119875(1198644) =

022

032 = 06875


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2


06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4




的機率



12) times (

2

11) = 00455



12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455



題解



119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072



數點後第 4位)



119875(FC) =


1minus119875(F) =

119875(E)minus02241


rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564




題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739



(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416



第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 12頁共 47頁

答案6種組合




119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

16 = 16

4times(16minus4) =

16

4times12 =






答案1820種組合





119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

26 = 26

4times(26minus4) =

26

4times22 =





函數查詢獲得)






個號碼的組合數為 combin(63) = 119862119894119899 =

119899

119894times(119899minus119894) = 1198623

6 = 6

3times(6minus3) =

6

3times3 =






119899

119894times(119899minus119894) = 1198624

12 = 12

4times(12minus4) =

12

4times8 =







20

495 = 00404

答案機率 = 00404





1

6 times

5

6 + C2

2 times 1

6 = 2 times

1

6 times

5

6 + 1 times

1

6 =

11

36

答案11

36


會有幾種座法





答案8種


第 13頁共 47頁





答案1260種

Excel函數





44機率理論





式



皆有1


1






441古典機率





119899



象


119899



119899119860

119899




第 14頁共 47頁






的機率




4 8 12 16共 nA = 4個



4

16 = 025

答案025



由


119898+119899



119898+119899 times

119898minus1

119898+119899minus1 +

119899

119898+119899 times

119898

119898+119899minus1 =


(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898times(119898+119899minus1)

(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898

119898+119899 = P1


442客觀機率






119899rarrinfin

119891A

119899





數點後第 3位)



10000 = 0100

答案0100



第 15頁共 47頁


機率

443主觀機率






444機率性質


P(S) = 1









E1 E2 E3


P(⋃ 119864119894119899119894=1 ) = sum 119875(119864119894)119899

119894=1



率


過少 A 505 00174

符合標準 B 25000 08619

過多 C 3502 01207

合計 29007 10000



第 16頁共 47頁

P(A或 C) = P(AcupC) = P(A) + P(C) = 00174 + 01207 = 01381

答案機率 = 01381






發生

A B


非A非B

圖 4-1文氏圖


4451空事件



A = = ϕ rarr P(ϕ) = 0

4452必然事件




A = S rarr P(A) = P(S) = 1

4453餘事件







第 17頁共 47頁

A B




4454交集



A B

AcapB





4455聯集



A B

AcupB






第 18頁共 47頁

答案(C)

部分集合




4456互斥事件




A B


4457狄摩根定理



ACcapBC = (AcupB)C

A B

ACcupBC = (AcapB)C

A B

AcapB



(⋂ A119894119899119894=1 )119862 = ⋃ A119894

119862119899119894=1 (⋃ A119894

119899119894=1 )119862 = ⋂ A119894

119862119899119894=1


第 19頁共 47頁

4458交換律









題解








點後第 1位)

題解



04




位)




答案034



題解







第 20頁共 47頁





點後第 4位)





立狀態





1+3

+ (3

1+3)2 times (

1

1+3) + (

3

1+3)4 times (

1

1+3) + (

3

1+3)6 times (

1

1+3) + (

3

1+3)8 times (

1

1+3) + (

3

1+3)10 times (

1

1+3) + (

3

1+3)12 times (

1

1+3) + (

3

1+3)14 times

(1

1+3) +hellip = 05714


1張招

待券籤

3張空

白籤

E1抽中招

待券籤

E2抽中招

待券籤

第1回抽籤

P(E1) = 025

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤

P(N) = 075

E1抽中招

待券籤

第2回抽籤

P(E1) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075

未抽中招

待券籤P(N) = 075

E2抽中招

待券籤

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075





點後第 4位)


P(E) = 1

5 + (

4

5)2 times

1

5 + (45)4 times

1

5 + (45)6 times

1

5 + (45)8 times

1

5 + (45)10 times

1

5 + (45)12 times

1

5 + (45)14 times

1

5 + (45)16 times

1

5 +hellip =

06000

答案P(E) = 05556

45事件機率



(Joint probability)


第 21頁共 47頁







6


出現奇數的事件機率 P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 1

6 +

1

6 +

1

6 =

1

2 = 050

答案機率 = 050

451聯合機率



A B

AcapB




學生數統計學



不及格 E4 11 13






50 = 024


50 = 022


50 = 028


50 = 026


第 22頁共 47頁

聯合機率表



資料蒐集

與應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100


50] + [P(E1capE4) =

11

50] + [P(E2capE3) =

14

50] + [P(E2capE4) =

13

50] = 1

452邊際機率





學生數統計學


資料蒐集與

應用

及格 E3 12 14

不及格 E4 11 13





052


048

聯合機率表



資料蒐集與

應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100





453條件機率


第 23頁共 47頁




P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B)其中 P(B) ne 0


A B

AcapB



P(B|A) = 119875(AcapB)

119875(A)其中 P(A) ne 0




位)



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100


P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 07500





119875(1198641) =

010

040 = 02500


119875(1198642) =

038

060 = 06333


119875(1198642) =

022

060 = 03667


119875(1198643) =

030

068 = 04412


119875(1198643) =

038

068 = 05588


119875(1198644) =

010

032 = 03125


119875(1198644) =

022

032 = 06875


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2


06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4




的機率



12) times (

2

11) = 00455



12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455



題解



119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072



數點後第 4位)



119875(FC) =


1minus119875(F) =

119875(E)minus02241


rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564




題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739



(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416



第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 13頁共 47頁





答案1260種

Excel函數





44機率理論





式



皆有1


1






441古典機率





119899



象


119899



119899119860

119899




第 14頁共 47頁






的機率




4 8 12 16共 nA = 4個



4

16 = 025

答案025



由


119898+119899



119898+119899 times

119898minus1

119898+119899minus1 +

119899

119898+119899 times

119898

119898+119899minus1 =


(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898times(119898+119899minus1)

(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898

119898+119899 = P1


442客觀機率






119899rarrinfin

119891A

119899





數點後第 3位)



10000 = 0100

答案0100



第 15頁共 47頁


機率

443主觀機率






444機率性質


P(S) = 1









E1 E2 E3


P(⋃ 119864119894119899119894=1 ) = sum 119875(119864119894)119899

119894=1



率


過少 A 505 00174

符合標準 B 25000 08619

過多 C 3502 01207

合計 29007 10000



第 16頁共 47頁

P(A或 C) = P(AcupC) = P(A) + P(C) = 00174 + 01207 = 01381

答案機率 = 01381






發生

A B


非A非B

圖 4-1文氏圖


4451空事件



A = = ϕ rarr P(ϕ) = 0

4452必然事件




A = S rarr P(A) = P(S) = 1

4453餘事件







第 17頁共 47頁

A B




4454交集



A B

AcapB





4455聯集



A B

AcupB






第 18頁共 47頁

答案(C)

部分集合




4456互斥事件




A B


4457狄摩根定理



ACcapBC = (AcupB)C

A B

ACcupBC = (AcapB)C

A B

AcapB



(⋂ A119894119899119894=1 )119862 = ⋃ A119894

119862119899119894=1 (⋃ A119894

119899119894=1 )119862 = ⋂ A119894

119862119899119894=1


第 19頁共 47頁

4458交換律









題解








點後第 1位)

題解



04




位)




答案034



題解







第 20頁共 47頁





點後第 4位)





立狀態





1+3

+ (3

1+3)2 times (

1

1+3) + (

3

1+3)4 times (

1

1+3) + (

3

1+3)6 times (

1

1+3) + (

3

1+3)8 times (

1

1+3) + (

3

1+3)10 times (

1

1+3) + (

3

1+3)12 times (

1

1+3) + (

3

1+3)14 times

(1

1+3) +hellip = 05714


1張招

待券籤

3張空

白籤

E1抽中招

待券籤

E2抽中招

待券籤

第1回抽籤

P(E1) = 025

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤

P(N) = 075

E1抽中招

待券籤

第2回抽籤

P(E1) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075

未抽中招

待券籤P(N) = 075

E2抽中招

待券籤

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075





點後第 4位)


P(E) = 1

5 + (

4

5)2 times

1

5 + (45)4 times

1

5 + (45)6 times

1

5 + (45)8 times

1

5 + (45)10 times

1

5 + (45)12 times

1

5 + (45)14 times

1

5 + (45)16 times

1

5 +hellip =

06000

答案P(E) = 05556

45事件機率



(Joint probability)


第 21頁共 47頁







6


出現奇數的事件機率 P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 1

6 +

1

6 +

1

6 =

1

2 = 050

答案機率 = 050

451聯合機率



A B

AcapB




學生數統計學



不及格 E4 11 13






50 = 024


50 = 022


50 = 028


50 = 026


第 22頁共 47頁

聯合機率表



資料蒐集

與應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100


50] + [P(E1capE4) =

11

50] + [P(E2capE3) =

14

50] + [P(E2capE4) =

13

50] = 1

452邊際機率





學生數統計學


資料蒐集與

應用

及格 E3 12 14

不及格 E4 11 13





052


048

聯合機率表



資料蒐集與

應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100





453條件機率


第 23頁共 47頁




P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B)其中 P(B) ne 0


A B

AcapB



P(B|A) = 119875(AcapB)

119875(A)其中 P(A) ne 0




位)



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100


P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 07500





119875(1198641) =

010

040 = 02500


119875(1198642) =

038

060 = 06333


119875(1198642) =

022

060 = 03667


119875(1198643) =

030

068 = 04412


119875(1198643) =

038

068 = 05588


119875(1198644) =

010

032 = 03125


119875(1198644) =

022

032 = 06875


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2


06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4




的機率



12) times (

2

11) = 00455



12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455



題解



119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072



數點後第 4位)



119875(FC) =


1minus119875(F) =

119875(E)minus02241


rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564




題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739



(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416



第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 14頁共 47頁






的機率




4 8 12 16共 nA = 4個



4

16 = 025

答案025



由


119898+119899



119898+119899 times

119898minus1

119898+119899minus1 +

119899

119898+119899 times

119898

119898+119899minus1 =


(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898times(119898+119899minus1)

(119898+119899)times(119898+119899minus1) =

119898

119898+119899 = P1


442客觀機率






119899rarrinfin

119891A

119899





數點後第 3位)



10000 = 0100

答案0100



第 15頁共 47頁


機率

443主觀機率






444機率性質


P(S) = 1









E1 E2 E3


P(⋃ 119864119894119899119894=1 ) = sum 119875(119864119894)119899

119894=1



率


過少 A 505 00174

符合標準 B 25000 08619

過多 C 3502 01207

合計 29007 10000



第 16頁共 47頁

P(A或 C) = P(AcupC) = P(A) + P(C) = 00174 + 01207 = 01381

答案機率 = 01381






發生

A B


非A非B

圖 4-1文氏圖


4451空事件



A = = ϕ rarr P(ϕ) = 0

4452必然事件




A = S rarr P(A) = P(S) = 1

4453餘事件







第 17頁共 47頁

A B




4454交集



A B

AcapB





4455聯集



A B

AcupB






第 18頁共 47頁

答案(C)

部分集合




4456互斥事件




A B


4457狄摩根定理



ACcapBC = (AcupB)C

A B

ACcupBC = (AcapB)C

A B

AcapB



(⋂ A119894119899119894=1 )119862 = ⋃ A119894

119862119899119894=1 (⋃ A119894

119899119894=1 )119862 = ⋂ A119894

119862119899119894=1


第 19頁共 47頁

4458交換律









題解








點後第 1位)

題解



04




位)




答案034



題解







第 20頁共 47頁





點後第 4位)





立狀態





1+3

+ (3

1+3)2 times (

1

1+3) + (

3

1+3)4 times (

1

1+3) + (

3

1+3)6 times (

1

1+3) + (

3

1+3)8 times (

1

1+3) + (

3

1+3)10 times (

1

1+3) + (

3

1+3)12 times (

1

1+3) + (

3

1+3)14 times

(1

1+3) +hellip = 05714


1張招

待券籤

3張空

白籤

E1抽中招

待券籤

E2抽中招

待券籤

第1回抽籤

P(E1) = 025

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤

P(N) = 075

E1抽中招

待券籤

第2回抽籤

P(E1) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075

未抽中招

待券籤P(N) = 075

E2抽中招

待券籤

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075





點後第 4位)


P(E) = 1

5 + (

4

5)2 times

1

5 + (45)4 times

1

5 + (45)6 times

1

5 + (45)8 times

1

5 + (45)10 times

1

5 + (45)12 times

1

5 + (45)14 times

1

5 + (45)16 times

1

5 +hellip =

06000

答案P(E) = 05556

45事件機率



(Joint probability)


第 21頁共 47頁







6


出現奇數的事件機率 P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 1

6 +

1

6 +

1

6 =

1

2 = 050

答案機率 = 050

451聯合機率



A B

AcapB




學生數統計學



不及格 E4 11 13






50 = 024


50 = 022


50 = 028


50 = 026


第 22頁共 47頁

聯合機率表



資料蒐集

與應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100


50] + [P(E1capE4) =

11

50] + [P(E2capE3) =

14

50] + [P(E2capE4) =

13

50] = 1

452邊際機率





學生數統計學


資料蒐集與

應用

及格 E3 12 14

不及格 E4 11 13





052


048

聯合機率表



資料蒐集與

應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100





453條件機率


第 23頁共 47頁




P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B)其中 P(B) ne 0


A B

AcapB



P(B|A) = 119875(AcapB)

119875(A)其中 P(A) ne 0




位)



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100


P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 07500





119875(1198641) =

010

040 = 02500


119875(1198642) =

038

060 = 06333


119875(1198642) =

022

060 = 03667


119875(1198643) =

030

068 = 04412


119875(1198643) =

038

068 = 05588


119875(1198644) =

010

032 = 03125


119875(1198644) =

022

032 = 06875


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2


06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4




的機率



12) times (

2

11) = 00455



12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455



題解



119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072



數點後第 4位)



119875(FC) =


1minus119875(F) =

119875(E)minus02241


rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564




題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739



(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416



第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 15頁共 47頁


機率

443主觀機率






444機率性質


P(S) = 1









E1 E2 E3


P(⋃ 119864119894119899119894=1 ) = sum 119875(119864119894)119899

119894=1



率


過少 A 505 00174

符合標準 B 25000 08619

過多 C 3502 01207

合計 29007 10000



第 16頁共 47頁

P(A或 C) = P(AcupC) = P(A) + P(C) = 00174 + 01207 = 01381

答案機率 = 01381






發生

A B


非A非B

圖 4-1文氏圖


4451空事件



A = = ϕ rarr P(ϕ) = 0

4452必然事件




A = S rarr P(A) = P(S) = 1

4453餘事件







第 17頁共 47頁

A B




4454交集



A B

AcapB





4455聯集



A B

AcupB






第 18頁共 47頁

答案(C)

部分集合




4456互斥事件




A B


4457狄摩根定理



ACcapBC = (AcupB)C

A B

ACcupBC = (AcapB)C

A B

AcapB



(⋂ A119894119899119894=1 )119862 = ⋃ A119894

119862119899119894=1 (⋃ A119894

119899119894=1 )119862 = ⋂ A119894

119862119899119894=1


第 19頁共 47頁

4458交換律









題解








點後第 1位)

題解



04




位)




答案034



題解







第 20頁共 47頁





點後第 4位)





立狀態





1+3

+ (3

1+3)2 times (

1

1+3) + (

3

1+3)4 times (

1

1+3) + (

3

1+3)6 times (

1

1+3) + (

3

1+3)8 times (

1

1+3) + (

3

1+3)10 times (

1

1+3) + (

3

1+3)12 times (

1

1+3) + (

3

1+3)14 times

(1

1+3) +hellip = 05714


1張招

待券籤

3張空

白籤

E1抽中招

待券籤

E2抽中招

待券籤

第1回抽籤

P(E1) = 025

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤

P(N) = 075

E1抽中招

待券籤

第2回抽籤

P(E1) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075

未抽中招

待券籤P(N) = 075

E2抽中招

待券籤

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075





點後第 4位)


P(E) = 1

5 + (

4

5)2 times

1

5 + (45)4 times

1

5 + (45)6 times

1

5 + (45)8 times

1

5 + (45)10 times

1

5 + (45)12 times

1

5 + (45)14 times

1

5 + (45)16 times

1

5 +hellip =

06000

答案P(E) = 05556

45事件機率



(Joint probability)


第 21頁共 47頁







6


出現奇數的事件機率 P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 1

6 +

1

6 +

1

6 =

1

2 = 050

答案機率 = 050

451聯合機率



A B

AcapB




學生數統計學



不及格 E4 11 13






50 = 024


50 = 022


50 = 028


50 = 026


第 22頁共 47頁

聯合機率表



資料蒐集

與應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100


50] + [P(E1capE4) =

11

50] + [P(E2capE3) =

14

50] + [P(E2capE4) =

13

50] = 1

452邊際機率





學生數統計學


資料蒐集與

應用

及格 E3 12 14

不及格 E4 11 13





052


048

聯合機率表



資料蒐集與

應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100





453條件機率


第 23頁共 47頁




P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B)其中 P(B) ne 0


A B

AcapB



P(B|A) = 119875(AcapB)

119875(A)其中 P(A) ne 0




位)



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100


P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 07500





119875(1198641) =

010

040 = 02500


119875(1198642) =

038

060 = 06333


119875(1198642) =

022

060 = 03667


119875(1198643) =

030

068 = 04412


119875(1198643) =

038

068 = 05588


119875(1198644) =

010

032 = 03125


119875(1198644) =

022

032 = 06875


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2


06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4




的機率



12) times (

2

11) = 00455



12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455



題解



119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072



數點後第 4位)



119875(FC) =


1minus119875(F) =

119875(E)minus02241


rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564




題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739



(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416



第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 16頁共 47頁

P(A或 C) = P(AcupC) = P(A) + P(C) = 00174 + 01207 = 01381

答案機率 = 01381






發生

A B


非A非B

圖 4-1文氏圖


4451空事件



A = = ϕ rarr P(ϕ) = 0

4452必然事件




A = S rarr P(A) = P(S) = 1

4453餘事件







第 17頁共 47頁

A B




4454交集



A B

AcapB





4455聯集



A B

AcupB






第 18頁共 47頁

答案(C)

部分集合




4456互斥事件




A B


4457狄摩根定理



ACcapBC = (AcupB)C

A B

ACcupBC = (AcapB)C

A B

AcapB



(⋂ A119894119899119894=1 )119862 = ⋃ A119894

119862119899119894=1 (⋃ A119894

119899119894=1 )119862 = ⋂ A119894

119862119899119894=1


第 19頁共 47頁

4458交換律









題解








點後第 1位)

題解



04




位)




答案034



題解







第 20頁共 47頁





點後第 4位)





立狀態





1+3

+ (3

1+3)2 times (

1

1+3) + (

3

1+3)4 times (

1

1+3) + (

3

1+3)6 times (

1

1+3) + (

3

1+3)8 times (

1

1+3) + (

3

1+3)10 times (

1

1+3) + (

3

1+3)12 times (

1

1+3) + (

3

1+3)14 times

(1

1+3) +hellip = 05714


1張招

待券籤

3張空

白籤

E1抽中招

待券籤

E2抽中招

待券籤

第1回抽籤

P(E1) = 025

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤

P(N) = 075

E1抽中招

待券籤

第2回抽籤

P(E1) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075

未抽中招

待券籤P(N) = 075

E2抽中招

待券籤

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075





點後第 4位)


P(E) = 1

5 + (

4

5)2 times

1

5 + (45)4 times

1

5 + (45)6 times

1

5 + (45)8 times

1

5 + (45)10 times

1

5 + (45)12 times

1

5 + (45)14 times

1

5 + (45)16 times

1

5 +hellip =

06000

答案P(E) = 05556

45事件機率



(Joint probability)


第 21頁共 47頁







6


出現奇數的事件機率 P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 1

6 +

1

6 +

1

6 =

1

2 = 050

答案機率 = 050

451聯合機率



A B

AcapB




學生數統計學



不及格 E4 11 13






50 = 024


50 = 022


50 = 028


50 = 026


第 22頁共 47頁

聯合機率表



資料蒐集

與應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100


50] + [P(E1capE4) =

11

50] + [P(E2capE3) =

14

50] + [P(E2capE4) =

13

50] = 1

452邊際機率





學生數統計學


資料蒐集與

應用

及格 E3 12 14

不及格 E4 11 13





052


048

聯合機率表



資料蒐集與

應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100





453條件機率


第 23頁共 47頁




P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B)其中 P(B) ne 0


A B

AcapB



P(B|A) = 119875(AcapB)

119875(A)其中 P(A) ne 0




位)



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100


P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 07500





119875(1198641) =

010

040 = 02500


119875(1198642) =

038

060 = 06333


119875(1198642) =

022

060 = 03667


119875(1198643) =

030

068 = 04412


119875(1198643) =

038

068 = 05588


119875(1198644) =

010

032 = 03125


119875(1198644) =

022

032 = 06875


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2


06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4




的機率



12) times (

2

11) = 00455



12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455



題解



119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072



數點後第 4位)



119875(FC) =


1minus119875(F) =

119875(E)minus02241


rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564




題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739



(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416



第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 17頁共 47頁

A B




4454交集



A B

AcapB





4455聯集



A B

AcupB






第 18頁共 47頁

答案(C)

部分集合




4456互斥事件




A B


4457狄摩根定理



ACcapBC = (AcupB)C

A B

ACcupBC = (AcapB)C

A B

AcapB



(⋂ A119894119899119894=1 )119862 = ⋃ A119894

119862119899119894=1 (⋃ A119894

119899119894=1 )119862 = ⋂ A119894

119862119899119894=1


第 19頁共 47頁

4458交換律









題解








點後第 1位)

題解



04




位)




答案034



題解







第 20頁共 47頁





點後第 4位)





立狀態





1+3

+ (3

1+3)2 times (

1

1+3) + (

3

1+3)4 times (

1

1+3) + (

3

1+3)6 times (

1

1+3) + (

3

1+3)8 times (

1

1+3) + (

3

1+3)10 times (

1

1+3) + (

3

1+3)12 times (

1

1+3) + (

3

1+3)14 times

(1

1+3) +hellip = 05714


1張招

待券籤

3張空

白籤

E1抽中招

待券籤

E2抽中招

待券籤

第1回抽籤

P(E1) = 025

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤

P(N) = 075

E1抽中招

待券籤

第2回抽籤

P(E1) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075

未抽中招

待券籤P(N) = 075

E2抽中招

待券籤

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075





點後第 4位)


P(E) = 1

5 + (

4

5)2 times

1

5 + (45)4 times

1

5 + (45)6 times

1

5 + (45)8 times

1

5 + (45)10 times

1

5 + (45)12 times

1

5 + (45)14 times

1

5 + (45)16 times

1

5 +hellip =

06000

答案P(E) = 05556

45事件機率



(Joint probability)


第 21頁共 47頁







6


出現奇數的事件機率 P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 1

6 +

1

6 +

1

6 =

1

2 = 050

答案機率 = 050

451聯合機率



A B

AcapB




學生數統計學



不及格 E4 11 13






50 = 024


50 = 022


50 = 028


50 = 026


第 22頁共 47頁

聯合機率表



資料蒐集

與應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100


50] + [P(E1capE4) =

11

50] + [P(E2capE3) =

14

50] + [P(E2capE4) =

13

50] = 1

452邊際機率





學生數統計學


資料蒐集與

應用

及格 E3 12 14

不及格 E4 11 13





052


048

聯合機率表



資料蒐集與

應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100





453條件機率


第 23頁共 47頁




P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B)其中 P(B) ne 0


A B

AcapB



P(B|A) = 119875(AcapB)

119875(A)其中 P(A) ne 0




位)



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100


P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 07500





119875(1198641) =

010

040 = 02500


119875(1198642) =

038

060 = 06333


119875(1198642) =

022

060 = 03667


119875(1198643) =

030

068 = 04412


119875(1198643) =

038

068 = 05588


119875(1198644) =

010

032 = 03125


119875(1198644) =

022

032 = 06875


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2


06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4




的機率



12) times (

2

11) = 00455



12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455



題解



119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072



數點後第 4位)



119875(FC) =


1minus119875(F) =

119875(E)minus02241


rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564




題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739



(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416



第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 18頁共 47頁

答案(C)

部分集合




4456互斥事件




A B


4457狄摩根定理



ACcapBC = (AcupB)C

A B

ACcupBC = (AcapB)C

A B

AcapB



(⋂ A119894119899119894=1 )119862 = ⋃ A119894

119862119899119894=1 (⋃ A119894

119899119894=1 )119862 = ⋂ A119894

119862119899119894=1


第 19頁共 47頁

4458交換律









題解








點後第 1位)

題解



04




位)




答案034



題解







第 20頁共 47頁





點後第 4位)





立狀態





1+3

+ (3

1+3)2 times (

1

1+3) + (

3

1+3)4 times (

1

1+3) + (

3

1+3)6 times (

1

1+3) + (

3

1+3)8 times (

1

1+3) + (

3

1+3)10 times (

1

1+3) + (

3

1+3)12 times (

1

1+3) + (

3

1+3)14 times

(1

1+3) +hellip = 05714


1張招

待券籤

3張空

白籤

E1抽中招

待券籤

E2抽中招

待券籤

第1回抽籤

P(E1) = 025

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤

P(N) = 075

E1抽中招

待券籤

第2回抽籤

P(E1) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075

未抽中招

待券籤P(N) = 075

E2抽中招

待券籤

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075





點後第 4位)


P(E) = 1

5 + (

4

5)2 times

1

5 + (45)4 times

1

5 + (45)6 times

1

5 + (45)8 times

1

5 + (45)10 times

1

5 + (45)12 times

1

5 + (45)14 times

1

5 + (45)16 times

1

5 +hellip =

06000

答案P(E) = 05556

45事件機率



(Joint probability)


第 21頁共 47頁







6


出現奇數的事件機率 P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 1

6 +

1

6 +

1

6 =

1

2 = 050

答案機率 = 050

451聯合機率



A B

AcapB




學生數統計學



不及格 E4 11 13






50 = 024


50 = 022


50 = 028


50 = 026


第 22頁共 47頁

聯合機率表



資料蒐集

與應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100


50] + [P(E1capE4) =

11

50] + [P(E2capE3) =

14

50] + [P(E2capE4) =

13

50] = 1

452邊際機率





學生數統計學


資料蒐集與

應用

及格 E3 12 14

不及格 E4 11 13





052


048

聯合機率表



資料蒐集與

應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100





453條件機率


第 23頁共 47頁




P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B)其中 P(B) ne 0


A B

AcapB



P(B|A) = 119875(AcapB)

119875(A)其中 P(A) ne 0




位)



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100


P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 07500





119875(1198641) =

010

040 = 02500


119875(1198642) =

038

060 = 06333


119875(1198642) =

022

060 = 03667


119875(1198643) =

030

068 = 04412


119875(1198643) =

038

068 = 05588


119875(1198644) =

010

032 = 03125


119875(1198644) =

022

032 = 06875


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2


06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4




的機率



12) times (

2

11) = 00455



12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455



題解



119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072



數點後第 4位)



119875(FC) =


1minus119875(F) =

119875(E)minus02241


rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564




題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739



(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416



第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 19頁共 47頁

4458交換律









題解








點後第 1位)

題解



04




位)




答案034



題解







第 20頁共 47頁





點後第 4位)





立狀態





1+3

+ (3

1+3)2 times (

1

1+3) + (

3

1+3)4 times (

1

1+3) + (

3

1+3)6 times (

1

1+3) + (

3

1+3)8 times (

1

1+3) + (

3

1+3)10 times (

1

1+3) + (

3

1+3)12 times (

1

1+3) + (

3

1+3)14 times

(1

1+3) +hellip = 05714


1張招

待券籤

3張空

白籤

E1抽中招

待券籤

E2抽中招

待券籤

第1回抽籤

P(E1) = 025

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤

P(N) = 075

E1抽中招

待券籤

第2回抽籤

P(E1) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075

未抽中招

待券籤P(N) = 075

E2抽中招

待券籤

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075





點後第 4位)


P(E) = 1

5 + (

4

5)2 times

1

5 + (45)4 times

1

5 + (45)6 times

1

5 + (45)8 times

1

5 + (45)10 times

1

5 + (45)12 times

1

5 + (45)14 times

1

5 + (45)16 times

1

5 +hellip =

06000

答案P(E) = 05556

45事件機率



(Joint probability)


第 21頁共 47頁







6


出現奇數的事件機率 P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 1

6 +

1

6 +

1

6 =

1

2 = 050

答案機率 = 050

451聯合機率



A B

AcapB




學生數統計學



不及格 E4 11 13






50 = 024


50 = 022


50 = 028


50 = 026


第 22頁共 47頁

聯合機率表



資料蒐集

與應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100


50] + [P(E1capE4) =

11

50] + [P(E2capE3) =

14

50] + [P(E2capE4) =

13

50] = 1

452邊際機率





學生數統計學


資料蒐集與

應用

及格 E3 12 14

不及格 E4 11 13





052


048

聯合機率表



資料蒐集與

應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100





453條件機率


第 23頁共 47頁




P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B)其中 P(B) ne 0


A B

AcapB



P(B|A) = 119875(AcapB)

119875(A)其中 P(A) ne 0




位)



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100


P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 07500





119875(1198641) =

010

040 = 02500


119875(1198642) =

038

060 = 06333


119875(1198642) =

022

060 = 03667


119875(1198643) =

030

068 = 04412


119875(1198643) =

038

068 = 05588


119875(1198644) =

010

032 = 03125


119875(1198644) =

022

032 = 06875


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2


06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4




的機率



12) times (

2

11) = 00455



12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455



題解



119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072



數點後第 4位)



119875(FC) =


1minus119875(F) =

119875(E)minus02241


rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564




題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739



(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416



第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 20頁共 47頁





點後第 4位)





立狀態





1+3

+ (3

1+3)2 times (

1

1+3) + (

3

1+3)4 times (

1

1+3) + (

3

1+3)6 times (

1

1+3) + (

3

1+3)8 times (

1

1+3) + (

3

1+3)10 times (

1

1+3) + (

3

1+3)12 times (

1

1+3) + (

3

1+3)14 times

(1

1+3) +hellip = 05714


1張招

待券籤

3張空

白籤

E1抽中招

待券籤

E2抽中招

待券籤

第1回抽籤

P(E1) = 025

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤

P(N) = 075

E1抽中招

待券籤

第2回抽籤

P(E1) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075

未抽中招

待券籤P(N) = 075

E2抽中招

待券籤

P(E2) = 025

未抽中招

待券籤P(N) = 075





點後第 4位)


P(E) = 1

5 + (

4

5)2 times

1

5 + (45)4 times

1

5 + (45)6 times

1

5 + (45)8 times

1

5 + (45)10 times

1

5 + (45)12 times

1

5 + (45)14 times

1

5 + (45)16 times

1

5 +hellip =

06000

答案P(E) = 05556

45事件機率



(Joint probability)


第 21頁共 47頁







6


出現奇數的事件機率 P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 1

6 +

1

6 +

1

6 =

1

2 = 050

答案機率 = 050

451聯合機率



A B

AcapB




學生數統計學



不及格 E4 11 13






50 = 024


50 = 022


50 = 028


50 = 026


第 22頁共 47頁

聯合機率表



資料蒐集

與應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100


50] + [P(E1capE4) =

11

50] + [P(E2capE3) =

14

50] + [P(E2capE4) =

13

50] = 1

452邊際機率





學生數統計學


資料蒐集與

應用

及格 E3 12 14

不及格 E4 11 13





052


048

聯合機率表



資料蒐集與

應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100





453條件機率


第 23頁共 47頁




P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B)其中 P(B) ne 0


A B

AcapB



P(B|A) = 119875(AcapB)

119875(A)其中 P(A) ne 0




位)



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100


P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 07500





119875(1198641) =

010

040 = 02500


119875(1198642) =

038

060 = 06333


119875(1198642) =

022

060 = 03667


119875(1198643) =

030

068 = 04412


119875(1198643) =

038

068 = 05588


119875(1198644) =

010

032 = 03125


119875(1198644) =

022

032 = 06875


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2


06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4




的機率



12) times (

2

11) = 00455



12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455



題解



119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072



數點後第 4位)



119875(FC) =


1minus119875(F) =

119875(E)minus02241


rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564




題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739



(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416



第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 21頁共 47頁







6


出現奇數的事件機率 P(A) = P(1) + P(3) + P(5) = 1

6 +

1

6 +

1

6 =

1

2 = 050

答案機率 = 050

451聯合機率



A B

AcapB




學生數統計學



不及格 E4 11 13






50 = 024


50 = 022


50 = 028


50 = 026


第 22頁共 47頁

聯合機率表



資料蒐集

與應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100


50] + [P(E1capE4) =

11

50] + [P(E2capE3) =

14

50] + [P(E2capE4) =

13

50] = 1

452邊際機率





學生數統計學


資料蒐集與

應用

及格 E3 12 14

不及格 E4 11 13





052


048

聯合機率表



資料蒐集與

應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100





453條件機率


第 23頁共 47頁




P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B)其中 P(B) ne 0


A B

AcapB



P(B|A) = 119875(AcapB)

119875(A)其中 P(A) ne 0




位)



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100


P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 07500





119875(1198641) =

010

040 = 02500


119875(1198642) =

038

060 = 06333


119875(1198642) =

022

060 = 03667


119875(1198643) =

030

068 = 04412


119875(1198643) =

038

068 = 05588


119875(1198644) =

010

032 = 03125


119875(1198644) =

022

032 = 06875


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2


06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4




的機率



12) times (

2

11) = 00455



12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455



題解



119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072



數點後第 4位)



119875(FC) =


1minus119875(F) =

119875(E)minus02241


rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564




題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739



(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416



第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 22頁共 47頁

聯合機率表



資料蒐集

與應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100


50] + [P(E1capE4) =

11

50] + [P(E2capE3) =

14

50] + [P(E2capE4) =

13

50] = 1

452邊際機率





學生數統計學


資料蒐集與

應用

及格 E3 12 14

不及格 E4 11 13





052


048

聯合機率表



資料蒐集與

應用

及格 E3 024 028 052

不及格 E4 022 026 048

合計(邊際機率) 046 054 100





453條件機率


第 23頁共 47頁




P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B)其中 P(B) ne 0


A B

AcapB



P(B|A) = 119875(AcapB)

119875(A)其中 P(A) ne 0




位)



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100


P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 07500





119875(1198641) =

010

040 = 02500


119875(1198642) =

038

060 = 06333


119875(1198642) =

022

060 = 03667


119875(1198643) =

030

068 = 04412


119875(1198643) =

038

068 = 05588


119875(1198644) =

010

032 = 03125


119875(1198644) =

022

032 = 06875


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2


06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4




的機率



12) times (

2

11) = 00455



12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455



題解



119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072



數點後第 4位)



119875(FC) =


1minus119875(F) =

119875(E)minus02241


rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564




題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739



(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416



第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 23頁共 47頁




P(A|B) = 119875(AcapB)

119875(B)其中 P(B) ne 0


A B

AcapB



P(B|A) = 119875(AcapB)

119875(A)其中 P(A) ne 0




位)



資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100


P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 07500





119875(1198641) =

010

040 = 02500


119875(1198642) =

038

060 = 06333


119875(1198642) =

022

060 = 03667


119875(1198643) =

030

068 = 04412


119875(1198643) =

038

068 = 05588


119875(1198644) =

010

032 = 03125


119875(1198644) =

022

032 = 06875


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2


06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4




的機率



12) times (

2

11) = 00455



12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455



題解



119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072



數點後第 4位)



119875(FC) =


1minus119875(F) =

119875(E)minus02241


rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564




題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739



(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416



第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 24頁共 47頁

二年級學生

及格E1

不及格E2


06333

03667

07500

02500040

060

及格E3

不及格E4

及格E3

不及格E4




的機率



12) times (

2

11) = 00455



12) times (

8

11) = 05455

答案(A) 00455(B) 05455



題解



119875(E|F) =

00891

029 = 03072

答案(A)P(EcapF) = 00891(B)P(F) = 03072



數點後第 4位)



119875(FC) =


1minus119875(F) =

119875(E)minus02241


rarr P(E) = 03414

P(F|E) = 119875(EcapF)

119875(E) =

02241

03414 = 06564

答案(A) P(E) = 03414(B) P(F|E) = 06564




題解

(A) P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)+119875(F)minus119875(EcupF)

119875(F) =

038+023minus057

023 = 01739



(D) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

03400

1minus023 = 04416



第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 25頁共 47頁




題解











題解





(E) P(E|FC) = 119875(EcapFC)

119875(FC) =

119875(EcapFC)

1minus119875(F) =

028

1minus050 = 056


P(E|FC) = 05600




答案P(F) = 09375









3

3+10 = 02308



3

3+10 times

2

2+10 +

10

3+10 times

3

3+9 =

6

156 +

30

156 =

36

156 =

3



(C) P(E10) = 02308 同理



13 =


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 26頁共 47頁



= 11986210

10

1198621013 =

1

1198621013 =

113

10times(13minus10)

= 1

13

10times3

= 1



= 1



= 1

13times12times11

3times2times1

= 1

286 = 00035

答案(A) P(E1) = 02308(B) P(E2) = 02308(C) P(E10) = 02308(D) 00035









3

3+12 = 02000



3

3+12 times

2

2+12 +

12

3+12 times

3

3+11 =

6

210 +

36

210

= 42

210 =

3

15 = 02000

(C) P(E10) = 02000 同理



12+3個籤中隨機抽出 10個即1198621015 = 3003



1198621012

1198621015 =

12


10times(15minus10)

=

12

10times215

10times5

=

12times11times10



=

12times11times10



= 66

3003 = 00220

答案(A) P(E1) = 02000(B) P(E2) = 02000(C) P(E10) = 02000(D) 00220



題解P(E|F) = 083 = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(EcapF)





119875(FC) =

03125

075 = 041667

答案P(E|FC) = 042




461獨立事件





第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 27頁共 47頁
















檢定考試


男生(C) 16 14 30

女生(D) 20 12 32

合計 36 26 62

題解P(AcapC) = 16

62 = 02581 P(A) times P(C) =

36

62 times

30

62 = 02810







6


為1

2


6 times

1

2 =

1

12

P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861) =

1

121

2

= 1

6 = P(A) P(B|A) =

119875(119860cap119861)

119875(119860) =

1

121

6

= 1

2 = P(B)


12







第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 28頁共 47頁




題解









獨立事件





462相依事件


P(A|B) = P(A)

P(B|A) = P(B)








資料蒐集與

應用

及格 E3 030 038 068

不及格 E4 010 022 032

合計(邊際機率) 040 060 100




條件機率 P(E3|E1) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198641) =

030

040 = 075 ne P(E3) = 068邊際機率

條件機率 P(E1|E3) = 119875(1198641cap1198643)

119875(1198643) =

030

068 = 044 ne P(E1) = 040邊際機率


際機率



第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 29頁共 47頁



463互斥事件




A B


464加法法則


率










數點後第 2位)



件)機率 P(F) = 30

50 = 06




機率







第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 30頁共 47頁








件




題解






E F G

465乘法法則









成立




P(Ak)



數點後第 4位)


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 31頁共 47頁




1

6


2 times

1

6 =

1

12 = 00833

答案機率 00833

樣本空間

硬幣H

硬幣T

硬幣骰子

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

骰子1

骰子2

骰子3

骰子4

骰子5

骰子6

圖 4-10樹狀圖




006故四種情形之機率和為 006 + 006 + 006 + 006 = 024


男女機率

0 4 (049)4 = 00576

1 3 4 times (051) times (049)3 = 0240

2 2 6 times (051)2 times (049)2 = 03747

3 1 4 times (051)3 times (049) = 0260

4 0 (051)4 = 00677

合計 1000








466分割集合




第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 32頁共 47頁

m)同時樣本空間 S = ⋃ 119860119894119898119894=1 = sum 119860119894


set)




A1

A2 A3

A4

A5A6

A1

A3

A4

A2

A6 A5






119894=1 = sum 119875(119860119894) times 119875(119861|119860119894)119898119894=1


P(BcapAm)

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



6女生考試不









4 = 02500




第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 33頁共 47頁



1

7男生




10+40 = 02000事件


10+40 = 08000P(F1) + P(F2) = 02000 + 08000 = 10000 = P(S)則 F1和 F2兩事





7 = 01429












件









數點後第 4位)



(A) P(E1|F) = 119875(E1capF)

119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

040times047

04282 = 04390

(B) P(E2|F) = 119875(E2capF)

119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

029times039

04282 = 02641

(C) P(E3|F) = 119875(E3capF)

119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

031times041

04282 = 02968

答案(A)P(E1|F) = 04390(B)P(E2|F) = 02641(C)P(E3|F) = 02968

47貝氏定理


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 34頁共 47頁






m)樣本空間 S = ⋃ 119860119894119899119894=1 = sum 119860119894




P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap1198601)+119875(119861cap1198602)+119875(119861cap1198603)+⋯+119875(119861cap119860119898)

= 119875(119860119894)times119875(B|A119894)






性可以提高

A1

B

A6capB

A2 A3

A4

A5A6

A1capB

A2capB

A3capB

A4capB

A5capB



P(Ai|B) = 119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861cap119878) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1







300+200 =

300


200

500

= 200




抗生素殘留不過量(G) 09833 09700

抗生素殘留過量(B) 00167 00300

合計 10000 10000


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 35頁共 47頁


119875(S1) =

295

300 = 09833


119875(S1) =

5

300 = 00167


119875(S2) =

194

200 = 09700


119875(S2) =

6

200 = 00300



抗生素殘留不過量(G) 05900 03880 09780

抗生素殘留過量(B) 00100 00120 00220

合計(邊際機率) 06000 04000 10000






P(GcapS2) = 05900 + 03880 = 09780


= 00100 + 00120 = 00220


119875(B) =

00100

00220 = 04545 =

5

5+6 =

5

11 [S1 供應商



119875(B) =

00120

00220 = 05455 =

6

5+6 =

6

11 [S1


肉品

供應商S1

供應商S2


P(B|S2) = 09700

00300

P(B|S1) = 00167

09833P(S1) = 060

P(S2) = 040

有B

沒有G

有B

沒有G


P(S1)timesP(B|S1)

= 06times001670

= 00100











第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 36頁共 47頁


119875(119862) =

119875(119872)times119875(119862|119872)

119875(119862) =

015times070

08275 = 01269


119875(119862) =

119875(119865)times119875(119862|119865)

119875(119862) =

085times085

08275 = 08731


08731

四年級學生

男生M

女生F


P(C|F) = 085

015

P(C|M) = 070

030P(M) = 015

P(F) = 085

有C

沒有

有C

沒有


P(M)timesP(C|M)

= 015times070

= 0105









P(F|E) = 092P(F|EC) = 001

P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0052times092

0052times092+0948times001 = 08346

答案機率 = 08346

國人

罹患新流感

未罹患新流感


P(F|EC) = 001

P(EC|FC) = 099

P(F|E) = 092

P(FC|E) = 008P(E) = 0052

P(EC) = 0948

陽性

陰性

陽性

陰性





位)



P(E|F) = 119875(EcapF)

119875(F) =

119875(E)times119875(F|E)


0032times060

0032times060+0968times0034 = 03684

答案機率 = 03684


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 37頁共 47頁

應徵者

錄取

未錄取


P(F|EC) = 0034

P(FC|EC) = 0966

P(F|E) = 060

P(FC|E) = 040P(E) = 0032

P(EC) = 0968

面試

未面試

面試

未面試








P(F|E2) = 005P(E3) = 055P(F|E3) = 004





119875(F) =

119875(E1)times119875(F|E1)

119875(F) =

015times006

0046 = 01957


119875(F) =

119875(E2)times119875(F|E2)

119875(F) =

030times005

0046 = 03261


119875(F) =

119875(E3)times119875(F|E3)

119875(F) =

055times004

0046 = 04783


咖啡飲料

E1

E2

咖啡機水量

P(F|E2) = 005

P(FC|E2) = 095

P(F|E1) = 006

P(FC|E1) = 094

P(E1) = 015

P(E2) = 030

不良

良

不良

良

E3

P(E3) = 055

不良

良

P(F|E3) = 004

P(FC|E3) = 096








119875(星期四喝 B) =


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 38頁共 47頁









01152+01872

0096+01152+01872+013824 = 05635


04 04 04 0064

04 04 06 0096

04 06 052 01248

04 06 048 01152

06 052 04 01248

06 052 06 01872

06 048 052 014976

06 048 048 013824

A咖啡

A咖啡

星期二

P(A) = 040

B咖啡

P(B) = 060

星期一A咖啡

P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

星期三星期四

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048

A咖啡P(A) = 040

B咖啡P(B) = 060

A咖啡P(A) = 052

B咖啡P(B) = 048







答案P(S1|B) = 03846P(S2|B) = 04615和 P(S3|B) = 01538




(221) (311)一共有 6種排列方式

P(點數和 5) = 6

216 =

1

36 = 00278

答案00278




第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 39頁共 47頁


(213) (222) (231) (312) (321) (411)一共有 10種排列方式

P(點數和 6) = 10

216 = 00463

答案00278




答案P(E) = 045
















學大意) C


率為 (A)2

10(B)

2

9(C)

1






1+8 times

22+8

+ 2

2+7 times

82+8

= 19 times

210

+ 29 times

810

= 2

90 +

1690

= 1890

= 2

10 = 02000


10





第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 40頁共 47頁






大意) B




(B) 079(C) 082(D) 085(2007初等考試統計學大意) A




= 10000


119875(FC) =


1minus119875(F) =


1minus030 =




119875(F) =


119875(F) =





119875(E) =

119875(EcapF)

119875(E) =

024

031 = 07742



C D

A 12 15

B 35 26





Y

1 2 3

X

1 010 005 013

2 012 006 021

3 013 007 013

題解(A)P(X gt 2|Y = 1) = 119875(119883gt2cap119884=1)

119875(119884=1) =

013

010+012+013 = 03714

(B)P(X = Y|Y lt 3) = 119875(119883=119884cap119884lt3)

119875(119884lt3) =

010+006

010+012+013+005+006+007 = 03019

答案(A) 03714(B) 03019




第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 41頁共 47頁







男 034 005 013

女 021 006 021


119875(男) =

034

052 = 06538 (B) P(女|不滿意) =


119875(不滿意) =

006

011 = 05455

答案(A) 06538(B) 05455





數點後第 4位)


隨機抽出

甲摸彩箱

乙摸彩箱

丙摸彩箱

13

13

13

白球

黑球

白球

黑球

白球

黑球

2535

2646

1323


2+3 times

4

2+4 times

2

1+2 =

3

5 times

4

6 times

2

3 = 026667


3 times

3

5 +

1

3 times

4

6 +

1

3 times

2

3 =

1

5 +

4

18 +

2

9 = 064444

(C) P(甲|E) = 119875(甲capE)

119875(E) =

119875(甲)times119875(E|甲)

119875(E) =

1

3times

3

5

064444 =

02

064444 = 0310345

答案(A) 02667(B) 06444(C) 03103








2+3 times

1+1

1+3+1 +

3

2+3 times

1

1+3+1 =

7

25 = 028


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 42頁共 47頁

(B) P(F|E) = 119875(FcapE)

119875(E) =

119875(F)times119875(E|F)

119875(E) =

2

2+3times

1+1

1+3+1

028 =

4

7 = 05714

答案(A) 02800(B) 05714





位)

題解



1


1

2 times 08171 +

1

2 times 06648 = 07410


119875(合格) =

1

2times(1minus004)10

1


1

2times(1minus004)10

=

1

2times06648

07410 = 04486

答案(A) 07410(B) 04486






題解


119875(不合格) =



=

040times004


0016

0012+0016 = 05714



答案(A) 05714(B) 00280




題解



5 times

1

4) =

1

2 = 050


5 times

1

4) =

3

20 =

015

答案(A) 050(B) 015







第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


第 44頁共 47頁




討論議題



























的關閉時間







第 45頁共 47頁









字以上詮釋)






















模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

重點整理

Excel函數彙整


第 46頁共 47頁







機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


第 43頁共 47頁




4 times

1

4) + (

1

4 times

1

8) + (

1

4 times

1

8) + (

1

8 times

1

4) + (

1

8 times

1

8) +(

1

8 times

1

4) =

1

16 +

1

32 +

1

32 +

1

32

+ 1

64 +

1

32 =

4+2+2+2+1+2

64 =

13

64 = 02031


64 = 02031







030 = 030





= 070



X

Y 1 2

1 03 01

2 01 01

3 02 02

題解

xi yi


1 03 01 04

2 01 01 02

3 02 02 04



E(Y) = sum 119910119894 times 119891(119910119894)119899119910


E(X2) = sum 1199091198942 times 119891(119909119894)119899119909

119894=1 = 12times06 + 22times04 = 22

E(Y2) = sum 1199101198942 times 119891(119910119894)

119899119910





119894=1 = sum 119910119894



119895=1


母體相關係數 ρxy = 119862119900119907(119909y)

σ119909timesσ119910 =

120590119909119910

σ119909timesσ119910 =


119873

radicsum (119909119894minus120583119909)2119873

119894=1119873


119894=1119873


119894=1


2119873119894=1

=

sum 119909119894times119910119894119873119894=1 minus

sum 119909119894119873119894 timessum 119910119894

119873119894

119873

radicsum 1199091198942119873

119894=1 minus(sum 119909119894

119873119894=1 )

2


2119873119894=1 minus

(sum 119910119894119873119894=1 )

2

119873



29minus14times20


01

04382 = 02282


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討論議題



























的關閉時間







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模擬考 20191029成績 05410

平常考 20191104成績 07931

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機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


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機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


第 47頁共 47頁



事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


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機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


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事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


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機率(probability)








間

事件(event)







排列(permutation)



119875119894119899 =

119899



119899


環狀排列方式



119862119894119899 = (

119899119894

) = 119899

119894times(119899minus119894) =

119875119894119899

119894 = C

n i




119899119860

119899




119899rarrinfin

119891A

119899


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事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1


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事件 A的餘集




互斥事件



ACcapBC = (AcupB)C

ACcupBC = (AcapB)C


AcupB = BcupA

AcapB = BcapA









P(A|B) = 119875(119860cap119861)

119875(119861)其中 P(B) ne 0 or P(B) gt 0





總機率定理



貝氏定理

P(Ai|B) =119875(119860119894cap119861)

119875(119861) =

119875(119861cap119860119894)

119875(119861) =

119875(119860119894)times119875(B|A119894)

sum 119875(A119895)times119875(B|A119895 )119898119895=1

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11/11/2019 10:07:52 AM 當您發現本教材錯誤時，盡速通知老 …elearning.nkust.edu.tw/base/10001/course/10005366/content/public/Publish/04 Probability...11/11/2019 10:07:52