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1/14Prof. Oscar Neira
• Unidad I: Estadística Descriptiva
• Unidad II: Probabilidades
• Unidad III: Estadística Inferencial
Índice
Estadística Aplicada
2/14Prof. Oscar Neira
Unidad II: Probabilidades
Probabilidad
Variables aleatorias continuas
3/14Prof. Oscar Neira
Unidad II: Probabilidades
Objetivos
• Definir:• Variable aleatoria continua.• Función de densidad.• Función de distribución.• Valor esperado de una v.a. continua.• Varianza de una v.a. continua.
• Ejercitar cada uno de los conceptos definidos.
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Unidad II: Probabilidades
Definición: variable aleatoria continua
Recordando que una variable aleatoria X es una función que
asigna un número real a cada resultado en el espacio
muestral de un experimento aleatorio, y que el conjunto de
los posibles valores de la variable aleatoria X se denomina
rango, diremos que la variable aleatoria es continua si está
asociada a un espacio muestral continuo.
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Unidad II: Probabilidades
Ejemplo 1:Sea el experimento de lanzar la jabalina en una competencia atlética. El espacio muestral de este experimento es:
Definimos la v.a. X como:
],0[
,)(
maxdx
dddX
olanzamient el en obtuvo se que distancia la es si IRdX ],0[: max
],0[ maxd
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Ejemplo 2:Sea el experimento de observar el instante t en que ocurra la llegada del primer cliente a un banco; t es un valor aleatorio en el intervalo [0, Tmax]. Definimos Y como la v.a.:
Unidad II: Probabilidades
],0[
,)(
maxTy
tttY
banco al llega cliente
primer el que el en instante el es si
IRTY ],0[: max
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Unidad II: Probabilidades
Definición: Función de densidad.Diremos que la función: es la función de densidad para X si y sólo si se satisfacen las siguientes propiedades:
IRXf de rango :
-
b
adxxfbXaP
dxxf
xxf
)()(
1)(
)(0
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Unidad II: Probabilidades
Ejercicio 1:Suponga que el error en la temperatura de reacción, en °C,
para un experimento de laboratorio controlado, es una variable aleatoria continua X que tiene la función de densidad de probabilidad:
a) Halle el valor de la constante c.b) Encuentre
constante con ; caso. otro cualquier en ,
c
x-xcxf
0
21,2
).10( XP
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Unidad II: Probabilidades
Definición: Función de distribución acumulada.
Se define la función de distribución acumulada para X como:
x
dttfxXPxF
IRIRF
)()(
:
)(
Propiedades:
).()()
.)()(
.1)(lim
.0)(lim
1221
2121
xFxFxXP(x
xxxFxF
xF
xF
x
-x
que siempre
).()(
.1)(0
.
xfxdxdF
xF
IRxF
todo para continua es
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Unidad II: Probabilidades
Ejercicio 2:Considere la v.a. definida en el ejercicio 1.
a) Determine la función F de distribución acumulada de X.b) Grafique F.c) Halle d) Halle e) Calculef) Calculeg) Calcule
).1(F).4(F
).41( xP).41( xP).41( xP
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Unidad II: Probabilidades
Definición: Valor esperado de una v.a. continua.
Sea X una v.a. con función de densidad f, se define la
media, valor promedio o valor esperado de X, que se denota
por ó E (X) , como:
dxxfxXE )()(
Ejercicio 3:Referidos nuevamente al ejercicio 1, determine el valor esperado de X.
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Unidad II: Probabilidades
Propiedades del valor esperado:
).()()(
)()())(()(
,
)(
).()()(
),()(
,)(
YEXEYXE
YX
dxxfxgXgEZE
f
XXgZ
YEXEYXE
cXEcXcE
cccE
ntes,independie v.a. son e Si
densidad de función
con , v.a. la de función una Siendo
ctte.
ctte.
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Unidad II: Probabilidades
Definición: Varianza de una v.a. discreta.
Siendo X una v.a. con función de densidad f, se define la
varianza de X, denotada por ó V (X) , como:
dxxfxXEXV )()()]([)( 222
2
Ejercicio 4:Referidos nuevamente al ejercicio 1, determine la varianza de X.
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Unidad II: Probabilidades
Propiedades de la varianza:
)()()()(
),(2)()()(
).()()(
),()(
,0)(
)]([)()(
22
2
22
YEXEYXEYXCov
YXCovabYVbXVaYbXaV
YX
YVXVYXV
YX
cXVcXcV
ccV
XEXEXV
:donde
es,dependient v.a. son e Si
ntes,independie v.a. son e Si
ctte.
ctte.
