[11]_500638209_MPMT5103 JURNAL 11

7/25/2019 [11]_500638209_MPMT5103 JURNAL 11

1/13

Tugas membuat catatan

Ar ri zal M uhaemin Yunus (500638209) MPMT halaman 1

TUGAS MATA KULIAH MPMT5103

FONDASI MATEMATIKA DAN BUKTI DALAM MATEMATIKA

NAMA : ARRIZAL MUHAEMIN YUNUS

NIM : 500638209

EMAIL :[email protected] : S2 PENDIDIKAN MATEMATIKA ONLINE

TUGAS JURNAL 11 TENTANG GRAF

Pendahuluan

Pada tahun 1836, Leonhard Euler membuktikan bahwa perjalanan di kota Konigsberg dengan

syarat melalui setiap jembatan tepat satu kali, tidak dapat dilaksanakan. Dalam pembuktiannya

Euler menyederhanakan situasi jembatan Konigsberg itu menjadi suatu diagram seperti padaGambar 1.

Berkat pekerjaan Euler yang diilhami melalui persoalan jembatan Konigsberg itu, maka

muncullah suatu cabang Matematika yang cukup penting, yang dikenal dengan nama Teori

Graph (Graph Theory).

Teory Graph sudah banyak berkembang dan memiliki segi terapan di banyak bidang

ilmu, misalnya di bidang Fisika, Kimia, Ilmu Komunikasi, Rekayasa listrik, Genetika, dan lain-

lain. Teori Graph juga erat kaitannya dengan beberapa cabang Matematika, antara lain ; teoryMatriks, Analisa Numerik, Teori Kemungkinan, Topologi dan Kombinatorial. Sementara

dalam kenyataan, pengetahuan kita tentang Teori Graph masih sangat kurang.

Salah satu persoalan dalam Teori Graph adalah menghitung banyaknya Graph yang

tidak isomorphik, yang disebut Enumerasi (Enumeration). Khusus untuk graf pohon dapat

dilakukan dengan mengaplikasikan Teorema Cayley .

Persoalan lain adalah menghitung banyaknyapohon perentang dari graph lengkap Kp

dan pohon perentang (spaninning - tree) dari sebarang graph terhubung sederhana. Pohonperentang dari graph lengkap Kp ternyata ada kaitannya dengan pohon berlabel yang tidak

isomorphik. Karena itu banyaknya pohon perentang dari suatu graph lengkap Kpdapat dihitung

Gambar 1
mailto:[email protected]:[email protected]:[email protected]:[email protected]

7/25/2019 [11]_500638209_MPMT5103 JURNAL 11

2/13



dengan Teorema Cayley, sedang pohon perentang dari graph tehubung sederhana dapat

dihitung dengan Teorema Matriks Pohon (Matrix-Tree Theorem).

Pengertian dan sifat-sifat dasar yang sederhana dari suatu graph, berikut teorema, dan

pengertian tentang derajat, isomorphik, subgraph, serta beberapa graph khusus diuraikan pada

pembahasan berikut.

Konsep Dasar Graf

Definisi graf dan unsurunsur dari graf akan disusun dengan menggunakan bahasa himpunan.

Karena itu sebelum sampai pada definisi akan dijelaskan syarat dari suatu himpunan. Dalam

pengertian himpunan disyaratkan bahwa setiap elemennya hanya muncul satu kali saja.

Definisi 1

Graf Gadalah pasangan (V(G), X(G)),dimana V(G) adalah himpunan berhingga, yang elemen-

elemennya disebut titik (vertex), danX(G) adalah himpunan pasangan-pasangan tak berurut darielemen-elemen V(G) yang berbeda, yang disebut sisi (edge).

Berdasarkan definisi ini, V(G) disebut himpunan titik danX(G) disebut himpunan sisi.

Untuk lebih memahami Definisi 1 diberikan contoh seperti berikut. Misalkan diberikan V(G) =

{u,v,w,z} dan X(G) terdiri dari pasangan-pasangan(u,v), (v,w), (u,w), dan (w,z), atauX(G)=

{(u,v),(v,w), (u,w), (w,z)}. Maka gambar graf dari Gseperti pada Gambar 1.

Telah di definisikan bahwa graf terdiri dari himpunan titik V(G) dan himpunan sisi X(G).

Masing-masing pasangan X= (u,v) dalam X(G)adalah rusuk dari G. Banyaknya titik simpuldari G dinyatakan denga p , dan banyaknya rusuk dari G dinyatakan dengan q.

Suatu graf G dengan p titik simpul, disebut graf berlabel orde p, bilamana masing-masing

titiknya mempunyai nama yang berlainan, katakanlah , , 3, 4, , atau diberi satu bilangan bulat positif yang berbeda dari himpunan {1,2,3, ,p}.

Untuk memperlancar uraian tentang graf, hubungan antara dua titik, antara dua sisi, dan antara

titik dan simpul diberi nama tertentu. Hubungan-hubungan itu didefinisikan sebagai berikut .

u

vw

G:z

7/25/2019 [11]_500638209_MPMT5103 JURNAL 11

3/13



Definisi 2

MisalkanGadalah suatu graf. Titik vi,vjV(G) dan sisix X(G).Jikax = vivj, maka dikatakan bahwa :

1. Titik vibertetangga(adjacent) dengan titik vj.

2. sisix terkait(incident) dengan titikl vi. Demikian pula untuk titik vj.

Misalkanx1, x2, danx3adalah rusuk dari suatu graf Gdan vadalah titik simpulnya. Jikax1, x2,danx3terkait dengan simpul v, maka rusukx1,x2, danx3dikatakan bertetangga.

Simpul v1, v2, dan v3adalah simpul yang bertetangga. Sedangkan v1dan v4adalah simpul yang

tidak bertetangga. Rusuk-rusuk yang bertetangga adalah rusukx3, x2, danx4, dan terkait

dengan simpul v3.

Definisi 3

Dua graf H = (V(H),X(H)) dan G = (V(G),X(G)). Graf H disebut subgraf dari G, jik V(G) V(G) dan X(H)X(G). Jika V(H) = V(G), maka H dikatakan subgraf perentang dari G.Untuk lebih memahami definisi 5 diberikan Gambar 3. Graf G1dan G2 adalah subgraf dari G.

Subgraf maksimal H dari graf G adalah subgraf yang memenuhi untuk setiap sisi

eE(H) dan vV(H) berlaku e terkait dengan v di H jika hanya jika e terkait dengan v di G.

Subgraf G-e adalah subgraf maksimal dengan himpunan titik V(G) dan himpunan sisi E(G)-

{e}. Sedangkan subgraf G-v adalah subgraf maksimal dari G dengan himpunan titik V(G)-{v}

dan himpunan sisi E(G)-{vu: uV(G)}. Untuk sembarang himpunan titik simpul S, S V(G), subgraf terinduksi GSadalah subgraf maksimal dari G dengan himpunan titik S.

Karena itu dua titik bertetangga pada GSjia hanya jika kedua titik tersebut bertetangga di

G. Contoh subgraf terinduksi dari G pada Gambar 3 adalah G1.

Jalan (walk) pada suatu graf adalah barisan titik simpul dan rusuk: v1, e1, v2, e2, ..., en-1, vn

yang dimulai dengan suatu titik simpul dan diakhiri oleh suatu titik simpul pula dengan setiap

rusuk terkait dengan titik yang ada di kiri dan kanannya.

Gambar 2

v2

v3

x1 x2

x3

x4

v1v4

G G1 G2:

Gambar 3

7/25/2019 [11]_500638209_MPMT5103 JURNAL 11

4/13



Derajat

Dalam suatu graf terdapat banyak parameter yang berhubungan dengan sebuah graf G.

Mengetahui nilai-nilai dari parameter-parameter tersebut dapat memberikan informasi

mengenai graf G.

Definisi 3.

Derajat suatu simpul vi dalam graf G,dilambangkan d(vi),adalah banyaknya rusuk x X(G) yang terkait dengan simpul vi.

Simpul suatu graf yang berderajat nol disebut simpul terasing dan graf yang hanya terdiri dari

satu simpul disebut graf trivial. Sedang simpul yang derajatnya satu disebut simpul terminal.

Graf pada Gambar 1, memiliki satu simpul yang berderajat satu yaitu simpulz,dan satu simpul

yang berderajat tiga yaitu simpul w,serta dua simpul berderajat dua yaitu simpul udan v.

Teorema 1

Jumlah derajat simpul dalam suatu graf Gadalah dua kali banyaknya rusuk atau

2

=

Bukti. Misalkan graf Gterdiri satu rusuk, berarti G memiliki dua simpul yang masing-masing

berderajat satu, sehingga jumlah derajat simpul dalam G adalah dua. Karena setiap rusuk

menghubungkan dua simpul, maka banyaknya rusuk akan menambah jumlah derajat simpul

dalam Gadalah dua. Ini berarti jumlah derajat simpul dalam G adalah dua kali jumlah rusuk.

Jika semua titik dari graf G mempunyai derajat yang sama maka G disebutgraf reguler. Graf

berikut adalah graf reguler berore 3.

7/25/2019 [11]_500638209_MPMT5103 JURNAL 11

5/13



Isomorfik.Dua graf (V(G1),X(G1)) dan (V(G2),X(G2)). Suatu pemetaan satu-satu dari V(G1)ke dalam V(G2)dikatakan isomorphismedari (V(G1),X(G1)) kedalam (V(G2),X(G2)), jika untuk

masing-masing pasangan (vi,vj)V(G1), (vi,vj)X(G1), maka () .Dua grafG1 dan G2 dikatakan isomorphik, jika ada isomorphisme antara G1 dan G2. Contoh graf

isomorphikdiberikan pada Gambar 4.

Dari Gambar 4, G1 dan G2 dikatakan isomorphikkarena :

, , 3 3,

Komplemen.

GrafF disebut komplementdari graf Gbila V(F)=V(G) dan uvE(F) jika dan hanya jika uv

E(G). Komplemen dari graf G dinotasikan dengan G .

Contoh.Perhatikan graf G dengan 4 titik berikut dengan komplemennya

G: G:

Gambar 5

Jika pada suatu graf terdapat dua titik yang tidak dihubungkan oleh suatu titik, maka graf

tersebut disebut graf tak terhubung. Akibatnya graf tersebut memuat subgraf yang terpisahkan

satu sama lain. Subgraf terhubung maksimalpada graf G disebut komponen. Sebagai contoh

dapat dilihat pada gambar 5a berikut.

G:

Gambar 5a

u2

u1 u5

u4

u6

u3

G2:

V2 V3

V4 V5 V6

G1:

V1

Gambar 4

7/25/2019 [11]_500638209_MPMT5103 JURNAL 11

6/13



Graf G pada gambar 5a mempunyai dua komponen. Dapat diperiksa bahwa subgraf siklus

dengan tiga titik simpul C3bukan komponen dari G di atas.

Operasi Dalam Graf

Terdapat beberapa cara untuk memperoleh graf baru dengan melakukan suatu operasi

terhadap dua graf. Operasi tersebut adalah gabungan, tambah dan perkalian.

Graf Gabungan, jumlah dan perkalian

Misalkan diberikan dua graf yang saling lepas G dan H. Graf gabungan GH adalah graf

baru dengan himpunan titik V(GH)= V(G) V(H) dan himpunan sisi E(GH)=

E(G)E(H). Graf jumlah G+H adalah graf baru dengan himpunan titik V(G+H)= V(G)

V(H) dan himpunan sisi E(G+H)= E(G)E(H){uv: uV(G), vV(H)} . Sedangkangraf

kaliGxH adalah graf dengan himpunan titik V(GxH)= V(G)xV(H) yaitu setiap titik di GxH

adalah pasangan (u,v), dengan u V(G) dan vV(H). Dua titik (x,y) dan (s,r) bertetangga di

GxH jika x=s dan yrE(H) atau y=r dan xsE(G).

Contoh. Diberikan graf P2dan P3berikut.

P2: P3

Graf gabungan adalah

P2P3 : u v 1 2 3

Graf jumlah adalah

P2+P3:

Graf kali P2xP3adalah (u,1) (u,2) (u,3)

(v,1) (v,2) (v,3)

7/25/2019 [11]_500638209_MPMT5103 JURNAL 11

7/13



Beberapa Jenis Graf

Pada subbab ini akan dibahas beberapa jenis graf, diantaranya adalah graf lintasan, graf siklus,

graf pohon, graf bintang dan graf roda.

Graf Lintasan

Defenisi 6

Graf lintasan dengan n 1 titik adalah graf yang titik-titiknya dapat diurutkan dalam suatu

barisan u1,u2,...,un sedemikian sehinggaE (P)={ui,ui+1: i = 1,...,n-1}. Graf lintasan dengan n

titik di notasikan denganPn.

Contoh graf lintasan diberikan pada gambar 2.5.

Graf Siklus

Definisi 7

JikaPn := v1,v2,...,vn adalah suatu graf lintasan berorde ndan n 3,maka graf Cn:= Pn + {v1,v2}

disebut siklus berorde n.Panjang Pn adalah n-1,yaitu banyaknya sisi pada Pn dan panjang

siklus Cn adalah n. Graf siklus untuk n titik dinotasikan dengan Cn .

Contoh graf siklus diberikan pada gambar 2.6.

Panjang suatu lintasan adalah banyaknya sisi yang ada pada lintasan tersebut. Pada suatu graf

yang memuat siklus tentulah ada yang mempunyai panjang terbesar dan ada yang terkecil.

...v1

v2v3 v4

v5

vn

Gambar 2.5

v3

Gambar

...v1

v2v4

v5

vn

7/25/2019 [11]_500638209_MPMT5103 JURNAL 11

8/13



Panjang siklus terkecil disebut girt dan dinyatakan dengan g(G) dan panjang siklus terbesar

disebut Keliling (circumference) pada graf G dinyatakan dengan c(G).

G:

Gambar 2.6a

Graf pada gambar 2.6a mempunyai g(G)=3 dan c(G)=8

Pada suatu graf terhubung setiap dua titik simpulnya dihubungkan oleh paling sedikit dua

lintasan. Karena itu lintsan-lintasan tersebut ada yang pendek dan ada yang panjang. Panjang

lintasan terpendek yang menghubungkan dua titik menunjukkan jarak kedua titik tersebut dan

dinyatakan oleh d(u,v). Lebih jelasnya diberikan definisi berikut.

Definisi 8

Jarak antara dua titik u,v pada suatu graf G ditulis d(u,v) dengan d(u,v)= 0 jika u=v; d(u,v)= k,

jika uv dan k adalah panjang lintasan terpendek yang menghubungkan u dan v. Jika tidak

ada lintasan yang menghubungkan titik u, v, maka d(u,v)= .

Graf Pohon

Graf pohon banyak diterapkan untuk berbagai keperluan diantaranya adalah sebagai struktur

organisasi suatu perusahaan, silsilah suatu keluarga, skema sistem gugur suatu pertandingan,

dan ikatan kimia suatu molekul adalah jenis graf yang tergolong sebagai pohon. Namun

sebelum sebelum memahamai definisi graf pohon, terlebih dahulu disajikan defenisi terhubung.

7/25/2019 [11]_500638209_MPMT5103 JURNAL 11

9/13



Defenisi 9

Graf Gdikatakan terhubungjika untuk setiap dua titik udan vpada graf tersebut terdapat suatu

lintasan yang memuat udan v.

Contoh defenisi 8 diberikan pada gambar 2.7.

Gambar 2.7

Definisi 10

Misalkan T adalah graf terhubung. Jika T tidak memiliki siklus, maka T disebut graf pohon.

Contoh sebuah graf pohon Tdiberikan pada Gambar 2.7a.

Graf tak terhubung yang komponen-komponennya pohon disebuthutan. Dan graf yang hanya

terdiri dari satu titik disebut pohon trivial.

Gambar

7/25/2019 [11]_500638209_MPMT5103 JURNAL 11

10/13



Teorema 3

Jika G adalah graf yang memiliki p titik, maka pernyataan-pernyataan berikut adalah eqivalen.

a.

G adalah pohon.

b.

G memiliki p-1 sisi dan tidak memiliki siklus.

c.

G adalah graf terhubung dan memiliki p-1 sisi.

d. Setiap dua titik simpul dari G dihubungkan oleh tepat satu lintasan.

e. G tidak memiliki siklus, dan jika pada G ditambahkan satu sisi x yang mengaitkan dua

titik di G yang tidak bertetangga, maka G+x memiliki satu siklus.

Akibat 1

Jika G adalah pohon nontrivial, maka G memiliki paling sedikit dua titik berderajat satu

Akibat II

Jika G adalah hutan yang memiliki p titik simpul dan k komponen, maka G memiliki p-k sisi.

Graf Lengkap

Definisi 11

Graf lengkap adalah suatu graf yang terdiri dari p titik simpul dan setiap titik simpulnya

bertetangga. Graf lengkap denganptitik dinotasikan denganKp,.

Contoh sebuah graf lengkap diberikan pada gambar 2.8.

V3

V1 V2

V3

V1 V2

V4

K3 K4

Gambar 2. 8

7/25/2019 [11]_500638209_MPMT5103 JURNAL 11

11/13



Graf Bintang

Definisi 12

Graf bintang dengan n titik adalah graf pohon yang mempunyai satu titik berderajat 1dantitik lainnya berderajat satu. Graf bintang dengan n titik dinotasikan dengan .Contoh graf bintang di berikan pada Gambar 2.9.

Dapat dilihat bahwa bintang dan lintasan adalah graf pohon yang mudah dikenali karena

memiliki ciri-ciri khusus.

Graf Roda

Definisi 13

Graf roda dinotasikan dengan Wn adalah graf lingkaran Cn ditambah satu simpul x, yakni Wn =

Cn +{x}, dimana simpulxbertetangga dengan semua simpul pada graf lingkaran Cn.

Contoh graf roda diberikan pada Gambar 2.10

Graf Gbipartitjika V(G) dapat dipartisi kedalam dua subhimpunan tak kosong V1dan V2,

sedemikian sehingga untuk setiap sisi e=uvE(G), berlaku uV1 dan vV2 atau vV1dan u

V2. Graf Gdikatakan graf bipartit lengkap, jikaE(G)={uv:uV1, vV2dan dinotasikanKn,m.

Gambar 2. 9

W4

Gambar 2.10

7/25/2019 [11]_500638209_MPMT5103 JURNAL 11

12/13



Berikut ini adalah graf lengkap dengan 5 titik dan graf bipartit lengkap K3,5.

Teorema 4

Graf nontrivial G adalah bipartit jika hanya jika G tidak memuat siklus dengan panjang ganjil

Bukti.

Misalkan G tidak memuat siklus dengan panjang ganjil. Asumsikan G terhubung. Misalkan

u adalah sebarang titik di G, dan U adalah himpunan yang memuat titik-titik dengan panjang

genap dari u. Misalkan pula W adalah himpunan yang memuat titik dengan panjang ganjil dari

u. Dengan demikian {U, W} adalah koleksi partisi dari V(G). Anggaplah bahwa u di U, berarti

d(u,u)=0.

U 1 2 5

4 6

3 7

U: u 2 4 6

W : 1 3 5 7

Kita klaim bahwa setiap sisi dari G mengaitkan suatu titik di U dan suatu titik di W. Andaikan

itu tidak benar. Berarti terdapat satu sisi di G yang mengaitkan dua titik di U atau dua titik di

W, sebut itu ux E(G) dengan w,x W. Karena d(u,w) dan d(u,x) duanya ganjil, maka dapat

K5 K3,5

7/25/2019 [11]_500638209_MPMT5103 JURNAL 11

13/13



ditulis d(u,w)=2s+1 dan d(u,x)= 2r+1 untuk suatu bilangan asli s, r. Labeli titik-titik dari u ke

w dan dari u ke x sebagai berikut.

U=v0, v1, ..., v2s+1=w dan u=x0, x1, ....., x2r+1=x. Dua lintasan tersebut tambah sisi wx

memebentuk siklus C, dengan

C : u, v1, ......, v2s+1=w, x= x2r+1, ......, x1, x0=u.

Siklus C mempunyai panjang 2s+1 + 2r+1 tambah satu sisi wx. Dengan kata lain panjang C

adalah (2s+1)+(2r+1)+1= 2(s+r+1)+1. Nilai 2(s+r+1)+1 adalah ganjil. Jadi G memiliki siklus

dengan panjang ganjil. Hal ini kontradiksi dengan G tidak memuat siklus ganjil. Jadi, tidak

benar bahwa terdapat sisi di G yang mengaitkan dua titik pada partisi yang sama. Dengan kata

lain, setiap sisi dari G mengaitkan suatu titik di partisi yang satu dan suatu titik di partisi yang

satunya. Menurut definisi G adalah bipartit.

Misalkan G nontrivial dan bipartit. Akan ditunjukkan G tidak memuat siklus ganjil. Partisi

himpunan V(G) ke dalam dua subhimpunan sebut U dan W sedemikian sehingga setiap sisi di

G mengaitkan suatu titik di U dan suatu titik di W. Misalkan e1=u1w1, e2=u2w2, e3=u3w3,

dan e4=u4w4. Jika titik tersebut berbeda semua maka G tidak memuat siklus. Jika masih ada

sisi lain misal e di G maka e=uiwj, 1,j=1,2,3,4, dan ij, sebut i=2 dan j=3. Dalam hal ini,

terdapat lintasan P3: w2, u2, w3, u3 dengan panjang 3. Jika lintasan ini terletak pada suatu

siklus C, maka C=E(P3)+{u3,w2} dengan panjang 4. Situasi lain akan selalu serupa. Karenanya

dapat disimpulkan bahwa G tidak memuat siklus ganjil.

U: u 1 u2 u3 u4

W : w1 w2 w3 w4

Documents

[11]_500638209_MPMT5103 JURNAL 11