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9/Maio/2018 – Aula 15
11/Maio/2018 – Aula 16
Átomo de hidrogénioModelo de Bohr Modelo quântico. Números quânticos.
Aplicações: - nanotecnologias;- microscópio por efeito de túnel.
Equação de Schrödinger a 3 dimensões.
3
Aplicação: microscópio por efeito de túnel
Diagrama de um microscópio por efeito de túnel
Uma ponta de prova ( “tip” ) condutora ( < 1nm) é colocada muito próximo ( ≈≈≈≈ 1 nm) da superfície que se pretende analisar.
Quando a ponta de prova está próxima da nuvem electrónica em torno dos átomos da superfície, os electrões vão atravessar a distância superfície-ponta por efeito de túnel, com uma probabilidade T = e -2 αααα L .
Se os sensores piezoeléctricosreceberem um sinal (feedback) de forma a manter a corrente constante na tip, então a distância superfície-ponta também vai ser constante.
Aula anterior
4
Aplicação: microscópio por efeito de túnel (cont.)
Com um microscópio por efeito de túnel é possível medir alturas na superfície da ordem de 0,001.10-9 m, ≈≈≈≈ 1/100 dodiâmetro atómico típico.
Imagem topográfica por efeito de túnel
Aula anterior
5
Contacto metálico
Substrato
Contacto metálico
“Canal de electrões”(AsGa)
(AsAl)
Aplicação: nanotecnologias (cont.)
Exemplo
Os electrões movem-se no semicondutor de AsGa.
Atingem a barreira criada pelo quantum dot.
Os electrões podem atravessar a barreira (por efeito de túnel) e, assim, produz-se uma corrente eléctrica no dispositivo.
Aula anterior
6
Efeito de túnel quântico: decaimento alfa
Um exemplo (natural) do efeito de túnel quântico é o decaimento(radioactivo) das partículas alfa.
Este tipo de decaimento radioactivo (decaimento alfa) acontece quando um núcleo radioactivo (por ex, urânio 238) emite uma partícula alfa ( constituída por 2 protões + 2 neutrões ).
O potencial nuclear é uma combinação dum poço de potencial(causado pela força atractiva nuclear) e duma barreira de potencial (causada pela repulsão de Coulomb).
A partícula alfa é “apanhada” no poço com uma energia de cerca de 5 MeV.
Aula anterior
7
Equação de Schrödinger a 3 dimensões
2 2 2 2 2 2 2x y z
cin cin 2 2 2
p p pE E ( x, y,z ) -
2m 2m x y z
ψ ψ ψψ
+ + ∂ ∂ ∂= → = + +
∂ ∂ ∂
�
( )( )
2
2 2
d x 2m- E-U
dx
ΨΨ=
�
( ) ( )2 2 2
2 2 2 2
2m- E-U x, y, z
x y z
Ψ Ψ ΨΨ
∂ ∂ ∂+ + = ∂ ∂ ∂ �
Aula anterior
88
Equação de Schrödinger a 3 dimensões(geometria cúbica)
Poço de potencial 3D com paredes infinitas, em que U(x,y,z) = 0 no interior e U = ∞∞∞∞ no exterior:
Partícula confinadaTem-se ψψψψ (x,y,z) = 0 nas 6 faces do cubo:
x = 0, x = L ; y = 0, y = L ; z = 0, z = L.
( ) yx zn yn x n z
x, y,z A sen sen senL L L
ππ πψ
=
A função de onda espacial pode serdescrita como o produto de funções de (x,y,z ) independentes: x
y
z
LL
L
Aula anterior
99
Níveis de energia permitidos
�2π 2
2m L2n
x2 + n
y2 + n
z2( ) =
h2
8mL2n
x2 + n
y2 + n
z2( ) = E
En1,n2 ,n3
=�
2π 2
2m L2n
12 + n
22 + n
32( ) = E
1n
12 + n
22 + n
32( )
Aula anteriorEquação de Schrödinger a 3 dimensões
(geometria cúbica)
10
Equação de Schrödinger a 3 dimensões (cont.)
Um nível de energia com mais do que uma função de onda associada chama-se degenerado.
a) b)
Neste caso, para o 1º nível excitado:
E211 = E 121 = E 112 = 6 E1
(grau de degeneração = 3).
Diagrama de níveis de energiaa) poço cúbico infinito b) poço infinito não-cúbico
Em a) os níveis de energia são degenerados; em b), quando a simetria do potencial é retirada, os níveis deixam de ser degenerados .
Aula anterior
11
Átomos – modelo de Bohr do hidrogénio
Átomo de hidrogénioelemento mais abundante no universoprodução de energia no Sol ( p + p →→→→ d + e+ + νννν + 0,42 MeV )teste para as teorias da Física Quântica.
Modelo de Bohr do hidrogénio
Como explicar a existência de riscas espectrais para os elementos? Por exemplo, as linhas das séries de Balmer para o hidrogénio:
12
Modelo planetário semi-clássico :
1) os electrões deslocam-se em certas órbitas circulares estáveis em torno do protão, com raio rn .
n
h2 r n n
pπ λ
= =
2) só as órbitas para as quais o perímetro é um múltiplo inteiro do comprimento de onda de de Broglie são estáveis :
3) a força centrípeta é dada pela lei de Coulomb:
2 2
2n o n
m v e
r 4 rπε=
Bohr : os átomos só podem existir em certos estados de energia discretos.
13
Comparação : modelo de onda estacionária para as órbitas electrónicas ⇒⇒⇒⇒ 2ππππ rn = n λλλλ = n (h/p)
Modelo de Bohr
15
Energia total numa órbita circular :
En =1
2mvn
2 + U( rn ) =1
2mvn
2 −e2
4πεo
rn
= −e2
8πεo
rn
de 2) : 2π rn
=nh
mv
→ v2
=n �
mrn
2
de 3) :mv2
rn=
e2
4πεo rn2
→ v2
=e2
4πεo mrn
rn = n2 �2 4πεo
me2
= n2 ao
Raio de Bohr :ao = 5.29 x 10-11 m
En = −e2
8πεo n2ao
= −E0
n2
Energias permitidas:En = -13,6 eV /n2
17
Modelo de Bohr :
1. O espectro de energia é explicado : En = -13,6 eV / n2.2. O espectro de riscas é explicado: os fotões são emitidos com
hf = Einicial – Efinal ≡≡≡≡ ∆∆∆∆E .3. O raio de Bohr ao está de acordo com o tamanho do átomo de
hidrogénio no estado fundamental.
Expressão de Rydbergpara os comprimentos de onda observados
R = constante de Rydberg (medidaexperimentalmente)
2 2final inicial
1 1 1R
n nλ
= −
∆ E =hc
λ= hcR ∆
1
n2
19
Série de Lyman(ultravioleta)
Série de Balmer(visível)
Série dePaschen(infravermelho)
A partir do modelo de Bohr:
20
Níveis de energia do electrão
Estado fundamental, r1
Estado excitado, r2
Estado excitado, r2
Estado excitado, r3
Estado excitado, r4
Estado excitado, r4
Estado excitado, r3
Estado fundamental, r1
21
Energia potencial U(r) :
2
o
eU( r )
4 rπε= −
r
protão: +e
electrão: -e
Ene
rgy
U(r) : poço de potencial 3D –superfície de revolução
1=n
∞=n
n 2
13,6 eVE
n
−=
A energia de ionização é a energia necessária que deve ser fornecida para “arrancar” um electrão até E = 0.
Os estados ligados têm energia E < 0
22
a) Determine a energia e o comprimento de onda para o limite da série de Brackett (n2 = 4) b) determine os três maiores comprimentos de onda desta série e indique as suas posições numa escala linear
a) A energia dos fotões é dada por i fhf E E E∆= = −
n = ∞= ∞= ∞= ∞ 0iE =O limite da série é obtido para e
0 0f 2 2
2 2
E EE E
n n∆
= − = − − =
A energia do fotão emitido após oelectrão transitar para o nível de n2 = 4 é
2
13,6 eVhf 0,850 eV
4= =
O comprimento de onda da radiação resultante duma transiçãode energia ∆∆∆∆E = h f =hc /λλλλ é
1240 eV nm
Eλ
∆
⋅=
23
λλλλmin é encontrado para a transição n = ∞∞∞∞ →→→→ n2 = 4:
min
1240 eV nm1459 nm
0,850 eVλ
⋅= =
in 5,6 e7=b) Os três maiores comprimentos de onda são dados por
0 0i f 0 02 2 2 2 2
i 2 2 i i
E E 1 1 1 1E E E E E
16n n n n n∆
= − = − − − = − = −
( )5 4
1 1E 13,6 eV
16 25
0,306 eV
∆ →
= −
=
5 4
1240 eV nm4052 nm
0,306 eVλ →
⋅= =
24
( )6 4
1 1E 13,6 eV
16 36
0,472eV
∆ →
= −
=
6 4
1240 eV nm2627 nm
0,472 eVλ →
⋅= =
( )7 4
1 1E 13,6 eV
16 49
0,572 eV
∆ →
= −
=
7 4
1240 eV nm2168 nm
0,572 eVλ →
⋅= =
7→→→→4 6→→→→4 5→→→→4
---|---------|---------------------------------------------|--------
2168 nm 2627 nm 4052 nm
28
E1
E2
hυ
(a) Absorption
hυ
(b) Spontaneous emission
hυ
(c) Stimulated emission
Inhυ
Out
hυ
E2
E2
E1 E
1
Absorption, spontaneous (random photon) emission and stimulatedemission.
© 1999 S.O. Kasap, Optoelectronics (Prentice Hall)
29
When a sizable population of electrons resides in upper levels, this condition is called a "population inversion", and it sets the stage for stimulated emission of multiple photons. This is the precondition for the light amplification which occurs in a LASER and since the emitted photons have a definite time and phase relation to each other, the light has a high degree of coherence.
30
O electrão está confinado a um poço de potencial U(r) = - e2/ (4πεπεπεπεo r)
Consideremos agora :
1. A densidade de probabilidade pode ser relacionada com a densidade de carga do átomo:
ρρρρcarga (r) = - e |ψψψψ(r)|2 Coulomb/m3
2. A partícula confinada tem 1 número quântico para cada dimensão espacial ⇒⇒⇒⇒ são necessários 3 números quânticos para descrever cada estado (no modelo de Bohr só existe 1 número quântico, n ).
Estado fundamental, n = 1 , com distribuição de densidade electrónica dada por P(r) = |ψψψψ |2.
Modelo quântico do átomo de hidrogénio
31
−�
2
2m
∂2ψ
∂x2+
∂2ψ
∂y2+
∂2ψ
∂z2
+ U( r ) ψ = E ψ
Esses números quânticos (para além de n ) são uma consequência directa da equação de Schrödinger a 3 dimensões:
r
protão: + e
electrão: -e
2
o
eU( r )
4 rπε= −
32
Equação de Schrödinger a 3 dimensões:
−�
2
2m
∂2ψ
∂x2+
∂2ψ
∂y2+
∂2ψ
∂z2
+ U( x,y,z) ψ = E ψ
2
2 2 2o
eU( x, y,z ) -
4 x y zπε=
+ +
Forma do poço de potencial que mantém o electrão confinado.
33
φφφφ
rθθθθ
x
y
z
Vai existir um número quântico associado a cada coordenada: r , θθθθ e φφφφ
Em coordenadas esféricas, U = U (r) apenas:
( )
2 2 2r x y z
arccos z / r
arctg( y / x )
θ
φ
= + +
=
=
0
0 2
θ π
φ π
≤ ≤
≤ ≤
34
A função de potencial tem simetria esférica ⇒⇒⇒⇒ é mais fácil resolver este problema em coordenadas esféricas (r , θθθθ , φφφφ ), com U = U(r) .
Solução para o estado fundamental do hidrogénio: (n = 1, E = -13,6 eV)
/( , , ) o
13o
1 r ar e
aψ θ φ
π
−=
21
todo o espaço
P( r, , ) dV 1 | | dV 1θ φ ψ= ⇒ =∫ ∫Condição de normalização :
dV = elemento de volume
ao = raio de Bohr
Resolução da equação de Schrödinger:
35
Elemento de volume com simetria esférica :
2dV 4 r drπ=
r• superfície de uma esfera: 4 ππππ r 2
• volume dV de uma coroa esférica com espessura dr
Densidade de probabilidade radial:
A probabilidade de encontrar o electrão em r dentro da coroa esférica de espessura dr é igual a
P(r)dr
oar /
Localização mais provável do electrão ⇔⇔⇔⇔ r = ao (raio de Bohr).
Para o estado com n = 1
2 2P( r ) 4 r | |π ψ=
36
Em resumo: - dois modelos para o átomo de hidrogénio
1. Modelo de Bohr, de órbitas planetárias com 2ππππ rn = n λλλλ , rn = n ao ,
• consegue prever os níveis de energia correctamente En = -13,6 eV/ n2.
2. Modelo quântico, em que o electrão está confinado a um poço de potencial da forma
U(r) = - e2/ (4πεπεπεπεo r)
• consegue obter os níveis de energia correctamente
En = -13,6 eV/ n2
• consegue obter a maior probabilidade de encontrar o electrão para r = ao a partir da densidade de probabilidade radial da função de onda.
No modelo quântico, o átomo é representado por uma nuvem definida pela densidade de probabilidade electrónica.
37
Números quânticos para o hidrogénio e coordenadas associadas:
1. Coordenada radial rnúmero quântico principal n = 1, 2, 3 .... (⇔⇔⇔⇔ n do modelo de Bohr)
2. Ângulo polar θθθθnúmero quântico orbital (do momento angular) l = 0, 1, 2 ... (n-1)
3. Ângulo azimutal φφφφnúmero quântico magnético m l ≡≡≡≡ m = -l, -l +1, 0, 1 ... l (2l+1) valores
φφφφ
rθθθθ
x
y
zO conjunto dos números quânticos (n, l, m)
tem origem nas condições de confinamento da função de onda (que seja solução da equação de Schrödinger) a 3 dimensões : todos os 3 números são necessários para especificar essa função de onda.
Números quânticos do átomo de hidrogénio
38
No entanto, a energia total E só depende do número quântico principal (n ):
As funções de onda são indicadas pelo conjunto dos 3 números quânticos (n, l, m ),que só podem tomar certos valores:
Energia n l m estado nº de estados- 13,6 eV 1 0 0 1s 1
- 3,4 eV 2 0 0 2s 1
- 3,4 eV 2 1 1,0,-1 2p 3
-1,5 eV 3 0 0 3s 1
-1,5 eV 3 1 1,0,-1 3p 3
-1.5 eV 3 2 2,1,0,-1,-2 3d 5
... ... ... ... ... ...
Os estados são indicados de acordo com o valor de ll = 0 ≡≡≡≡ s ; l = 1 ≡≡≡≡ p ; l = 2 ≡≡≡≡ d ; l = 3 ≡≡≡≡ f ; ....
Por exemplo, o estado fundamental, de simetria esférica, é indicado por:
1 o100 3ao
r / a( r, , ) e
πψ θ φ
−=
n 2
13,6E eV
n= −
n,l ,m ( r , , )ψ θ φ
Número quântico principal ( n )
39
Estados excitados, com E = - 3,4 eV , n = 2
o o o2,0,0 2,1,0 2,1, 1
r r r2
a a ao o o
r / 2a r / 2a r / 2a iA e B e cos C e sen e
φψ ψ θ ψ θ±− − − − ± = = =
Densidades de probabilidade radiais:
2, 0, 0 2, 1, 0 2, 1, ±±±± 1
1 o100 3
ao
r / a( r, , ) e
πψ θ φ
−=
Estado fundamental, de simetria esférica