11ºMATEMATICA TRIGONOMETRIA

MATEMÁTICA A 11.o ano

CADERNO DEEXERCÍCIOSRodrigo Viegas Silva

ÍNDICE

Geometria no Planoe no Espaço II

Resolução de problemasque envolvam triângulosExercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

Exercícios propostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4

Unidades de medidade ângulos.Círculo trigonométricoExercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7


Redução ao 1.º quadrante. Equações e funções trigonométricasExercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12


Produto escalar de vetoresExercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18


Conjuntos definidos por condiçõesExercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23


Retas e planos – paralelismoe perpendicularidadeExercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27


Ficha de autoavaliação 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . 32


Introdução ao CálculoDiferencial I

Funções racionaisExercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37


DerivadasExercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45


Funções com radicaisExercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52




Sucessões Reais

Sucessões. Monotonia e limitaçãoExercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63


Progressões aritméticase geométricasExercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68


Limites de sucessõesExercícios resolvidos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74




Avaliação final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

Soluções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

Nota: Este caderno encontra-se redigido conforme o novo Acordo Ortográfico.

GEOMETRIA NO PLANOE NO ESPAÇO II

Torre Vasco da Gama, Parque das Nações (Lisboa)

Resolução de problemas que envolvam triângulos

1. O triângulo [ABC] da figura é retângulo em A

e AD ⊥ BC . De acordo com os dados indicados

na figu ra, determina A�B� e ACB.

Resolução

O cosseno de ABC pode ser obtido por �B�A�

C�B�

� , se considerarmos o triângulo [ABC] em que A�B� é a medida

do cateto adjacente ao ângulo e B�C� a da hipotenusa. Se, no entanto, pensarmos no triângulo [ABD],

cos ABC = �B�A�

D�B�

� .

Como o cosseno de um mesmo ângulo é constante, independentemente do triângulo onde está inserido,

podemos, então, escrever:

�B�A�

C�B�

� = �B�A�

D�B�

� ⇔ = ⇔ A�B�2= 36 ⇔ A�B� = 6 cm

Para determinar ACB, utilizamos a razão trigonométrica seno, pois sen ACB = �B�A�

C�B�

� donde:

ACB = sen–1 ��B�A�

C�B�

�� = sen–1 ��1

6

2�� = sen–1 ��

1

2�� = 30º

Resposta

A�B� = 6 cm e ACB = 30º

2. Relativamente à figura ao lado, sabe-se que:

AC ⊥ CE , D�E� = 2 cm , AEC = 33º,

ADC = 46º e BDC = 36º

Determina, com aproximação às décimas, A�B�.

Resolução

No triângulo [ACE] , podemos determinar a tangente de AEC pela razão entre as medidas dos catetos

[AC] – cateto oposto, sendo A�C� = A�B� + B�C� e [CE] – cateto adjacente, com C�E� = C�D� + D�E� = C�D� + 2 .

No triângulo [ACD] , obtemos a tangente de ADC, pela razão entre A�C� = A�B� + B�C� e C�D�. E, no triângulo [BCD],

a tangente de BDC é obtida pela razão entre B�C� e C�D�. A partir destes dados, podemos concluir que:

tg 36º = ⇔ B�C� = 0,73C�D�B�C��C�D�

A�B��12

3�A�B�

A

B

C D E

Exercícios resolvidos

3

3 cm 9 cmCB

D

A

O que nos permite escrever o seguinte sistema, cuja resolução nos leva ao cálculo de A�B�:

Resposta

A�B� � 1,0 cm

1. Num triângulo retângulo, a razão trigonométrica que relaciona os dois catetos é:

A. o seno. B. o cosseno. C. a tangente. D. qualquer das anteriores.

2. Se os catetos de um triângulo retângulo medem, respetivamente, 3 cm e 4 cm, então, o seno do ângulo

oposto ao maior dos catetos tem o valor de:

A. 4 B. �3

4� C. �

4

3� D. �

4

5�

3. Em relação ao triângulo [ABC] da figura ao lado, o seno do ângulo ABC é:

A. 0,6 B. 0,8

C. 0,75 D. 1,25

4. Uma árvore projeta uma sombra de 17 metros de comprimento. Se o ângulo de ascensão com que obser-

vamos o Sol é de 30º, a altura da árvore é, aproximadamente:

A. 9,8 m B. 15,7 m C. 29,4 m D. 8,5 m

5. A área do paralelogramo representado na figura é, aproximadamente, de:

A. 1,52 cm2 B. 24,25 cm2

C. 32,33 cm2 D. 28 cm2

GEOMETRIA NO PLANO E NO ESPAÇO II

Exercícios propostos

8 cm6 cm

A

B C

BAE

D C7 cm

4 cm

60°

�tg 33º =

tg 46º = A�B� + B�C��

C�D�

A�B� + B�C��C�D� + 2

�0,65C�D� – 0,73C�D� – A�B� = –1,3

1,04C�D� – 0,73C�D� = A�B�

�–0,08C�D� – 0,31C�D� = –1,3

A�B� = 0,31C�D�

�0,65(C�D� + 2) = A�B� + B�C�

1,04C�D� = A�B� + B�C� �0,65C�D� + 1,3 = A�B� + 0,73C�D�

1,04C�D� = A�B� + 0,73C�D�⇔

⇔

⇔

⇔

⇔ ⇔

⇔ ⇔

⇔�–0,08C�D� – A�B� = –1,3

0,31C�D� = A�B�

�–0,39C�D� = –1,3

A�B� = 0,31C�D� �C�D� � 3,3

A�B� � 1,0

4

5

RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS QUE ENVOLVAM TRIÂNGULOS

6. Considera um triângulo retângulo e isósceles. Então:

III o seno e o cosseno dos ângulos agudos são iguais.

III a tangente de cada um dos ângulos agudos é igual a 1.

III os senos dos ângulos agudos são diferentes.

IV nada podemos concluir acerca das razões trigonométricas dos ângulos agudos.

As afirmações verdadeiras são:

A. I e II B. II e III C. I e IV D. III e IV

7. Na figura AB ⊥ BD e A�B� = B�C� = C�D� . Então, ADB tem de amplitude,

aproximadamente:

A. 32,6º B. 60º

C. 30º D. 26,6º

8. A fotografia mostra o farol de Santa Marta, em Cascais.

O Tiago queria saber a altura do farol.

Colocou-se a 20 metros da sua base e, olhando para o farol, mediu, com um

quadrante, a amplitude do ângulo de elevação com que observava o seu

topo e obteve 40o.

Atendendo aos dados obtidos e a que o Tiago mede 1,65 metros, determina

a altura, aproximada aos centímetros, do farol.

9. Às 15 horas do dia 27 de Março de 2004, numa zona perto de Lisboa, a altitude do Sol era de, aproxima-

damente, 50 graus (a altitude do Sol é o ângulo que os raios solares fazem com o solo). Nesse instante,

a sombra projetada no solo por um poste media 5,5 metros.

Qual a altura, aproximada, do referido poste em centímetros?

10. A figura ao lado representa o rio Sorraia, em Coruche.

Para determinar a largura do rio naquela zona, a Sara

colocou-se na posição A indicada no desenho e fixou um

ponto B na margem oposta, na perpendicular da mar-

gem onde se encontrava (AB ⊥ AC). De seguida, deslo-

cou-se para uma posição C que distava 40 metros de A

e mediu o ângulo (α) que AC faz com CB, obtendo 74º.

Calcula a largura em metros, aproximada às décimas,

do rio Sorraia, nesta zona.

A

B CD

AB

C


11. Num trapézio isósceles, o ângulo que a base maior faz com o lado é de 60º. A base menor e os lados

medem, cada um, 20 cm. Determina:

11.1 a altura do trapézio;

11.2 a área do trapézio.

12. Uma antena com 12 metros vai ser espiada por cabos presos a 2 metros do seu topo. Sabendo que os

cabos mais curtos fazem com o solo um ângulo de 55º e os maiores um ângulo de 35º, determina, com

aproximação aos centímetros, o comprimento de cada cabo e a que distância da base da antena vão ser

fixados.

13. Um poste está preso a duas estacas, colineares com a base do poste e em lados opostos, por duas cor-

das que medem 8 e 10 metros. Sabendo que o ângulo que a menor corda faz com o chão é de 40º, deter-

mina a distância, aproximada aos centímetros, entre as duas estacas.

14. A fotografia retrata a fachada principal da Igreja Matriz de

Ser nan celhe, no distrito de Viseu.

Um turista visualiza a base (B) do torreão do sino da igreja

segundo um ângulo de elevação de 24º e o topo (T) do tor-

reão segundo um ângulo de 37º. Sabendo que a base do tor-

reão se encontra a, aproximadamente, 5,6 metros do solo,

determina a altura do torreão e a distância a que se encontra

o turista do monumento, com aproximação ao decímetro.

15. A fotografia mostra a torre do castelo de Marvão.

A Rita queria determinar a altura da torre e,

para isso, determinou os ângulos de ascensão e

de depressão com que observava o topo e a

base da torre segundo a horizontal do local

onde se encontrava (A), tendo obtido, para

ambos, um ângulo de 5º.

De seguida, deslocou-se 20 metros (de A para B),

numa direção perpendicular à da observação

inicial, conforme esquema ao lado, e mediu o

ângulo em B, na horizontal, obtendo 74º.

Determine, utilizando as medições da Rita, a altura da referida torre, com aproximação às décimas.

Torre

A B

6

T

B

Unidades de medida de ângulos. Círculo trigonométrico

1. A fotografia mostra a roda gigante de um parque de diversões.

Suponhamos que a roda tem 10 metros de raio e 12 cadeiras igualmente

espaçadas, sendo a distância mínima ao solo de 1 metro.

1.1 Determina, com aproximação às décimas, a distância percorrida por cada

cadeira numa volta.

1.2 Determina a medida do arco de circunferência, em graus, entre cada cadeira.

1.3 Determina a distância a que se encontra do solo uma cadeira que percorra

uma distância correspondente a um ângulo de 120º, depois de se encon-

trar à distância mínima.

Resolução

1.1 Cada cadeira percorre, numa volta, o perímetro da circunferência de raio igual ao raio da roda, logo, per-

corre P = 2π r = 2π × 10 = 20π � 62,8 metros.

1.2 Como a roda possui 12 cadeiras, então, o arco de circunferência, entre cada cadeira, é de �3

1

6

2

0o

� = 30o .

1.3 Considera o seguinte esquema relativo à situação apresentada:

Depois de percorrer uma distância correspondente a um ângulo de 120º, a distância, d, ao solo será:

d = A�B� + B�O� + P�C�

A�B� é a distância mínima ao solo, logo, A�B� = 1 metro

B�O� é o raio da roda, logo, B�O� = 10 metros

Para o cálculo de P�C� podemos utilizar sen (P C) = ⇔ P�C� = P�O� sen (P C)

P�O� = 10 metros (raio da roda)

P C = P B – B C = 120º – 90º = 30º , logo, P�C� = 10 × sen 30º = 10 × �1

2� = 5 metros

Então, d = 1 + 10 + 5 = 16 metros

Ô

P�C��

P�O�Ô

Ô

Ô

Ô


A

B

CO

P

7

2. O António comprou duas pizas, uma com 31 cm de diâmetro e outra com 24 cm.

Como tem de dividir as pizas por si e por mais sete amigos, pretendendo que cada fatia tenha, aproxima-

damente, a mesma área, quer saber qual a medida aproximada, em graus, dos ângulos ao centro que tem

de utilizar no corte de cada fatia em cada piza, sem sobrar piza.

Resolução

Comecemos por calcular a área de cada uma das pizas:

A área da piza maior é Amaior

= π r 2 = π × 15,52 ≈ 755 cm2 .

A área da piza menor é Amenor

= π r 2 = π ×122 ≈ 452 cm2 .

Logo, a área total das duas pizas é, aproximadamente, 755 + 452 = 1207 cm2 .

Como a divisão das pizas vai ser feita por oito pessoas, obtemos, para cada uma, uma área aproximada de:

A = �12

8

07� ≈ 151 cm2

Assim, a piza maior vai ser dividida por �7

1

5

5

5

1� = 5 pessoas, pelo que o ângulo ao centro é de �

36

5

0º� = 72º.

A piza menor vai ser dividida por �4

1

5

5

2

1� ≈ 3 pessoas, pelo que o ângulo ao centro é de �

36

3

0º� = 120º .

Resposta

A piza maior é cortada em fatias com 72º de amplitude e a menor com 120º.

1. O valor exato da amplitude em radianos de um ângulo de 105º é:

A. 1,83 rad B. 0,58π rad

C. �1

7

2

π� rad D. �

1

1

8

0

3

0� rad

2. A medida de um arco de circunferência, compreendido entre os lados de um ângulo inscrito numa

circunferência de raio 6 cm e cuja amplitude é de 1 radiano, é:

A. 3 cm B. 6 cm

C. 9 cm D. 12 cm



8

3. No quadrante em que o cosseno é crescente e a tangente é positiva:

A. o seno é positivo e crescente.

B. o seno é positivo e decrescente.

C. o seno é negativo e crescente.

D. o seno é negativo e decrescente.

4. Os quadrantes a que α pode pertencer, sabendo que sen α × tg α � 0 são:

A. apenas o 2.º Q. B. 2.º ou 3.º Q.

C. 3.º ou 4.º Q. D. apenas 4.º Q.

5. Se α tiver uma amplitude positiva e inferior ou igual a 45º, o valor da expressão sen α + tg α tem como

máximo:

A. 2 B.

C. D. �1

2�

6. Considera:

III o dobro do seno de um ângulo adicionado do dobro do cosseno do mesmo ângulo é igual a 1.

III quando o seno de um ângulo é zero, o valor do cosseno é 1.

III nem todos os ângulos têm tangente.

IV quando a tangente de um ângulo é zero, o valor do seno também é zero.


A. I e II B. II e III

C. I e IV D. III e IV

7. Sabendo que α pertence ao 1.º quadrante e sen α = �2k

3

– 6� , então k pertence ao intervalo:

A. ]0, 1[ B. �3, �9

2��

C. �0, �1

3�� D. ��

3

2� , �

9

2��

2 + 2��2

22��2

UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS. CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO

9

8. Determina o quadrante em que se encontra o lado extremidade dos ângulos cujo lado origem coincide

com o semieixo positivo dos xx e cuja amplitude é:

8.1 160º

8.2 –443º

8.3 1275º

8.4 �9

5� π rad

8.5 – �1

3

1� π rad

9. Considera os polígonos regulares, inscritos numa circunferência de raio 5 cm, e de 3 a 6 lados, inclusive.

9.1 Indica a amplitude, em graus e em radianos, dos ângulos internos dos referidos polígonos.

9.2 Indica a amplitude, em radianos, dos ângulos ao centro a cujos lados pertencem dois vértices

consecutivos, de cada um dos polígonos.

9.3 Indica a medida do arco compreendido entre os lados consecutivos de cada um dos polígonos.

10. Um ângulo ao centro mede �7

5

π� radianos. Sabendo que o seu lado origem coincide com o semieixo posi-

tivo dos xx, indica em que quadrante se encontra o lado extremidade.

11. Indica os valores máximos e mínimos de cada uma das seguintes expressões:

11.1 2 + sen x

11.2 2 cos (2x + 1)

11.3 �3

2� sen (x – 2) – 1

11.4 3 cos2 x – sen x (utiliza a calculadora gráfica)

11.5 sen2 x – cos2 x (utiliza a calculadora gráfica)

12. A roda do automóvel da fotografia tem 57 cm de diâmetro. Sabendo que o arco da jante, compreendido

entre os lados de um ângulo ao centro de 1 radiano, mede, aproximadamente, 19 cm, determina:

12.1 a área lateral do pneu (área visível na fotografia),

considerando-a uma coroa circular (2 c.d.);

12.2 o perímetro da roda (2 c.d.);

12.3 o número aproximado de voltas completas que o

pneu deu, depois de o automóvel ter efetuado um

percurso de 100 metros.


57 cm

19 cm19 cm

57 cm

10

13. Numa rotunda rodoviária, a distância

entre o centro da rotunda e o lado exte-

rior do passeio é de, aproximadamente,

16 metros.

Dois automóveis (A e B) circulam nessa

rotunda distanciados por um arco de cir-

cunferência de 150º. Determina o compri-

mento desse arco, em decímetros, supondo

que os dois veículos percorrem uma traje-

tória idêntica e encostados ao passeio

exterior, conforme o desenho ao lado.

14. Recortou-se o cone da figura pela geratriz [AV] e planificou-se o setor

circular resultante da superfície lateral do cone.

Sabendo que O�A� = 2 e O�V� = 4 , determina a amplitude, em graus e com

aproximação às décimas, do ângulo do respetivo setor circular.

15. Um funil tem 7 cm de diâmetro da «boca». A secção feita por um plano que contenha o vértice do cone

e um diâmetro da «boca» do funil tem as seguintes dimensões:

15.1 Determina a amplitude, em graus, do ângulo θ.

15.2 Determina a quantidade máxima de líquido, em mililitros, que se pode despejar de uma só vez no

funil, estando tapada a sua saída.

15.3 Qual a amplitude que deveria ter o ângulo θ, mantendo constante a altura do funil, para que a

quantidade máxima de líquido que se podia despejar de uma só vez fosse o dobro da determinada

na alínea anterior?

UNIDADES DE MEDIDA DE ÂNGULOS. CÍRCULO TRIGONOMÉTRICO

A

B

V

AO

A B

V

8 cm

7 cm

θ

11

1. Sabendo que sen ��3

2� π – x� = �

3

5� e que x � 2.o Q. , determina sen (π – x) + tg (π � x) .

Resolução

Simplificando os dados, obtemos:

sen ��3

2� π – x� = �

3

5� ⇔ –cos x = �

3

5� ⇔ cos x = – �

3

5�

e, simplificando a expressão pretendida, temos:

sen (π – x) + tg (π + x) = sen x + tg x (1)

Utilizando a fórmula fundamental da Trigonometria sen2 x + cos2 x = 1 , obtemos:

sen2 x + �– �3

5��

2

= 1 ⇔ sen2 x = 1 – �2

9

5� ⇔ sen2 x = �

1

2

6

5� ⇔ sen2 x = ±�

1

2�6

5�� ⇔ sen x = ±�

4

5�

Como x � 2.º Q. e o seno no 2.o quadrante é positivo, sen x = �4

5� .

Utilizando a fórmula tg x = �s

c

e

o

n

s x

x� , encontramos o valor da tangente:

tg x = ⇔ tg x = – �4

3� , substituindo em (1), sen x + tg x = �

4

5� – �

4

3� = �

1

1

2

5� – �

2

1

0

5� = – �

1

8

5�

Resposta

sen (π – x) + tg (π + x) = – �1

8

5�

2. O gráfico seguinte representa as funções definidas por f(x) = sen (2x) e g(x) = cos ��3

2

π� + �

2

x�� , no intervalo

[0, 2π]:

2.1 Indica o conjunto dos zeros de cada uma das funções no intervalo dado.

2.2 Determina as soluções da equação f(x) = g(x) no intervalo [π, 2π].

�4

5�

�

– �3

5�

Redução ao 1.o quadrante. Equações e funções trigonométricas


g

f

0

1

y

x

-1

π2

32

ππ 2π

12

Resolução

2.1 Observando o gráfico, verificamos que a função f interseta o eixo dos xx quando x � �0, , �, �, 2��e a função g quando x � {0, 2�} , logo, estes são os zeros das funções dadas.

2.2 Comecemos por resolver a equação dada:

f(x) = g(x) ⇔ sen (2x) = cos � + �2

x�� ⇔ sen (2x) = sen ��

2

x�� ⇔

⇔ 2x = �2

x� + 2k� ∨ 2x = � – �

2

x� + 2k�, k � � ⇔

⇔ 2x – �2

x�= 2k� ∨ 2x + �

2

x� = � + 2k�, k � � ⇔

⇔ = 2k� ∨ = � + 2k�, k � � ⇔ 3x = 4k� ∨ 5x = 2� + 4k�, k � � ⇔

⇔ x = ∨ x = + , k � �

Vamos, agora, atribuir valores a k para obter valores no intervalo pretendido:

• k = 0: x = 0 ∨ x = , estes valores não pertencem ao intervalo.

• k = 1: x = ∨ x = + ⇔ x = ∨ x = , ambos os valores pertencem ao intervalo.

• k = 2: x = ∨ x = + ⇔ x = ∨ x = 2� , apenas 2� pertence ao intervalo, pois � 2� .

Assim, as soluções da equação são os elementos do conjunto � , , 2�� .

3�2

��2

3��2

5x�

2

3x�2

4k��

5

2��5

4k��3

2��5

6��5

4��3

4��

5

2��5

4��

3

8��3

8��3

8��5

2��5

8��3

4��

3

6��5

REDUÇÃO AO 1.o QUADRANTE. EQUAÇÕES E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

13


1. Na redução ao 1.o quadrante de um ângulo qualquer, obtemos um ângulo em que:

A. as razões trigonométricas são iguais.

B. as razões trigonométricas são, em valor absoluto, iguais.

C. o seno e o cosseno são iguais e a tangente é simétrica.

D. o seno e o cosseno são simétricos e a tangente igual.

2. Sabendo que sen (270º + x) = – e x � 1.o Q. , então sen x é:

A. �1

2� B.

C. D. –

3. A simplificação da expressão sen (π – x) + cos (π + x) + sen ��2

π� + x� é:

A. 2 sen x + cos x B. cos x

C. sen x D. sen x + 2 cos x

4. Considera:

III existem ângulos cujas razões trigonométricas são todas negativas.

III as soluções da equação cos x = –2 pertencem aos 2.o e 3.o quadrantes.

III a equação sen x = –1 tem infinitas soluções.

IV existem dois ângulos do intervalo [0, �] que têm o mesmo seno.


A. I e II B. II e III

C. II e IV D. III e IV

5. Indica qual é a afirmação verdadeira:

A. sen � + cos (90º + �) = 0 B. tg � =

C. sen 210º = �1

2� D. cos 70º = – sen 20º

cos ��sen �

3��2

3��2

3��2

2��2


14

15

6. A expressão tg2 � · cos2 � + cos2 � é equivalente a:

A. 1 B. tg2 � + 2 cos2 � C. 2 sen2 � D. –1

7. A figura representa, em referencial o.n. xOy:

• um quarto de círculo, de centro na origem e raio 1;

• uma semirreta paralela ao eixo Oy, com origem no ponto (1, 0) ;

• um ponto A pertencente a esta semirreta;

• um ângulo de amplitude �, cujo lado origem é o semieixo positivo Ox e cujo

lado extremidade é a semirreta A.

Qual das expressões seguintes dá a área da região colorida, em função de �?

A. �4

�� + �

tg

2

�� B. �

4

�� + �

tg

2

��

C. � + �tg

2

�� D. � + �

tg

2

��

Exame Nacional 2001 – 1.a Fase – 2.a Chamada

8. Recorrendo ao círculo trigonométrico, indica, se possível, ângulos do 3.o quadrante:

8.1 com cosseno – �1

2� ;

8.2 com tangente 1;

8.3 com seno .

9. Determina o valor exato de cada uma das expressões seguintes:

9.1 sen 270º + cos 210º – tg 135º

9.2 sen � �� + sen � �� – cos �– ��9.3 sen � �� – cos � �� + cos �–3��+ tg � ��9.4 2 sen � �� × cos � �� – tg �– ��9.5 sen × cos – cos × sen + sen2 – cos2

3��2

��3

��6

��3

��6

��4

��4

7�3

2�3

2�3

7�3

5�6

7�4

3�2

13�4

3�4

•O

REDUÇÃO AO 1.o QUADRANTE. EQUAÇÕES E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

O x

y

A

1

α

10. Simplifica as seguintes expressões:

10.1 cos (180º – �) – sen (270º + �) – sen (90º – �)

10.2 sen (� – �) – sen (� + �) + cos � – ��10.3 cos � + �� – sen (–� – �) + sen (–�)

10.4 1 – cos � + �� × sen (5� – �) – cos (3� + �) × sen � – ��

10.5 – tg (–�)

11. Determina tg (� – �) – sen � + x� , sabendo que x � 1.o Q. e que cos � + x� = – .

12. Resolve as seguintes equações trigonométricas:

12.1 sen x = �1

2� 12.2 cos x = –

12.3 sen (2x) = �2

3�� 12.4 3� tg (2x) = 1

12.5 2 cos x – 3� = 0

13. Mostra que + 1 – = 0 , para α � �2

π� + kπ, k � � .

14. Indica para que valores reais de k é possível a condição sen � + α� = �4

7

– k� .

15. Considera a expressão A(x) = sen � + x� – cos �5� – x� .

15.1 Simplifica, o mais possível, a expressão A(x).

15.2 Sabendo que sen (� + x) = – ∧ x �� , � , determina o valor exato de A(x).

15.3 Resolve, em IR, a equação A(x) = 3� .

cos ��2

�� + ��

��sen �α – �

3

2

��

3��2

��2

3��2

��2

��2

sen α × tg α��

cos α1

�cos2α

2��2

3��2

��2

12�13

��2

5��2

��2

��2


16

16. Considera a função, real de variável real, definida por f(x) = 2 + cos (2x) .

16.1 Indica o domínio e o contradomínio da função.

16.2 Escreve a expressão geral dos maximizantes da função.

16.3 Determina, se existirem, os zeros da função no intervalo ]–�, �[.

17. Um barco de passageiros encontra-se atracado. A distância de um

dado ponto do navio ao fundo do rio varia com a maré. Essa distân-

cia (d em metros) pode ser obtida, num determinado dia, em função

do tempo (t em horas), pela expressão:

d(t) = 4,6 + cos � �t – ��Em relação a esse ponto, determina valores, aproximados às décimas, da:

17.1 distância ao fundo do rio às 10 horas;

17.2 distância mínima a que se encontra do fundo do rio nesse dia;

17.3 amplitude (diferença entre os valores máximo e mínimo) da distância ao fundo do rio.

18. Num determinado ano civil, em Lisboa, o tempo que decorre entre o nascer e o pôr do sol, no dia de

ordem n do ano, é dado em horas, aproximadamente, por:

f(n) = 12,2 + 2,64 sen n � {1, 2, 3, …, 366}

(O argumento da função seno está expresso em radianos.)

Exemplo: no dia 3 de fevereiro, trigésimo quarto dia do ano, o tempo que decorreu entre o nascer e o

pôr do sol foi de f(34) � 10,3 horas.

18.1 No dia 24 de Março, Dia Nacional do Estudante, o Sol nasceu às seis e meia da manhã. Em que

instante ocorreu o pôr do sol? Apresenta o resultado em horas e minutos (minutos arredondados

às unidades).

Nota

• Recorda que, no presente ano, o mês de fevereiro teve 29 dias.

• Sempre que, nos cálculos intermédios, procederes a arredondamentos, conserva, no mínimo,

três casas decimais.

18.2 Em alguns dias do ano, o tempo que decorre entre o nascer e o pôr do sol é superior a 14,7 horas.

Recorrendo à tua calculadora, determina em quantos dias do ano é que isso acontece. Indica

como procedeste.

Exame Nacional 2001 – 1.a Fase – 1.a Chamada

7�5

1�2

4�5

�(n – 81)��

183

REDUÇÃO AO 1.º QUADRANTE. EQUAÇÕES E FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS

17

Foto

gra

fia:

C

âmar

a M

un

icip

al

de

Lisb

oa

– D

ivis

ão d

e C

om

un

icaç

ão

e Im

agem

– H

um

ber

to M

ou

co

Documents

11ºMATEMATICA TRIGONOMETRIA