8
SSC MATHEMATICS 2014-15 TRIGONOMETRY 1 Prepared By : Arif Baig Cell: 9703806542 11.Trigonometry EXERCISE - 11.1 1 - او ا اABC AB,BC اورAC ل 8 ، 15 اور17 sinA, cosA اورtanA ر م : ل د ع ا AB=8 BC=15 AC=17 A B C کہ ی ہsinA= = 15 17 , cosA= = 8 17 , tanA= = 15 8 . 2 او ا ۔اPQR ع ا =QP 7 ، QR = 25 اور =PR 24 tanR-tanQ م : کہ ی ہ دPQR PQ=7 R QR=25 RP=24 P Q کہ ی ہ tanQ= = 24 7 tanR= = 7 24 tanQ-tanR= 24 7 7 24 = 57649 168 = 527 168 3 او ا ۔ اABC راس B ذاو ، cos اورtan م BAC = a = 24 ، b = 25 اور : کہ ی ہ دABC B ذاوa=24 A b=25 BAC = B C رو رث ث کہ ف ی ہ 2 = 2 + 2 (25) 2 = 2 + (24) 2 625=576+ 2 625-576= 2 49= 2 7 2 = 2 7cm= AB. sinA اورcosA م cos A = 12 13 4 ۔ا : کہ ی ہ دC cos A = 12 13 13 B 12 A کہ ی ہ رو رث ث ف2 = 2 + 2 (13) 2 = (12) 2 + 2 169=144+ 2 169-144= 2 25= 2 5 2 = 2 5cm=BC کہ ی ہ sinA= = 5 13 , cosA= = 5 12 sinA اورcosA م 3tanA=4 5 ۔ا. : کہ ی ہ د3 tan A = 4 tanA= 4 3 C 4 B 3 A رو رث ث کہ ف ی ہ 2 = 2 + 2 2 =3 2 +4 2 2 =9+16 2 =25 2 =5 2 AC=5cm

11.Trigonometry A - files.urdu4medn.webnode.comfiles.urdu4medn.webnode.com/200000005-d7323d82f9/11...∠A = ∠X کہ ئےبتلا تب cos A = cos X کے ہیں حسطرا ∠A روا∠X

Embed Size (px)

Citation preview

Page 1: 11.Trigonometry A - files.urdu4medn.webnode.comfiles.urdu4medn.webnode.com/200000005-d7323d82f9/11...∠A = ∠X کہ ئےبتلا تب cos A = cos X کے ہیں حسطرا ∠A روا∠X

SSC MATHEMATICS 2014-15 TRIGONOMETRY

1 Prepared By : Arif Baig Cell: 9703806542

11.Trigonometry EXERCISE - 11.1

رمس 15رمس،8 ابرتلبیت ےک وطل ACاورAB,BC علض ںیمABCاکی اقمئ ازلاوہی ثلثم-1

ولعمم ےئجیکیک دقر tanA اور sinA, cosA رمس بت 17اور

ثلثم ےک االضع ےک وطل دےئ ےئگ ںیہ:لح

AB=8رمس

BC=15رمس

AC=17رمس

A

B C

ی کہمہ اجےتن ہ

sinA=𝐵𝐶

𝐴𝐶=

15

17,

cosA=𝐴𝐵

𝐴𝐶=

8

17,

tanA=𝐵𝐶

𝐴𝐵=

15

8.

رمس اور QR=25رمس،QP7=ابرتلبیتاالضع ںیم PQR۔اکی اقمئ ازلاوہی ثلثم2

=PR24 بت وہرمسtanR-tanQ ولعمم ےئجیک

ی کہ ثلثم: لح ہ ںیم PQRدایایگ

PQ=7رمس

R QR=25رمس

RP=24رمس

P Q

ی کہ ہ مہ اجےتن

tanQ=𝑅𝑃

𝑃𝑄=

24

7

tanR= 𝑄𝑃

𝑃𝑅=

7

24

tanQ-tanR=24

7−

7

24

= 576−49

168=

527

168

ںیہ ، سج انب ات ذاوہی اقہمئرپ B وج راس ںیمABC۔ اکی اقمئ ازلاوہی ثلثم 3

ولعمم ےئجیکtanاورcosبتوہ ∠BAC = 𝜃 رمس اورb=25رمس،a=24 ںیم

ی کہ ثلثم: لح ہذاوہی اقہمئ ںیہ B ںیم ABCدایایگ

a=24رمس

A b=25رمس

𝜃 ∠BAC = 𝜃

B C

ا وغرث ےک ہلئسم یک رو ےس

ث

ی کہ ف ہ مہ اجےتن

∴ 𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 (25)2 = 𝐴𝐵2 + (24)2 625=576+𝐴𝐵2 625-576=𝐴𝐵2 49=𝐴𝐵2 72=𝐴𝐵2 7cm= AB.

ولعمم ےئجیک cosA اورsinAبتوہ cos A =

12

13۔ارگ4

ی کہ : لح ہ Cدای ایگ

cos A =

12

13

13

B 12 A

ی کہ ہ مہ اجےتن

ا وغرث ےک ہلئسم یک رو ےس

ث

ف

∴ 𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 (13)2 = (12)2 + 𝐵𝐶2 169=144+𝐵𝐶2 169-144=𝐵𝐶2 25=𝐵𝐶2 52 = 𝐵𝐶2 5cm=BC

ی کہ ہ مہ اجےتن

sinA=𝐵𝐶

𝐴𝐶=

5

13 , cosA=

𝐵𝐶

𝐴𝐵=

5

12

ولعمم ےئجیکcosAاورsinAبتوہ 3tanA=4 ۔ارگ5

. ی کہ: لح ہدای ایگ

3 tan A = 4

tanA=4

3

C

4

B 3 A

ا وغرث ےک ہلئسم یک رو ےس

ث

ی کہ ف ہ مہ اجےتن

∴ 𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 𝐴𝐶2 = 32 + 42 𝐴𝐶2=9+16 𝐴𝐶2=25 𝐴𝐶2=52 AC=5cm

Page 2: 11.Trigonometry A - files.urdu4medn.webnode.comfiles.urdu4medn.webnode.com/200000005-d7323d82f9/11...∠A = ∠X کہ ئےبتلا تب cos A = cos X کے ہیں حسطرا ∠A روا∠X

SSC MATHEMATICS 2014-15 TRIGONOMETRY

2 Prepared By : Arif Baig Cell: 9703806542

ی کہ ہ مہ اجےتن

sinA=𝐵𝐶

𝐴𝐶=

4

5 , cosA=

𝐴𝐵

𝐴𝐶=

3

5.

∠A = ∠X بت التبےئ ہک cos A = cos X ےک ںیہ ارطسح ∠A اور∠X دو احدہ ۔ارگ6

ذاوےئ

رفض رکوہک : لح 𝐴𝐵𝐶 , ∆𝑋𝑌𝑍∆ںیم

Z C

X Y B A

cosA=cosX ی کہ ہ دای ایگ

cosA=

𝐴𝐵

𝐴𝐶 , cosX=

𝑋𝑌

𝑋𝑍

𝐴𝐵

𝐴𝐶=

𝑋𝑌

𝑋𝑍 بت

ا وغرث ےک ہلئسم یک رو ےس

ث

ف

∴ 𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2∴ اور 𝑋𝑍2 = 𝑋𝑌2 + 𝑌𝑍2

𝐴𝐶 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2𝑋𝑍 اور = 𝑋𝑌2 + 𝑌𝑍2

𝐴𝐶

𝑋𝑍=

𝐴𝐵

𝑋𝑌=

𝐵𝐶

𝑌𝑍 اےئلس

∵ ∠𝐴 = ∠𝑋.

وسحمب ےئجیکبسح ذلی وکبت cot 𝜃 =

7

8ی کہ 7

ہ۔ دایایگ

(i)

(1+𝑠𝑖𝑛𝜃 )(1−𝑠𝑖𝑛𝜃 )

(1+𝑐𝑜𝑠𝜃 )(1−𝑐𝑜𝑠𝜃 )

(ii)

1+𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃

C cot 𝜃 =

7

8ی کہ: لح ہدایایگ

B A

ا وغرث ےک ہلئسم یک رو ےس

ث

ف

∴ AC2 = AB2 + BC2

AC2 = 82 + 72

AC2=64+49

AC2=113

AC= 113.

sin𝜃=

𝐴𝐵

𝐵𝐶=

8

113 , cos𝜃=

𝐵𝐶

𝐴𝐶=

7

113ی کہ

ہ مہ اجےتن

(i)

(1+𝑠𝑖𝑛𝜃 )(1−𝑠𝑖𝑛𝜃 )

(1+𝑐𝑜𝑠𝜃 )(1−𝑐𝑜𝑠𝜃 )

=

(1)2−sin 2𝜃)

(1)2−cos 2𝜃)

=

(1−sin 2θ)

(1−cos 2θ)

=

1−(8

113)2

1−(7

113)2

=

1−64

113

1−49

113

=113−64

113113−49

113

=49

11364

113

=49

64.

(ای)

(i)

(1+𝑠𝑖𝑛𝜃 )(1−𝑠𝑖𝑛𝜃 )

(1+𝑐𝑜𝑠𝜃 )(1−𝑐𝑜𝑠𝜃 )

=

(1)2−sin 2𝜃)

(1)2−cos 2𝜃)

=

(1−sin 2𝜃)

(1−cos 2𝜃) ∴ cos2𝜃=1 − sin2𝜃

∴ sin2𝜃=1 − cos2𝜃

=

cos 2𝜃

sin 2𝜃

=cot2𝜃

=(7

8)2

=

49

64.

(ii)

1+𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃

=

1+8

1137

113

=

113 +8

1137

113

=

113+8

113. 113

7 =

113+8

7.

ارگ انبات ےہ ذاوہی اقہمئ رپ Bوج راس ںیم ABC۔ اکی اقمئ ازلاوہی ثلثم 8

tan A = 3بت ذلی یک دقرںی ولعمم ےئجیک

(i) sin A cos C + cos A sin C (ii) cos A cos C - sin A sin C

A tan 𝜃 = 3 ی کہ: لح ہدایایگ

B C

ا وغرث ےک ہلئسم یک رو ےس

ث

ف

∴ 𝑨𝑪𝟐 = 𝑨𝑩𝟐 + 𝑩𝑪𝟐

𝑨𝑪𝟐 = ( 3)𝟐

+ (𝟏)𝟐

𝑨𝑪𝟐=3+1

𝐴𝐶2=4

AC= 4=2.

sin𝐴=

𝐵𝐶

𝐴𝐶=

1

2 , sin𝐶=

𝐴𝐵

𝐴𝐶=

3

2ی کہ ہ مہ اجےتن

cos𝐴=

𝐴𝐵

𝐴𝐶=

3

2 , cos𝐶=

𝐵𝐶

𝐴𝐶=

1

2

(i) sin A cos C + cos A sin C

=(1

2) (

1

2)+ (

3

2) (

3

2)

=

1

4+

3

4

Page 3: 11.Trigonometry A - files.urdu4medn.webnode.comfiles.urdu4medn.webnode.com/200000005-d7323d82f9/11...∠A = ∠X کہ ئےبتلا تب cos A = cos X کے ہیں حسطرا ∠A روا∠X

SSC MATHEMATICS 2014-15 TRIGONOMETRY

3 Prepared By : Arif Baig Cell: 9703806542

=

1+3

4

=

4

4 =1.

(ii) cos A cos C - sin A sin C

=( 3

2) (

1

2)- (

1

2) (

3

2)

=

3

4−

3

4

=0

(ای)

ی کہ ہ دایایگ

B=900, tan A = 3

tanA=600

A=600

ی کہ ہ مہ اجےتن

ںیمABCثلثم

A+B+C=1800

600+900

+C=1800

1500+C=1800

C=1800 − 1500=300

(i) sin A cos C + cos A sin C

=sin600cos300

+cos600sin300

=

3

2. 3

2+

1

2.

1

2

=

3

4+

1

4 =

3+1

4 =

4

4 =1.

(ii) cos A cos C - sin A sin C

=cos600cos300

-sin600sin300

=

1

2. 3

2-

3

2.

1

2

=

3

4−

3

4 =0

Exercise: 11.2

۔ بسح ذلی وک وسحمب ےئجیک1

(i) sin450+cos450

ی کہ: لح ہدای ایگ

= sin450+cos450

=

1

2+

1

2

=

1+1

2

=

2

2

=

2. 2

2

= 2.

(ii)

𝑐𝑜𝑠 450

𝑠𝑒𝑐300+𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 600

ی کہ: لح ہدای ایگ

=

𝑐𝑜𝑠 450

𝑠𝑒𝑐300+𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 600

=

1

22

3+

2

3

=

1

22+2

3

=

1

24

3

=

1

3

4 =

3

4 2

(iii)

𝑠𝑖𝑛300+𝑡𝑎𝑛 450−𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐600

𝑐𝑜𝑡 450+𝑐𝑜𝑠600−𝑠𝑒𝑐300

ی کہ: لح ہدای ایگ

=

𝑠𝑖𝑛300+𝑡𝑎𝑛 450−𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐600

𝑐𝑜𝑡 450+𝑐𝑜𝑠600−𝑠𝑒𝑐300

=

1

2+

1

1−

2

31

1+

1

2−

2

1

=

1

1 =1.

(iv) 2 𝑡𝑎𝑛2450+𝑐𝑜𝑠2300 − 𝑠𝑖𝑛2600

ی کہ: لح ہدای ایگ

=2 𝑡𝑎𝑛2450+𝑐𝑜𝑠2300 − 𝑠𝑖𝑛2600

=2. (1)2+(

3

2)2 −(

3

2)2

=2.(1) =2.

(v)

𝑠𝑒𝑐 2600−𝑡𝑎𝑛 2600

𝑠𝑖𝑛2300+𝑐𝑜𝑠 2300

ی کہ: لح ہدای ایگ

=

𝑠𝑒𝑐 2600−𝑡𝑎𝑛 2600

𝑠𝑖𝑛2300+𝑐𝑜𝑠 2300

=

(2)2−( 3)2

(1

2)2+(

3

2)2

=

4−31

4+

3

4

=

11+3

4

=

14

4

=

1

1 =1.

Page 4: 11.Trigonometry A - files.urdu4medn.webnode.comfiles.urdu4medn.webnode.com/200000005-d7323d82f9/11...∠A = ∠X کہ ئےبتلا تب cos A = cos X کے ہیں حسطرا ∠A روا∠X

SSC MATHEMATICS 2014-15 TRIGONOMETRY

4 Prepared By : Arif Baig Cell: 9703806542

۔حیحص وجاب اک ااختنب ےئجیک اورایکس دصتقی ےئجیک2

(i)

2𝑡𝑎𝑛 300

1+𝑡𝑎𝑛 2450

(a) sin600 (b)cos600

(c) tan300 (d) sin300

ی کہ: لح ہدای ایگ

=

2𝑡𝑎𝑛 300

1+𝑡𝑎𝑛 2450

=

2.1

3

1+(1)2

=

2

3

1+1 =

2

3

2 =

2

3.

1

2 =

1

3 = tan300

(ii)

1−𝑡𝑎𝑛 2450

1+𝑡𝑎𝑛2450

(a) tan900 (b)1 (c) sin450

(d) 0

ی کہ: لح ہدای ایگ

=

1−𝑡𝑎𝑛 2450

1+𝑡𝑎𝑛 2450

=

1−(1)2

1+(1)2 =

1−1

1+1 =

0

2 =0.

(iii)

2𝑡𝑎𝑛 300

1−𝑡𝑎𝑛 2300

(a) cos600 (b)sin600

(c) tan600 (d) sin300

ی کہ: لح ہدای ایگ

=

2𝑡𝑎𝑛 300

1−𝑡𝑎𝑛 2300

=

2.1

3

1−(1

3)2

=

2

3

1−1

3

=

2

33−1

3

=

2

32

3

=

2

3.

3

2 =

3

3 =

3. 3

3 = 3 = tan600

sin600.cos 300

+sin300.cos600

۔وسحمب ےئجیک3

sin(600 یک دقرایک ےہ آپ ایک ہجیتن اذخ رکےت ںیہ + 300)

ی کہ: لح ہدای ایگ

= sin600.cos300

+sin300.cos600

=

3

2. 3

2+

1

2.

1

2

=

3

4+

1

4 =

3+1

4 =

4

4 =1.

=sin(600 + 300)

= sin900

=1.

∴sin600.cos300

+sin300.cos60

0

= sin(60

0 + 30

0

)

مہ ہجیتن اذخ رکےت ںیہ ہک

∴ sinA.cosB+sinA.cosB= sin(A+B)

(60

0 + 30

0)= cos60

0

.cos30

0

+sin60

0

.sin30

0

۔ ایک ہی انہک حیحص ےہ ہک 4

60)اصدق ےہ۔

0 + 30

0)= cos60

0

.cos30

0

+sin60

0

.sin30

0

۔ایک ہی ایبن4

ی کہ: لح ہدای ایگ

cos(60

0 + 30

0)= cos60

0

.cos30

0

+sin60

0

.sin30

0

cos90

0

=

1

2

. 3

2

− 3

2

.1

2

0=

3

4

− 3

4

0=0

اہں ہی ایبن حیحص ےہ

(60

0 + 30

0)= cos60

0

.cos30

0

+sin60

0

.sin30

0

.

𝑃∠ علض QR اورPRاک وطل ولعمم ےئجیک = 600،ٓPQ=6cm ۔ اکی اقمئ ازلاوہی 8

انبات ےہ اورذاوہی اقہمئ رپ Qوج راس ںیم PQRثلثم

ی کہ: لح ہدای ایگ

PQ=6cm اور ∠𝑅𝑃𝑄 = 600

ی کہ 𝑃𝑄𝑅∆ںیم مہ اجےتن ہ

tan600 =𝑄𝑅

𝑃𝑄

3 =𝑄𝑅

6

6 3=QR.

sin600 =𝑄𝑅

𝑃𝑅

3

2=

6 3

𝑃𝑅

Page 5: 11.Trigonometry A - files.urdu4medn.webnode.comfiles.urdu4medn.webnode.com/200000005-d7323d82f9/11...∠A = ∠X کہ ئےبتلا تب cos A = cos X کے ہیں حسطرا ∠A روا∠X

SSC MATHEMATICS 2014-15 TRIGONOMETRY

5 Prepared By : Arif Baig Cell: 9703806542

PR=12cm.

XYZ∆ ںیم وج راس Y بتx2=ZX اورx=XY،انبات ےہ رپ ذاوہی اقہمئ ۔ثلثم 6

𝑌𝑋𝑍∠اور 𝑌𝑍𝑋∠ولعمم ےئجیک

ی کہ: لح ہدای ایگ

Z

2x

Y x X

ا وغرث ےک ہلئسم یک رو ےس

ث

ف

∴ 𝑍𝑋2 = 𝑍𝑌2 + 𝑌𝑋2

(2𝑥)2 = 𝑍𝑌2 + (𝑥)2

𝑍𝑌2=4x

2

-x

2

𝑍𝑌2=3x

2

ZY= 3x2.= 3x

ثلثم XYZ∆ںیم

∴tanX=

𝑍𝑌

𝑌𝑋=

3x

𝑥= 3=tan60

0

∠𝑌𝑋𝑍=60

0

∴tanZ=

𝑋𝑌

𝑌𝑍=

x

3𝑥=

1

3=tan30

0

∠𝑌𝑍𝑋=30

0

7۔ایک ہی انہک حیحص ےہ ہک sin(A+B)=sinA+sinBاےنپ ہجیتن یک اجچن ےئجیک

7۔ایک ہی ایبن sin(A+B)=sinA+sinBاصدق ےہ؟اےنپ ہجیتن یک دصتقی ےئجیک

ی کہ: لح ہدای ایگ

sin(A+B)=sinA+sinB

Let A=300 , B=600

=Sin(300 + 600) = 𝑠𝑖𝑛300 + 𝑠𝑖𝑛600

sin900=1

2+

3

2

1= 1+ 3

2

1≠1+ 3

2

ہی حیحص ںیہن ےہ

Exercise: 11.3

۔وسحمب ےئجیک 1

(i) 𝑡𝑎𝑛 360

𝑐𝑜𝑡540

ی کہ: لح ہدای ایگ

=𝑡𝑎𝑛 360

𝑐𝑜𝑡540

∴ cotA=tan(900 −A)

∵ cot360=tan(900 − 540)=tan360

= 𝑡𝑎𝑛 360

𝑐𝑜𝑡360

=1.

(ii) cos120 − 𝑠𝑖𝑛780

ی کہ: لح ہدای ایگ

= cos120 − 𝑠𝑖𝑛780

∴ cosA=sin(900 −A)

∵ cos120=sin(900 − 120)=sin780

= sin780 − 𝑠𝑖𝑛780

=1.

(iii) cos𝑒𝑐310 − 𝑠𝑒𝑐590

ی کہ: لح ہدای ایگ

= cos𝑒𝑐310 − 𝑠𝑒𝑐590

∴ cosecA=sec(900 −A)

∵ cos𝑒𝑐310=sec(900 − 310)=sec590

= s𝑒𝑐590 − 𝑠𝑒𝑐590

=1.

(iv) sin150 . 𝑠𝑒𝑐750

ی کہ: لح ہدای ایگ

= sin150 . 𝑠𝑒𝑐750

= 𝑠𝑖𝑛150

𝑐𝑜𝑠750

∴ cosA=sin(900 −A)

∵ cos750=sin(900 − 750)=sin150

= 𝑠𝑖𝑛150

𝑠𝑖𝑛150 =1.

(v) tan260 . tan640

ی کہ: لح ہدای ایگ

= tan260 . tan640

∴ tanA=cot(900 −A)

∴ cotA=tan(900 −A)

∵ cot360=tan(900 − 540)=tan360

Page 6: 11.Trigonometry A - files.urdu4medn.webnode.comfiles.urdu4medn.webnode.com/200000005-d7323d82f9/11...∠A = ∠X کہ ئےبتلا تب cos A = cos X کے ہیں حسطرا ∠A روا∠X

SSC MATHEMATICS 2014-15 TRIGONOMETRY

6 Prepared By : Arif Baig Cell: 9703806542

∵ tan640=cot(900 − 640)=cot260

= tan260 . cot260

= tan260 .1

tan 260 =1.

۔ التبےئ ہک2

(i) Show that tan480 . tan160 . tan420 . tan740=1

(ii) 480 . tan160 . tan420 . tan740=1

ی کہ: لح ہدای ایگ

LHS. = tan480 . tan160 . tan420 . tan740

∴ tanA=cot(900 −A)

∵ tan420=cot(900 − 420)=cot480

∵ tan740=cot(900 − 740)=cot160

= tan480 . tan160 . cot480 . cot160

= tan480 . tan160 . 1

tan 480 .1

tan 160

=1. RHS

(ii) cos360 .cos540-sin360 .sin540=0

ی کہ: لح ہدای ایگ

LHS

= cos360 .cos540 −sin360 .sin540

∴ cosA=sin(900 −A)

∵ cos360=sin(900 − 360)=sin540

∵ cos540=sin(900 − 540)=sin360

= sin540 .sin360 − sin360 . sin540

=1. RHS

یک A اکی احدہ ذاوہی ےہ A 2اہجں رپ tan2A=cot(𝐴 − 180) ۔ ارگ3

دقر ولعمم ےئجیک

ی کہ: لح ہدای ایگ

=tan2A=cot(𝐴 − 180)

∴ tanA=cot(900 −A)

∵tan2A=cot(900 − 2A)

cot(900 − 2A)= cot(𝐴 − 180)

900 − 2A= 𝐴 − 180

900+180=A+2A

1080=3A

360=A.

A+B=900 احدہ ذاوےیئ ںیہ اثتب ےئجیک ہک B اورAاہجں رپAnat=Btoc۔ارگ 4

ی کہ: لح ہدای ایگ

tanA = cotB

∴ cotA=tan(900 −A)

∵ cotB=tan(900 − 𝐵)

tanA= tan(900 − 𝐵)

A=900 − 𝐵

A+B=900 .

CBA۔ اکی اقہمئ ذاوہی ثلثم ںیم 5

ے

ںیہ بت التبےئ ہک Cاور B,A سج ےک دایلخ ذاوی

tan(𝐴+𝐵

2) = 𝑐𝑜𝑡

𝐶

2

ABC ی کہ ثلثم : لح ہمہ اجےتن

A+B+C= 1800 ( ( ےس میسقت رکےن رپ 2اسموات وک

𝐴+𝐵+𝐶

2=

1800

2

𝐴+𝐵

2+

𝐶

2=900

𝐴 + 𝐵

2= 900 −

𝐶

2

LHS. =tan(𝐴+𝐵

2)

∴ tanA=cot(900 −A)=cotA

=tan(900 −𝐶

2)

= 𝑐𝑜𝑡𝐶

2 RHS.

450ےک درایمن یک یثلثم وتبسنں ںیم 00 اور sin750وکذاہی +cos650 ۔6

اظرہ ےئجیک

ی کہ: لح ہدای ایگ

= sin750 +cos650

∴ sinA=cos(900 −A)

∵ cos750=sin(900 − 750)=sin150

∴ cosA=sin(900 −A)

Page 7: 11.Trigonometry A - files.urdu4medn.webnode.comfiles.urdu4medn.webnode.com/200000005-d7323d82f9/11...∠A = ∠X کہ ئےبتلا تب cos A = cos X کے ہیں حسطرا ∠A روا∠X

SSC MATHEMATICS 2014-15 TRIGONOMETRY

7 Prepared By : Arif Baig Cell: 9703806542

∵ cos650=sin(900 − 650)=sin250

= cos150 +sin250 .

Exercise: 11.4

۔بسح ذلی وک وسحمب ےئجیک 1

(i) (1+tan 𝜃 +sec 𝜃)(1+cot 𝜃 -cosec 𝜃)

= (1+tan 𝜃+sec 𝜃)(1+cot 𝜃 -cosec 𝜃)

=(1+𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃+

1

𝑐𝑜𝑠𝜃 )(1+

𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠𝑖𝑛𝜃−

1

𝑠𝑖𝑛𝜃 )

= 𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑠𝑖𝑛𝜃+1

𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜃−1

𝑠𝑖𝑛𝜃

= (𝑐𝑜𝑠𝜃+sin θ)2− (1)2

𝑐𝑜𝑠𝜃 .𝑠𝑖𝑛𝜃 ∴[(a+b)(a-b)=(a+b)2]

= 𝑐𝑜𝑠 2𝜃+𝑠𝑖𝑛2𝜃+2𝑐𝑜𝑠𝜃 .𝑠𝑖𝑛𝜃−1

𝑐𝑜𝑠𝜃 .𝑠𝑖𝑛𝜃 ∴ 𝑠𝑖𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠2𝜃=1

= ∤+2𝑐𝑜𝑠𝜃 .𝑠𝑖𝑛𝜃−∤

𝑐𝑜𝑠𝜃 .𝑠𝑖𝑛𝜃

=2𝑐𝑜𝑠𝜃 .𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃 .𝑠𝑖𝑛𝜃

=2.

(𝑖𝑖) (𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 + (𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)2

SOL: =(𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 + (𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 ∴[(a+b)2=a2+b2+2ab]

=𝑠𝑖𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠2𝜃+2sin 𝜃.cos 𝜃 +𝑠𝑖𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠2 𝜃 -2sin 𝜃.cos 𝜃

=1+1

=2.

(iii) ( 𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 1)( 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜃-1)

Sol: ( 𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 1)( 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜃-1)

∴ 𝑡𝑎𝑛2= 𝑠𝑒𝑐2-1 ∴ 𝑐𝑜𝑡2=𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2-1

=𝑡𝑎𝑛2𝜃. 𝑐𝑜𝑡2 𝜃

=𝑡𝑎𝑛2. 1

𝑡𝑎𝑛 2 =1.

( 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝜃 − cot𝜃)2= 1−𝑐𝑜𝑠𝜃

1+𝑐𝑜𝑠𝜃۔ التبےئ ہک 2

LHS.

=( 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝜃 − cot𝜃)2

= 1

𝑠𝑖𝑛𝜃−

𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠𝑖𝑛𝜃

2

= 1−𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑠𝑖𝑛𝜃

2

= (1−𝑐𝑜𝑠𝜃)2

𝑠𝑖𝑛2 𝜃

= (1−𝑐𝑜𝑠𝜃)2

12−𝑐𝑜𝑠 2𝜃 ∴[a2-b2=(a+b)(a-b)]

= (1−cos 𝜃)(1−cos 𝜃)

(1−cos 𝜃)(1+cos 𝜃)

= (1−cos 𝜃)

(1+cos 𝜃). RHS

1+𝑠𝑖𝑛𝐴

1−𝑠𝑖𝑛𝐴 =secA+tanA ۔ التبےئ ہک 3

LHS. 1+𝑠𝑖𝑛𝐴

1−𝑠𝑖𝑛𝐴

(sinA+1) ےس رضب اور میسقت رکےن رپ

= 1+𝑠𝑖𝑛𝐴

1−𝑠𝑖𝑛𝐴×

1+𝑠𝑖𝑛𝐴

1+𝑠𝑖𝑛𝐴

= (1+𝑠𝑖𝑛𝐴 )2

12−𝑠𝑖𝑛𝐴2

= (1+𝑠𝑖𝑛𝐴 )2

𝑐𝑜𝑠𝐴2

=1+𝑠𝑖𝑛𝐴

𝑐𝑜𝑠𝐴

=1

𝑐𝑜𝑠𝐴+

𝑠𝑖𝑛𝐴

𝑐𝑜𝑠𝐴 ∴ 𝑠𝑒𝑐𝐴 =

1

𝑐𝑜𝑠𝐴 ∴tanA=

𝑠𝑖𝑛𝐴

𝑐𝑜𝑠𝐴

=secA+tanA. RHS

1−𝑡𝑎𝑛 2𝐴

𝑐𝑜𝑡 2𝐴−1= 𝑡𝑎𝑛2𝐴. ۔ التبےئ ہک 4

LHS. = 1−𝑡𝑎𝑛 2𝐴

𝑐𝑜𝑡 2𝐴−1

=1−𝑡𝑎𝑛 2𝐴

1

𝑡𝑎𝑛 2𝐴−

1

1

=1−𝑡𝑎𝑛 2𝐴

1

1−𝑡𝑎𝑛 2𝐴

𝑡𝑎𝑛 2𝐴

= 1−𝑡𝑎𝑛 2𝐴

𝑡𝑎𝑛 2𝐴

1−𝑡𝑎𝑛 2𝐴

= 𝑡𝑎𝑛2𝐴. RHS.

1

𝑐𝑜𝑠𝜃− 𝑐𝑜𝑠𝜃= tan 𝜃.sin 𝜃 ۔ التبےئ ہک 5

Sol: LHS. = 1

𝑐𝑜𝑠𝜃− 𝑐𝑜𝑠𝜃

= 1−𝑐𝑜𝑠 2𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃 ∴ 𝑠𝑖𝑛2𝜃 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃

= 𝑠𝑖𝑛2𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃

= 𝑠𝑖𝑛𝜃

𝑐𝑜𝑠𝜃 .sin 𝜃

Page 8: 11.Trigonometry A - files.urdu4medn.webnode.comfiles.urdu4medn.webnode.com/200000005-d7323d82f9/11...∠A = ∠X کہ ئےبتلا تب cos A = cos X کے ہیں حسطرا ∠A روا∠X

SSC MATHEMATICS 2014-15 TRIGONOMETRY

8 Prepared By : Arif Baig Cell: 9703806542

= tan 𝜃.sin 𝜃 RHS.

secA(1-sinA)(secA+tanA). ۔ رصتخم ےئجیک 6

=secA(1-sinA)(secA+tanA)

= (secA-secA.sinA)(secA+tanA)

= (secA-𝑠𝑖𝑛𝐴

𝑐𝑜𝑠𝐴)(secA+tanA)

= (secA-tanA)(secA+tanA) ∴[a2-b2=(a+b)(a-b)]

= 𝑠𝑒𝑐2𝐴 − 𝑡𝑎𝑛2𝐴

∴ 𝑠𝑒𝑐2𝐴 − 𝑡𝑎𝑛2𝐴 =1

= 1.

۔ اثتب ےئجیک ہک7

(𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝐴)2 + (𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑠𝑒𝑐𝐴)2 = 7 + 𝑡𝑎𝑛2𝐴 +𝑐𝑜𝑡2𝐴.

Sol: LHS. = (𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝐴)2 + (𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑠𝑒𝑐𝐴)2

=𝑠𝑖𝑛2𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝐴2+2.sinA.cosecA+𝑐𝑜𝑠2𝐴 + 𝑠𝑒𝑐𝐴2-2.cosA.secA ∴[(a+b)2=a2+b2+2ab]

= 𝑠𝑖𝑛2𝐴+𝑐𝑜𝑠2𝐴+𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝐴2+𝑠𝑒𝑐𝐴2+2+2

= 1+1+ 𝑐𝑜𝑡𝐴2+1 + 𝑡𝑎𝑛𝐴2+4

∴ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝐴2 =1+ 𝑐𝑜𝑡𝐴2

∴ 𝑠𝑒𝑐𝐴2 = 1 + 𝑡𝑎𝑛𝐴2

= 7+𝑡𝑎𝑛𝐴2 + 𝑐𝑜𝑡𝐴2. RHS.

(1-cos 𝜃)(1+cos 𝜃)(1+𝑐𝑜𝑡2𝜃) ۔ رصتخم ےئجیک 8

=(1-cos 𝜃)(1+cos 𝜃)(1+𝑐𝑜𝑡2𝜃)

=(12 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃)(1 + 𝑐𝑜𝑡2𝜃)

=𝑠𝑖𝑛2𝜃(1+𝑐𝑜𝑠 2𝜃

𝑠𝑖𝑛2𝜃)

=𝑠𝑖𝑛2𝜃(𝑠𝑖𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠 2𝜃

𝑠𝑖𝑛2𝜃) ∴ 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃=1

= 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃

=1.

۔ ارگ sec 𝜃 +tan 𝜃 =p 9 بت sec 𝜃 -tan 𝜃یک دقر ایک وہیگ۔

sec 𝜃 +tan 𝜃 =p

∴ sec 𝜃 -tan 𝜃 =1

sec 𝜃+tan𝜃

= sec 𝜃 -tan 𝜃 =1

p

cos 𝜃 =𝑘2−1

k2+1۔ ارگcosec 𝜃 +cot 𝜃 =k 10بت اثتب ےئجیک ہک

cosec 𝜃 +cot 𝜃 =k

∴ 𝑐𝑜sec 𝜃 -cot 𝜃 =1

cosec 𝜃+cot 𝜃

= cosec 𝜃 -cot 𝜃 =1

k

From and

cosec 𝜃 +cot 𝜃 =k

cosec 𝜃 -cot 𝜃 =1

k

2cosec 𝜃 = k+1

k

2cosec 𝜃 = 𝑘2+1

𝑘

cosec 𝜃 = 𝑘2+1

2𝑘

∴ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 =1- 𝑠𝑖𝑛2𝜃

cos 𝜃 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃

cos 𝜃 = 1 − 2k

k2+1

2

cos 𝜃 = (k2+1)2 −4k2

(k2+1)2 ∴[(a-b)2=(a+b)2-4ab]

cos 𝜃 = (k2−1)2

(k2+1)2

cos 𝜃 = (k2−1)2

(k2+1)2 RHS.

وجہک اثتب وہا۔

1

1

1

2

2

2

1

1

1