Upload
hoanghuong
View
224
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
SSC MATHEMATICS 2014-15 TRIGONOMETRY
1 Prepared By : Arif Baig Cell: 9703806542
11.Trigonometry EXERCISE - 11.1
رمس 15رمس،8 ابرتلبیت ےک وطل ACاورAB,BC علض ںیمABCاکی اقمئ ازلاوہی ثلثم-1
ولعمم ےئجیکیک دقر tanA اور sinA, cosA رمس بت 17اور
ثلثم ےک االضع ےک وطل دےئ ےئگ ںیہ:لح
AB=8رمس
BC=15رمس
AC=17رمس
A
B C
ی کہمہ اجےتن ہ
sinA=𝐵𝐶
𝐴𝐶=
15
17,
cosA=𝐴𝐵
𝐴𝐶=
8
17,
tanA=𝐵𝐶
𝐴𝐵=
15
8.
رمس اور QR=25رمس،QP7=ابرتلبیتاالضع ںیم PQR۔اکی اقمئ ازلاوہی ثلثم2
=PR24 بت وہرمسtanR-tanQ ولعمم ےئجیک
ی کہ ثلثم: لح ہ ںیم PQRدایایگ
PQ=7رمس
R QR=25رمس
RP=24رمس
P Q
ی کہ ہ مہ اجےتن
tanQ=𝑅𝑃
𝑃𝑄=
24
7
tanR= 𝑄𝑃
𝑃𝑅=
7
24
tanQ-tanR=24
7−
7
24
= 576−49
168=
527
168
ںیہ ، سج انب ات ذاوہی اقہمئرپ B وج راس ںیمABC۔ اکی اقمئ ازلاوہی ثلثم 3
ولعمم ےئجیکtanاورcosبتوہ ∠BAC = 𝜃 رمس اورb=25رمس،a=24 ںیم
ی کہ ثلثم: لح ہذاوہی اقہمئ ںیہ B ںیم ABCدایایگ
a=24رمس
A b=25رمس
𝜃 ∠BAC = 𝜃
B C
ا وغرث ےک ہلئسم یک رو ےس
ث
ی کہ ف ہ مہ اجےتن
∴ 𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 (25)2 = 𝐴𝐵2 + (24)2 625=576+𝐴𝐵2 625-576=𝐴𝐵2 49=𝐴𝐵2 72=𝐴𝐵2 7cm= AB.
ولعمم ےئجیک cosA اورsinAبتوہ cos A =
12
13۔ارگ4
ی کہ : لح ہ Cدای ایگ
cos A =
12
13
13
B 12 A
ی کہ ہ مہ اجےتن
ا وغرث ےک ہلئسم یک رو ےس
ث
ف
∴ 𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 (13)2 = (12)2 + 𝐵𝐶2 169=144+𝐵𝐶2 169-144=𝐵𝐶2 25=𝐵𝐶2 52 = 𝐵𝐶2 5cm=BC
ی کہ ہ مہ اجےتن
sinA=𝐵𝐶
𝐴𝐶=
5
13 , cosA=
𝐵𝐶
𝐴𝐵=
5
12
ولعمم ےئجیکcosAاورsinAبتوہ 3tanA=4 ۔ارگ5
. ی کہ: لح ہدای ایگ
3 tan A = 4
tanA=4
3
C
4
B 3 A
ا وغرث ےک ہلئسم یک رو ےس
ث
ی کہ ف ہ مہ اجےتن
∴ 𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2 𝐴𝐶2 = 32 + 42 𝐴𝐶2=9+16 𝐴𝐶2=25 𝐴𝐶2=52 AC=5cm
SSC MATHEMATICS 2014-15 TRIGONOMETRY
2 Prepared By : Arif Baig Cell: 9703806542
ی کہ ہ مہ اجےتن
sinA=𝐵𝐶
𝐴𝐶=
4
5 , cosA=
𝐴𝐵
𝐴𝐶=
3
5.
∠A = ∠X بت التبےئ ہک cos A = cos X ےک ںیہ ارطسح ∠A اور∠X دو احدہ ۔ارگ6
ذاوےئ
رفض رکوہک : لح 𝐴𝐵𝐶 , ∆𝑋𝑌𝑍∆ںیم
Z C
X Y B A
cosA=cosX ی کہ ہ دای ایگ
cosA=
𝐴𝐵
𝐴𝐶 , cosX=
𝑋𝑌
𝑋𝑍
𝐴𝐵
𝐴𝐶=
𝑋𝑌
𝑋𝑍 بت
ا وغرث ےک ہلئسم یک رو ےس
ث
ف
∴ 𝐴𝐶2 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2∴ اور 𝑋𝑍2 = 𝑋𝑌2 + 𝑌𝑍2
𝐴𝐶 = 𝐴𝐵2 + 𝐵𝐶2𝑋𝑍 اور = 𝑋𝑌2 + 𝑌𝑍2
𝐴𝐶
𝑋𝑍=
𝐴𝐵
𝑋𝑌=
𝐵𝐶
𝑌𝑍 اےئلس
∵ ∠𝐴 = ∠𝑋.
وسحمب ےئجیکبسح ذلی وکبت cot 𝜃 =
7
8ی کہ 7
ہ۔ دایایگ
(i)
(1+𝑠𝑖𝑛𝜃 )(1−𝑠𝑖𝑛𝜃 )
(1+𝑐𝑜𝑠𝜃 )(1−𝑐𝑜𝑠𝜃 )
(ii)
1+𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
C cot 𝜃 =
7
8ی کہ: لح ہدایایگ
B A
ا وغرث ےک ہلئسم یک رو ےس
ث
ف
∴ AC2 = AB2 + BC2
AC2 = 82 + 72
AC2=64+49
AC2=113
AC= 113.
sin𝜃=
𝐴𝐵
𝐵𝐶=
8
113 , cos𝜃=
𝐵𝐶
𝐴𝐶=
7
113ی کہ
ہ مہ اجےتن
(i)
(1+𝑠𝑖𝑛𝜃 )(1−𝑠𝑖𝑛𝜃 )
(1+𝑐𝑜𝑠𝜃 )(1−𝑐𝑜𝑠𝜃 )
=
(1)2−sin 2𝜃)
(1)2−cos 2𝜃)
=
(1−sin 2θ)
(1−cos 2θ)
=
1−(8
113)2
1−(7
113)2
=
1−64
113
1−49
113
=113−64
113113−49
113
=49
11364
113
=49
64.
(ای)
(i)
(1+𝑠𝑖𝑛𝜃 )(1−𝑠𝑖𝑛𝜃 )
(1+𝑐𝑜𝑠𝜃 )(1−𝑐𝑜𝑠𝜃 )
=
(1)2−sin 2𝜃)
(1)2−cos 2𝜃)
=
(1−sin 2𝜃)
(1−cos 2𝜃) ∴ cos2𝜃=1 − sin2𝜃
∴ sin2𝜃=1 − cos2𝜃
=
cos 2𝜃
sin 2𝜃
=cot2𝜃
=(7
8)2
=
49
64.
(ii)
1+𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
=
1+8
1137
113
=
113 +8
1137
113
=
113+8
113. 113
7 =
113+8
7.
ارگ انبات ےہ ذاوہی اقہمئ رپ Bوج راس ںیم ABC۔ اکی اقمئ ازلاوہی ثلثم 8
tan A = 3بت ذلی یک دقرںی ولعمم ےئجیک
(i) sin A cos C + cos A sin C (ii) cos A cos C - sin A sin C
A tan 𝜃 = 3 ی کہ: لح ہدایایگ
B C
ا وغرث ےک ہلئسم یک رو ےس
ث
ف
∴ 𝑨𝑪𝟐 = 𝑨𝑩𝟐 + 𝑩𝑪𝟐
𝑨𝑪𝟐 = ( 3)𝟐
+ (𝟏)𝟐
𝑨𝑪𝟐=3+1
𝐴𝐶2=4
AC= 4=2.
sin𝐴=
𝐵𝐶
𝐴𝐶=
1
2 , sin𝐶=
𝐴𝐵
𝐴𝐶=
3
2ی کہ ہ مہ اجےتن
cos𝐴=
𝐴𝐵
𝐴𝐶=
3
2 , cos𝐶=
𝐵𝐶
𝐴𝐶=
1
2
(i) sin A cos C + cos A sin C
=(1
2) (
1
2)+ (
3
2) (
3
2)
=
1
4+
3
4
SSC MATHEMATICS 2014-15 TRIGONOMETRY
3 Prepared By : Arif Baig Cell: 9703806542
=
1+3
4
=
4
4 =1.
(ii) cos A cos C - sin A sin C
=( 3
2) (
1
2)- (
1
2) (
3
2)
=
3
4−
3
4
=0
(ای)
ی کہ ہ دایایگ
B=900, tan A = 3
tanA=600
A=600
ی کہ ہ مہ اجےتن
ںیمABCثلثم
A+B+C=1800
600+900
+C=1800
1500+C=1800
C=1800 − 1500=300
(i) sin A cos C + cos A sin C
=sin600cos300
+cos600sin300
=
3
2. 3
2+
1
2.
1
2
=
3
4+
1
4 =
3+1
4 =
4
4 =1.
(ii) cos A cos C - sin A sin C
=cos600cos300
-sin600sin300
=
1
2. 3
2-
3
2.
1
2
=
3
4−
3
4 =0
Exercise: 11.2
۔ بسح ذلی وک وسحمب ےئجیک1
(i) sin450+cos450
ی کہ: لح ہدای ایگ
= sin450+cos450
=
1
2+
1
2
=
1+1
2
=
2
2
=
2. 2
2
= 2.
(ii)
𝑐𝑜𝑠 450
𝑠𝑒𝑐300+𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 600
ی کہ: لح ہدای ایگ
=
𝑐𝑜𝑠 450
𝑠𝑒𝑐300+𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐 600
=
1
22
3+
2
3
=
1
22+2
3
=
1
24
3
=
1
2×
3
4 =
3
4 2
(iii)
𝑠𝑖𝑛300+𝑡𝑎𝑛 450−𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐600
𝑐𝑜𝑡 450+𝑐𝑜𝑠600−𝑠𝑒𝑐300
ی کہ: لح ہدای ایگ
=
𝑠𝑖𝑛300+𝑡𝑎𝑛 450−𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐600
𝑐𝑜𝑡 450+𝑐𝑜𝑠600−𝑠𝑒𝑐300
=
1
2+
1
1−
2
31
1+
1
2−
2
1
=
1
1 =1.
(iv) 2 𝑡𝑎𝑛2450+𝑐𝑜𝑠2300 − 𝑠𝑖𝑛2600
ی کہ: لح ہدای ایگ
=2 𝑡𝑎𝑛2450+𝑐𝑜𝑠2300 − 𝑠𝑖𝑛2600
=2. (1)2+(
3
2)2 −(
3
2)2
=2.(1) =2.
(v)
𝑠𝑒𝑐 2600−𝑡𝑎𝑛 2600
𝑠𝑖𝑛2300+𝑐𝑜𝑠 2300
ی کہ: لح ہدای ایگ
=
𝑠𝑒𝑐 2600−𝑡𝑎𝑛 2600
𝑠𝑖𝑛2300+𝑐𝑜𝑠 2300
=
(2)2−( 3)2
(1
2)2+(
3
2)2
=
4−31
4+
3
4
=
11+3
4
=
14
4
=
1
1 =1.
SSC MATHEMATICS 2014-15 TRIGONOMETRY
4 Prepared By : Arif Baig Cell: 9703806542
۔حیحص وجاب اک ااختنب ےئجیک اورایکس دصتقی ےئجیک2
(i)
2𝑡𝑎𝑛 300
1+𝑡𝑎𝑛 2450
(a) sin600 (b)cos600
(c) tan300 (d) sin300
ی کہ: لح ہدای ایگ
=
2𝑡𝑎𝑛 300
1+𝑡𝑎𝑛 2450
=
2.1
3
1+(1)2
=
2
3
1+1 =
2
3
2 =
2
3.
1
2 =
1
3 = tan300
(ii)
1−𝑡𝑎𝑛 2450
1+𝑡𝑎𝑛2450
(a) tan900 (b)1 (c) sin450
(d) 0
ی کہ: لح ہدای ایگ
=
1−𝑡𝑎𝑛 2450
1+𝑡𝑎𝑛 2450
=
1−(1)2
1+(1)2 =
1−1
1+1 =
0
2 =0.
(iii)
2𝑡𝑎𝑛 300
1−𝑡𝑎𝑛 2300
(a) cos600 (b)sin600
(c) tan600 (d) sin300
ی کہ: لح ہدای ایگ
=
2𝑡𝑎𝑛 300
1−𝑡𝑎𝑛 2300
=
2.1
3
1−(1
3)2
=
2
3
1−1
3
=
2
33−1
3
=
2
32
3
=
2
3.
3
2 =
3
3 =
3. 3
3 = 3 = tan600
sin600.cos 300
+sin300.cos600
۔وسحمب ےئجیک3
sin(600 یک دقرایک ےہ آپ ایک ہجیتن اذخ رکےت ںیہ + 300)
ی کہ: لح ہدای ایگ
= sin600.cos300
+sin300.cos600
=
3
2. 3
2+
1
2.
1
2
=
3
4+
1
4 =
3+1
4 =
4
4 =1.
=sin(600 + 300)
= sin900
=1.
∴sin600.cos300
+sin300.cos60
0
= sin(60
0 + 30
0
)
مہ ہجیتن اذخ رکےت ںیہ ہک
∴ sinA.cosB+sinA.cosB= sin(A+B)
(60
0 + 30
0)= cos60
0
.cos30
0
+sin60
0
.sin30
0
۔ ایک ہی انہک حیحص ےہ ہک 4
60)اصدق ےہ۔
0 + 30
0)= cos60
0
.cos30
0
+sin60
0
.sin30
0
۔ایک ہی ایبن4
ی کہ: لح ہدای ایگ
cos(60
0 + 30
0)= cos60
0
.cos30
0
+sin60
0
.sin30
0
cos90
0
=
1
2
. 3
2
− 3
2
.1
2
0=
3
4
− 3
4
0=0
اہں ہی ایبن حیحص ےہ
(60
0 + 30
0)= cos60
0
.cos30
0
+sin60
0
.sin30
0
.
𝑃∠ علض QR اورPRاک وطل ولعمم ےئجیک = 600،ٓPQ=6cm ۔ اکی اقمئ ازلاوہی 8
انبات ےہ اورذاوہی اقہمئ رپ Qوج راس ںیم PQRثلثم
ی کہ: لح ہدای ایگ
PQ=6cm اور ∠𝑅𝑃𝑄 = 600
ی کہ 𝑃𝑄𝑅∆ںیم مہ اجےتن ہ
tan600 =𝑄𝑅
𝑃𝑄
3 =𝑄𝑅
6
6 3=QR.
sin600 =𝑄𝑅
𝑃𝑅
3
2=
6 3
𝑃𝑅
SSC MATHEMATICS 2014-15 TRIGONOMETRY
5 Prepared By : Arif Baig Cell: 9703806542
PR=12cm.
XYZ∆ ںیم وج راس Y بتx2=ZX اورx=XY،انبات ےہ رپ ذاوہی اقہمئ ۔ثلثم 6
𝑌𝑋𝑍∠اور 𝑌𝑍𝑋∠ولعمم ےئجیک
ی کہ: لح ہدای ایگ
Z
2x
Y x X
ا وغرث ےک ہلئسم یک رو ےس
ث
ف
∴ 𝑍𝑋2 = 𝑍𝑌2 + 𝑌𝑋2
(2𝑥)2 = 𝑍𝑌2 + (𝑥)2
𝑍𝑌2=4x
2
-x
2
𝑍𝑌2=3x
2
ZY= 3x2.= 3x
ثلثم XYZ∆ںیم
∴tanX=
𝑍𝑌
𝑌𝑋=
3x
𝑥= 3=tan60
0
∠𝑌𝑋𝑍=60
0
∴tanZ=
𝑋𝑌
𝑌𝑍=
x
3𝑥=
1
3=tan30
0
∠𝑌𝑍𝑋=30
0
7۔ایک ہی انہک حیحص ےہ ہک sin(A+B)=sinA+sinBاےنپ ہجیتن یک اجچن ےئجیک
7۔ایک ہی ایبن sin(A+B)=sinA+sinBاصدق ےہ؟اےنپ ہجیتن یک دصتقی ےئجیک
ی کہ: لح ہدای ایگ
sin(A+B)=sinA+sinB
Let A=300 , B=600
=Sin(300 + 600) = 𝑠𝑖𝑛300 + 𝑠𝑖𝑛600
sin900=1
2+
3
2
1= 1+ 3
2
1≠1+ 3
2
ہی حیحص ںیہن ےہ
Exercise: 11.3
۔وسحمب ےئجیک 1
(i) 𝑡𝑎𝑛 360
𝑐𝑜𝑡540
ی کہ: لح ہدای ایگ
=𝑡𝑎𝑛 360
𝑐𝑜𝑡540
∴ cotA=tan(900 −A)
∵ cot360=tan(900 − 540)=tan360
= 𝑡𝑎𝑛 360
𝑐𝑜𝑡360
=1.
(ii) cos120 − 𝑠𝑖𝑛780
ی کہ: لح ہدای ایگ
= cos120 − 𝑠𝑖𝑛780
∴ cosA=sin(900 −A)
∵ cos120=sin(900 − 120)=sin780
= sin780 − 𝑠𝑖𝑛780
=1.
(iii) cos𝑒𝑐310 − 𝑠𝑒𝑐590
ی کہ: لح ہدای ایگ
= cos𝑒𝑐310 − 𝑠𝑒𝑐590
∴ cosecA=sec(900 −A)
∵ cos𝑒𝑐310=sec(900 − 310)=sec590
= s𝑒𝑐590 − 𝑠𝑒𝑐590
=1.
(iv) sin150 . 𝑠𝑒𝑐750
ی کہ: لح ہدای ایگ
= sin150 . 𝑠𝑒𝑐750
= 𝑠𝑖𝑛150
𝑐𝑜𝑠750
∴ cosA=sin(900 −A)
∵ cos750=sin(900 − 750)=sin150
= 𝑠𝑖𝑛150
𝑠𝑖𝑛150 =1.
(v) tan260 . tan640
ی کہ: لح ہدای ایگ
= tan260 . tan640
∴ tanA=cot(900 −A)
∴ cotA=tan(900 −A)
∵ cot360=tan(900 − 540)=tan360
SSC MATHEMATICS 2014-15 TRIGONOMETRY
6 Prepared By : Arif Baig Cell: 9703806542
∵ tan640=cot(900 − 640)=cot260
= tan260 . cot260
= tan260 .1
tan 260 =1.
۔ التبےئ ہک2
(i) Show that tan480 . tan160 . tan420 . tan740=1
(ii) 480 . tan160 . tan420 . tan740=1
ی کہ: لح ہدای ایگ
LHS. = tan480 . tan160 . tan420 . tan740
∴ tanA=cot(900 −A)
∵ tan420=cot(900 − 420)=cot480
∵ tan740=cot(900 − 740)=cot160
= tan480 . tan160 . cot480 . cot160
= tan480 . tan160 . 1
tan 480 .1
tan 160
=1. RHS
(ii) cos360 .cos540-sin360 .sin540=0
ی کہ: لح ہدای ایگ
LHS
= cos360 .cos540 −sin360 .sin540
∴ cosA=sin(900 −A)
∵ cos360=sin(900 − 360)=sin540
∵ cos540=sin(900 − 540)=sin360
= sin540 .sin360 − sin360 . sin540
=1. RHS
یک A اکی احدہ ذاوہی ےہ A 2اہجں رپ tan2A=cot(𝐴 − 180) ۔ ارگ3
دقر ولعمم ےئجیک
ی کہ: لح ہدای ایگ
=tan2A=cot(𝐴 − 180)
∴ tanA=cot(900 −A)
∵tan2A=cot(900 − 2A)
cot(900 − 2A)= cot(𝐴 − 180)
900 − 2A= 𝐴 − 180
900+180=A+2A
1080=3A
360=A.
A+B=900 احدہ ذاوےیئ ںیہ اثتب ےئجیک ہک B اورAاہجں رپAnat=Btoc۔ارگ 4
ی کہ: لح ہدای ایگ
tanA = cotB
∴ cotA=tan(900 −A)
∵ cotB=tan(900 − 𝐵)
tanA= tan(900 − 𝐵)
A=900 − 𝐵
A+B=900 .
CBA۔ اکی اقہمئ ذاوہی ثلثم ںیم 5
ے
ںیہ بت التبےئ ہک Cاور B,A سج ےک دایلخ ذاوی
tan(𝐴+𝐵
2) = 𝑐𝑜𝑡
𝐶
2
ABC ی کہ ثلثم : لح ہمہ اجےتن
A+B+C= 1800 ( ( ےس میسقت رکےن رپ 2اسموات وک
𝐴+𝐵+𝐶
2=
1800
2
𝐴+𝐵
2+
𝐶
2=900
𝐴 + 𝐵
2= 900 −
𝐶
2
LHS. =tan(𝐴+𝐵
2)
∴ tanA=cot(900 −A)=cotA
=tan(900 −𝐶
2)
= 𝑐𝑜𝑡𝐶
2 RHS.
450ےک درایمن یک یثلثم وتبسنں ںیم 00 اور sin750وکذاہی +cos650 ۔6
اظرہ ےئجیک
ی کہ: لح ہدای ایگ
= sin750 +cos650
∴ sinA=cos(900 −A)
∵ cos750=sin(900 − 750)=sin150
∴ cosA=sin(900 −A)
SSC MATHEMATICS 2014-15 TRIGONOMETRY
7 Prepared By : Arif Baig Cell: 9703806542
∵ cos650=sin(900 − 650)=sin250
= cos150 +sin250 .
Exercise: 11.4
۔بسح ذلی وک وسحمب ےئجیک 1
(i) (1+tan 𝜃 +sec 𝜃)(1+cot 𝜃 -cosec 𝜃)
= (1+tan 𝜃+sec 𝜃)(1+cot 𝜃 -cosec 𝜃)
=(1+𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃+
1
𝑐𝑜𝑠𝜃 )(1+
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃−
1
𝑠𝑖𝑛𝜃 )
= 𝑐𝑜𝑠𝜃+𝑠𝑖𝑛𝜃+1
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃+𝑐𝑜𝑠𝜃−1
𝑠𝑖𝑛𝜃
= (𝑐𝑜𝑠𝜃+sin θ)2− (1)2
𝑐𝑜𝑠𝜃 .𝑠𝑖𝑛𝜃 ∴[(a+b)(a-b)=(a+b)2]
= 𝑐𝑜𝑠 2𝜃+𝑠𝑖𝑛2𝜃+2𝑐𝑜𝑠𝜃 .𝑠𝑖𝑛𝜃−1
𝑐𝑜𝑠𝜃 .𝑠𝑖𝑛𝜃 ∴ 𝑠𝑖𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠2𝜃=1
= ∤+2𝑐𝑜𝑠𝜃 .𝑠𝑖𝑛𝜃−∤
𝑐𝑜𝑠𝜃 .𝑠𝑖𝑛𝜃
=2𝑐𝑜𝑠𝜃 .𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃 .𝑠𝑖𝑛𝜃
=2.
(𝑖𝑖) (𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 + (𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)2
SOL: =(𝑠𝑖𝑛𝜃 + 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 + (𝑠𝑖𝑛𝜃 − 𝑐𝑜𝑠𝜃)2 ∴[(a+b)2=a2+b2+2ab]
=𝑠𝑖𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠2𝜃+2sin 𝜃.cos 𝜃 +𝑠𝑖𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠2 𝜃 -2sin 𝜃.cos 𝜃
=1+1
=2.
(iii) ( 𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 1)( 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜃-1)
Sol: ( 𝑠𝑒𝑐2𝜃 − 1)( 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2𝜃-1)
∴ 𝑡𝑎𝑛2= 𝑠𝑒𝑐2-1 ∴ 𝑐𝑜𝑡2=𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐2-1
=𝑡𝑎𝑛2𝜃. 𝑐𝑜𝑡2 𝜃
=𝑡𝑎𝑛2. 1
𝑡𝑎𝑛 2 =1.
( 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝜃 − cot𝜃)2= 1−𝑐𝑜𝑠𝜃
1+𝑐𝑜𝑠𝜃۔ التبےئ ہک 2
LHS.
=( 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝜃 − cot𝜃)2
= 1
𝑠𝑖𝑛𝜃−
𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃
2
= 1−𝑐𝑜𝑠𝜃
𝑠𝑖𝑛𝜃
2
= (1−𝑐𝑜𝑠𝜃)2
𝑠𝑖𝑛2 𝜃
= (1−𝑐𝑜𝑠𝜃)2
12−𝑐𝑜𝑠 2𝜃 ∴[a2-b2=(a+b)(a-b)]
= (1−cos 𝜃)(1−cos 𝜃)
(1−cos 𝜃)(1+cos 𝜃)
= (1−cos 𝜃)
(1+cos 𝜃). RHS
1+𝑠𝑖𝑛𝐴
1−𝑠𝑖𝑛𝐴 =secA+tanA ۔ التبےئ ہک 3
LHS. 1+𝑠𝑖𝑛𝐴
1−𝑠𝑖𝑛𝐴
(sinA+1) ےس رضب اور میسقت رکےن رپ
= 1+𝑠𝑖𝑛𝐴
1−𝑠𝑖𝑛𝐴×
1+𝑠𝑖𝑛𝐴
1+𝑠𝑖𝑛𝐴
= (1+𝑠𝑖𝑛𝐴 )2
12−𝑠𝑖𝑛𝐴2
= (1+𝑠𝑖𝑛𝐴 )2
𝑐𝑜𝑠𝐴2
=1+𝑠𝑖𝑛𝐴
𝑐𝑜𝑠𝐴
=1
𝑐𝑜𝑠𝐴+
𝑠𝑖𝑛𝐴
𝑐𝑜𝑠𝐴 ∴ 𝑠𝑒𝑐𝐴 =
1
𝑐𝑜𝑠𝐴 ∴tanA=
𝑠𝑖𝑛𝐴
𝑐𝑜𝑠𝐴
=secA+tanA. RHS
1−𝑡𝑎𝑛 2𝐴
𝑐𝑜𝑡 2𝐴−1= 𝑡𝑎𝑛2𝐴. ۔ التبےئ ہک 4
LHS. = 1−𝑡𝑎𝑛 2𝐴
𝑐𝑜𝑡 2𝐴−1
=1−𝑡𝑎𝑛 2𝐴
1
𝑡𝑎𝑛 2𝐴−
1
1
=1−𝑡𝑎𝑛 2𝐴
1
1−𝑡𝑎𝑛 2𝐴
𝑡𝑎𝑛 2𝐴
= 1−𝑡𝑎𝑛 2𝐴
1×
𝑡𝑎𝑛 2𝐴
1−𝑡𝑎𝑛 2𝐴
= 𝑡𝑎𝑛2𝐴. RHS.
1
𝑐𝑜𝑠𝜃− 𝑐𝑜𝑠𝜃= tan 𝜃.sin 𝜃 ۔ التبےئ ہک 5
Sol: LHS. = 1
𝑐𝑜𝑠𝜃− 𝑐𝑜𝑠𝜃
= 1−𝑐𝑜𝑠 2𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃 ∴ 𝑠𝑖𝑛2𝜃 = 1 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃
= 𝑠𝑖𝑛2𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃
= 𝑠𝑖𝑛𝜃
𝑐𝑜𝑠𝜃 .sin 𝜃
SSC MATHEMATICS 2014-15 TRIGONOMETRY
8 Prepared By : Arif Baig Cell: 9703806542
= tan 𝜃.sin 𝜃 RHS.
secA(1-sinA)(secA+tanA). ۔ رصتخم ےئجیک 6
=secA(1-sinA)(secA+tanA)
= (secA-secA.sinA)(secA+tanA)
= (secA-𝑠𝑖𝑛𝐴
𝑐𝑜𝑠𝐴)(secA+tanA)
= (secA-tanA)(secA+tanA) ∴[a2-b2=(a+b)(a-b)]
= 𝑠𝑒𝑐2𝐴 − 𝑡𝑎𝑛2𝐴
∴ 𝑠𝑒𝑐2𝐴 − 𝑡𝑎𝑛2𝐴 =1
= 1.
۔ اثتب ےئجیک ہک7
(𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝐴)2 + (𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑠𝑒𝑐𝐴)2 = 7 + 𝑡𝑎𝑛2𝐴 +𝑐𝑜𝑡2𝐴.
Sol: LHS. = (𝑠𝑖𝑛𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝐴)2 + (𝑐𝑜𝑠𝐴 + 𝑠𝑒𝑐𝐴)2
=𝑠𝑖𝑛2𝐴 + 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝐴2+2.sinA.cosecA+𝑐𝑜𝑠2𝐴 + 𝑠𝑒𝑐𝐴2-2.cosA.secA ∴[(a+b)2=a2+b2+2ab]
= 𝑠𝑖𝑛2𝐴+𝑐𝑜𝑠2𝐴+𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝐴2+𝑠𝑒𝑐𝐴2+2+2
= 1+1+ 𝑐𝑜𝑡𝐴2+1 + 𝑡𝑎𝑛𝐴2+4
∴ 𝑐𝑜𝑠𝑒𝑐𝐴2 =1+ 𝑐𝑜𝑡𝐴2
∴ 𝑠𝑒𝑐𝐴2 = 1 + 𝑡𝑎𝑛𝐴2
= 7+𝑡𝑎𝑛𝐴2 + 𝑐𝑜𝑡𝐴2. RHS.
(1-cos 𝜃)(1+cos 𝜃)(1+𝑐𝑜𝑡2𝜃) ۔ رصتخم ےئجیک 8
=(1-cos 𝜃)(1+cos 𝜃)(1+𝑐𝑜𝑡2𝜃)
=(12 − 𝑐𝑜𝑠2𝜃)(1 + 𝑐𝑜𝑡2𝜃)
=𝑠𝑖𝑛2𝜃(1+𝑐𝑜𝑠 2𝜃
𝑠𝑖𝑛2𝜃)
=𝑠𝑖𝑛2𝜃(𝑠𝑖𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠 2𝜃
𝑠𝑖𝑛2𝜃) ∴ 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃=1
= 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝑐𝑜𝑠2𝜃
=1.
۔ ارگ sec 𝜃 +tan 𝜃 =p 9 بت sec 𝜃 -tan 𝜃یک دقر ایک وہیگ۔
sec 𝜃 +tan 𝜃 =p
∴ sec 𝜃 -tan 𝜃 =1
sec 𝜃+tan𝜃
= sec 𝜃 -tan 𝜃 =1
p
cos 𝜃 =𝑘2−1
k2+1۔ ارگcosec 𝜃 +cot 𝜃 =k 10بت اثتب ےئجیک ہک
cosec 𝜃 +cot 𝜃 =k
∴ 𝑐𝑜sec 𝜃 -cot 𝜃 =1
cosec 𝜃+cot 𝜃
= cosec 𝜃 -cot 𝜃 =1
k
From and
cosec 𝜃 +cot 𝜃 =k
cosec 𝜃 -cot 𝜃 =1
k
2cosec 𝜃 = k+1
k
2cosec 𝜃 = 𝑘2+1
𝑘
cosec 𝜃 = 𝑘2+1
2𝑘
∴ 𝑐𝑜𝑠2𝜃 =1- 𝑠𝑖𝑛2𝜃
cos 𝜃 = 1 − 𝑠𝑖𝑛2𝜃
cos 𝜃 = 1 − 2k
k2+1
2
cos 𝜃 = (k2+1)2 −4k2
(k2+1)2 ∴[(a-b)2=(a+b)2-4ab]
cos 𝜃 = (k2−1)2
(k2+1)2
cos 𝜃 = (k2−1)2
(k2+1)2 RHS.
وجہک اثتب وہا۔
1
1
1
2
2
2
1
1
1