§ 1.2 Εξι 1ώ 0ις 1 ου Βαθμού · PDF fileΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ: Σ 2αυρούλα Μπακάλη § 1.2 Εξι 1ώ 0ις

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ: Σταυρούλα Μπακάλη

§ 1.2 Εξισώσεις 1ου

Βαθμού

Διδακτικοί Στόχοι:

Θα μάθουμε:

Να κατανοούμε την έννοια της εξίσωσης και τη σχετική ορολογία.

Να επιλύουμε εξισώσεις πρώτου βαθμού με έναν άγνωστο.

Να διακρίνουμε πότε μια εξίσωση είναι αδύνατη και πότε ταυτότητα.

Χρήσιμες Ιδιότητες των Πράξεων

Αν και στα δύο μέλη μιας ισότητας προσθέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε προκύπτει

πάλι μια ισότητα.

Αν α = β , τότε α+ γ = β + γ .

Αν και από τα δύο μέλη μιας ισότητας αφαιρέσουμε τον ίδιο αριθμό, τότε

προκύπτει πάλι μια ισότητα.

Αν α = β , τότε α - γ = β - γ .

Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας πολλαπλασιαστούν με τον ίδιο αριθμό, τότε

προκύπτει πάλι μια ισότητα.

Αν α = β , τότε αγ = βγ .

Αν και τα δύο μέλη μιας ισότητας διαιρεθούν με τον ίδιο μη μηδενικό αριθμό,

τότε προκύπτει πάλι μια ισότητα.

Αν α = β , τότε α β

=γ γ

με γ≠0 .


Η Έννοια της Εξίσωσης

Εξίσωση ονομάζεται κάθε ισότητα που περιέχει αριθμούς και μία μεταβλητή. Η

μεταβλητή λέγεται άγνωστος της εξίσωσης και συμβολίζεται συνήθως με το

γράμμα .

π.χ. 12 + x = 19, 2x - 3 = - 4x + 9, 8 y - 2 + 3 = 5y -7

Η παράσταση πριν το “=” ονομάζεται πρώτο μέλος της εξίσωσης, ενώ η

παράσταση μετά το “=” δεύτερο μέλος της εξίσωσης.

π.χ. 6x - 6 = 2x + 18

1ο μέλος 2

ο μέλος

Οι όροι της εξίσωσης που περιέχουν το λέγονται άγνωστοι όροι, ενώ οι όροι

που δεν περιέχουν το λέγονται γνωστοί όροι.

π.χ. στην εξίσωση 6x - 6 = 2x + 18

άγνωστοι όροι: 6x, 2x

γνωστοί όροι: -6, 18

Λύση ή ρίζα της εξίσωσης ονομάζεται ο αριθμός που, όταν αντικαταστήσει τον

άγνωστο, επαληθεύει την ισότητα.

π.χ. η λύση της εξίσωσης 6x - 6 = 2x + 18 είναι ο αριθμός 6 γιατί αν τον βάλουμε

στη θέση του x προκύπτει ισότητα που αληθεύει.

6 6 - 6 = 2 6 + 18

36 - 6 = 12 + 18

30 = 30


Μεθοδολογία Επίλυσης Εξισώσεων 1ου

Βαθμού

ΒΗΜΑ 1

Απαλείφουμε τους παρονομαστές (αν υπάρχουν) πολλαπλασιάζοντας και τα

δύο μέλη της εξίσωσης με το ΕΚΠ των παρονομαστών.

ΒΗΜΑ 2

Κάνουμε τις πράξεις (επιμεριστική ιδιότητα).

ΒΗΜΑ 3

Απλοποιούμε τα κλάσματα.

ΒΗΜΑ 4

Κάνουμε τις πράξεις (επιμεριστική ιδιότητα).

ΒΗΜΑ 5

Χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους. Ο χωρισμός γίνεται ως εξής: Στο 1ο

μέλος της εξίσωσης μεταφέρουμε όλους τους άγνωστους όρους, ενώ στο 2ο

μέλος μεταφέρουμε όλους τους γνωστούς όρους. Όταν ένας όρος αλλάζει

μέλος αλλάζει και πρόσημο.

ΒΗΜΑ 6

Κάνουμε αναγωγή ομοίων όρων.

ΒΗΜΑ 7

Διαιρούμε και τα δύο μέλη με το συντελεστή του αγνώστου (αρκεί να είναι

διαφορετικός από το μηδέν).

ΒΗΜΑ 8

Απλοποιούμε τα κλάσματα.


Παρατηρήσεις

1. Αν μία εξίσωση δεν έχει κλάσματα, ξεκινάμε τη λύση από το βήμα 4.

2. Αν μία εξίσωση δεν έχει ούτε κλάσματα ούτε παρενθέσεις, ξεκινάμε τη λύση από το

βήμα 5.

3. Για να ελέγξουμε αν λύσαμε σωστά μια εξίσωση κάνουμε επαλήθευση. Βάζουμε

δηλαδή στη θέση του αγνώστου τον αριθμό που βρήκαμε ως λύση και εξετάζουμε αν

αληθεύει η ισότητα που προκύπτει.

4. Όταν μια εξίσωση είναι ισότητα δύο κλασμάτων, τότε μπορούμε να κάνουμε

απαλοιφή παρονομαστών πολλαπλασιάζοντας «χιαστί» τους όρους των κλασμάτων.

5. Αν λύνοντας μία εξίσωση καταλήξουμε στην μορφή:

, τότε η εξίσωση δεν έχει καμία λύση γιατί δεν υπάρχει αριθμός

που να πολλαπλασιάζεται με το 0 και να δίνει αποτέλεσμα ίσο με . Μια

τέτοια εξίσωση λέγεται ΑΔΥΝΑΤΗ.

, τότε η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις γιατί επαληθεύεται για κάθε τιμή του

. Μια τέτοια εξίσωση λέγεται ΑΟΡΙΣΤΗ ή ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ.

Παραδείγματα – Εφαρμογές

1. Να λυθούν οι εξισώσεις:

α) 2 5 11 3x x x β) 16 1 2 3 3 6x x x

Λύση:

α) 2 5 11 3x x x

2 3 11 5x x x ← ΧΧωωρρίίζζοουυμμεε γγννωωσσττοούύςς ααππόό ααγγννώώσσττοουυςς

4 16x ← ΑΑννααγγωωγγήή οομμοοίίωωνν όόρρωωνν

4 16

4 4

x

← ΔΔιιααιιρροούύμμεε μμεε ττοο σσυυννττεελλεεσσττήή ττοουυ ααγγννώώσσττοουυ

4x ← ΑΑππλλοοπποοιιοούύμμεε τταα κκλλάάσσμμαατταα


β) 16 1 2 3 3 6x x x

16 16 6 2 3 18x x x ← ΚΚάάννοουυμμεε ττιιςς ππρράάξξεειιςς ((εεππιιμμεερριισσττιικκήή ιιδδιιόόττηητταα))

16 2 3 18 16 6x x x ← ΧΧωωρρίίζζοουυμμεε γγννωωσσττοούύςς ααππόό ααγγννώώσσττοουυςς


21 28

21 21

x ← ΔΔιιααιιρροούύμμεε μμεε ττοο σσυυννττεελλεεσσττήή ττοουυ ααγγννώώσσττοουυ

28


4

3x


α) 2 1 2

3 4

x x β)

4 4 3 12

3 5 15

x x x

Λύση:

α) 2 1 2

3 4

x x

4 2 1 3 2x x ← ΠΠοολλ//ζζοουυμμεε χχιιαασσττίί ττοουυςς όόρροουυςς ττωωνν κκλλαασσμμάάττωωνν

8 4 3 6x x ← ΚΚάάννοουυμμεε ττιιςς ππρράάξξεειιςς ((εεππιιμμεερριισσττιικκήή ιιδδιιόόττηητταα))

8 3 6 4x x ← ΧΧωωρρίίζζοουυμμεε γγννωωσσττοούύςς ααππόό ααγγννώώσσττοουυςς


5 10

5 5

x ← ΔΔιιααιιρροούύμμεε μμεε ττοο σσυυννττεελλεεσσττήή ττοουυ ααγγννώώσσττοουυ



β) 4 4 3 1

15 15 23 5 15

x x x

← ΠΠοολλ//ζζοουυμμεε κκααιι τταα δδύύοο μμέέλληη μμεε ττοο ΕΕΚΚΠΠ((33,,55,,1155))==1155

4 4 3 1

15 15 15 2 153 5 15

x x x ← ΚΚάάννοουυμμεε ττιιςς ππρράάξξεειιςς ((εεππιιμμεερριισσττιικκήή ιιδδιιόόττηητταα))

5 4 3 4 15 2 3 1x x x ← ΑΑππλλοοπποοιιοούύμμεε τταα κκλλάάσσμμαατταα

5 20 3 12 30 3 1x x x ← ΚΚάάννοουυμμεε ττιιςς ππρράάξξεειιςς ((εεππιιμμεερριισσττιικκήή ιιδδιιόόττηητταα))

5 3 3 30 1 20 12x x x ← ΧΧωωρρίίζζοουυμμεε γγννωωσσττοούύςς ααππόό ααγγννώώσσττοουυςς

3 x ← ΑΑννααγγωωγγήή οομμοοίίωωνν όόρρωωνν

3

1 1

x

← ΔΔιιααιιρροούύμμεε μμεε ττοο σσυυννττεελλεεσσττήή ττοουυ ααγγννώώσσττοουυ



α) 5 1 7 4

2 6 3

x x x β)

3 5 1

4 6 12 2

x x x

Λύση:

α) 5 1 7 4

6 62 6 3

x x x

← ΠΠοολλ//ζζοουυμμεε κκααιι τταα δδύύοο μμέέλληη μμεε ττοο ΕΕΚΚΠΠ((22,,33,,66))==66

5 1 7 4

6 6 62 6 3


3 5 1 2 7 4x x x ← ΑΑππλλοοπποοιιοούύμμεε τταα κκλλάάσσμμαατταα

15 3 14 8x x x ← ΚΚάάννοουυμμεε ττιιςς ππρράάξξεειιςς ((εεππιιμμεερριισσττιικκήή ιιδδιιόόττηητταα))

15 14 8 3x x x ← ΧΧωωρρίίζζοουυμμεε γγννωωσσττοούύςς ααππόό ααγγννώώσσττοουυςς


ΑΔΥΝΑΤΗ (Η εξίσωση δεν έχει λύση γιατί δεν υπάρχει αριθμός που να

πολλαπλασιάζεται με το 0 και να δίνει αποτέλεσμα 5.)


β) 3 5 1

12 124 6 12 2

x x x

← ΠΠοολλ//ζζοουυμμεε κκααιι τταα δδύύοο μμέέλληη μμεε ττοο ΕΕΚΚΠΠ((22,,44,,66,,1122))==1122

3 5 1

12 12 12 124 6 12 2


3 2 3 5 6x x x ← ΑΑππλλοοπποοιιοούύμμεε τταα κκλλάάσσμμαατταα

3 2 6 5 6x x x ← ΚΚάάννοουυμμεε ττιιςς ππρράάξξεειιςς

3 2 5 6 6x x x ← ΧΧωωρρίίζζοουυμμεε γγννωωσσττοούύςς ααππόό ααγγννώώσσττοουυςς


ΤΑΥΤΟΤΗΤΑ (Η εξίσωση έχει άπειρες λύσεις γιατί κάθε αριθμός που

πολλαπλασιάζεται με το 0 δίνει αποτέλεσμα 0.)

4. Δίνεται η εξίσωση: 1 3x .

α) Για ποια τιμή του λ η εξίσωση είναι αδύνατη;

β) Να λυθεί η εξίσωση για 7 .

Λύση:

α) Για να είναι μια εξίσωση αδύνατη θα πρέπει να είναι της μορφής 0x , με

0 . Παρατηρούμε ότι το 2ο μέλος της εξίσωσης 1 3x είναι διάφορο του

μηδενός. Επομένως, για να είναι η παραπάνω εξίσωση αδύνατη, θα πρέπει ο

συντελεστής του x να είναι ίσος με το μηδέν. Δηλαδή θα πρέπει:

1 0

1

β) Για 7 η εξίσωση γίνεται:

7 1 3x

6 3x


6 3

6 6

x

3

6x

1

2x

5. Δίνεται η εξίσωση: 2 5a x .

α) Για ποιες τιμές των και η εξίσωση είναι ταυτότητα;

β) Να λυθεί η εξίσωση όταν 0 και 1 .

Λύση:

α) Για να είναι μια εξίσωση ταυτότητα θα πρέπει να είναι της μορφής 0 0x .

Επομένως, για να είναι ταυτότητα η εξίσωση 2 5a x θα πρέπει και ο

συντελεστής του x και το 2ο μέλος της εξίσωσης να είναι ίσα με το μηδέν. Δηλαδή θα

πρέπει:

2 0 και 5 0

2 και 5

β) Για 0 και 1 η εξίσωση γίνεται:

0 2 1 5x

2 6x

2 6

2 2

x

3x


Ασκήσεις:

1. Να λύσετε και να επαληθεύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:

α) 2 7 5 13x x

β) 2 1 3 4 1x x x

γ) 3 6 9 8x x x

δ) 3 2 7 3 6 4 14 6x x x x

2. Να λύσετε τις παρακάτω εξισώσεις:

α) 3 2 2 1 3 2 1x x x

β) 3 4 2 7 2 3 7 3y y

γ) 10 4 3 1 1 2 4 1

δ) 2 4 3 2 6 7z z z z

ε) 2 3 1 6 3 12x x

στ) 3 2 4 14 2 2 1 2y y y

ζ) 8 1 2 2 1 2 2 5x x x

η) 3 2 1 2 1 4 2y y y


α) 2 3

3 2

x x

β) 2 1 5

3 2

x x

γ) 2 4 6

2 5

x x


δ) 2 3 4 5

7 3

x x


α) 1 2

3 6 2

x x xx

β) 3 1 2 5 5 1

4 6 12

y y y

γ) 2 1 2

23 6

x x

δ) 3 1 1 2 31

10 4 3

x x x

ε) 8 6

16 4 3

στ) 2 3 3 1 3

12 4 4

y y y

ζ) 1 2 9 1

3 4 6

x x

η) 3 1 5 2 2 5

2 10 5 2

y y y

θ) 3 2 5 4

4 6 12

x x x

ι) 1 3

2 110 15

x xx x


α) 3 14 5

2 612 2

xxx

β) 2 1 5 2 2

3 2 6 3

x x xx x

γ) 1 1

2 5 22 3

y yy y


δ) 1 2 1

3 24 5 20

ε) 3 1 1

4 2 9 2 15 3 4

x x x

στ) 3 5 8 5

1 4 64 3 5 12

y y y

ζ) 2 1 4 3 3

3 1 6 9 83 2 9 6 2

x x x

η) 1 5 1

3 11 44 3 2 6 2 3

x x x

θ)

11 22

18 9 9 3 5

xx x

ι)

51

1 5 83 3 2

2 4 6 3 12

6. Για ποια τιμή του είναι ;

α) 2

3 13

x και 232

x

β) 2 3

A 15

x και

3 2

4

x

7. Δίνεται η εξίσωση: 2 1 1x x x

α) Αν 3 , να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει λύση τη 1x .

β) Να λύσετε την εξίσωση αν 1 .

8. Δίνεται η εξίσωση: 3 1 3 1 5x x

α) Αν 1 , να αποδείξετε ότι η εξίσωση έχει λύση τη 3x .

β) Αν η εξίσωση έχει λύση τη 0x , να αποδείξετε ότι 2 .


9. Δίνεται η εξίσωση: 1 3x

α) Για ποια τιμή του a η εξίσωση είναι αδύνατη;

β) Να λύσετε την εξίσωση για 4 .

γ) Να βρείτε την τιμή του , αν η εξίσωση έχει λύση τη 1

2x .

10. Δίνεται η εξίσωση: 4 0x

α) Για ποια τιμή του η εξίσωση είναι ταυτότητα;

β) Να λύσετε την εξίσωση για 2 .

11. Δίνεται η εξίσωση: 5 2 1x

α) Για ποιες τιμές των και η εξίσωση είναι ταυτότητα;

β) Αν 2 και 10 , να λύσετε την εξίσωση.

12. Δίνεται η εξίσωση: 4 6 8x x x

α) Για ποια τιμή του η εξίσωση είναι αδύνατη;

β) Να βρείτε την τιμή του , αν η εξίσωση έχει λύση τη 1x .

γ) Αν 5 , να λύσετε την εξίσωση.

13. Δίνεται το ορθογώνιο του παρακάτω σχήματος.

α) Να βρείτε τους αριθμούς , x y και (το παριστάνει μοίρες).

β) Να υπολογίσετε την περίμετρο του ορθογωνίου.

3y + 14

8 - x

4ω - 30

4 - 2y

2x - 1


14. Δίνεται το τρίγωνο του παρακάτω σχήματος.

α) Να βρείτε την τιμή του x , ώστε να είναι ισοσκελές με βάση τη ΒΓ. Ποια είναι

σε αυτή την περίπτωση η περίμετρος του τριγώνου;

β) Να βρείτε την τιμή του x , ώστε να είναι ισοσκελές με βάση την ΑΒ. Ποια

είναι σε αυτή την περίπτωση η περίμετρος του τριγώνου;

γ) Να αποδείξετε ότι δεν υπάρχει τιμή του x , ώστε να είναι ισοσκελές με βάση

την ΑΓ.

Α

3 4x 6x

Β 2 3x Γ

Documents

§ 1.2 Εξι 1ώ 0ις 1 ου Βαθμού · PDF fileΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β΄ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ: Σ 2αυρούλα Μπακάλη § 1.2 Εξι 1ώ 0ις