12 Elasticita e Plas

7/22/2019 12 Elasticita e Plas

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I MODELLI COSTITUTIVI GEOTECNICAA.A. 2012-2013

II problema della formulazione di una legge costitutiva in grado didescrivere adeguatamente il COMPORTAMENTO MECCANICO delleterre uno degli argomenti di maggior attualit della ricerca scientificageotecnica internazionale.

Abbiamo visto che il comportamento delle terre molto complesso:

non lineare, irreversibile, dipendente dal percorso di caricoseguito inprecedenza e quindi tanto dalla storia geologica quanto dallametodologia usata per realizzare unopera, oltre che da una serie diparametri quali: tempo, temperatura, velocit di carico, indice disaturazione.

Una legge matematica capace di riprodurre tutti gli aspetti del

comportamento del terreno sarebbe oltremodo complessa.

Si preferisce adottare MODELLI in grado di cogliere con affidabilitsolo quel particolare aspetto che di volta in volta si vuole analizzare.


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1) ELASTICO LINEARE

2) RIGIDO - PERFETTAMENTE PLASTICO

GEOTECNICAA.A. 2012-2013I MODELLI COSTITUTIVI

F

FE1E2

EF

!

#

!y

!

#

E


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3) ELASTICO-PERFETTAMENTE PLASTICO

4) ELASTICO PLASTICO INCRUDENTE


E F y

E

y

E1

E2

FE1E2


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Per lungo tempo si preferito distinguere 2 tipi di problemi, adottando ipi consoni MODELLI COSTITUTIVI:

1. PROBLEMI DI STABILIT, in cui si presume che unampia zona diterreno sia prossima al collasso; in questi casi si adottato unmodello costitutivo RIGIDO-PERFETTAMENTE PLASTICO.Si pensi al calcolo della capacit portante di una fondazione o alleverifiche di stabilit di un muro di sostegno.

2. PROBLEMI DI ELASTICIT, concernenti situazioni in cui si presumeche lo stato di sforzo sia lontano dalla rottura (normali condizioni diesercizio), per cui il terreno trattato semplicemente come unmateriale ELASTICO LINEARE.Si pensi al problema del calcolo dei cedimenti di una struttura sotto

carichi di esercizio.Si sono usati (e si usano tuttora nella pratica professionale) due modelli costitutividiversi per lo stesso terreno per esigenze differenti. Tuttavia, ovvio che questagrande semplicit ha un prezzo e pu portare a delle contraddizioni.


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GEOTECNICAA.A. 2012-2013TEORIA DELLELASTICITA

Requisito da soddisfare perch un materiale si possa definire elastico :la corrispondenza biunivoca tra

incrementi di TENSIONE e di DEFORMAZIONE.

I materiali ELASTICI sono CONSERVATIVI:il lavoro svolto dagli sforzi esterni per un incremento dideformazione viene immagazzinato e restituito alloscarico, cio tutte le deformazioni sono restituite selincremento di carico che le ha prodotte viene rimosso.

Il processo pu considerarsi totalmente REVERSIBILE.

COMPORTAMENTO ELASTICO


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GEOTECNICAA.A. 2012-2013ELASTICITA LINEARE

Rappresenta il pi antico e semplice approccioper modellare il legame sforzi-deformazioni dei terreni

sotto normali condizioni di carico.

Un MEZZO ELASTICOLINEAREISOTROPO tale che

le deformazioni prodotte da sollecitazioni esterne,ad esse direttamente proporzionali (LINEARIT),scompaiono una volta rimosse tali sollecitazioni (ELASTICIT)

e le sue propriet in un punto si manifestanougualmente in tutte le direzioni (ISOTROPIA).

Il suo comportamento caratterizzato da una LEGGECOSTITUTIVA:

indipendente dal tempo nota come legge di Hooke(dal nome diRobert Hookeche la introdusse nel 1676).

! =!(")


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Lo STATO TENSIONALE in un punto individuato da 6 componentiindipendenti di tensione, e perci sono richieste 6 componenti di

deformazione per definire la CONFIGURAZIONE DEFORMATA:

!{ }= D[ ] ! !{ }

nella quale [D] la MATRICE DI RIGIDEZZA ELASTICA,

composta da 36 coefficienti,definiti col nome di costanti elastiche se il mezzo omogeneo(componenti uguali in ogni punto del mezzo) o caratteristiche elastichese eterogeneo (componenti variabili da punto a punto) .

Spesso i materiali possiedono una certa simmetria strutturale che si

riflette anche nelle loro caratteristiche elastiche, in virt del fattoche tali caratteristiche variano secondo direzioni che coincidono conquelle di simmetria della struttura; in questi casi il numero dellecostanti elastiche indipendenti caratterizzanti il legame tensioni-deformazioni si riduce sensibilmente.


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materiale caratterizzato da tre piani di

simmetria mutuamente ortogonali tra loro;! le costanti elastiche indipendenti siriducono da 36 a 9

materiale caratterizzato da asse di

simmetria con piano ad esso ortogonaleisotropo (terreni soggetti a deformazionimonodomensionali: asse di simmetriaverticale, piano isotropo orizzontale);!le costanti indipendenti sono solo 5

! le costanti indipendenti si riducono a 2,sono dette Costanti di Lam e

MEZZO ORTOTROPO

MEZZO

TRASVERSALMENTEISOTROPO

MEZZO ISOTROPO


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Le tensioni normali producono deformazioni longitudinali nella stessa direzionedella tensione e nelle direzioni a essa ortogonali, ma non producono deformazioniangolari.Se si immagina che un lungo cilindro, con asse parallelo a uno degli assicoordinati (asse z), sia soggetto a una tensione normale applicata alle sueestremit, la deformazione longitudinale nella stessa direzione data da:

MEZZO ISOTROPO

!z

=

!z

E

nella quale E il modulo di elasticit normale, introdotto da Young nel 1807

Le deformazioni nelle due direzioni ortogonali a quella della tensione applicatasono legate alla deformazione longitudinale "z tramite il rapporto (o indice) diPoisson(1828) #:

!x=!! ""

z=!!

"z

E

!y = !! ""

z= !!

"z

E


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In definitiva, le componenti di deformazione longitudinale in presenza delle trecomponenti normali di tensione sono date dalle relazioni seguenti:

MEZZO ISOTROPO

!x =1

E! "x"#! "z +"y( )#$ %& !y =

1

E! "y"#! "x +"z( )#$ %& !z =

1

E! "z"#! "x +"y( )#$ %&

Nel caso in cui un cubetto di materiale venga invece assoggettato solo a tensionitangenziali, le corrispondenti deformazioni angolari sono legate a tali tensionitramite il modulo di elasticit tangenziale G:

!xy

=

"xy

G!yz

=

"yz

G!zx

=

"zx

G

Infine, lapplicazione di una pressione uniforme: p =1

3! !

1+!

2+!

3( )

comporta una variazione di volume individuatadalla deformazione cubica:

!v= !

1+!

2+!

3( )

K =p

!v

e il rapporto tra pe "v indicato con il nome dimodulo di deformazione cubica K:


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In definitiva, il legame costitutivo tensione-deformazione per un mezzo elasticolineare omogeneo e isotropo :

MEZZO ISOTROPO

!x

!y

!z

!xy

!xz

!yz

!

"

####

#####

$

%

&&&&

&&&&&

=1

E

'

1 (! (! 0 0 0

(! 1 (! 0 0 0

(! (! 1 0 0 0

0 0 0 2(1+!

) 0 00 0 0 0 2(1+!) 0

0 0 0 0 0 2(1+!)

!

"

#######

$

%

&&&&&&&

'

"x

!y

!z

!xy

!xz

!yz

!

"

####

#####

$

%

&&&&

&&&&&

Per un MODELLO ELASTICO LINEARE ISOTROPO,

le relazioni tra sforzi e deformazioni possono quindi essere espresse, connotazione tensoriale, tramite le due costanti elastiche Ee #:

!ij =(1+")

E#ij!

"

E#kk$ij

!ij=

E

(1+")#

ij+

"E

1+"( ) 1! 2"( )#kk$ij

!{ }= C[ ] ! !{ }


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MEZZO ISOTROPO Costanti indipendenti

=G =E

2(1+!)!=

" !E

(1+")(1"2")K=

1

3(3!+2)=

E

3(1!2")

E: modulo di elasticit normale: rapporto di Poisson

G: modulo di elasticit tangenzialeK: modulo di deformazione cubica

Le 2 costanti indipendenti di Lam sono e !:

determinabili tramite prove di laboratorio


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Prove triassiali

Si fa riferimento alle tensioni e deformazioni radiali e assiali:

!"a =!"

z

!"r =!"

x =!"

y

!"a =!"

z

!"r =!"

x =!"

y

!x

!y

!z

!

"

####

$

%

&&&&

=

1

E'

1 (

!

(!

(! 1 (!

(! (! 1

!

"

###

$

%

&&&'

"x

!y

!z

!

"

####

$

%

&&&& !x =

1

E! "x"#! "z +"y( )#$ %&

!z =

1

E! "

z"#

! "

x+"

y

( )#$

%&

!"a =

1

E

!"a! 2!"#

r( )

!"r =

1

E!!"#

a+ (1!!)"#

r[ ]

!"a

!"r

!"#

$%&=

1

E

1

'2#

'# 1'#

(

)*

+

,-!$ '

a

!$ 'r

!"#

$%&

La matrice Cperde la sua simmetria(analogamente la D)


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Anzich far riferimento alle componenti radiale e assiale, le relazionitra sforzi e deformazioni possono essere espresse considerandopressione mediap e sforzo deviatorico q e relative deformazionivolumetrica e distorsionale:

p ' =!'

a+ 2!'

r

3

q =!'a!!'

r

!"v =!"

a+2!"

r

!"s =

2

3(!"

a!!"

r) !"

s =

2(1+#)

3E!q =

1

3G!q

!"v

=

3(1!2#)

E!p ' =

1

K!p '

Prove triassiali

!q

!p!"#

$#%

'#=

3G 0

0 K()* +

,- !"

s

el

!"vel

!"#

$#%

'# c o s p o s s i b i l e c o n s i d e r a r eseparatamente effetti volumetrici edistorsionali:


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q p

elv

els

3G Kp0

Comportamento aTAGLIO

Comportamento a COMPRESSIONEe RIGONFIAMENTO

VVo

cos possibile considerare separatamente effetti volumetrici e distorsionali:

K =!" '

!#v

G =!"

!#

K =E

3(1! 2!)G =

E

2(1+!)

deformazioni tangenziali =variazioni di forma

deformazioni di compressione =variazioni di volume

!q!p

!"#$#

%'#= 3G 0

0 K()* +

,- !"s

el

!"vel

!

"#

$#

%

'#


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PROVE TRIASSIALI CD%#p/%#q=G/K%#q=%q/3G %q/%#a=E

%u/%#q=dp/d!q=dq/3d!q=G=Gu%#q=%q/3G %q/%#a=Eu

PROVE TRIASSIALI CU (%#p= 0)


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PROVE TRIASSIALI CD%#p/%#q=G/K

%u/%#q=dp/d!q=dq/3d!q=G=Gu%#q=%q/3G %q/%#a=Eu

PROVE TRIASSIALI CU (%#p= 0)

dividendom. a m.

!"p =!p '

K

!"q =

!q

3G

!"p

!"q

=

!p '

K!q

3G

=

!p '

K3!!p '

3G

=

G

K

!"p =!p '

K= 0! K"#! K =

E

3(1$2#)!# = 0.5

G =Gu!G =

E

2(1+!)=G

u=

Eu

2(1+0.5)! E

u= 3G


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GEOTECNICAA.A. 2012-2013TEORIA DELLA PLASTICITA

La descrizione del comportamento dei terreni, effettuata attraversolanalisi dei risultati diprove sperimentali, mette in evidenza che la

TEORIA DELLELASTICIT non sufficiente a descrivere in manieracompiuta il comportamento reale delle terre:essa, infatti, consente di descriverne il comportamento effettivosoltanto entro limiti ristretti, finalizzati a talune applicazioni etalvolta limitati a materiali specifici.

In particolare, tale teoria non prevede il destarsi di quelledeformazioni permanenti che si evidenziano con le diverse provesperimentali sui terreni condotte fino alla rottura.

La descrizione di tale tipo di comportamento viene invece effettuatacon sufficiente accuratezza dalla TEORIA DELLA PLASTICIT.

Laggettivo plastico deriva dal greco $!%&'()*+ che significa plasmare, pertanto essosi riferisce appunto a quei materiali, come gli acciai e i terreni, la cui forma pu esserecambiata attraverso lapplicazione di opportune forze, e la nuova forma assunta vienemantenuta dopo la rimozione delle forze suddette.


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GEOTECNICAA.A. 2012-2013

Diagramma tensione-deformazione ottenuto sottoponendo un provino dimateriale elasto-plastico ad una prova di compressione uniassiale

Incrementando il carico gradualmente, ilmateriale manifesta un comportamento ditipo elasticofino al punto A;fino a tale livello di sollecitazione ilprovino recupera la sua configurazioneiniziale quando il carico esterno vienerimosso.

Se la tensione supera il livello A eraggiunge, ad esempio, il punto B, quando ilcarico esterno viene rimosso ci sar unadeformazione residua che non pu essererecuperata.Nel tratto compreso fra A e B sisviluppano sia deformazioni elastiche chedeformazioni plastiche;

le prime vengono recuperate scaricando il provino, mentre le secondecostituiscono la deformazione residua permanente. La tensione corrispondente alpunto A, raggiunto il quale iniziano le deformazioni plastiche, definitaTENSIONE DI SNERVAMENTO ODI PLASTICIZZAZIONE.

elasticheplastiche

TEORIA DELLA PLASTICITA


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Diagramma tensione-deformazione ottenuto sottoponendo un provino dimateriale elasto-plastico ad una prova di compressione uniassiale

se a partire dal punto C il provino viener i c a r i c a to , e sso man i festa uncomportamento elast ico fino alraggiungimento del livello tensionale B,dopo di che si ha nuovamente uncomportamento elasto-plastico.La fase elastica dunque si sviluppa fintanto che la tensione si mantiene al disotto del valore massimo che hasollecitato il provino in precedenza.La curva di ricarico non coincide conquel la originaria di carico e ledeformazioni diventano dipendenti dallastoria tensionale precedente; i lmateriale conserva una memoria.

Quello qui esaminato presenta una tensione di plasticizzazione via via maggioreman mano che le deformazioni plastiche sviluppatesi aumentano. Questo aumentodel limite di plasticit con levolversi delle deformazioni plastiche noto comeINCRUDIMENTO.



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Nel caso pi generale,lo stato tensionale definito da pi di una componente di tensione.

Ne consegue che il concetto finora esaminato di TENSIONE DISNERVAMENTO deve essere sostituito dalla definizione di unaSUPERFICIE DISNERVAMENTO:

Luogo dei punti che separa nello spazio tensionale,il comportamento elastico da quello plastico

stabilire una soglia tensionaleraggiunta la qualenon si hanno solo deformazioni elastiche maanche deformazioni plastiche,ovvero una FUNZIONE DI SNERVAMENTO.

Primo passo perdefinire un MODELLOELASTO-PLASTICO:

perfettamente plastico la superficie di snervamento fissa

plastico con incrudimento(work-hardening)

la superficie di snervamento subiscecambiamenti (espansione e/o contrazione),traslazioni e/o rotazioni secondo losviluppo delle deformazioni plastiche.



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ELEMENTI PER UN MODELLO ELASTO-PLASTICO

1) Legge costitutiva elastica2) Funzione di snervamento: rappresenta il limite elasto-plastico nello

spazio &ij3) Legge di incrudimento: definisce lespansione della superficie di

snervamento in funzione della deformazione plastica (ovvero,stabilisce come lentit della deformazione plastica sia legata alcambiamento di dimensioni della superficie di snervamento)

3)

Legge di flusso: definisce la direzione delle deformazioni plastiche



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Assunzione di base della TEORIA DELLA PLASTICIT:

CARICO produce DEFORMAZIONIche sono

!"ij =

!"ij

e+!"ij

p


Lincremento di deformazione elastica , e definito tramite ilLEGAME COSTITUTIVO ELASTICO ISOTROPO. Poich,nellipotesi di isotropia, la direzione principale di tensione coincidecon la direzione principale di deformazione, il suddetto legame sufficiente per determinare non solo il modulo ma anche la direzionedel vettore , e.

Per definire invece completamente lincremento di deformazioneplastica , p necessario formulare, come detto inizialmente, uncriterio di snervamento, una legge di incrudimento e una legge diflusso, che permettano di individuarne rispettivamente lesistenza, ilmoduloe la direzione.

REVERSIBILIelastiche

IRREVERSIBILIplastiche


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1= a

r3=

RegioneElastica

Superficisuccessive disnervamento

Superficie di

rottura

r3=r

a1=

aF !'ij,W

p( ) = 0

F !'ij, h Wp( )!" #$= 0


HP1. Assumendo che laplasticizzazione dipenda solo dal

lavoro plastico totale compiuto:

Introdotto un parametro h,

funzione di Wp

(work-hardening)o di "p(strain-hardening), si ha:

HP2. Assumendo che la soglia diplasticizzazione vari in funzione

dellentit di deformazioneplastica sviluppatasi, si ha:

F !'ij,"

ij

p( ) = 0

la suddetta dipendenza dalla deformazioneplastica si traduce nel fatto che nel corsodella deformazione plastica tale superficiepu cambiare dimensione, forma e posizione

CRITERIO DI SNERVAMENTO


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Nel corso della deformazione plastica

la superficie di snervamento sie s p a n d e ( o c o n t r a e ) s e n z acambiamento di forma n di posizione

INCRUDIMENTO ISOTROPO

Si ha solo una traslazione rigida dellasuperficie

INCRUDIMENTO CINEMATICO

Nellipotesi che la condizione di plasticit sia indipendente dalla

deformazione plastica [F(&ij)=0], la superficie di plasticizzazionerimane, nel corso della deformazione plastica, di forma e dimensionicostanti e ferma nella posizione originaria, e il comportamento delmezzo definito PERFETTAMENTE PLASTICO:

Superficie di snervamento=Superficie di rottura


32

1

1

2 3


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Definite le CONDIZIONI DI SOLLECITAZIONE:

Carico !

Scarico!

CaricoNeutro! se il percorso di sollecitazione tangente alla

superficie di plasticizzazione

se il percorso di sollecitazione diretto versolesterno della superficie di plasticizzazionese il percorso di sollecitazione diretto versolinterno della superficie di plasticizzazione

dF > 0

def. plastiche

dF < 0def. elastiche

dF = 0superficie di

plasticizzazione

La necessit di avere una qualche forma di INCRUDIMENTO si giustificacon il fatto che la superficie di snervamento deve seguire levoluzionedella stato tensionale in modo che sia sempre verificata la:

CONDIZIONE DI CONSISTENZA

un punto rappresentativo dello stato tensionale pu trovarsi dentro o sulla superficie disnervamento. Se si ammettesse lesistenza di uno stato tensionale esterno alla superficie disnervamento, si dovrebbe ammettere anche lesistenza di deformazioni plastiche duranteuna fase di scarico tensionale, in contrasto con la definizione stessa di superficie disnervamento.

F !'ij,h!" #$%0,"F = 0



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GEOTECNICAA.A. 2012-2013CRITERIO DI SNERVAMENTO

Se F< 0!il materiale in campo elasticoSe F= 0!il materiale in campo plasticoSe F> 0!sono stati tensionali impossibili

dF > 0def. plastiche

dF < 0def. elastiche

dF = 0

superficie diplasticizzazione

F !'ij,h!" #$ %0,"F = 0

CONDIZIONE DI CONSISTENZA


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COMPORTAMENTO PERFETTAMENTE PLASTICO

Superficie di Snervamento =Superficie di Rottura

y

F !'ij( ) = 0

Mezzo isotropo

F I1,I2,I3( ) = 0

Metalli (deformazioni

plastiche indipendenti da p)F J2,J3( ) = 0

Invarianti ditensione

Invarianti deldeviatore di

tensione


noto lo stato tensionale agente, si conosce per ogni incremento di carico ladirezione della deformazione plastica(ortogonale alla superficie di rottura)

F =!'!!'y = 0



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x

x

x3

x2

x1

O1 O2 O3

x1pl

Y1

Y2Y3

plx1!"

INCRUDIMENTO

COMPORTAMENTO ELASTO-PLASTICO INCRUDENTE

Superficie di Snervamento


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RAMMOLLIMENTO

x

A

B

O1 O2

x

plx

x

xel

x

COMPORTAMENTO ELASTO-PLASTICO RAMMOLLENTE

Superficie di Snervamento >Superficie di Rottura


riduzione della

tensione di snervamentoa causa dideformazioni plastiche


Lo stato tenso-deformativo haraggiunto e oltrepassato un picco nellacurva tensioni-deformazioni ( lapresenza di un picco comune nelcomportamento meccanico dei terreni)

Carico a partire da O1, sviluppandodeformazioni elastiche fino allo

snervamento in AIl materiale subisce poi ulteriorideformazioni, diminuendo il suo valoretensionale fino al punto B.Da B scarico fino a raggiungere O2; poiricarico seguendo un percorso elastico.


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1. CRITERIO DI TRESCA (1869)

Poich in una prova uniassiale &y=!y/2e lordine delle tre tensioni principali

pu essere permutato (i,j= 1, 2, 3):

2. CRITERIO DI VON MISES (1913)

GEOTECNICAA.A. 2012-2013CRITERI DI ROTTURA

F = !max

! !y = 0 !max =1

2"

1!"

3( )

F = !i!!k! 2"y = 0

crit=c&max

assume come parametro la tensione tangenziale sul piano ottaedrico

F !!1

2+!

2

2+!

3

2"!

1!

2 "!

1!

3"!

2!

3"!y

2= 0

assume come parametro la massima tensione tangenziale

equazione di sei piani nello spazio delle tensioni principali1, 2, 3, che compongono dunque un prisma a baseesagonale

equazione di un c i l indrocircoscritto al prisma di Tresca


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SUPERFICIE DI TRESCA

SUPERFICIE DI VON MISES

CONFRONTO

Asse Idrostatico

Asse Idrostatico

Tresca

Von Mises

30



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3. CRITERIO MOHR-COULOMB (1773)

Con riferimento alle tensioni principali:

Poich il terreno non in grado di sopportare tensioni di trazione, si deve avere:

c'


la resistenza a taglio che si mobilita su un eventuale piano di scorrimento varia

linearmente con lo sforzo normale agente sul medesimo piano! = c '+" 'tg#'

F!!'1"!'3" !'1+!'3( )sen!'"2ccos!' = 0

piramide a base esagonale irregolare, il cui asse costituito dallasse idrostatico (1=2=3)

cio la piramide deve essere troncata dai tre piani forniti

dallequazione con il segno di uguaglianza (tension cut-off).

!'1! 0,!'

2 ! 0,!'

3! 0

NB lequazione pu essere vista come una generalizzazione del criterio di Tresca, perottenere il quale basta infatti porre - = 0. Inoltre, nellequazione di Tresca appaiono glisforzi totali e non quelli efficaci: il criterio di Tresca infatti utilizzato in Geotecnica solocon riferimento a condizioni non drenate, in cui non sia noto il valore della pressione neutra.Il parametro che individua la resistenza in tal caso la coesione non drenata cu.

CRITERI DI ROTTURA


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4. CRITERIO DRUCKER-PRAGER (1952)

! =

2sen!'

3(3! sen!')

K =6c 'cos!'

3(3! sen!')


NBLadozione del CRITERIO DI MOHR-COULOMB presenta qualche problemadal punto di vista matematico a causa della presenza di punti singolari; infatti, il

gradiente della funzione di plasticizzazione F non definito in modo univocosugli spigoli della piramide.Per ovviare a questo inconveniente, Drucker-Prager [1952] proposero diapprossimare il criterio di Mohr-Coulomb:

F!! '1

2+! '

2

2+! '

3

2"! '1!'

2"! '

1!'

3"! '

2!'

3" ! '

1+! '

2+! '

3( )+ k#$%&'(2

= 0

cono il cui asse la trisettrice del primo ottante (1=2=3)

Introducendo linvariante primo deltensore di tensionee linvariante secondodel deviatore del tensore di tensione, puessere scritta come

F ! J2!!I

1! k = 0

CRITERI DI ROTTURA


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SUPERFICIE DI MOHR-COULOMB

SUPERFICIE DI DRUCKER-PRAGER

CONFRONTO

Asse Idrostatico

Asse Idrostatico

L1

L2

Mohr-Coulomb

Drucker-Prager

)'(

'cos

!

!

sen

KL

"

=

3

26

1

)'(

'cos

!

!

sen

K

L += 3

2

62



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Il CRITERIO DI DRUCKER-PRAGER costituisceunovvia estensione del CRITERIO DI VONMISES, cos come, abbiamo detto, il criterio di

Mohr-Coulomb unestensione del criterio diTresca. In ambedue i casi infatti al crescere dellapressione isotropa aumenta la resistenza al taglio.Il criterio di Drucker-Prager ha tuttavia ildifetto di prevedere eguale resistenza percampioni sollecitati in compressione o inestensione in prove triassiali a pressione isotropacostante ( un cono retto con una sezionedeviatorica circolare), mentre il criterio di Mohr-Coulomb prevede, correttamente, che laresistenza in compressione sia assai pi alta diquella in estensione.Questo fatto stato spesso sottovalutato inpratica ed i valori di %e kpresenti nellequazionedi Drucker-Prager sono stati correlati ai valori di

ce - dellequazione di Mohr-Coulomb, imponendoluguaglianza della resistenza in compressione. Ciimplica che il cono di Drucker-Prager circoscrivala piramide di Mohr-Coulomb, con ovviasopravvalutazione della resistenza in condizionidiverse da quelle di compressione triassiale.

CRITERI DI ROTTURA


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GEOTECNICAA.A. 2012-2013LEGGE DI INCRUDIMENTO

Si definita la FUNZIONE DI SNERVAMENTO come una funzionescalare dello stato di tensione e delle variabili interne;

la specificazione delle variabili interne, delle loro leggi evolutive e delladipendenza della funzione di snervamento dallo stato tensionale e dallemedesime variabili interne, prende i l nome di LEGGE DIINCRUDIMENTO.Si assumono le variabili interne coincidenti con le componenti del tensoredi deformazione plastica, e con una funzione di queste ultime indicata con'

e chiamata variabile di incrudimento:

! = ! "p( )

Nel definire la variazione di .si introdurr il moduloH,modulo di incrudimentoomodulo plastico del materiale,uno scalare equivalente concettualmente al moduloelastico, che quantifica la rigidezza del terreno durante

il processo di deformazione plastica.definisce lespansione della superficie di snervamento in funzione delladeformazione plastica (ovvero, stabilisce come lentit della deformazioneplastica sia legata al cambiamento di dimensioni della superficie di snervamento)


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GEOTECNICAA.A. 2012-2013LEGGE DI INCRUDIMENTO

Il modulo di incrudimento Hpu essere positivo o negativo.

Una volta definito H, che dipende dallo stato di sforzo, le deformazioni plastichepossono essere trovate per ogni incremento di carico assegnato.

H > 0: il materiale pu essere assoggettato ad unqualunque incremento di carico; se si hannodeformazioni plastiche la superficie diplasticizzazione si espande.

H < 0: pur avendosi deformazioni plastiche, il livellodi carico deve diminuire e la superficie diplasticizzazione deve contrarsi; si ha il cosiddettofenomeno del rammollimento (o softening).Non possibile dare un incremento di caricoqualsiasi al campione. Se si cerca di aumentare losforzo seguendo un percorso al di fuori della su#perficie di plasticizzazione, il materiale non ingrado di sostenere il carico e il provino ha un

collasso molto brusco, simile per certi aspetti alcollasso di unasta sotto carico di punta. Il terreno quindi instabile quando H negativo.


39/69

GEOTECNICAA.A. 2012-2013LEGGE DI FLUSSO

Raggiunta la CONDIZIONE DI PLASTICIZZAZIONE, il materialemanifesta deformazioni di tipo plastico.

Questo fenomeno detto FLUSSO PLASTICO.Nel caso delle deformazioni elastiche la relazione costitutiva da solasufficiente a definire il vettore di deformazione, invece nel caso delledeformazioni plastiche, la direzione del vettore di deformazione indipendente dallincremento di tensione e dipende invece dallo stato

tensionale complessivo. Ossia, gli incrementi ,&, pur influenzando il valoredelle , p, non ne influenzano la direzione.In altri termini:Le deformazioni plastiche prodotte sono dipendenti dallo statotensionale in corrispondenza del quale avviene lo snervamento, non dalpercorso tensionale seguito.

A questo punto si pone il problema di determinarela direzione delle deformazioni plastiche.


40/69


Gli incrementi di deformazione plastica possono infatti essere espressinella forma:

!"ijp

= !gradG = ! "G

"# 'ij

Definita G, funzione delle componenti di tensione, indipendente dalpercorso di sollecitazione seguito, POTENZIALE PLASTICO

Tale superficie definisce la direzione delvettore delle deformazioni plastiche

Lesistenza di un potenzialecomporta, in analogia aquanto avviene nei moti difiltrazione, la coincidenzadella direzione del vettore, pcon quella lungo la qualesi ha il massimo gradientedi potenziale:

q

p'

qpl

plp

Y Splq

Y ppl

, portogonale allasuperficie descritta da G


41/69

Data unespressione generale per la famiglia di curve di potenziale plastico,un membro della famiglia pu essere tracciato in corrispondenza di

ciascuno stato tensionale Yial quale avviene lo snervamento.

1) per un dato stato tensionale si raggiunge lolo snervamento, indicato dal punto Y2) in Y si generano deformazioni plastiche:vettorecomponenti3) se Yisono i punti di snervamentoappartenenti a diverse superfici (diversecombinazioni tensionali)

4) da ciascun punto di snervamento Yisigenerano vettori di deformazioni plastiche

p'

q

Y

!"pl

!"p 'pl

!"qpl

plq

Y ppl

pl

Diverse famiglie di potenziale plastico



42/69

POSTULATO DI NORMALIT LEGGE DI FLUSSO

1) Superficie di snervamento =Potenziale Plastico

IL MATERIALE SEGUE UNA LEGGE DI FLUSSO ASSOCIATA2) Superficie di snervamento !Potenziale Plastico

IL MATERIALE SEGUE UNA LEGGE DI FLUSSO NON ASSOCIATAq

'

Y

G

F

pld

pld V

d Spl


Il vettore incremento di deformazioni ha

direzione normale a l la superfic ieindividuata dal POTENZIALE PLASTICO G!"ijp = !gradG = !

"G

"# 'ij


43/69


Introdotti tutti gli elementi per definire un MODELLO ELASTO-PLASTICO, possibile scrivere le relazioni sforzi-deformazioni:

Lincremento di deformazione elastica , e definitotramite il LEGAME COSTITUTIVO ELASTICO ISOTROPO.

Per definire invece completamente lincremento dideformazione plastica , psono stati definite una funzionedi snervamento, una legge di incrudimento e una legge diflusso, che permettono di individuarne rispettivamentelesistenza, il moduloe la direzione.

!"ije=Cijkl

e!# 'kl

!"ijp=Cijkl

p!# 'kl

!"ij = (C

ijkl

e+C

ijkl

p)!#'

kl =C

ijkl

ep!#'

kl !"'ij = (Dijkle

+Dijklp

)!#kl =Dijklep!#kl

Abbiamo visto come definire la matrice Ce; vediamo adessoche forma assume la matrice elasto-plastica Cep, combinazionedella prima e della matrice plastica Cp.


44/69


Introdotta la FUNZIONE DI PLASTICIZZAZIONE: F =F !'ij," #p( )!" #$

tale che sia: possono verificarsi i casi:F! 0

F< 0 !"ij = Cijkle!# 'kl C

e: matrice di cedevolezza elastica

F = 0

dF< 0 !"ij = Cijkle!# 'kl

dF = 0 !"ij = Cijklep!# 'kl Cep: matrice di cedevolezza elasto-plastica

Cijklep=

Cijkl !

'kl,

"!'kl

"!'kl ,#

ij

p!

"##

$

%&&

stato tensionale corrente direzione del successivoincremento di carico

deformazioni plastiche


45/69


Introdotte:laLEGGE DI INCRUDIMENTO,la FUNZIONE POTENZIALE PLASTICO,la LEGGE DI FLUSSO,possiamo scrivere la condizione di consistenza:

!F= 0! !F="F

""'kl

!"'kl+"F

"##"#

"$p

ij

!$p

ij = 0

!F= !F

!"'kl

!"'kl+!F

!#"!#

!$p

ij

" # !G

!"'ij

= 0

!"(#p

ij) !"ijp= !

"G

"# 'ij

G = G(!'ij)

! = "

#F

#!'kl

"!'kl

#F

##

$##

#$pij

$ #G

#!'ij

=

1

H$ #F

#!'kl

"!'kl con H: MODULO DI INCRUDIMENTO

!"ijp=

1

H

!F

!#'kl

!G

!#' ij

!#'kl Cijklp=

!"p

ij

!#'kl

=

1

H

!F

!#'kl

!G

!#'ij

Cp: matrice di cedevolezzaplastica


46/69


Per scrivere direttamente la matrice di rigidezza elasto-plastica Depconsideriamo:

!" =De!#e essendo: :!"= !"e+!"

p!" =De!#!De!#p =De!#!"De

#G

#"

!F= 0! !F="F

""!"+

"F

"##"#

"$p!$

p= 0

!F= !F!"

De!#" #De!G

!"$%&

'()+ !F

!$*!$!#p

* #!G!"

= 0

!F

!!D

e"#+"

!F

!$#!$

!#p#!G

!!$!F

!!#De #

!G

!!

%

&'(

)*= 0

! = "

#F

#!D

e"#

#F

#!$D

e$#G

#!"#F

#$$#$

##p $#G

#!

=

#F

#!D

e"#

#F

#!$D

e$#G

#!+H


47/69


Pertanto possiamo scrivere la matrice di rigidezza elasto-plasticaCep:

!" = De!#!

De"G

""

"F

""D

e

"F

""D

e"G

""+H

!#= De !

De"G

""

"F

""D

e

"F

""D

e"G

""+H

#

$

%%%

&

'

(((!#

Valida nel caso di comportamento elasto-plastico incrudente.

Per lelasto-plasticit perfettasi semplifica nella forma:

!" = D

e

!

De"G

""

"F

""D

e

"F

""D

e"G

""

#

$

%

%%

&

'

(

((!#


48/69


Ragionando adesso in termini di invariantipe q, e quindi di ved s, il legame tragli incrementi di tensione e incrementi di deformazioni plastiche corrispondentidiventa:

!"vpl

!"spl

!

"#

$#

%

'#= Cp() *+

!p '

!q

!"#

$#

%

'#

Definita nel piano (p, q)la superficie di snervamento: f = p ',q,p ' 0( ) = 0p'

q

p'0

Definita la variazione della superficie di snervamento: !f

!p 'dp '+

!f

!qdq+

!f

!p '0

dp '0= 0

dp'0=

!p '0

!!vpld

!v

pl+

!p '0

!!spld

!s

plp0 definisce la dimensione di una superficie della famiglia; il

cambiamento di dimensione della superficie di snervamento,espresso come variazione di p0, legato agli incrementi dideformazione plastica sia volumetrici che di taglio.

Introdotto il potenziale plastico: g = p ',q,!( ) /controlla la dimensione del potenzialeplastico che passa in corrispondenzadello stato tensionale pi, qi


49/69


Gli incrementi di deformazione plasticasono ortogonali al potenziale plastico allostato tensionale corrente pi;qi (Legge diflusso):

!"vpl= !

"g

"p '!"s

pl= !

"g

"q

Combinando le espressioni introdotte si ottiene lespressione per lo scalare0:

! = "

#f

#p '!p '+

#f

#q!q

$

%&

'

()

#f#p '

0

#p '0#"v

pl* #g#p '+ #p '0#"s

pl*#g#q$%& '

()

Sostituendo questa espressione di 0nelle precedenti (*) e (**) si ottiene:

(*) (**)

!"vpl

!"spl

!

"#

$#

%

'#=

(1

)f

)p '0

)p '0

)"vpl*)g

)p '+)p '

0

)"spl*)g

)q

+

,-

.

/0

1

23

4

56

)f)p '

)g)p '

)f)q

)g)p '

)f

)p '

)g

)q

)f

)q

)g

)q

1

2

33333

4

5

66666

!"vpl

!"spl

!

"#

$#

%

'#= Cp() *+

!p '

!q

!"#

$#

%

'#


50/69


NellHP. di Legge di flusso associata, la relazione si semplifica, essendo f=g.Ma dimostriamo che si tratta di una ipotesi che viola il secondo principio della

termodinamica:Assumiamo come funzione di snervamento quella di Mohr-Coulomb:

f = q!Mp ' M =3sen!'

6! sen!'

q

p

M

compressione

Assumiamo come funzione potenziale:

g = q!M*p '+ k

*

!" = De !

De "g

""

"f

""D

e

"f

""D

e "g

""

#

$

%%%

&

'

(((!#

Consideriamo i singoli fattori presenti nella matrice Dep(Hp. Elasto-plasticit perfetta):

De=

K 0

0 3G

!

"#

$

%&

GEOTECN C


51/69


!" = D

e

!

De"g

""

"f

""D

e

"f""

De "g""

#

$

%

%%

&

'

(

((!#

!g

!!=

!g

!p '

!g

!q

"

#

$$

$$$

%

&

''

'''

=

(M*

1

"

#$$

%

&''

f = q!Mp '

g = q!M*p '+ k

*

!f

!!=

!f

!p '

!f

!q

"

#

$$

$$$

%

&

''

'''

=

(M

1

"

#$

%

&'

D

e !g

!!

!f

!!De=

D

e !g

!!

!f

!!

"

#$

%

&'

T

D

e=

K 0

0 3G

(

)*

+

,-. /M*

1

(

)**

+

,--. /M 1

()

+,.

K 0

0 3G

(

)*

+

,-

(2x2) (2x1) (1x2) (2x2) = (2x2)

GEOTECNICA


52/69


De !g

!!

!f

!!D

e=D

e!g

!!

!f

!!

"

#$

%

&'

T

De=

K 0

0 3G

(

)*

+

,-.

/M*

1

(

)**

+

,--

. /M 1()+,.

K 0

0 3G

(

)*

+

,-=

/M*K

3G

(

)**

+

,--

. /M 1()+,.

K 0

0 3G

(

)*

+

,-=

MM*K /M*K

/M3G 3G

(

)**

+

,--

. K 0

0 3G

(

)*

+

,-=

MM*K

2 /3GKM*

/3GKM 9G2

(

)**

+

,--

!f

!!D

e !g

!!=

!f

!!

"

#$

%

&'

T

De !g

!!= (M 1)*

+,-

K 0

0 3G

)

*.

+

,/-

(M*

1

)

*..

+

,//=

(MK 3G)*+,-

(M*

1

)*..

+,//=MM

*K+3G

(1x2) (2x2) (2x1) = 1

GEOTECNICA


53/69


Dep

= De !

De"g

"!

"f

"!D

e

"f"!

De "g"!

#

$

%%%

&

'

(((=

K 0

0 3G

#

$%

&

'(!

1

MM*

K+3G) MM

*K

2 !3GKM*

!3GKM 9G2

#

$%%

&

'((=

1

MM*K+3G

MM*K

2+3GK 0

0 MM*K3G + 9G

2

#

$%%

&

'((! MM

*K

2 !3GKM*

!3GKM 9G2

#

$%%

&

'((

*+,

-,

./,

0,=

1

MM*K+3G

) 3GK !3GKM*

!3GKM MM *K3G#$%%

&'((

Matrice non simmetrica. Per esserlo, dovrebbeessere M = M*, ovvero f = g(legge di flusso associata)

!"p= !"g

"# '!"v

p

!"sp

!

"#

$#

%

'#=(

)g

)p ')g

)q

!

"

#

#

$

##

%

&

#

#

'

##

=( *M*

1

!"#$#

%'#= *(M

*

(!"#$#

%'#

Legge di flusso:

GEOTECNICA


54/69


Il lavoro compiuto per le deformazioni plastiche :

!Wp

=p'

!!"v

p

+q!!"s

p

Se ci sono deformazioni plastiche, siamo sulla superficie di snervamento:

f = q!Mp ' = 0" q =Mp '

!Wp

=p'

!!"v

p

+Mp'

!!"s

p

!"v

p

!"sp

!

"#

$#

%

'#=

()M*

)

!"#

$#

%

'# !"v

p=!M

*!"s

p

!Wp = !p '"M*

!"sp +Mp '"!"sp

M=M*! !W

p= 0

Lavoro nullo, sebbene vi siano deformazioni plastiche! c.v.d.

GEOTECNICAE E


55/69

MODELLO SEMPLICE

Blocco scorrevole su Comportamento plastico

superficie con attrito dei materiali

A) Agisce solo QxCondizione di scorrimento= coefficiente di attrito

P= peso proprio

B) Agiscono Qxe QyCondizione di scorrimentoIl corpo si muove nella direzione della risultante

Da A) e B) si ottiene la formula generale:

Analogia

xz

PQx

P

Qx

Qy

x

y

Qx2+Qy

2= P

Qx = P

f =Qx2+Qy

2!

2P

2= 0


GEOTECNICATE R DELL PL T C T


56/69

Condizione di scorrimento = Superficie di scorrimento nello spazio Qx, Qy, P

3DCondizioni generalif0 NON AMMISSIBILE

Es. agisce solo Qxche provoca scorrimento in ASezione Qy= 0

f =Qx2 +Qy2!

2P2 = 0

P

Qy

Qx

sz

xs

P

Qx

Qysy

x

sP

O B A Qx

C

f =Qx2!

2P

2= 0

Sezione P = cost


GEOTECNICATEORIA DELLA PLASTICITA


57/69

Hp:esistono deformazioni elastiche di taglio xe

esistonodeformazioni plastiche di scorrimento xs

1) Applico solo Qx: mi muovo da O ad AIl blocco non si solleva: $z=0

2) Dopo un certo scorrimento in direzione Xriduco il il carico di taglio: Qx =P/2senza variare P: mi muovo da A a B

3) Applico Qy: mi muovo da B a Cottengo scorrimento quando: QY = %3P/2(corrispondente alla posizione C)

Qx

x

xe

P

!x=!xe

+!xs

C

QxABO

P sx

ys Qy

sz

xs

P

Qx




58/69

c

x

QYQx

x

xe

P

Relazione carico-spostamento

Qx:x

Relazione carico-spostamento

Qy:x


Anche se lo scorrimento indotto da Qy, esso avviene nella direzionedella risultante del carico di taglio.Pertanto il vettore scorrimento, di componenti ($xs, $ys), sempreortogonale alla superficie di scorrimento circolare nel piano (Qx, Qy).

Si ricorda che la deformazione plastica dipende dallo stato di carico agente eNON dal percorso del carico che la innesca



59/69

g =Qx2+Qy

2!K

2= 0

dx =!g

!Qx= !"2Qx dy =!

!g

!Qy=!"2Qy dz =!

!g

!P= 0


Anche se causato dallincremento di una sola componente (Qy) la direzione delloscivolamento coincide con la risultante dei carichi, ovvero ortogonale alla

superficie di snervamento f.

Def: POTENZIALE DI SCIVOLAMENTO

K= costante: ampiezza del cilindro nello spazio (P, Qx, Qy)

Gli spostamenti che si ottengono sono:

N.B. SUPERFICIE DI SCIVOLAMENTO CONOPOTENZIALE DI SCIVOLAMENTO CILINDRO

1: scalare moltiplicatore

GEOTECNICAA di TENSORI E INVARIANTI


60/69

GEOTECNICAA.A. 2012-2013Appendice: TENSORI E INVARIANTI

Lo stato tensionale in un punto espresso da un tensore doppio simmetrico,noto come tensore di sforzo di Cauchy, caratterizzato da nove componenti,espresso nella forma:

IL TENSORE DI TENSIONE

!ij =

!x

!xy

!xz

!yx

!y

!yz

!zx

!zy

!z

!

"

####

$

%

&&&&

scomponibile nel tensore degli sforzi efficaci e nel tensore sferico (scalare)delle pressioni neutre:

!ij=

!x

!xy

!xz

!yx

!y

!yz

!zx

!zy

!z

!

"

#

###

$

%

&

&&&

=

! 'x

!xy

!xz

!yx

! 'y!

yz

!zx

!zy

! 'z

!

"

#

###

$

%

&

&&&

+

u 0 0

0 u 0

0 0 u

!

"

#

###

$

%

&

&&&



61/69


Ogni tensore doppio pu essere scomposto in una componente isotropa e unadeviatorica:

!ij= p"

ij+s

ij

p =1

3!

rs!rs

con: pressione media e sij deviatore degli sforzi

Analogamente:! '

ij=

p'!

ij+

s'ij

E immediato notare dalla definizione stessa di sforzo efficace che:

p = p '+u sij =s 'ij

Solo la parte isotropa del tensore degli sforzi affetta dalla pressionedellacqua, mentre il deviatore degli sforzi efficaci coincide con quello deglisforzi totali; viene pertanto omessa qualunque specificazione al terminedeviatore.

IL TENSORE DI TENSIONE



62/69


Analogamente, lo stato deformativo in un punto espresso da un tensoredoppio simmetrico, le cui nove componenti vengono organizzate nella forma:

IL TENSORE DI DEFORMAZIONE

!ij =

!x

1

2!xy

1

2!

xz

1

2!

yx!

y

1

2!

yz

1

2!

zx

1

2!zy

!z

!

"

#####

##

$

%

&&&&&

&&

Anche il tensore delle deformazioni pu essere scomposto in una parte isotropae una deviatorica:

!hk =1

3!v"hk+e

hk

!v

=!rs

!rs

con: deformazione volumetrica e ehk deviatore della deformazione,associato alla variazione di forma dellelemento di volume.

GEOTECNICAApp ndi : TENSORI E INVARIANTI


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GEO E NI AA.A. 2012-2013Appendice: TENSORI E INVARIANTI

Lo stato tensionale in un punto completamente noto quando definito su trepiani mutuamente ortogonali e passanti per tale punto.

Tra i possibili piani, sono di particolare interesse i piani principali, sui quali lecomponenti tangenziali sono nulle e le corrispondenti tensioni normali sonodette tensioni principali !1, !2e !3.

INVARIANTI DI TENSIONE

Si definiscono primo, secondo e terzo invariante del tensore degli sforzi lequantit, costanti al variare del sistema di riferimento scelto:

1 1 2 3ii x y z I ! ! ! ! ! ! ! = = + + + +=

( )2

12 1 2 1 3 2 3

1

2 ij ji

y yz x xyx xz

zx zzy z yx zII ! !

! " ! " ! "

! ! ! ! ! !

" !" ! " !

= # = + + = + +

( )31 13 1 2 31

2 36

detij ki ki ij ji ijI II ! ! ! ! ! ! ! ! ! " += = =

p =I1

3

GEOTECNICAAppendice: TENSORI E INVARIANTI


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A.A. 2012-2013Appendice: TENSORI E INVARIANTI

I2 =I

3 = 0

I3 = 0

I3! 0

STATO TENSIONALE MONOASSIALE

STATO TENSIONALE BIASSIALE

STATO TENSIONALE TRIASSIALE

STATO DI TENSIONE PIANO: il vettore di tensione appartiene al pianoortogonale alla direzione principale associata alla tensione principale nulla.

STATO DI TENSIONE IDROSTATICO: le tre tensioni principali coincidono

!1 =!

2 =!

3 =

I3

3



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INVARIANTI DEL DEVIATORE DI TENSIONE

( ) ( ) ( )1 1 2 3 0ii x y z s s sJ s p p p! ! != = + + = " + " + " =

( )

( ) ( ) ( )

3

2 2 21

2 2 1 2 3

2 2 2 2 2 2

1 1

2 2

1

6

3 ij ji

x y y z z x xy yz zx

IJ I s s s s s

! ! ! ! ! ! " " "

= # = = + + =

$ %= # + # + # + + +& '( )

( )3 1 2 31

3detij ijki kiJ s s s s s s s= = =



66/69


TENSIONI OTTAEDRICHE

Le tensioni agenti su piani che hanno la stessa inclinazione rispetto alladirezione delle tensioni principali (tali piani individuano un ottaedro), dettetensioni ottaedrichenormali e di taglio,sono definite come segue:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 2 22 2 2 2y z x

2 2 2

1 2 2 3 3 1

13

1

3

6

oct x y z xy yz zx! " " " " " " ! ! !

" " " " " "

# $= % + % + % + + + =& '( )

# $% + % + %( )

( )1 2 31

3oct

p! ! ! ! = + + =

Il piano ottaedrico ha versore unitario:

n =1! n1= n

2 = n

3

n1

2+ n

2

2+ n

3

2=1!3n

i

2=1! n

1=

1

3



67/69


TENSIONI OTTAEDRICHE

Generalmente, nella meccanica delle terre si assume che due tensioni principalisiano uguali tra loro (!2= !3), in questo caso:

!

oct

=

2

3

!

1

! !3( )

! 'oct

=

1

3! '

1+ 2! '

3( )

Per descrivere il comportamento dei terreni si adottano le seguenti quantit:

q ' = 3

2

!ott

=!'1!

!'3! q = q '

p ' =! 'oct

=1

3!'

1+ 2! '

3( )! p = p '+u

Anchessi invarianti degli sforzi, visto che lo sono gli sforzi ottaedrici.

Tensione media efficace

Tensione deviatorica



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Si individuano tre direzioni lungo le quali si hanno solo deformazioni

longitudinali o normali, dette deformazioni principali "1, "2ed "3.Inoltre, le tre quantit E1, E2 ed E3 costituiscono rispettivamente il primo,secondo e terzo invariante del tensore di deformazione:

INVARIANTI DI DEFORMAZIONE

1 1 2 3x y z vE ! ! ! ! ! ! ! = + + + + ==

( )2 2 2 1 2 1 3 2 321

4

xy yz zxx y y z z x! ! ! ! ! ! " " " ! ! ! ! ! ! = # + + + +$ + + =

( )2 2 23 1 2 31 1

4 4yz zx xyx y z x y z xy yz zxE ! ! ! ! ! ! " " " " " " ! ! ! # + += + =

INVARIANTI DI DEFORMAZIONE

1 1 2 3 0

ii e e eD e= = + + =

( )3 2 2 21

2 2 1 2 3

1

23

ED E e e e= ! = + +

( )3 3 3 33 2 1 2 331

23

v vD E E e e e! ! == + + +"



69/69


DEFORMAZIONI OTTAEDRICHE

Sempre in analogia allo stato di tensione, si definiscono la deformazioneottaedrica normalee quella ottaedrica di taglio:

1

3oct

E! =

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

2 222 2 2 2

y z x

2 2 2

1 2 2 3 3 1

2 33 2

2

3

oct x y z xy yz zx! " " " " ! !

" " "

" " !

" " "

# $= % + % + % + + + =& '( )

# $% + % + %( )

Ottaedro

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12 Elasticita e Plas