Maxwellove jednadžbe

- u početku bijaše elektricitet i magnetizam

Povijesni uvod

grč. ελεκτρον = jantar Magnesia, pastir Magnus

-Oerstedov pokus (1820.): električna struja stvara magnetsko polje koje zakreće magnetsku iglu

-veza elektriciteta i magnetizma (nisu više odvojene pojave)

-Faraday – elektromagnetska indukcija: promjena magnetskog polja stvara električno polje

K

dEds

dtε Φ= = −∫

� �

�d

BdSdt

= − ∫��

DIREKTNA VEZA ELEKTRIČNOG I MAGNETSKOG POLJA.

-električni naboj stvara električno polje; ne postoji magnetski naboj (monopol)

-Maxwell – promjenjivo električno polje stvara magnetsko polje

Amperov zakon

Amper-Maxewllov zakon

-postojanje elektromagnetskih valova koji se šire i u praznom prostoru (naizmjenično titranje električnog i magnetskog polja)

-svjetlost nije ništa drugo nego jedan takav elektromagnetski val -pronašao je brzinu širenja elektromagnetskog vala u vakuumu = brzina svjetlosti c koja je ista za radio valove, infracrveno zračenje, svjetlost, ultraljubičasto zračenje, x-zrake i γ-zrake

-pitanje: treba li svjetlost medij kroz koji se širi kao val (eter) → NE (Michelson-Morleyev eksperiment)

-Einstein: c je konstantna u svakom sustavu (bez obzira gdje se nalazi promatrač i kako se giba)

-Maxwell: 1861. objavio svoju teoriju u časopisu Philosophical Magazine -1873. remek djelo A Treatise on Electricity and Magnetism u kojem ujedinjuje elektricitet, magnetizam i svjetlost – tri različite pojavnosti jedne prirodne pojave: elektromagnetizma

-1885. eng. znanstvenik Oliver Heaviside i njem. fizičar Heinrich Hertznezavisno su objavili Maxwellove jednadžbe u obliku u kojem ih danas poznajemo i neko vrijeme nakon 1885. god. su se zvale Hertz-Heavisideovejednadžbe → MAXWELLOVE JEDNADŽBE

Maxwellove jednadžbe - uvodMatematički aparat:

Operator nabla:z

ky

jx

i∂∂+

∂∂+

∂∂=∇

���

Stokesov teorem(povezuje integral kroz površinu s krivuljnim integralom):

sdASdA����

∫∫∫ =×∇

Gaussov teorem(povezuje tok nekog vektora kroz zatvorenu površinu s divergencijom toka vektora u volumenu koji ta površina zatvara):

∫∫∫ ∇=V

dVASdA���

-integral normalne komponente rotacije vektora A po zatvorenoj plohi jednak je linijskom integralu tangencijalne komponente vektora A po krivulji koja omeñuje tu plohu

-tok vektora A kroz bilo koju zatvorenu plohu jednak je integralu divergencijevektora A preko volumena kojeg zatvara ta ploha

1. MAXWELLOVA JEDNADŽBA

Gaussov zakon = tok električnog polja kroz bilo koju zatvorenu površinu S jednak je algebarskom zbroju naboja koji se nalaze unutar te površine / ε0

0

1

S V

EdS dVρε

=∫∫ ∫��

�

Primjenimo Gaussov teorem iz matematike � S V

EdS EdV= ∇∫∫ ∫�� �

�

0

E divEρε

∇ = =�

1. Maxwellova jednadžba

2. MAXWELLOVA JEDNADŽBA

Opisuje činjenicu da ne postoje magnetski monopoli.

Izvod: Od prije, zbog činjenice da su magnetske silnice zatvorene krivulje (Gaussov zakon za magnetizam). �

0 0S V

BdS BdV B= = ∇ ⇒∇ =∫∫ ∫�� � �

�

2. Maxwellova jednadžba0=∇B�

Gaussovteorem

3. MAXWELLOVA JEDNADŽBA – Faradayev zakon indukcije

ϕϕϕϕ = Kut izmeñu smjera indukcije B i okomice na element površinedS.

Od prije: napon (ind. ems)= rad po jedinici naboja, tj:

d

dtε Φ= − cosBdS B dSϕΦ = = ⋅ ⋅∫ ∫

��

K

Edsε = ∫� �

�

K

dEds

dtε Φ= = −∫

� �

�d

BdSdt

= − ∫��

cosd

B dSdt

ϕ= − ⋅ ⋅∫

DIREKTNA VEZA ELEKTRIČNOG I MAGNETSKOG POLJA.

Faradayev zakon elektromagnetske indukcije (Brzina promjene toka mag. polja kroz petlju jednaka je EMS induciranoj u petlji.).

Faraday

Pomoću Stokesovog teorema:

∫∫∫ −=SK

SdBdt

dsdE

����

dt

BdE

��

−=×∇ 3. Maxwellova jednadžba

Vremenski promjenjivo polje indukcije B stvara oko sebe kružno električno polje.

K S S

dEds EdS BdS

dt= ∇× = −∫ ∫∫ ∫∫

� �� � ��

�

4. MAXWELLOVA JEDNADŽBA – Amperov zakon

Promatramo nabijanje ili izbijanje kondenzatora. Dok se kondenzator nabija, vodičem teče struja, a na pločama kondenzatora se skuplja naboj i pojačava električno polje izmeñu ploča kondenzatora.

Kondenzator predstavlja prekid strujnog kruga, pa (da bi vrijedio 1. Kirchhoffov zakon) pretpostavljamo da provodna struja koja vodičem doñe do ploča kondenzatora, nastavlja teći izmeñu ploča kondenzatora kao struja pomaka.

Jer mora vrijediti jednadžba kontinuiteta struje (zakon sačuvanja naboja) � Provodna struja i struja pomaka moraju biti jednake.

Potražimo vezu izmeñu struje pomaka i toka el. polja:Uzimamo zatvorenu plohu koja obuhvaća pozitivno nabijenu ploču kondenzatora

Gaussov zakon daje:

Provodna struja jednaka je struji pomaka. pompr Idt

dQI ==

0S

QEdS

ε=∫∫

� �

�

0pom

S

dI EdS

dtε= ∫∫� �

�Ukupna struja pomaka kroz zatvorenu površinu oko ploče.

Provodna struja takoñer stvara mag. efekte pa Amperov zakon (povezuje el. struju i mag. polje) moramo pisati kao:

Poopćeni Amperov zakon(Ampere-Maxwellov zakon)

Provodnu struju prikazujemo pomoću gustoće struje: ∫∫=S

SdJI��

( )0 pr pom

K

Bds I Iµ= +∫� �

�

Primjenimo Stokesov teorem:

0 0

K S

dBds I EdS

dtµ ε

= +

∫ ∫∫� � ��

�

0 0 0

K S S

dBds JdS EdS

dtµ µ ε= +∫ ∫∫ ∫∫

� �� ���

�

0 0 0

K S S S

dEBds BdS JdS dS

dtµ µ ε= ∇× = +∫ ∫∫ ∫∫ ∫∫

�� � � � ���

�

0 0 0

dEB J

dtµ µ ε∇× = +

�� �

4. Maxwellova jednadžba

2

0

J dEc B

dtε∇× = +

���

4. Maxwellova jednadžba

0 0 2

1

cµ ε =

c = 3·108 m/s = brzina svjetlosti

dielektričnakonstanta vakuuma

permeabilnostvakuuma

20 0 0 /

dEB J c

dtµ µ ε∇× = + ⋅

�� �

Maxwellove jednadžbe u diferencijalnom obliku:

0

Eρε

∇ =�

1. Maxwellova jednadžba0

divEρε

=�

2. Maxwellova jednadžba0=∇B�

0=Bdiv�

dt

BdE

��

−=×∇ 3. Maxwellova jednadžbadt

BdErot

��

−=

4. Maxwellova jednadžba2

0

J dEc rotB

dtε⋅ = +

���

2

0

J dEc B

dtε∇× = +

���

Maxwellove jednadžbe u integralnom obliku:

Gaussov zakon za električno polje

Faradayev zakon indukcije

Poopćeni Amperov zakon

0=∫∫S

SdB��

Gaussov zakon za magnetsko polje

∫∫∫ −=SK

SdBdt

dsdE

����

2

0

1

K S S

dc Bds JdS EdS

dtε= +∫ ∫∫ ∫∫

� �� ���

�

0

1

S V

EdS dVρε

=∫∫ ∫��

�

0

Eρε

∇ =�

0=∇B�

dt

BdE

��

−=×∇

2

0

J dEc B

dtε∇× = +

���

I

II

III

IV

Elektromagnetski valoviMaxwellove jednadžbe:

a) u prostoru sa strujama i nabojima b) u vakuumu

0E∇ =�

0=∇B�

dt

BdE

��

−=×∇

2 dEc B

dt∇× =

��

I

II

III

IV

-raspišemo 1. jednadžbu: 0=∂

∂+∂

∂+

∂∂=∇

z

E

y

E

x

EE zyx�

-pretpostavimo da nema promjene u y i z smjeru → ostaje samo 1. član: 0xE

x

∂ =∂

0xE

x

∂ =∂

-rješenje ove jednadžbe je da je Ex= const. uprostoru; to je statičko polje (odaberemo Ex=0)-tražimo dinamičko rješenje za E → vidimo da E mora biti okomito na smjer širenja – u y i z smjeru

Pretpostavimo da se elektromagnetski poremećaj širi u x smjeru (derivacije E i B po y i z iščezavaju). Napišimo jednadžbe u komponentama:

( )kBjBiBdt

d

EEEzyx

kji

zyx

zyx

���

���

++−=∂∂

∂∂

∂∂

0 xB

t

∂= −∂

yzBE

x t

∂∂− = −∂ ∂

y zE B

x t

∂ ∂= −∂ ∂

dt

BdE

��

−=×∇III

2 dEc B

dt∇× =

��

IV

( )2

1x y z

x y z

i j k

dE i E j E k

x y z c dt

B B B

∂ ∂ ∂ = + +∂ ∂ ∂

�� �

�� �

2

10 xE

c t

∂=∂

2

1 yzEB

x c t

∂∂− =∂ ∂

2

1y zB E

x c t

∂ ∂=∂ ∂

0 xB

t

∂= −∂

yzBE

x t

∂∂− = −∂ ∂

y zE B

x t

∂ ∂= −∂ ∂

2

10 xE

c t

∂=∂

2

1 yzEB

x c t

∂∂− =∂ ∂

2

1y zB E

x c t

∂ ∂=∂ ∂

-ostaju derivacije polja po x-smjeru:-pojednostavljenje: E ima y i z komponentu → odaberemo Ey (Ez=0)-ostaju jednadžbe:

y zE B

x t

∂ ∂= −∂ ∂

2

1 yzEB

x c t

∂∂− =∂ ∂

/ /y zE B

x t x t

∂ ∂ ∂ ∂− = −∂ ∂ ∂ ∂ 2

1/ /yz

EB

x c t x t

∂∂ ∂ ∂=∂ ∂ ∂ ∂

2 2

2

y zE B

x x t

∂ ∂− = −∂ ∂ ∂2 2

2

y zE B

x t t

∂ ∂− = −∂ ∂ ∂

-deriviramo svaku jednadžbu parcijalno po x i t

22

2 2

1 yzEB

x c x t

∂∂− = −∂ ∂ ∂

22

2 2

1 yzEB

x t c t

∂∂− = −∂ ∂ ∂

A)

B)

C)

D)

A+D:2 2

2 2 2

1y yE E

x c t

∂ ∂=

∂ ∂

B+C:2 2

2 2 2

1z zB B

x c t

∂ ∂=∂ ∂

U oba slučaja smo dobili VALNE JEDNADŽBE:

2

2

22

2 1

t

f

vx

f

∂∂=

∂∂

brzina širenja vala = c

8

0 0

13 10 /v c m s

ε µ= = ≈ ⋅

Električno i magnetsko polje titraju okomito na smjer širenja vala, a titraju i okomito jedno na drugo.

Elektromagnetski valovi u vakuumu se šire brzinom svjetlosti.

Rješenja jednadžbi: 0

0

sin

sin

y

z

xE E t

v

xB B t

v

ω

ω

= −

= −

0B�

B�

Primjer: sinusoidalni linearno polarizirani ravni val koji putuje u +x smjeru brzinom c.

Promjene vektora E i B u vremenu u nekoj točki y-z ravnine.

Otkriće EM valova

-Heinrich Hertz (1857-1894), njem. fizičar

- LC titrajni krug – izvor EM valova

-kada je ugodio prijemnik na istu frekvenciju, dobio je iskrenje u prijemniku; time je pokazao da je inducirana struja u prijemniku nastala zbog EM valova u predajniku-pokazao je da takvo zračenje ima valna svojstva interferencije, difrakcije, refleksije, loma i polarizacije – baš kao i svjetlost; jedino što se po frekvenciji razlikuje od svjetlosti-izmjerio je i brzinu EM valova i dobio da je v = c (brzina svjetlosti)

Svojstva elektromagnetskih valova:

-rješenja Maxwellovih jednadžbi su valne jednadžbe koje zadovoljavaju oba polja E i B-komponente E i B ravnog elektromagnetskog vala meñusobno su okomite jedna na drugu kao i na smjer širenja vala (elektromagnetski valovi su transverzalni valovi)-elektromagnetski valovi u vakuumu putuju brzinom svjetlosti-za elektromagnetske valove vrijedi princip superpozicije

-vrijedi u svakom trenutku za elektromagnetski val u vakuumu: omjer iznosa električnog i magnetskog polja jednak je brzini svjetlosti;-ali – to ne znači da je E >> B (jer to su dva polja koja imaju različite mjerne jedinice)

Poyntingov vektor – energija elektromagnetskog valaElektromagnetski valovi mogu prenositi energiju (Sunce EM valovima šalje svjetlost i toplinu). Odredimo energiju koju ravni EM val prenese u jedinici vremena, tzv. gustoću toka energije.

Promatramo valjak osnovice površine S i debljine dz.

Ukupna energija EM polja je jednaka zbroju gustoća el. i mag. polja (od prije):

2

0

20 2

1

2

1zy BEw

µε +=

Može se pokazati da su doprinosi el. i mag. polja jednaki, tj. vrijedi:

2 20

0

1y zw E Bε

µ= =

Promatramo valjak osnovice površine S i debljine dz.

Snaga EM vala po jediničnoj površini (gustoća toka).

2 20

0

1y zw E Bε

µ= =

Za vrijeme dt, kroz površinu S proñe energija:

wSvdtwSdzwdVPdt ===

wvS

PP =='

22

00

' zy

BP v E vε

µ= = P' = Poyntingov vektor

0

1'P E B

µ= ×

�� �Poyntingov vektor je vektorska veličina, a smjer mu je jednak smjeru širenja vala.

Intenzitet vala (srednja vrijednost P’ po jednom periodu) :

0 00 0

0 0 0

1 1'

22 2

E BEBI P E B

µ µ µ= = = =

2 20 0 0

0

1 1

2 2w E Bε

µ= = -srednja gustoća energije EM

vala u jed. volumenu (po periodu)

I cw=-intenzitet EM vala jednak je umnošku usrednjene gustoće energije i brzine svjetlosti

Impuls i tlak EM vala-šireći se kroz prostor EM val prenosi energiju, ali i linearni impuls-kada se impuls apsorbira na nekoj površini, na tu površinu tada djeluje tlak EM vala-pretpostavimo da EM val upada okomito na površinu i prenosi ukupnu energiju U

-ukupni impuls predan površini

-tlak na površinu

'PP

c=

-ako je površina savršeni reflektor (zrcalo):

-ukupna promjena impulsa

1 1 2 2 'dp U PP

A dt A c c= = =

tada je ukupni tlak na površinu:

-ureñaj za mjerenje tlaka svjetlosti (torziona nit)

Mariner 10 “jedri” na Sunčevom vjetru oko Merkura (male korekcije putanje).

Nastajanje EM valova-akceleracija naboja (stacionarni naboj ili stalne struje ne mogu stvoriti EM val)-kadgod se naboj ubrzava/usporava, mora zračiti energiju

-dipolna antena

-kutna ovisnost intenziteta zračenja dipolne antene

Spektar EM zračenja