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Proyecto Fin de Carrera Una Introducción al Problema del Overbooking en el Transporte Aéreo
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12. RESOLUCIÓN DEL PROBLEMA DE OVERBOOKING CON
VARIAS CLASES DE PASAJEROS. CASOS PRÁCTICOS
Existen modelos en la literatura que consideran la distinción de clases de
pasajeros. La diferencia de clases es habitual en el transporte aéreo. En la
mayoría de los casos esta distinción está asociada a un tipo de asiento
particular, primera clase o clase turista. Sin embargo, otras veces esta diferencia
de clases únicamente viene dada por una diferencia en el precio del billete, sin
que exista distinción en el servicio recibido. Por ejemplo, simplemente por
realizar una reserva con mayor antelación a la fecha de vuelo se pueden
conseguir importantes descuentos.
Antes de plantear el modelo hay que distinguir dos tipos de problemas
diferentes que se pueden presentar.
El primer tipo de problemas considera dos clases de pasajeros, primera
clase y clase turista, asociados a plazas con diferentes características en la
aeronave. En este caso existe una capacidad definida de asientos para cada
clase dentro de la aeronave, con una tarifa única. En general, no es posible
utilizar asientos de una clase para alojar a pasajeros de clase diferente. Aunque
si puede ocurrir que un pasajero de clase turista pueda ser realojado en primera
clase en caso de sobrecapacidad y siempre que haya plazas libres en primera
clase a la hora del vuelo.
El segundo tipo de problemas considera clases diferentes de pasajeros
sin que exista distinción en el tipo de asiento. En este caso para encontrar la
solución óptima de reservas no se puede considerar que exista una capacidad
asociada a cada clase. Este tipo de problemas se tratará en el apartado 11.3
cuando se resuelva el problema de overbooking con diferentes clases y
recursos.
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12.1 MODELO DE OPTIMIZACIÓN PARA VARIAS CLASES CON CAPACIDAD FIJA
El problema del overbooking para varias clases de pasajeros presenta
tantas incógnitas como clases diferentes se consideren. La diferencia de clases
no sólo afecta al precio del billete sino que además afectará a otras variables
que intervienen en el modelo, como por ejemplo, la probabilidad de que un
pasajero acuda a embarque una vez ha realizado una reserva.
Para resolver este tipo de problemas, en principio, resulta intuitivo
considerar tantos modelos como clases diferentes de pasajeros existan. Es
necesario obtener todos los datos de partida para cada clase.
El modelo debe determinar el número óptimo de reservas para cada clase
de forma que el ingreso obtenido por la aerolínea sea máximo. A continuación se
enuncia un modelo analítico de optimización para dos clases de pasajeros
diferentes con capacidad fija.
Se considera que los costes definidos son iguales para todos los
pasajeros de una misma clase y conocidos. La capacidad para cada clase es
conocida.
1T Precio del billete de primera clase
2T Precio del billete en clase turista
1C Número de asientos de primera clase.
2C Número de asientos de clase turista.
Se considera una distribución binomial con probabilidad constante y
conocida para modelar el número de pasajeros que acuden a la puerta de
embarque, de acuerdo a lo comentado en el apartado 10.2, siendo:
1q Probabilidad de que un pasajero que ha reservado una plaza en primera
clase acuda a tiempo a la puerta de embarque.
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2q Probabilidad de que un pasajero que ha reservado una plaza en clase
turista acuda a tiempo a la puerta de embarque.
Definidas todas las variables anteriores, la probabilidad de que llegue al
embarque un número de pasajeros de primera clase menor o igual a B1
reservas, para una probabilidad de acudir a embarque igual a 1q , tiene la
siguiente expresión.
11
1 11
1(1 )
Bk B k
k
Bq q
k−
=
−
∑
La probabilidad de que llegue al embarque un número de pasajeros de
clase turista menor o igual a B2 reservas, para una probabilidad de acudir a
embarque igual a 2q , tiene la siguiente expresión.
22
2 21
2(1 )
Bj B j
j
Bq q
j−
=
−
∑
El coste de compensación se definirá en función del número de clientes
que acuden a la puerta de embarque y de la capacidad. En el caso de dos
clases de pasajeros el coste de compensación será no nulo si hay
sobrecapacidad en una de las clases o en las dos. Se consideran costes de
compensación diferentes para cada clase y conocidos.
01C Coste de compensación por denegar el embarque a un cliente en primera
clase
02C Coste de compensación por denegar el embarque a un cliente en clase
turista.
La expresión del coste de compensación total se expresa como:
( )( )( ) ( )( ){ }
( ) ( )
1 2
1 1 01 1 21 2
2 02 2 1 1 2
1 21 1 01 2 2 02
0
, , ,max ,0
k C j CT k C C k C j C
F k j C CT C j C k C k C j C
k C j CT k C C T j C C
≤ ≤ ⋅ − ⋅ > ≤= ⋅ ⋅ − − − ≤ > > >⋅ − ⋅ + ⋅ − ⋅
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La tercera expresión corresponde al caso en el que hay sobrecapacidad
en clase turista pero quedan asientos libres en primera clase, por tanto, el coste
de compensación se calcula considerando que se van a realojar a tantos
pasajeros de clase turista como sea posible en los asientos libres que quedan en
primera clase. No sucede el caso contrario porque un cliente que ha pagado un
billete en primera clase no puede realojarse en clase turista por ser ésta una
categoría inferior.
Las incógnitas del problema representan el número de reservas óptimo
que la aerolínea debe aceptar por cada clase:
1B Número de reservas de primera clase.
2B Número de reservas de clase turista.
La función objetivo representa el ingreso obtenido por la venta de billetes
menos el coste de compensación por la necesidad de denegar el embarque en
caso de sobrecapacidad para cada una de las clases.
De acuerdo a la designación anterior para los datos de partida la función
objetivo se puede expresar como:
( ) ( )1 2
1 21 1 2 2 1 2
1 1
1 21, 2 (1 ) (1 ) 1 2 , , 1, 2
B Bk B k j B j
k j
B BR B B q q q q B T B T F k j C C
k j− −
= =
= − − ⋅ ⋅ + ⋅ −
∑∑
Maximizando el valor de ( )1, 2R B B se obtiene 1optB y 2optB .
La expresión analítica obtenida para resolver este problema es demasiado
compleja. Se enunciará y se resolverá el problema en el siguiente apartado, de
forma mucho más sencilla mediante las herramientas que ofrece el software de
simulación y optimización Risk Solver Plaftor de Frontline Systems..
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12.1.1. RESOLUCIÓN DEL MODELO DE OPTIMIZACIÓN EN RI SK SOLVER PLATFORM PARA VARIAS CLASES DE PASAJEROS CON CAPACI DAD FIJA
Se resuelve el problema del overbooking para dos clases de pasajeros,
primera clase y clase turista con capacidad fija para cada clase dentro de la
aeronave.
12.1.1.1. IMPLEMENTACIÓN
La implementación en Risk Solver Platform de Excel es muy similar a la
del problema de una única clase de pasajeros, pero multiplicando el número de
datos y de incógnitas por el número de clases diferentes.
El modelo de resolución para dos clases de pasajeros implementado en
una hoja de cálculo en EXCEL tendrá una presentación similar a la que se
muestra en la siguiente figura:
Figura 15. Modelo de overbooking para varias clases de pasajeros en Excel
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Se ha considerado la misma estructura de las variables que se definió
para el modelo de una clase de pasajeros (Apartado 11.3.2.1). En la columna A
se define el nombre de la variable y en las columnas B y C, aparece el valor
numérico de dicha variable para primera clase y clase turista respectivamente. A
continuación se definen los datos y variables que intervienen en el modelo:
DATOS INICIALES
Las celdas numéricas en blanco son datos iniciales. Se incluyen en este
grupo la capacidad del sistema, la demanda de pasajeros y los costes que
influyen en el modelo. También se considera conocida la probabilidad de acudir
a embarque para cada clase de pasajeros.
Capacidad (Celdas B3 y C3)
Contienen el número de plazas disponibles para cada una de las clases o
capacidad del sistema.
Reservas iniciales (Celdas B4 y C4)
Número de reservas iniciales que ya se han aceptado para cada una de
las clases.
Demanda esperada (Celdas B5 y C5)
Previsión de la demanda de pasajeros que acudirán al sistema para
realizar una reserva del vuelo. No todos los pasajeros que llegan son aceptados,
dependerá del resultado obtenido. La demanda se considera un dato inicial
obtenido como resultado de alguno de los modelos de previsión estudiados en el
apartado 10.2.
Estas variables son función del tiempo pues el número de reservas y
cancelaciones varía hasta la hora del vuelo. No obstante, se considerará la
resolución del problema en un momento puntual, pudiendo ser corregida a lo
largo del tiempo en función de los nuevos datos de cancelaciones y reservas que
se hayan registrado.
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Probabilidad de acudir a embarque (Celdas B9 y C9)
Probabilidad de que un pasajero que ha realizado una reserva con
antelación acuda a tiempo a la puerta de embarque. Se considera una
probabilidad diferente para cada clase. Esta probabilidad permite determinar una
estimación del número de pasajeros de cada clase, que acuden a embarque
para un número de reservas dado.
Se ha considerado una probabilidad mayor para primera clase que para
clase turista. Este hecho se debe en principio a la hipótesis de considerar que
los pasajeros que han pagado un precio más alto por el billete serán más reacios
a no acudir a tiempo a la puerta de embarque.
Costes (Celdas B6, B7, B8 y C6, C7, C8)
Estas celdas representan los costes asociados al modelo. Se define el
precio del billete, el coste por denegación de embarque para cada una de las
clases y el coste por ausencia de un pasajero.
Como se comentó en el modelo anterior, el coste por ausencia de un
pasajero no siempre es igual al coste por asiento vacío, ya que no todas las
ausencias de pasajeros suponen una plaza vacía en la aeronave sobre todo en
el caso de la práctica del overbooking.
Si el pasajero no acude a tiempo a la puerta de embarque y no cancela su
billete la compañía se queda con el importe íntegro de la reserva y en este caso,
el coste por ausencia es nulo. Sin embargo, hay muchos pasajeros que deciden
cancelar su vuelo con poco tiempo de antelación. En este caso lo habitual es
que la compañía imponga una multa por cancelación que suele ser de la mitad
del precio del billete. El coste por ausencia se obtendría ahora de restar el
beneficio por la venta del billete menos el valor de la multa que impone la
aerolínea por cancelar su vuelo con poco tiempo de antelación.
Ante la imposibilidad de prever el número de ausencias que provocan un
coste directo a la compañía y cuáles no, se considerará un coste por asiento
vacío fijo para todas las ausencias.
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VARIABLES INCÓGNITAS
En color amarillo se definen las incógnitas del problema. Representan el
número de reservas de cada clase que la aerolínea debe aceptar para que, de
acuerdo a la probabilidad de acudir a embarque, a la demanda prevista y a la
capacidad, la aerolínea pueda tener una ocupación máxima, aumentando así el
beneficio obtenido.
Variables Incógnita (Celdas B12 y C12)
X1 (Celda B12) � El número de reservas que la aerolínea debe aceptar para
primera clase.
X2 (Celda C12) � El número de reservas que la aerolínea debe aceptar para
clase turista.
Estas variables están restringidas por el número de reservas iniciales y
por la estimación de demanda prevista.
VARIABLES ESTOCÁSTICAS
En color verde se expresan las variables estocásticas.
Número de pasajeros que acuden a embarque (Celda B15 y C15)
Representa el número de pasajeros de cada clase que llegan a la puerta
de embarque a tiempo para un número de reservas concreto y una probabilidad
de acudir a embarque conocida. Se modelará como una distribución binomial de
acuerdo a lo estudiado en el Apartado 10.2.
Para definir las variables estocásticas se utilizará una herramienta del
programa que permite elegir dentro de una librería entre multitud de variables
estocásticas e introducir los parámetros que definen dicha variable. Además
permite representar gráficamente las características más importantes de dicha
variable.
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FUNCIÓN OBJETIVO
En color azul se representa la función objetivo del problema de
optimización.
Función objetivo (Celda B24)
Representa el beneficio que la aerolínea obtiene por el transporte de
pasajeros de ambas clases.
Esta variable se ha definido como una variable aleatoria pues depende
directamente de las variables estocásticas definidas, número de pasajeros que
acuden a tiempo a la puerta de embarque. Por esta razón, a la hora de la
optimización, se maximiza el valor medio del ingreso obtenido.
VARIABLES CON FÓRMULA
Las celdas en naranja definen las variables con fórmula. Estas relacionan
algunas de las variables anteriores a través de operaciones matemáticas y
lógicas. Son variables auxiliares que simplifican el modelado del problema.
Tanto el número de ausencias que se producen una vez fijadas las
reservas como la sobrecapacidad a la hora del embarque se obtienen a partir del
número de reservas y del número de pasajeros que llegan a embarque.
Número de ausencias de pasajeros que han reservado con antelación
(Celdas B20 y C20)
B20= B12-B17 Número de ausencias de pasajeros en primera clase
a la hora del embarque.
C20 =C12-C17 Número de ausencias en clase turista a la hora del
embarque.
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Sobrecapacidad a la hora del embarque (Celdas B21 y C21)
B21=MAX(B17-B3;0) Número de pasajeros de primera clase que superan el
número de plazas.
C21=MAX(C17-C3;0) Número de pasajeros de clase turista que superan el
número de plazas.
12.1.1.2. OPTIMIZACIÓN
El modelo determina el número de reservas de cada clase que maximiza
el beneficio obtenido o función objetivo. Dicha función tiene la siguiente forma:
El beneficio viene dado por el ingreso obtenido para un número de
reservas o venta de billetes menos el coste debido al número de ausencias que
se producen a la hora del embarque menos el coste por compensación al
denegar el embarque en caso de sobrecapacidad para cada una de las clases.
El modelo está sujeto a dos restricciones que delimitan el valor de nuestra
variable incógnita entre el número de reservas iniciales y la demanda esperada
de pasajeros. Además hay una variable adicional que define las incógnitas del
problema como variables enteras.
De acuerdo a todo lo anterior, el problema de optimización tiene la siguiente
forma:
F.O. Max B24
s.a.: B4 <= B12 <= B5
C4 <= C12 <= C5
B12 y C12 son variables enteras
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Al definir todas las variables que intervienen, así como las restricciones
del modelo en Risk Solver Platform, el problema de optimización se muestra
como aparece a continuación.
Figura 16. Modelo de optimización para varias clases de pasajeros en Risk Solver Platform
Al igual que para el problema de una clase de pasajeros, se plantea el
modelo de forma que todas las variables definidas dependen de las variables
incógnitas y de datos conocidos de partida como los costes, capacidad o
previsión de demanda. Para maximizar esta función se estudia como varía el
beneficio al cambiar el número de reservas de cada clase.
Las variables aleatorias no tienen un único valor sino que tras la
simulación están definidas como una variable estocástica, a través de un vector
completo de valores de dimensión elegida. En nuestro caso, se ha considerado
un vector de 1000 componentes.
Para la optimización se considera el valor medio de la variable
estocástica, es decir, se obtiene el número de reservas óptimo que hace que el
valor medio del número de pasajeros que acuden a embarque maximice los
beneficios obtenidos.
Proyecto Fin de Carrera Una Introducción al Problema del Overbooking en el Transporte Aéreo
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Como la variable estocástica es función de nuestra incógnita, en cada
iteración dentro de la optimización se llevará a cabo una simulación de la
variable estocástica, obteniéndose un vector de la variable aleatoria diferente.
Esto quiere decir que si borramos la solución obtenida y volvemos a optimizar el
resultado puede ser diferente, puesto que el vector de valores que define la
variable aleatoria será diferente.
Se pueden analizar y representar gráficamente los resultados de la
simulación a través de los estadísticos que definen dicha variable estocástica, tal
como la media o desviación estándar.
El tratamiento de las variables estocásticas hace que no exista un óptimo
absoluto pues no hay un valor fijo de las variables aleatorias. El programa
determina el mejor resultado obtenido para una simulación concreta de la
variable aleatoria.
12.1.1.3. RESULTADOS
Tras la simulación y optimización del problema el resultado obtenido con
Risk Solver Platform es el siguiente:
Proyecto Fin de Carrera Una Introducción al Problema del Overbooking en el Transporte Aéreo
99
Figura 17. Resultado del problema de optimización para varias clases de pasajeros en Risk Solver Platform
De donde se extrae la siguiente información:
NÚMERO DE RESERVAS PARA PRIMERA CLASE (Celda B12) ����24
NÚMERO DE RESERVAS PARA CLASE TURISTA (Celda C12) ����188
El resultado obtenido muestra que la mejor opción es aceptar 4 reservas
por encima de su capacidad en primera clase y 38 reservas por encima de su
capacidad en clase turista.
El beneficio esperado para este número de reservas será:
BENEFICIO OBTENIDO (Celda B24) ���� 64240 €
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100
Sobre la tabla EXCEL las variables presentan los siguientes valores
después de la optimización:
Figura 18. Resultado en la Tabla Excel del modelo de Overbooking para varias clases de pasajeros
Podemos observar que los valores óptimos de reserva hacen que la
media del número de pasajeros en embarque de cada clase sea igual a la
capacidad, de forma que no es necesario denegar el embarque a ningún
pasajero.
El programa de resolución además de optimizar la solución buscando los
valores de reserva óptimos, nos permite representar las variables aleatorias que
intervienen en el modelo, así como sus valores estadísticos.
A continuación se representan las variables que expresan el número de
pasajeros que llegan a embarque para primera clase y para clase turista,
considerando que la aerolínea acepta el número de reservas óptimo. Se puede
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101
observar como la forma de la curva sigue una distribución binomial cuyo valor
medio se acerca a la capacidad del sistema.
Figura 19. Número de pasajeros de primera clase en embarque para el número de reservas óptimo
Figura 20. Número de pasajeros de clase turista en embarque para el número de reservas óptimo
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102
12.1.1.4. ESTUDIO PARAMÉTRICO DE LA PROBABILIDAD DE ACUDIR A EMBARQUE
Se resuelve el problema variando la probabilidad de acudir a embarque
para ambas clases de pasajeros entre 0,7 y 0,95. Representamos el número de
reservas óptimo y el beneficio obtenido de forma global, variando las dos
probabilidades de forma simultánea.
Probabilidad de
acudir a embarque
en primera clase
(Celda B9)
Probabilidad de
acudir a embarque
en clase turista
(Celda C9)
Número óptimo de
reservas en primera
clase (Celda B12)
Número óptimo de
reservas en clase
turista (Celda C12)
Beneficio obtenido
(Celda B24)
0,7 0,7 29 190 63420
0,725 0,725 28 190 63890
0,75 0,75 27 190 64210
0,775 0,775 26 190 64680
0,8 0,8 25 188 64520
0,825 0,825 24 182 63250
0,85 0,85 24 177 62425
0,875 0,875 23 172 61320
0,9 0,9 22 167 60215
0,925 0,925 22 162 59390
0,95 0,95 21 158 58450
Tabla 3. Número óptimo de reservas de cada clase y beneficio en función de la probabilidad de acudir a embarque
Consideramos ahora la variación de la probabilidad de acudir a embarque
para primera clase, manteniendo invariable la probabilidad de acudir a embarque
para clase turista igual a 0,8. El resultado obtenido es:
Probabilidad de acudir a
embarque para primera
clase (Celda B9)
Número óptimo de
reservas en primera
clase (Celda B12)
Número óptimo de
reservas en clase turista
(Celda C12)
0,7 29 188
0,725 28 188
0,75 27 188
0,775 26 188
0,8 25 188
0,825 24 188
0,85 24 188
0,875 23 188
0,9 22 188
0,925 22 188
0,95 21 188
Tabla 4. Número óptimo de reservas de cada clase variando únicamente la probabilidad de acudir a embarque en primera clase
Proyecto Fin de Carrera Una Introducción al Problema del Overbooking en el Transporte Aéreo
103
El número de reservas en clase turista no ha variado y esto es debido a
que, a pesar de que la probabilidad de acudir a embarque disminuya hasta 0,7
la demanda esperada en primera clase es alta, por lo que en ningún caso, se
prevé que haya plazas libres para poder aumentar el número de reservas en
clase turista.
Representamos en la Figura 21 el número de reservas óptimo en primera
clase en función de la probabilidad de acudir a embarque.
Figura 21. Número de reservas óptimo en primera clase en función de la probabilidad de acudir a embarque
Como podemos comprobar al aumentar la probabilidad de acudir a
embarque el número de reservas óptimo disminuye. Como hemos comentado
anteriormente, a pesar de disminuir la probabilidad de acudir a embarque hasta
0,7 el número de reservas óptimo para esta valor es de 29 pasajeros, que está
muy por debajo del límite superior que impone el valor de la demanda esperada
que es de 60 pasajeros. Por tanto, en ningún caso se realizarán más reservas
para pasajeros de clase turista suponiendo que van a quedar libre alguna plaza
en primera clase.
Proyecto Fin de Carrera Una Introducción al Problema del Overbooking en el Transporte Aéreo
104
Representamos en la Figura 22 la curva del beneficio obtenido al variar la
probabilidad de acudir a embarque en primera clase.
Figura 22. Beneficio obtenido en función de la probabilidad de acudir a embarque para primera clase
Podemos comprobar cómo las curvas del número de reservas y del
beneficio obtenido son idénticas. Se comprueba cómo al disminuir la
probabilidad de acudir a embarque el beneficio obtenido aumenta. El hecho de
que el beneficio obtenido aumente al disminuir la probabilidad de acudir a
embarque se debe a que el beneficio por la venta de un billete es mayor que el
coste por ausencia de un pasajero.
Si disminuye la probabilidad de acudir a embarque aumenta el número de
ausencias provocando por un lado que se reserven más plazas, aumentado el
beneficio por venta de billetes, y por otro que se aumente el coste por ausencia.
De forma global, el beneficio será mayor.
Analizamos ahora la variación de la probabilidad de acudir a embarque
para clase turista, manteniendo invariable la probabilidad de acudir a embarque
para pasajeros de primera clase e igual a 0,85. El resultado obtenido es el
siguiente:
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105
Probabilidad de acudir a
embarque para clase
turista (Celda C9)
Número óptimo de
reservas en primera
clase (Celda B12)
Número óptimo de
reservas en clase turista
(Celda C12)
0,7 24 190
0,725 24 190
0,75 24 190
0,775 24 190
0,8 24 188
0,825 24 182
0,85 24 177
0,875 24 172
0,9 24 167
0,925 24 162
0,95 24 158
Tabla 5. Número óptimo de reservas de cada clase variando únicamente la probabilidad de acudir a embarque en clase turista
Como podemos comprobar el número óptimo de reservas en primera
clase no ha variado, ya que en ningún caso se pueden realojar pasajeros de
primera clase en plazas de clase turista.
Representamos gráficamente el número de reservas óptimo en función
de la probabilidad de acudir a embarque en clase turista (Figura 23).
Figura 23. Número óptimo de reservas de clase turista en función de la probabilidad de acudir a embarque
Proyecto Fin de Carrera Una Introducción al Problema del Overbooking en el Transporte Aéreo
106
Como podemos comprobar al disminuir la probabilidad de acudir a
embarque en clase turista el número de reservas óptimo aumenta. Esto sucede
hasta alcanzar una probabilidad de 0,8. Para valores inferiores a 0,8 el número
de reservas está limitado por el máximo de la demanda esperada, que son 190
pasajeros. Por tanto, aunque la probabilidad de acudir a embarque disminuya, el
número de reservas no puede estar por encima del valor de la demanda
esperada.
Representamos a continuación el beneficio obtenido o función objetivo al
variar la probabilidad de acudir a embarque en clase turista (Figura 24).
Figura 24. Beneficio obtenido en función de la probabilidad de acudir a embarque para clase turista
Ahora las curvas del número de reservas y beneficio obtenido en función
de la probabilidad de acudir a embarque no son idénticas.
El beneficio obtenido presenta un máximo en función de la probabilidad de
acudir a embarque en clase turista. Para valores de probabilidad mayores de 0,8
Proyecto Fin de Carrera Una Introducción al Problema del Overbooking en el Transporte Aéreo
107
el número de reservas óptimo disminuye y también disminuye el beneficio
obtenido, debido a que el beneficio por la venta de un billete es mayor que el
coste por asiento vacío.
Para valores de probabilidad por debajo de 0,8 sucede que el número de
reservas máximo está limitado por la demanda esperada. No se pueden
reservas plazas por encima de este valor. Al ser la probabilidad de acudir a
embarque tan baja y no poder reservar más plazas por encima de la demanda
esperada, se producirán asientos vacíos en vuelo, haciendo que el beneficio
disminuya.
