12 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD · 57 · 90 = 5130 kg se esperan en un campo de 190 m de largo y 90 m de ancho. Repartos proporcionales 20 Dos albañiles cobran 340 €

Página 60

PRACTICA

1 Calcula mentalmente:

a) 25% de 400 b) 125% de 400 c) 25% de 80

d) 125% de 80 e) 75% de 400 f) 175% de 600

g) 20% de 2 000 h) 120% de 2 000

a) 100 b) 500 c) 20 d) 100 e) 300 f ) 1 050 g) 400 h) 2 400

2 Halla:

a) 30% de 1 670 b) 12% de 3 075 c) 43% de 4 600

d) 16% de 25 e) 115% de 1 640 f) 165% de 7 800

g) 0,3% de 5 000 h) 1,2% de 2 000

a) 30% de 1 670 = 1 670 · 0,3 = 501

b) 12% de 3 075 = 3 075 · 0,12 = 369

c) 43% de 4 600 = 4 600 · 0,43 = 1 978

d) 16% de 25 = 25 · 0,16 = 4

e) 115% de 1 640 = 1 640 · 1,15 = 1 886

f ) 165% de 7 800 = 7 800 · 1,65 = 12 870

g) 0,3% de 5 000 = 5 000 · 0,003 = 15

h) 1,2% de 2 000 = 2 000 · 0,012 = 24

3 Completa la tabla que hace corresponder cada porcentaje con un número de-cimal:

4 Completa la tabla como en el ejemplo:

Pág. 1

1 SOLUCIONES A LOS E JERCIC IOSDE LA UNIDAD

Unidad 2. Problemas de proporcionalidad

2

30% 61% 120% 180% 240%

0,30 0,03 1,80 2,70

30% 61% 3% 120% 180% 240% 270%

0,30 0,61 0,03 1,20 1,80 2,40 2,70

400 640 850 1 280

15% 35% 12%

60 136 87 64

TOTAL

%PARTE

400 640 850 725 1 280

15% 35% 16% 12% 5%

60 224 136 87 64

TOTAL

%PARTE

5 Calcula x en cada proporción:

a) = b) =

c) = d) =

a) = → x = = 660

b) = → x = = 24

c) = → x = = 54

d) = → x = = 13

6 Completa la tabla sabiendo que las magnitudes A y B son directamenteproporcionales.

7 Completa la tabla sabiendo que las magnitudes M y N son inversamenteproporcionales.

PIENSA Y RESUELVE

Proporc iona l idad d i rec ta e inversa

8 El dueño de un papelería ha abonado una factura de 670 € por un pedido de25 cajas de folios. ¿A cuánto ascenderá la factura de un segundo pedido de 17cajas? ¿Cuántas cajas recibirá en un tercer pedido que genera una factura de938 €?

Directamente proporcionales:938 · 25

y = ———– = 35 cajas recibirá en el tercer pedido670

670 € → 25 cajas938 → y


x = ———– = 455,6 € costarán 17 cajas25

25 cajas → 670 €17 cajas → x

17 · 143187

143187

x17

12 · 6314

1463

12x

45 · 72135

x45

72135

30 · 44020

400x

2030

143187

x17

1463

12x

x45

72135

440x

2030

Pág. 2



2

1 5 10 15 45 83

24AB

1 5 10 15 45 83

2,4 12 24 36 108 199,2AB

1 2 3 4 6 9

18MN

1 2 3 4 6 9

72 36 24 18 12 8MN

Otra forma:

670 : 25 = 26,8 € cuesta 1 caja.

26,8 · 17 = 455,6 € costarán 17 cajas.

938 : 26,8 = 35 cajas recibirá en el tercer pedido.

9 Cinco carpinteros necesita 21 días para entarimar un suelo. ¿Cuántos carpin-teros serán necesarios si se desea hacer el trabajo en 15 días?

Otra forma:

21 · 5 = 105 carpinteros serían necesarios para tardar 1 día.

105 : 15 = 7 carpinteros serían necesarios para tardar 15 días.

10 Los vecinos de una urbanización abonan 390 € mensuales por las 130 farolasque alumbran sus calles. ¿Cuántas farolas han de suprimir si desean reducir lafactura mensual a 240 €?

130 – 80 = 50 farolas han de suprimir.

Otra forma:

390 : 130 = 3 € pagan por cada farola.

240 : 3 = 80 farolas quedarán.

130 – 80 = 50 farolas han de suprimir.

11 Un campamento de refugiados que alberga a 4 600 personas tiene víveres pa-ra 24 semanas. ¿En cuánto se reducirá ese tiempo con la llegada de 200 nue-vos refugiados?

4 600 + 200 = 4 800 refugiados habrá con los nuevos.

Se reducirá en 1 semana.

Otra forma:

4 600 · 24 = 110 400 semanas durarían los víveres para 1 persona.

110 400 : 4 800 = 23 semanas durarán los víveres para 4 800 refugiados.

24 – 23 = 1 semana se reducirá el tiempo.

Inversamente proporcionales:4 600 · 24

x = ———––– = 23 semanas durarán4 800

los viveres

4 600 personas → 24 semanas4 800 personas → x


x = ———–– = 80 farolas quedarán390

390 € → 130 farolas240 € → x

Inversamente proporcionales:21 · 5

x = ——— = 7 carpinteros15

21 días → 5 carpinteros15 días → x

Pág. 3



2

12 Una finca tiene una valla antigua sostenida por 650 postes que están coloca-dos a intervalos de 1,20 m. ¿Cuántos postes se necesitarán para la nueva vallaen la que los postes se colocarán a intervalos de 1,30 m?

Otra forma:

1,20 · 650 = 780 postes necesitaríamos con 1 m de distancia entre ellos.

780 : 1,30 = 600 postes se necesitarán con 1,30 m de distancia entre ellos.

13 Un manantial tarda cinco horas y veinte minutos en llenar un pilón de 7 800litros. ¿Cuántos litros aporta el manantial a la semana?

5 h 20 min = 320 minutos; 1 semana = 7 · 24 · 60 = 10 080 minutos.

Otra forma:

7 800 : 320 = 24,375 litros aporta en 1 minuto.

10 080 · 24,375 = 245 700 litros aporta en una semana.

14 Un peregrino del Camino de Santiago ha invertido 5 días y 2 horas en cubriruna distancia de 128 kilómetros. Sabiendo que en cada jornada camina du-rante seis horas, ¿qué distancia recorre al día?

5 días · 6 horas/día = 30 horas

30 horas + 2 horas = 32 horas ha tardado en recorrer 128 km.

128 : 32 = 4 km recorre en 1 hora.

4 · 6 = 24 km recorre al día.

Otra forma:

15 Una locomotora, a 85 km/h, tarda tres horas y dieciocho minutos en realizarel viaje de ida entre dos ciudades. ¿Cuánto tardará en el viaje de vuelta si au-menta su velocidad a 110 km/h?

3 horas 18 minutos = 198 minutos

Inversamente proporcionales:85 · 198

x = ———– = 153 min = 2 horas 33 min110

85 km/h → 198 min110 km/h → x


x = ——— = 24 km recorre al día.32

32 horas → 128 km6 horas → x

Directamente proporcionales:10 080 · 7 800

x = ———––––– = 245 700 litros en una320

semana

320 min → 7 800 litros10 080 min → x

Inversamente proporcionales:1,20 · 650

x = ———––– = 600 postes1,30

1,20 m → 650 postes1,30 m → x

Pág. 4



2

Otra forma:

3 horas 18 min = 3,3 horas

85 km/h · 3,3 h = 280,5 km recorre en total.

280,5 : 110 = 2,55 horas tarda en la vuelta = 2 horas 33 minutos.

Proporc iona l idad

16 Cuatro mineros abren una galería de 15 metros de longitud en 9 días. ¿Cuán-tos metros de galería abrirán 6 mineros en 15 días?

Abrirán 37,5 metros

Otra forma:

15 : 4 = 3,75 m abrirá 1 minero en 9 días.

3,75 : 9 = m abrirá 1 minero en 1 día.

· 6 = 2,5 m abrirán 6 mineros en 1 día.

2,5 · 15 = 37,5 m abrirán 6 mineros en 15 días.

Página 61

17 Cinco obreros, trabajando 6 horas diarias, han necesitado 12 días para levan-tar un muro. ¿Cuántos obreros necitamos para construir ese muro en 9 días,trabajando jornadas de 10 horas?

512

512

Pág. 5



2

→→

4 9 15

1 1 =

6 15 · 6 · 15 = 37,5512

512

154 · 9

Nº– DE MINEROS Nº– DE DÍAS LONGITUD (m)

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

PROP. DIRECTA

→→

6 12 5

1 1 5 · 6 · 12 = 360

10 9 = 436010 · 9

Nº– DE HORAS DIARIAS Nº– DE DÍAS Nº– DE OBREROS

PROPORCIONALIDAD INVERSA

PROP. INVERSA

Habrían sido necesarios 4 obreros.

Otra forma:

5 · 12 = 60 días tardaría 1 obrero trabajando 6 horas diarias.

60 · 6 = 360 horas tardaría 1 obrero en hacer todo el trabajo.

360 : 10 = 36 días tardaría 1 obrero trabajando 10 horas diarias.

36 : 9 = 4 obreros serían necesarios para acabar enn 9 días a 10 horas diarias.

18 En una cadena de montaje, 17 operarios, trabajando 8 horas al día, ensam-blan 850 aparatos de radio a la semana. ¿Cuántas horas diarias deben trabajarla próxima semana, para atender un pedido de 1 000 aparatos, teniendo encuenta que se añadirá un refuerzo de tres trabajadores?

Deberán trabajar 8 horas diarias.

Otra forma:

8 · 17 = 136 horas necesitaría 1 operario para ensamblar 850 aparatos.

136 : 850 = 0,16 horas necesitaría 1 operario para ensamblar 1 aparato.

0,16 · 1 000 = 160 horas necesitaría 1 operario para ensamblar 1 000 aparatos.

160 : 20 = 8 horas diarias deben trabajar 20 operarios para ensamblar 1 000aparatos.

19 En un campo de 200 m de largo y 80 m de anchura, se ha recogido una cosechade 4 800 kg de trigo. ¿Qué cosecha podemos esperar de otro campo que mide190 m de largo y 90 m de ancho?

Pág. 6



2

→→

17 850 8

1 1 = 0,16

20 1 000 = 80,16 · 1 00020

8 · 17850

Nº– DE OPERARIOS Nº– DE APARATOS Nº– DE HORAS DIARIAS


PROP. DIRECTA

→→

200 80 4 800

1 1 = 0,3

190 90 0,3 · 190 · 90 = 5 130

4 800200 · 80

LONGITUD (m) ANCHURA (m) COSECHA (kg)

PROPORCIONALIDAD DIRECTA

PROP. DIRECTA

Se puede esperar una cosecha de 5 130 kg de trigo.

Otra forma:

4 800 : 200 = 24 kg se esperan en un campo de 1 m de largo y 80 m de ancho.

24 : 80 = 0,3 kg se esperan en un campo de 1 m de largo y 1 m de ancho.

0,3 · 190 = 57 kg se esperan en un campo de 190 m de largo y 1 m de ancho.

57 · 90 = 5 130 kg se esperan en un campo de 190 m de largo y 90 m de ancho.

Repar tos proporc iona les

20 Dos albañiles cobran 340 € por un trabajo realizado conjuntamente. Si elprimero trabajó tres jornadas y media y el segundo cinco jornadas, ¿cuántocobrará cada uno?

340 € : 8,5 jornadas = 40 € cobrará por 1 jornada.

1er– albañil → 3,5 jornadas → 3,5 · 40 = 140 € cobrará

2º– albañil → 5 jornadas → 5 · 40 = 200 € cobrará

21 Tres hermanos se reparten una herencia de 2 820 € de forma que por cadacinco euros que reciba el mayor, el mediano recibirá cuatro, y el pequeño,tres. ¿Qué cantidad se lleva cada uno?

Mayor → 5x → 5 · 235 = 1 175 € se llevará.

Mediano → 4x → 4 · 235 = 940 € se llevará.

Pequeño → 3x → 3 · 235 = 705 € se llevará.

Total = 12x = 2 820 € → x = 2 820 : 12 = 235

22 Se han abonado 6 888 € por la limpieza de un bosque realizada por dos bri-gadas de trabajadores. La primera brigada está formada por 12 operarios y hatrabajado durante 8 días. La segunda brigada tiene 15 hombres y ha trabaja-do 10 días. ¿Cuánto corresponde a cada brigada?

1ª– brigada → 12 · 8 = 96 días deben pagar a la 1ª– brigada.

2ª– brigada → 15 · 10 = 150 días deben pagar a la 2ª– brigada.

Suma = 246 días

= 2 688 € deben pagar a la 1ª– brigada.

= 4 200 € deben pagar a la 2ª– brigada.

23 Tres socios han obtenido en su negocio un beneficio de 12 900 €. ¿Qué par-te corresponde a cada uno si el primero aportó inicialmente 18 000 €, el se-gundo, 15 000 €, y el tercero, 10 000 €?

6 888 · 150246

6 888 · 96246

Pág. 7



2

12 900 : 43 000 = 0,3 € corresponden por cada euro invertido.

1er– socio → 18 000 € → 0,3 · 18 000 = 5 400 € le corresponden.

2º– socio → 15 000 € → 0,3 · 15 000 = 4 500 € le corresponden.

3er– socio → 10 000 € → 0,3 · 10 000 = 3 000 € le corresponden.

Suma = 43 000 € aportan entre los tres.

Mezc las

24 En una bodega se mezclan 6 hl de vino de alta calidad que cuesta a 300 € elhectólitro, con 10 hl de vino de calidad inferior a 220 €/hl. ¿A cómo sale ellitro del vino resultante?

Precio de la mezcla = = = 250 € cuesta 1 hl de mezcla.

→ 250 : 100 = 2,5 € cuesta 1 l de mezcla.

25 Se han vertido 3 litros de agua, a 15 °C, en una olla que contenía 6 litros deagua a 60 °C. ¿A qué temperatura está ahora el agua de la olla?

Temperatura mezcla = = 45 °C

26 Se ha fundido un lingote de oro de 3 kg de peso y 80% de pureza, junto conotro lingote de 1 kg y 64% de pureza. ¿Cuál es la pureza del lingote resultan-te?

Proporción de oro en la mezcla = = 0,76 → 76% de pureza.

Es decir, hay un 76% de oro en el lingote resultante.

3,044

4059

4 00016

Coste totalCantidad total

Pág. 8



2

6 300 € 6 · 300 = 1 800

10 220 € 10 · 220 = 2 200

16 4 000

CANTIDAD (hl ) PRECIO (hl ) COSTE €

ALTA CALIDAD

BAJA CALIDAD

MEZCLA

3 15 3 · 15 = 45

6 60 6 · 60 = 360

9 405

CANTIDAD (l ) TEMPERATURA (°C)

1ª– CANTIDAD

2ª– CANTIDAD

3ª– CANTIDAD

3 80% 3 · 0,8 = 2,4

1 64% 1 · 0,64 = 0,64

4 3,04

CANTIDAD (kg) PUREZA (%) CANTIDAD DE ORO (kg)

1er– LINGOTE

2º– LINGOTE

MEZCLA

27 Se funden 3 kg de oro puro con 7 kg de oro de 20 quilates. ¿Cuál es la ley dellingote resultante?

☛ El oro puro tiene una ley de 24 quilates que significa una pureza del 100%. Unaley de 20 quilates significa que de 24 partes del peso del lingote, 20 son de oro.

Proporción de oro en la mezcla = = � 0,88 (88% de oro).

Para hallar a cuántos quilates corresponde hacemos:

= → x = = 21,2 quilates

Móvi les

28 Dos ciudades A y B distan 350 km. De A sale hacia B un coche a 110km/h. Simultáneamente sale de B hacia A un camión a 90 km/h. Calcula eltiempo que tardarán en encontrarse y la distancia que recorre cada uno.

Se aproximan a una velocidad de: 110 + 90 = 200 km/h

• Tiempo que tardan en encontrarse:

t = = = 1,75 horas = 1 hora 45 minutos

• Distancia que recorre cada uno:

110 · 1,75 = 192,5 km recorre el que sale de A.

350 – 192,5 = 157,5 km recorre el que sale de B.

29 Un autobús sale de A a 105 km/h. Simultáneamente sale de B un coche a120 km/h. La distancia entre A y B es de 300 km. Calcula la distancia que re-corre cada uno hasta que se cruzan.

Se aproximan a una velocidad de: 105 + 120 = 225 km/h

350200

dv

53 · 2460

x24

5360

5360

53/610

Pág. 9



2

3 1 3 · 1 = 3

7 = · 7 =

10 3 + = 536

356

356

56

56

2024

CANTIDAD (kg) PROPORCIÓN DE ORO CANTIDAD DE ORO (kg)

1er– LINGOTE

2º– LINGOTE

MEZCLA

A B350 km

110 km/h 90 km/h

A B300 km

105 km/h 120 km/h

• Tiempo que tardan en encontrarse:

t = = = 1,3)

horas = 1 h 20 min

• Distancia que recorre cada uno:

Autobús: d = t · v = 1,3)

· 105 = 140 km

Coche: d = t · v = 1,3)

· 120 = 160 km

30 Un camión sale de cierta población a una velocidad de 90 km/h. Cinco mi-nutos más tarde sale en su persecución una moto a 120 km/h. ¿Cuánto tiem-po tarda la moto en alcanzar al camión?

Al cabo de los 5 minutos, el camión ha recorrido:

= 7,5 km le lleva de ventaja.

Se aproximan a una velocidad de: 120 – 90 = 30 km/h

• Tiempo que tarda en alcanzarlo:

t = = = 0,25 horas = 15 minutos

Porcenta jes

31 El 64% de los 875 alumnos y alumnas de un colegio están matriculadosen Educación Secundaria. ¿Cuántos de ellos no son de Secundaria?

64% de 875 = 0,64 · 875 = 560 son de Secundaria.

875 – 560 = 315 no son de Secundaria.

Otra forma:

64% son de secundaria → 100% – 64% = 36% no son de Secundaria.

36% de 875 = 0,36 · 875 = 315 no son de Secundaria.

32 Un pantano contenía en enero un millón de metros cúbicos de agua y estaballeno. Sus reservas se redujeron en abril al 80% de la capacidad, y en agosto,al 30%. ¿Cuántos metros cúbicos de agua contenía en abril? ¿Y en agosto?

Abril: 1 000 000 · 0,8 = 800 000 m3 de agua

Agosto: 1 000 000 · 0,3 = 300 000 m3 de agua

7,530

dv

5 · 9060

300225

dv

Pág. 10



2

A B7,5 km

120 km/h 90 km/h

Página 62

33 El precio de un artículo sin IVA es de 725 €. Si he pagado 841 €, ¿qué por-centaje de IVA me han cargado?

725 · x = 841 → x = = 1,16

El porcentaje de IVA es del 16%.

34 Se han pagado 45 € por una entrada para un partido adquirida en la reventa.Si el revendedor ha cobrado el 180% del precio original, ¿cuánto costaba laentrada en taquilla?

x · 1,8 = 45 → x = = 25 €

35 Un litro de gasolina costaba en enero 0,88 €, pero ha sufrido dos subidas enlos últimos meses, la primera de un 5% y la segunda, un 4%. ¿Cuánto cuestaahora un litro de combustible?

Primera subida: 0,88 · 1,05 = 0,924 €

Segunda subida: 0,924 · 1,04 = 0,96096 ≈ 0,96 €

Un litro de combustible cuesta unos 0,96 €.

36 El precio del aluminio que se emplea en las ventanas ha subido dos veces eneste año. La primera un 15% y la segunda un 8%. Pero en el último trimes-tre ha bajado un 6%. ¿Cuál ha sido el porcentaje de subida al cabo del año?

1 + 0,15 = 1,15 ← primera subida

1 + 0,08 = 1,08 ← segunda subida

1 – 0,06 = 0,94 ← bajada

1,15 · 1,08 · 0,94 = 1,16748

Ha habido un subida del 16,748%.

37 De los 240 viajeros que ocupan un avión, el 30% son asiáticos, el 15% afri-canos, el 25% americanos y el resto europeos. ¿Cuánto europeos viajan en elavión?

30% + 15% + 25% = 70% no son europeos.

100% – 70% = 30% son europeos.

30% de 240 = 0,30 · 240 = 72 viajeros son europeos.

38 Un cine tiene 520 butacas ocupadas, lo que supone el 65% del total. ¿Cuál esla capacidad del cine?

65% de x = 520 → x = 520 : 0,65 = 800 butacas hay en total.

451,8

841725

Pág. 11



2

39 Los resultados en tiros de tres puntos obtenidos por tres jugadores de balon-cesto han sido:

¿Cuántos intentos ha hecho cada uno?

Jugador A → 48,3% de x = 15 → x = 15 : 0,483 � 31 intentos

Jugador B → 45,5% de y = 20 → y = 20 : 0,455 � 44 intentos

Jugador C → 35% de z = 14 → z = 14 : 0,35 = 40 intentos

40 Calcula el coste final detodos estos artículos, te-niendo en cuenta la rebajaque se anuncia.

Rebaja del 15% → Pagamos 100% – 15% = 85%

Los precios ya rebajados serán:

• Pantalón → 85% de 54 = 0,85 · 54 = 45,9 €

• Chaqueta → 85% de 108 = 0,85 · 108 = 91,8 €

• Guantes → 85% de 22,4 = 0,85 · 22,4 = 19,04 €

• Calcetines → 85% de 4,28 = 0,85 · 4,28 = 3,638 � 3,64 €

• Zapatos → 85% de 62 = 0,85 · 62 = 52,7 €

41 He pagado 16,28 € por una camisa que estaba rebajada un 12%. ¿Cuántocostaba la camisa sin rebaja?

Rebaja del 12% → He pagado 100% – 12% = 88%

88% de x = 16,28 → x = 16,28 : 0,88 = 18,5 € costaba sin rebaja.

42 Un panadero vende el pan de un kilo a 2,10 € y la barra de cuarto de kilo a0,4 €.

Si ha decidido subir sus productos en 12%, ¿cuáles serán los nuevos precios?

Subida del 12% → Pagamos 100% + 12% = 112%

• Pan de 1 kg → 112% de 2,10 = 1,12 · 2,10 = 2,352 � 2,35 €

• Barra de kg → 112% de 0,4 = 1,12 · 0,4 = 0,448 � 0,45 €14

Pág. 12



2

REBAJAS 15%

JUGADOR A B CTIROS CONSEGUIDOS

%

15 20 14

48,3 45,5 35

43 A María, en su factura del agua, le aplican un recargo del 10% sobre el costetotal por exceso de consumo, un descuento del 15%, también sobre el total,por ser empleada de la compañia suministradora, y a la cantidad resultante sele aplica un 16% de IVA. ¿Cuánto tendrá que pagar finalmente si, según elcontador, la cuota era de 120 €?

120 € · 1,10 · 0,85 · 1,16 = 130,152 € ≈ 130,15 € tendrá que pagar.

In terés s imple

44 Calcular el beneficio obtenido de un capital de 5 000 € colocado al 2,5%anual durante 7 meses.

5 000 · 0,025 = 125 € de beneficio por un año.

� 72,92 € de beneficio por 7 meses.

45 Un agricultor compra una finca de 24 ha a 1,2 € el metro cuadrado, acor-dando saldar su deuda tres años más tarde con un interés del 3% anual. ¿Quécantidad deberá abonar al cabo de tres años?

24 ha = 24 hm2 = 240 000 m2

240 000 · 1,2 = 288 000 € costaba la finca.

288 000 · 0,03 = 8 640 € de interés anual ha de pagar.

8 640 · 3 = 25 920 € de interés debe pagar por los 3 años.

288 000 + 25 920 = 313 920 € deberá abonar al cabo de los 3 años.

46 ¿Qué beneficio obtiene un prestamista que cede un capital de 2 500 €, al12% anual, durante 45 días?

2 500 · 0,12 = 300 € de beneficio obtendría por 1 año.

= 36,99 € de beneficio obtiene por 45 días.

47 Un banco cobra un interés del 19% anual por los descubiertos en las cuentas.¿Qué coste tiene para un cliente haber dejado su cuenta con un déficit de75 € durante 15 días?

75 · 0,19 = 14,25 € le cobrarían por un año.

� 0,59 € le cuesta por 15 días.

48 ¿Qué renta mensual obtiene un inversionista que coloca un capital de18 500 €, al 6,25%, durante 30 días?

18 500 · 0,0625 = 1 156,25 € obtendría de beneficio por 1 año.

1 156,25 : 12 � 96,35 € obtiene de beneficio por un mes.

14,25 · 15365

300 · 45365

125 · 712

Pág. 13



2

In terés compues to

49 ¿En cuánto se convertirá un capital de 80 000 €, colocado al 4% anual, si semantiene en el banco durante tres años sin retirar los intereses?

80 000 · 1,043 = 89 989,12 €

Página 63

50 Calcula el beneficio conseguido por un capital de 2 000 € colocados durante2 años al 5% de interés compuesto anual.

2 000 · 1,052 = 2 205 € habrá al cabo de dos años.

2 205 – 2 000 = 205 € de beneficio.

51 Se colocan en el banco 3 400 €, al 25% de interés compuesto anual, duran-te 3 años. ¿Qué cantidad se retirará al final del período?

3 400 · 1,0253 � 3 661,43 €

REFLEXIONA SOBRE LA TEORÍA

52 Justifica por qué al repartir una cantidad en partes proporcionales a 2, 3 y 5,se obtiene el mismo resultado que si se reparte en partes proporcionales a 4,6 y 10.

2 + 3 + 5 = 10. El reparto es , , de la cantidad.

4 + 6 + 10 = 20. El reparto es , , de la cantidad.

Y es: = , = , = .

53 Dos coches salen a la misma hora de dos poblaciones A y B, uno al en-cuentro del otro.

¿Cuál debe ser la razón de sus velocidades para que se encuentren en el puntomedio, M? ¿Y para que se encuentren en el punto K? ¿Y para que se encuen-tren en el punto H?

Para que se encuentren en M, sus velocidades han de ser iguales (distancias re-corridas iguales).

Para que se encuentren en K, (la distancia que recorre el que sale de A es

de la distancia que recorre el que sale de B) la velocidad de B ha de ser 4 ve-

ces la de A; o la de A, de la de B.14

14

1020

510

620

310

420

210

1020

620

420

510

310

210

Pág. 14



2

A K M H B

Para que se encuentren en H, la razón de sus velocidades será:

= o =

54 Se quiere repartir una cantidad C en partes proporcionales a m, n y p. Es-cribe las fórmulas que expresan las partes Pm, Pn y Pp, en que quedará di-vidida dicha cantidad.

Pm = ; Pn = ; Pp =

55 Una cantidad C se ha repartido en partes proporcionales a tres números, a,b y c. Las partes obtenidas han sido C/2, C/3 y C/6. ¿Cuáles son los nú-meros a, b y c?

1ª– parte → = → a = 3

2ª– parte → = → b = 2

3ª– parte → → c = 1

56 Una cantidad, A, rebajada un 15%, se ha convertido en otra cantidad B deforma que A · k = B ¿Cuál es el valor de k ?

k = 0,85

57 Una cantidad, M, aumentada en un 5% se ha convertido en otra cantidad H,de forma que M · k = H. ¿Cuál es el valor de k?

k = 1,05

58 ¿Qué porcentaje es?

a) El 50% del 50% b) El 10% del 10% c) El 20% del 25%

d) El 80% del 20% e) El 20% del 120% f) El 50% del 200%

a) 50% del 50% → 0,5 · 0,5 = 0,25 → 25%

b) 10% del 10% → 0,1 · 0,1 = 0,01 → 1%

c) 20% del 25% → 0,2 · 0,25 = 0,05 → 5%

d) 80% del 20% → 0,8 · 0,2 = 0,16 → 16%

e) 20% del 120% → 0,2 · 1,2 = 0,24 → 24%

f) 50% del 200% → 0,5 · 2 = 1 → 100%

C6

2C6

C3

3C6

C2

C · pm + n + p

C · nm + n + p

C · mm + n + p

19

vB

vA

91

vA

vB

Pág. 15



2

59 ¿Cuál es el beneficio, I, obtenido al colocar en el banco un capital, C, du-rante 5 meses, con un interés del 4% anual?

I = = 0,0167C → El 1,67% de C

60 ¿Cuál es el beneficio obtenido al colocar en el banco un capital, C, durante85 días, con un interés del 4% anual?

I = = 0,009315C → El 0,93% de C

PROFUNDIZA

61 Cinco camiones, haciendo 6 viajes al día, consiguen evacuar 600 m3 de tierraen 4 días. ¿Cuántos días tardarán 7 camiones en mover 3 500 m3 de tierra sidesescombran en un vertedero más próximo, lo que permite a cada camiónrealizar 10 viajes al día?

Tardarán 10 días

Otra forma:

5 · 6 = 30 viajes para 600 m3 un camión en 4 días.

30 · 4 = 120 viajes para 600 m3 un camión en 1 día.

600 : 120 = 5 m3 en un viaje en camión.

5 · 7 = 35 m3 en un viaje 7 camiones.

35 · 10 = 350 m3 en 10 viajes 7 camiones.

3 500 : 350 = 10 días tardarán 7 camiones, con 10 viajes al día, en desescombrar3 500 m3 de tierra.

C · 0,04 · 85365

C · 0,04 · 512

Pág. 16



2

5 6 600 4

1 1 1 = 0,2

7 10 3 500 = 100,2 · 3 5007 · 10

4 · 5 · 6600

Nº– DE CAMIONES Nº– DE VIAJES AL DÍA m3 DE TIERRA Nº– DE DÍAS


PROP. INVERSA

PROP. DIRECTA

↓

→

→

62 Un albañil tarda 6 horas en enfoscar un muro. Un segundo albañil es capazde realizar ese mismo trabajo en 4 horas. ¿Cuánto tiempo tardarían en hacer-lo trabajando juntos?

1er– albañil → Tarda 6 horas → Hace en 1 hora.

2º– albañil → Tarda 4 horas → Hace en 1 hora.

Entre los dos hacen en 1 hora:

+ = + = del total

Por tanto, trabajando juntos tardarán:

hora = 2 horas 24 minutos

63 Un coche realiza el viaje desde la ciudad A hasta la ciudad B en 5 horas, yun camión realiza el recorrido contrario, de B a A en 7 horas. Si ambosparten simultáneamente, ¿cuánto tardarán en cruzarse?

Coche → Tarda 5 horas → del camino en 1 hora.

Camión → Tarda 7 horas → del camino en 1 hora.

Entre los dos recorren en 1 hora:

+ = + = del camino

Por tanto, tardarán en encontrarse:

horas = 2 horas 55 minutos

64 Una piscina tiene un grifo que la llena en 9 horas y un desagüe que la vacíaen 12 horas. ¿Cuánto tardaría en llenarse si por un descuido nos dejáramosabierto el desagüe?

Grifo → La llena en 9 horas → Llena de piscina en 1 hora.

Desagüe → La vacía en 12 horas → Vacía de piscina en 1 hora.

Si abrimos el grifo y el desagüe, en 1 hora se llena:

– = – = de piscina.

Por tanto, tardaría 36 horas en llenarse.

136

336

436

112

19

112

19

3512

1235

535

735

17

15

17

15

125

512

312

212

14

16

14

16

Pág. 17



2

65 Se depositan en un banco 72 000 € a un 8% anual y el banco descuenta un15% de los beneficios como retención fiscal.

a) ¿Cuál será el porcentaje neto de rendimiento de ese capital?

b) Si los intereses se acumulan trimestralmente al capital, ¿cuál será el benefi-cio obtenido al cabo de dos años?

a) 0,08 · 0,85 = 0,068 → 6,8% anual

b) 6,8 : 4 = 1,7% trimestral

72 000 · 1,0178 = 82 394,85 € tendremos al cabo de los dos años.

82 394,85 – 72 000 = 10 394,85 € de beneficio.

66 Calcula cuántos litros de una disolución de ácido sulfúrico al 80% hay queañadir a 5 litros de una disolución de ese mismo ácido, al 15%, para subir laconcentración al 20%.

0,2 (x + 5) = 0,8x + 0,75 → 0,2x + 1 = 0,8x + 0,75

0,25 = 0,6x → x = � 0,417 litros0,250,6

Pág. 18



2

x 80% 0,8x5 15% 0,15 · 5 = 0,75

x + 5 20% 0,2(x + 5) = 0,8x + 0,75

CANTIDAD (l ) % CANTIDAD DE ÁCIDO SULFÚRICO (l )

1ª– DISOLUCIÓN

2ª– DISOLUCIÓN

MEZCLA

3Soluciones a los ejercicios y problemas

PÁGINA 79

R A C T I C A

S u c e s i o n e s , f o r m a c i ó n , t é r m i n o g e n e r a l

1 Escribe los cinco primeros términos de las siguientes sucesiones:

a) Cada término se obtiene sumando 7 al anterior. El primero es –10.

b) El primer término es 0,1. Los demás se obtienen multiplicando el anterior por 2.

c) El primero es 2; el segundo, 4, y los siguientes, la semisuma de los dos anteriores.

a) –10, –3, 4, 11, 18, …

b) 0,1; 0,2; 0,4; 0,8; 1,6; …

c) 2; 4; 3; 3,5; 3,25; …

2 Escribe los términos a10 y a25 de las siguientes sucesiones:

a) an = 3n – 1 b) bn = c) cn = (–1)n +

d) dn = 1 + e) en = n (n – 1) f) fn =

a) b) c)

d) e) f )

3 Escribe los cinco primeros términos de la siguiente sucesión:

a1 = 1 an = 2an – 1 + 3

1, 5, 13, 29, 61, …

4 Averigua el criterio con el que se han formado las siguientes sucesiones:

a) 11, 9, 7, 5, … b) , , , , … c) 2,5; 2,9; 3,3; 3,7; …

d) 1, , , , … e) 8, 12, 18, 27, … f) 0, 3, 8, 15, …

a) Restando 2 unidades al término anterior: an = 11 – (n – 1)2 = 13 – 2n

b) Multiplicando por el término anterior: an = n)1

2(12

14

13

12

116

18

14

12

8 2f10 = — = —12 323f25 = —27

°§§¢§§£

e10 = 10 · 9 = 90e25 = 25 · 24 = 600

°¢£

d10 = 1,1d25 = 0,9

°¢£

1 11c10 = 1 + — = —10 10

1 24c25 = –1 + — = – —25 25

°§§¢§§£

101b10 = — = 50,52

624b25 = — = 3122

°§§¢§§£

a10 = 29a25 = 74

°¢£

n – 2n + 2

(–1)n

10

1n

n2 + 12

P

Pág. 1

Unidad 3. Progresiones


c) Sumando 0,4 al término anterior: an = 2,5 + (n – 1) · 0,4 = 2,1 + 0,4n

d) Dividiendo 1 por n, lugar que ocupa el término: an =

e) Multiplicando por 1,5 el término anterior: an = 8 · 1,5n – 1

f ) Restando 1 a los cuadrados de los números naturales: an = n2 – 1

5 Esta es la tabla de multiplicar hasta el 5:

a) Observa las filas y las columnas y escribe el término general de cada una.

b) Obtén el término general de la diagonal principal: 1, 4, 9, 16, …

c) La diagonal 2, 6, 12, 20, … se formó así: 1 · 2, 2 · 3, 3 · 4, 4 · 5, … Halla sutérmino general.

a) Los términos generales de las filas y de las columnas son:

1.a fila y 1.a columna: n

2.a fila y 2.a columna: 2n




b) dn = n2

c) dn = n (n + 1) = n2 + n

6 Halla el término general de estas sucesiones:

a) 12, 14, 16, 18, … b) , , , , …

c) 1, 3, 5, 7, … d) 1, 3, 9, 27, …

a) an = 10 + 2n b) an =

c) an = 2n – 1 d) an = 3n – 1

7 Busca una ley de recurrencia para definir las siguientes sucesiones:

a) 8, 10, 2, –8, –10, … b) 1, 2, 2, 1, , …

a) a1 = 8 a2 = 10 an = an – 1 – an – 2

b) a1 = 1 a2 = 2 an = an – 1

an – 2

12

nn + 1

45

34

23

12

Ò 1 2 3 4 5

1 1 2 3 4 5

2 2 4 6 8 10

3 3 6 9 12 15

4 4 8 12 16 20

5 5 10 15 20 25

1n

Pág. 2



P r o g r e s i o n e s a r i t m é t i c a s

8 Escribe los cinco primeros términos y a20 de las siguientes progresionesaritméticas:

a) a1 = 1,5; d = 2

b) a1 = 32; d = –5

c) a1 = 5; d = 0,5

d) a1 = –3; d = – 4

a) 1,5; 3,5; 5,5; 7,5; 9,5; a20 = 1,5 + 19 · 2 = 39,5

b) 32, 27, 22, 17, 12; a20 = 32 + 19 · (–5) = –63

c) 5; 5,5; 6; 6,5; 7; a20 = 5 + 19 · 0,5 = 14,5

d) –3, –7, –11, –15, –19; a20 = –3 + 19 · (–4) = –79

9 Halla, en cada caso, el término general y calcula, después, a50:

a) 25, 18, 11, 4, …

b) –13, –11, –9, –7, …

c) 1,4; 1,9; 2,4; 2,9; …

d) –3, –8, –13, –18, …

a) a1 = 25; d = –7; an = 25 + (n – 1)(–7) = 32 – 7n; a50 = –318

b) a1 = –13; d = 2; an = –13 + (n – 1)2 = –15 + 2n; a50 = 85

c) a1 = 1,4; d = 0,5; an = 1,4 + (n – 1)0,5 = 0,9 + 0,5n; a50 = 25,9

d) a1 = –3; d = –5; an = –3 + (n – 1)(–5) = 2 – 5n; a50 = –248

10 Halla el primer término y el término general de las siguientes progresionesaritméticas:

a) d = 5; a8 = 37 b) a11 = 17; d = 2

☞ Ten en cuenta que a8 = a1 + 7d; sustituye y halla a1.

a) a8 = a1 + 7d 8 37 = a1 + 7 · 5 8 a1 = 2

an = 2 + (n – 1) · 5 = –3 + 5n

b) a11 = a1 + 10d 8 17 = a1 + 10 · 2 8 a1 = –3

an = –3 + (n – 1)2 8 an = –5 + 2n

11 Halla la diferencia y el primer término de las progresiones aritméticas si-guientes:

a) a2 = 18; a7 = –17 b) a4 = 15; a12 = 39

☞ a7 = a2 + 5d

a) a7 = a2 + 5d 8 –17 = 18 + 5d 8 d = –7

a1 = a2 – d 8 a1 = 18 – (–7) = 25

b) a12 = a4 + 8d 8 39 = 15 + 8d 8 d = 3

a4 = a1 + 3d 8 15 = a1 + 9 8 a1 = 6

Pág. 3



12 Calcula la suma de los veinte primeros términos de las siguientes progre-siones aritméticas:

a) a1 = 5; d = 2 b) a1 = –1; a2 = –7

c) Los números pares. d) Los múltiplos de 3.

a) a20 = 5 + 19 · 2 = 43; S20 = = 480

b) d = –7 – (–1) = –6; a20 = –1 + 19 · (–6) = –115

S20 = = –1 160

c) d = 2, a1 = 2, a20 = 2 + 19 · 2 = 40

S20 = = 420

d) a1 = 3, d = 3, a20 = 3 + 19 · 3 = 60

S20 = = 630

13 ¿Qué lugar ocupa un término cuyo valor es 56 en la progresión aritméticadefinida por a1 = 8 y d = 3?

56 = 8 + (n – 1) · 3 8 56 = 5 + 3n 8 n = 17

PÁGINA 80

P r o g r e s i o n e s g e o m é t r i c a s

14 Escribe los cinco primeros términos de las siguientes progresiones geomé-tricas:

a) a1 = 0,3; r = 2 b) a1 = –3; r =

c) a1 = 200; r = –0,1 d) a1 = ; r = 3

a) 0,3; 0,6; 1,2; 2,4; 4,8; … b) –3, – , – , – , – , …

c) 200; –20; 2; –0,2; 0,02; … d) , , , , 1, …

15 Halla, en cada una de las sucesiones siguientes, el término general:

a) 20; 8; 3,2; 1,28; … b) 40, 20, 10, 5, …

c) 6; –9; 13,5; –20,25; … d) 0,48; 4,8; 48; 480; …

a) an = 20 · 0,4n – 1 b) an = 40 · n – 1

c) an = 6 · (–1,5)n – 1 d) an = 0,48 · 10n – 1

)12(

13

19

127

181

316

38

34

32

181

12

(3 + 60) · 202

(2 + 40) · 202

[–1 + (–115)] · 202

(5 + 43) · 202

Pág. 4



16 Calcula la razón y el primer término de las progresiones geométricas si-guientes:

a) a1 = ; a3 =

b) a2 = 0,6; a4 = 2,4

a) a3 = a1r2 8 = · r2 8 r2 = 9 8 r = ±3

Hay dos soluciones

Si r = 3: , , , , …

Si r = –3: , – , , – , …

b) a4 = a2 · r2 8 2,4 = 0,6 · r2 8 r = ±2

Hay dos soluciones:

Si r = 2: 0,3; 0,6; 1,2; 2,4; 4,8; …

Si r = –2: –0,3; 0,6; –1,2; 2,4; –4,8; …

17 Halla el primer término y escribe el término general de las siguientes pro-gresiones:

a) a3 = 3; r =

b) a4 = 20,25; r = –1,5

a) a3 = a1r2 8 3 = a1

28 a1 = 300; an = 300

n – 1

b) a4 = a1r3 8 20,25 = a1 (–1,5)3 8 a1 = –6; an = –6 · (–1,5)n – 1

18 Calcula la suma de los diez primeros términos de las progresiones geomé-tricas siguientes:

a) a1 = 5; r = 1,2

b) a1 = 5; r = –2

a) S10 = = 129,8 b) S10 = = –1 705

19 Halla la suma de los infinitos términos de las progresiones geométricas si-guientes:

a) a1 = 4; r =

b) a1 = 17; r = 0,95

a) S@ = = = 6 b) S@ = = 340171 – 0,95

41 – (1/3)

a1

1 – r

13

5 · (–2)10 – 5–2 – 1

5 · 1,210 – 51,2 – 1

)110()1

10(

110

13

19

127

181

13

19

127

181

181

19

19

181

Pág. 5



I E N S A Y R E S U E LV E

20 Identifica las progresiones aritméticas, las geométricas y las que no sonprogresiones. Obtén el término general de cada una:

a) 1, , , , … b) , , , , …

c) 0,2; 0,02; 0,002; … d) 2, , , , …

a) Progresión aritmética, d = . Término general: an = 1 + (n – 1) = + n

b) No es progresión. Término general: an =

c) Progresión geométrica, r = 0,1.

Término general: an = 0,2 · (0,1)n – 1

d) No es progresión.

Los numeradores 2, 3, 4, 5, … forman una progresión aritmética cuyo términogeneral es n + 1.

Los denominadores 1, 2, 3, 4, … forman una progresión aritmética de términogeneral n.

Término general de la sucesión: an =

21 Calcula la suma de los cinco primeros términos de una progresión geomé-trica en la que a1 = 1 000 y a4 = 8.

¿Se puede hallar la suma de sus infinitos términos?

a4 = a1r3 8 8 = 1 000 · r3 8 r = = =

S5 = = = 1 249,6

Se puede hallar la suma de sus infinitos términos, porque la razón está comprendi-da entre –1 y 1.

S@ = = = 1 250

22 En un teatro, la primera fila dista del escenario 4,5 m, y la octava, 9,75 m.

a) ¿Cuál es la distancia entre dos filas?

b) ¿A qué distancia del escenario está la fila 17?

a) a8 = a1 + 7d 8 9,75 = 4,5 + 7d 8 d = 0,75 m

La distancia entre dos filas es 0,75 m.

b) a17 = a1 + 16 · d = 4,5 + 16 · 0,75 = 16,5 m está la fila 17.

1 0001 – 1/5

a1

1 – r

11 000 · (—)5 – 1 0005

1— – 15

a1r5 – a1r – 1

15

210

3 8√—1 000

n + 1n

√n

18

17

18

18

54

43

32

√4√3√2√1118

54

98

PPág. 6



23 Para preparar una carrera, un deportista comienza corriendo 3 km y au-menta 1,5 km su recorrido cada día. ¿Cuántos días tiene que entrenar para llegara hacer un recorrido de 21 km?

an = a1 + (n – 1)d 8 21 = 3 + (n – 1) · 1,5 8 21 = 1,5 + 1,5n

n = 13 días

24 En el año 1986 fue visto el cometa Halley desde la Tierra, a la que se acer-ca cada 76 años. Esta era la cuarta vez que nos visitaba desde que el astrónomoHalley lo descubrió.

a) ¿En qué año fue descubierto?

b) ¿Cuándo será visto en el siglo XXI?

a) a4 = a1 + 3d 8 1986 = a1 + 3 · 76 8 a1 = 1 758

Fue descubierto en 1758.

b) a5 = 1986 + 76 = 2062

Se verá en 2062.

25 La dosis de un medicamento es 100 mg el primer día y 5 mg menos cadauno de los siguientes. El tratamiento dura 12 días. ¿Cuántos miligramos tieneque tomar el enfermo durante todo el tratamiento?

a12 = a1 + 11d 8 a12 = 100 + 11 · (–5) = 45

S12 = = = 870 mg

26 ¿Cuánto dinero obtendremos si colocamos 3 000 € al 5% de interés anualcompuesto durante 4 años? ¿Y si lo colocamos durante 8 años?

CF = 3 000 · (1,05)4 = 3 646,5 € tendremos al cabo de 4 años.

CF = 3 000 · (1,05)8 = 4 432,4 € tendremos después de 8 años.

27 Un tipo de bacteria se reproduce por bipartición cada cuarto de hora.¿Cuántas bacterias habrá después de 6 horas?

La reproducción de las bacterias es una progresión geométrica de r = 2. Términogeneral: an = 2n – 1.

Como 6 · 4 = 24 cuartos de hora, calculamos a24 = 224 – 1:

a24 = 8 388 608 bacterias habrá después de 6 horas.

28 La población de un cierto país aumenta por término medio un 1,12%anual. Si la población actual es de 3 millones, ¿cuál será dentro de 10 años?

a10 = 3 · 1,129 = 8,32 millones de habitantes dentro de 10 años.

29 Una máquina envasadora pierde cada año un 15% de su valor. Si ha costa-do 20 000 €, ¿cuál será su valor dentro de 5 años?

a5 = a1 · r4 8 a5 = 20 000 · (1 – 0,15)4 = 10 440 € será su valor dentro de 5 años.

(100 + 45) · 122

(a1 + a12) · 12

2

Pág. 7



30 Una bola que rueda por un plano inclinado recorre 1 m en el primer segun-do, 4 m en el segundo, 7 m en el tercero, y así sucesivamente. ¿Cuánto recorre en20 segundos?

1, 4, 7, … es una progresión aritmética con d = 3.

a20 = a1 + 19 · 3 8 a20 = 1 + 19 · 3 = 58 m recorre en 20 s.

PÁGINA 81

31 Calcula el número de bloques necesarios para construir una torre como lade la figura de la página 70, pero que tenga 50 pisos.

Los bloques de la torre están en progresión aritmética con d = 4: 1, 5, 9, 13, …

Hay que calcular la suma de 50 términos:

a50 = a1 + 49d 8 a50 = 1 + 49 · 4 = 197

S50 = = = 4 950 bloques.

32 Depositamos en un banco 1 000 € al 2,5% semestral al comienzo de uncierto año. Averigua el capital disponible al final de cada semestre, durante 3años, si no sacamos ningún dinero.

Es una progresión geométrica de razón 1 + = 1,025.

3 años son 6 semestres. Sus términos son:

1 000 · 1,025; 1 000 · 1,0252; 1 000 · 1,0253; 1 000 · 1,0254; 1 000 · 1,0255; 1 000 · 1,0256 8 1 025; 1 050,63; 1 076,89; 1 103,81; 1 131,41; 1 158,69

33 Si al comienzo de cada año ingresamos 2 000 € en un banco al 5% anual,¿cuánto dinero tendremos al final del sexto año?

☞ Mira el problema resuelto 2 de la página 78.

El capital disponible al final es la suma de los términos de una progresión geométri-ca de razón 1,05.

S = 2 000 · 1,05 + 2 000 · 1,052 + … + 2 000 · 1,056

S = = = = 14 284 €

35 Calcula la fracción generatriz de estos números utilizando el método delejercicio anterior:

a) 7,)3

b) 3,5)4

c) 0,)23

2 000(1,057 – 1,05)0,05

2 000 · 1,057 – 2 000 · 1,051,05 – 1

a6r – a1

r – 1

)2,5100(

(1 + 197) · 502

(a1 + a50) · 50

2

Pág. 8



a) 7,3)

= 7,3333… = 7 + 0,3 + 0,03 + 0,003 + …

Suma de los infinitos términos de la progresión , , …

S@ = = =

7,3)

= 7 + =

b) 3,54)

= 3,54444… = 3,5 + 0,04 + 0,004 + 0,0004 + … =

= + + + + …

S@ = = =

3,54)

= + =

c) 0,23)

= 0,23232323… = + + + …

S@ = =

0,23)

=

E F L E X I O N A S O B R E L A T E O R Í A

36 En la progresión 2, , , , … ¿se puede hallar la suma de sus infinitos

términos? Justifica la respuesta.

No se puede hallar la suma de los infinitos términos de esa progresión geométrica

porque su razón es , que es mayor que 1.

37 Si en una progresión aritmética sabemos que a2 + a13 = 32; ¿podemos sa-ber cuánto vale a8 + a7? ¿Por qué?

a8 + a7 suma lo mismo que a2 + a13 = 32, porque:

a2 + a13 = (a1 + d ) + (a1 + 12d ) = 2a1 + 13d

a8 + a7 = (a1 + 7d ) + (a1 + 6d ) = 2a1 + 13d

38 Una empresa ofrece a un empleado un sueldo de 1 000 € y una subida de100 € al año. Otra le ofrece el mismo sueldo con una subida del 10% anual. Ra-zona cuál de las dos es mejor comparando el sueldo dentro de 10 años.

Empresa A: 1 000, 1 100, 1 200, 1 300, … a10 = 1 000 + 9 · 100 = 1 900 €

Empresa B : 1 000, 1 100, 1 210, 1 331, … a10 = 1 000 · (1,1)9 = 2 357,9 €

Es mejor la oferta de la empresa B.

54

12532

258

52

R

2399

2399

23/1001 – 1/100

231 000 000

2310 000

23100

31990

245

3510

245

40900

4/1001 – 1/10

410 000

41 000

4100

3510

223

13

13

39

3/101 – 1/10

31 000

3100

310

Pág. 9



R O F U N D I Z A

39 Dibuja un triángulo equilátero de 16 cm de lado. Une los puntos mediosde sus lados. ¿Cuántos triángulos obtienes? ¿Cuánto miden sus lados?

En estos triángulos, vuelve a unir los puntos medios, y así sucesivamente.

Escribe las siguientes sucesiones:

a) Número de triángulos que tienes cada vez.

b) Longitudes de los lados de esos triángulos.

c) Áreas de los triángulos.

d) Si multiplicas cada término de la sucesión obtenida en a) por el correspondien-te de la sucesión obtenida en c), ¿qué obtienes?

a) a1 = 1, a2 = 4, a3 = 16, a4 = 64, a5 = 256, …

Es una progresión geométrica de razón r = 4.

an = a1 · rn – 1 = 1 · 4n – 1 = 4n – 1 8 an = 4n – 1

b) b1 = 16, b2 = 8, b3 = 4, b4 = 2, b5 = 1, …

Es una progresión geométrica de razón r = .

bn = b1 · rn – 1 = 16 · n – 1

= 24 · = = 24 – (n – 1) = 24 – n + 1 = 25 – n

bn = 25 – n

c) c1 = 64 , c2 = 16 , c3 = 4 , c4 = , c5 = , …

Es una progresión geométrica de razón r = .

cn = c1 · rn – 1 = 64 ·n – 1

= 26 · ·n – 1

= 26 · · =

= · = · 26 – (2n – 2) = · 26 – 2n + 2 = · 28 – 2n

cn = 28 – 2n ·

d) El área del triángulo original; es decir, es 64 cm2.√3

√3

√3√3√326

22n – 2√3

122n – 2

√3)122(√3)1

4(√3

14

√34

√3√3√3√3

24

2n – 11

2n – 1)12(

12

PPág. 10



40 Observa los diferentes cuadrados que hay en esta figura. Se han obtenidouniendo los puntos medios de dos lados contiguos:

a) Halla las áreas de los seis primeros cuadrados de esta sucesión. ¿Cuál será sutérmino general?

b) Escribe la sucesión formada por las longitudes de los lados.

c) Calcula la suma de las áreas de los infinitos cuadrados generados de esa forma.

a) Observamos que el área de cada cuadrado es la mitad del área del cuadrado ante-rior. Por tanto, la sucesión de las áreas es:

a1 = 64 cm2, a2 = 32 cm2, a3 = 16 cm2, a4 = 8 cm2, a5 = 4 cm2, a6 = 2 cm2, …

Es una progresión geométrica de razón r = . El término general es:

an = 64 ·n – 1

= 26 · = = 26 – (n – 1) = 26 – n + 1 = 27 – n

an = 27 – n

b) El lado de un cuadrado es igual a la raíz cuadrada de su área. Por tanto, la suce-sión de las longitudes de los lados será: , , , , , , …

Es decir: 8, 4 , 4, 2 , 2, , …

c) Como a1 = 64 y r = , tenemos que: S@ = = = = 128 cm2641—2

6411 – —2

a1

1 – r12

√2√2√2

√2√4√8√16√32√64

26

2n – 11

2n – 1)12(

12

8 cm

Pág. 11



PÁGINA 196

R A C T I C A

Á n g u l o s

1 Halla el valor del ángulo a en cada uno de estos casos:

a)

b = 180° – 112° = 68°

a = 180° – 37° – 68° = 75°

b) 2a = 360° – 48° · 2 8 a = 132°

c)

b = 180° – 90° – 40° = 50°

a = 180° – 50° = 130°

d)

a = 180° – 35° = 145°

35°

35°

a

bb

40°

ab

37°112°

a

b

a) b)

37°

40°

35°

48° 48°112°a

a

a

a a

c) d)

P

Pág. 1

Unidad 9. Problemas métricos en el plano


2 Calcula la medida de los ángulos desconocidos.

a)ìB =

ìD =

ìF = 55°

ìC =

ìA =

ìG =

ìE = 180° – 55° = 125°

b)ìX = 65°ìY = 180° – 90° – 65° = 25°ìZ = 180° – 25° = 155°

4 Calcula los ángulos ìX,

ìY,

ìZ en los siguientes polígonos regulares:

a)ìX es un ángulo central del triángulo equilátero, por lo que

ìX = = 120°.

+ +ìX = 180°

ìY = 180° –

ìX = 60°

ìZ = 360° – 60° = 300°

X^

Y^

—2

Y^

Z^

Y^

ìY2

ìY2

360°3

a) b)

c) d)

X^X

^

X^

X^

Y^

Y^

Y^

Y^

Z^

Z^

Z^

Z^

a) b)

65°

55°

X^

A^

B^

C^

E^

F^

G^

D^

Y^ Z

^

Pág. 2



b)ìX = = 90°;

ìY = 90°;

ìZ = 360° – 90° = 270°

c)ìX = = 60°

Como el lado y el radio de un hexágono son iguales,el triángulo es equilátero.

Por tanto, = 60° 8ìY = 120°

ìZ = 360° –

ìY = 240°

d)ìX = = 45°;

ìY = 180° –

ìX = 135°;

ìZ = 360° – 135° = 225°

5 Indica cuánto miden los ángulos ìP y

ìQ , sabiendo que

ìAOB = 70°.

ìP =

ìQ = = 35°

6 ¿Cuánto miden los ángulos ìP,

ìQ y

ìR si

ìAOB es un ángulo recto?

ìP =

ìQ =

ìR = = 45°

7 El triángulo ABC es isósceles, AB—

= AC—

. ¿Cuánto miden los ángulos deese triángulo?

ìA = = 51°;

ìB =

ìC = = 64° 30'180° – 51°

2102°

2

A

B

O

C102°

90°2

R

A

BP

O

Q

70°2

A

O

B

P^

Q^

360°8

Y^

—2

Y^

Y^

Z^

60°

ìY2

360°6

360°4

Pág. 3



8 Dibuja un triángulo ABC inscrito en una circunferencia, de modo que losvértices A y B sean extremos de un diámetro y el arco

)AC sea la sexta parte de

la circunferencia. ¿Cuánto miden sus ángulos?ìAOC = = 60°

ìACB = = 90°

ìABC = = 30°

ìCAB = 180° – 90° – 30° = 60°

S e m e j a n z a

9 Una fotografía de 15 cm de ancho y 10 cm de alto tiene alrededor un mar-co de 2 cm de ancho. ¿Son semejantes los rectángulos interior y exterior del mar-co? Responde razonadamente.

? 8 No son semejantes. (Sus lados no son proporcionales).

PÁGINA 197

10 Hemos dividido en cuatro partes iguales el lado mayor del rectánguloABCD y en tres partes iguales el lado menor.

a) ¿Es semejante cada uno de los doce rectángulos obtenidos con el inicial?

b) Si dividimos los dos lados en tres partes iguales, ¿obtendríamos rectángulos se-mejantes?

A B

D C

1014

1519

15 cm

19 cm

10 c

m

14 c

m

60°A

C

BO60°2

180°2

180°3

Pág. 4



a) ? 8 No son semejantes los rec-tángulos n Ò m y 3n Ò 4m.

b) = 8 Sí son semejantes. La razónde semejanza sería 3.

11 En un mapa cuya escala es 1:1 500 000, la distancia entre dos ciudades es de3,5 cm.

a) ¿Cuál es la distancia real antre ellas?

b) ¿Cuál será la distancia en ese mapa entre dos ciudades cuya distancia real es 250 km?

a) Distancia real = 3,5 · 1 500 000 = 5 250 000 cm = 52,5 km

b) Distancia en el mapa = 250 : 1 500 000 ≈ 0,0001667 km = 16,67 cm

12 En una oficina de venta de pisos han hecho este plano a escala 1:50:

a) Calcula las dimensiones reales del salón y halla su área.

b) Halla las dimensiones de la mesa B y del sillón A. ¿Te parecen razonables?

¿Es posible que los vendedores hayan dibujado los muebles para dar la sensa-ción de que la habitación es más grande de lo que realmente es?

a) En el dibujo el salón mide, aproximadamente, 6 cm Ò 4 cm. Por tanto, en la re-alidad medirá 6 · 50 cm Ò 4 · 50 cm = 300 cm Ò 200 cm = 3 m Ò 2 m.

El área del salón real será A = 3 · 2 = 6 m2

b) Las dimensiones de la mesa B en el dibujo son 0,8 cm Ò 1,6 cm. En la realidad:0,8 · 50 cm Ò 1,6 · 50 cm = 40 cm Ò 80 cm.

Las dimensiones del sillón A en el dibjo son 0,7 cm Ò 0,7 cm. En la realidad: 0,7 · 50 cm Ò 0,7 · 50 cm = 35 cm Ò 35 cm.

Las dimensiones de la mesa y del sillón son absurdamente pequeñas. Los vende-dores, sin duda, han dibujado los muebles para dar la sensación de que la habita-ción es más grande de lo que realmente es.

A

B

SALÓNCOMEDOR

3n

3mm

n

3nn

3mm

3n

4mm

n

3nn

4mm

Pág. 5



13 Dos triángulos ABC y A'B'C' son semejantes y su razón de semejanza es1,2. Calcula los lados del triángulo A'B'C' sabiendo que:

AB—

= 16 cm BC—

= 25 cm AC—

= 39 cm—A'B' = 1,2 · 16 = 19,2 cm—B'C' = 1,2 · 25 = 30 cm—A'C' = 1,2 · 39 = 46,8 cm

14 Halla las longitudes de los lados a y b sabiendo que estos dos triángulostienen sus lados paralelos:

Como todos sus lados son paralelos, sus ángulos son iguales, por lo que los dos trián-gulos son semejantes. Así:

= =

= 8 4a = 150 8 a = 37,5 m

= 8 10b = 130 8 b = 13 m

Te o r e m a d e P i t á g o r a s

15 Calcula el valor de x en estos polígonos:

a)

x = = ≈ 5,2 m

b) x = = = 17 cm√289√82 + 152

6 mx

3 m

√27√62 – 32

6 m

6 m6 m

a) b)

c) d)

24 dm

10 dm

8 cm

15 cm

8 m

x

x

x

x

32,5b

104

a15

104

32,5b

a15

104

a

b4 m32,5 m 15 m10 m

Pág. 6



c)

x = = = 13 dm

d) x = = ≈ 11,3 m

16 Calcula x en cada caso:

a) Como dos de sus ángulos miden 60°, el otro también me-dirá 60°. Como tiene los tres ángulos iguales, el triánguloes equilátero. Si medio lado mide x, el lado entero medi-rá 2x.

(2x)2 = x2 + 92 8 3x2 = 81 8 x = ≈ 5,2 m

b) El triángulo es la mitad de un triángulo equilátero. Por tanto, utilizando el mis-mo razonamiento que en el apartado a), el lado que no mide ni 12 cm ni x, esla mitad de 12 cm, es decir, 6 cm. Por tanto:

x = = ≈ 10,4 cm

c) Como es un hexágono, el radio es igual que el lado. Poreso:

x = = ≈ 6,9 m

d) Como es un triángulo rectángulo con un ángulo de 45°, el otro tendrá que me-dir 45° también, por lo que sabemos que el triángulo es isósceles. Así:

x = = ≈ 8,5 cm

e) x2 + x2 = 122 8 2x2 = 144 8 x = ≈ 8,5 dm√72

√72√62 + 62

√48√82 – 42

4 m

x

8 m

√108√122 – 62

√27x60° 60°

9 m2x

x

12 cm

8 ma) b) c)

d) e)x

6 cm

x

xx

30°

45°

60°

12 dm

60° 60°9 m

√128√82 + 82

x

12 dm

5 dm √169√122 + 52

Pág. 7



17 La diagonal de un rectángulo mide 37 cm, y uno de sus lados, 12 cm.Calcula su perímetro y su área.

l 8 lado que falta

l = = = 35 cm

Perímetro = 2 · 35 + 2 · 12 = 94 cm

Área = 35 · 12 = 420 cm2

18 En un triángulo rectángulo, los catetos miden 9 cm y 12 cm. En otro trián-gulo rectángulo, un cateto mide 14,4 cm, y la hipotenusa, 15 cm.

¿Cuál de los dos tiene mayor perímetro?

En el primer triángulo rectángulo, la hipotenusa mide:

h = = = 15 cm. Por tanto:

Perímetro = 15 + 9 + 12 = 36 cm

En el otro triángulo rectángulo, el cateto que falta mide:

x = = = 4,2 cm. Por tanto:

Perímetro = 4,2 + 15 + 14,4 = 33,6 cm

El primer triángulo tiene mayor perímetro.

19 La diagonal de un rectángulo de lados 7 cm y 24 cm mide igual que el ladode un cuadrado. Halla la diagonal de ese cuadrado.

d = = = 25

D = = ≈ 35,36 cm

20 Calcula x en estos trapecios y halla su área:

a) Aplicamos el teorema de Pitágoras en el triángulo:

132 = 52 + (20 – x)2 8 x2 – 40x + 256 = 0 8

8 x = 32 cm, x = 8 cm

La solución x = 32 cm no tiene sentido, ya que x < 20. Por tanto, x = 8 cm. Así:

A = = 70 cm2(20 + 8) · 52

20 cm20 – x

5 cm13 cm

x

24 cm

12 cm

20 cm

5 cm13 cm 10 cmx

x

10 cm

d

d

D

24 cm

7 cm

√1 250√252 + 252

√625√242 + 72

√17,64√152 – 14,42

√225√92 + 122

√1 225√372 – 122

Pág. 8



b) x = = = 8 cm

Así: A = = 144 cm2

21 Clasifica en rectángulos, acutángulos u obtusángulos los triángulos de lados:

a) 11 m, 13 m, 20 m. b) 20 m, 21 m, 29 m.

c) 25 m, 29 m, 36 m. d) 7 m, 24 m, 25 m.

a) 112 + 132 = 290; 202 = 400

Como 202 > 112 + 132, el triángulo es obtusángulo.

b) 202 + 212 = 841; 292 = 841

Como 292 = 202 + 212, el triángulo es rectángulo.

c) 252 + 292 = 1 466; 362 = 1 296

Como 362 < 252 + 292, el triángulo es acutángulo.

d) 72 + 242 = 625; 252 = 625

Como 252 = 72 + 242, el triángulo es rectángulo.

PÁGINA 198

L u g a r e s g e o m é t r i c o s y c ó n i c a s

22 ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos cuya distancia a una recta r esde 2 cm? Dibújalo.

Las rectas s y t son el lugar geométrico de lospuntos cuya distancia a la recta r es de 2 cm.

Las rectas s y t son paralelas a r, cada una a unlado de esta y a 2 cm de distancia de r.

23 ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos Pdel plano tales que el ángulo

ìAPB es recto?

La circunferencia de centro el punto medio de —AB (exceptuando los puntos A y

B ) es el lugar geométrico de los puntos P del plano tales que el ángulo ìAPB es

recto.

A B

P PP

r

s

t

2 cm

2 cm

24 cm6 cm6 cm

12 cm

10 cmx10

cm (24 + 12) · 82

√64√102 – 62

Pág. 9



24 Define como lugar geométrico una circunferencia de centro O y radio 5 cm.

La circunferencia de centro O y radio 5 cm es el lugar geométrico de los puntos Pcuya distancia a O es 5 cm:

—OP = 5 cm

25 Utiliza una trama como la siguiente (puedes sacarla del CD-ROM) para dibujar:

a) Dos elipses de focos F y F' y constantes d = 16 y d = 20, respectivamente(tomamos como unidad la distancia entre dos circunferencias consecutivas).

b) Dos hipérbolas de focos F y F' y constantes d = 2 y d = 7.

F F'

F' F

Pág. 10



26 Usa una trama como la siguiente (puedes sacarla del CD-ROM) para dibujar:

a) Una parábola de foco F y directriz d1.

b) Una parábola de foco F y directriz d2.

F

d1 d2

Pág. 11


F

d1 d2


Á r e a s

27 Halla el área de las figuras coloreadas.

x = = = 15

d = 15 · 2 = 30 cm

A = = 240 cm2

x2 + x2 = 102 8 2x2 = 100 8 x = ≈ 7,1 cm

A = 7,12 = 50 cm2

x = = = 12 m

A = · 12 = 192 m2

x = = = 21 m

A = · 21 = 651 m2

d)29 m

21 m

20 m

x

41 m

21 + 412

√441√292 – 202

c)13 m

12 m

5 m

x

22 m

20 + 122

√144√132 – 52

b)

10 cm

x

x √50

a)17 cm

8 cm

x

30 · 162

√225√172 – 82

a) b)17 cm

10 cm

c) d)13 m 29 m

12 m 21 m

22 m 41 m

e) f )B

A C

D 8 cm

8 cm

20 cmH K

AC = 93 mBH = 52 mDK = 23 m

16 cm

Pág. 12



e) ATRIÁNGULO ABC

= = 2 418 m2

ATRIÁNGULO ACD

= = 1 069,5 m2

ATOTAL

= 2 418 + 1 069,5 = 3 487,5 m2

f ) ACUADRADO

= 20 · 20 = 400 cm2

ATRIÁNGULO

= = 120 cm2

APARTE COLOREADA

= 400 – 2 · 120 = 160 cm2

28 Calcula el área de las figuras coloreadas.

a) ATRIÁNGULO ADE

= = 27,2 m2

ATRIÁNGULO ACB

= = 38,25 m2

x = = = 15 m

ATRIÁNGULO ADC

= = 120 m2

ATOTAL

= 27,2 + 38,25 + 120 = 185,45 m2

A

D C8 m

16 m

17 m 17 mx

16 · 152

√225√172 – 82

17 · 4,52

17 · 3,22

a) b)

c) d)

e) f )

12 cm

10 cm

6 cm

AD = AC = 17 m DC = 16 mBG = 4,5 m EF = 3,2 m

BG = 8,4 m AC = 28 mCD = 21 m EF = 5,6 m

E

A

D C

B

C

GFA

B

E

D

G

F

20 cm

10 cm

12 · 202

93 · 232

93 · 522

Pág. 13



b)—AD = = = 35 m

ATRIÁNGULO ADE

= = 98 m2

ATRIÁNGULO ACD

= = 294 m2

ATRIÁNGULO ACB

= = 117,6 m2

ATOTAL

= 98 + 294 + 117,6 = 509,6 m2

c) Como sabemos, el lado del hexágono es igual al radio de la circunferencia cir-cunscrita a él. Por eso, del triángulo (que sabemos que es rectángulo) conocemoslas siguientes medidas:

hipotenusa = 2 · 10 = 20 cm

un cateto = 10 cm

x = = ≈ 17,32 cm

ATRIÁNGULO

= = 86,6 cm2

d)

x = = ≈ 28,28 cm

radio = = 14,14 cm

ACÍRCULO

= π · 14,142 ≈ 628,13 cm2

ACUADRADO

= 20 · 20 = 400 cm2

ATOTAL

= 628,13 – 400 = 228,13 cm2

e)

r = = 3 cm

ACUADRADO

= 12 · 12 = 144 cm2

ACÍRCULO

= π · 32 ≈ 28,27 cm2

APARTE COLOREADA

= 144 – 4 · 28,27 = 30,92 cm2

f ) El diámetro del círculo grande mide 2 · 10 + 2 · 6 = 32 cm.

Su radio medirá = 16 cm.

ACÍRCULO GRANDE

= π · 162 ≈ 804,25 cm2

ACÍRCULO MEDIANO

= π · 102 ≈ 314,16 cm2

ACÍRCULO PEQUEÑO

= π · 62 ≈ 113,1 cm2

APARTE COLOREADAA

= 804,25 – 314,16 – 113,1 ≈ 377 cm2

322

124

12 cm

r

20 cm

20 c

mx x2

√800√202 + 202

x

10 cm

20 cm

10 · 17,322

√300√202 – 102

28 · 8,42

21 · 282

35 · 5,62

√1 225√—AC2 +

—CD2

Pág. 14



29 Halla el área de la zona coloreada en cada figura:

a) b)

a) Área del segmento de parábola: A = · 18 · 12 = 144 cm2

Área de la zona coloreada = 18 · 12 – 144 = 72 cm2

b) Área de la zona coloreada = =

= = 18 cm2

PÁGINA 199

30 Las diagonales del rombo inscrito en la elipse miden16 cm y 30 cm. Halla el área de la parte coloreada.

AELIPSE

= π · ≈ 377 cm2

AROMBO

= = 240 cm2

APARTE COLOREADA

= 377 – 240 = 137 cm2

31 En una circunferencia de 56,52 cm de longitud, dibuja los cuadrados circuns-crito e inscrito. Calcula el área y el perímetro de cada cuadrado (toma π = 3,14).

56,52 = 2 · π · r 8 r = = 9 cm

El radio de la circunferencia es 9 cm

92 = x2 + x2 8 2x2 = 81 8 x = ≈ 6,364 cm.

Lado cuadrado grande = 2 · 9 = 18 cm

ACUADRADO GRANDE

= 18 · 18 = 324 cm2

Lado cuadrado pequeño = 12,73 cm

ACUADRADO PEQUEÑO

= 12,73 · 12,73 = 162,1 cm2

PCUADRADO GRANDE

= 4 · 18 = 72 cm

PCUADRADO PEQUEÑO

= 4 · 12,73 = 50,92 cm

9 cm

x x

√40,5

56,522π

16 · 302

162

A A'

B

B'

144 – 12 · 18/22

ASEGMENTO DE PARÁBOLA

– ATRIÁNGULO

2

23

18 cm

12 cm

18 cm

12 cm

Pág. 15


18 cm

12 cm


32 Halla, en cada caso, el área y el perímetro de un sector circular de un círcu-lo de 15 cm de radio y cuya amplitud es:

a) 90° b) 120° c) 65° d) 140°

a) A = · 90° ≈ 176,71 cm2 b) A = · 120° ≈ 235,62 cm2

c) A = · 65° ≈ 127,63 cm2 d) A = · 140° ≈ 274,89 cm2

E j e r c i c i o r e s u e l t o

Calcular el área de un segmento circular de 60° de amplitud en un círculo de 12cm de radio.

El área del segmento circular se halla restando, del área del sec-tor, el área del triángulo.

• Área del sector: = 75,4 cm2

• Área del triángulo. Observa que es equilátero, ya que = y ìAOB = 60°.

Altura: h = ≈ 10,4 cm

Área: = 62,4 cm2

• Calcula el área del segmento circular.

El área del segmento circular es:

A = ASECTOR

– ATRIÁNGULO

= 75,4 – 62,4 = 3 cm2

34 Calcula el área de un segmento circular de 90° de amplitud en un círculo de18 cm de radio.

ASECTOR

= · 90° ≈ 254,47 cm2

ATRIÁNGULO

= = 162 cm2

ASEGMENTO CIRCULAR

= 254,47 – 162 = 92,47 cm2

18 cm

18 cm

18 · 182

π · 182

360°

12 · 10,412

√122 – 62

OBOA

π · 122 · 60°360°

12 cm

A

B O60°

h

33

π · 152

360°π · 152

360°

π · 152

360°π · 152

360°

Pág. 16



35 Calcula el área de la parte coloreada de cada uno de estos cuadrados de 12 mde lado:

ACUADRADO

= 122 = 144 m2

A

A1/4 CÍRCULO= · π · 62 ≈ m2

APARTE COLOREADA

= 144 – 4 · = 30,9 m2

B d = ≈ 16,97 m

radio de circunferencias = ≈ 8,49 m

A1/4 CIRCUNFERENCIA= = 56,61 m2

APARTE COLOREADA

= 144 – 2 · 56,61 = 36,78 m2

C A1/2 CÍRCULO= ≈ m2

APARTE COLOREADA

= 144 – 2A1/2 CÍRCULO=

= 144 – 113,1 = 30,9 m2

D A1/4 CÍRCULO= ≈ 113,1 m2

A = A = 144 – 113,1 = 30,9 m2

APARTE COLOREADA

= 2 · 30,9 = 61,8 m2

E Área de parte coloreada en apartado c) = 30,9 m2

A = = 15,45 m2

APARTE COLOREADA

= 144 – 4 · 15,45 = 82,2 m2

30,92A

12 m

12 m12 m

A

B

BA

π · 122

4

12 m

6 m

113,12

π · 62

2

12 m

12 md

π · 8,492

4

d2

√122 + 122

6 m

12 m

113,14

113,14

14

A B C

D E F

Pág. 17


A


f ) Área parte coloreada en apartado a) = 30,9 m2

A = 30,9 m2

ACÍRCULO

= π · 62 ≈ 113,1 m2

APARTE COLOREADA

= 113,1 – 30,9 = 82,2 m2


36 Se llama triángulo heroniano al que tiene lados enteros y área entera.Triángulos rectángulos con lados y área enteros ya se conocían mucho antes de laépoca de Herón, pero a él se atribuye el descubrimiento del triángulo de lados 13,14, 15 y área 84 (no es rectángulo, pero tiene lados y área enteros). El nombre detriángulos heronianos es un homenaje a Herón por este descubrimiento.

Aplica la fórmula de Herón para hallar el área de cada uno de estos triángulos delos que conocemos sus lados:

a) 13 cm, 14 cm, 15 cm (comprueba que es 84 cm2).

b) 5 m, 5 m, 6 m.

c) 13 dm, 20 dm, 21 dm.

d) 25 cm, 34 cm, 39 cm.

Fórmula de Herón:

A =

donde a, b y c son los lados del triángulo y s es la mitad de su perímetro.

a) s = = 21 cm

A = = = 84 cm2

b) s = = 8 m

A = = = 12 m2

c) s = = 27 dm

A = = = 126 dm2

d) s = = 49 cm

A = = = 420 cm2√176 400√49(49 – 25)(49 – 34)(49 – 39)

25 + 34 + 392

√15 876√27(27 – 13)(27 – 20)(27 – 21)

13 + 20 + 212

√144√8(8 – 5)(8 – 5)(8 – 6)

5 + 5 + 62

√7 056√21(21 – 13)(21 – 14)(21 – 15)

13 + 14 + 152

√s (s – a)(s – b)(s – c )

P

A

Pág. 18


6 m

A


37 Cierta finca tiene la forma y las dimensiones indicadas en la figura. Calculasu área.

Aplicamos la fórmula de Herón:

s = = 50 m

A = =

= = 420 m2

s = = 45 m

A = = = 360 m2

AFINCA

= A + A = 780 m2

38 El triángulo ABC es un triángulorectángulo, y AH es la altura sobre la hipo-tenusa.

a) Demuestra que los triángulos ABH yAHC son semejantes.

b) Calcula las longitudes BH—

y HC—

.

a) Los triángulos ABC y ABH son semejantes porque tienen el ángulo ìB en co-

mún y son rectángulos.

Los triángulos ABC y AHC son semejantes porque tienen el ángulo ìC en co-

mún y son rectángulos.

Por tanto, los triángulos ABH y AHC también son semejantes.

b) Aplicando el teorema de Pitágoras hallamos el lado —BC .

—BC = = = 17 m

Por ser AHB semejante a CAB:

= 8—HB = = = ≈ 3,76 cm

Por ser AHC semejante a BAC:

= 8—HC = = = ≈ 13,24 cm225

17152

17AC 2

BCACBC

HCAC

6417

82

17AB2

CBABCB

HBAB

√289√152 + 82

A

BHC

15 m 8 m

BA

√129 600√45(45 – 29)(45 – 36)(45 – 25)B

29 + 36 + 252B

42 m

29 m 29 m

36 m

25 mA

B

√176 400

√50(50 – 29)2(50 – 42)A

29 + 29 + 422A

42 m

29 m 29 m

36 m

25 m

Pág. 19



39 En un triángulo ABC, la base AB mide 5,7 m y la altura relativa a esa basemide 9,5 m. ¿Cuánto mide el área de otro triángulo semejante a ABC en el queA'B'—

= 4,14 m?

Por semejanza de triángulos:

= 8 x = = 6,9 m

AA'B'C' = ≈ 14,28 m2

40 Si BD es paralelo a AE, y AC—

= 15 cm,

CE—

= 11 cm, BD—

= 6,4 cm, AE—

= 18 cm:

a) Calcula CD—

y BC—

.

b) Si ìA = 37° y

ìC = 80°, calcula

ìE,

ìB y

ìD.


a) = 8—CD = ≈ 3,9 cm

= 8—BC = ≈ 5,33 cm

b)ìE = 180° – 37° – 80° = 63°ìB =

ìA = 37°

ìD =

ìE = 63°

PÁGINA 200

41 a) ¿Por qué son semejantes los triángulos APQ y ACB?

b) Calcula x = BQ—

.

a) Son semejantes porque tienen el ángulo ìA en común y son los dos rectángulos.

Como tienen dos ángulos iguales, el tercero también es igual.

Q

P C

x

B

A5 cm 3 cm

7 cm

15 · 6,418

15BC

186,4

11 · 6,418

11CD

186,4

A

BC

D

E

37°80°

5,7 m 4,14 mA'A B

C

B'

C'

9,5

m

x

4,14 · 6,92

9,5 · 4,145,7

9,5x

5,74,14

Pág. 20



b) Calculamos —AP por Pitágoras:

—AP = = 4


= 8 = 8 x = 8,75 cm

42 Si DF—

= 4 cm, ¿cuál es el área y el perímetrodel trapecio EFAC?

Por el teorema de Pitágoras:—AC = = = 26 cm

Vemos que el ángulo ìBAC es igual al ángulo

ìDEF, y como los triángulos ABC y

DEF son rectángulos, entonces son semejantes.

Por semejanza de triángulos, podemos decir que:

= 8—DE = 9,6 cm

Por el teorema de Pitágoras:—FE = = = 10,4 cm

Por tanto:—FA = 10 – 4 = 6 cm—EC = 24 – 9,6 = 14,4 cm

Entonces:

ATRAPECIO

= 24 · 10 – – = 100,8 cm2

PTRAPECIO

= 26 + 14,4 + 10,4 + 6 = 56,8 cm

43 ¿Cuál es la altura de una casa que proyecta una sombra de 68 m, al mismotiempo que una persona de 1,65 m de altura proyecta una sombra de 2 m?

Los dos triángulos son semejantes, por tanto:

= 8 x = 56,1 mx1,65

682

x

aa68 m 2 m

1,65 m

4 · 9,62

24 · 102

√108,16√42 + 9,62

DE24

410

√676√242 + 102

A B

D E Ca

a

a

F

24 cm

4 cm

10 c

mA B

D E C

F

24 cm

10 c

m

5 + x5

7 + 44

ABAQ

ACAP

√52 – 32

Pág. 21



44 Para calcular la alturade un árbol, Eduardo ve lacopa reflejada en un charco ytoma las medidas que indicael dibujo. ¿Cuál es la alturadel árbol?


= 8 x = 5,4 m

45 ¿Cuál es la profundidad de un pozo, si su anchura es 1,5 my alejándote 0,5 m del borde, desde una altura de 1,7 m, vesque la visual une el borde del pozo con la línea del fondo?


= 8 x = 5,1 m

46 Calcula la altura del triángulo siguiente, apli-cando el teorema de Pitágoras a los dos triángulos rec-tángulos que aparecen. Después, halla su área:

8

A = = 210 cm228 – x x

25 cm 17 cmh

28 · 152

°¢£

x = 8 cmh = 15 cm

°¢£

h2 + x 2 = 172

(28 – x)2 + h2 = 252

28 cm

25 cm 17 cm

x

a1,5 m

0,5 m

1,7 m

x1,7

1,50,5

x

aa1,2 m

1,62 m

4 m

x1,62

41,2

162

cm

1,2 m 4 m

Pág. 22



47 Halla la altura del trapecio siguiente.Después, calcula su área.

8 8 A = · 15 = 390 m2

48 a) Calcula el radio de esta circunferencia:

b) ¿Cuál será la longitud de una cuerda cuya distancia alcentro es 2,9 cm?

a)

r = = = 3,9 cm

b)

x = = ≈ 2,6 cm

La longitud de la cuerda será 2 · 2,6 = 5,2 cm

49 En un círculo de 52 cm de diámetro se traza una cuerda a 10 cm del centro.Halla el área del cuadrilátero que se forma uniendo los extremos de la cuerda conlos del diámetro paralelo a ella.

x = = 24 cm

ACUADRILÁTERO (TRAPECIO) = = 500 cm2

10

2652

cm

x(48 + 52) · 10

2

√262 – 102

3,9 cm2,9 cm

O

x

√6,8√3,92 – 2,92

3,6 cm1,5 cm

Or √15,21√3,62 + 1,52

7,2 cm1,5 cm

O

40 + 122

°¢£

x = 8 cmh = 15 cm

°¢£

172 = h2 + x 2

252 = h2 + (28 – x)2

12 m

25 m 17 m

28 – x 12

h h

x

40 m

12 m

25 m 17 m

Pág. 23



E j e r c i c i o r e s u e l t o

Hallar el radio de un arco de 100,48 m de longitud y 72° de apertura (π = 3,14).

• Calculamos la longitud de la circunferencia:

= 8 l = 502,4 m

• Hallamos el radio: 2πr = 502,4 m

• 2πr = 502,4 8 r = ≈ 79,96 m

51 Calcula la medida, en grados, de un arco que mide 31,4 cm correspondien-te a una circunferencia de 471 cm de longitud (π = 3,14).

lCIRCUNFERENCIA

= 2π · r = 471 8 r = = 75 cm

lARCO

= · (APERTURA) = 31,4 8 APERTURA = 24°

52 El área de una corona circular es 20π cm2, y la circunferencia interna mide8π cm. Calcula el radio de la circunferencia externa.

8π = 2 · π · r1 8 r1 = = 4 cm

20π = π · r22 – π · 42 8 r2 = = 6 cm

53 Calcula:

a) La longitud de PT. b) El área de la parte coloreada.

a)—PT = = ≈ 13,86 cm√192√162 – 82

O P

T

60°

16 cm

8 cm

√36

8π2π

r1r2

2π · 75360°

4712π

502,42π

100,4872°

l360°

50Pág. 24



b) ASECTOR CIRCULAR

= · 60° ≈ 33,51 cm2

ATRIÁNGULO

= = 54,24 cm2

APARTE COLOREADA

= 54,24 – 33,51 = 20,73 cm2

54 Calcula el área del triángulo curvilíneo comprendido en-tre tres circunferencias tangentes y cuyo radio mide 5 cm.

Como es un triángulo equilátero, sus ángulos son de 60°.

ASECTOR 60° = · 60° ≈ 13,09 cm2

Aplicamos la fórmula de Herón para hallar el área deltriángulo de lado 10 cm:

s = = 15 8 ATRIÁNGULO

= ≈ 43,3 cm2

APARTE COLOREADA

= 43,3 – 3 · 13,09 = 4,09 cm2

55 a) A un cuadrado de 1 dm de lado le cortamos triangu-litos isósceles en las cuatro esquinas. Calcula x para que eloctógono resultante sea regular.

b) Calcula el área de un octógono regular de 8 cm de lado.

a)

= 1 – 2x 8 · x = 1 – 2x 8

8 (2 + )x = 1 8 x = = 0,35 dm

b) x 2 + x 2 = 82 8 x = ≈ 5,66 cm

Lado del cuadrado = 5,66 · 2 + 8 = 19,32 cm

Área del octógono:

ACUADRADO

= (19,32)2 ≈ 373,26 cm2

ATRIÁNGULO

= = 16,02 cm2

AOCTÓGONO

= 373,26 – 4 · 16,02 = 309,18 cm2

O bien:

AOCTÓGONO

= = = 309,12 cm2

(La apotema del octógono es la mitad del lado del cuadrado).

8 · 8 · (19,32 : 2)2

Perímetro · apotema2

(5,66)2

2

√32

x 1 – 2x

√Ä2x2

1

2 + √2√2

√2√2x 2

xx

√15 · (5)3302

π · 52

360°

8 · 13,862

π · 82

360°

Pág. 25


60°60°

60°

5 cm


PÁGINA 201


56 ¿Qué se puede afirmar de un triángulo si uno de los lados coincide con eldiámetro de su circunferencia circunscrita?

El ángulo ìA está inscrito en una semicircunferencia.

Abarca un arco de 180°. Por tanto, su media es de 90°, esdecir, es recto. Por ello, se puede afirmar que todo triángu-lo que tenga un lado que coincida con el diámetro de sucircunferencia circunscrita es rectángulo.

57 Justifica por qué los triángulos ABM y CDM tienen los ángulos iguales.¿Cómo son esos triángulos?

Los ángulos AMBì

y DMCì

son opuestos por el vértice, y

por tanto son iguales. Los ángulos BACì

y BDCì

abarcan el

mismo arco y ambos están inscritos en la circunferencia, por

lo que son iguales.

Como los triángulos ABM y CDM tienen dos ángulos iguales, sabemos que tie-nen los tres ángulos iguales. Por ello, sabemos que son semejantes.

58 ¿Cómo se llama el lugar geométrico de los puntos desde los cuales se ve unsegmento AB bajo un ángulo de 60°?

El lugar geométrico de los puntos desde los cuales se ve un segmento AB bajo unángulo de 60° se llama arco capaz para AB de 60°.

59 ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a dospuntos fijos es 26 cm? ¿Cómo se llaman los dos puntos fijos?

El lugar geométrico de los puntos cuya suma de distancias a otros dos puntos fijoses 26 cm es una elipse. Los dos puntos fijos se llaman focos.

60 ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias aotros dos puntos fijos es 4 cm? ¿Cómo se llaman los dos puntos fijos?

El lugar geométrico de los puntos cuya diferencia de distancias a otros dos puntosfijos es 4 cm es una hipérbola. Los dos puntos fijos se llaman focos.

61 ¿Cuál es el lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijoy de una recta dada? ¿Cómo se llaman el punto fijo y la recta?

El lugar geométrico de los puntos que equidistan de un punto fijo y de una rectadada es la parábola. El punto fijo se llama foco, y la recta, directriz.

D

A

B

MC

A

BC

R

Pág. 26



R O F U N D I Z A

62 Observa la primera figura en forma de huevo (compuesta por un semicírcu-lo, una semielipse y dos circulitos de 1 cm de diámetro), y la segunda figura en for-ma de corazón (compuesta por dos semicírculos, una semielipse y dos circulitosde 1 cm de diámetro):

Halla los radios, x e y, de los dos semicírculos de la segunda figura para que lasuperficie del “corazón” sea el 80% de la superficie del “huevo” (con los dos cir-culitos incluidos en las dos figuras).

☞ Ten en cuenta que 2x + 2y = 14 cm.

A1.a FIGURA= A1/2 ELIPSE

+ A1/2 CÍRCULO GRANDE+ 2A

CÍRCULO PEQUEÑO

A1/2 ELIPSE= ≈ 109,96 cm2

A1/2 CÍRCULO GRANDE= ≈ 76,97 cm2

ACÍRCULO PEQUEÑO

= π · 0,52 ≈ 0,79 cm2

A1.a FIGURA= 109,96 + 76,97 + 2 · 0,79 = 188,51 cm2

A2.a FIGURA= A1/2 ELIPSE

+ A1/2 CÍRCULO GRANDE+ A1/2 CÍRCULO MEDIANO

+ 2ACÍRCULO PEQUEÑO

A1/2 ELIPSE≈ 109,96 cm2 A1/2 CÍRCULO MEDIANO

=

A1/2 CÍRCULO GRANDE= A

CÍRCULO PEQUEÑO= 0,79 cm2

A2.a FIGURA= 0,8 · 188,51 ≈ 150,81 cm2

Por tanto, sabemos que:

150,81 = 109,96 + + + 2 · 0,79

y además sabemos que:

2x + 2y = 14

Resolvemos el sistema y nos queda x = 3, y = 4 o x = 4, y = 3.

Solución: los radios de los dos semicírculos miden 3 cm y 4 cm.

π · y 2

2π · x 2

2

7 cm10 cm π · x 2

2

π · y 2

2

14 cm

10 cm π · 72

2

π · 10 · 72

14 cm7 cm

10 cm 10 cm

PPág. 27



63 El cuadrilátero ABCD está inscrito en una circunferencia. Observa este ra-zonamiento:

ìC = ,

ìA = ,

ìC +

ìA = = = 180°

Comprueba de igual forma que ìB +

ìD = 180°.

Esta es la condición que debe cumplir un cuadriláteropara que pueda inscribirse en una circunferencia.Exprésala con palabras.

Bì

= , Dì

= 8 Bì

+ Dì

= = 180°

La condición que debe cumplir un cuadrilátero para que pueda inscribirse en unacircunferencia es que cada dos ángulos no contiguos del cuadrilátero sumen 180°.

64 Calcula los ángulos ìA y

ìD. (Ten en cuenta el proble-

ma anterior).

Aì

= 180° – 95° = 85°

Dì

= 180° – 130° = 50°

65 Se llama excentricidad de una elipse o de una hipérbola al resultado de di-vidir la distancia focal (distancia entre sus focos) entre el eje mayor:

excentricidad = =

En la circunferencia, los focos coinciden con el centro; por tanto, su excentricidades 0. La excetricidad de la parábola es 1. Razona, mirando los dibujos anteriores,que la excentricidad de una elipse es un número comprendido entre 0 y 1; y quela de una hipérbola es mayor que 1.

En una elipse, c < a. Por tanto, la excentricidad, , siempre va a ser un número me-

nor que 1 y mayor que 0 porque tanto c como a son números positivos.

En la hipérbola, a < c siempre. Por tanto, la excentricidad, , siempre va a ser un

número mayor que 1.

ca

ca

ca

2c2a

c a

FF'

c a

FF'

A

B

130°95°

C

D

ADC)

+ ABC)

2ABC)

2ADC)

2

A

B

C

D

360°2

)BAD +

)BCD

2BCD)

2BAD)

2

Pág. 28



PÁGINA 239

R A C T I C A

D e s a r r o l l o s y á r e a s

1 Dibuja el desarrollo plano y calcula el área total de los siguientes cuerpos geo-métricos:

a)

Altura de una cara:

h2 = 62 – 32 8 h2 = 27 8 h = ≈ 5,2 cm

Área del triángulo:

A = = 15,6 cm2

Área de un rectángulo:

6 · 2 = 12 cm2

Área de la figura:

8 · 15,6 + 4 · 12 = 172,8 cm2

6 · 5,22

3 cm

6 cm

h√27

6 cm

2 cm

6 cm

19 cm

6 cma) b)

10 cm

6 cm

2 cm

4 cm

c) d)

10 cm15 m

15 m

6 m

6 m

6 m

10 m

12 cm

P

Pág. 1

Unidad 11. Figuras en el espacio


b)

Hallamos la altura de la base:

62 = x 2 + 52 8 36 = x 2 + 25 8 x 2 = 36 – 25 = 11 8 x = ≈ 3,3 cm

Área base = = 16,5 cm2

Área lateral = (Perímetro base) · altura = 22 · 19 = 418 cm2

Área total = 418 + 2 · 16,5 = 451 cm2

c)

Área base = 10 · 6 + = 60 + 16,5 = 76,5 m2

Área lateral = 34 · 15 = 510 m2

Área total = 510 + 2 · 76,5 = 663 m2

d)

Hallamos x e y (alturas de las caras laterales):

122 = x 2 + 52 8 144 = x 2 + 25 8 x 2 = 119 8 x ≈ 10,9 cm

122 = y 2 + 22 8 y 2 = 140 8 y ≈ 11,8 cm

Área de las caras laterales:

A� = = 54,5 cm2; A� = = 23,6 cm2

Área de la base = 10 · 4 = 40 cm2

Área total = 40 + 2 · 54,5 + 2 · 23,6 = 196,2 cm2

4 · 11,82

10 · 10,92

12 12

10 412

12

x

y1

2

10 · 3,32

6

66

6

66

66

6 6 610

15

3,3

6

10 · 3,32

√11

19

106 6

66 x

Pág. 2



2 Calcula la superficie total de cada cuerpo:

a) Área base = π · 42 ≈ 50,27 cm2

Área lateral = 2π · 4 · 3 ≈ 75,4 cm2

Área total = 2 · 50,27 + 75,4 = 175,94 cm2

b) Área base = π · 32 ≈ 28,27 cm2

Hallamos la generatriz:

g2 = 52 + 32 8 g ≈ 5,83 cm

Área lateral = π · 3 · 5,83 ≈ 54,95 cm2

Área total = 28,27 + 54,95 = 83,22 cm2

c) Apotema del hexágono:

a 2 = 62 – 32 = 27 8 a = ≈ 5,2 cm

Área del hexágono:

= 93,6 cm2

Altura del triángulo:

h2 = 52 – 32 = 16 8 h = 4 cm

Área de un triángulo = = 12 cm2

Área total = 93,6 + 6 · 12 = 165,6 cm26 cm

5 cmh 6 · 4

2

a

6 cm

6 cm

65 cm

6 · 6 · 5,22

√27

6 cm

g

5 cm

3 cm

8 cm

4 cm

3 cm

8 cm

6 cm

6 cm5

cm

a) b)

c) d)

e) f )

3 m

3 m

3 m

9 m

6 cm5

cm

6 m

Pág. 3



d)

Área de la superficie esférica = 4π · 42 = 201,1 cm2

e) 5 cuadrados de lado 3:

5 · 32 = 45 m2

2 rectángulos de 6 Ò 3:

2 · 6 · 3 = 36 m2

3 rectángulos de 9 Ò 3:

3 · 9 · 3 = 81 m2

Área total:

45 + 36 + 81 = 162 m2

f ) Altura de una cara: h2 = 62 – 32 = 27 8 h ≈ 5,2 cm

Área de una cara = = 15,6 cm2

Área total = 8 · 15,6 = 124,8 cm2

3 Dibuja los siguientes cuerpos geométricos y calcula su área:

a) Prisma de altura 20 cm y cuya base es un rombo de diagonales 18 cm y 12 cm.

b) Pirámide hexagonal regular de arista lateral 18 cm y arista básica 6 cm.

a) Hallamos el lado del rombo:

x 2 = 62 + 92 = 36 + 81 = 117

x = ≈ 10,82 cm

Área lateral = 4(20 · 10,82) = 865,6 cm2

Área base = = 108 cm2

Área total = 865,6 + 108 · 2 = 1 081,6 cm2

b) Área de una cara lateral:

h2 = 182 – 32 88 h2 = 315 8 h = ≈ 17,75 cm

Área = = 53,25 cm2

Área lateral = 6 · 53,25 = 319,5 cm26 cm

18 cm

18 c

m

6 cm

h

18 c

m

6 · 17,752

√315

D

d = 12 cmD = 18 cm

20 c

m

d xx

x x

18 · 122

√1176

9

x

6 cm 6 · 5,22

3 m 3

3

3 m

3 m

9 m

6 m 666

6

3

3

9

4 cm

Pág. 4



Área de la base:

a2 = 62 – 32 8 a2 = 27 8 a = ≈ 5,2 cm

Área = = 93,6 cm2

Área total = 319,5 + 93,6 = 413,1 cm2

4 Dibuja los siguientes cuerpos geométricos y calcula su área:

a) Cilindro de altura 27 cm y cuya circunferencia básica mide 44 cm.

b) Tronco de cono generado al girar un trapecio rectángulo de bases 10 cm y 12 cm y altura 5 cm alrededor de esta.

a) Radio de la base: 2πr = 44 8 r = =

Área base = r2 = π · 2

= 154,1 cm2

Área lateral = (2πr) · h = 2π · · 27 = 1 188 cm2

Área total = 2 · 154,1 + 1 188 = 1 496,2 cm2

b) Área base menor = π · 102 = 100π ≈ 314 cm2

Área base mayor = π · 122 = 144π ≈ 452,16 cm2

Área lateral = π(r + r ' ) · g

g 2 = 52 + 22 = 25 + 4 = 29 8 g = ≈ 5,39 cm

Área lateral = π(10 + 12) · 5,39 ≈ 372,34 cm2

Área total = 372,34 + 314 + 452,16 = 1 138,50 cm2

5 Calcula el área total de los siguientes poliedros semirregulares de arista 8 cm:

g

2 cm

5 cm √29

g

12 cm

5 cm

10 cm

27 c

m

r

22π

)22π(

22π

442π

3 cm

6 cma

6 · 6 · 5,22

√27

Pág. 5



• Área de un hexágono regular de 8 cm de lado:

ap2 = 82 – 42 = 48 8 ap = ≈ 6,93 cm

Área = = 166,32 cm2

• Área de un triángulo equilátero de 8 cm de lado:

h2 = 82 – 42 = 48 8 h = ≈ 6,93 cm

Área = = 27,72 cm2

ÁREAS DE LOS POLIEDROS

A)

Cuatro hexágonos y cuatro triángulos.

A = 4 · 166,32 + 4 · 27,72 = 776,16 cm2

B)

Seis cuadrados y ocho triángulos.

A = 6 · 82 + 8 · 27,72 = 605,76 cm2

C)

Seis cuadrados y ocho hexágonos.

A = 6 · 82 + 8 · 166,32 = 1 714,56 cm2

D)

Dos hexágonos y seis cuadrados.

A = 2 · 166,32 + 6 · 82 = 716,64 cm2

E)

Dos hexágonos y doce triángulos.

A = 2 · 166,32 + 12 · 27,72 = 665,28 cm2

F)

Tiene 18 cuadrados y 8 triángulos.

A = 18 · 82 + 8 · 27,72 = 1 373,76 cm2

8 cm

8 cmh

8 · 6,932

√48

8 cm

8ap

6 · 8 · 6,932

√48

Pág. 6



6 Halla el área total de un tronco de pirámide cuadrangular regular cuyas ba-ses tienen de lado 30 cm y 14 cm y cuya arista lateral mide 17 cm.

• Área base menor = 142 = 196 cm2

• Área base mayor = 302 = 900 cm2

• Área lateral:

30 – 14 = 16 8 16 : 2 = 8

h2 = 172 – 82 = 225 8 h = 15 cm

Área trapecio = = 330 cm2

Área lateral = 4 · 330 = 1 320 cm2

• Área total = 196 + 900 + 1 320 = 2 416 cm2

7 Haciendo girar un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 9 cm y 12 cmalrededor de cada uno de ellos, se obtienen dos conos. Dibújalos y halla el área to-tal de cada uno de ellos.

a) • Área base = π · 122 = 144π cm2

• Área lateral:

g 2 = 92 + 122 = 225 8 g = = 15 cm

A = π · 12 · 15 = 180π cm2

• Área total = 144 · π + 180π = 324π ≈ 1 017,88 cm2

b)

Área base = π · 92 = 81π cm2

Área lateral = π · 9 · 15 = 135π cm2

Área total = 81π + 135π = 216π ≈ 678,58 cm2

8 Calcula la superficie de una esfera cuyo diámetro mide 24 cm. ¿Cuál será elárea de un casquete esférico de 12 cm de altura de esa misma esfera?

• Superficie esférica = 4πR 2 = 4π · 122 = 1 809,56 cm2

• Casquete esférico de 12 cm de altura: es la mitad de la su-perficie esférica = 904,78 cm2.

9 Calcula el área total del tronco de cono genera-do al girar este trapecio isósceles alrededor de una rec-ta perpendicular a sus bases en su punto medio:

5 cm

9 cm

6 cm

24 cm

9 cm

12 cmg = 15 cm

12 cm

9 cmg

√225

30

14

8

17

30 cm

17 cm

h

14 cm

(14 + 30) · 152

Pág. 7



Calculamos la generatriz:

g 2 = 62 + 22 8 g = ≈ 6,32 cm

• Área lateral = π(r + r' )g = π(4,5 + 2,5) · 6,32 = 138,98 cm2

• Área de las bases = π · 4,52 + π · 2,52 = 83,25 cm2

• Área total = 138,98 + 83,25 = 222,23 cm2

PÁGINA 240

V o l ú m e n e s

10 Calcula el volumen de estos cuerpos:

9 cm

6 cm 6 c

m

b)a)

3 m

3 m

21 cm

12 cm

3 m

3 m

16 m

15 m

12 m

8,4 cm8,4 cm

9 m14 m

c) d)

e) f )

5 m

8 m

4 m

2,5 m

7 cm

18 cm

5 cm

9 cm2 cm

6 cm g

√40

Pág. 8



a)

V = 62 · 9 cm3

V = 108 cm3

b)

V = πR 2h

V = π · 72 · 18 = 882π cm3

V = 2 770,88 cm3

c)

V1 = π · 2,52 · 4 = 25π m3

V2 = = 12,5π m3

Volumen total:

25π + 12,5π ≈ 117,81 m3

d)

h2 = 8,42 – 62 = 34,56 8 h ≈ 5,88 cm

Área de la base = = 35,28 cm2

Volumen = Área base · altura = 35,28 · 25 = 740,88 cm3

e)

122 = x 2 + 72 8 x 2 = 144 – 49 = 95 8 x = √—95 ≈ 9,7 m

Área de la base = 15 · 14 + ≈ 277,9 m2

V = (Área de la base) · h = 277,9 · 16 = 4 446,4 m3

14 · 9,72

15 m

12 m

14 m

x

16 m

15 m

12 m

14 m

12 · 5,882

21 cm

12 cm

8,4 cm8,4 cm

12 cm

h8,4 cm

6

5 m

8 m

4 m

4 m

4 m

2,5 m 2,5

2,5 π · 2,52 · 42

7 cm

18 cm

13

Pág. 9


9 cm

6 cm 6 c

m


f )

Podemos descomponer la figura en cuatro cubos dearista 3 cm.

V = 4 · 33 = 108 cm3

11 Calcula el volumen de los siguientes cuerpos geométricos:

a) Octaedro regular de arista 10 cm.

b) Pirámide hexagonal regular cuya arista lateral mide 15 cm y la arista de la base8 cm.

c) Cono de radio 9 cm y generatriz 15 cm.

d) Semiesfera de radio 10 cm.

e) Cilindro inscrito en un prisma recto de base cuadrada de lado 6 cm y altura 18 cm.

a) Podemos descomponerlo en dos pirámides cuadrangulares de arista 10 cm.

x 2 = 102 – 52 = 75 8 x = cm

h2 = x 2 – 52 = 75 – 25 = 50 8

8 h = ≈ 7,07 cm

Volumen de la pirámide: V = (Área base) · altura = 102 · 7,07 ≈ 235,67 cm3

Volumen del octaedro = 2 · 235,67 ≈ 471,34 cm3

b) • Calculamos la altura de la pirámide:

h2 = 152 – 82 = 161 8 h = ≈ 12,69 cm

• Hallamos el área de la base:

a 2 = 82 – 42 = 48 8 a = ≈ 6,93 cm

• Área = = 166,32 cm2

• Volumen = (Área base) · h =

= · 166,32 · 12,69 ≈ 703,53 cm3

c) • Hallamos la altura:

h2 = 152 – 92 = 144 8 h = = 12 cm

• Área de la base = πR 2 = π · 32 = 9π cm2

• Volumen = (Área base) · h = · 9π · 12 = 36π ≈ 113,1 cm313

13

9 cm

h15 cm √144

8 cm

8 cm

a

15 cm

h

8 cm

8 cm 13

13

6 · 8 · 6,932

√48

√161

13

13

10 cm

√5010 cm

10 cmxh

√75

3 m

3 m3 m

3 m

9 m

Pág. 10



d)

V = · πR 3 = · π · 103 = ≈ 2 094,4 cm3

e)

Radio del cilindro = 3 cm

V = πR 2h = π · 32 · 18 = 162π ≈ 508,94 cm3

12 Calcula el volumen de este tetraedro regular:

☞ Para hallar la altura H, recuerda que A—O = h, donde h es la altura de una cara.

h2 = 82 – 42 = 48

Calculamos la altura del tetraedro:

H2 = 82 – 4,622 8 H ≈ 6,53 cm

Volumen = · 27,72 · 6,53 = 60,34 cm3

13 Calcula el volumen de estos cuerpos:

5 m 15 m

10 m

8 m

4 m

6 m

13

h8 cm

4 cm

Área de la base:8 · 6,93A = —= 27,72 cm2

2

°§¢§£

h = √—48 ≈ 6,932AO

—= — · 6,93 = 4,62

3

23

8 cm H

A

B

CO

6 cm6 c

m

18 c

m

r

10 cm

4 000π6

43

12

43

12

Pág. 11



a)

VCONO

= πR 2h = π · 32 · 5 = 15π m3

VCILINDRO

= πR 2h = π · 32 · 5 = 45π m3

VSEMIESFERA

= · πR 3 = π · 33 = 18π m3

VTOTAL

= 15π + 45π + 18π = 78π ≈ 245,04 m3

b)

VCILINDRO GRANDE

= π · R 2h = π · 42 · 15 = 240π m3

VCILINDRO PEQUEÑO

= π · 22 · 15 = 60π m3

VTOTAL

= 240π – 60π = 180π ≈ 565,49 m3

15 Calcula el volumen de un tronco de cono deradios 12 cm y 16 cm y altura 20 cm.

Calculamos las alturas de los conos que forman eltronco:

= 8 16x = 12x + 240 8

8 4x = 240 8 x = 60 cm 8 h = 20 + 60 = 80 cm

VTRONCO

= VCONO MAYOR

– VCONO MENOR

=

= π · 16 · 80 – π · 12 · 60 =

= π ≈ 586,43 cm35603

13

13

x + 2016

x12

15 m

8 m

4 m

23

43

12

13

13

5 m 5 m

10 m

3 m

3 m

3 m

5

6 m

Pág. 12


1616

1212

2020

x


16 a) ¿Qué vaso tiene mayor capacidad?

b) ¿Cuántos litros son 10 de estos vasos?

a)

VCILINDRO

= π · 33 · 7 = 63π ≈ 197,92 cm3

• Volumen tronco de cono:

= 8 3,5x = 2,5x + 17,5 8

8 x = 17,5 cm 88 x + 7 = 24,5 cm

Altura cono grande: h12 = 24,52 – 3,52 8 h1 = 24,25 cm

Altura cono pequeño: h22 = 17,52 – 2,52 8 h2 = 17,32 cm

Volumen tronco = π · 3,52 · 24,25 – π · 2,52 · 17,32 ≈ 197,72 cm3

Es un poco mayor el cilindro.

b) 10 vasos son 1,97 l, aproximadamente.

PÁGINA 241

C o o r d e n a d a s g e o g r á f i c a s

17 Dos ciudades tienen la misma longitud, 15° E, y sus latitudes son 37° 25'N y 22° 35' S. ¿Cuál es la distancia entre ellas?

a = 37° 25'

b = 22° 35'

Tenemos que hallar la longitud del arco correspondiente aun ángulo de a + b = 37° 25' + 22° 35' = 60°

Distancia = = ≈ 6 670,65 km

αβ

R

2π · 6 370 · 60360

2πR · 60°360°

13

13

3,5 3,5

2,5

2,57

7

xx + 73,5

x2,5

3

7 cm

6 cm7

cm

7 cm

5 cm

7 cm

Pág. 13



18 Cuando en el huso 0 son las 8 a.m., ¿qué hora es en el huso 3.° al E? ¿Y enel huso 5.° O?

En el huso 3° E son tres horas más, es decir, las 11 a.m.

En el huso 5° O son cinco horas menos, es decir, las 3 a.m.

19 La “milla marina” es la distancia entre dos puntos del ecuador cuya diferen-cia de longitudes es 1'. Calcula la longitud de una “milla marina”.

1' = grados; radio de la Tierrra: R ≈ 6 370 km

Milla marina 8 = ≈ ≈ 1,85 km

20 Dos puntos P y Q de la Tierra están en el paralelo 60° N y sus longitu-des son 3° E y 50° E. Calcula la distancia entre esos puntos y di en qué huso ho-rario se encuentra cada uno. Si en P son las 11 a.m., ¿qué hora es en Q ?

Calculamos el radio del paralelo 60°. Para ello,tenemos en cuenta el triángulo equilátero de ladoR = 6 370 km.

El radio del paralelo 60° es r = = 3 185 km.

El ángulo entre P y Q es 50° – 3° = 47°.

Distancia = = ≈ 2 612,67 km

P está en el huso 0 y Q en el 3 al E.

Si en P son las 11 a.m., en Q son 3 horas más, las 2 p.m.

21 Roma está en el huso 1.° E y Nueva York, en el 5.° O. Si un avión sale deRoma a las 11 p.m. y el vuelo dura 8 h, ¿cuál será la hora local de llegada a NuevaYork?

5 + 1 = 6 horas menos en Nueva York que en Roma.

11 p.m. + 8 = 19 8 7 a.m. hora de Roma.

19 – 6 = 13 p.m. = 1 a.m. es la hora de llegada a Nueva York.

2π · 3 185 · 47360

2πr · 47360

R2

P

Q

R

60°

R—2

2π · 6 37021 600

2πR21 600

12πR · —60

360

160

Pág. 14



22 Un avión tiene que ir de A a B, dos lugares diametral-mente opuestos en el paralelo 45°. Puede hacerlo siguiendo elparalelo (APB) o siguiendo la ruta polar (ANB). ¿Cuál es lamás corta?

• Hallamos el radio del paralelo 45°:

R 2 = x 2 + x 2 = 2x 2 8 x 2 = 8 x = =

x = ≈ 4 504,27 km

Por tanto, la longitud del arco APB, es:

LAPB

= ≈ π · 4 504,27 ≈ 14 143,41 km

• El radio de la Tierra es R ≈ 6 370 km.

Para ir de A a B por la ruta ANB, se abarca un ángulo de 45° + 45° = 90° so-bre el meridiano. Por tanto, la longitud del arco ANB es:

LANB

= = = ≈ ≈ 10 000,9 km

• La ruta más corta es la polar.


23 a) Calcula la superficie del triángulo coloreado en la figura.

b) ¿Cuál es la superficie del mayor tetraedro que cabe dentrode ese cubo?

a) • Cada uno de los lados del triángulo es la diagonal de una de las caras del cubo.

Por tanto, mide: x 2 = 102 + 102 = 100 + 100 = 200 8 x = ≈ 14,14 cm

• La altura del triángulo es:

14,142 = h2 + 7,072 8 200 = h2 + 50 8 h2 = 150 8 h = ≈ 12,25 cm

• El área del triángulo es: A = ≈ 86,61 cm214,14 · 12,252

√150

14,14 cm

h

14,14 cm10 c

m

10 cm

x

x

x

√200

10 c

m

P

π · 6 3702

πR2

2πR4

2πR · 90°360°

2π · 4 504,272

xx

R45°

6 370

√2

R

√2

R 2√—2

R 2

2

S

A

BP

N

Pág. 15



b) • Las caras son triángulos como los del apartado an-terior; por tanto, el área de una cara es:

A1 ≈ 86,61 cm2

• Como son cuatro triángulos iguales, el área del te-traedro será:

AT

= 4 · 86,61 = 346,44 cm2

24 Calcula el volumen de una habitación de 2,30 m de altura, cuya planta tienela forma y dimensiones indicadas en la figura.

• Área rectángulo = 4 · 5 = 20 m2

• Área trapecio = = 3 m2

• Área base = 20 + 3 = 23 m2

• Volumen = (Área base) · h = 23 · 2,30 = 52,9 m3

25 Calcula el volumen de los cuerpos de revolución que genera cada una de es-tas figuras planas al girar alrededor del eje indicado:

• VCILINDRO

= π · 32 · 4 = 36π cm3

• VCONO

= π · 32 · 3 = 9π cm3

• VTOTAL

= 36π + 9π = 45π = 141,37 cm3

• VSEMIESFERA

= · π · 33 = 18π cm3

• VCONO

= π · 32 · 3 = 9π cm3

• VTOTAL

= 18π + 9π = 27π = 84,82 cm3

3

33

B

13

43

12

B

7 cm

4 cm

3 cm

3 cm

A

13

A

3 cm

4 cm

3 cm

3 cm

7 cm

A B

4 m

2 m1 m

5 m

(4 + 2) · 12

10 c

m

Pág. 16



26 Tres pelotas de tenis se introducen en una caja cilíndrica de 6,6 cm de diámetro en la que encajan hasta el borde. Halla el volumende la parte vacía.

• Altura del cilindro = 6,6 · 3 = 19,8 cm

• VCILINDRO

= π · 3,32 · 19,8 ≈ 677,4 cm3

• VESFERAS

= 3 π · 3,33 = 451,6 cm3

• VPARTE VACÍA

= 677,4 – 451,6 = 225,8 cm3

27 Se introduce una bola de piedra de 14 cm de diámetro en un recipiente cú-bico de 14 cm de arista lleno de agua y después se retira. Calcula:

a) La cantidad de agua que se ha derramado.

b) La altura que alcanza el agua en el recipiente después de sacar la bola.

a) VCUBO

= 143 = 2 744 cm3

VAGUA DERRAMADA

= VESFERA

= π · 73 ≈ 1 436,76 cm3

b) VAGUA NO DERRAMADA

= 2 744 – 1 436,76 = 1 307,24 cm3

Altura que alcanza el agua:

1 307,24 = 142 · h 8 h = 6,67 cm

28 Un triángulo rectángulo isósceles, cuyos catetos miden 8 cm respectivamente,se hace girar alrededor de la hipotenusa. Halla el volumen del cuerpo que se forma.

Se forman dos conos iguales cuya altura es la mi-tad de la hipotenusa.

a 2 = 82 + 82 = 128 8 a = 11,31 cm

r 2 = 82 – 2

= 64 – 32 = 32 8 r ≈ 5,66 cm

Radio de la base: r = 5,66 cm

Altura = h = = = 5,56 cm

VCONO

= π · 5,66 · 5,66 = 189,67 cm3

VTOTAL

= 2 · 189,67 = 379,34 cm3

8 cm

8 cm

8 cm

h

r

r

a

a

h

r

13

11,312

a2

)a2(

14

h

1443

6,6

)43(

Pág. 17



29 Queremos hacer un tubo cilíndrico soldando por los lados un rectángulo de28 cm de largo y 20 cm de ancho. ¿Cómo se consigue mayor volumen, soldandopor los lados de 28 cm o por los de 20 cm?

A • Radio: 2πr = 28 8 r = cm

• Volumen: πr 2h = π2

· 20 = 1 247,77 cm3

B • Radio: 2πr = 20 8 r = cm

• Volumen: πr 2h = π2

· 28 = 891,27 cm3

Se consigue mayor volumen soldando por los lados de 20 cm.

30 Cortamos un prisma triangular regular por un plano perpendicular a las ba-ses y que pasa por el punto medio de dos aristas.

Calcula el volumen de los dos prismas que se obtienen.

• Área del triángulo equilátero de lado 8 m:

h2 = 82 – 42 = 48 8 h ≈ 6,93 m

A = ≈ 27,71 m2

• Área del triángulo equilátero de lado 4 cm:

A' = = 6,93 m2

• Volumen del prisma pequeño:

V1 = (ABASE

) · h = 6,93 · 10 = 69,3 m3

• Para obtener el volumen del prisma grande, restamos V1 al volumen del prismatriangular inicial:

V = 27,71 · 10 – 6,93 · 10 = 207,8 m3

A4

4 4

810 m

8 m

8 · 6,932

10 m

8 m

28 cm

r

B

)10π(

10π

)14π(

14π

20 cm20 cm

28 cm r

A

Pág. 18



PÁGINA 242

31 Seccionamos un cubo como indica la figura.

¿Cuál es el volumen de las partes seccionadas?

• Tomamos como base el triángulo rectángulo:

Área base = = 6,25 cm2

• El volumen de la menor parte seccionada será:

V = (Área base) · h = 6,25 · 5 = 31,25 cm3

• Volumen de la parte mayor seccionada:

V = 53 – 31,25 = 93,75 cm3

32 El desarrollo de la superficie lateral de un cono es un sector circular de 120°de amplitud y cuya área es 84,78 cm2. Halla el área total y el volumen del cono.

• Generatriz del cono:

= 8 g 2 = 8 g ≈ 9 cm

• Radio de la base: 2πr = l

= 8 18π = 3l 8 l = 6π cm

2πr = 6π 8 r = 3 cm

Área total = 28,27 + 84,78 = 113,05 cm2

• Altura del cono: h2 = 92 – 32 = 72 8 h ≈ 8,49 cm

• Volumen cono = (Área base) · h = 28,27 · 8,49 ≈ 80 cm313

13

°¢£

• Área base = π · 32 = 9π ≈ 28,27• Área lateral = 84,78

g

l

h

3

120°

9

360120

2 · π · 9l

3 · 84,78π

360120

πg 2

84,78

2,5 cm

5 cm

h = 5

cm

5 · 2,52

8 cm

Pág. 19



33 Cortamos un cubo por un plano que pasa por los puntos MNC'A' (M y Nson los puntos medios de las aristas AD y DC, respectivamente).

Calcula el área total del menor de los poliedros que se forman.

• Triángulo MDN : A = = 18 cm2

• Triángulo A'D'C': A = = 72 cm2

Caras laterales: trapecios.

A1 = = 108 cm2

2 = 62 + 62 = 72 8 = ≈ 8,49 cm

2 = 122 + 122 = 288 8 = = 16,97 cm

= = 4,24 cm

2 = 122 + 62 = 180 8 = 13,42 cm

h2 = 13,422 – 4,242 8 h ≈ 12,73 cm

Área2 = ≈ 162,05 cm2

Área total del poliedro = 18 + 72 + 2 · 108 + 162,1 = 468,1 cm2

(8,49 + 16,97)12,732

MA'MA'

D'A'

DM

12 cm1

6 cm

12 cm

C' P A'

NM

h2

16,97 – 8,492

A'P

√288A'C'A'C'

√72MNMN

(12 + 6) · 122

12 · 122

6 · 62

A' C' A'

B'

A

D'

D'

C'

C

D

DB

M NMN

12 cm

12 cm

6 cm6 cm

A'

A

D'

C'

C

D

B

M N

12 cm

Pág. 20



34 Un cilindro y un cono tienen la misma superficie total, 96π cm2, y el mis-mo radio, 6 cm. ¿Cuál de los dos tendrá mayor volumen?

• Área total del cilindro = 2π · 6h + 2π · 62

84πH = 96π 8 H = 1,14 cm

• Volumen del cilindro = π · 62 · 1,14 = 128,93 cm3

• Área total del cono = π · 62 + π · 6g 8 36π + 6πg = 96π 88 6πg = 60π 8 g = 10 cm

• Altura del cono: h2 = 102 – 62 = 64 8 h = 8 cm

• Volumen del cono = π · 62 · 8 ≈ 301,59 cm3

Tiene mayor volumen el cono.

36 Se corta una esfera de 50 cm de diámetro por dos planos paralelos a 8 cm y15 cm del centro, respectivamente. Halla el volumen de la porción de esfera com-prendida entre ambos planos.

VPORCIÓN CILINDRO

= π · 502(15 – 8) = 17 500π cm3

VTRONCO DE CONO

= π · 502 · 15 – π · 502 · 8 = 5 833,33π cm3

VPORCIÓN ESFERA

= VPORCIÓN CILINDRO

– VTRONCO CONO

=

= 17 500π – 5 833,33π = 11 666,67π cm3 ≈ 36 651,9 cm3

13

13

15

8

13

ghH

66

Pág. 21




37 a) ¿Cuáles de estas figuras son poliedros?

b) Explica si alguno de ellos es un poliedro regular o semirregular.

c) Comprueba que se cumple la fórmula de Euler en cada uno de ellos.

a) Son poliedros todas excepto el cono (figura D).

b) El icosaedro (B) es un poliedro regular, porque sus caras son polígonos regularesidénticos y en cada vértice concurren el mismo número de caras.

El antiprisma hexagonal regular (C) es un poliedro semirregular porque sus carasson polígonos regulares de dos tipos, hexágonos y triángulos, y en todos los vér-tices concurren los mismos polígonos.

c) c + v = a + 2

A) 6 + 5 = 9 + 2

B) 20 + 12 = 30 + 2

C) 14 + 12 = 24 + 2

38 a) ¿Qué poliedro obtienes si tomas como vértices los centros de las caras deun octaedro regular?

b) ¿Qué relación hay entre dos poliedros duales?

a) Se obtiene un cubo.

b) El número de caras de un poliedro coincide conel número de vértices de su dual, y ambos tienenel mismo número de aristas.

A B

C D

RPág. 22



39 ¿Cómo hemos de truncar el icosaedro para obtener estepoliedro?:

Explica por qué es un poliedro semirregular.

Por planos que corten a las aristas a 1/3 del vértice.

Es un poliedro semirregular porque está formado por hexá-gonos y pentágonos regulares y en todos los vértices concu-rren tres polígonos.

40 Explica cómo hemos de truncar el dodecaedro para obtener el icosidodecaedro.

¿Es un poliedro semirregular?

Por planos que pasan por los puntos medios de las aristas.

Es un poliedro semirregular, porque está formado por triángu-los y pentágonos regulares y concurren 4 caras en cada vértice.

PÁGINA 243

41 Truncando el cuboctaedro por los puntos medios de las aristas, obtenemoseste poliedro. Descríbelo.

Tiene 26 caras, 18 cuadrados y 8 triángulos equiláteros. En cada vértice concurrentres cuadrados y un triángulo.

42 ¿Cuáles son los planos de simetría de un ortoedro de base cuadrada? ¿Y losejes de giro? ¿De qué orden es cada uno de ellos?

• Son 5 planos de simetría:

Dos pasan por los puntos medios de las aristas de la base.

Dos pasan por los vértices opuestos de las bases.

(Estos cuatro planos corresponden a los ejes de simetríadel cuadrado).

Uno pasa por los puntos medios de las aristas laterales.

1—3

Pág. 23



• Tiene 5 ejes de giro:

Un eje de giro de orden cuatro: la recta perpendicular alas bases por su punto medio.

Dos ejes de giro de orden dos: las rectas paralelas a las ba-ses que pasan por el centro de cada dos caras paralelas.

Dos ejes de giro de orden dos: las rectas que pasan porlos puntos medios de dos aristas laterales opuestas.

43 Describe los planos de simetría y los ejes de giro de un prisma triangular re-gular y de una pirámide de base cuadrada.

El prisma triangular regular tiene 4 pla-nos de simetría, 3 por cada uno de losejes de simetría del triángulo y otro pa-ralelo a las bases.

Tiene un eje de giro que pasa por elcentro de las dos bases. Es de orden 3.

Tiene tres ejes de giro que pasan por elcentro de una cara lateral y el puntomedio de la arista lateral opuesta. Sonde orden 2.

Tiene 4 planos de simetría que corres-ponden a los 4 ejes de simetría del cua-drado y un eje de giro perpendicular ala base desde el vértice. Es de orden 4.

44 Cortamos un cubo por planos paralelos entre sí y perpendi-culares a una diagonal. ¿Qué polígonos obtenemos como sección?

Obtenemos triángulos equiláteros y hexágonos.TRIÁNGULOS EQUILÁTEROS HEXÁGONOS HEXÁGONOS REGULARES

Pág. 24



45 Si en un cono reducimos a la mitad el radio de la base y mantenemos la mis-ma altura, ¿el volumen se reduce a la mitad? ¿Y si mantenemos la misma base y re-ducimos la altura a la mitad?

VCONO I = πR 2h

VCONO II = π

2· h =

El volumen se reduce a la cuarta parte.

VCONO I = πR 2h

VCONO II = πR 2 =

Sí, el volumen se recuce a la mitad.

46 Una pirámide de base cuadrada se corta por un plano paralelo a la base y quepasa por el punto medio de la altura. ¿Cuál será la relación entre los volúmenes dela pirámide grande y la pequeña?

El lado de la nueva base es la mitad de la arista básica de la pirámide.

=

47 Un cubo y una esfera tienen la misma superficie. ¿Cuál tiene mayor volu-men? Comprueba tu respuesta dando un valor cualquiera al radio de la esfera.

Radio de la esfera: 10 cm

4πR 2 = 6l 2 8 4π · 102 = 6l 2

l 2 = 8 l = 14,47 cm

Volumen cubo = 14,473 = 3 031,01 cm3

Volumen esfera = π · 103 = 4 188,79 cm3

Tiene mayor volumen la esfera.

R

l

43

400π6

18

VV'

°§§¢§§£

1VPIRÁMIDE GRANDE

= — l 2h3

1 l h 1 l 2 · hV' = VPIRÁMIDE PEQUEÑA

= —(—)2 · — = — —3 2 2 3 8

h

h/2

l l /2

l /4

h

h/2R R

I

II πR 2h2

13

h2

13

13

h h

I II

R R/2

πR 2h4

13)R

2(13

13

Pág. 25



48 En un cilindro de diámetro igual a la altura, inscribimos una esfera. ¿Cuáles la relación entre el área lateral del cilindro y el área de la esfera?

Área lateral del cilindro = 2πR · 2R = 4πR 2

Área de la superficie esférica = 4πR 2

Son iguales.

49 ¿Qué relación hay entre el volumen de esta esfera y este cono?:

Son iguales.

R O F U N D I Z A

50 Cortes en el cubo

Para este ejercicio, conviene que construyas un cubo de cartulina o que modelesunos cuantos de plastilina y ensayes con ellos distintos cortes con una cuchilla.

Investiga y describe cómo debes cortar un cubo para obtener los siguientes polí-gonos:

a) Un triángulo. b) Un triángulo equilátero.

c) Un rectángulo. d) El mayor rectángulo.

e) Un trapecio. f) Un rombo.

g) Otros paralelogramos no rectángulos.

¿Es posible obtener un pentágono? ¿Y un hexágono? ¿Y un hexágono regular?

Investiga qué cuadriláteros puedes obtener cortando un tetraedro y un octaedro.

a) b)

TRIÁNGULOEQUILÁTERO

EL TRIÁNGULO EQUILÁTEROMÁS GRANDE POSIBLE

UN TRIÁNGULO

P

°§§¢§§£

4VESFERA

= —πR 3

31 4V

CONO= — π(2R )2 · R = —πR 3

3 3

2RRR

2R

R

Pág. 26



c) d) e)

f ) g)

Cuadriláteros que puedes obtener al cortar un tetraedro y un octaedro:

Tetraedro:

También se pueden obtener triángulos:

Octaedro:

CUADRADOS RECTÁNGULOS TRAPECIOS ROMBOS

ISÓSCELES EQUILÁTERO

RECTÁNGULO TRAPECIO CUADRADO

UN PENTÁGONO UN HEXÁGONO UN HEXÁGONO REGULAR

UN PARALELOGRAMONO RECTÁNGULO

UN ROMBO

UN TRAPECIOEL MAYOR RECTÁNGULOUN RECTÁNGULO

Pág. 27



También se pueden obtener hexágonos y pentágonos:

51 Figuras de revolución

Si el pentágono de la figura gira en torno a la recta roja, engendra el cuerpo geo-métrico A que ves a su derecha.

¿Cuáles de los cuerpos representados a continuación pueden ser engendrados porese mismo pentágono, girando alrededor de otras rectas?

Teniendo en cuenta las medidas del pentágono, calcula el vo-lumen del cuerpo C.

¿Te atreverías también con el volumen de las otras figuras A,B, D y E ?

EDA

r

A

rB

r

C E

r

D

CB

r

8 cm

A

C

E

D

B

HEXÁGONOS PENTÁGONOS

Pág. 28



— Volúmenes:

VC = 22 · π · 2 + = ≈ 33,5 cm3

VA = 2(VCONO GRANDE

– VCONO PEQUEÑO

) = 2(67 – 8,4) = 117,2 cm3

VB : Es el volumen del cilindro grande menos el de los dos conos:

VCILINDRO

= 42 · π · 4 = 64π ≈ 201 cm3

VCONO

= = ≈ 8,37 cm3

VB = 201 – 2(8,37) = 184,26 cm3

VD = 22 · π · 4 = 16π ≈ 50,26 cm3

VE : Es el volumen del cilindro más el del cono grande menos los dos conos pe-queños:

VCILINDRO

= 42 · π · 2 = 32π ≈ 100,5 cm3

VCONO GRANDE

= = ≈ 67 cm3

VCONO PEQUEÑO

= = ≈ 8,4 cm3

VE = 100,5 + 67 – 2(8,4) = 150,7 cm3

4 cm

4 cm

2 cm

4 cm

2 cm

8π3

22 · π · 23

64π3

42 · π · 43

8π3

22 · π · 23

32π3

22 · π · 23

Pág. 29


Documents

12 SOLUCIONES A LOS EJERCICIOS DE LA UNIDAD · 57 · 90 = 5130 kg se esperan en un campo de 190 m de largo y 90 m de ancho. Repartos proporcionales 20 Dos albañiles cobran 340 €