1.2.1. Sector Circular - Libreria online

33Und. 1 Introducción a la Trigonometría

Llamamos desarrollo de una superficie lateralal conjunto de puntos de la superficie imaginariaque envuelve a un sólido y que es extendida sobreun plano. En principio toda superficie lateral pue-de representarse sobre una superficie plana.

En el caso de un cono su desarrollo está for-mado por un sector circular cuyo radio es lageneratriz de la superficie cónica y cuyo arco esla circunferencia de la base.

Obsérvese que tanto la superficie lateral comola base del cono son figuras relacionadas por unmismo concepto: el sector circular.

1.2.1. Sector CircularEs la región plana de un círculo definida por dos radios y el arco comprendido entre estos.En el ejemplo de la figura, el sector circular AOB, está definido por los radios OA y OB , y por

el arco AB comprendido entre éstos. Obsérvese que, según la definición dada, estos dos radiosproducen una partición en el círculo y cualquiera de las dos partes en que éste ha quedadodividido puede ser considerado como sector circular. Asimismo los radios definen el ángulocentral AOB como en (a) o en (b), cuya medida puede variar desde «O» hasta 2 rad.

1.2.2. Longitud de Arco

1.2.2A. Definición.- Se llama longitud de arco a la medida lineal de la extensión subtendidasobre una circunferencia por un ángulo central.

Sea la medida del ángulo central expresada en radianes y trazada en una circunferencia deradio r, entonces la longitud s del arco subtendido por éste viene dado por: s = r.

Sector Circular

35Und. 1 Introducción a la Trigonometría34 Trigonometría

Esta es la condición de no deslizamiento entre dos discos en contacto. En la práctica se recurrea un par de discos dentados.

1.2.3B. Discos unidos por un eje comúnEn este caso los ángulos que giran cada uno de los

discos son iguales.1 = 2

El movimiento giratorio del eje hace que los discossoldados a él giren del mismo modo.

1.2.3C. Correa de transmisiónEn este caso las longitudes de arco que barren las po-

leas son iguales.L1 = L2

Esta es la condición de no deslizamiento entre la correay las poleas. La correa debe estar lo suficientemente tensa.

1.2.3D. Rodadura«El número de vueltas nv que da una rueda sobre un

piso se calcula dividiendo la distancia recorrida d por elcentro entre su perímetro (2r)».

dn rv 2

Ejemplo 1.- Dos poleas de 15 cm y 6 cm de radio, respectivamente, están en contacto por susbordes. ¿Cuántas vueltas ha dado la pequeña cuando la grande ha efectuado 60?

Para conocer la relación entre las vueltas () y los radios (R) de las poleas aplicamos la propiedadde los arcos iguales:

L1 = L2 R1· 1 = R2· 2

15cm· 60 v = 6 cm· 2

2 = 150 v

Ejemplo 2.- Un cilindro recto rueda hasta completar una vuelta. ¿Qué distancia recorrió su centro,con relación al piso, si su radio mide 1 m?

Haciendo un esquema, y despejando «d» de la relación dada para el número de vueltas en unarodadura, tendremos:

nv = d/2r

d = 2r· nv

d = 2(1 m) (1)

d = 2 m

1.2.2B. Propiedades1ra. Dos ángulos centrales diferentes ubicados en una misma circunferencia subtienden arcos

de longitudes proporcionales a las medidas (en radianes) de dichos ángulos.

1 1

2 2

ss

2da. Para dos arcos subtendidos por un mismo ángulo central, en dos circunferenciasconcéntricas, se verifica que las longitudes de arco, en cada circunferencia, son proporcionales alos radios de los círculos correspondientes.

1 1

2 2

r sr s

Observaciones:a) Si = 0, el arco del sector circular es un punto, luego: L 0 r b) Si = 2 el arco es toda la circunferencia, luego: L 2r r 2r 2

De estas observaciones se concluye que: 0 2Ejemplo 1.- Calculemos la longitud del arco que subtiende un ángulo central cuya medida es de0,5 rad si la circunferencia tiene por radio r = 6 m.

Si L = · r, entonces: L = (0,5)(6 m) L = 3 mObsérvese que al sustituir por su medida, ésta se ha anotado sin unidades.Ejemplo 2.- Determinemos la medida del ángulo central, en una circunferencia de radio «r»:a) Para un cuadrante de longitud:

L = 2

· r 2

· r = · r = 2

rad

b) Para media circunferencia de longitud:L = · r · r = · r =rad

c) Para una circunferencia de longitud:L = 2· r 2· r = · r =2rad

1.2.3. Aplicaciones de la Longitud de Arco

1.2.3A. Dos engranajes en contactoPara los bordes de cada engranaje se cumple que las longitu-

des de arco que cada uno recorre son iguales.

L1 = L2

36 Trigonometría 37Und. 1 Introducción a la Trigonometría

01.- Identifica los sectores circulares AOB de la siguientelista de figuras y dibújalos en el casillero vacío:

02.- En cada caso, calcula y anota el valor de «L».

a. . . . . . . . . . . . .

b. . . . . . . . . . . . .

03.- En los siguientes casos , calcular «»

a. . . . . . . . . . . . .

b. . . . . . . . . . . . .

c. . . . . . . . . . . .

04.- En el siguiente sector circular, calcular «r»

05.- En el siguiente sector circular, calcular «x»

06.- Visualiza los gráficos, analiza y determina la medi-da de «x» en cada caso:

a. x = .............

b. x = .............

c. x = .............

1.2.4. Área del Sector Circular

El área de un sector circular está determinado por la medida del radio del círculo al quepertenece y del ángulo central que lo subtiende.

S ( )m2

Para establecer la relación entre el área «S» del sector circular y el ángu-lo central utilizaremos el siguiente cuadro de valores, extraído de unexperimento real. Se muestra la medida del área de un sector de radio r = 2m, para distintas medidas del ángulo central. Si se observa con atención selogra descubrir la siguiente proporción:

2 4 6 8 40,5 1,0 1,5 2,0S

Se puede reconocer que entre el ángulo central y el área del sector circular existe una corres-pondencia directa, es decir:

S = constante S dp (dp significa directamente proporcional)

Esto permite establecer que a mayor ángulo mayor es el valor de S. Recordando la fórmula delárea de un círculo, podemos aplicar la siguiente regla de tres simple:

área ángulo central

S

2S 2

r

rS2

2

r2 2

Recordando que la longitud de arco está dada por: L = r, la expresión obtenida se puedepresentar de varias formas equivalentes:

SECTOR CIRCULAR TRAPECIO CIRCULAR

Ejemplo.- Calculemos el área del sector circular de ángulo central 36º y radio 10 m.

Convertimos 36º a radianes, así: 36º 180º 5rad rad 5


Prob. 01

En el gráfico: L1 + L2 = 163 m

Si además se sabe que: + = 120º; calcular lalongitud del radio.

Expresamos la suma de ángulos en radianes:

+ = 120º· 180º

+ = 23 . . . (1)

Aplicando la ecuación que define la longitudde arco, se tiene:

1 2 L L R . . . (2)

Reemplazando el dato y la ecuación (1) en (2),se obtiene:

2 163 3

R R = 8 m

Prob. 02

En la figura mostrada, calcula la longitud del arcoAB.

En el sector circular se cumple: L = R

De los datos del problema: x + 9 = x (x + 1)

x + 9 = x2 + x x2 = 9

x = 3

Finalmente, la longitud del arco AB mide:

L = x + 9 = 3 + 9

L = 12

Prob. 03

La medida de un ángulo inscrito de una circunfe-rencia es 90/ (x + 1)º y contiene un arco cuyalongitud es (2x + 1)m. Calcular «x» si el radio dela circunferencia es 4/3 m.

Graficando el enunciado del problema:

Convirtiendo a radianes el ángulo central delsector circular sombreado, se cumplirá que:

L = · r

2x + 1 =

180 (x + 1)° .

180 . 3

4

3(2x + 1) = 4(x + 1) 6x + 3 = 4x + 4

2x = 1 x = 1/2

07.- Determina el número de vueltas que da la polea«1» si la polea «2» da 12 vueltas. Además se sabe que:R1 = 4R2 .

n1 = ..................

08.- Determina el número de vueltas que da la polea«2» cuando la polea «1» gira 45°. Además se sabeque: R1 = 200 cm; R2 = 10 cm.

n1 = ..................

09.- Indicar, vistos desde arriba, en qué sentido gira lapolea «2» en cada caso:

a. ..................

b. ..................

10.- En los siguientes casos se muestra un disco deradio r = 2 cm, que rueda sin deslizar sobre una super-ficie áspera desde «A» hasta «B». Se pide determinarla longitud «d» que recorre el centro del disco y elnúmero de vueltas «nV» que realiza el disco en toda latrayectoria. Utiliza: = 22/7

a. d = .......... ; nV = ..........

b. d = .......... ; nV = ..........

c. d = .......... ; nV = ..........

d. d = .......... ; nV = ..........

11.- Un sector circular de área S (en cm2) es sub-tendido por un ángulo trigonométrico positivo (enradianes) de radio r (en cm) y que subtiende un arcode longitud L (en cm). Se pide completar el cuadro:

S r L

12.- Determina la medida del área limitada por el tra-pecio circular, en cada caso:

a.

b.

c.


Reemplazando (2) en (1):

2r = · 2r = 4

El ángulo central se ha cuadruplicado

Prob. 08

Calcular, a partir de la posición mostrada en la figu-ra, la longitud que recorre el extremo A de la cuerdaAB hasta que envuelva todo el cuadrado BCDE.

Graficando el recorrido, se tiene:

En la figura mostrada, observamos que:

LTOTAL = L1 + L2 + L3 + L4

LTOTAL =

2(8) +

2(6) +

2(4) +

2(2)

LTOTAL = 10 m

Prob. 09

Un péndulo oscila, describiendo un ángulo de 7°y un arco de 11cm. Calcular la longitud del pén-dulo (22/7)

Graficando el enunciado del problema, así:

L = · r

11 cm = 7° ·

180

· x

11 cm = 1807

· 722 · x

x = 180(11 )

22cm

x = 90 cm

Prob. 10

Calcular el perímetro del trapecio circular som-breado.

Nos ayudamos de «» y calculamos laslongitudes de los arcos CD y BE.

Perímetro (2p):

2p = 2 + 3 + 3 + 5 = 7 + 6 . . . ()

En el sector circular AOF se cumple que:

· 7 = 2 = 72

Reemplazando en ():

2p = 7· 72 + 6

2p = 2 + 6

Prob. 04Del gráfico mostrado calcular:

a ba b

Nos ayudamos de

En cada sector se cumple:

a) 3 = · b b =3

b) 4 = · a a = 4

Finalmente:baba

=

34

34

baba

=

1

7

baba

= 7

Prob. 05En el sector circular mostrado, calcular «x».

Nos ayudamos de como se muestra en la figura.

Si calculamos en cada sector se tiene:

BOC: = x9

AOD: = 212x

Igualando: x9 = 2

12x x = 6

Prob. 06A partir del sector circular, calcular: 2 +

Aplicando en el gráfico: L = · r, tendremos:

Donde: L = (a + a) L = a

a = (a + a) a = a ( + 2)

Finalmente: 2 + = 1

Prob. 07

¿Cómo debe variar la medida del ángulo de unsector circular cuando el radio disminuya a lamitad y la longitud de arco se duplique?.

Sector original Nuevo sector

Se cumple: Se cumple:

L = · r . . . (1) 2L = · r2 . . . (2)


Reemplazando (1) en (2), así:

x

cm 1416,3 =

92

x cm = 9

2 cm

x = 29 cm

x = 4,5 cm

Prob. 14

Calcular la longitud de arco recorrido por «A», sila longitud de arco recorrido por C es 12.

RA = 1; RB = 4; RC = 3

a) De acuerdo al sistema de engranajes, B y Ctiene un mismo eje, luego:

(C) = (B)

(C)

(C)

RL

= (B)

(B)

RL

. . . (1)

Por dato del problema:

L(C) = 12

Reemplazando este dato y los valores de losradios correspondientes en (1), así:

123 = (B)

4L

L(B) = 12· 34

Luego: L(B) = 16

b) A continuación, como los engranajes (A) y (B)poseen una correa de transmisión, se verifica:

L(A) = L(B) L(A) = 16

Prob. 15

Del sistema mostrado, determinar cuántas vuel-tas gira la rueda «C» cuando la rueda «A» de12 vueltas.

a) En relación a las poleas A y B, observamosque por estar unidas mediante una faja:

L(A) = L(B)

(A)· R(A) = (B)· R(B)

12 v· R(A) = n(B)· R(B)

12(5) = n(B)· (2)

Luego: n(B) = 30 vueltas

b) Finalmente el número de vueltas dada por Ces igual al que da B por tener el mismo eje.

n(C) = 30 vueltas

Prob. 16

Calcular el número de vueltas que da la rueda deradio «r» al recorrer internamente el diámetro de lasemicircunferencia, si se sabe que: R = ( 17 + 1)r..

Se puede apreciar que la rueda inicia y terminasu recorrido de manera tangente a la semicircun-ferencia. Así la distancia recorrida por su cen-tro no coincide con la longitud del diámetro deaquella. Luego, elaboramos la siguiente figura:

Prob. 11

Dado el gráfico, determinar L1 + L2.

Con la ayuda de la gráfica podemos deducir:

L1 = 18018 . (20) y L2 = 180

36 (10)

L1 = 2 y L2 = 2

Finalmente: L1 + L2 = 2 + 2

L1 + L2 = 4

Prob. 12

Calcular la longitud de la carretera curva AB.

De la figura mostrada: L = L1 + L2 + L3

A continuación calculamos cada longitudindicada, así:

L1 = 18060

· 2R = 3

2

L2 = 18030

· 5R = 6

5R

L3 = 18045

· 8 R = 2R

Luego: L = 3

2R +

65

+ 2R

L = R72

Prob. 13

La menor polea gira un ángulo de 2/3 rad. ¿Cuálserá el radio «x» de la polea que recorre una lon-gitud de arco de 3,1416 cm?

a) De las poleas en contacto se verifica:

Lpolea (3) = Lpolea (1)

(3) · r (3) = (1)· r(1)

(3)· (3) = 3

2 (1)

Luego: (3) = 92 . . . (1)

b) De las poleas unidas por el eje, se verifica:

(x) = (3) (x)

(x)

Lr = (3) . . . (2)


Otro Método

Encontremos el n(T) a partir de:

n(T) = rd2 n(T) =

lados

2e

r

n(T) = rrcba

22)(

n(T) = rcba

2)(

+ 1

n(T) = 44222 17

+ 1 n(T) = 8

Prob. 19

En el gráfico, la rueda de radio 3 se desplaza delpunto «A» hasta «D».

Calcular el número de vueltas que ha dado entotal desde «A» hasta «D», si:

OB = 9, BO1 = 30 y DO2 = 12

Calculando por partes, así:

a) Desde «A» hasta «B».

Aplicando: n(1) = rd21 n(1) = )3(2

)93(2

n(1) = 1212 n(1) = 1

b) Desde «B» hasta «C» .

n(2) = rd22 n(2) =

)3(2

)330(3

2

= 927 = 3

c)Desde «C» hasta «D».

n(3) = rd23 n(3) = )3(2

)312(34

n(3) = 4(9)18 = 2

Finalmente: n(T) = n(1) + n(2) + n(3)

n(T) = 1 + 3 + 2

n(T) = 6

Prob. 20

Calcular el área de la región sombreada:

Del dato: R – r = 17 r (R – r)2 = 17r2

Aplicamos el teorema de Pitágoras en eltriángulo sombreado:

(R – r)2 = r2 + x2 17r2 = r2 + x2

x2 = 16r2 x = 4r

Aplicando: nv = rd2 nv = r

x2

2

nv = rr

4 nv = 4

Prob. 17

Dos ruedas de radios diferentes ruedan reco-rriendo una misma distancia. Calcular el radio deuna tercera rueda, tal que al recorrer una distan-cia igual al doble de la recorrida por las anterio-res, de un número de vueltas igual a la mediageométrica de los números de vueltas que dieronlas otras dos ruedas.

En este tipo de problema es conveniente, utilizarun cuadro para relacionar radios, distancias ynúmero de vueltas de cada rueda. Veamos:

A continuación reemplazamos los valores de ay b en la última relación, obteniendo:

. 2 2e eR r =

2 2

ex

2e

Rr = 2

2 ex

x = 2 rR

Prob. 18

Calcular el número de vueltas que da una rueda deradio 1 m al recorrer el perímetro de un triángulo,si el perímetro de éste es de 44 m. (Usar: 22/7).

a) Cálculo de las vueltas n(1) que da la rueda alrecorrer los lados del triángulo:

n(1) = perím del

2 (1) n(1) =

7222

44

= 7

b) Cálculo de las vueltas n(2) que da la rueda encada uno de los vértices del triángulo:

– – –

La suma de éstos giros nos da las vueltasadicionales que buscamos:

n(2) = ( – ) + ( – ) + ( – )

n(2) = 3 – ( + + ) = 3 –

n(2) = 1 vuelta

Finalmente, el número total de vueltas que da larueda al recorrer el perímetro del triángulo, será:

n(T) = n(1) + n(2)

n(T) = 8


S1 = S2

S1 = 2( )

2a

. . . (2)

Y según condiciones del problema, igualandoambas áreas, obtenemos:

2)( 2a

= 23

2a

– = 3 4 =

= /4

Prob. 23

En la figura mostrada, calcular el área de la re-gión sombreada.

Trazamos la diagonal del cuadrado:

El área S se calcula así:

S = –

S = 21 · 2

22 – 2 2

2

S = – 2

Entonces el área total será:

2S = 2( – 2)

2S = 2 – 4

Prob. 24

En la figura mostrada, determinar el valor de «L»,si el trapecio circular ABCD tiene 20 m2 de área.

De la figura, observamos que: mCOD = 1 rad

Luego el área del trapecio circular (ST):

ST = S(COD) – S(BOA)

20 = 2

)4)(4( xx – 2

x x

40 = x2 + 8x + 16 – x2

8x = 24 x = 3

Finalmente, la longitud de L será:

L = x + 4 = 3 + 4 L = 7

Otro método:

Sabiendo que: ST =

1 22

L Lh

Sustituyendo datos:

20 =

24xx

4 2x + 4 = 10

Si llamamos «» al ángulo central, podemosestablecer que:

· LL r r

En los dos sectores circulares calculamos :

= 3x

= 1010

x = 3

A continuación, recordemos que:

S = · 2

l r S = 2

3(3) =

29

S = 4,5 u2

Prob. 21

En la figura mostrada se tienen los sectores AOB yCOD. Si: = 2/9 y CB = 3m, determinar el área(en m2) de la región sombreada.

Nos ayudamos del gráfico:

Tenemos que: S = S(COD) – S(AOB) . . . (1)

Luego, sabemos que: S = 2

2r

Aplicamos en (1):

S = 2

2R –

2

2r S =

2 2( )2

R r

Pero:

2 222 9 9 2

R rS

2 2 ( )9S R r . . . (II)

Aplicando el teorema de Pitágoras en eltriángulo OBC, tendremos:

2 2 2 2 23 9R r R r . . . (III)

Reemplazamos (III) en (II):

99S S = m2

Prob. 22

Si las área S1 y S2 son iguales, evaluar «» enradianes.

a) Trabajando en el sector circular COD:

S2 = S(COD) – S(BOE)

S2 = 2(2 )

2a

– 2

2a

S2 = 2

3 2a . . . (1)

b) Trabajando en el sector circular AOE.


Para calcular «M» necesitamos calcular cadauna de las áreas de los sectores circulares S1 yS2, para lo cual elaboramos el siguiente gráfico:

a) S1 = 25θ(2 )

2r S1 =

25θ· 42

r S1 = 10r2

b) S2 = 24θ·

2r S2 = 2 r2

Luego: M =

2 2

2 210θ 3(2 )

10θ 2θr r

r r

M = 2

216 θ8 θ

rr

M = 2

Prob. 29

¿En cuántos centímetros deberá variar el radio deun sector circular con ángulo central de 36° yradio de 20 cm, para que al disminuir el ángulo asu cuarta parte, el área se conserve?

Graficando el sector inicial y el sector final,obtenemos:

INICIAL = 36° = 5

rad

FINAL = 36º4 =

20

rad

Luego, como las áreas del sector inicial y finalson iguales, tendremos:

5 2202

=

20 ·2

2r 80 =

2

20r

De donde: r2 = 1600 r = 40

El radio del sector circular aumentó en 20 cm.

Prob. 30

Calcular el área del trapecio circular ABCD.

Resulta importante determinar las medidas delos arcos BC y AD que a su vez son las basesdel trapecio circular:

60º = 3

LBC 3 · 3

LAD 3 ·

El área del trapecio circular ABCD se calcula así:

AD BC

T BA2L L

S

ST = 23

· 2

ST = 34

2x = 6 x = 3

De donde: L = x + 4 L = 3 + 4 = 7

Prob. 25Calcular el área del trapecio circular sombreado.

De los datos delproblema deducimosque el ángulo centralmide 1 rad:

Usando la fórmula del área de un trapeciocircular tendremos:

ST =

252

3 = 221

ST = 10,5 cm2

Prob. 26

El área de un sector circular es de 4 m2, su períme-tro es de 8 m, determinar el radio del círculo.

Área del sector circular: S = 4 m2

Perímetro = 8 m

Del gráfico: Perímetro = 2 R + L

De donde deducimos que:

L = 8 – 2r . . . (1)

Usando la relación:

S = 2

L R = 4 r· L = 8 . . . (2)

Reemplazando (1) en (2) obtenemos:

r(8 – 2r) = 8 8r – 2r2 = 8

Luego: 2r2 – 8r + 8 = 0 r2 – 4r + 4 = 0

(r – 2)2 = 0 r = 2 m

Prob. 27

De la figura mostrada, calcular el área de la re-gión sombreada. O es el centro de circunferencia.

Elaboramos la figura adjunta para determinarel área «S» solicitada:

S = SS – S S = 18060 · 2

)3( 2 – 4

332

S = 3 · 2

9 – 439 S =

4

39 23 cm2

Prob. 28

En el esquema mostrado, calcule el valor de:

M = 21

21SS3SS


A) 10 m

B) 15 m

C) 20 m

D) 25 m

E) 30 m

12.- El tramo de una carretera está formado pordos arcos de circunferencia, el primero tiene unradio de 18 km y un ángulo central de 40º, el se-gundo tiene un radio de 36 km y un ángulo centralde 50º, calcular (en km) la longitud total de estetramo. Considerar: = 22/7.

A) 12 B) 14 C) 33 D) 22 E) 44

13.- En la figura mostrada, determinar la longitud dela faja que rodea las tres poleas, en función de R.

A) 3R (2+ 3)

B) 2R (+ 3)

C) R ( + 3)

D) 2R (3+ 1)

E) 3R (+ 2)

14.- Evaluar el perímetro de la región sombreada enel gráfico mostrado, si el lado del cuadrado ABCDmide (+ 3)-1 unidades.

A) 1/2

B) 3/2

C) 2/3

D) 1/3

E) 4/3

15.- Dos engranajes de radios 3 y 4 cm, están encontacto en un punto. Si el mayor gira un ángulo de24°, ¿qué ángulo (en rad) girará el menor?

A) 452 B) 45

4 C) 456 D) 45

8 E) 92

16.- En el siguiente tren de engranajes, el disco deradio 2 gira 60°, ¿qué ángulo (en rad) gira el engra-naje de radio 1?

A)

B) /2

C) /3

D) /4

E) /6

17.- En el gráfico mostrado se tiene un sistema deengranajes y poleas. La polea «A» de radio 4 giraun ángulo de 30º ¿qué ángulo gira la polea «C», si elradio de la polea «B» es de longitud 6?

A) 10°B) 20°C) 30°D) 60°E) 40°

18.- Calcular la altura del punto «P» luego que larueda ha dado 2/3 de vuelta.

A) 4B) 5C) 6D) 7E) 8

19.- Se tiene dos poleas A y B unidas por una correade transmisión. Si los radios de las poleas miden 18 y12 cm, ¿qué velocidad angular (en rev/min) tendrá lamenor, si la mayor se mueve a razón de 180 rpm?

A) 270 B) 360 C) 280 D) 540 E) 450

20.- En el esquema mostrado se tiene que al hacergirar la faja las ruedas A y C giran longitudes quesuman 28. Determinar cuántas vueltas dará la rue-da mayor.

A) 1

B) 1,5

C) 2

D) 2,5

E) 3

01.- Dos ángulos en el centro de un círculo son su-plementarios y las longitudes de los arcos que sub-tienden suman 12 . Calcular la longitud del radio.

A) 10 B) 12 C) 14 D) 6 E) 24

02.- Del gráfico mostrado, calcular .

A) 1

B) 0,5

C) 1,5

D) 2,5

E) 2

03.- En la figura mostrada, calcular el diámetro de lacircunferencia.

A) 80 m

B) 40 m

C) 160 m

D) 90 m

E) 70 m

04.- El perímetro de un sector circular es el triple delradio, calcular (en rad) la medida del ángulo central.

A) 1 B) 2 C) 1,5 D) 2,5 E) 1,8

05.- Se tiene un sector circular de 6 cm de radio y12 cm de longitud de arco. Si el radio aumenta en2 cm, calcular cuánto medirá (en cm) la nueva longi-tud del arco, si el ángulo central no varía.

A) 16 B) 14 C) 12 D) 10 E) 8

06.- Dado un sector circular, de ángulo centralrad; si triplicamos el radio y aumentamos el ángulocentral en /3 rad, se obtiene un nuevo sector cuyalongitud de arco es el cuádruple de la longitud delsector inicial. Obtener (en rad) el ángulo inicial.

A) /2 B) /3 C) 2/3 D) E) 4/3

07.- Si la longitud de la circunferencia es 24 , cal-cular la longitud del arco AB .

A) 6

B) 9

C) 12

D) 15

E) 24

08.- En una circunferencia de radio (2x + 5) m, paraun ángulo central de 72° le corresponde un arco delongitud (x + 1) m. Calcula el radio de dicha cir-cunferencia.

A) 5 m B) 9 m C) 10 m D) 15 m E) 21 m

09.- A partir de la figura, calcular (x – y).

A) a/2

B) a/4

C) a

D) 3a/2

E) 2a

10.- Del gráfico, determinar: E = 3 + 22

(O: centro del sector circular AOB)

A) 1

B) 3

C) 6

D) 9

E) 10

11.- Un péndulo se mueve como indica la figura,calcular la longitud del péndulo si su extremo reco-rre 9 m, para ir de A a C.

52 Trigonometría

21.- Los radios de las ruedas de una bicicleta sonentre sí como 2 es a 5. Calcular el número de vueltasque da la rueda mayor cuando la rueda menor barreun ángulo de 1840 rad.

A) 360 B) 362 C) 364 D) 366 E) 368

22.- Dos ruedas de radio R y r (R > r) recorre lamisma distancia, dando diferente número de vuel-tas. Calcular el radio de una tercera rueda tal que alrecorrer el doble de la distancia anterior, de un nú-mero de vueltas igual a la suma de las vueltas quedieron las otras ruedas.

A) R · r B) RrR r C) 2Rr

R r

D) R rR r E)

2R rR r

23.- Calcular el número de vueltas que da la ruedade radio «r» al recorrer el circuito desde A hasta B.

A) 2r/R

B) r/2R

C) R/2r

D) 2R/r

E) R/ 2 r

24.- El área de un sector circular es 48 m2, su perí-metro es 28 m. Calcular la medida de su ángulo cen-tral en radianes.

A) 2/3 B) 1 C) 4/3 D) 2 E) 8/3

25.- El área de un sector circular de 18 m de radio, esequivalente a un cuadrado cuyo lado es igual a lalongitud del arco del sector. Calcular (en m2) el área delsector.

A) 16 B) 25 C) 36 D) 49 E) 81

26.- Determine el área del sector AOB en la figuramostrada:A) 2 u2

B) 4 u2

C) 6 u2

D) 8 u2

E) 10 u2

27.- En la figura O y O1 son centros. Evaluar (encm2) el área del sector circular AOB, si R = 12 cm.

A) 12

B) 24

C) 36

D) 48

E) 60

28.- Calcular (en rad) la medida de «» en la figura,si las áreas de los sectores son iguales:

A) /2

B) /3

C) /4

D) /5

E) /9

29.- Calcular la relación entre el área de la regiónsombreada y la no sombreada.

A) 5 /4

B) 5 /3

C) 5 /2

D) ( 5 + 1)/ 2

E) ( 5 – 1)/ 2

01B

09A

17C

25E

02A

10D

18C

26B

03C

11C

19A

27D

04A

12E

20C

28D

05A

13B

21E

29D

06D

14D

22C

07C

15D

23E

08D

16B

24E

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1.2.1. Sector Circular - Libreria online