1212212INF20 Guia de Matematica I v2

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MD_F_CGD_R_001/02_01Modalidad Tutorial a Distancia

Matemática I

Departamento de Ciencias Exactas

Materia:Matemática I

Tutor de Materia: Ingeniero Gonzalo Murillo

Director de Departamento: Ingeniero Mario Marín

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Matemática I

1- Datos del Tutor

· Ingeniero mecánico aeronáutico recibido en la Escuela de Ingeniería Aeronáutica de la Fuerza Aérea

Argentina.

· Profesor de Matemática, Estadística e Investigación Operativa en la Universidad Empresarial Siglo

21.

· Profesor de Matemática, Estadística e Investigación Operativa en IES Siglo 21, Colegio

Universitario.

· Especialista en Product Lifecycle Management del Instituto Universitario Aeronáutico.

· Instructor de CATIA (software de Ingeniería de IBM – Dassault Sistemmes) en el Instituto

Universitario Aeronáutico.

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Matemática I

2- Carta al alumnoEstimado alumno,

Comenzamos ahora el estudio de lo que comúnmente se conoce como el Análisis Matemático.Esta herramienta matemática es la más apta, simple y cómoda para poder realizar modelos que permitananalizar el comportamiento de muchos aspectos de la realidad. Así, gran cantidad de fenómenoseconómicos, sociales, físicos, etc., pueden estudiarse apoyándose en el Análisis Matemático.

La Matemática es para nosotros una herramienta para acceder al conocimiento. Desde estepunto de vista pretendemos que este curso le brinde a Usted el sustento matemático requerido para poderabordar el estudio de otras materias. No es entonces nuestra intención convertirlo a Usted en un expertomatemático, sino brindarle una llave que le permita entrar a otras disciplinas con mayor facilidad.

Como sabemos que es muy probable que Usted no provenga de una fuerte formaciónmatemática hemos elegido entrar en este mundo siguiendo a Ernest Haeussler y a Paul Richard a travésde su libro Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias Sociales y de la Vida. Este es uno delos mejores tratados de “matemática para no matemáticos”, que le brindará a Usted un conocimientoserio y profundo de muchas áreas de la Matemática sin caer en el supuesto de que sea Usted un expertoo un fanático de la misma.

Con el enfoque que tenemos sobre nuestra materia y con la bibliografía que hemos elegido paraUsted, tenemos total confianza de que podrá transitar esta etapa de su aprendizaje en forma confortabley placentera, disfrutando al adquirir conocimientos matemáticos en forma clara y simple.

Recuerde en todo momento que su objetivo es incorporar conceptos claros, y no la merarecordación de fórmulas. Por lo tanto busque el sentido y la conexión entre todas las expresionesmatemáticas que aparezcan.

No nos que da mucho más que decir, salvo ponernos en camino.

¡Bienvenido y empecemos!Su tutor

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Matemática I

3- Introducción General de la Asignatura

A lo largo de esta asignatura abordaremos el estudio de funciones. Entendiendo que muchosfenómenos de la vida real tienen comportamientos funcionales, conocer las funciones nos permiteanalizar eficientemente dichos fenómenos. Entonces esta materia gira principalmente alrededor delanálisis de funciones.

En una primera etapa estudiaremos las funciones más conocidas y de mayor aplicación en lamodelización de situaciones reales.

Nuestro segundo paso será el estudio de límites, que es una herramienta imprescindible paraemprender el estudio de Derivadas y para analizar la continuidad o no de las funciones.

El análisis de las Derivadas nos permitirá entender con que velocidad las funciones crecen odecrecen. Esto nos permitirá entonces, entender como crecen o decrecen los fenómenos estudiados orepresentados por funciones.

Finalmente el estudio de Integrales nos brindará el camino inverso de la Derivación y nospermitirá calcular áreas encerradas bajo funciones.

A lo largo de esta guía Usted descubrirá, en cada unidad, diferentes problemáticas que serán elpunto de partida para entender el porque de nuestro estudio.

Encontrará también, a lo largo de la materia, una serie de términos que deberá incorporar parapoder dar precisiones a sus conclusiones sobre cualquier área del conocimiento que se estudie desde elAnálisis Matemático.

La bibliografía seleccionada le brindará una gran cantidad de ejercitación, la que le permitiráavanzar en forma sólida y práctica a través de esta materia.

El respeto del tiempo asignado en el cronograma le permitirá aprehender los conocimientos enforma ordenada, sin apuros pero manteniendo un ritmo adecuado que no permita decaer la asimilación deconocimientos.

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Matemática I

4- Objetivo General del AprendizajeQue el alumno logre profundizar los conocimientos matemáticos básicos y adquirir los conceptos

del análisis matemático necesarios para plantear y resolver cuantitativamente problemas inherentes a las

áreas de cada carrera. Desarrollar las capacidades potenciales para organizar, procesar e interpretar

información, comprendiendo y utilizando los aportes del pensamiento lógico-matemático. Generar

criterios apropiados para analizar situaciones propias de las distintas áreas específicas de conocimiento.

Perfeccionar habilidades que le permitan plantear modelos matemáticos para la solución de problemas..

Objetivos ParticularesAl finalizar esta asignatura, usted habrá adquirido las siguientes habilidades teórico prácticas:

· Entender el comportamiento y las características principales de las funciones matemáticas másconocidas.

· Entender el principio de la derivada como forma para evaluar el comportamiento de funciones.· Analizar funciones detectando sus puntos máximos, mínimos, sus tendencias crecientes y

decrecientes y los puntos donde las funciones sean discontinuas.· Reconocer funciones a partir de sus derivadas, por medio de integrales indefinidas.· Calcular áreas complejas encerradas bajo funciones, utilizando integrales definidas.

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Matemática I

5- Esquema Conceptual General de la AsignaturaAhora bien visualice en el siguiente esquema los conceptos fundamentales y sus relaciones:

UNIDAD 1

UNIDAD 2

UNIDAD 3

UNIDAD 4

UNIDAD 5

UNIDAD 6

UNIDAD 7UNIDAD 8

FUNCIONESNociones Generales

FUNCIONES ESPECÍFICAS

LINEALES CUADRÁTICASEXPONENCIALES LOGARÍTMICAS

TRIGONOMÉTRICAS

LIMITES Y CONTINUIDAD

DERIVADAS

ANÁLISIS DE FUNCIONES

INTEGRACIÓN

ECONOMÍA INGENIERÍA CS. SOCIALES

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Matemática I

6- Índice de contenidosUNIDAD 1: RELACIONES Y FUNCIONES.

1. Relaciones entre conjuntos.2. Conjuntos de partida y de llegada de una relación.3. Funciones. Dominio e imagen.4. Diferentes formas de determinar y representar una función: tablas, gráficas y fórmulas.5. Funciones: su clasificación.6. Operaciones con funciones.7. Aplicaciones concretas de los conceptos en situaciones problemáticas.

UNIDAD 2: FUNCIONES LINEALES Y CUADRÁTICAS.1. Funciones Lineales.2. Gráficos: distintos tipos.3. Ecuación de la Recta.4. Pendiente y Ordenada al origen.5. Modelos lineales explicativos y predictivos.6. Funciones Cuadráticas.7. Representación Gráfica: distintos casos.8. Vértice de una parábola.9. Raíces o ceros: ecuación de segundo grado.10. Aplicaciones concretas en situaciones problemáticas del entorno del futuro quehacer profesional.

UNIDAD 3: FUNCIONES EXPONENCIALES, LOGARÍTMICAS Y TRIGONOMÉTRICAS1. Funciones exponenciales. Definición. Dominio e Imagen. Representación gráfica. Monotonía del

crecimiento. Aplicaciones a crecimientos y cálculo de interés.2. Funciones Logarítmicas: Inversa de la función exponencial. Definición. Gráficas. Monotonía del

crecimiento. Propiedades de los logaritmos. Aplicaciones la modelización de situacionesconcretas

3. Ángulos. Sistemas de medición. Funciones trigonométricas: seno, coseno y tangente.Propiedades: ceros, extremos, periodicidad, crecimiento y decrecimiento. Gráficas. Funcionesrecíprocas y funciones Inversas.

UNIDAD 4: LÍMITE Y CONTINUIDAD DE FUNCIONES REALES1. Límite. Concepto gráfico, definición y ejemplos. Unicidad del límite. Límites laterales. Límites

de funciones especiales. Operaciones con límites. Límites de la suma, diferencia, producto ycociente. Cálculo de límites usando las propiedades fundamentales. Límites notables: el númeroe . Límites infinitos y en el infinito. Límites indeterminados.

2. Continuidad de una función en un punto. Continuidad en un intervalo. Funciones discontinuas.

UNIDAD 5: DERIVACIÓN DE FUNCIONES REALES.1. Cociente incremental. Definición de Derivada en un punto. Interpretación geométrica y

económica. Función derivada. Derivada de las funciones elementales: constantes, lineales,potenciales, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Notaciones para la derivada.

2. Álgebra de derivadas. Derivada de la suma, de la resta, del producto y del cociente. Rectassecante y tangente a una curva en un punto. Regla de la cadena. Derivada de orden superior.Costo, ingreso y beneficio marginal en economía.

UNIDAD 6: APLICACIONES DE LA DERIVADA.1. Gráficos de Funciones. Máximos y mínimos de funciones. Puntos críticos y puntos extremos.

Condiciones necesarias y suficientes para su existencia. Funciones crecientes, decrecientes yconstantes en un intervalo: relación con la derivada primera. Puntos de Inflexión. Condicionesnecesarias y suficientes para su existencia. Intervalos de concavidad y convexidad: relación conla derivada segunda.

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Matemática I

2. Aplicaciones en gráficos de distintas funciones. La campana de Gauss en estadística y funcionesde comportamiento marginal en economía. Optimización. Planteo y resolución de problemas deóptimos: máxima ganancia, menor costo, máxima superficie, mayor producción, etc.

UNIDAD 7: INTEGRACIÓN DE FUNCIONES REALES.1. Integral Indefinida. Definición de primitiva de una función. Cálculos de primitivas. Integral

indefinida de las funciones elementales: constantes, lineales, potenciales, exponenciales,logarítmicas y trigonométricas.

2. Propiedades de la integral indefinida. Cálculo de integrales indefinidas: técnicas de integración.

UNIDAD 8: APLICACIONES DE LA INTEGRAL1. Integral definida de una función continua en un intervalo: definición. Sumas superiores e

Inferiores de Riemann. Propiedades de la integral definida. Regla de Barrow: un método decálculo.

2. Cálculo de áreas en el plano limitadas por una función continua y el eje de las abscisas en unintervalo. Áreas encerradas por curvas arbitrarias. Propiedades de las áreas de figuras planas.Aplicaciones a problemas concretos: costos e ingresos a partir de los marginales respectivos.

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Matemática I

7- Importancia de la BibliografíaNuestra bibliografía principal es el libro Matemáticas para Administración, Economía, Ciencias

Sociales y de la Vida (8º edición) de Ernest F. Haeussler, Jr. Y Richard S. Paul. Esencialmente lo usamosen los capítulos 3, 4, 5, 11, 12, 13, 14, 15, 16 y 17. El resto de los capítulos de este libro corresponden aotras áreas de la matemática que no pertenecen a esta materia, como son Probabilidad y Estadística,Álgebra Matricial o Matemática Financiera. Este libro presenta, al final de cada capítulo, una aplicaciónpráctica de la vida profesional que deberá ser abordada para entender la relación entre los temas deestudio con la vida real.

También usaremos Cálculo Diferencial e Integral de Edwin J. Purcell y Dale Varberg comocomplemento del primero, y para desarrollar el tema Funciones Trigonométricas en su sección 2.3.

Estos dos volúmenes son tratados de matemática orientada a no matemáticos. En otras palabras,matemática para profesionales que la utilizan como herramienta para describir y modelar fenómenospertenecientes a su propia área de conocimiento, no siendo esta la ciencia principal de su estudio. Por estoel lenguaje, los ejemplos y la ejercitación son acordes a las ciencias relacionadas con la Administración ylas Ciencias Sociales, permitiéndole a Usted un acercamiento más familiar a la Matemática como objetode estudio.

Bibliografía Obligatoria

- Haeussler, Ernest F, Jr – Paul, Richard S.. Matemáticas para Administración, Economía, CienciasSociales y de la Vida. Prentice Hall. México 1997.

Bibliografía Complementaria

- Purcell, Edwin J. – Varberg, Dale Cálculo Diferencial e Integral. Prentice Hall, México, 1993.

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Matemática I

8- Orientación General del Aprendizaje

En esta asignatura se le deberá proveer los conocimientos básicos para que pueda entender yconceptuar en forma adecuada el concepto de las relaciones funcionales y poder analizar elcomportamiento de funciones que puedan modelizar situaciones que se le presenten en su vidaprofesional.

Para esto deberemos primero acercarnos al concepto de función y entender sus principalescaracterísticas, vinculando la teoría funcional con ejemplos tomados de situaciones reales.

Habiendo tomado entonces conciencia de la necesidad del estudio de funciones para modelizarfácilmente problemas concretos, se presentarán las funciones típicas que permiten modelizar lamayoría de las situaciones cotidianas en el ámbito profesional. Estas serán las funciones lineales,cuadráticas, exponenciales, logarítmicas y trigonométricas. Con estas funciones y sus combinaciones,se puede modelizar casi cualquier situación profesional en términos numéricos.

Posteriormente vamos a internarnos en el análisis del comportamiento de las funciones. Para estoes necesario entender el concepto de Derivada, que mide la velocidad a la que las funciones crecen ydecrecen. Esto permite entender la velocidad a la que se desarrollan los fenómenos modelizados porlas funciones. Pero para entender el concepto de Derivada es necesario compenetrarse con dosconceptos matemáticos fuertemente vinculados: limites y continuidad de funciones.

Una vez afirmado el concepto de derivada es posible iniciar el análisis del comportamiento defunciones, reconociendo puntos máximos, puntos mínimos, comportamientos que impliquencurvaturas cóncavas y convexas, y los puntos de inflexión que permiten pasar de una a la otra.También se estará en condiciones de reconocer algunos puntos para los cuales la función no puedaexistir. Entender esto implica que se podrá entender por medio del comportamiento de dicha función,el comportamiento de los fenómenos que uno haya modelizado por medio de dicha función. Asíveremos, utilizando algunos ejemplos como el Beneficio Marginal y el Costo Marginal en laeconomía, como la derivada de funciones tales como las de beneficios y costos, pueden ayudar a latoma de decisiones.

Posteriormente iniciaremos el estudio del proceso inverso a la derivación: la integración. Elconcepto de integral indefinida nos permitirá encontrar funciones de donde puedan haber derivadootras funciones marginales en estudio.

Nuestro último paso será el cálculo de áreas utilizando integrales definidas, lo cual nos abrirá lapuerta, en cursos posteriores, al entendimiento de problemas de probabilidad y estadística, además delos típicos problemas de cálculos de áreas complejas.

Es fundamental, para poder aprehender los conocimientos en esta asignatura, realizar unaejercitación muy intensa. La bibliografía indicada es particularmente rica en ejemplos y ejercicios.Usted deberá hacerse el hábito de realizar todos estos ejercicios a medida que avanza en su estudio.Piense que las claves de aprendizaje y de auto evaluación, planteadas al final de cada unidad, son detipo conceptual y presuponen que Usted ya realizó los ejercicios planteados en la BibliografíaObligatoria y en los Elementos Complementarios de al Bibliografía.

También es de vital importancia, que aborde las aplicaciones prácticas que se encuentran alfinalizar cada capítulo del libro de Haeussler y Paul, en aquellos capítulos pertinentes a estaasignatura.

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Matemática I

9- Cronograma

Este recurso le brinda una ponderación porcentual aproximada de los tiempos necesarios pararealizar el aprendizaje de cada unidad y resolver las actividades propuestas en cada una de ellas.

Unidad NombrePorcentaje deTiempo

Estimado (hs.)TiempoEstimado

1 Relaciones y Funciones 7% 6hs

2 Funciones Lineales y Cuadráticas 7% 6hs

3Funciones Exponenciales, Logarítmicas YTrigonométricas

10% 8hs

4 Límite y Continuidad de Funciones Reales 12% 10hs

5 Derivación de Funciones Reales 19% 16hs

6 Aplicaciones de la Derivada 19% 16hs

7 Integración de Funciones Reales 14% 12hs

8 Aplicaciones de la Integral 12% 10hs

EXAMEN FINAL

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Matemática I

Orientación de la Materia.

UNIDAD 1 : Relaciones y Funciones.

1- Introducción

En esta primera unidad veremos que son las funciones y cuáles son sus aplicaciones en la vidacotidiana. Entenderá cuales son los principios básicos que convierten a una relación cualquiera en unafunción y cuáles son los principales sistemas de representación de una función, ya sea mediante tablas,gráficos o expresiones algebraicas.

La información concerniente a esta unidad la encontrará principalmente en el capítulo 3 de laBibliografía Obligatoria. Es fundamental que durante su estudio siga atentamente los ejemplosdesarrollados por los autores y que practique realizando toda la ejercitación planteada en la BibliografíaObligatoria. Si al haber concluido con esta ejercitación, todavía tiene dudas sobre el tema, realice ycontrole la ejercitación brindada en la Bibliografía de Consulta.

Es de vital importancia que realice la ejercitación existente en los Elementos Complementariosde la Bibliografía, por ser esta la ejercitación planteada por los docentes de la Universidad, quienesfinalmente evaluarán sus capacidades.

2- Objetivo General

Comprender el concepto básico de las funciones como relaciones entre un conjunto de partida yun conjunto de llegada, donde a cada elemento del conjunto de partida le corresponde un único elementoen el conjunto de llegada.

3- Objetivos particulares

Al finalizar esta unidad usted será capaz de:

§ Conocer qué es una relación.§ Identificar que tipos de relaciones son funciones.§ Conocer las distintas formas de representar una función.§ Dibujar un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales.§ Representar funciones utilizando, tablas, gráficos y expresiones algebraicas.

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Matemática I

5- Claves de Autoaprendizaje

Resulta importante que al final de esta unidad sea capaz de definir con sus propias palabras lossiguientes conceptos:

· Conjunto de partida· Conjunto de llegada· Dominio· Imagen· Relación· Función· Sistemas de coordenadas· Expresiones algebraicas de la forma y=f(x)

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Matemática I

6- Claves de Autoevaluación.

Si está en condiciones de resolver los siguientes ítems y ha realizado la ejercitación de la bibliografíaobligatoria, así como la ejercitación de los elementos complementarios de la bibliografía, se consideraque ha concluido el aprendizaje de los contenidos de la Unidad 1 exitosamente

1. Las relaciones son vínculos entre un ________________ y un _______________.

2. ¿Qué es el Dominio?

3. ¿Qué es la Imagen?

4. ¿Qué característica distingue a una función de cualquier otra relación?

5. ¿Qué es y?

6. ¿Qué es x?.

7. ¿Qué significa y=f(x)?.

8. ¿Cómo se construye un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales?

9. ¿Cómo se representa una función en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales?

10. ¿Cuáles son los principales tipos de funciones que conoce?.

11. ¿Qué es una función polinómica o polinomial?.

12. ¿Cuáles son los principales elementos que componen una función polinómica o polinomial?

13. ¿Qué es una función racional?

14. ¿Qué es una función definida por partes?

Controle y verifique las respuestas a estas claves en la bibliografía obligatoria.

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Matemática I

7- Bibliografía

Bibliografía obligatoria


Bibliografía de consulta


8- Elementos Complementarios

- Bocco, Mónica - Guía de Trabajos Prácticos de Matemática I. Universidad Siglo 21, Córdoba 2001.

- Ojeda, Silvia - Guía de Trabajos Prácticos de Matemática I. Universidad Siglo 21, Córdoba 2002.

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UNIDAD 2 : Funciones Lineales y Cuadráticas.

1- Introducción

En esta unidad comenzaremos el estudio de funciones específicas que representan una grancantidad de situaciones de la vida profesional.

Analizaremos las dos funciones polinomiales más simples: la de primer grado (lineal) y la desegundo grado (cuadrática). Veremos que significa que una función se comporte en forma lineal y quesignifica que crezca cuadráticamente.


Es de vital importancia que realice la ejercitación planteada en los Elementos Complementariosde la Bibliografía, por ser esta la ejercitación planteada por los docentes de la Universidad, quienesfinalmente evaluarán sus capacidades.

2- Objetivo General

Comprender el comportamiento de las funciones polinomiales más básicas, siendo estas las querepresentan gran cantidad de fenómenos simples en la economía, la física, etc.



§ Conocer qué es una función lineal.§ Identificar los componentes de las funciones lineales.§ Comprender el concepto de pendiente y su relación con el término de primer grado de la función .§ Comprender el concepto de ordenada al origen y su relación con el término de grado cero de la

función.§ Representar funciones lineales utilizando, tablas, gráficos y expresiones algebraicas.§ Conocer qué es una función cuadrática.§ Identificar los componentes de las funciones cuadráticas.§ Comprender el concepto de parábola§ Entender el comportamiento de la función según los valores de los términos de grado dos, uno y

cero.§ Comprender el concepto de vértice y raíces de una función cuadrática.§ Representar funciones cuadráticas utilizando, tablas, gráficos y expresiones algebraicas.



· Lineal· Pendiente· Ordenada al origen· Cortes en los ejes· Función creciente y decreciente· Rectas paralelas· Rectas perpendiculares

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· Parábola· Caudrático· Ramas de la Parábola.· Vértice de la Parábola.· Raíces de la función cuadrática.· Término de grado cero.· Término de primer grado.· Término de segundo grado.

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Matemática I



1. ¿Qué tipo de función es una función lineal?

2. ¿Cuál es el dominio de una función lineal?

3. ¿Cuál es al imagen de una función lineal?

4. ¿Qué es la pendiente de una recta?

5. ¿Dónde corta la recta al eje de las ordenadas?

6. ¿Dónde corta la recta al eje de las abscisas?

7. ¿Cuándo se dice que dos rectas son paralelas?

8. ¿Cuándo se dice que dos rectas son perpendiculares?.

9. ¿Cómo se grafica una recta en un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales?

10. ¿Qué indica en una función cuadrática el signo del coeficiente del término de segundo grado?

11. ¿Qué indica en una función cuadrática el valor absoluto del coeficiente del término de segundo

grado?

12. ¿Qué indica en una función cuadrática el valor del coeficiente del término de grado cero?

13. ¿Qué indican en una función cuadrática los signo de los coeficientes de los términos de primer y

segundo grado?

14. ¿Cuántas raíces tienen las funciones cuadráticas? ¿Cómo pueden ser dichas raíces?

15. ¿Cómo se calcula el valor de abscisas del vértice de la parábola?

16. ¿Cómo se calcula el valor de ordenadas del vértice de la parábola?


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7- Bibliografía








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Matemática I

UNIDAD 3: Funciones Exponenciales, Logarítmicas y Trigonométricas.

1- Introducción

En esta unidad analizaremos el comportamiento de funciones que no son del tipo polinomial. Asíveremos el funcionamiento de funciones de tipo exponencial, donde la variable es el exponente de unapotencia, de funciones logarítmicas, donde la variable es el argumento de un logaritmo en una basedeterminada y de funciones trigonométricas, donde la variable representa al ángulo al cual se le aplicanoperadores trigonométricos.

La información concerniente a las funciones exponenciales y logarítmicas se encuentre en elcapítulo 4 del libro de Haeussler y Paul. El estudio de las funciones trigonométricas lo realizaremos enbase a la sección 2.3 del libro de Purcell y Varberg. Es fundamental que durante su estudio sigaatentamente los ejemplos desarrollados por los autores y que practique realizando toda la ejercitaciónplanteada en la Bibliografía Obligatoria.


2- Objetivo General

En esta unidad nuestro objetivo general es conocer y comprender los aspectos principales quehacen al funcionamiento de funciones de tipos exponenciales, logarítmicos y trigonométricos.



§ Conocer qué es una función exponencial, y como se comporta según el valor de su base.§ Graficar funciones exponenciales, reconociendo los puntos principales de las mismas.§ Conocer qué es una función logarítmica, y como se comporta según el valor de su base.§ Graficar funciones logarítmicas, reconociendo los puntos principales de las mismas.§ Conocer las distintas funciones trigonométricas, pudiendo graficarlas.§ Dibujar un sistema de coordenadas cartesianas ortogonales.§ Reconocer algunos fenómenos reales que se representan utilizando este tipo de funciones.

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Matemática I



· Bases· Exponentes· Logaritmos· Crecimiento exponencial· Radianes· Seno· Coseno· Tangente· Cotangente· Secante· Cosecante

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Matemática I



1. ¿Qué valores puede tomar la base de una función exponencial?.

2. ¿Qué pasa con la función exponencial si su base es mayor que el valor 1?

3. ¿Qué pasa con la función exponencial si su base es menor que el valor 1?

4. ¿Dónde corta la función exponencial a los ejes del sistema de coordenadas cartesianas ortogonales?

5. ¿Cómo define al logaritmo de un número en una cierta base?

6. ¿Qué relación existe entre la función exponencial y la función logarítmica?

7. ¿Qué valores puede tomar la base de una función logarítmica?.

8. ¿Qué pasa con la función logarítmica si su base es mayor que el valor 1?

9. ¿Qué pasa con la función logarítmica si su base es menor que el valor 1?

10. ¿Dónde corta la función logarítmica a los ejes del sistema de coordenadas cartesianas ortogonales?

11. ¿Cuáles son el dominio y la imagen de las funciones logarítmica y exponencial?.

12. ¿Que es un radián?

13. ¿Qué son el seno, el coseno, la tangente, la cotangente, la secante y la cosecante de un ángulo?

14. ¿Cómo se representan las funciones trigonométricas en un sistema de coordenadas cartesianas

ortogonales?

15. ¿Cuáles son las principales aplicaciones de una función exponencial?

16. ¿Cuáles son las principales aplicaciones de una función logarítmica?

17. ¿Cuáles son las principales aplicaciones de una función trigonométrica?


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7- Bibliografía







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Matemática I

UNIDAD 4: Límites y Continuidad.

1- Introducción

En esta primera unidad comprenderemos el concepto de Límite. Este concepto será de vitalimportancia para poder definir el tema siguiente, la Continuidad de una función. A su vez estos dosconceptos son cruciales para entender los temas de la próxima unidad, que trata el tema de la derivación.



2- Objetivo General

Comprender el concepto básico del límite de funciones y sus aplicaciones para evaluar lacontinuidad de una función en un punto dado.



§ Evaluar el límite de una función en un punto.§ Realizar operaciones con límites.§ Calcular el límite de funciones en puntos donde la función no tiene definición..§ Reconocer límites observando gráficos de funciones.§ Reconocer las condiciones de continuidad de una función en un punto dado.§ Evaluar la continuidad de una función en un punto.

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Matemática I



· Límite de una constante· Límite de una función para un valor al que tiende la variable independiente.· Límites laterales· Límites finitos.· Continuidad

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1. ¿Qué es límite de una función cuando la variable independiente tiende a un cierto valor?

2. ¿Cuánto vale el límite de una constante?

3. ¿Qué dice en general el álgebra de límites?

4. ¿Qué es el límite por izquierda?

5. ¿Qué es el límite por derecha?

6. ¿Cuál es la condición de existencia del límite de una función cuando la variable independiente tiende

a un valor dado?.

7. ¿Cuál es la condición de continuidad de una función en un punto?.


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Matemática I

7- Bibliografía








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Matemática I

UNIDAD 5: Derivación de funciones reales.

1- Introducción

En esta unidad veremos el concepto de derivada. Este conocimiento implica conocer lo quesignifica la pendiente de una función en un punto y la relación que esta tiene con la velocidad de cambiode la misma. A su vez veremos que la derivada, como medida de la velocidad de cambio de una función,será también otra función.

La información concerniente a esta unidad la encontrará principalmente en el capítulo 12 y 13del libro de Haeussler y Paul y en la sección 3.4 del libro de Purcell y Varberg. Es fundamental quedurante su estudio siga atentamente los ejemplos desarrollados por los autores y que practique realizandotoda la ejercitación planteada en la Bibliografía Obligatoria. Si al haber concluido con esta ejercitación,todavía tiene dudas sobre el tema, realice y controle la ejercitación brindada en la Bibliografía deConsulta.


2- Objetivo General

Comprender el concepto básico de la Derivada de una función. Entender el concepto básico dependiente y de velocidad de cambio de una función, en un intervalo y en un punto en particular.



§ Entender el concepto de velocidad de cambio de una función.§ Entender la pendiente de una función en un punto.§ Entender el concepto de tangencia a una curva.§ Reconocer intervalos donde una función sea derivable.§ Evaluar la derivada de una función en un punto.§ Interpretar el concepto de la función derivada de otra función.§ Reconocer la relación entre la actitud creciente o decreciente de una función con el signo de su

derivada.§ Entender las reglas de derivación.§ Derivar expresiones algebraicas que vinculen funciones.§ Derivar funciones compuestas.§ Encontrar funciones derivadas de orden superior.

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Matemática I



· Recta tangente a una curva.· Pendiente de una función en un punto.· Velocidad de cambio de una función· Interpretación geométrica de la derivada.· Definición de la derivada utilizando límites.· Función derivada.· Condiciones de derivabilidad.· Derivada de funciones compuestas.· Reglas de derivación.· Derivada segunda

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Matemática I


Si está en condiciones de resolver los siguientes ítems y ha realizado la ejercitación de la bibliografíaobligatoria, así como la ejercitación de los elementos complementarios de la bibliografía, se consideraque ha concluido el aprendizaje de los contenidos de la Unidad 5 exitosamente.

1. ¿Qué define que una recta sea tangente a una curva?.

2. ¿Qué significa que una función sea creciente?

3. ¿Qué significa que una función sea decreciente?

4. ¿Qué es geométricamente la derivada de una función en un punto?

5. ¿Qué es algebraicamente la derivada de una función en un punto?

6. ¿Qué es la función derivada?

7. ¿Cuáles son las condiciones para que una función sea derivable en un intervalo?.

8. ¿Cuánto vale la derivada de una constante?

9. ¿Cuánto vale la derivada de una suma de funciones?

10. ¿Cuánto vale la derivada de un producto de funciones?

11. ¿Cuánto vale la derivada de un cociente de funciones?

12. ¿Cuánto vale la derivada de una potencia?

13. ¿Cómo se calcula la derivada de una función compuesta?

14. ¿Qué son las derivadas de orden superior?.

15. ¿Cuáles son las derivadas de las funciones trigonométricas?

16. ¿Qué es el costo marginal y cual es relación con la derivada de la función de costos?

17. ¿Qué es el beneficio marginal y cual es relación con la derivada de la función de beneficios?


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7- Bibliografía







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Matemática I

UNIDAD 6: Aplicaciones de la Derivada.

1- Introducción

En esta unidad integraremos los conceptos de continuidad y derivación de modo tal de poderanalizar el trazado de funciones, reconociendo puntos máximos y mínimos, y puntos de inflexión quereflejen el cambio de concavidad de una curva en un intervalo dado.



2- Objetivo General

Aplicar el concepto de derivada para reconocer puntos máximos y mínimos de la función asícomo también analizar la concavidad de una función, reconociendo los puntos en que esta cambia.



§ Reconocer máximos relativos.§ Reconocer mínimo relativos.§ Entender el concepto de concavidad de una función.§ Reconocer puntos donde cambia la concavidad de una función.§ Trazar gráficas de funciones, utilizando los conceptos hasta ahora aprendidos.

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Matemática I



· Punto crítico· Extremos· Máximos absoluto y relativo· Mínimos absoluto y relativo· Concavidad· Punto de inflexión· Condiciones necesarias y suficientes para la existencia de máximos, mínimos y puntos de

inflexión.

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Matemática I


Si está en condiciones de resolver los siguientes y ha realizado la ejercitación de la bibliografíaobligatoria, así como la ejercitación de los elementos complementarios de la bibliografía, ítems seconsidera que ha concluido el aprendizaje de los contenidos de la Unidad 6 exitosamente

1. ¿Qué es un punto crítico?

2. ¿Qué es un máximo absoluto?

3. ¿Qué es un máximo relativo?

4. ¿Qué es un mínimo absoluto?

5. ¿Qué es un mínimo relativo?

6. ¿Qué característica distingue a una función cóncava hacia arriba de una cóncava hacia abajo?

7. ¿Qué influencia tiene la concavidad en el signo de la derivada segunda?

8. ¿Cuáles son las condiciones necesaria y suficiente para la existencia de un máximo relativo en un

punto de una función continua y derivable?.

9. ¿Cuáles son las condiciones necesaria y suficiente para la existencia de un mínimo relativo en un


10. ¿Cuáles son las condiciones necesaria y suficiente para la existencia de un punto de inflexión en un



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Matemática I

7- Bibliografía








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Matemática I

UNIDAD 7: Integración de funciones reales.

1- Introducción

En esta unidad veremos el camino inverso al proceso de derivación: la integración. Este caminonos mostrará como llegar a la función primitiva de otra función, es decir, de donde esta última deriva.

La información concerniente a esta unidad la encontrará principalmente en el capítulo 16,secciones 1 a 4 de la Bibliografía Obligatoria. Es fundamental que durante su estudio siga atentamente losejemplos desarrollados por los autores y que practique realizando toda la ejercitación planteada en laBibliografía Obligatoria. Si al haber concluido con esta ejercitación, todavía tiene dudas sobre el tema,realice y controle la ejercitación brindada en la Bibliografía de Consulta.


2- Objetivo General

Comprender el concepto básico de la integración de funciones reales, como proceso inverso a laderivación.



§ Identificar la función primitiva de otra función.§ Integrar una función para encontrar su primitiva.§ Encontrar las infinitas primitivas de una función.

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Matemática I



· Integral· Primitiva· Constante de integración· Métodos de integración

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Matemática I



1. ¿Qué es la primitiva de una función?

2. ¿Qué es la antiderivada de una función?

3. ¿Qué es la integral indefinida de una función?

4. ¿Cuál es la diferencia entre cualesquiera dos primitivas de una misma función?

5. ¿Qué métodos de integración conoce?

6. ¿Cuál es la integral de una constante por una función?

7. ¿Cuál es la integral de una suma de funciones?.

8. ¿Cuál es la integral de un producto de funciones?.

9. ¿Cómo se calcula la integral de una potencia?

10. ¿Cómo se aplica la regla de la cadena a la integración?


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Matemática I

7- Bibliografía








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Matemática I

UNIDAD 8: Aplicaciones de la integral.

1- Introducción

En esta última unidad veremos el uso de la integral definida y su aplicación en el cálculo deáreas.

La información concerniente a esta unidad la encontrará principalmente en el capítulo 16,secciones 5 en adelante, de la Bibliografía Obligatoria. Es fundamental que durante su estudio sigaatentamente los ejemplos desarrollados por los autores y que practique realizando toda la ejercitaciónplanteada en la Bibliografía Obligatoria. Si al haber concluido con esta ejercitación, todavía tiene dudassobre el tema, realice y controle la ejercitación brindada en la Bibliografía de Consulta.


2- Objetivo General

Comprender el concepto básico de la integración definida, llegando al Teorema Fundamental delCálculo Integral.



§ Entender el concepto de sumatoria de áreas.§ Calcular una integral definida aplicando el Teorema Fundamental del Cálculo.§ Evaluar una primitiva entre dos extremos de integración.§ Calcular áreas comprendidas entre la función y el eje de las abscisas .

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Matemática I



· Límites de integración.· Teorema fundamental del cálculo integral· Valuación de una primitiva.· Desaparición de la constante de integración· Integral definida.· Área subtendida entre una curva y el eje de las abscisas.· Cálculo de áreas por encima y por debajo del eje de las abscisas.

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Matemática I



1. ¿Cómo se evalúa la primitiva de una función en un determinado límite de integración?

2. ¿Qué dice el Teorema Fundamental del Cálculo Integral?

3. ¿Cómo se calcula el área comprendida entre una función y el eje de las abscisas, si en el intervalo en

estudio la función es en todo momento positiva?

4. ¿Cómo se calcula el área comprendida entre una función y el eje de las abscisas, si en el intervalo en

estudio la función es en partes positiva y en partes negativa?


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Matemática I

7- Bibliografía








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