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IES SANTIAGO RAMÓN Y CAJAL. PROF. JOAQUÍN COTRINA.

MATEMÁTICAS APLICADAS A LAS CIENCIAS SOCIALES II.

TEMA 1: PROBABILIDAD. TEORÍA.

1.- DEFINICIONES.

Un experimento científico es cualquier acción que pueda dar lugar a resultados identificables. Dentro de éstos

podemos distinguir dos tipos. Los experimentos determinísticos son aquellos cuyo desarrollo es previsible con certidumbre

y sus resultados están perfectamente determinados una vez fijadas las condiciones del experimento. Los experimentos

aleatorios son aquellos que se realizan en un contexto de incertidumbre y por tanto no es posible prever su resultado de

antemano, en este caso se dice que el resultado del experimento es consecuencia del azar. No obstante, los posibles resultados

del experimento si son conocidos.

A cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio se les denominan sucesos elementales y al

conjunto de todos ellos se les llama espacio muestral. Al espacio muestral se le denota por E. A cualquier posible proposición

lógica que pueda formularse en términos de los resultados del experimento aleatorio se le denomina suceso. A efectos

prácticos, un suceso es cualquier subconjunto del espacio muestral. A estos sucesos se les suele denotar con letras latinas

mayúsculas. Si el espacio muestral tiene n elementos, el número de sucesos distintos es n2 . Al suceso que contiene todos

los sucesos elementales se le denomina suceso seguro y al suceso que no contiene ninguno de los sucesos elementales se le

denomina suceso imposible. El suceso imposible se denota por (el conjunto vacío) y al suceso seguro se le denota por E,

al igual que al espacio muestral.

Ejemplo 1:

Experimento: Lanzamos un dado de 6 caras numeradas del 1 al 6.

Espacio muestral: 654321 ,,,,,E

Distintos tipos de sucesos:

- 642par númeroun sale ,,"" A ;

- 5,64" demayor númeroun sale "B ;

- 525un ó 2un sale ,"" C ;

- ...y muchos más.

Veamos ahora cómo se relacionan estos sucesos entre ellos. Hay 5 principales formas de relacionar los sucesos

(conjuntos formados por sucesos elementales): unión, intersección, diferencia, diferencia simétrica y complementario.

I.- Unión.

La unión de dos sucesos Ay B es el suceso BA formado por los sucesos elementales de cualquiera de los sucesos

A o B , es decir, un suceso elemental es de BA si está en A , o si está en B , o si está en A y B a la vez. Gráficamente

tenemos la situación siguiente:

2

Con el ejemplo 1 anterior, 6542 ,,,BA

II.- Intersección.

La intersección de dos sucesos A y B es el suceso BA formado por los sucesos elementales que pertenecen

simultáneamente a A y a B .

Según el ejemplo 1, tenemos que 6BA , pues es el único suceso elemental que está a la vez en el suceso A y en el

suceso B .

La intersección de sucesos nos aporta dos nociones importantes. La primera y más importante es la de sucesos

incompatibles. Decimos que dos sucesos A y B son incompatibles si no tienen ningún suceso elemental en común, es decir,

si BA . Otra noción relacionada con la intersección de sucesos es la de incompatibles dos a dos. Decimos que varios

sucesos nAAA ,,, 21 son incompatibles dos a dos si al tomar dos cualesquiera de ellos, la intersección es vacía.

Gráficamente la situación sería:

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III.- Diferencia.

Dados dos sucesos A y B , la diferencia de A menos B , BA , es el suceso formado por los sucesos elementales

que están en A pero no están enB . Gráficamente tenemos la situación:

Según el ejemplo 1 comentado anteriormente, 42,BA pues el 6 hay que quitarlo.

Nota: Una forma de entender la diferencia es el siguiente ejemplo: En casa tenemos las número 2, el 4 y el 6. Un ladrón viene

a robar. Este ladrón roba todos los 5 y los 6 que ve. En mi casa roba el 6 que tengo y por tanto me queda el 2 y el 4.

Nota: Debe ser claro, si se entiende la idea de diferencia, que no tiene por qué quedar lo mismo en casa de A cuando B le

roba, que lo que le queda a B en casa cuando le roba A .

IV.- Diferencia Simétrica.

Dados dos sucesos A y B , llamamos diferencia simétrica, BA , al suceso formado por los sucesos elementales

de A que no están en B y los sucesos elementales de B que no están en A . Gráficamente tenemos:

Según el ejemplo 1, tendríamos: 542 ,,BA ya que el 2 y el 4 son los sucesos elementales que están en A y no están en

B y el 5 es el único suceso elemental de B que no está en A .

V.- Complementario.

Dado un suceso A , definimos su complementario, CA , como el suceso formado por todos y cada uno de los sucesos

del espacio muestral que no está en A . También se suele denotar por A o por A . Gráficamente tenemos:

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2.- PROBABILIDAD. NOCIONES Y PROPIEDADES.

Una vez realizado un experimento, tenemos que se pueden dar unos resultados, es decir, unas soluciones posibles a

nuestro experimento. Para tratar matemáticamente el experimento vamos a asociar a cada suceso o resultado posible del

experimento un número que llamaremos probabilidad de dicho suceso. Así, un suceso es posible si puede pasar (simplemente

que pueda ser, sin aventurar nada sobre la dificultad de que ocurra o no) y diremos que un suceso es probable si es “fácil”

que al realizar nuestro experimento ese suceso sea verificado, correcto, cierto... Tanto más grande será ese número cuanto

más fácil sea que dicho suceso ocurra como solución de nuestro experimento.

Ejemplo 1: Lanzar un dado y observar la cara que queda boca arriba. En este caso el espacio muestral es 654321 ,,,,,E .

Como la situación es simétrica, es decir, todas las caras del dado son iguales unas respecto a otras, asignamos a cada suceso

elemental la misma probabilidad, 1 de 6: 61 .

Ejemplo 2: Lanzar una moneda y observar qué cara sale. En este caso el espacio muestral se reduce a ,CE siendo

"" cara saleC y "" cruz sale . Entonces, como la moneda es simétrica respecto de sus dos caras, a cada una le asignamos

la misma probabilidad. Entonces tenemos que la probabilidad de cualquiera de ellas es 1 de 2: 21 .

Ejemplo 3: Lanzar una chincheta y ver si cae con la punta hacia arriba, , o hacia abajo, . El espacio muestral de este

experimento es: E . Como ahora las dos situaciones posibles no son simétricas, no podemos asignar la

misma probabilidad a priori, es decir, sin más. ¿Qué hacemos entonces? Una forma de asignar una probabilidad es repetir el

experimento muchísimas veces y asignar un número, que será la probabilidad, a un suceso elemental tanto más alto como

mayor sea el número de veces que resulta ser solución del experimento dicho suceso elemental . Si quisiéramos repetir “tirar

una chincheta y ver en qué posición cae” 1.000 veces, podemos tomar 100 chinchetas idénticas y contar los resultados.

Supongamos que tenemos los siguientes resultados (se puede hacer en casa):

64 69 58 71 66 66 70 63 67 65

36 31 42 29 34 34 30 37 33 35

En total hemos lanzado 1.000 chinchetas lo que equivale a repetir nuestro experimento 1.000 veces. Tenemos que

659 veces la chincheta quedó boca arriba y que 341 veces boca abajo. Entonces podemos decir que:

- p( ) = 65900001

659.

.

- p( ) = 34100001

341.

.

La teoría de la probabilidad, en su Ley de los grandes números nos asegura que cuando el experimento se repite más

y más veces, este cociente se parece más y más a un cierto número, es decir, el límite existe. Dicho límite es a lo que se llama

probabilidad. Además, en el caso en que la situación es simétrica, dicha probabilidad coincide con el reparto equitativo que

habíamos establecido (1/6 para cada cara del dado o 1/2 para cada cara de la moneda).

En general, dado un experimento aleatorio con un espacio muestral E , una asignación de probabilidades a los

distintos sucesos de este experimento aleatorio es una función de probabilidad si cumple los siguientes axiomas (reglas):

AI. 0)(Ap .

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AII. BpApBApBA .

AIII. 1Ep .

El primero de los axiomas significa que una probabilidad tiene que ser positiva. No puede asignarse a un suceso una

probabilidad negativa, aunque sí puede ser 0.

El segundo de los axiomas nos dice que si dos sucesos son incompatibles, es decir, no tienen nada en común,

entonces la probabilidad que tienen en conjunto es igual a la que cada uno aporta por separado.

El tercero de los axiomas nos dice que el suceso seguro tiene que tener probabilidad 1. Esto se hace sólo por

normalizar. Si hubiéramos puesto un 100 en vez de un 1 hubiéramos tenido porcentajes. Al asignar un 1 al total, estamos

dando un tope, es decir, la probabilidad no puede ser mayor de 1.

De estos axiomas se deducen varias propiedades muy importantes que nos permitirán trabajar y deducir propiedades

importantes. Dichas propiedades son:

I. ApAp C 1 .

II. 0p .

III. Si BA entonces ABpApBp .

IV. Si BA entonces ApBp .

V. Si nAAA ,,, 21 son sucesos incompatibles dos a dos entonces

nn ApApApAAAp 2121 .

VI. BApBpApBAp .

VII. Si el espacio muestral es finito y un suceso S está formado por los sucesos elementales nxxxS ,,, 21

entonces nxpxpxpSp 21 .

Nota: Estas propiedades son bastante importantes y muy útiles a la hora de resolver problemas de probabilidad (sobre todo

la I, la VI y la VII).

- La primera de ellas nos dice cómo calcular la probabilidad de un suceso conocida la probabilidad del suceso

complementario.

- La segunda nos dice que si un suceso no contiene a ningún suceso elemental entonces la probabilidad de que este

suceso ocurra es 0.

- La tercera es más bien técnica y sirve para demostrar otras propiedades, como la 4.

- Ésta nos dice que si un suceso es “más grande” que otro, es decir, si un suceso B contiene a todos los sucesos

elementales que contiene A y posiblemente otros sucesos elementales más, entonces la probabilidad de B será

como la de A o mayor.

- La propiedad quinta es como el axioma 2, pero con un conjunto de sucesos. Lo único que hace falta es que dos

cualesquiera de ellos no tengan intersección común.

- La sexta propiedad es muy útil ya que explica cómo hallar la probabilidad de la unión en caso de que la intersección

no sea vacía, que es lo que suele pasar casi siempre.

- La séptima y última propiedad nos dice cómo calcular la probabilidad de un suceso conocidas las probabilidades de

los sucesos elementales.

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3.- REGLA DE LAPLACE.

Como hemos indicado antes, cuando en un experimento aleatorio todas las posibles soluciones son simétricas unas

de otras, los sucesos elementales son equiprobables, es decir, todos ellos tienen la misma probabilidad de suceder al realizar

nuestro experimento. En ese caso, como la propiedad VII anterior nos dice que la probabilidad de un suceso S es la suma

de las probabilidades de los sucesos elementales que lo componen, tenemos que la probabilidad de S es igual a

posibles" casos" de número

a "favorables casos" de número

en total elementos de número

de elementos de número SSSp

que se conoce como regla de Laplace.

Cuando los sucesos elementales no son equiprobables, es decir, no tienen todos la misma probabilidad, entonces no

se puede utilizar esta regla y hay que utilizar la propiedad VII anterior tal cual (como en el caso de las chinchetas).

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4.- PROBABILIDAD CONDICIONADA. INDEPENDENCIA.

Consideremos un experimentos aleatorio y dos sucesos A y B relativos a dicho experimento aleatorio.

Supongamos que hemos realizado el experimento y sabemos que B se ha cumplido. ¿Qué probabilidad hay de que A

también se haya cumplido? ¿El conocimiento positivo de que B se haya cumplido modifica en algo la probabilidad de que

se cumpla A ?.

Esta situación es muy frecuente en la realidad y sale a colación en situaciones donde se trabaja con más de una

variable aleatoria o bien en situaciones donde se tienen dos particiones distintas de un mismo experimento aleatorio. En

cualquier caso, se tiene una información parcial del resultado del experimento y se quiere saber si esa información parcial

modifica en algo las probabilidades de los sucesos asociados al experimento.

Dados un experimento aleatorio y dos sucesos A y B asociados a él, llamamos probabilidad de A condicionada

a B , BAp , al número que se obtiene como:

BpBAp

BAp

Esta fórmula no es sino la propiedad VII admitiendo que se cumple el suceso B , es decir, los casos favorables son

los sucesos elementales de A que están en B y los casos posibles son los sucesos elementales de B , pues uno de ellos ha

sido el resultado de nuestro experimento aleatorio.

Si esta probabilidad condicionada coincide con la probabilidad original de A , es decir, la probabilidad de A que

había sin tener conocimiento alguno sobre el resultado del experimento, decimos que B no influye en A . En otras palabras,

decimos que A y B son independientes si ApBAp

Una propiedad importante sobre la independencia es que:

Si A y B son independientes entonces BpApBAp .

Ejemplo 1:

Tenemos una urna con 10 bolas de colores verde, rojo y azul y numeradas del 1 al 10 tal y como muestra la figura:

por otro lado tenemos que

8

2

1

10

5par p

de donde los sucesos “par” y “verde” son independientes, es decir, el hecho de saber que ha salido una bola verde, no cambia

la probabilidad de que la bola sea par.

Nota: No hay que dejarse engañar por el hecho de que la proporción de bolas pares entre las verdes, la mitad, sea la misma

que la proporción de bolas pares entre las bolas totales. Esto se debe a que todas las bolas tienes las mismas probabilidades

de salir. Si los sucesos elementales no son equiprobables no podemos fijarnos en esto y hay que fijarse únicamente en las

probabilidades de los sucesos en estudio.

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5.- PRUEBAS COMPUESTAS.

Hay experimentos que constan de más de una etapa. Dichos experimentos se denominan compuestos. Dos etapas o

pruebas de un experimento aleatorio compuesto diremos que son independientes si las probabilidades de los resultados de la

primera etapa no influyen en los resultados de la segunda. Para este tipo de experimentos lo más útil es utilizar un diagrama

de árbol. Máxime cuando no hay tal independencia entre las etapas. Si sí hay independencia podemos elegir entre un diagrama

de árbol o una tabla.

Ejemplo 1: Experimento: Se tira un dado y después una moneda.

Observamos que “sacar cara” o “sacar cruz” en la moneda no depende en absoluto del resultado obtenido en el

lanzamiento del dado. Así pues, las etapas son independientes.

Ejemplo 2: Experimento: De una urna con 3 bolas blancas y 7 negras se extrae una bola y se introduce en otra urna que tiene

4 bolas blancas y 6 negras. Extraemos una bola de la segunda urna y miramos si es blanca o negra.

Este esquema resume todo el procedimiento. De la urna A sacamos una bola, que puede ser blanca o negra. Esa bola

la introducimos en la urna B y volvemos a sacar bola. Hay dos posibilidades, que hayamos introducido en la urna B una bola

blanca, con lo que la composición será de 5 bolas blancas y 6 negras o que hayamos introducido una bola negra, con lo que

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la composición será de 4 bolas blancas y 7 negras. Comprobamos que las posibilidades del color de las bolas de la segunda

urna son iguales, es decir, blanca o negra, pero las probabilidades varían según estemos en el caso primero o en el segundo.

Así, es más fácil sacar bola blanca en el primer caso que en el segundo. Tenemos entonces, que los resultados (las

probabilidades) de la segunda etapa dependen de lo que pase en la primera y las etapas no son, por tanto, independientes.

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6.- TEOREMA DE LA PROBABILIDAD TOTAL. TEOREMA DE BAYES.

Dado un experimento aleatorio y su espacio muestral asociado E , llamamos partición de E a una serie de sucesos

que cumplen las dos siguientes condiciones:

Todos juntos forman todo E .

Dos cualesquiera de ellos son incompatibles, es decir, no tienen nada en común (su intersección es vacía.

Ejemplo: Si observamos el ejemplo de la urna que contenía bolas de colores numeradas, el espacio muestral es:

Con este espacio muestral podemos formar, por ejemplo, las partición que queda según el color de la bola:

o según la paridad del número de la bola:

Dada una partición concreta de las muchas que hay, cada suceso del experimento se puede descomponer como la

unión de cada uno de los trozos que resultan de intersecar este suceso con cada uno de los sucesos que forman la partición:

Así conseguimos expresar cualquier suceso S como unión de sucesos disjuntos.

En general, dada una partición nAAA ,,, 21 , la propiedad V de las probabilidades nos dice que la probabilidad de un

suceso cualquiera S se puede expresar como:

nASpASpASpSp 21

Utilizando ahora las probabilidades condicionadas, es decir, iii ApASpASp , tenemos el resultado conocido

como teorema de la probabilidad total:

nn ApASpApASpApASpSp 2211

Este resultado es muy útil cuando tenemos un experimento compuesto donde el mismo experimento se repite. Los sucesos

elementales de la primera etapa conforman la partición y un suceso cualquiera de la segunda etapa se expresa en términos

de esa partición:

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El suceso S se puede conseguir obteniendo 1A en la primera etapa y S en la segunda o bien 2A en la primera

etapa y S en la segunda, etc, etc.

Hasta ahora hemos estado viendo cómo calcular probabilidades de sucesos ocurridos en la segunda etapa del

experimento compuesto conociendo cuáles eran las probabilidades de los resultados de la primera etapa, conocidas como

probabilidades a priori y cuáles eran las probabilidades de los resultados de cada una de las posibilidades de la segunda

etapa, conocidas como verosimilitudes. Éstas miden la probabilidad de obtener un suceso S de la segunda etapa, pero

conocido el resultado de la primera etapa, es decir, iASp .

Supongamos ahora que conocemos el resultado de la segunda etapa, es decir, sabemos que ha salido, como resultado

último del experimento, el suceso S . La pregunta es, ¿cuál de los sucesos de la primera etapa ha sido el que ha ocurrido?

Obviamente no podemos dar una respuesta segura, pero si que podemos calcular las probabilidades respectivas. El resultado

para esto es el que se conoce como teorema de Bayes. Establece que si nAAA ,,, 21 es una partición de la primera

etapa y S es un suceso de la segunda etapa y conocemos las verosimilitudes iASp y las probabilidades a priori iAp ,

entonces, las probabilidades a posteriori son:

nn

iii ApASpApASpApASp

ApASpSAp

2211

En efecto, tenemos que:

Sp

ApASp

Sp

ASpSAp iii

i

nn

ii

ApASpApASpApASp

ApASp

2211

Nota: Una forma de recordar esta fórmula es que sabiendo que sale S , la probabilidad de que haya sido por el camino i de

la primera etapa es el cociente con numerador, el camino completo a través de esta etapa y con denominador, la suma de

todos los caminos completos.

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Nota: ¿Cuándo se utiliza el teorema de Bayes? Cuando sepamos qué salió al final y nos preguntemos por alguna de las

posibilidades de la primera etapa.

Ejemplo: En el ejemplo anterior de las urnas con bolas blancas y negras, supongamos que de la segunda urna salió una bola

blanca. ¿Qué probabilidad hay de que de la primera urna también hayamos sacado una bola blanca?

Solución: Sean los sucesos:

A" urna la de blanca bolasacar 1 "B

A" urna la de negra bolasacar 1 "N

B" urna la de blanca bolasacar 2 "B

B" urna la de negra bolasacar 2 "N

Con esta notación, la pregunta es hallar 21BBp . Recordemos otra vez la situación:

Sabemos que salió bola blanca en la segunda extracción (de la urna B). Para llegar a ese resultado es posible hacerlo de dos

formas, bien sacar bola blanca de la urna A y luego otra bola blanca de la urna B o bien sacar una bola negra de la urna A y

luego una bola blanca de la urna B. El teorema de Bayes nos da:

43

15

11043

11015

11028

11015

11015

107

114

103

115

103

115

112112

11221

NpNBpBpBBp

BpBBpBBp

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7.- BIBLIOGRAFÍA.

- [1] Matemáticas Aplicadas a las Ciencias Sociales II. Ed. ANAYA. 2016. J. Colera y otros.

- [2] Probabilidad y Estadística I. Universidad de Málaga. Manuales. 1996. M. Ruiz Camacho, M.C. Morcillo Aixelá

y J. García Galisteo.