1234568910131415161718192011 Geoinformation III Nachteil des R-Baums Diskrete Mathematik (R/R + -Baum) R R R R R R R R R

1 2 3 4 5 6 8 9 10 13 14 15 16 17 18 19 2011Geoinformation III

Nachteil des R-Baums

Diskrete Mathematik

(R/R+-Baum)

R R

R

R

R

R

R

R

R

1 2 3 4 5 7 8 9 11 12 13 14 15 16 17 1810Geoinformation III

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Übersicht über das Semester

Die Vorlesung besteht aus 3 Blöcken• räumliche Datenbanken

– Zugriffsstrukturen zur Unterstützung der Suche R/R+ - Baum Quadtree

• Softwaretechnologie (Dr. Gröger)– (fortgeschrittene) Klassendiagramme– Dynamische UML-Diagramme– Software-Demo: CASE-Tool „Together“– Korrektheit von Programme – Testen– Normen und Standards in GIS


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Übersicht über das Semester

Die Vorlesung besteht aus 3 Blöcken• Internet: Protokolle, Dienste und Formate (Dr. Kolbe)

– Offene Systeme, Rechnernetze und Internet– eXtensible Markup Language (XML)– XML Dokumenttyp-Definition, UML -> XML, Namespaces– XML-Schema– Geography Markup Language (GML 2)

Form: Vorlesung mit Übungsanteilen


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• Einordnung• MBR – minimum bounding

rectangle• Idee des R-Baums• Neues laufendes Beispiel• R-Baum als B-Baum• Exkurs: B-Baum

• Eigenschaften• Einfügen in einen B-Baum• Löschen in einem B-Baum

• Der R-Baum als solcher• Einfügen in einen R-Baum• Strategien zum Spalten eines

Knotens

1

Übersicht

• Suchen in einem R-Baum• Nachteil des R-Baums• Alternative: Der R+-Baum• R+-Baum• Suche im R+-Baum


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R-Baum Einordnung

• Bisher:– Zerlegung des Objekts (->Trapezkarte)– Konstruktion einer Zugriffstruktur für das Objekt (->Trapezkarte)

• Alternatives Vorgehen:- Approximation der Maschen durch umschließende achsenparallele

Rechtecke: Minimal Bounding Rectangle (MBR)– Verwaltung der Rechtecke

• R-Baum• R+-Baum

2


6


R-Baum MBR – minimum bounding rectangle

A 4x

yAußen

x

3


6


R-Baum Idee

• In welcher Masche M liegt der Punkt P?• Neue Frage: In welcher Bounding Box einer Masche M liegt der Punkt

P?

• Verwende effizientes Verfahren, um alle Rechtecke R1, ... Rn zu finden, die P enthalten

– Jedem Rechteck Ri entspricht eine Masche Mi

• Prüfe, ob P in einer der Maschen M1, ... Mn vorkommt

• Verwende dazu das Standardverfahren• Problem: Zugriffsstruktur für Rechtecke• Rechtecke sind einfacher zu handhaben als Maschen im allgemeinen

Nur die Rechtecke interessieren uns hier, nicht die zugrundeliegenden Maschen

4

A 1x


6


R-Baum Beispiel

01

02

03

07

04

09

06

05

10

08

R11

R13

R12R14

R15R16

15 16

11 12

01 02 03 04 06 09 05 07

13 14

08 10

4 4


6


R-Baum R-Baum als B-Baum

• Ein R-Baum ist ein B-Baum mit zusätzlichen Eigenschaften• Was ist denn ein B-Baum?

– Ein B-Baum ist (wie der AVL-Baum) ausgeglichen– Aber: Jeder Knoten enthält mehr als einen Schlüssel

B-Bäume werden oft in kommerziellen Datenbanken für den schnellen Zugriff auf Festplattenspeicher genutzt. Die inneren Knoten entsprechen dann den kleinsten ansprechbaren Einheiten („Kacheln“ von 1 Kbyte oder mehr) der Festplatte.

5


6


B-Baum Exkurs

B B

B

B

B

B

B

B

B


6


B-Baum Beispiel der Ordnung 2

52 62 78 90

49

55 59 63 66 71 75 80 82 86 91 9550 5138 41

16 31

13 14 15 20 29 30

6


6


B-Baum Allgemeines

Der B-Baum wurde nach seinem Entwickler R. Bayer benannt.

Die Suche eines Elementes in einem B-Baum unterscheidetsich nur wenig von der Suche in anderen Such-Bäumen.

Das Einfügen und Entfernen von Elementen ist jedoch anvielen Stellen anders als in Binär-Such-Bäumen.

7


6


B-Baum Eigenschaften I

Eigenschaften eines B-Baumes der Ordnung n:– Ein B-Baum ist nicht binär– Ein B-Baum ist ausgeglichen– Alle Blätter haben das gleiche Niveau– Jeder Knoten enthält höchstens 2n Elemente– Jeder Knoten außer der Wurzel enthält mindestens n Elemente– Jeder innere Knoten hat m+1 Nachfolgeknoten, wobei m die Anzahl

der Schlüssel des inneren Knotens ist

8


6


B-Baum Eigenschaften II

Eigenschaften eines B-Baumes der Ordnung n:– Die m Elemente eines Knotens werden in aufsteigender Reihenfolge

gespeichert: x1 < x2 < ... < xm

– Für jeden i-ten Teilbaum Si eines Knotens gilt:Die Elemente seiner Knoten sind größer als xi und kleiner als xi+1 (ganz links und ganz rechts analog)

– Bei einigen Varianten des B-Baums stehen alle Informationen in den Blättern

8


6


49

B-Baum Einfügen

52 62 52 62 78 90

55 59 63 66 71 75 80 82 86 91 9550 51

A 31x

9


6


B-Baum Einfügen

A 31x

49 Einfügen eines Elements mit dem Wert 61

61

61 > 49 rechter Ast

52 62 78 90

55 59 63 66 71 75 80 82 86 91 9550 51

9


6


B-Baum Einfügen

A 31x


61

52 < 61 < 62 2. Ast von links

61 > 49 rechter Ast

52 62 78 90

55 59 63 66 71 75 80 82 86 91 9550 51

9


6


B-Baum Einfügen

A 31x

59 < 61 Einfügen


61

52 < 61 < 62 2. Ast von links

61 > 49 rechter Ast

52 62 78 90

55 59 63 66 71 75 80 82 86 91 9550 51

9


6


B-Baum Einfügen

A 31x


59 < 61 Einfügen

52 < 61 < 62 2. Ast von links

61 > 49 rechter Ast

52 62 78 90

6155 59 63 66 71 75 80 82 86 91 9550 51

9


6


B-Baum Einfügen

A 31x


59 < 61 Einfügen

52 < 61 < 62 2. Ast von links

61 > 49 rechter Ast

52 62 78 90

6155 59 63 66 71 75 80 82 86 91 9550 51

9


6


B-Baum Einfügen

A 31x


64

64 > 49 rechter Ast

52 62 78 90

6155 59 63 66 71 75 80 82 86 91 9550 51

9


6


B-Baum Einfügen

A 31x


64

62 < 64 < 78 3. Ast von links

64 > 49 rechter Ast

52 62 78 90

6155 59 63 66 71 75 80 82 86 91 9550 51

9


6


B-Baum Einfügen

A 31x

49

64

63 < 64 < 66 Einfügen

62 < 64 < 78 3. Ast von links

64 > 49 rechter Ast

Einfügen eines Elements mit dem Wert 64

52 62 78 90

6155 59 63 66 71 75 80 82 86 91 9550 51

9


6


B-Baum Einfügen

A 31x


63 < 64 < 66 Einfügen

62 < 64 < 78 3. Ast von links

64 > 49 rechter Ast

52 62 78 90

6463 66 71 75 80 82 86 91 9550 51 6155 59

9


6


B-Baum Einfügen

A 31x


63 < 64 < 66 Einfügen

62 < 64 < 78 3. Ast von links

64 > 49 rechter Ast

52 62 78 90

6463 66 71 75 80 82 86 91 9550 51 6155 59

9


6


B-Baum Einfügen

A 31x


52 62 78 90

6463 66 71 75 80 82 86 91 9550 51 6155 59

Problem: SpeicherüberlaufLösung: Knoten sprengen

9


6


B-Baum Einfügen

A 31x


Setze das mittlereElement um eine Position nach oben

Bilde zwei neue

Zweige

52 62 78 90

6463 66 71 75 80 82 86 91 9550 51 6155 59

9


6


B-Baum Einfügen

A 31x

52 62 78 90

49

66


6463 71 75 80 82 86 91 9550 51 6155 59

9


6


B-Baum Einfügen

A 31x

52 62 78 90

49

66


6463 71 75 80 82 86 91 9550 51 6155 59

9


6


B-Baum Einfügen

A 31x

52 62 78 90

49

66


Lösung: Knoten sprengen

Problem: Speicherüberlauf

6463 71 75 80 82 86 91 9550 51 6155 59

9


6


B-Baum Einfügen

A 31x

52 62 78 90

49

66


Setze das mittlereElement um eine Position nach oben

Bilde zwei neue

Zweige

6463 71 75 80 82 86 91 9550 51 6155 59

9


6


B-Baum Einfügen

A 31x

52 62 78 90

49 66 Einfügen eines Elements mit dem Wert 64

6463 71 75 80 82 86 91 9550 51 6155 59

9


6


• Suche des Knotens, der das zu löschende Element enthält• Falls Knoten gefunden, unterscheiden wir folgende Fälle:

1. Löschen in einem Blatt: Entfernen des Elementsa) die Anzahl der Elemente des Blattes ist weiterhin >= nb) die Anzahl der Elemente des Blattes ist < n „Unterlauf“ bereinigen

2. Löschen in einem inneren Knoten: Eintrag durch das nächstgrößere oder nächstkleinere Element im Baum ersetzen (rechtester Eintrag im linken Unterbaum oder linkester im rechten (vgl. AVL-Bäume).

a) die Anzahl der Elemente des Blattes ist weiterhin >= n b) die Anzahl der Elemente des Blattes ist < n „Unterlauf“ bereinigen

B-Baum Löschen

10


6


B-Baum Löschen in einem Blatt

A 17x

52 62 78 90

14 49 66

71 75

Löschen des Elements mit dem Wert 75

Element suchen

Element gefunden: Löschen

646354 55 5949 50 51 80 82 86 91 95 97

10


6



A 17x

52 62 78 90

14 49 66

71


Speicherunterlauf

Über Vater- und Nachbar-knoten (nächstgrößeresElement) ausgleichen

646354 55 5949 50 51 80 82 86 91 95 97

10


6



A 17x

52 62 78 90

14 49 66

71


646354 55 5949 50 51 80 82 86 91 95 97

10


6



A 17x

52 62 80 90

14 49 66

71 78


646354 55 5949 50 51 82 86 91 95 97

10


6


B-Baum Löschen in einem inneren Knoten

A 17x

52 62 80 90

14 49 66

71 78


646354 55 5949 50 51 82 86 91 95 97

10

Element suchen

Element gefunden: Löschen


6



A 17x

52 62 80

14 49 66

71 78


646354 55 5949 50 51 82 86 91 95 97

10

Speicherunterlauf

Ersetzen durch nächst-größeres Element


6



A 17x

52 62 80 91

14 49 66

71 78


646354 55 5949 50 51 82 86 95 97

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6


Zurück zum R-Baum

R R

R

R

R

R

R

R

R


6


R-Baum ...als solcher

• Ein Blattknoten ist ein Paar (R,O), R ist das kleinste umschließende Rechteck, welches das Objekt O umschließt

• Jeder innere Knoten hat m Paare (R,T), R ist das kleinste umschließende Rechteck des Teilbaums T

• Ordnung beim R-Baum: (m, M) - Jeder Knoten außer der Wurzel enthält zwischen m M/2 und M Einträgen

• Die Wurzel hat mindestens zwei Einträge sofern sie kein Blattknoten istBeachte:• Rechtecke können sich überlappen• Struktur des R-Baums hängt von Reihenfolge des Einfügens ab• Jedes Paar (R,O) kommt genau einmal vor• R kann mehrere umschließenden Rechtecke schneiden

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6


R-Baum ...als solcher

11

01

02

03

07

04

09

06

05

10

08

R11

R13

R12R14

R15R16

15 16

11 12

01 02 03 04 06 09 05 07

13 14

08 10


6


R-Baum Einfügen

• Ausgangspunkt: Einfügen eines neuen Knotens in einen R-Baum• Problem hier: an welche Stelle wird (R,O) eingefügt?

– Durchlaufe den R-Baum mit der Wurzel als Ausgangspunkt– Wähle an jedem inneren Knoten den Teilbaum, der durch

Einfügen von R minimal vergrößert würde– Füge (R,O) schließlich als Blatt ein– Beim Überlauf verfahre wie beim B-Baum

• Besonderheit gegenüber B-Baum:– Es gibt keine lineare Ordnung zwischen den Einträgen der Knoten– Verschiedene Strategien zum Spalten eines Knotens

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Animiertes Beispiel der Ordnung (2,3)


6


R-Baum Strategien zum Spalten eines Knotens

Minimierung des DurchschnittsMinimierung der Gesamtfläche

13


6


R-Baum Punktsuche

Welche (R,O) enthalten den Punkt P?• Beginne an der Wurzel• innere Knoten: Durchsuche jeden Sohnknoten der Paare (R,T), die P

enthalten• Blattknoten: Suche alle (R,O), die P enthalten• Fertig!

• Achtung: Ggf. muss in mehreren Teilbäumen gesucht werden!

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Animiertes Beispiel


6


R-Baum Bereichssuche

Welche (R,O) schneiden das Rechteck Q?• Beginne an der Wurzel• innere Knoten: Durchsuche jeden Sohnknoten der Paare (R,T), die Q

schneiden• Blattknoten: Suche alle (R,O), die Q schneiden• Fertig!

15

Animiertes Beispiel


6



• Um das richtige Blatt zu finden, sind meist mehrere Durchläufe erforderlich

• Dies gilt insbesondere dann, wenn die Suche erfolglos ist• Abhilfe: R+-Baum

16


6


Alternative: Der R+-Baum

• Alle inneren Rechtecke sind disjunkt• Ein Objekt / umschließendes Rechteck kann in mehreren Blättern

vorkommen• Jedes Blatt repräsentiert den Teil von (R,O), der von dem Vaterknoten

umschlossen wird

17


6


R+-Baum Aufbau

E H

A

B

D

G

J F

CI

12

3

4

5

6

7

8

9

2 31

4 5

A E D E H

6 7

B D I B C D

8 9

E G F J

A 34x

18


6


R+-Baum Aufbau

A 34x

1 2

E H

A

B

D

G

J F

CI

12

18


6


R+-Baum Aufbau

A 34x

1 2

E H

A

B

D

G

J F

CI

12

33

4

A E

4

33

18


6


R+-Baum Aufbau

A 34x

1 2

E H

A

B

D

G

J F

CI

12

33

4

A E

4

5

D E H

5

18


6


R+-Baum Aufbau

A 34x

1 2

E H

A

B

D

G

J F

CI

12

33

4

A E

4

5

D E H

5

6

6

B D I

18


6


R+-Baum Aufbau

A 34x

1 2

E H

A

B

D

G

J F

CI

12

33

4

A E

4

5

D E H

5

6

6

B D I

7

7

B C D

18


6


R+-Baum Aufbau

A 34x

1 2

E H

A

B

D

G

J F

CI

12

33

4

A E

4

5

D E H

5

6

6

B D I

7

7

B C D

88

E G

18


6


R+-Baum Aufbau

A 34x

1 2

E H

A

B

D

G

J F

CI

12

33

4

A E

4

5

D E H

5

6

6

B D I

7

7

B C D

88

E G

9

9

F J

18


6


R+-Baum Aufbau

A 34x

1 2

E H

A

B

D

G

J F

CI

12

33

4

A E

4

5

D E H

5

6

6

B D I

7

7

B C D

88

E G

9

9

F J

18


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R+-Baum Suche

A 6x

E H

A

B

D

G

J F

CI

12

3

4

5

6

7

8

9

2 31

4 5

A E D E H

6 7

B D I B C D

8 9

E G F J

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Documents

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