INSTITUTO TECNICO RICALDONE.PROGRAMA PILET.

ASIGNATURA: Matemática II.

PROFESOR: Lic. Carlos Mena.CICLO: 03 – 2012

UNIDAD 2: TECNICAS DE INTEGRACION.( PARTE 3 ).

INTEGRACION DE POTENCIAS DE FUNCIONES TRIGONOMETRICAS.

Cuando la integral es una potencia de una función trigonométrica o el producto de dos potencias, se hace necesario el saber combinar el uso hábil de identidades trigonométricas y el cambio de variable.

Entonces, se tienen los siguientes tipos de integrales trigonométricas.

Tipo 1: Potencias de seno y/o de coseno.

Son integrales de la forma:

Tipo 2: Potencias de tangente o de cotangente.

Son integrales de la forma:

Tipo 3: Potencias de tangente – secante o de cotangente – cosecante.

Son integrales de la forma:

INTEGRACION DE POTENCIAS DE SENO Y/O COSENO.

Las siguientes integrales son ejemplos de ilustración para este tema:

1. Cuando las integrales contienen exponente impar.

Para estos casos, se utiliza la identidad trigonométrica , de donde se puede despejar sen2 x ó cos2 x, según la necesidad en un determinado momento.

El proceso a realizar es el siguiente:

a) Se saca aparte un factor sen2 x ( ó cos2 x )

b) Se despeja el factor sacado aparte, para aplicarle la identidad ya mencionada, y luego reemplazar en la integral.

c) Se hace u = cos x , quedando du = – sen x dx , y se sustituye en la integral.

2. Cuando las integrales contienen exponente par.

Para estos casos, se pueden utilizar las identidades trigonométricas:

Según sea la necesidad en un determinado momento.

El proceso a realizar es el siguiente:

a) Se buscan las expresiones de sen2 x ( ó cos2 x ) , y se reemplazan por la identidad respectiva.

PREGUNTA: ¿Por qué ahora el coseno es de 4x?

EJERCICIOS PROPUESTOS.

Resuelva las siguientes integrales.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.

9. 10. 11.

12. 13. 14.

15. 16. 17.

18. 19. 20.

21. 22. 23.

24. 25.

INTEGRACION DE POTENCIAS DE TANGENTE O COTANGENTE.

Las siguientes integrales son ejemplos de ilustración para este tema..

Aquí es independiente de tener exponente par o impar.

En estos casos, se puede hacer uso de las siguientes identidades trigonométricas:

tan2 x = sec2 x – 1 cot2 x = csc2 x – 1

El proceso a realizar es el siguiente:

a) Se toma aparte un factor tan2 x o cot2 x , para sustituir el factor tomado aparte, y luego se reemplaza en la integral.

b) Se hace u = tan x , quedando du = sec2 x , y se sustituye en la integral.

EJERCICIOS PROPUESTOS.

Resuelva las siguientes integrales.

1. 2. 3. 4.

5. 6. 7. 8.