13 Analiza częstotliwościowa układów SLSzoise.wel.wat.edu.pl/dydaktyka/WEL niestacjonarne/Wyklady/13... · Dla obu tych wielkości spełniających związek Y Z =1 (13.3) stosujemy

OBWODY I SYGNAŁY 2 Wykład 13 : Analiza częstotliwościowa układów SLS

dr inż. Marek Szulim e-mail: [email protected]

1 /14

13. ANALIZA CZĘSTOTLIWOŚCIOWA UKŁADÓW SLS 13.1. POJĘCIE IMMITANCJI I TRANSMITANCJI

Rozpatrzmy układ elektryczny, na który działa wymuszenie harmo-niczne o symbolicznej wartości skutecznej F (napięciowe lub prądowe) i dla którego poszukiwaną funkcją jest odpowiedź o symbolicznej wartości skutecznej R (prądowa lub napięciowa).

F RukładSLS

Jeśli wielkości F i R występują na tych samych zaciskach to rozpatry-wany układ staje się dwójnikiem. Jego stan opisany jest parą funkcji: prą-du i napięcia wejściowego

W zależności od wymuszenia odpowiedź wyznaczamy ze wzoru:

IZ U Z

a)

b)

U0

I

Y

ZIZU = (13.1a) 0UYI = (13.1b)

Lub definiujemy jako:

IMpedancja ZI

UZ = (13.2a) adMITANCJA 0U

IY = (13.2b)

Dla obu tych wielkości spełniających związek

1=ZY (13.3)

stosujemy określenie : IMMITANCJA



2 /14

W przypadku wyodrębnienia dwóch par zacisków mamy do czynienia z czwórnikiem. Jeśli wymuszenie jest związane z jedną bramą a odpo-wiedź z drugą to relacje pomiędzy nimi - stosunek odpowiedzi do wymu-szenia nazywamy TRANSMITANCJĄ.

F RK

FRK = (13.4)

czyli FKR = (13.5)

Ponieważ w przypadku czwórnika wymuszeniem i odpowiedzią może być prąd lub napięcie, należy więc rozróżnić cztery transmitancje:

KuI2 =0

U2U1

transmitancję napięciową

01

2

2 =

=I

u UUK (13.6a)

KiuI2U1

transmitancję prądowo-napięciową

01

2

2 =

=U

ui UIK (13.6b)

KiI2I1

transmitancję prądową

01

2

2 =

=U

i IIK (13.6c)

KuiI2 =0

U2I1

transmitancję napięciowo-prądową

01

2

2 =

=I

iu IUK (13.6d)



3 /14

13.2. CHARAKTERYSTYKI CZĘSTOTLIWOŚCIOWE

Immitancje i transmitancje są wielkościami zespolonymi, zależnymi od układu (jego struktury i wartości elementów) oraz od pulsacji (często-tliwości) sygnału wymuszającego.

Dla układu liniowego, będącego w stanie ustalonym, badanego przy przebiegach harmonicznych dla określonej pulsacji słuszna jest zależność:

F

R

j

j

m

m

eFeR

FR

K ψ

ψ

22

== ( )FRjeFR ψψ −= (13.7)

ΘjeK=

Charakterystykami częstotliwościowymi układu SLS nazywamy zależność transmitancji lub immitancji układu

od częstotliwości lub pulsacji sygnału harmonicznego. )()()()( )( ωωωω ωΘ jQPeKK j +== )0( ∞÷∈ω (13.8) gdzie: K(ω) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowo-fazowa

K(ω) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowa

Θ(ω) - częstotliwościowa charakterystyka fazowa

P(ω) - częstotliwościowa charakterystyka części rzeczywistej transmitancji

Q(ω) - częstotliwościowa charakterystyka części urojonej transmitancji

moduł transmitancji K określony jest stosunkiem wartości skutecznych odpowiedzi do wymu-szenia

argument transmitancji Θ wyraża kąt przesunięcia fazowego od-powiedzi w odniesieniu do wymuszenia



4 /14

WYKRESY WYBRANYCH CHARAKTERYSTYK na przykładzie układu RC (FD)

RCU1 U2

Zakładamy, że wymuszeniem jest napięcie tUtu m ωsin)( 11 = . Stosując się metodę symboliczną - wyznaczamy U2

12 1

1

U

CjR

CjU

ω

ω

+=

Zatem transmitancja napięciowa dla rozpatrywanego układu wyniesie:

RCj

CjR

CjU

U

CjR

Cj

UUK u ω

ω

ωω

ω

+=

+=

+==

11

1

11

1

1

1

1

2

Czyli: ( )RCj

K u ωω

+=

11

(13.9)



5 /14

( )

222222

222

111

11

11

11

CRRCj

CR

CRRCj

RCjRCj

RCjK u

ωω

ω

ωω

ωω

ωω

+−

+=

+−

=−−

⋅+

=

Zatem: ( ) ( ) 222222 1,

11

CRRCQ

CRP

ωωω

ωω

+−=

+= (13.10)

( )ωuK 222222 111

CRRCj

CR ωω

ω +−

++

=

P(ω) Q(ω)

ω

ωg=1/RC

ωg

P( )ωQ( )ω

0,5

- 0,5

1

0

P(ω) - częstotliwościowa charakterystyka części rzeczywistej transmitancji

Q(ω) - częstotliwościowa charakterystyka części urojonej transmitancji



6 /14

( )RCj

K u ωω

+=

11

222222 111

CRRCj

CR ωω

ω +−

++

=

Czyli:

222

2222

222

222222

11

)1()1(1)()()(

CR

CRCR

CRQPK

ω

ωω

ωωωω

+=

++

+=+=

zależność modułu transmitancji od pulsacji opisuje równanie:

22211)(

CRK

ωω

+= (13.11)

Natomiast

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +⋅

+−

==1

11)(

)()(222

222CR

CRRCarctg

PQarctg ω

ωω

ωωωΘ

zależność argumentu transmitancji od pulsacji opisuje równanie:

( )RCarctg ωωΘ −=)( (13.12)



7 /14

( )ωuK ( )[ ]RCarctgjeCR

ω

ω−

+=

22211

K(ω) Θ(ω)

K(ω) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowa

Θ(ω) - częstotliwościowa charakterystyka fazowa

ω

K( )ω1

0,707

ωg=1/RC

ωΘ ω( )

−π/2

−π/4

ωg=1/RC

K(ω) - częstotliwościowa charakterystyka amplitudowa-fazowa

Im[ ( )]K ω

Re[ ( )]K ωω=0ω= 8

0,5

KΘ

P

Q



8 /14

WSPÓŁRZĘDNE WZGLĘDNE I LOGARYTMICZNE CHARAKTERYSTYK CZĘSTOTLIWOŚCIOWYCH

Charakterystyki częstotliwościowe podaje się na ogół, z uwagi na ich:

czytelność, wygodę posługiwania się lub uwypuklenie pewnych cech - we współrzędnych względnych i/lub we współrzędnych logarytmicznych.

Charakterystyki o współrzędnych logarytmicznych nazywamy charak-terystykami logarytmicznymi.

Jako współrzędne względne dla modułu transmitancji (immitancji) przyjmuje się na ogół stosunek wartości wymienionych wielkości do pew-nej wartości charakterystycznej, np. maksymalnej. Mówimy wówczas o charakterystyce względnej:

)()()(lub)()(

0max ωωωωω

KKK

KKK == (13.13)

Jako współrzędne względne (unormowane) dla pulsacji ω (lub często-tliwości f) przyjmuje się:

• pulsację względną ω/ω0 • odstrojenie bezwzględne Δω=ω-ω0 • odstrojenie względne ξ=(ω-ω0)/ω0

gdzie: ω0 – jest charakterystyczną pulsacją dla układu.

Jako współrzędne logarytmiczne pulsacji (częstotliwości) przyjmuje się najczęściej logarytm dziesiętny pulsacji lub pulsacji względnej:

ωlg=dx (13.14)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

0lg

ωω

dx (13.15)



9 /14

mówimy wówczas o dekadowej skali częstotliwości, której cha-rakterystyczną cechą jest stała długość odcinka odpowiadające-go zmianie o jedną dekadę czę-stotliwości.

-1 0 1 2 3

10-1 1 101 102 103

lgf

f[Hz]

-1 0 1 2 3

10-1 1 101 102 103

lg(f/f)0

f/f0

Skale dekadowe Przykład:

W skali liniowej

K f( )

f0 2000 4000 6000 8000 1 1040

0.5

1

W skali logarytmicznej

K f( )

f10 100 1 103 1 104 1 1050

0.5

1



10 /14

Jako współrzędne logarytmiczne dla modułu transmitancji (immitan-cji) przyjmuje się moduł transmitancji wyrażony w decybelach zgodnie ze wzorem )(lg20)( ωω KKdB = (13.16a)

lub ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

00lg20

ωω

ωω KKdB (13.16b)

Wybrane wartości wzmocnienia wyrażone w decybelach

)(ωK N−10 0,1 2

1 1 2 10 N10

)(lg20 ωK [dB] N20− -20 -3 0 3 20 N20

Przykład:

K f( )

f0 2000 4000 6000 8000 1 1040

0.5

1

W skali liniowej

KdB f( )

f0 2000 4000 6000 8000 1 10421

18

15

12

9

6

3

0

W skali decybelowej



11 /14

CHARAKTERYSTYK ASYMPTOTYCZNE

W wielu zagadnieniach praktycznych wygodnie jest posługiwać się przybliżoną postacią ch-styk częstotliwościowych układu. Istota tego przybliżenia polega na zastąpieniu dokładnego wykresu ch-styki często-tliwościowej jej przebiegiem przybliżonym w postaci odpowiednio dobra-nej linii łamanej.

Przybliżone charakterystyki o postaci linii łamanych są nazywane charakterystykami asymptotycznymi lub charakterystykami Bodego.

Załóżmy, że rozpatrujemy układ o charakterystyce amplitudowo-fazowej postaci:

K

K21

21

21

21)()()(

MM

LL

jj

jj

eMeMeLeL

MLK ΨΨ

ΨΨ

ωωω == (13.17)

gdzie czynniki ( )ωiL oraz ( )ωiM są wielomianami o współczynnikach rzeczywistych stopnia pierwszego lub drugiego.

Pamiętając, że: ( ) ( ) ( )ωΘωω jeKK =

możemy zapisać: K

K

21

21)(MMLLK =ω (13.18)

lub ( ) ( )∑∑ −=i

ii

i MLK lglg)(lg ω (13.19)

Zatem logarytmiczna charakterystyka amplitudowa (wyrażona w mierze decybelowej) opisana jest wyrażeniem:

( ) ( )⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−== ∑∑

ii

iidB MLKK lglg20)(lg20)( ωω (13.20)



12 /14

na przykładzie układu RC (FD) ( )RCj

Kω

ω+

=1

1

Zal. (13.17)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

gg

g

g jM

LK

ωω

ωω

ωω

ωω

1

1 gdzie RCg1

=ω

Zal. (13.18) 2

1

1

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

g

gK

ωω

ωω

Zal. (13.20) 2

21lg20

1

1lg20 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

g

g

gdBK

ωω

ωω

ωω

(13.21)

Uwzględniając przy tym następujące, oczywiste przybliżenia:

,1<<gωω

,112

≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

gωω

0≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

gdBK

ωω

(13.22a)

,1>>gωω

,12

gg ωω

ωω

≅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ ⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−≅⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ggdBK

ωω

ωω lg20 (13.22b)

Dla ω/ωg<<1 oraz dla ω/ωg>>1 rzeczywistą ch-stykę amplitudową można dobrze aproksymować, zastępując ją półprostymi określonymi wzorami (13.22a) i (13.22b). Doprowadzając te półproste do punktu ich przecięcia ω/ωg=1 otrzymamy ch-stykę aproksymującą tj. charakterystykę asymptotyczną odpowiadającą wyrażeniu (13.21).



13 /14

ωK( )ω/ωg

ωg[dB]

-20

-40

00,1 1 10 100

-3

PARAMETRY CZĘSTOTLIWOŚCIOWE UKŁADÓW

Dla charakterystyk częstotliwościowych układu przyjmuje się na ogół takie parametry jak:

• częstotliwość graniczna - częstotliwość przy której moduł trans-mitancji maleje o 3 dB od wartości no-minalnej dla której umownie przyjęto poziom 0dB.

• pasmo przenoszenia - zakres częstotliwości, w którym moduł

transmitancji maleje nie więcej niż o 3 dB od wartości nominalnej - jest to zakres częstotliwości zawarty między częstotliwościami granicznymi. Miarą pasma przenoszenia SP jest

dgP ffS −=



14 /14

• selektywność układu - zdolność rozdziału częstotliwościowe-

go przenoszonych sygnałów. Miarą se-lektywności jest współczynnik prosto-kątności

)20()3(

dBSdBSp

P

P=

• nachylenie charakterystyki - określa się liczbą decybeli wyraża-

jącą zmianę modułu transmitancji układu na dekadę w zadanym za-kresie częstotliwości

2

1

21/

lg

)()(

ωω

ωω dBdBdekdB

KKN −=

KLASYFIKACJA UKŁADÓW

Ze względu na zdefiniowane pasma przepuszczania (zaporowe), moż-na przedstawić następującą klasyfikację układów:

• wąskopasmowy SP << fs • szerokopasmowy SP=fs lub SP > fs • dolnoprzepustowy fg1=0 fg2 < ∞ • górnoprzepustowy fg1>0 fg2 = ∞ • środkowoprzepustowy fg1>0 fg2 < ∞ • środkowozaporowy f∉(fg1, fg2) ∧ fg1>0 ∧ fg2< ∞

Documents

13 Analiza częstotliwościowa układów SLSzoise.wel.wat.edu.pl/dydaktyka/WEL niestacjonarne/Wyklady/13... · Dla obu tych wielkości spełniających związek Y Z =1 (13.3) stosujemy