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MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I

Quatrième cours

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Rappel du dernier cours

• Escompte composé

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Rappel du dernier cours

• Escompte composé

• Escompte simple

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Rappel du dernier cours

• Escompte composé

• Escompte simple

• Taux nominal d’intérêt

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Rappel du dernier cours

• Escompte composé

• Escompte simple

• Taux nominal d’intérêt

• Taux nominal d’escompte

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Rappel du dernier cours

• Escompte composé

• Escompte simple

• Taux nominal d’intérêt

• Taux nominal d’escompte

• Équivalence de taux

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Rappel: Taux nominal d’intérêt

Si l'intérêt est capitalisé m fois par période

(avec m > 1) et que le taux d'intérêt pour chacun de ces m-ièmes de période est

alors nous disons que le taux nominal d'intérêt est

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Rappel: Taux nominal d’escompte

Si l’intérêt est capitalisé m fois par période(avec m > 1) et que le taux d’escompte pour chacun de ces m-ièmes de période est

alors nous disons que le taux nominal d’escompte est

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Rappel: L’équivalence de taux est obtenue par les formules équivalentes

en calculant la valeur actuelle de 1$ payable dans un an ou encore

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Rappel:(suite)

en calculant la valeur accumulée par 1$ après un an.

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Exemple 1:

Anouk a placé 12000$ dans un investissement dont les deux premières années sont rémunérées au taux nominal d’intérêt de 6% par année capitalisé semestriellement et les 3 années suivantes au taux nominal d’escompte de 9% par année capitalisé à tous les trois mois.

(a) Quelle est la valeur accumulée après ces 5 années?

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Exemple 1:

Anouk a placé 12000$ dans un investissement dont les deux premières années sont rémunérées au taux nominal d’intérêt de 6% par année capitalisé semestriellement et les 3 années suivantes au taux nominal d’escompte de 9% par année capitalisé à tous les trois mois.

(a) Quelle est la valeur accumulée après ces 5 années?

(b) Quel est l’intérêt gagné par Anouk pendant la troisième année?

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Solution: (a)Pour les deux premières années, nous avons que le taux

d’intérêt est

c’est-à-dire

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Solution: (a)Pour les deux premières années, nous avons que le taux

d’intérêt est

c’est-à-dire

Pour les trois dernières années, nous avons que le taux d’escompte est

c’est-à-dire

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Solution: (a)

Pour les deux premières années, il y aura 4 = 2 x 2 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 4 périodes de 6 mois.

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Solution: (a)

Pour les deux premières années, il y aura 4 = 2 x 2 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 4 périodes de 6 mois.

Pour les trois dernières années, il y aura 12 = 3 x 4 périodes de capitalisation de l’intérêt, c’est-à-dire 12 périodes de 3 mois.

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Solution: (a)

Le montant accumulé après les deux premières années est

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Solution: (a)

Le montant accumulé après les deux premières années est

Le montant accumulé après les trois dernières années est

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Solution: (a)

Anouk aura donc accumulé 17747.17$ dans son placement après 5 ans.

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Solution: (b)

Il nous faut calculer les montants accumulés après trois ans et après deux ans et les soustraire l’un de l’autre.

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Solution: (b)

Le montant accumulé dans le placement aprèsles trois premières années est

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Solution: (b)

Le montant accumulé dans le placement aprèsles trois premières années est

Le montant accumulé dans le placement après les deux premières années est

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Solution: (b)

Le montant d’intérêt gagné pendant la troisième année est

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Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt:

Il s’agit d’un notion pour mesurer l’intérêt qui fait appel au calcul différentiel.

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Taux instantané de l’intérêt ou force de l’intérêt: (suite)

Notons la fonction d’accumulation par

Alors le taux instantané de l’intérêt est

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Exemple 2:

Si nous considérons la situation de l’intérêt simple, c’est-à-dire

Alors la force de l’intérêt sera

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Exemple 3:

Si nous considérons la situation de l’intérêt composé, c’est-à-dire

Alors la force de l’intérêt sera

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Remarque 1:

Dans le cas de l’intérêt simple, la force de l’intérêt est décroissante; alors que, dans le cas de l’intérêt composé, elle est constante.

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Remarque 2:

Si nous connaissons le principal investi et le taux instantané de l’intérêt, nous pouvons alors calculer la fonction d’accumulation. En effet,

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Remarque 2: (suite)

De la définition, nous pouvons montrer que

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Remarque 2: (suite)

De la définition, nous pouvons aussi montrer que l’intérêt peut être calculé par une intégrale:

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Remarque 3:

Dans la situation pour laquelle la force de l’intérêt est constante, c’est-à-dire

nous obtenons que

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Remarque 3: (suite)

Cette situation est équivalente à celle de l’intérêt composé.

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Remarque 3: (suite)

Cette situation est équivalente à celle de l’intérêt composé.

De plus, nous obtenons que

où est le taux d’intérêt composé équivalent.

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Exemple 4:

Boris veut accumuler 10000$ après 7 ans dans un placement rémunéré au taux instantané de l’intérêt de 5% par année.

Quel montant doit-il investir aujourd’hui?

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Solution:

Nous voulons calculer le valeur actuel de 10000$ payable dans 7 ans au taux instantané d’intérêt

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Solution: (suite)

Nous avons vu que la fonction de capitalisation est

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Solution: (suite)

Nous avons vu que la fonction de capitalisation est

Conséquemment la fonction d’actualisation est

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Solution: (suite)

De cette dernière observation, Boris doit investir aujourd’hui

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Proposition 1: Si

et

désignent respectivement un taux nominal d’intérêt et un taux instantané de l’intérêt et que ces taux sont équivalents, alors

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CHAPITRE IIPrincipes de base

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Principe de base:

La valeur d'un montant investi ou prêté à un moment donné dépend du temps qui s'est écoulé depuis que le montant a été investi ou prêté ou encore du temps qui doit s’écouler avant que le montant soit payé ou remboursé.

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Conséquence du principe de base:

Pour deux montants payables à deux moments différents dans le temps, ne peuvent être comparés que leurs valeurs accumulées ou escomptées à une date commune appelée la date de comparaison.

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Définition:

L’équation incluant les valeurs accumulées ou escomptées à cette date de comparaison des montants investis ou prêtés est appelée

l’équation de valeur.

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Définition de l’équation de valeur:

La somme des valeurs accumulées ou escomptées des entrées d’un flux

financier à la date de comparaison est égale à la somme des valeurs

accumulées ou escomptées des sorties d’un flux financier à la même

date de comparaison

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Exemple 5:

Alex et Béa conviennent du prêt suivant. Alex prêtera 7000$ immédiatement, 4000$ dans 2 ans et 3000$ dans 3 ans. Béa remboursera ce prêt par un

seul versement de X dollars dans 5 ans.

Déterminer X si ce prêt est contracté au taux nominal d’intérêt de 10% par année capitalisé semestriellement.

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Solution:

Prenons comme date de comparaison

Le taux d’intérêt par période de 6 mois est

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Solution: Le diagramme d’entrées et sorties est

Alors l’équation de valeur est

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Solution: (suite) Si nous avions pris comme date de comparaison

alors le diagramme d’entrées et sorties est

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Solution: (suite) Si nous avions pris comme date de comparaison

et l’équation de valeur est

alors le diagramme d’entrées et sorties est

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Peu importe l’équation utilisée, nous obtenons que Béa remboursera le prêt en

versant

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Nous pouvons comparer les équations de valeur pour ces deux dates, nous avons

Celles-ci sont différentes que par la multiplication d’un même facteur, à savoir la première équation par (1.05)10.

et

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Il est nécessaire de fixer une date de comparaison, mais le choix n’aura pas d’incidence sur le résultat dans le cas de

l’intérêt composé.

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Exemple 6:

Nous reprenons le même prêt que celui de l’exemple 5, sauf que Béa remboursera ce prêt par trois versements égaux au montant de Y dollars, le premier après 3 ans et demi, le

second après 4 ans et demi et le dernier après 5 ans.

Déterminer Y si ce prêt est contracté au taux nominal d’intérêt de 10% par année capitalisé semestriellement.

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Solution:

Prenons comme date de comparaison t = 7 périodes de capitalisation = 3.5 ans.

Le taux d’intérêt par période de 6 mois est

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Solution: Le diagramme d’entrées et sorties est

Alors l’équation de valeur est

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De cette équation, nous obtenons que

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De cette équation, nous obtenons que

Si nous comparons le total des versements effectués par Béa pour chacun de ces exemples, nous obtenons

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Ceci ne devrait pas nous surprendre parce que le

remboursement plus rapide de son prêt fait en sorte que

Béa versera moins d’intérêt à Alex!