131127 van heisenberg naar quantumzwaartekracht

Van Heisenberg naar

Quantumzwaartekracht

Marcel VonkMasterclass Quantum Universe

27 november 2013

2/96

Inhoud

1. Entropie

2. Entropie op quantumschaal: de

onzekerheidsrelatie.

3. Entropie en zwaartekracht:

zwarte gaten.

1. Entropie

4/96

Het begrip entropie zegt iets over hoe

waarschijnlijk en willekeurig bepaalde

natuurkundige toestanden zijn.

Entropie

5/96

Entropie kent twee heel verschillende

definities:

1) Een statistische

2) Een thermodynamische

We beginnen met de statistische

definitie.

Entropie

6/96

Een eenvoudig voorbeeld: verdeel

acht gekleurde ballen over een bak.

Entropie

7/96

Een eenvoudig voorbeeld: verdeel

acht gekleurde ballen over een bak.

Entropie

8/96

Welke configuratie is waarschijnlijker?

Entropie

(1) (2)

9/96

Antwoord 1: beide configuraties zijn

even waarschijnlijk!

Entropie

(1) (2)

10/96

De microscopische toestand

…is even waarschijnlijk als de

microscopische toestand

Entropie

11/96

Antwoord 2: configuratie (2) is veel

waarschijnlijker!

Entropie

…

12/96

De macroscopische toestand

…is veel waarschijnlijker dan de

macroscopische toestand

Entropie

2 : 2

4 : 0

13/96

Entropie is een maat voor hoeveel

microscopische toestanden horen bij

één macroscopische toestand.

Entropie

4 : 0

14/96

Entropie is een maat voor hoeveel

microscopische toestanden horen bij

één macroscopische toestand.

Entropie

2 : 2

…

15/96

Bij de macrotoestand 3:1 horen

bijvoorbeeld 16 microtoestanden:

…en bij 2:2 horen er 36.

Entropie

16/96

We zien dat een statistisch begrip als

entropie ook een voorspellende

waarde kan hebben!

Entropie

17/96

We zien dat een statistisch begrip als

entropie ook een voorspellende

waarde kan hebben!

Entropie

meest waarschijnlijke

uitkomst

18/96

Dit wordt nog veel extremer als we

grotere systemen beschouwen:

Entropie

meest waarschijnlijke

uitkomst

19/96

Het aantal microtoestanden per

macrotoestand is vaak gigantisch:

290221898034278978720212488115162781261285921681

585875907636440223079481193218327138795984664929

829737740145115100023594381414400 microtoestanden

Entropie

20/96

De entropie van een macrotoestand

wordt mede daarom gedefinieerd als

de logaritme van het aantal

microtoestanden.

Entropie

21/96

Een belangrijke eigenschap van

entropie is dat die in grote systemen

altijd toeneemt.

Entropie

22/96

Ook dit is een puur statistische

eigenschap, er is dus geen

mysterieuze “kracht” aan het werk.

Entropie

23/96

Rudolf Clausius formuleerde dit in

1856 als een natuurwet:

Entropie

24/96



Entropie

0td

Sd

25/96



Entropie

0td

Sd

Tweede Hoofdwet van

de thermodynamica

26/96

Overigens had Clausius nog niet het

statistische beeld van entropie dat wij

nu hebben.

Entropie

27/96

Entropie kent twee heel verschillende

definities:

1) Een statistische

2) Een thermodynamische

Wat is de thermodynamische

definitie?

Entropie

28/96

Een fysisch systeem zoals een gas

heeft twee soorten energie:

• Energie die kan worden omgezet

in arbeid

• Energie die “niet beschikbaar is”

Entropie

29/96

De verhouding tussen beschikbare

energie en (absolute) temperatuur

bleek constant.

Clausius noemde deze verhouding,

gemeten in J/K, de entropie.

Entropie

30/96

Ludwig Boltzmann liet in 1877 zien

dat de twee definities van entropie

hetzelfde zijn.

Entropie

31/96

Belangrijk detail:

• Statistische entropie is een getal,

• Thermodynamische entropie wordt

gemeten in J/K.

Entropie

32/96

Belangrijk detail:

• Statistische entropie is een getal,

• Thermodynamische entropie wordt

gemeten in J/K.

Entropie

WkS B ln

33/96

kB heet de constante van Boltzmann:

kB = 1,3806488 x 10-23 J/K

Entropie

WkS B ln

34/96

We hebben gezien dat entropie tot

allerlei dynamische effecten kan

leiden. Deze effecten kunnen zelfs de

vorm van krachten aannemen.

Voorbeeld: een elastiekje.

Entropie

35/96

Rubber bestaat uit polymeren:

Entropie

36/96

Eenvoudig model van een polymeer

met zeven segmenten:

Entropie

37/96

Eenvoudig model van een polymeer

met zeven segmenten:

Entropie

evenwichtslengte

38/96

Als het polymeer zich in een

warmtebad bevindt (bijvoorbeeld de

lucht) zal het zijn evenwichtslengte

opzoeken.

Entropie

Kracht!

39/96

Eén van de vragen die Erik Verlinde

in zijn onderzoek probeert te

beantwoorden is: kunnen we de

zwaartekracht ook zien als een

entropische kracht?

Meer daarover om 15:00

Entropie

2. Entropie op quantumschaal

41/96

Levert het begrip entropie geen

probleem op als het aantal

microtoestanden oneindig is?

Entropie op quantumschaal

WkS B ln

42/96

Oplossing in de klassieke

natuurkunde: kies een

“basistoestand” als referentie


43/96

Macrotoestand (b) heeft tweemaal

zoveel microtoestanden als (a) of (c).


44/96




WkS B ln

45/96



Gebruik nu dat ln(2W) = ln(W) + ln(2):


WkS B ln

46/96



Gebruik nu dat ln(2W) = ln(W) + ln(2):


WkS B ln

2lnBab kSS

47/96

In de klassieke natuurkunde zijn

entropieverschillen dus wel goed

gedefinieerd.

In het algemeen zijn we alleen in

zulke verschillen geïnteresseerd!


0td

Sd

48/96

In de quantumfysica blijkt het wel

vaak zo te zijn dat we toestanden

kunnen tellen.


49/96

Om dit te begrijpen voeren we het

begrip faseruimte in.


50/96

Om dit te begrijpen voeren we het

begrip faseruimte in.


51/96

Voeg een tweede auto toe:


52/96



53/96



54/96

Voeg een derde auto toe:


55/96

De faseruimte is een

configuratieruimte waarin we de

posities en impulsen (snelheden)

aangeven.

Voorbeeld:

Harmonische oscillator


56/96

Harmonische oscillator:


57/96



58/96



59/96

De faseruimte is opgebouwd uit

fasebanen.


60/96

In de klassieke mechanica kan zo’n

baan willekeurig (continu) gekozen

worden. In de quantummechanica zijn

de banen discreet.


61/96

Een macroscopische toestand

bepaalt een (bewegend) volume in de

faseruimte.


62/96

We moeten dus kunnen tellen

hoeveel microscopische toestanden

binnen dit gebied vallen.


63/96

We moeten dus kunnen tellen

hoeveel microscopische toestanden

binnen dit gebied vallen.


64/96

Hoe groot is een “cel” in de

faseruimte die met één toestand

overeenkomt?


65/96

Hoe groot is een “cel” in de

faseruimte die met één toestand

overeenkomt?


2

px

66/96

Coclusie: het aantal toestanden in

een bepaald stuk faseruimte is

eenvoudigweg het volume, uitgedrukt

in “Planckcellen”.


67/96

Dit idee (iets anders geformuleerd)

staat bekend als Bohr-

Sommerfeldquantisatie.


68/96

Overigens: de wiskundige Joseph

Liouville (1809-1882) bewees al dat

volume in de faseruimte niet verandert.


69/96

Overigens: de wiskundige Joseph

Liouville (1809-1882) bewees al dat

volume in de faseruimte niet verandert.


70/96

Kortom: de quantumtoestanden van

een systeem zijn discreet, en elk

systeem heeft dus een minimale

entropietoename.


WkS B ln

71/96

Kortom: de quantumtoestanden van

een systeem zijn discreet, en elk

systeem heeft dus een minimale

entropietoename.


BkS

72/96

Zie dit als het “toevoegen van 1 bit”

om de nieuwe microtoestanden te

kunnen tellen.


BkS

73/96

Deze “minimale toename van

informatie” speelt een belangrijke rol

in het werk van Erik Verlinde (15:00).


BkS 2

3. Entropie en zwaartekracht:

zwarte gaten

75/96

Zwaartekracht begrijpen we op grote

schaal heel goed…

Entropie en zwaartekracht

76/96

…maar op quantumschaal kost het

veel moeite de kracht als een

fundamentele kracht te beschrijven.


77/96

De beste aanwijzingen voor de

oplossing van dit probleem vinden we

in zwarte gaten.


78/96

Een zwart gat is een gebied met een

horizon waarbinnen de zwaartekracht

zo sterk is dat zelfs het licht niet kan

ontsnappen.


79/96

Het (direct) waarnemen van zwarte

gaten valt niet mee, maar we kunnen

er wel goed aan rekenen.


80/96

Stephen Hawking liet in zo’n

berekening zien dat zwarte gaten toch

straling kunnen uitzenden.

Schetsmatig ziet dat er zo uit:


81/96

We zien hier heel duidelijk dat zowel

de zwaartekracht als de quantum-

mechanica een rol spelen – voor een

goed begrip hebben we dus een

theorie van quantumzwaartekracht

nodig!


82/96

Als een zwart gat straling uitzendt,

heeft het dus ook een temperatuur…


83/96

Met andere woorden: een zwart gat is

een thermodynamisch systeem. We

verwachten daarom dat een zwart gat

ook een entropie heeft.


84/96

Samen met Jacob Bekenstein

rekende Stephen Hawking deze

entropie uit. Ze vonden een

verrassend eenvoudig antwoord:


G

AcS

4

3

85/96

G, c en ħ geven aan dat we werken

met begrippen uit de quantum-

zwaartekracht. Ze doen weinig meer

dan de eenheden kloppend maken.


G

AcS

4

3

86/96

De echte inhoud van de formule blijkt

als we eenheden kiezen waarin al

deze constanten 1 zijn:

De entropie van een zwart gat is

evenredig met het oppervlak!


4

AS

87/96

Het lijkt dus alsof alle informatie over

een zwart gat “op de horizon

geschreven kan worden”.


88/96

Een belangrijke uitdaging voor elke

theorie van quantumzwaartekracht is

om de Bekenstein-Hawkingentropie te

verklaren.

Dat valt niet mee, want hoe zien de

microscopische toestanden van een

zwart gat eruit?


?

89/96

De snaartheorie heeft op dit gebied

twee successen geboekt.

Ten eerste is er het holografisch

principe.


90/96

Juan Maldacena (1998):

• D-dimensionale theorie

met zwaartekracht

=• (D-1)-dimensionale theorie

zonder zwaartekracht


91/96

Dit lijkt een goede hint te zijn naar het

antwoord op de vraag waarom de

entropie van een zwart gat groeit als

het oppervlak.


4

AS

92/96

Andrew Strominger en Cumrun Vafa

behaalden in 1996 het tweede succes

door als eerste precies uit te rekenen

hoeveel snaartoestanden een

bepaald zwart gat beschrijven.


93/96

Hun berekening werkt maar voor een

heel beperkte klasse van zwarte

gaten, maar komt wel op precies het

juiste resultaat uit!


94/96

De grote vraag is: hoe nu verder?

Eén van de nieuwe ideeën is

afkomstig van Erik Verlinde: hij stelt

de lessen uit de holografie centraal,

en probeert de (quantum-)

zwaartekracht te begrijpen vanuit

entropie.


95/96

Veel meer over zijn ideeën hoor je in

de lezing van 15:00 vanmiddag.


Vragen?

Documents

131127 van heisenberg naar quantumzwaartekracht