Upload
ceban-tatiana
View
93
Download
6
Embed Size (px)
Citation preview
INTRODUCERE
Lucrarea de licentă analizează cinematica mecanismelor din compunerea roboţilor,
bazele teoretice ale dinamicii roboţilor industriali şi arhitectura unui model de robot 4R în
vederea optimizării şi corectării performanţelor la unele sisteme robotizate.
Există numeroase definiţii ale robotului, el reprezentând un automat universal, destinat
efectuării unor funcţii motoare sau intelectuale ale omului. Printre diferitele clase de roboţi
una dintre cele mai importante o formează roboţii manipulatori, între care sunt roboţii
industriali.
În realizarea sistemului de conducere a roboţilor industriali şi a celulelor de fabricaţie flexibilã
se propune aplicarea unor tehnici ale inteligenţei artificiale pentru realizarea nivelelor
ierarhice superioare şi a unor metode avansate, de control predictiv, în materializarea nivelului
ierahic inferior.
Un robot industrial este un echipament care nu funcţioneazã în mod izolat, ci lucreazã
împreunã cu alţi roboţi şi/sau maşini unelte, benzi transportoare, ajungându-se astfel la
noţiunea de celulã flexibilã de fabricaţie. Dacã acest termen este acceptat şi folosit adesea
împreunã cu acela de sistem de tip CIM (Computer Integrated Manufacturing), conducerea şi
optimizarea funcţionãrii unei celule de fabricaţie este încã o problemã deschisã. Pentru
obţinerea flexibilitãţii în utilizare, împreunã cu autonomia şi siguranţa în funcţionare, se
inpune o abordare unitarã a unei celule de fabricaţie robotizatã, care sã îmbine elementele de
automaticã şi cele de inteligenţã artificialã (IA).
Lucrarea de licentă are următoarele obiective:
- Analiza funcţionării şi structurii generale a unui robot industrial în vederea
introducerii in procesele de fabricatie;
- Prezentarea arhitecturii unui robot industrial 4R;
- Optimizarea constructiv funcţională a robotului industrial 4R;
- Programarea robotului industrial 4R pentru operaţiuni manipulare a unor obiecte;
- Planificarea mişcării robotului în coordonate carteziene şi generarea traiectoriilor
care unesc două puncte ale spaţiului de lucru;
- Realizarea conducerii simultane a articulaţiilor robotului 4R cu motoare electrice
pas cu pas;
CAPITOLUL 1
CERCETĂRI ACTUALE ÎN ANALIZA
ROBOŢILOR INDUSTRIALI
1.1 Scurt istoric şi aplicaţii ale roboţilor neindustriali
Primele cercetări în domeniul roboticii au fost iniţiate începând cu anul 1960. Dupa un
avânt substanţial al aplicaţiilor roboticii în domeniul industrial, cu precadere în industria
automobilelor, după 1990 s-au conturat multiple aplicatii in domeniile neindustriale
(nemanufacturiere).
Această dezvoltare, chiar spectaculoasă, în direcţia aplicaţiilor neindustriale justifică
trecerea în revistă a principalelor subdomenii în care roboţii nemanufacturieri sau roboţii de
serviciu îşi pot gasi aplicabilitate.
1.2 Clasificarea roboţilor industriali.
Definiţii, domenii de utilizare, evoluţie
Robotul este un sistem automatizat de înalt nivel al cărui principal rol este manipularea
pieselor şi uneltelor, înlocuind acţiunea umană.
Principalele aplicaţii în care utilizarea roboţilor industriali are avantaje evidente:
- sudură prin puncte sau pe contur;
- operaţii de ansamblare;
- vopsire;
- turnarea în forme a pieselor mari;
- controlul calităţii;
- manipularea substanţelor toxice, radioactive;
Robotul industrial este definit în prezent ca un manipulator tridimensional,
multifuncţional, reprogramabil, capabil să deplaseze materiale, piese, unelte sau aparate
speciale după traiectorii programate, în scopul efectuării unor operaţii diversificate de
fabricaţie. Pentru diferitele componente ale roboţilor industriali (fig. 1.1.), s-au definit termeni
specifici preluaţi din literatura anglo – saxonă.
a. b. Fig. 1.1 Roboţi industriali tip manipulator
1.2.1 Clasificarea manipulatoarelor şi roboţilor pe generaţii
Clasificarea pe generaţii foloseşte drept criteriu de bază capacitatea maşinii de
percepere şi interpretare a semnalelor din mediul exterior, precum şi de adaptare la mediu în
timpul procesului de lucru. Deosebim:
- manipulatoarele manuale (prima generaţie);
- manipulatoare automate (generaţia a doua);
- manipulatoare inteligente (generaţia a treia);
- roboţii industriali din prima generaţie sunt manipulatoare automate programabile,
având cel puţin 3 axe (dintre care cel puţin 2 axe sunt programabile prin învăţare sau printr-un
limbaj simbolic);
- roboţii industriali din generaţia a doua;
- roboţii industriali din generaţia a treia sunt dotaţi cu senzori inteligenţi (prelucrare
locală a informaţiei) şi utilizează elemente de inteligenţă artificială;
- roboţii inteligenţi sunt dotaţi cu programe de inteligenţă artificială avansate, au
capacitate de autoinstruire.
Majoritatea roboţilor industriali folosiţi în prezent sunt din generaţia 1 şi 2. În funcţie
de scara evolutivă a treptelor de automatizare roboţii industriali se clasifică în:
Sursa de informaţii Energia Treapta Descriere
Mediul exterior
Electrică
Hidraulică
Pneumatică
10 Maşină care se autoperfecţionează:robot cu inteligenţă artificială
9 Maşină cu program adaptabil în funcţie de condiţiile externe: robot cu elemente de inteligenţă artificială, robot industrial generaţia 3
8 Maşină care îşi corectează pro-gramul în funcţie de condiţiile de lucru: maşină unealtă cu comandă adaptativă
Program variabil(programabilitate)
7 Maşină universală programabilă: sistem sau centru de prelucrare cu CNC, robot industrial generaţia 2
6 Maşină monooperaţie programabilă: maşină unealtă cu CN, robot industrial generaţia 1
Program fix
5 Maşină automată pentru operaţii multiple: strung cu prelucrare automată, automat de montaj
4 Maşină automată monooperaţie: automat de montaj rigid, manipulator automat
Om
Mecanică
Manuală
3 Sculă mecanizată, maşină comandată manual, manipulator manual (teleoperator)
2 Sculă de mână1 Mână
1.2.2 Clasificare pe categorii
Din punctul de vedere al relaţiei om-robot în timpul desfăşurării lucrului roboţilor,
acestia se impart in trei mari categorii:
• Roboţi automaţi,
• Roboţi biotehnici,
• Roboţi interactivi.
În cazul robotior comandaţi pas cu pas, prin acţionarea de către operatorul uman a
unui buton sau manetă, este pus in funcţiune unul din gradele de mişcare ale robotului. Roboţii
master-slave sunt constituiţi din doua lanţuri cinematice deschise, primul lanţ (master) având
mişcarea comandată de operatorul uman, iar al doilea (slave) copiind la scară această mişcare
şi efectuând operaţiile de manipulare pentru care este destinat robotul. In alte cazuri, legatura
dintre master şi slave este indirectă, prin teletransmisie. In ambele cazuri, operatorul uman
trebuie să vadă tot timpul mişcarea elementului manipulat de slave, aceasta printr-o fereastră
sau pe un ecran display.
În cazul roboţiior biotehnici semiautomaţi, operatorul uman participă nemijlocit în
procesul de comandă, dar în acelasi timp cu el lucrează şi un calculator universal sau
specializat. Semnalul de comandaă la aceste sisteme este dat de operatorul uman, obisnuit
printr-o manetă de comandă ce poate avea 3-6 grade de mişcare. Semnalul obţinut prin
apăsarea manetei după un grad de mişcare oarecare este preluat de calculator, care efectuează
calcule şi formează semnalele de comandă pentru fiecare grad de mişcare al organului de
execuţie al robotului.
Roboţii ce acţionează in medii industriale au capătat denumirea de roboţi industriali.
In general, acestia sunt roboţi automaţi şi în cazuri mai rare se utilizează in industrie şi roboţi
biotehnici sau interactivi. Sunt răspândiîi, in special, roboţii programaţi şi, mai puţin, cei
adaptivi. Roboţii inteligenţi se află în faza de încercări în laboratoare sau aplicaţii la unele
operaţii de montaj automat.
1.3 Domeniul inteligenţei artificiale (IA)
Se consideră că obiectul IA se referă la modalităţile prin care poate fi imitată
inteligenţa umană cu ajutorul calculatoarelor electronice şi a unor programe performante.
Referitor la inteligenţa artificială se consideră că:
- IA este domeniul de studiu care îşi propune să explice şi să modeleze
comportamentul inteligent în termenii proceselor de calcul;
- IA este de natură interdisciplinară care implică ştiinţa calculatoarelor, matematica,
psihologia proceselor cognitive ş.a.
- Ingineresc IA se ocupă cu generarea reprezentărilor procedurilor care în mod
automat şi autonom permit rezolvarea până acum numai de oameni;
- Obiectul IA este abordarea inteligenţei ca pe un calcul posibil de efectuat, fezabil.
O definiţie operaţională a inteligenţei artificiale este Testul Turing, care constă într-o
conversaţie (discuţie prietenească - chat), la distanţă, între un om (operator) şi un calculator.
La sfârşitul testului, calculatorul se consideră inteligent când operatorul nu poate spune dacă a
dialogat cu un alt operator uman sau cu o maşină.
Se obţin următoarele concluzii:
- IA poate fi descrisă drept domeniu al informaticii care se ocupă cu proiectarea şi
construirea sistemelor capabile să realizeze funcţii ale intelectului uman, cum ar fi
învăţatrea din experienţă, înţelegerea limbajului natural sau utilizarea unui
raţionament pentru rezolvarea problemelor;
- este mai uşor de exprimat ce trebue să facă maşinile inteligente decât descrierea a
ceea ce trebue să fie ele;
- structura arhitecturală a calculatoarelor electronice rămâne încă foarte diferită de
structura sistemelor biologice,
- comportamentul inteligent se caracterizează prin:
- flexibilitate – disponibilitatea de adaptare la condiţii noi;
- feed – back (reacţie) – posibilitatea de a compara rezultatele acţiunilor cu
aşteptările şi apoi modificarea corespunzătoare a acţiunilor;
- memoria – pentru înmagazinarea informaţiilor în vederea utilizării ulterioare.
1.4 Roboţi mobili
Unul din obiectivele esenţiale ale roboticii este elaborarea roboţilor autonomi.
Asemenea roboţi ar putea accepta o descriere naturală - formală - (de nivel înalt) a sarcinilor
de îndeplinit şi executarea comenzilor fără alte intervenţii umane. Descrierile necesare vor
preciza ce doreşte utilizatorul şi nu cum să execute comenzile. Roboţii capabili să
îndeplinească aceste operaţii vor fi dispozitive mecanice versatile, echipate cu senzori de
perceperea a mediului şi aflate sub controlul unui sistem de calcul.
Orientarea într-un mediu total necunoscut, folosind senzori pentru detectarea
obstacolelor şi comunicaţia cu un calculator aflat la distanţă sunt două aspecte importante care
trebuie luate în considerare atunci când lucrăm cu un robot mobil.
Fără senzori, roboţii nu ar putea executa altceva decât sarcini fixate dinainte, repetând
operaţiile ce le are de realizat iar şi iar, dar dotaţi cu senzori, roboţii au capacitatea de a face
mult mai mult decât atât.
Problemele specifice ce apar la roboţii mobili sunt următoarele:
- evitarea impactului cu obiectele staţionare sau în mişcare;
- determinarea poziţiei şi orientării robotului pe teren;
- planificarea unei traiectorii optime de mişcare.
În cazul unui sistem robotic automat distribuit poziţiile spaţiale sunt de o extremă
importanţă şi de ele depinde îndeplinirea scopurilor dorite şi funcţionarea întregului sistem.
Cu alte cuvinte, robotul trebuie să fie capabil să-şi planifice mişcările, să decidă automat ce
mişcări să execute pentru a îndeplini o sarcină, în funcţie de aranjamentul momentan al
obiectelor din spaţiul de lucru.
Planificarea mişcărilor nu constă dintr-o problemă unică şi bine determinată, ci dintr-
un ansamblu de probleme dintre care unele sunt mai mult sau mai puţin variante ale celorlalte.
Evitarea coliziunii cu obstacole fixe sau mobile (de exemplu alţi roboţi mobili) aflate
în spaţiul de lucru al robotului se poate face prin mai multe metode: realizarea unei apărători
mecanice care prin deformare opreşte robotul, folosirea senzorilor care măsoară distanţa până
la obstacolele de pe direcţia de deplasare, folosirea senzorilor de proximitate, folosirea
informaţiilor corelate de la mai multe tipuri de senzori.
Localizarea obiectelor se poate realiza şi prin contact fizic, dar acesta impune restricţii
asupra vitezei de mişcare a structurii manipulate. Contactul fizic dintre robot şi obiectele din
mediu generează forţe de reacţiune care modifică starea robotului. Vitezele mari de lucru fac
ca efectele dinamice ale unui contact fizic cu obstacole sau obiecte manipulate să fie riscante
(pot duce la deteriorarea obiectelor sau a robotului).
Sistemul senzorial mai este numit şi sistem de măsurare. El asigură măsurarea unor
mărimi fizice şi eventual perceperea unor modificări semnificative a acestor mărimi.
1.5.3 Laborator de fabricaţie asistată de calculator
Dezvoltarea unor cercetari privind conducerea inteligentă şi optimală a unui sistem
flexibil de fabricatie şi concretizarea metodelor şi algoritmilor intr-un sistem informatic
integrat pentru conducerea fabricatiei a condus la realizarea unui sistem integrat de laboratoare
pentru studiul domeniului fabricatiei asistate de calculator.
În realizarea studiilor teoretice privind analiza si optimizarea sistemelor de fabricatie
se inpun:
- modelarea sistemului de fabricatie din laboratorul de fabricatie asistata de calculator
ca un sistem cu evenimente discrete;
- cercetari privind programarea robotilor industriali;
- cercetari privind conducerea asistata de calculator a masinilor unelte;
- dezvoltarea unui sistem de vedere artificiala pentru conducerea inteligentă şi optimală
a unui sistem flexibil de fabricatie;
- cercetari privind folosirea sistemelor expert in planificarea si monitorizarea unui
sistem flexibil de fabricatie.
Un laborator de fabricaţie asistată de calculator are următoarea organizare:
Fig. 1.8. Arhitectura sistemului de fabricaţie flexibilă 1. Robot industrial (IRB 1400), 2. Robot industrial (IRB 2400), 3. Maşină unealtă cu comandă numeric (EMCO PC Mill 55 CNC), 4. Sistem de vedere artificială (OptiMaster), 5. Conveior, 6. Magazie piese finite, 7. Magazie piese brute, 8.Buffer piese, 9.Controler Robot (IRB 1400), 10. Controler Robot (IRB 2400)
1.5.4 Modelarea şi analiza sistemelor cu evenimente discrete
1.5.4.1 Reţele Petri
Retelele Petri reprezintă o categorie aparte de grafuri. Un graf este complet definit dacă
se cunosc mulţimile nodurilor si arcelor acestuia. Diferenţa dintre un graf şi o reţea Petri
constă în faptul că, în cazul acesteia din urmă, mulţimea nodurilor este înlocuită cu doua
mulţimi disjuncte :
- mulţimea locurilor iP , i = 1, ..., n (reprezentate prin cercuri);
- mulţimea tranziţiilor jT , j = 1, ..., m (reprezentate prin bare verticale sau prin
pătrate).
Arcele unei retele Petri sunt unidirecţionale. Un arc nu poate lega decât fie o tranzitie
de un loc, fie un loc de o tranzitie. La o tranziţie sau la un loc pot ajunge mai multe arce, iar de
la o tranzitie sau de la un loc pot pleca de asemenea mai multe arce. Un loc şi o tranziţie pot fi
legate prin cel mult un arc. Structura unei reţele Petri este astfel complet definită de cele trei
mulţimi anterioare: a locurilor, a tranziţiilor şi a arcelor.
Fig. 1.9. Retea Petri cu trei locuri şi trei tranziţii
În fig. 1.9 toate arcele au evaluare unitara, cu excepţia arcelor de la T2 la P3 şi de la T3
la P1, care au evaluarea 2:
a( 1 1P ,T ) = a( 1 2P ,T ) = a( 1 2T ,P ) = a( 2 3P ,T ) = a( 3 3P ,T ) = 1;
a( 2 3T ,P ) = a( 3 2T ,P ) = 2. (1.3)
Matricea de incidenţă a reţelei din fig. 1.9 este
1 1 2
A 1 0 1
0 2 1
− − = − −
, (1.4)
unde elementele 2 2a , şi 3 1a , au valori nule deoarece intre locul 2P şi tranziţia 2T , sau intre
locul 3P şi tranziţia 1T nu există nici un arc; elementele 1,1 1,2 2,3a , a , a şi 3,3a au valori
negative deoarece tranziţiile corespunzatoare sunt tranziţii de ieşire ( 1T şi 2T sunt tranziţii
de iesire din 1P , iar 3T este tranziţie de iesire din 2P şi 3P ).
Marcajul reţelei din fig. 1.9. este M = (2, 1, 0), deoarece locul 1P contine 2 jetoane,
locul 2P conţine un jeton iar locul 3P nu conţine nici un jeton.
Reguli de funcţionare:
Fiind dată o reţea Petri marcată, se spune că o tranziţie jT a acestei reţele este
activabilă pentru marcajul M dacă şi numai dacă, pentru orice loc iP care este loc de intrare în
tranziţia jT , marcajul locului iP este mai mare sau la limita egal cu evaluarea arcului dintre
iP şi jT .
Dacă o tranziţie este activabilă atunci ea poate fi activată. Activarea unei tranziţii
constă în modificarea marcajelor locurilor de intrare şi de ieşire din tranziţia respectivă.
La activarea tranziţiei jT , marcajul unui loc iP de intrare în tranziţia respectiva scade
cu o cantitate egală cu evaluarea arcului ( iP , jT ). Daca iP este un loc de ieşire din tranziţia
jT , atunci marcajul său creşte cu o cantitate egală cu evaluarea arcului ( jT , iP ). Dacă un loc
al reţelei nu este legat de tranziţia jT prin nici un arc, la activarea acesteia marcajul locului
rămâne neschimbat.
1.6 Sistem robotizat de montaj
Folosind noţiunile din teoria sistemelor, o unitate de productie se poate considera că
este compusă dintr-o serie de subsisteme, montajul fiind unul dintre acestea şi ocupând locul
final. Costul de productie in construcţia de maşini este influenţat in mare masura (30 % - 40
%) de volumul de muncă din montaj, care poate atinge 25 % - 30 % din volumul total. In
construcţia de aparate, volumul de munca in montaj poate ajunge pina la 40 % - 70 %. Se
consideră la nivel mondial ca optimizarea acestei munci poate conduce la o puternica
economisire a resurselor.
Numarul mare al parametrilor ce trebuie inregistraţi şi luaţi in considerare ca de fapt
problema de rezolvat “montajul robotizat” conduce la realizări sub formă complexă a cuplului
“instalatii periferice - robot industrial “. Un rol esenţial in asigurarea flexibilităţii il
reprezintă utilizarea elementelor senzoriale şi a efectorilor finali specializaţi pentru
compensarea erorilor inerente ce apar.
1.7 Planificarea mişcărilor robotului industrial
Robotul fiind o maşină cu abilităţi în mişcare şi/sau de manipulare una din cele mai
importante probleme de rezolvat este de a îi planifica mişcările, ceea ce implică modelarea
spaţiului de lucru, cu obstacolele pe care le conţine, şi a robotului, ca entitate de formă
complexă şi variabilă.
Planificarea mişcărilor poate fi considerată ca problema realizării algoritmilor pentru a
calcula automat o traiectorie continuă pentru o mulţime de obiecte (posibil legate) astfel încât
să se deplaseze de la o poziţie la alta evitând coliziunile cu alte obiecte fixe sau având mişcare
proprie.
Pentru un robot cu bază fixă problema se poate formula mai simplu prin alegerea unei
traiectorii ferite de coliziuni pentru braţul robotului, între două poziţii, în cazul unui spaţiu
închis.
Reprezentarea parametrică
Reprezentarea parametrică tratează reprezentarea parametrică a curbelor şi
suprafeţelor, expunând modul de abordare a reprezentării curbelor Bézier şi B-spline, precum
şi construcţia porţiunilor de suprafaţă pe baza acestor tipuri de curbe.
O curbă parametrică este definită printr-o mulţime discretă de puncte cunoscute ca
puncte de control împreună cu un set de funcţii de bază.
Această metodă de specificare a curbei este complet diferită faţă de cea matematică normală,
care are forma unei funcţii implicite.
Cercetări recente sunt orientate spre:
Reprezentarea parametrică a curbelor tridimensionale:
- curbele cubice Bézier
- unirea segmentelor de curbe cubice Bézier
- curbele B-spline, uniforme şi neuniforme;
Reprezentarea suprafeţelor cubice biparametrice:
- combinarea porţiunilor de suprafaţă Bézier
- porţiuni de suprafaţă B-spline
- editarea suprafeţelor parametrice
Reprezentarea parametrică a spaţiilor de lucru proprii ale roboţilor prin utilizarea
Matlab:
- funcţii utilizate în programele Matlab scrise pentru generarea reprezentărilor grafice;
- modelarea suprafeţelor descrise de efectorul final
Program de calcul pentru trasarea curbelor Bezier
Parametrii curbei
Parametrii curbei
x 1 2 3 4 5( ):= y 1 4 5 3 5( ):=unde x şi y sunt coordonatele punctelor de control.
P stack x y,( ):=
Bez t P,( ) 1 t−( ) P 0⟨ ⟩⋅ t P 1⟨ ⟩
⋅+ cols P( ) 2if
M i⟨⟩1 t−( ) P i⟨ ⟩
⋅ t P i 1+⟨ ⟩⋅+ ←
i 0 cols P( ) 2−..∈for
Bez t M,( )
otherwise
:=
Pentru variaţia t 0, 0.001 . . 1= se obţine următoarea reprezentare grafică a curbei
Bezier:
1 1.4 1.8 2.2 2.6 3 3.4 3.8 4.2 4.6 50
0.61.21.82.4
33.64.24.85.4
6
yT
Bez t P,( )1
xT
Bez t P,( )0,
Fig. 1.14 Curbă Bezier
CAPITOLUL 2
ANALIZA CINEMATICĂ A MECANISMELOR
DIN COMPUNEREA ROBOŢILOR
Solidul rigid este un sistem de puncte materiale la care distanţele dintre acestea rămân
constante în timpul mişcării şi nu îşi modifică poziţiile în raport cu un reper fixat de rigid. A
cunoaşte mişcarea unui solid înseamnă a determina, la un moment dat, vectorul de poziţie,
viteza şi acceleraţia unui punct oarecare al acestui solid.
2.1.1 Translaţia axelor de coordonate
Translaţia este determinată prin vectorul de poziţie al noii origini faţă de originea
sistemului iniţial (fig. 2.1).
Relaţiile de legătură între coordonatele unui punct ( )x y zM , ,ρ ρ ρ , faţă de sistemul
iniţial 0 0 0 0O x y z şi coordonatele aceluiaşi punct M(x,y,z), faţă de sistemul translatat Oxyz,
se obţin în urma proiectării ecuaţiei vectoriale.
0 rρ = ρ + (2.1)
Fig.2.1 Sisteme de referinţă
Matriceal, se scrie sub forma:
x 0x
y 0y
z 0z
1 0 0 x
0 1 0 y
0 0 1 z
ρ ρ ρ = ρ + ρ ρ
, (2.3)
sau
( ) ( ) [ ] ( )0 E rρ = ρ + . (2.4)
Poziţia şi mişcarea solidului rigid , faţă de sistemul cartezian fix 0 0 0 0O x y z ,
corespund poziţiei şi mişcării unui triedru Oxyz ataşat rigidului respectiv. Cele şase grade de
libertate ale rigidului vor fi determinate de vectorul de poziţie 0ρ al originii O şi de poziţia
versorilor mobili i, j şi k ai axelor Ox, Oy şi Oz (fig. 2.3).
Fig. 2.3. Determinarea gradelor de libertate ale solidului rigid
Vectorul de poziţie al punctului M în raport cu sistemul mobil este:
r x i y j z k= ⋅ + ⋅ + ⋅ , (2.21)
Proiecţiile vectorului 0r pe axele sistemului fix se pot deduce făcând produsele
scalare corespunzătoare:
( )( ) ( )( ) ( )( ) ( )
T
0 11 21 31 11 21 31T0
0 12 22 32 12 22 32
T13 23 33 13 23 330
i r x y z x
r j r x y z y
x y z zk r
,
α + α + α α α α = = α + α + α = α α α α + α + α α α α
(2.24)
unde:
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).;;
;;;
;;;
033032031
023022021
013012011
kkkjki
jkjjji
ikijii
TTT
TTT
TTT
=α=α=α=α=α=α=α=α=α
(2.25)
2.2 Determinarea distribuţiei de viteze şi acceleraţii
Produsul scalar a doi vectori 11 şi ba poate fi exprimat matriceal sub forma
( ) ( )1x
T
1 1 1x 1y 1z 1y 1x 1x 1y 1y 1z 1z
1z
b
a b a a a b a b a b a b
b
= = + +
, (2.37)
iar cel vectorial
[ ] ( )1z 1y 1x
1 1 1z 1x 1y
1y 1x 1z
0 a a b
a b a 0 a b
a a 0 b
,
− = − −
(2.38)
unde: [ ]1a este matricea antisimetrică asociată vectorului 1a ,
( )1b - matricea coloană asociată vectorului 1b .
Poziţia punctului M în raport cu sistemul de referinţă fix 0 0 0 0O x y z este determinată
prin vectorul:
( ) ( ) [ ] ( )ra T+ρ=ρ 0 , (2.39)
de unde, prin derivare în raport cu timpul, se obţine viteza punctului M în raport cu sistemul
fix:
( ) ( ) [ ] ( )ra T +ρ=ρ 0 . (2.40)
Pentru a determina proiecţiile vitezei punctului M în raport cu sistemul de referinţă
mobil (sistemul propriu), se înmulţeşte la stânga cu operatorul [ ]a , obţinându-se:
[ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] ( )T
0a a a a rρ = ρ +& & & . (2.41)
Pe baza relaţiei (2.46) expresia vitezei punctului M în raport cu sistemul propriu Oxyz
dată de relaţia (2.42) devine:
( ) ( ) [ ]( ) ,0 rVVM ω+= (2.47)
unde:
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]z y
T T T
z x
y x
0
a a a a 0
0
,
−ω ω ω = − ω = = − = ω −ω −ω ω
& &
( ) ( ) [ ] ( )x x
y y
z z
M 0
M M 0 0 0
M 0
V V
V V V a V
V V
; .
= = ρ =
& (2.48)
Menţiuni
1. Ecuaţia [ ] [ ] [ ]Taa =ω se multiplică la stânga cu matricea [ ]Ta , obţinându-se:
[ ] [ ] [ ]T Ta a= ω& , (2.49)
respectiv ecuaţia [ ] [ ] [ ]TT aa=ω se multiplică la dreapta cu matricea [ ]a , rezultând
[ ] [ ] [ ]Ta a= ω& , (2.50)
două relaţii foarte importante pentru stabilirea regulilor de derivare, în vederea obţinerii
ecuaţiilor cinematice;
2. Matricea antisimetrică [ ]ω joacă rolul unui operator diferenţial aplicat unui vector,
exprimat prin proiecţiile sale pe axele unui sistem de referinţă mobil (propriu):
( ) [ ] [ ] ( ){ } [ ] [ ] [ ] ( ) [ ] ( )T Td dr a a r a a r r
d t d t= = ω = ω . (2.51)
Pe baza formulei (2.51) se obţin, în cazul versorilor mobili i, j, k , relaţiile lui
Poisson:
( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) ( ) [ ]( ) .d
d;
d
d;
d
dkk
tjj
tii
tω=ω=ω= (2.52)
Ţinând cont de relaţia (2.49), ecuaţia (2.40) devine
( ) ( ) [ ] [ ] ( )T
0 a rρ = ρ + ω& & . (2.53)
Acceleraţia punctului M, exprimată în raport cu proiecţiile sale pe axele sistemului de
referinţă fix, se obţine prin derivare în raport cu timpul a ecuaţiei (2.53), obţinându-se:
( ) ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) ( )( ) [ ] [ ] [ ]{ } ( )
T T
0
T 2
0
a r a r
a r .
ρ = ρ + ω + ω =
= ρ + ω + ω
&& && & &
&& &(2.54)
2.4 Determinarea matricei de rotaţie în cazul unei rotaţii oarecare
Se consideră în acest caz rotaţia solidului rigid în jurul unei axe oarecare, ∆, cu un
unghi ϕ [84, 125, 128, 131](fig. 2.6).
Fig. 2.6. Rotaţia rigidului în jurul axei ∆
Se consideră axa de rotaţie (∆), definită în raport cu sistemul triortogonal fix
0 0 0 0O x y z , prin cosinuşii directori:
11 12 13cos , cos , cosα = α α = β α = γ
şi sistemul de referinţă 1 1 1 1O x y z a cărui axă 1 1O x coincide cu axa de rotaţie (∆), iar axa
1 1O z este situată în planul 0 0 0O x z .
Considerăm că un punct M′ definit în sistemul 2 2 2 2O x y z , de vector ( )2Mr ′ , se obţine
ca rezultat al rotaţiei de unghi ϕ în jurul axei (∆) din punctul M ce aparţine sistemului
1111 zyxO , de vector ( )1Mr . Ştiind că expresia analitică a vectorului de poziţie este un
invariant faţă de rotirea axelor de coordonate, se poate scrie
( ) ( )2 1M Mr r′ = ,
din care, prin multiplicare la stânga cu matricea [ ] T21a , se obţine
[ ] ( ) [ ] ( )T T2 121 M 21 Ma r a r′ = . (2.85)
Relaţia (2.91) devine
( ) [ ] [ ] [ ] ( )T T0 0M 10 21 10 Mr a a a r′ = ,
şi deci matricea transformării este
[ ] [ ] [ ] [ ]TT T
r 10 21 10a a a a= . (2.92)
Matricea [ ]ra , definită de relaţia (2.92), defineşte rotaţia solidului rigid în jurul axei
(∆), cu unghiul ϕ , în raport cu sistemul de referinţă fix.
Notăm c cos , s =sin , . . .α = α α α şi efectuând produsele matriceale,
[ ] [ ] [ ]T TT10 21 20
c cc c
1 0 0s s
a a c s 0 0 c s a
c c 0 s cc c
s s
β γ α − α − β β = β β ϕ − ϕ = γ α ϕ ϕ γ − ββ β
şi
[ ] [ ]T20 10a a
c c c c s c c c c sc c c c
s sc c c c
c s c s s s ,s s
c s c c c c c s c cc c c
0s ss s
=
α β ϕ + γ ϕ − γ ϕ + α β ϕ α − α β γ β β α β β γ = β β ϕ − β ϕ − β − β β α ϕ − β γ ϕ β γ ϕ + α ϕ γ ϕ α −β β β β
în final, matricea transformării, [ ] T
ra , devine
[ ] [ ] [ ] [ ]r r r11 21 31
TT T r r rr 10 21 10 12 22 32
r r r13 23 33
a a a a ,
α α α = = α α α α α α
(2.93)
unde:
2 2 2r 211 2
c c c c c c s c c c s c cc
s
α ⋅ β ⋅ γ + α ⋅ β ⋅ γ ⋅ ϕ − α ⋅ β ⋅ γ ⋅ ϕ + γ ⋅ ϕα = α +β
;
r21
s c c c s c sc c
s s
β ⋅ ϕ ⋅ α ⋅ β β ⋅ γ ⋅ ϕα = α ⋅ β − +β β
;
2 2 2r31 2 2 2
c c s c c c c c c s c c cc c
s s s
α ⋅ β ⋅ ϕ α ⋅ β ⋅ γ ⋅ ϕ β ⋅ γ ⋅ ϕ + α ⋅ γ ⋅ ϕα = γ ⋅ α − + −β β β
;
r12
c c s c c s sc c
s
α ⋅ β ⋅ β ⋅ ϕ + γ ⋅ β ⋅ ϕα = α ⋅ β −β
;
r 2 222 c s cα = β + β ⋅ ϕ ; (2.94)
r32
c s s c s c cc c
s
α ⋅ β ⋅ ϕ − β ⋅ β ⋅ γ ⋅ ϕα = γ ⋅ β +β
;
2 2 2r13 2
c c c c c c s c c c c c sc c
s
α ⋅ β ⋅ γ ⋅ ϕ + β ⋅ γ ⋅ ϕ − α ⋅ γ ⋅ ϕ + α ⋅ β ⋅ ϕα = α ⋅ γ +β
;
r23
s c c c s c sc c
s s
β ⋅ β ⋅ γ ⋅ ϕ β ⋅ α ⋅ ϕα = β ⋅ γ − −β β
;
2 2 2r 233 2 2 2
c c c s c c c c c c s c cc .
s s s
α ⋅ β ⋅ γ ⋅ ϕ β ⋅ γ ⋅ ϕ β ⋅ γ ⋅ α ⋅ ϕ + α ⋅ ϕα = γ − + +β β β
Semnul pentru ϕ este determinat de regula burghiului drept, când rotaţia are loc în
sensul pozitiv al axei (∆).
Fiind dată matricea de rotaţie, se pot determina cosinusurile directoare şi unghiul de
rotaţie:
11 22 33 1cos
2arc
α + α + α −ϕ = , (2.96)
( )r r23 32r r31 13r r12 21
1u
2 s
α − α = ⋅ α − α ⋅ ϕ α − α
. (2.97)
2.6. Mişcarea compusă a solidului rigid
2.6.1 Distribuţia vitezelor
Se consideră că se cunosc parametrii cinematici ai mişcării solidului rugid faţă de un
sistem mobil 1 1 1 1O x y z , precum şi parametrii cinematici ai mişcării acestui sistem de referinţă
în raport cu cel fix 0 0 0 0O x y z . Se consideră referenţialul triortogonal 2 2 2 2O x y z invariabil
legat de solidul rigid (fig.2.8).
Fig. 2.8. Mişcarea compusă a solidului rigid
Poziţia solidului rigid faţă de triedrul 1 1 1 1O x y z este dată prin coordonatele originii
( )2 21 21 21O x y z, , şi prin unghiurile lui Euler rrr ϕθψ şi , formate de axele
2 2 2 2 2 2O x O y şi O z, cu axele mobile 1 1 1 1 1 1O x O y , O z,
( ) ( )
ϕθψ
=λ
=
r
r
r
r
z
y
x
r ,
21
21
21
21 . (2.119)
Matricea de trecere de la sistemul 1 1 1 1O x y z , la sistemul 2 2 2 2O x y z este
[ ] [ ] r r r21 ra a a a aϕ θ ψ = = . (2.120)
Parametrii de poziţie ai triedrului mobil 1 1 1 1O x y z faţă de reperul fix 0 0 0 0O x y z , vor
fi coordonatele 10 10 10x y , z, ale originii 1O şi unghiurile lui Euler t t t , ,ψ θ ϕ care
formează matricele coloană:
( ) ( )
ϕθψ
=λ
=
t
t
t
t
z
y
x
r ;
10
10
10
10 , (2.121)
iar matricea transformării [ ] [ ]taa =10 are componentele date de relaţiile (2.108).
Poziţia punctului M faţă de referenţialul mobil 2 2 2 2O x y z este dată de componentele
vectorului de poziţie 2r , unde
( ) [ ] T
2 2 2 2r x y z= . (2.122)
Ştiind că (fig. 2.8)
( ) ( ) ( )1 21 2r r r= + , (2.123)
( ) ( ) ( )10 1r rρ = + , (2.124)
( ) [ ] ( ) ( )T
21 21 2 1r a r r+ = , (2.125)
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]21 10 r ta a a a a= =
se obţin proiecţiile vitezei punctului M pe axele sistemului legat 2 2 2 2O x y z :
( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( )M 21 10 10 21 21 21 10 1 21 2V a a r a r a r r= + + ω + ω& & . (2.126)
Folosind notaţiile:
[ ] [ ] [ ] [ ][ ] ( ) ( )[ ] ( ) ( )
10 t 21 r
10 10 10
21 21 21
a r V
a r V
, ,
,
,
ω = ω ω = ω
=
=
&
&
(2.127)
ecuaţia (2.126) capătă forma:
( ) [ ] ( ) [ ] ( ){ } ( ) [ ] ( ){ }M 21 10 t 1 21 r 2V a V r V r= + ω + + ω . (2.128)
2.6.2 Distribuţia acceleraţiilor
Pentru determinarea acceleraţiei punctului M, se derivează în raport cu timpul viteza
punctului M, obţinându-se
( ) ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] [ ]{ } ( )
[ ] [ ] ( ) [ ] [ ] [ ] [ ]{ } ( )
T T 2
10 10 21 10 10 10 1
T T T 2
10 10 1 10 21 21 21 2
r a r a r
2 a r a a r
ρ = + + ω + ω +
+ ω + ω + ω
&& && && &
& & ,(2.132)
Prin multiplicarea la stânga cu [ ] [ ] [ ]1021 aaa = , se obţine acceleraţia punctului M
dată prin proiecţiile sale pe axele sistemului legat 2 2 2 2O x y z :
( ) [ ] [ ] ( ) [ ] ( ) [ ] [ ] [ ]{ } ( )
[ ] [ ] ( ) [ ] [ ]{ } ( )
2M 21 10 10 21 21 21 10 10 1
221 10 1 21 21 2
a a a r a r a r
2 a r r ,
= + + ω + ω +
+ ω + ω + ω
&& && &
& &(2.133)
Revenind în sistemul fix, prin multiplicare la stânga cu [ ] [ ] [ ]T T T
10 21a a a= , se obţine
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]
T T
20 21 10 21 21 21 10 21 21
T T
21 21 10 21
a a a a
a a
ω = ω + ω + ω ω +
+ ω ω
& & &
.(2.135)
Pe baza relaţiilor (2.129) şi (2.134), se poate scrie
[ ] [ ] [ ] [ ] [ ]{ } [ ] [ ] [ ][ ] [ ] [ ] [ ]
2 2 T 2
20 20 21 10 10 21 21 21
T
21 10 21 21
a a
2 a a
ω + ω = ω + ω + ω + ω +
+ ω ω
& & &
,(2.136)
ceea ce permite scrierea acceleraţiei punctului M sub forma
( ) ( ) [ ] [ ]{ } ( )2
2 2
M o 20 20 2a a r ,= + ω + ω& (2.137)
atunci când se cunoaşte acceleraţia originii 2O a sistemului de referinţă legat de solidul rigid.
z x
c s c s s
R R R s c c c s
0 s c, ,
θ θ α θ α
θ α θ θ α θ α
α α
− ⋅ ⋅ = = ⋅ − ⋅
. (2.141)
Deoarece coloanele lui R sunt ortonormate, iar r31 = 0 rezultă că
2 2 2 211 21 32 33r r 1 r r 1,+ = + = . (2.142)
Relaţiile (2.142) conduc la valori unice pentru θ şi α astfel încât :
( ) ( )11 21r r c s, ,θ θ= şi ( ) ( )33 32r r c s, ,α α= . (2.143)
Odată gasite valorile lui θ şi α, este usor de verificat că elementele rămase din matricea
R corespund formei (2.141), folosind faptul că matricea R este o matrice de rotaţie.
Ceea ce s-a discutat anterior reprezintă semnificaţiile logice şi condiţiile necesare
aplicării formalismului Denavit-Hartenberg şi a alegerii parametrilor. În plus se pot desprinde
şi semnificaţii fizice ale parametrilor şi anume:
- a reprezintă distanţa dintre axele 0z şi 1z , măsurată de-a lungul lui 1x ,
- unghiul α este masurat într-un plan perpendicular pe 1x între axele 0z şi 1z ,
- parametrul d reprezintă distanţa între 0O şi intersectia lui 1x cu axa 0z măsurată
de-a lungul lui 0z ,
- unghiul θ reprezintă unghiul dintre 0x şi 1x măsurat într-un plan perpendicular pe
axa 0z .
Se poate arăta că pentru un sistem manipulator se pot alege întotdeauna sistemele de
coordonate 0, 1,..., n în aşa fel încât să se respecte cele două ipoteze Denavit-Hartenberg,
(DH1) şi (DH2), în condiţiile în care se acceptă posibilitatea că sistemul “i” să nu aparţine în
unele situaţii articulaţiei “i”.
2.7.2 A două metodă de alocare a sistemelor de coordonate conform
formalismului Denavit-Hartenberg
A două metodă de alocare a sistemelor de coordonate şi de stabilire a parametrilor
Denavit-Hartenberg este prezentată în fig.2.12:
Fig. 2.12. Alocarea sistemelor de coordonate
Regulile folosite sunt următoarele:
Sistemul de coordonate cu originea i 1O − se va plasa în articulaţia "i - 1". Primul
sistem de coordonate 0 0 0 0O x y z se stabileşte în baza sistemului de mişcare şi nu reflectă
prima tendinţă de mişcare. Sistemul de coordonate în jurul căruia se realizează prima mişcare,
de translaţie sau de rotaţie, este 1 1 1 1O x y z .
Axa i 1z − este axa de mişcare, adică se alege astfel încât mişcarea articulaţiei “i” să fie
de rotaţie în jurul axei i 1z − , sau de translaţie de-a lungul axei i 1z − . Cu această regulă se
stabilesc toate axele i 1z − din articulaţiile robotului.
Axa i 1x − se stabileşte de-a lungul perpendicularei comune între axele i 1z − şi iz .
Axa i 1y − se alege astfel încât să completeze sistemul cartezian de coordonate
i 1 i 1 i 1 i 1O x y z− − − − .
Parametrii Denavit-Hartenberg sunt daţi de următorul set de valori:
- unghiul iα de rotaţie în jurul axei i 1x − pentru a suprapune vectorul i 1z − peste
vectorul iz (paralela la iz dusa din i 1O − ).
- distanţa ib măsurată de-a lungul axei i 1x − , de la originea i 1O − până la punctul de
intersecţie dintre axele i 1x − şi iz .
- unghiul iθ de rotaţie în jurul axei iz pentru a suprapune vectorul i 1x − (paralela la
i 1x − dusă din iO peste vectorul ix .
- distanţa id măsurată de-a lungul axei iz , de la originea iO până la punctul de
intersecţie dintre axele i 1x − şi iz .
Matricea de transformare omogenă este :
i i i i i i i i
i i
i i i i
i i
ii x , x ,b z , z ,d
i
i
T T T T T
c sbc s s c
s c d
1 11
1 0 0 0 0 01 0 0 1 0 0 00 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0
0 0 0 0 1 0 0 0 10 0 1 00 0 0 1 0 0 0 10 0 0 0 0 0 0 1
− −− α θ
θ θ
α α θ θ
α α
= =
− − = ⋅ =
i i
i i i i i
i i i i i i
i
i i
i
c s 0 b
c s c c s d s
s s s c c d c
0 0 0 1
θ θ
α θ α θ α α
α θ α θ α α
−
− − = (2.147)
CAPITOLUL 3
CARACTERISTICI GENERALE ALE ANGRENAJELOR SI A
MECANISMELOR FOLOSITE IN CONSTRUCTIA ROBOTULUI 4R
CARACTERIZARE. CLASIFICARE. DOMENII DE FOLOSIRE
Angrenajul este mecanismul format din două roţi dinţate, care transmite - prin
intermediul dinţilor aflaţi succesiv şi continuu în contact (angrenare) - mişcarea de rotaţie şi
momentul de torsiune între cei doi arbori.
Angrenajele au o largă utilizare în transmisiile
mecanice, datorită avantajelor pe care le prezintă: raport de
transmitere constant; siguranta în exploatare; durabilitate
ridicată; randament ridicat; gabarit redus; posibilitatea
utilizării pentru un domeniu larg de puteri, viteze şi rapoarte
de transmitere. Ca dezavantaje, se pot menţiona: precizii mari
de execuţie şi montaj; tehnologie complicate zgomot şi
vibraţii în functionare.
Clasificarea angrenajelor se realizează
după cum urmează:
- după poziţia relativă a axelor de rotaţie: angrenaje cu axe paralele (fig. 3.1, a, b,d, e);
angrenaje cu axe concurente (fig.3.2); angrenaje cu axe încrucişate (fig.3.3);
Fig. 3.1
- după forma roţilor componente:
angrenaje cilindrice (fig.3.1, a, b, d, e);
angrenaje conice
(fig. 3.2); angrenaje hiperboloidale (elicoidale -
fig.3.3, a; melcate - fig.3.3, b; hipoide - fig.3.3, c);
în fig31.1, c este prezentat angrenajul roată- cremalieră;
- după tipul angrenarii : angrenaje exterioare (fig.1.1, a, d, e); angrenaje interiorare
(fig.1.1,b);
Fig 3.2 Fig. 3.3
- după direcţia dinţilor: angrenaje cu dantură dreaptă (fig.1.1, a, b şi 1.2, a); angrenaje
cu dantură înclinată (fig.1.1, d şi 1.2, b); angrenaje cu dantură curbă (fig.1.2, c şi 1.3, c);
angrenaje cu dantură în V (fig.1.1, e);
- după forma profilului dinţilor: profil evolventic; profil cicloidal; profil în arc de cerc;