1.3.2 函数极值与导数

知识回顾 :

如果在某个区间内恒有 , 则 为常数 .0)( xf )(xf

用“导数法” 求单调区间的步骤 :

注意：函数定义域

① 求 '( )f x

② 令 '( ) 0 ( )

'( ) 0 ( )

f x f x

f x f x

解不等式 的递增区间解不等式 的递减区间

③ 求单调区间

ao

h

t

' 0h a

h t问题：如图表示高台跳水运动员的高度 随时间

变化的函数 的图象 2( ) 4.9 6.5 10h t t t

单调递增 单调递减

0)( th 0 )(th

a

at

at

归纳 : 函数 在点 处 , 在 的附近 ,

当 时 , 函数 h(t) 单调递增， ;

当 时 , 函数 h(t) 单调递减 , 。

( )h t t a0)( ah

0)( th

0)( th

y

xa ob y f x

（ 3 ）在点 附近 , 的导数的符号有 什么规律 ?

,a b y f x

（ 1 ）函数 在点 的函数值与这些点 附近的函数值有什么关系 ?

y f x ,a b

（ 2 ）函数 在点 的导数值是多少 ? y f x ,a b

( 图一 )问题：

0)( xf0)( xf 0)( xf

0)( af

0)( bf

x

y

y f x

o hgfe

dc( 图二 )

y

xa ob y f x

( 图一 )

0)( xf0)( xf 0)( xf

0)( af

0)( bf

x

y

y f x

o hgfe

dc( 图二 )

极大值 f(b)

点 a 为函数 y=f(x) 的极小值点， f(a) 叫做函数 y=f(x) 的极小值 .

点 b 为函数 y=f(x) 的极大值点， f(b) 叫做函数 y=f(x) 的极大值 .

极小值点、极大值点统称极值点，极大值和极小值统称为极值 .

极小值 f(a)

思考：极大值一定大于极小值吗？

y f x

6x5x4x3x

2x1xa b x

y

（ 1 ）如图是函数 的图象 ,试找出函数 的极值点 ,并指出哪些是极大值点 ,哪些是极小值点？

o

（ 2 ）如果把函数图象改为导函数 的图象 ? 'y f x

y f x

y f x

答：

'y f x

1 、 x1,x3,x5,x6 是函数 y=f(x) 的极值点，其中 x1,x5 是函数 y=f(x) 的极大值点， x3,x6 函数 y=f(x) 的极小值点。2 、 x2,x4 是函数 y=f(x) 的极值点 , 其中 x2 是函数 y=f(x)

的极大值点， x4 是函数 y=f(x) 的极小值点。

下面分两种情况讨论 : （ 1 ）当 ，即 x ＞ 2, 或 x ＜ -2 时 ;

（ 2 ）当 ，即 -2 ＜ x ＜ 2 时。

例 4 ：求函数 的极值 . 314 4

3f x x x

314 4

3f x x x

' 2 4 2 2f x x x x

' 0f x

' 0,f x

解 :∵∴

' 0f x

当 x 变化时， 的变化情况如下表： ' ,f x f x

x 'f x

f x

, 2 2,2 2,

28

3

4

3

∴当 x=-2时 , f(x)的极大值为 28

( 2)3

f

42

3f

令 解得 x=2, 或 x=-2.

00

22

单调递增 单调递增单调递减

当 x=2 时 , f(x) 的极小值为

22

探索 : x =0 是否为函数 f(x)=x3 的极值点 ?

x

y

O

f (x)x3

若寻找可导函数极值点 , 可否只由 f(x)=0 求得即可 ?

f(x)=3x2 当 f(x)=0 时， x =0 ，而 x =0 不是该函数的极值点 .

f(x0) =0 x0 是可导函数 f(x) 的极值点

x0 左右侧导数异号 x0 是函数 f(x) 的极值点 f(x0) =0

注意： f /(x0)=0 是函数取得极值的必要不充分条件

（ 2 ）如果在 附近的左侧 ，右侧 ， 那么 是极小值

归纳：求函数 y=f(x)极值的方法是 :

（ 1 ）如果在 附近的左侧 ，右侧 ， 那么 是极大值；

解方程 ， 当 时：

' 0f x 0f x

' 0f x

0x

'0 0f x

0f x

0x ' 0f x ' 0f x

' 0f x

练习： 下列结论中正确的是（ ）。 A 、导数为零的点一定是极值点。 B 、如果在 x0 附近的左侧 f'(x)>0, 右侧 f'(x)<0, 那么 f(x0) 是极大值。 C 、如果在 x0 附近的左侧 f'(x)<0, 右侧 f'(x)>0, 那么 f(x0) 是极大值。 Ｄ、极大值一定大于极小值。

B 3f x x

0

x

y

( 最好通过列表法 )

巩固练习：求函数 的极值 33f x x x

x

'f x

f x

, 1 1,1 1,

2

00

11

单调递增 单调递减单调递减

当 时 , 有极大值，并且极大值为

2

)(xf

)(xf∴ 当 时 , 有极小值，并且极小值为

2.2.1x

1x

x

解 :∵ ∴ 令 ，得 ，或 下面分两种情况讨论：（ 1 ）当 ，即 时；（ 2 ）当 ，即 ，或 时。当 变化时， 的变化情况如下表：

33f x x x

' 0f x

' 23 3f x x ' 23 3 0f x x 1x 1.x

' 0f x 1 1x

1x 1x ' ,f x f x

思考：已知函数 在 处取得极值。

（ 1 ）求函数 的解析式（ 2 ）求函数 的单调区间

3 2 2f x ax bx x 2, 1x x

f x f x

f x

f x

解：（ 1 ）

∵ 在 取得极值 ,∴

即 解得

∴

（ 2 ） ∵ ， 由 得

∴ 的单调增区间为

由 得

的单调减区间为

' 23 2 2f x ax bx

f x 2, 1x x 12 4 2 0

3 2 2 0

a b

a b

1 1,

3 2a b

3 21 12

3 2f x x x x

' 2 2f x x x ' 0f x 1 2x x 或

' 0f x 2 1x )1,2(

, 2 1, 或

0)1(,0)2( ff

函数 在 时有极值 10，则 a， b的值 为（ ）

A 、 或B 、 或C 、 D 、以上都不对

223)( abxaxxxf 1x

3,3 ba 11,4 ba1,4 ba 11,4 ba

11,4 ba

C

，

解 :由题设条件得：

0)1(

10)1(/f

f

023

101 2

ba

aba

解之得

11

4

3

3

b

a

b

a或

注意： f/(x0)=0 是函数取得极值的必要不充分条件

注意代入检验

课堂小结 :

一、方法 : (1) 确定函数的定义域(2) 求导数 f'(x)

(3) 求方程 f'(x) =0 的全部解(4) 检查 f'(x) 在 f'(x) =0 的根左 . 右两边值的符号 , 如果左正右负 ( 或左负右正 ), 那么 f(x) 在这个根取得极大值或极小值二、通过本节课使我们学会了应用数形结合法去求函数的极值，并能应用函数的极值解决函数的一些问题 作业： P32 5 ① ④

今天我们学习函数的极值 , 并利用导数求函数的极值

ab

x

y )(xfy

O

ab

x

y )(xfy

O

（ 2006年天津卷 ) 函数 的定义域为开区间)(xf

导函数 在 内的图像如图所示，则函数 在开区间 内有（ ）个极小值点。

A.1 B.2 C.3 D. 4

)(xf

),( ba

),( ba),( ba

)(xfA

f(x) <0 f(x) >0

f(x) =0

注意：数形结合以及原函数与导函数图像的区别