A08138

ARACNE

Analisi di Travature Elastiche

Metodi e Applicazioni

Antonio Domenico Lanzo

Supporti didatticiper i corsi di Scienza delle Costruzioni

Copyright © MMVIIARACNE editrice S.r.l.

www.aracneeditrice.itinfo@aracneeditrice.it

via Raffaele Garofalo, 133 A/B00173 Roma

(06) 93781065

ISBN 978–88–548–1162–1

I diritti di traduzione, di memorizzazione elettronica,di riproduzione e di adattamento anche parziale,

con qualsiasi mezzo, sono riservati per tutti i Paesi.

Non sono assolutamente consentite le fotocopiesenza il permesso scritto dell’Editore.

I edizione: maggio 2007

ai miei figli Domenico, Lucia e Ugo

Indice

Prefazione ix

1 Richiami di statica e di meccanica lagrangiana 11.1 Nozione di Forza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2 Il Principio dei Lavori Virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.3 Dualita tra aspetto statico e cinematico . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Equilibrio di corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.5 Il modello di corpo rigido . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6 Vincoli cinematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121.7 Reazioni vincolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.8 Sistemi isostatici, iperstatici e labili . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.8.1 Caratterizzazione cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . 231.8.2 Caratterizzazione statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 261.8.3 Dualita statico-cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

1.9 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 311.10 Sistemi isostatici, iperstatici e labili (continuazione) . . . . . . . . 371.11 Calcolo delle reazioni vincolari in sistemi isostatici . . . . . . . . 431.12 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 471.13 Calcolo delle reazioni vincolari mediante il PLV . . . . . . . . . . 521.14 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

2 Statica delle travature 552.1 Travi e travature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 552.2 Carichi concentrati e ripartiti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 562.3 Le caratteristiche di sollecitazione . . . . . . . . . . . . . . . . . 602.4 Diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione . . . . . . . . . . 662.5 Equazioni indefinite di equilibrio . . . . . . . . . . . . . . . . . . 722.6 Costruzione diretta dei diagrammi (N,T,M) . . . . . . . . . . . . 742.7 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 782.8 I sistemi chiusi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1052.9 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1092.10 Le travature reticolari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1312.11 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1342.12 Applicazioni suggerite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

3 Analisi della deformazione di sistemi di travi 1573.1 Modelli di trave (teoria del Io ordine) . . . . . . . . . . . . . . . . 157

3.1.1 Descrizione statica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1583.1.2 L’equazione dei lavori virtuali per la trave . . . . . . . . . 1593.1.3 Descrizione cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1613.1.4 Il legame costitutivo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

3.2 Elementi a deformabilita concentrata (molle) . . . . . . . . . . . 1673.3 Il problema elasto-statico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1693.4 Il principio dei lavori virtuali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1713.5 Formulazioni variazionali del problema elasto-statico . . . . . . . 172

3.5.1 Il principio di minimo della energia potenziale totale . . . 1733.5.2 Il principio di minimo della energia complementare totale 174

3.6 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1753.7 Alcune notazioni per le strutture intelaiate . . . . . . . . . . . . . 1803.8 Risoluzione cinematica di strutture isostatiche . . . . . . . . . . . 1813.9 Calcolo spostamenti mediante il P.L.V. . . . . . . . . . . . . . . . 1853.10 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1883.11 Osservazione sul calcolo degli integrali . . . . . . . . . . . . . . 1903.12 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193

4 Sistemi iperstatici di travi : il metodo delle forze 2034.1 Rappresentazione statica di strutture iperstatiche . . . . . . . . . . 2034.2 Le equazioni di congruenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2074.3 Il metodo delle forze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 211

4.3.1 Gli schemi statici di calcolo . . . . . . . . . . . . . . . . 2114.3.2 Le condizioni di congruenza . . . . . . . . . . . . . . . . 2124.3.3 I passi dell’analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215

4.4 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2164.5 Calcolo spostamenti in strutture iperstatiche . . . . . . . . . . . . 2224.6 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2234.7 Distorsioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2874.8 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2904.9 Distorsioni termiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2944.10 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2954.11 Applicazioni suggerite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299

5 Il metodo delle rigidezze 3055.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3055.2 Analisi locale: il problema della linea elastica . . . . . . . . . . . 3075.3 I coefficienti di rigidezza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3125.4 Matrice di rigidezza per la trave . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3185.5 Livello globale di analisi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 321

5.5.1 Congruenza cinematica dei nodi . . . . . . . . . . . . . . 3225.5.2 Equilibrio dei nodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 325

5.6 Il metodo delle rigidezze . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3285.7 Formulazione energetica del metodo delle rigidezze . . . . . . . . 330

vi

5.8 Aspettioperativi ed osservazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3335.9 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3365.10 Il vincolo di inestensibilita assiale . . . . . . . . . . . . . . . . . 3395.11 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3425.12 La soluzione di incastro perfetto . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3805.13 Applicazioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3855.14 Applicazioni suggerite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424

A Appendice: analisi automatica di travature elastiche 429A.1 Analisi matriciale delle strutture . . . . . . . . . . . . . . . . . . 429A.2 Strategie numeriche di soluzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 431A.3 Gestione delle condizioni di vincolo/cedimento . . . . . . . . . . 432A.4 Il codice di analisi automatica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433

A.4.1 Lo schema del codice . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433A.4.2 Dati e variabili . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433A.4.3 Organizzazione delle variabili . . . . . . . . . . . . . . . 434A.4.4 Il listato del codiceframe.pas (linguaggio Pascal) . . . 435A.4.5 Esempi di file di input e output . . . . . . . . . . . . . . . 443

B Appendice: alcuni concetti di calcolo delle variazioni 447B.1 Variazione di una funzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 447B.2 Funzionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 448B.3 Variazione di un funzionale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 449B.4 Condizione di estremo di un funzionale . . . . . . . . . . . . . . 449B.5 Lemma fondamentale del calcolo delle variazioni . . . . . . . . . 450

Questionario 451

Bibliografia essenziale 453

vii

viii

Prefazione

Con l’attuazionedella riforma didattica dell’Universita, i corsi tradizionali diScienza delle Costruzioni nell’ambito delle Facolta di Ingegneria e Architetturahanno subito una profonda trasformazione e differenziazione in funzione dellevarie sedi e dei vari orientamenti di laurea. Esigenze di trasparenza e comuni-cazione hanno portato a organizzare i contenuti della materia in moduli didattici,variamente combinati nelle proposte didattiche dei differenti atenei. L’obbiettivodi questo libroe di fornire un valido supporto didattico ad uno dei piu tradizio-nali moduli di Scienza delle Costruzioni, legato ai temi dell’analisi elastica dellestrutture intelaiate. Questa specificita tematica rende il testo compatibile con ledifferenti organizzazione didattiche dei corsi di Scienza delle Costruzioni, e quin-di idoneo per un piu vasta diffusione presso diverse sedi e per i differenti corsi dilaurea di Ingegneria ed Architettura.

Il testo e rivolto a studenti gia in possesso delle conoscenze di base dellaScienza delle Costruzioni e che, in particolare, abbiano familiarita con la formu-lazione del problema elasto-statico e con le tematiche legate al principio dei lavorivirtuali e ai principi variazionali di minimo della energia potenziale totale e di mi-nimo della energia complementare totale. Il testo vuole costituire una chiara edesauriente esposizione delle principali metodologie di analisi delle strutture ela-stica intelaiate (telai e travature reticolari), in una visione unificata e facendo usodi in un approccio moderno e sintetico basato sulle formulazioni variazionali deiprincipi energetici di minimo citati. Nel testo tuttavia sono privilegiate le esigen-ze didattiche degli studenti. Il libro quindi, pur essendo autocontenuto nei temitrattati, preceduti e inquadrati da una larga introduzione teorica,e ricco di appli-cazioni ed esempi che accompagnano e aiutano lo studente nell’apprendimentodella materia, stimolandolo, con osservazioni e commenti ampiamente diffusi, adun approfondimento degli argomenti affrontati. Tale ricchezza di applicazioni rap-presenta la peculiarita del presente testo, differenziandolo dai tanti testi e trattati,pur lodevoli, presenti in letteratura.

Il testoe organizzato nelle seguenti parti. Dopo una rapida presentazione deifondamenti della meccanica dei corpi rigidi (capitolo 1), il lavoro focalizza l’at-tenzione nell’analisi statica di sistemi isostatici di travi (capitolo 2). Nel caso deisistemi elastici, la risoluzione cinematica di tali strutturee sviluppata determinan-do i valori di spostamento nei punti piu significativi mediante l’utilizzazione delPrincipio dei Lavori Virtuali (capitolo 3).

Nei capitoli successivi sono presentati e sviluppati gli argomenti principalidi questo lavoro, cioe il metodo delle forze(capitolo 4) e ilmetodo delle rigi-dezze(capitolo 5) per l’analisi dei sistemi elastici iperstatici di travi. L’uso delle

eleganti e sintetiche formulazioni integrali e variazionali consente di ricondurre apoche metodologie generali di analisi quei tanti metodi particolari che popolano itradizionali testi di esercitazioni di Scienza delle Costruzioni.

Nel presentare il metodo delle rigidezzee fatto uso di una scrittura in terminimatriciali volta a sottolineare la facilita di implementazione in codici di calcoloautomatico. In un’epoca regolata dalla sempre piu diffusa disponibilita di risorsedi calcolo elettronico, un testo che propone e sviluppa le principali metodologie dianalisi delle travature elastiche non puo fare a meno di richiamare, seppur breve-mente e senza pretesa di essere esauriente e completo, i termini di una strategia dianalisi computazionale di tipo automatico delle travature: cio e fatto in appendiceal presente testo. Qui lo studente curioso e attento a tali tematiche trovera pu-re riportato il listato completo del programmaframe.pas per l’analisi di telaipiani.

Nello spirito che anima il presente lavoro, un breve questionario didattico diverifica e valutazione finale dei temi trattatie riportato infine in coda al testo.

Voglio scusarmi con i lettori per le eventuali imprecisioni ed errori presentiin questa edizione del lavoro, ringraziando in anticipo tutti coloro che vorrannosegnalarmeli. Desidero ringraziare infine il prof. Raffaele Casciaro, cui sonodebitore per gli stimoli culturali e i suggerimenti forniti nella stesura di questolavoro.

Antonio D. Lanzo

Potenza, marzo 2007

x

1Richiami di statica

e di meccanica lagrangiana

1.1 Nozione di Forza

“La nozione fisica di forza, come quella di moto, corpo, etc., ha un caratterevago e suggestivo; conviene considerare questa nozione comeprimitiva e nontentarne quindi una definizione. Quando della forza si costruisce unmodellomatematico, occorre per converso definire con estrema precisione gli entimatematici descrittori di questa grandezza” (1)

Dal punto di vista matematico la forzae un vettore applicato(f , P ) costituita da

• il vettoref , che riassume la specificazione di modulo, direzione e verso dellaforza;

• il puntoP che precisa il punto di applicazione della forza e quindi, insieme conf , la sua retta di azione

Si definiscemomentodi una forza(f , P ) rispetto a un puntoQ (dettopolo) esi indica con

mQ =→

QP ×f

il vettore che deriva dal prodotto vettoria-

le, nell’ordine, del segmento orientato→

QPe del vettoref . Il vettore mQ e pertan-to perpendicolare al piano individuato dai

due vettori→

QP e f . Esso none un vettoreapplicato.

Un sistemadi forzee un insieme di forze

{(fi, Pi), i = 1, . . . , n}

1Rif.: P. Podio Guidugli,Appunti di Scienza delle Costruzioni, A.A. 1976-77, Facolta diIngegneria, Universita di Ancona, Ancona

2 Capitolo 1

Si definiscerisultantedi un sistema di forze il vettore

r =n∑

i=1

fi

Si definiscemomento risultanterispetto al poloQ di un sistema di forze il vettore

mQ =n∑

i=1

→QPi ×fi

Il risultante e il momento risultante non sono vettori applicati.

↪→ ⇀

E facile ricavare la legge di variazione del momento di un sistema di forze al variaredel polo. Consideriamo infatti due puntiQ e R e valutiamo rispetto ad essi il momentodel sistema delle forzefi applicate ai puntiPi:

mQ =n∑

i=1

→QPi ×fi , mR =

n∑

i=1

→RPi ×fi

Sostituendo la relazione tra i vettori→

QPi e→

RPi

→RPi=

→RQ +

→QPi

si ottiene:

mR =n∑

i=1

( →RQ +

→QPi

)× fi =

n∑

i=1

→RQ ×fi +

n∑

i=1

→QPi ×fi =

=→

RQ ×n∑

i=1

fi +n∑

i=1

→QPi ×fi =

→RQ ×r + mQ

In sintesi:

mR = mQ+→

RQ ×r (1.1)

←↩ ⇀

Due sistemi di forze si diconoequivalentiquando hanno lo stesso risultantee lo stesso momento risultante rispetto a un puntoQ (e quindi si dimostra, sullabase della (1.1), rispetto a tutti i punti).

Quei particolari sistemi di forze che hanno risultanter = 0 e momento risul-tantemQ = c 6= 0 sono noti con il nome dicoppie. Nel caso di una coppia, sidimostra che il vettore momentoe indipendente dal polo scelto per la sua rappre-

Richiami di statica e di meccanica lagrangiana 3

sentazione.Unacoppiac puo rappresentarsi in infinitimodi come un sistema equivalente di dueforze uguali e contrarief e−f giacenti inun piano perpendicolare ac con rette diazione distantid, purche valga

|c| = |f | dc none un vettore applicato.

Un sistemadi forze e coppie

{(fi, Pi), i = 1, . . . , n; cj , j = 1, . . . ,m}si dice piano se le forze e le coppie appartengono ad un piano, cioe se le forze sonorappresentate da vettori appartenenti a tale piano e le coppie sono rappresentatida vettori normale al piano (e quindi equivalenti a sistemi di due forze uguali econtrarie appartenenti al piano). Per un sistema di forze e coppie sono definiti iseguenti risultanti e momenti risultanti

r =n∑

i=1

fi , mQ =n∑

i=1

→QPi ×fi +

m∑

j=1

cj

1.2 Formulazione lagrangiana dell’equilibrio:il Principio dei Lavori Virtuali

L’equazione di equilibrio statico di un punto materialee espressa dall’annullarsidel risultantef delle forze esterne applicate al punto

f = 0 (1.2)

Per le proprieta algebriche del prodotto scalare tra vettori, questae del tuttoequivalente ad assumere l’annullarsi del prodotto scalare

δutf = 0 , ∀δu (1.3)

per ogni generico vettoreδu dello spazio. Il vettoreδu e detto moltiplicatorelagrangiano, mentre la (1.3) rappresenta la formulazione lagrangiana della condi-zione di equilibrio (1.2).

Per un sistema din punti materiali le condizioni di equilibrio devono valereper ognuno dei punti del sistema, cioe

fi = 0 , (i = 1, . . . , n) (1.4)

avendo indicato confi il risultante delle forze esterne applicate all’i-esimo pun-to. Facendo uso dell’operazione di prodotto scalare tra vettori, le equazioni (1.4)

4 Capitolo 1

possonoessereespresse in una forma alternativa, del tutto equivalente, ricorrendoalla tecnica dei moltiplicatori lagrangiani:

n∑

i=1

δutifi = 0 , ∀δui , (i = 1, . . . , n) (1.5)

In forma compatta, possiamo ancora scrivere:

f = 0 (1.6)

δutf = 0 , ∀δu (1.7)

dove adessof e il vettore di3 × n componenti che raccoglie i singoli vettorifi,mentre il vettoreδu di dimensione3× n assembla glin vettori δui

f =

f1f2...fn

, δu =

δu1

δu2...

δun

(1.8)

↪→ ⇀

L’equivalenza tra le (1.4),(1.6) e le (1.5)(1.7)e facilmente dimostrabile. Dovendoinfatti valere l’equazione (1.6) per qualsiasi insieme di valori dei moltiplicatoriδu, essavarra per i tre insiemi particolari

δuk = [1, 0, 0]t, δui = 0 ∀i 6= k

δuk = [0, 1, 0]t, δui = 0 ∀i 6= k

δuk = [0, 0, 1]t, δui = 0 ∀i 6= k

La scrittura della (1.5) per ognuno di tali insiemi, produce le tre equazioni di equilibriodel generico punto materialek.←↩ ⇀

I vettori δui, introdotti come generici moltiplicatori lagrangiani, possono es-sere interpretati come spostamenti infinitesimi possibili (o virtuali) dei punti delsistema (2). La (1.5-1.7) assume quindi il significato dell’annullarsi di un lavoroincrementale. Si parla di equazione deilavori virtuali se si considera di ricavarela (1.5-1.7) a partire dalla (1.4-1.6). Si parla diPrincipio dei lavori virtuali sesi considera di partire direttamente dalla (1.5-1.7) e di ottenere la (1.4-1.6) comeconseguenza.

2Il vettoreδui che assembla nella (1.8) gli spostamenti infinitesimi dei punti del sistema risultadel tipo

u δt

cioe associato, per un incremento infinitesimoδt del parametro temporale, ad un atto di motou (levelocita istantanee) del sistema. Nel seguito pertanto faremo uso anche del termine atto di moto perriferirci agli spostamenti infinitesimi del sistema.

Richiami di statica e di meccanica lagrangiana 5

1.3 Dualit a tra aspetto statico e cinematico

L’equazione dei lavori virtuali crea una stretta corrispondenza tra la rappresenta-zione statica (il sistema delle forze) e la rappresentazione cinematica di un sistemamateriale (gli spostamenti infinitesimi dei suoi punti). Questae evidente dalla so-miglianza formale con cui sono definiti in (1.8) il vettore delle forzef e il vettoredegli spostamentiδu.

Nella (1.5-1.7) ci si puo riferire, invece che alla singole componenti di spo-stamento di ciascun punto materiale, amodi lagrangiani, cioe generiche combi-nazioni indipendenti delle componenti di spostamento.

↪→ ⇀

EsempioSupponiamo di avere due punti nel piano; la loro cinematicae rappresentata dalle com-ponenti di spostamento(u1, u2, u3, u4) dei due punti nel sistema di riferimento.

Siano tali componenti ordinatenel vettore

u =

u1

u2

u3

u4

(1.9)

A volte tale tipo di rappresentazione cinematica del sistema puo risultare scomoda,mentre si presenta piu utile una rappresentazione diversa che ci permetta di caratterizzaredirettamente sia traslazioni verticaliq1, traslazioni orizzontaliq2 e rotazioniq3 d’in-sieme, che avvicinamenti o allontanamenti relativiq4 dei due punti del sistema (vedifigura 1.1). Questi sono detti modi lagrangiani del sistema e, nella definizione (1.9), sonodescritti dai seguenti vettori:

q1 = q1

0101

, q2 = q2

1010

, q3 = q3

0−1

01

, q4 = q4

−1

010

La cinematica complessiva del sistema risultera una combinazione lineare di tali mo-di. Cio definisce una nuova rappresentazione cinematica del sistema in funzione deiparametri lagrangiani (q1, q2, q3, q4):

u1

u2

u3

u4

= q1

0101

+ q2

1010

+ q3

0−101

+ q4

−1010

=

0 1 0 −11 0 −1 00 1 0 11 0 1 0

q1

q2

q3

q4

La equivalenza tra le due rappresentazioni cinematiche del sistema determina il seguentelegame lineare tra i vettoriu eq che raggruppano i relativi parametri

u =

u1

u2

u3

u4

=

0 1 0 −11 0 −1 00 1 0 11 0 1 0

q1

q2

q3

q4

= Dq

6 Capitolo 1

Si osserviin questa che le colonne della matrice raggruppano in modo ordinato i vettoricolonna{v1,v2,v3,v4} rappresentativi della forma dei 4 modi lagrangiani considerati{q1,q2,q3,q4}.

Figura 1.1 Modi lagrangiani Figura 1.2 Componenti statiche duali

←↩ ⇀

In generale, un cambiamento di rappresentazione cinematica secondo gene-rici modi lagrangiani puo essere posto nella forma

u =3n∑

i=1

qivi = [v1,v2, . . . ,v3n]

q1

q2...q3n

= Dq (1.10)

dove{v1,v2, . . . ,v3n} (la forma dei modi) sono vettori indipendenti di dimen-sione3n raggruppati come colonne nella matriceD mentre{q1, q2, . . . , q3n} sonocoefficienti generici raggruppati nel vettoreq.

Le quantita {q1, q2, . . . , q3n} possono essere assunte quali nuove coordinareindipendenti (dettecoordinate lagrangiane) atte ad individuare, tramite la (1.10),la configurazione del sistema di punti. Le componenti di spostamentou possonoessere considerate anche esse come componenti lagrangiane del sistema di punti(corrispondono in particolare al caso in cuiD sia la matrice identita).

Ad un cambiamento di rappresentazione cinematica del sistema materialecorrisponde un cambiamento di rappresentazione del sistema delle forze. La

Richiami di statica e di meccanica lagrangiana 7

(1.5-1.7)puo essere infatti trasformata nella

δqtDtf = 0 , ∀δq (1.11)

o anche nellaδqjQj = 0 , ∀δqj , j = 1, . . . , 3n (1.12)

doveQj indica laj-esima componente del vettoreQ = Dtf ; essa rappresenta lacomponente lagrangiana delle forze agenti associata (dall’uguaglianza dei lavorivirtuali) alla componenti di spostamentoqj . Per ogni rappresentazione cinematicaesiste una corrispondente rappresentazione statica e viceversa.E questa la dualitastatico-cinematica definita dal principio dei lavori virtuali: descrivendo un aspet-to (statico o cinematico) del fenomeno, l’altro aspetto risulta immediatamentedeterminato.

↪→ ⇀

Nel caso di due punti nel piano, consideriamo il sistema di forze applicate{(fA, A),(fB , B)}. Le componenti delle due forze lungo gli assi di riferimento(f1, f2, f3, f4) defi-nisce la rappresentazione statica duale della rappresentazione cinematica fornita dai para-metri(u1, u2, u3, u4). Alla rappresentazione cinematica data dai parametri(q1, q2, q3, q4)e invece associata la seguente rappresentazione statica

Q1

Q2

Q3

Q4

=

0 1 0 −11 0 −1 00 1 0 11 0 1 0

t

f1

f2

f3

f4

⇔

Q1 = f2 + f4

Q2 = f1 + f3

Q3 = f4 − f2

Q4 = f3 − f1

dove(Q1, Q2) sono le due componenti (verticale e orizzontale) del risultante del sistemadelle forze,Q3 una coppia antioraria eQ4 una forza di repulsione tra i due punti (vedifigura 1.2).←↩ ⇀

La formulazione lagrangiana (1.11-1.12) fornisce naturalmente le equazionidi equilibrio nelle componenti lagrangiane delle forze agenti.

Q = 0 ⇔ Qj = 0 , (j = 1, . . . , 3n) (1.13)

E importante osservare che se per la presenza di vincoli, la cinematica delsistema secondo alcuni modie impedita, il problema puo essere semplificato allostudio dell’equilibrio sui soli modi lagrangiani significativi. Supponiamo infattiche sia vincolata la cinematica secondo ilk-esimo modo, risultera nulla lak-esimacoordinata lagrangianaδqk = 0. Pertanto la equazione lagrangiana di equilibrioeequivalente alla (1.13) solo perj 6= k, mentre l’equilibrio risultera sempre verifi-cato per qualsiasi valore dellak-esima componente lagrangiana del sistema delleforze (essendo sempre compensato dalla relativa reazione del vincolo). In pratica,in presenza di vincoli cinematici nei modi del sistema, solo alcune delle equazionidi equilibrio (1.13) sono prese in considerazione.

8 Capitolo 1

Cio sottolineache la corrispondenza, in senso lagrangiano o nel senso deilavori virtuali, tra le componenti di spostamentoqj e le componenti di forzaQj estrettissima. Tener conto o non tener conto di una componenteqj (o Qj) implicache si debba, rispettivamente, tener conto o non tener conto della componente adessa associataQj (o qj)

1.4 Equilibrio di corpo rigido

Un esempio particolarmente interessante delle considerazioni precedentie il casoin cui alcuni dei modi lagrangiani rappresentano atti di moto rigido del sistema.Ricordiamo che in un atto di moto rigido di un sistema di punti, gli spostamentiui dei punti sono rappresentati secondo la

ui = uo + ϕ×→

OPi (1.14)

ed e pertanto descritto dalle tre componenti scalari (uo1, u

o2, u

o3) del vettore della

traslazione istantaneauo = uo1e1 + uo

2e2 + uo3e3 di un puntoO dettopolo del-

la rappresentazione, e dalle tre componenti scalari (ϕ1, ϕ2, ϕ3) del vettore dellarotazione istantaneaϕ = ϕ1e1 + ϕ2e2 + ϕ3e3 attorno al puntoO.

A partire da tale rappresentazione e facendo uso dell’equazione dei lavori vir-tuali (1.5-1.7),e facile ricavare le espressioni delle componenti lagrangiane del si-stema di forze corrispondenti ai parametri lagrangianiq ≡ [uo

1, uo2, u

o3, ϕ1, ϕ2, ϕ3]t

rappresentativi di atti di moto rigido. Si ha infatti, ricordando la proprieta com-mutativa del prodotto misto:

δutf =n∑

i=1

δutifi =

n∑

i=1

(δuo + δϕ×→

OPi)tfi

= δuto(

n∑

i=1

fi) +n∑

i=1

(δϕ×→

OPi)tfi = δuto(

n∑

i=1

fi) + δϕt(n∑

i=1

→OPi ×fi)

= δutor + δϕtmo =

[δuo

δϕ

]t [r

mo

]= δqtQ

Si riconosce quindi che le componenti lagrangiane del sistema delle forze asso-ciate ad atti di moto rigidi (1.14) sono date dalle componenti del relativo risultantee momento risultante (rispetto al puntoO)

Q =[

rmo

]; r =

n∑

i=1

fi , mo =n∑

i=1

→OPi ×fi

dove il risultanter e il duale del (nel senso che compie lavoro sul) vettore dellatraslazione istantaneaδuo, mentre il momento risultantemo e il duale del vettoredella rotazione istantaneaδϕ.

Richiami di statica e di meccanica lagrangiana 9

Essendol’equilibrio espresso dal principio dei lavori virtuali

δutf = 0 , ∀δu

risultera per la precedente uguaglianza anche

δqtQ = 0 , ∀δq

equivalente aller = 0 , mo = 0 (1.15)

Pertanto le equazioni di equilibrio associate ad atti di moto rigido (1.14) sono defi-nite solo dall’annullarsi dei vettori(r,mo) del risultante e del momento risultantedel sistema delle forze agenti, cioe dalle condizioni di equivalenza a zero di talesistema delle forze. Le equazioni (1.15) sono dette diequilibrio di corpo rigidooancheequazioni cardinali della statica.

1.5 Il modello di corpo rigido

Si chiamanorigidi i moti di un sistema materiale durante i quali si mantengo-no inalterate le mutue distanze di tutti i punti che lo costituiscono. Un sistemamateriale suscettibile solo di moti rigidie dettocorpo rigido. (3)

In particolare un corpo rigidoe suscettibile solo di atti di moto rigidi, cioe glispostamenti istantaneiup di un suo generico puntoP sono sempre riconducibilialla composizione di un atto di moto traslatorio, descritto dallo spostamentouo

di un generico puntoO del sistema, e di un atto di moto rotatorioϕ×→

OP delsistema attorno aO

up = uo + ϕ×→

OP

= uo1e1 + uo

2e2 + uo3e3

+(ϕ1e1 + ϕ2e2 + ϕ3e3)× (∆x1e1 + ∆x2e2 + ∆x3e3)

L’atto di moto rigidoe rappresentato pertanto dai sei parametri scalari (uo1, u

o2, u

o3,

ϕ1, ϕ2, ϕ3).Diciamo piano un sistema per il quale gli spostamenti dei suoi punti appar-

tengano ad un particolare piano. Con riferimento al pianox1 x2, per un cor-po rigido piano i suoi atti di moto sono descritti da un vettore della traslazioneuo = uo

1e1 + uo2e2 appartenente al piano del problema, e da un vettore rotazione

3Senzascapitodi generalita, il corpo a cui nel seguito faremo riferimento nelle nostre esempli-ficazioni avra la forma geometrica di trave, cioe riconducibile alla forma della sua linea d’asse. Nelsuccessivo capitolo ritorneremo in modo piu puntuale nella definizione di questi concetti.

10 Capitolo 1

ϕ = ϕe3 normaleal piano (cioe tale che lo spostamento associato all’atto di moto

rotatorioϕ×→

OP avvenga nel piano). Risulta infatti:

up = uo + ϕ×→

OP= uo1e1 + uo

2e2 + (ϕe3)× (∆x1e1 + ∆x2e2)= {uo

1 − ϕ∆x2} e1 + {uo2 + ϕ∆x1} e2

L’atto di moto di un corpo rigido pianoe descritto pertanto dai tre parametri scalari(uo

1, uo2, ϕ). E interessante osservare (vedi fig.1.3) che una rotazione rigida infini-

tesima piana attorno al puntoO produce nei puntiP del sistema uno spostamentoappartenente al piano e normale alla retta congiungenteOP . Il modulo di talespostamento dipende linearmente dall’entitaϕ della rotazione ede proporzionalealla distanza∆s dei due punti essendo:

|ϕ×→

OP | = |(ϕe3)× (∆x1e1 + ∆x2e2)|= | {−ϕ∆x2} e1 + {ϕ∆x1} e2| = ϕ

√(∆x1)2 + (∆x2)2 = ϕ∆s

Figura 1.3 Moti rigidi piani infinitesimi

Diciamo gradi di liberta di un sistema materiale il numero di parametri la-grangiani che ne determinano la cinematica. Per un corpo rigido nello spaziotridimensionale i gradi di liberta sono pari a sei (nel piano, i gradi di liberta sonopari a tre).

q =

q1

q2

q3

q4

q5

q6

=

uo1

uo2

uo3

ϕ1

ϕ2

ϕ3

(1.16)

La cinematica di un sistema composto daν corpi rigidi liberi nello spazioedefinita dalla cinematica di ogni corpo del sistema. I gradi di liberta sono quindi