-
Departamento de Ingeniera de Telecomunicacin Teora de la Seal y
Comunicaciones
Universidad de Jan
Despacho: B-212B E-mail: [email protected]
Pgina web: http://www4.ujaen.es/~rivas Telfono: 953 648555
Medios de Transmisin
Ejercicios: Incidencia normal sobre discontinuidades
Fernando Rivas Pea
1
-
2
Ecuaciones que se han de aprender z
Medio 2
0z = z d=
Medio 1 Medio 3
( ) ( )( ) kkkk
k zZzZz
+
=
Coeficiente de Reflexion en trminos de la impedancia (en el
medio k)
( ) ( )( )zzzZ
k
kkk
+=
11
La impedancia se transforma en un medio de acuerdo con la
siguiente frmula
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )cosh sinh
cosh sinhk k k k k
k k k kk k k k k
Z z d dZ z d Z d
d Z z d
+ = =
+
z
zk
Medio k
d
2j = + =
-
3
Ecuaciones que se han de aprender
z
zk
Medio k
d
Si el medio no tiene prdidas
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )dzZjddjdzZdzZ
kkkkk
kkkkkkkk
sincossincos++
=
El coeficiente de reflexin vara en el medio k como:
( ) ( ) ( ) 2 kj dk k k k kz d d z e = =
Dentro del medio es ms es sencilla la expresin que da cuenta de
cmo vara el coeficiente de reflexion.
Qu sucede en la superficie que separa dos medios?
El coeficiente de reflexion es discontinuo.
La impedancia es continua.
Con prdidas ( ) ( ) ( ) 2 2 = = k kd j dk k k k kz d d z e e
-
Ecuaciones que se han de aprender
Ventana /2
( ) ( ) ( )2 1 1 1 2 2 3Z z Z z Z z = = =
Desde el punto de vista elctrico la lmina material 2 no hace
nada.
-
5
Ecuaciones que se han de aprender
Transformador /4
La impedancia intrnseca del medio intermedio es tal, que la
impedancia
que no tengamos onda reflejada en el medio 1
( )1 1 1Z z = ( )( )( )
1 1 11
1 1 1
0Z z
zZ z
= =
+
No hay onda reflejada si el medio intermedio intermedio es de
bajas prdidas y verifica que:
( )2 1 2 2 1 3Z z = =
Para ello:
( ) ....3,2,1124
== nnd
Si medio 3 semiinfinito
-
6
1) Una onda plana que se propaga en el vaco,
incide en z=0 sobre un medio no magntico de constante dielctrica
=40 y espesor
d=1.25 cm, a continuacin del cual se encuentra de nuevo en el
vaco. Se pide:
( ) 20 20 3 /zE x j y e V m = +
z
0 0 0 04
0 0
Medio 1
Medio 2
Medio 3
0z = z d=
a) Flujo medio de potencia incidente en el medio 1 El flujo
medio de potencia incidente en el medio 1 viene dada por
( ) ( )( ) ( )2
*0 20 0
,10 0
20 3 20 310 /
2 2 240Ix j y x j yE E EW W m
+ = = = =
-
7
a) Flujo medio de potencia reflejada en el medio 1
El flujo medio de potencia reflejada en el medio 2 se puede
calcular en
trminos del coeficiente de reflexin en la interface, punto
z=0
21, 1, 1(0)R iW W=
Determinacin de
z
0 0 0 04 ,
0 0
Medio 1
Medio 2
Medio 3
0z = z d=
3 3 0( )Z d = =
El ltimo medio (3) es semiinfinito, no existe onda reflejada
2 3 0( ) ( ) = =Z d Z d
La impedancia es una magnitud continua
21(0)
Procedimento: De atrs a adelante.
-
8
z
0 0 0 04
0 0
Medio 1
Medio 2
Medio 3
0z = z d=
00
2 22 3 0 2
02 20
( ) 12( ) ( ) ( )( ) 3
2
Z dZ d Z d dZ d
= = = = =
+ +
En el medio 2 :
( )2 0 0
022
2
4 2 40 /
602
= = = =
= = =
rad sgc
( ) ( )31
31
310
21025.1402222 ====
jjd eeed k
La impedancia en la interface medio 1/medio 2:
( )2 2 02 22
1 (0)(0) 301 (0) 2 4
Z + = = = =
d=1.25 cm
-
9
z
0 0 0 04
0 0
Medio 1
Medio 2
Medio 3
0z = z d=En el medio 1 se tiene que:
00
0 1 11 2
11
010
3( (0) 4(0) (0)4 0)
4
0)5(
= = = = =
+ +
ZZ ZZ
Por lo tanto, la potencia reflejada en el medio 1 vale
( )2 21, 1, 1 9(0) 10 3.6 /25R iW W W m= = =
-
10
z
0 0 0 04
0 0
Medio 1
Medio 2
Medio 3
0z = z d=2) Continuacin del problema anterior. Para evitar
medidas por prdida de reflexin, se decide variar
el espesor de d del medio 2
a) Qu espesor mnimo deber tomar d para que toda
la potencia incidente llege al medio 3.
Se vara el espesor del medio 2 para conseguir que 1(0) =0, por
tanto, en
el medio 1 se tiene:
1 1 0(0) 0 (0)Z = =En el medio 2 se tiene
2 1 0
00
2 22
02 20
(0) (0)
(0) 12(0)(0) 3
2
Z Z
ZZ
= =
= = =
+ +
2 3 0
00
2 22
02 20
( ) ( )
( ) 12( )( ) 3
2
Z d Z d
Z ddZ d
= =
= = =
+ +
-
11
z
0 0 0 04
0 0
Medio 1
Medio 2
Medio 3
0z = z d=2 1 0
00
2 22
02 20
( ) ( )
( ) 12( )( ) 3
2
Z d Z d
Z ddZ d
= =
= = =
+ +
Es decir
( ) ( ) 22 2 21 1 103 3 3
j dL e d n = = = =
El menor valor de d verifica la anterior relacin es: d=/=2.5
cm
-
12
z
0 0 0 04
0 0
Medio 1
Medio 2
Medio 3
0z = z d=
2
2d =
Siendo 2 la longitud de onda en el medio 2, medio intermedio
22
2 2 0.05 5 .2
= = = =
r
m cmfc
Se podra haber resuelto la cuestin sin ms que
considerar que el medio 2 ha de ser una ventana /2
-
13
3) Una onda plana homognea monocromtica de frecuencia 60 MHz
incide
normalmente desde el vaco sobre la superficie de separacin con
un
semiespacio relleno de un medio con constantes relativas r=1
r=(80-4j)
Calcule la relacin entre las densidades de potencia transmitidas
a 1, 10 y
100 m de la superficie de discontinuidad y la densidad de
potencia incidente
en dicha superficie
La potencia transmitida es la diferencia entre
la potencia de la onda incidente menos la de
la onda reflejada
( )0 080 4 j =
1 10 100
0 0
( )21(0) (0) 1 (0)T IW W=
2 11 2 1
2 1
120(0) 12080 4 j
= = =
+
-
14
( )1
80 4 )j
1) Se expresa el complejo en forma mdulo argumental
0.0580 4 80.01 jj e =
2) raiz cuadrada es una exponenciacin por 1/2
( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )( )
( )
0.05/2
1/2 1/2 1/20.05/2
1 1 1 1 cos 0.025 0.025 0.1117 + j0.002880.01 80.01 80.0180 4
)
4: arctang arctang 0.05 0.0580
= = = + =
=
j
j
e jsenej
Nota
-
15
( )0 080 4 j =
1 10 100
0 0
2 11 2
2 1
1
120(0) 42.1094 + j1.052180 4
120
= = =
+
=
j
( )
1
2 2 2
(0) -0.7990 + 0.0045i
= +j =j 80 4 0.2809 +11.2432i
=
=jc
-
16
( )0 080 4 j =
1 10 100
0 0
En el medio 2
( ) 22 21( ) (0) 1 (0) zT IW z W e = Se pide la relacin WT
(z)/WI para diferentes
valores de z (1, 10 y 100m). Sustituyendo, se
obtiene que:
( ) ( )( ) ( )( ) ( )mdBWzW
mdBWzWmdBWzW
IT
IT
IT
1004.248/108.28/
19.6/
=
=
=
( )212 0.2809
1
1 (0) 0.3615
( ) (0) 0.3615 (0) 0.2061T I Iz mW z W e W
=
=
= =
( ) 101/ 0.2061 10log (0.2061) 6.86T I z mW z W dB= = =
Z=0
2 2 2= +j =0.2809 +11.2432i
-
17
( )jrr == 260 0=
4) Las lminas de Ferrita-Titanato tienen gran inters prctico
porque consiguen combinar las propiedades de un material con alta
(ferrita) con las de un material con alta (titanato de bario). Este
material puede ser empleado para atenuar fuertemente la onda que
reflejara un conductor metlico, de forma que recubriendo un objeto
metlico (barco o avin) con una capa de Ferrita-Titanato podemos
hacerlo casi invisible para un radar
Supongamos una onda plana que incide desde el vaco sobre una
plancha de Ferrita-Titanato de 10 mm de espesor que recubre una
lmina de conductor perfecto (ver figura).
Si las caractersticas elctricas e la Ferrita-Titanato son a f
=100 MHz:
Se pide la frecuencia proporcionada:
-
18
a) Determine la impedancia intrnseca de la Ferrita-Titanato.
=
==
===
120
)2(60)2(60120
0
0
0
02 j
jjr
r
r
r
b) Determine la constante de propagacin (constante de atenuacin
y de fase)
de la Ferrita-Titanato. +== j
22
22 0 0 0 0
2
6
8
1 1 1(120 60 ) (120 60 ) (120 60 ) (120 60 )
2 100 10 (120 60 ) 40 803 10
= = + = + = =
= = =
= = +
r r r rj j j
j j j j j j jc c c
j j j
mrad
mNpj
/80
/408040
2
2
2
=
=+=
-
( )jrr == 2600=
a) Determine el coeficiente de reflexin que se tiene en el aire
en la discontinuidad aire-capa de ferrita-titanato
1 =
0z = z d=El coeficiente de reflexin a una distancia L de la
discontinuidad (en la interface aire/Ferrita-titanato)
( ) ( ) 2 = = k Lk kL z d e
Al ser el medio en el que termina la ferrita-titanio un PEC
(conductor elctrico
perfecto) se va a verificar que el coeficiente de reflexin es
igual a -1, esto es
( )2 1z d = =
L
-
20
( )jrr == 2600=
1 =
0z = z d=
Coeficiente de reflexin en la discontinuidad, pero
en el medio ferrita-titanio (z=0).
( ) ( ) 22 20 = k Ld e
( ) ( ) ( )3
2 40 80 0.01 2 52 0.8 1.680 160 0.01
1 1 10 1 8.1 10jj
jje ee ee
+ +
= = = =
0.01=L m
PEC
L
-
21
0z = z d=
Del coeficiente de reflexin se obtiene el valor de la impedancia
en z=0, pero en el medio 2,
( ) ( )( )zzzZ
k
kkk
+=
11
( ) ( )( )
32 5
2 0.153862 2 3
2 2 5
1 8.1 101 0
0 120 358.23091 0
1 8.1 10
j
j
j
eZ e
e
+
+ = = =
A diferencia del coeficiente de reflexin, la impedancia es
continua al atravesar 2 medios
( ) )0(0 12 ZZ =
Finalmente, se obtiene 1(0) a partir de Z1(0)
( ) ( )( ) ( )( )( )
1 1 1 0.18851 1 1
1 1 1
1 0 00 0 0.0810
1 0 0jZZ e
Z
+ = = = +
-
0z = z d=
c) Calcule la razn de onda estacionaria existente en el aire y
exprsela en decibelios.
( )( )kk
kk
zz
S+
=11
( )( )
( )2
1102
1
1 0 1 8.1 10 1.1763 20log 1.1763 1.411 8.1 101 0 dB
S S dB
+ + = = = = =
( ) ( )( )1k k kz z zk k k k kE z E e E e E e z + += + = +
-
23
5) Un radomo es una estructura transparente desde el punto de
vista electromagntico que sirve para proteger las antenas que
habitualmente estn a la intemperie. Asuma incidencia normal de
ondas planas sobre una estructura dielctrica plana que ser nuestro
radomo (ver figura)
Determine: a) el mnimo espesor del radomo para que 10Ghz no
existan onda reflejada
Se ha de conseguir, que la impedancia vista en z=0 y la
impedancia vista en z=d sean iguales. La estructura que se busca es
la de un transformador /2 Como la tangente de prdidas del
dielctrico (radomo) es muy pequea, se va a considerar un medio sin
prdidas, se trata de un buen dielctrico.
( )0 1 tanr j =
-
24
Longitud de onda de la onda plana en el medio 2:
8
2 9
3 10 0.015 15 .10 10 4r
c m mmf
= = = =
2 7.5
2d mm= =
b) A la frecuencia de trabajo, calcule la atenuacin (en
decibelios) que introduce el radomo
'2
tan' 00 ++= jj
La constante de propagacin para un dielctrico con bajas prdidas
viene dado por
La parte real de tiene que ver con la atenuacin,
mNpfr /2094.02001.04
1032
2tan
2tan' 8000 =
===
MEJOR no aprenda frmulas y calcule (tmese la parte real para
determinar ).
( ) ( )10
28
2 101 tan 4 1 0.001310r
j jj j jc = + = = =
-
25
Obtenida la constante de atenuacin, se obtiene la atenuacin (en
dB/m) del campo elctrico y magntico al atravesar el radomo.
mdBemetros
Atenuacin /8192.1)(log20 2094.010 ==
Como la onda recorre 0.0075 m en el interior del radomo
dBAtenuacin 0136.00075.08192.1 ==
Que en unidades lineales. resulta
0.01362010 1.0015atenuacion
= =
Prcticamente, no hay atenuacin.
Nmero de diapositiva 1Nmero de diapositiva 2Nmero de diapositiva
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6Nmero de diapositiva 7Nmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva
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12Nmero de diapositiva 13Nmero de diapositiva 14Nmero de
diapositiva 15Nmero de diapositiva 16Nmero de diapositiva 17Nmero
de diapositiva 18Nmero de diapositiva 19Nmero de diapositiva
20Nmero de diapositiva 21Nmero de diapositiva 22Nmero de
diapositiva 23Nmero de diapositiva 24Nmero de diapositiva 25
