14 cilindros y conos

Sistema Diédrico.Cilindros y conos.

Jesús Modesto González de la Calle.

Unidad Docente de Expresión Gráfica. ETSIA BORRADOR Página 2

Índice de diapositivas:

Punto 1: Introducción.

Punto 2: Cilindros de revolución.

Punto 3: Cilindros: Cortes con planos.

Punto 4: Cilindros: Cortes con rectas.

Punto 5: Cilindros de no revolución.

Punto 6: Conos de revolución.

Punto 7: Conos de revolución: Cortes con planos.

Punto 8: Conos de revolución: Cortes con rectas.

Punto 9: Conos oblicuos.


Punto 1: Introducción.

- Se denominan superficies radiadas o superficies regladas, aquellas que se construyen con el barrido de una línea recta apoyada en cada punto de una curva directriz.

- En este tema se va a utilizar siempre como directriz una circunferencia.

- En este tema todas las rectas de barrido pasarán siempre por un punto.

- Si el punto es un punto impropio, se generan cilindros.- Si el punto es un punto propio, se generan conos.



- Son superficies regladas. Formadas por líneas rectas.- Su generatriz es una circunferencia.- Las líneas rectas se mantienen paralelas entre sí.- Lo que significa que todas pasan por un punto común denominado vértice y que está situado en el infinito.- Su vértice es un punto impropio.

-Se llaman cilindros de revolución si las rectas forman 90º con la circunferencia directriz.

- En los cilindros de revolución, el eje del cilindro es perpendicular al plano que contiene la circunferencia directriz.



- Representación en el sistema diédrico depende de la posición que ocupe el cilindro respecto a los planos de proyección.- Posición más favorable es cuando eje es perpendicular a un plano de proyección.

- Contorno aparente en Alzado, corresponde a dos generatrices del cilindro.

- Proyección en planta corresponde a la base del cilindro y a la “tapa”. Es decir a la directriz circular.

- Se dibuja con precisión.



- Si el eje del cilindro es una recta oblicua, las proyecciones son más complicadas.- Las bases son circunferencias contenidas en planos oblicuos; proyectan como elipses.

-Los contornos aparentes en la proyección vertical, son dos generatrices que proyectan interiormente en H.



-Las circunferencias contenidas en planos oblicuos proyectan como elipses.- El eje mayor de la elipse de V es la recta frontal por el centro O.- El eje mayor de la elipse en H es una recta horizontal por el centro O.

- El eje del cilindro es perpendicular a f y a h puesto que pertenecen a su base o a su tapa. -Teorema tres perpendiculares: f en verdadera magnitud en V, luego e’’ perpendicular f’’.

-Teorema tres perpendiculares: h en verdadera magnitud en H, luego e’ perpendicular a h’.


Punto 2: Cilindros de revolución.- Los puntos de un cilindro se calculan con las generatrices.- Información adicional de alejamiento.- Cambio de vista y obtener posición sencilla.- Imagen de la derecha solo si elipses dibujadas en enunciado.


Punto 3: Cilindros de revolución: Cortes con Planos.

- Si plano es perpendicular al eje, se obtienen circunferencias, si es paralelo líneas rectas y en cualquier otro caso se obtienen elipses.

- Intersección del eje con el plano siempre es el centro.- Centro de circunferencia o centro de elipse.



- La intersección con un plano proyectante es cómoda.- Son elipses que proyectan como circunferencias.- Si el plano es oblicuo, se convierte en proyectante con un cambio de vista.






Punto 4: Cilindros de revolución: Cortes con rectas

- Se construye una recta s paralela al eje del cilindro e y que corte a la recta r.- Se define un plano con las rectas r y s, y se intersecciona con el cilindro.- Esa intersección son dos rectas paralelas g1 y g2.- La intersección de r con g1 y g2 proporciona los puntos de intersección con el cilindro.







- Son superficies regladas. Formadas por líneas rectas.- Su generatriz es una circunferencia.- Las líneas rectas se mantienen paralelas entre sí.- Lo que significa que todas pasan por un punto común denominado vértice y que está situado en el infinito.- Su vértice es un punto impropio.

-Se llaman cilindros de no revolución si las rectas no forman 90º con la circunferencia directriz.

- En los cilindros de no revolución, el eje del cilindro no es perpendicular al plano que contiene la circunferencia directriz.



- Se trabaja con ellos como se ha descrito en los cilindros de revolución.- Ahora la sección cómoda y con precisión es una sección paralela a la base y no es perpendicular al eje del cilindro.- En esas secciones se obtienen circunferencias.





- Son superficies regladas. Formadas por líneas rectas.- Su generatriz es una circunferencia.- Las líneas rectas pasan por un punto fijo del espacio llamado vértice.- Eso significa que las líneas que forman el cono, generatrices, no son paralelas.

-El eje del cono es la recta que une el vértice con el centro de la circunferencia directriz.

-Se llama conos de revolución si el eje forma 90º con el plano que contiene a la circunferencia directriz.

- Las generatrices forman un ángulo constante con el eje del cono.



- Representación en el sistema diédrico depende de la posición que ocupe el cono respecto a los planos de proyección.- Posición más favorable es cuando eje es perpendicular a un plano de proyección.

- Contorno aparente en Alzado, proyección de dos generatrices.

- Proyección en planta corresponde a la base del cono. Es decir a la directriz circular.

- Se dibuja con precisión.



- Si el eje del cono es una recta oblicua, las proyecciones son más complicadas.- La base es una circunferencias contenida en un plano oblicuo que proyecta como elipse.-Los contornos aparentes en H y V son generatrices diferentes.- En el cono hay que determinarlas.


Punto 6: Conos de revolución.- Los puntos de un cono se calculan con las generatrices que pasan por ellos.- Con una proyección P’’, se necesitará información adicional de alejamiento.- Si vista no es fácil: cambio de vista para resolver con precisión: directriz es una circunferencia.



- Si hay que dibujar las proyecciones en vista genérica, habrá que calcular las generatrices de contorno aparente con precisión.- Las generatrices de contorno aparente en una vista coinciden en esa vista con la proyección del plano tangente al cono a lo largo de esa generatriz.- Se trazará un plano tangente que contenga a una recta perpendicular a la vista donde se quieren averiguar las generatrices de contorno aparente. (Rectas 1-I y r)






Punto 7: Conos de revolución: Cortes con Planos.

- Si el plano pasa por el vértice se obtienen dos rectas como intersección.- Esas rectas son dos generatrices del cono.- En problemas, se transforma el plano en proyectante con cambio de vista.



- Si el plano es perpendicular al eje del cono, se obtienen circunferencias.- La intersección del eje del cono con el plano produce el centro de la circunferencia.- El centro de la cónica es el punto medio de 1’’ y 2’’.



- Sea Alfa el ángulo que forma el plano de corte con el eje del cono.- Sea Delta el ángulo que forma cualquier directriz del cono con el eje del cono.

-Si el ángulo Alfa es mayor que Delta, la curva de intersección que se obtiene es una elipse.

- El centro de esa elipse es el punto medio entre 1’’ y 2’’. Ese punto no coincide con la proyección del centro de la circunferencia directriz del cono.

- Para dibujar la elipse es suficiente calcular los cuatro puntos de sus ejes y el punto de centro.

- Se pueden obtener más puntos calculando puntos intermedios en V y obteniendolos en H a través de sus generatrices.



- Si el ángulo Alfa es igual a Delta, la curva de intersección es una parábola.

- El vértice de la parábola se obtiene con el corte de una generatriz de contorno aparente. Punto 2 en la imagen.

- Para dibujar la parábola es necesario calcular cinco puntos.- Además del vértice se obtienen dos puntos de corte con la directriz: 1 y 3.

- Se pueden obtener más puntos utilizando un plano auxiliar perpendicular al eje del cono.- Sabiendo que corta como circunferencia o usando generatrices del cono.



- Si el ángulo Alfa es menor que Delta, la curva de intersección es una hipérbola.

- El vértice de la hipérbola se obtiene con el corte de una generatriz de contorno aparente. Punto 2 en la imagen.

- Para dibujar la hipérbola es necesario calcular cinco puntos. Además del vértice se obtienen dos puntos de corte con la directriz: 1 y 3.

- Se pueden obtener más puntos utilizando un plano auxiliar perpendicular al eje del cono. Sabiendo que corta como circunferencia o usando generatrices del cono.


Punto 8: Conos de revolución: Cortes con rectas

- Se construye una plano que contiene a la recta r y pasa por el vértice V del cono.- La intersección de ese plano con el cono, dos generatrices del cono g1 y g2.- Esas generatrices están contenidas en el mismo plano que la recta r.- La intersección de r con g1 y g2 proporciona los puntos de intersección con el cilindro.


Punto 8: Conos de revolución: Cortes con rectas


Punto 9: Conos de no revolución.

- Son superficies regladas. Formadas por líneas rectas.- Su generatriz es una circunferencia.- Las líneas rectas pasan por un punto fijo del espacio llamado vértice.- Eso significa que las líneas que forman el cono, generatrices, no son paralelas.

-El eje del cono es la recta que une el vértice con el centro de la circunferencia directriz.

-Se llama conos de no revolución si el eje no forma 90º con el plano que contiene a la circunferencia directriz.

- Las generatrices forman un ángulo variable con el eje del cono.



- Se trabaja con ellos como se ha descrito en los conos de revolución.- Ahora la sección cómoda y con precisión es una sección paralela a la base y no es perpendicular al eje del cilindro.- En esas secciones se obtienen circunferencias



- Problema en hoja 19 resuelve un cono que no es de revolución.

- Se aplicará la teoría desarrollada en conos de revolución como ejemplo de aplicación en cilindros de no revolución

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