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M A R T E S , 1 1 D E A G O S T O D E 2 0 0 9
El experimento Stern-Gerlach
Aunque las matrices relacionadas con la cuantización del oscilador harmónico simple y lasmatrices relacionadas con la descripción mecánico-cuántica del átomo de hidrógeno sonmatrices infinitas, no todas las matrices empleadas en la Mecánica Cuántica Matricial sonmatrices infinitas. Como resultado de ciertos experimentos, fue necesario ir ampliando ladescripción del átomo para dar cabida tanto a matrices finitas como a matrices infinitas. Elprimero de tales experimentos fue el experimento llevado a cabo en 1922 por Otto Stern yWalther Gerlach sobre la deflexión de partículas.
Considérense primero dos imanes, los cuales están alineados de tal manera que el poloNorte de uno esta enfrente del Polo Sur del otro, de modo tal que entre ambas caras de losimanes tenemos lo que llamamos un campo magnético homogéneo en el cual las líneas defuerza del campo magnético son esencialmente paralelas entre sí:
Es bien sabido que si lanzamos un haz de partículas cargadas eléctricamente hacia uncampo magnético homogéneo, las partículas tomarán una ruta circular de acuerdo a laexpresión de la fuerza lineal de Lorentz F = qvB que actúa sobre ellas a consecuencia delcampo magnético homogéneo. Este es el principio de la deflexión magnética utilizado paradesviar los haces de electrones en los tubos de rayos catódicos de los televisores y losmonitores de computadora ya pasados de moda.
Sin embargo, tratándose de partículas eléctricamente neutras, por ejemplo un haz deátomos de plata vaporizada, aparentemente no habría razón para esperar deflexión alguna.En el caso de los átomos de plata, el átomo de plata no es una partícula como el electrón queexhibe una carga eléctrica negativa, por el contrario, es eléctricamente neutro, ya que tienetantos protones en su núcleo (47 protones, todos ellos con igual carga eléctrica positiva)como electrones en torno suyo (47 electrones, todos ellos con carga eléctrica negativa), yal tener tantas cargas eléctricas positivas como negativas su carga eléctrica neta es cero.Por esta razón, no hay motivo para esperar que un haz de átomos de plata sea desviado alser lanzado hacia un campo magnético homogéneo, y efectivamente esto es lo que sucedeen el laboratorio. Para un campo magnético B descrito vectorialmente en sus componentesen coordenadas Cartesianas:
B = (Bx, By , Bz)
esto significa que no hay variación del campo magnético homogéneo en ninguno de los tresejes, o sea:
∂Bx/∂x = 0___∂By /∂y = 0___∂Bz/∂z = 0
Así como podemos disponer de un campo magnético homogéneo para llevar a caboexperimentos lanzando haces de partículas dentro del mismo, del mismo modo podemoscrear un campo magnético no homogéneo dándole a uno de los polos la forma de una puntapero manteniendo al otro con su cara transversal plana o dándole alguna concavidad para
S E G U I D O R E S
A R C H I V O D E L B L O G
▼ 2009 (136)▼ agosto (136)
Indice
Prólogo
El modelo atómico planetario de Bohr I
El modelo atómico planetario de Bohr II
La espectroscopía de rayos-X
La extraña ecuación de Max Born
Vectores y matrices I
Vectores y matrices II
El análisis de Fourier
La regla de multiplicación de Heisenberg
Observables compatibles eincompatibles
Oscilador armónico simple: soluciónmatricial
Matrices y probabilidad
El principio de incertidumbre I
El principio de incertidumbre II
El experimento Stern-Gerlach
El spin del electron
Momento angular: tratamiento matricialI
Momento angular: tratamiento matricialII
Momento angular: tratamiento matricialIII
La energía rotacional
Matrices y sub-matrices
Solución matricial del átomo dehidrógeno
Funciones matriciales
De la mecánica clásica a la mecánicamatricial
La matriz momentum como generadora
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La Mecánica Cuántica
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aumentar el efecto mediante el cual las líneas del campo magnético ya no son paralelas sinocurvas, como podemos verlo en el siguiente ejemplo en el que tenemos un electroimán paraproducir ese campo magnético no homogéneo:
La siguiente figura nos dá una mejor perspectiva tridimensional sobre el aspecto quemostrarían las líneas de un campo magnético inhomogéneo entre dos polos de imánfabricados de la manera anterior:
Con este tipo de campo magnético a nuestro alcance, podemos intentar llevar a caboexperimentos que pueden dar resultados más interesantes que los que no podemos obtenercon un campo magnético homogéneo. Ciertamente la no-linearidad del campo magnéticono homogéneo puede hacer resaltar efectos de segundo orden que no se podrían percibircon un campo magnético homogéneo. Esto era precisamente lo que esperaban encontrarStern y Gerlach. Si suponemos, inspirados en el modelo atómico planetario de Bohr, que elelectrón de valencia del átomo de plata está orbitando circularmente en torno al núcleo delátomo, puesto que se trata de una partícula con carga negativa entonces tenemosesencialmente una pequeña corriente eléctrica en torno al átomo. Clásicamente, elmomento magnético de un electrón girando en una órbita circular de radio r se obtienemultiplicando esta corriente por el área circular A de la órbita. La corriente eléctrica Igenerada por una carga negativa -e orbitando a una frecuencia de f revoluciones porsegundo es igual a:
I = ef
Entonces la magnitud del momento magnético relacionado con la trayectoria circularsimbolizado como μ (obsérvese que es una cantidad vectorial que apunta en un sentidoperpendicular al plano de la órbita), será:
|μ| = IA = (ef)(πr²)
Puesto que el momento angular L está definido como L= rxp, que en el caso de unapartícula moviéndose en una órbita circular se reduce a |L| = r(mv) = mvr, con lo queobtenemos:
|L| = mvr = m(2πrf) r = 2mfπr² = (2m/e) |μ|
o bien:
μ= - (e/2m) L
Obsérvese que se asigna (vectorialmente) al momento magnético μ una dirección opuesta ala dirección vectorial del momento angular L, en virtud de la carga eléctrica negativa del
de traslación
La matriz generadora de rotación
Rotaciones de las matrices de Pauli
El aspecto estadístico de la MecánicaMatricial
Evolución temporal de los sistemasfísicos
Matrices continuas
Ondas de materia
La ecuación de Schrödinger
Solución matemática de la ecuación deonda
Solución numérica de la ecuacion deSchrödinger
Interpretación probabilista de ψ I
Interpretación probabilista de ψ II
Operadores y esperanzas matemáticas I
Operadores y esperanzas matemáticas II
Oscilador armónico simple: soluciónondulatoria
La función delta de Dirac
Transmisión y reflexión de partículas I
Transmisión y reflexión de partículas II
Transmisión y reflexión de partículas III
Transmisión y reflexión de partículas IV
El potencial delta de Dirac
Ondas de simetría circular y esférica
La notación bra-ket de Dirac
El espacio de Hilbert I
El espacio de Hilbert II
Operadores Hermitianos
Los operadores escalera I
Los operadores escalera II
El principio de incertidumbre,revisitado
El acto de medición
Momento angular orbital: análisisondulatorio I
Momento angular orbital: análisisondulatorio II
Momento angular orbital: funciones deonda I
Momento angular orbital: funciones deonda II
Polinomios de Legendre: aspectosmatemáticos
La función de onda radial
La función de onda del momento angulardel spin
El principio de exclusión de Pauli
El proceso de construcción Aufbau
El acoplamiento LS
La suma de momentos angulares
Las reglas de selección
Técnicas de aproximación I
Técnicas de aproximación II
Técnicas de aproximación III
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electrón (para una partícula con carga positiva μ y L apuntan en la misma dirección).Clásicamente también, si suponemos que una espira de corriente eléctrica o un pequeñoimán se coloca en un campo magnético externo B, el objeto experimenta un torque:
τ = μ x B
que tiende a alinear al momento magnético μ con el campo magnético externo B. Por elprincipio de la conservación de la energía, un sistema así adquiere (o pierde) energíapotencial, cuyo cambio dá el trabajo hecho por el torque cuando varía la orientación de μ.En otras palabras, las partículas que sean lanzadas al campo magnético no homogéneodeben salir del mismo con mayor o menor energía dependiendo de la variación que elcampo magnético B produzca en la orientación de μ. Integrando la expersión para eltorque se puede demostrar que:
E = - μ · B
Obsérvese que a la derecha de esta última expresión tenemos el producto escalar (oproducto punto) de los vectores μ y B en lugar del producto cruz.
Teniendo a la mano un campo magnético asimétrico como el que se acaba de describir, elsiguiente paso consistiría en lanzar un haz de partículas entre los polos que producen dichocampo, quizá un haz de átomos de algún elemento vaporizado a alta temperatura que acabade salir de un horno:
Esta es en sí la esencia del experimento, el cual tardó más de un año en poder serdesarrollado con éxito desde su concepción original. En la forma final del experimento unhaz de átomos de plata (producidos por efusión del vapor metálico producido en un hornocalentado a 1000 °C) era colimado por dos rendijas estrechas de unos 0.03 mm yatravesaban una bobina magnética de 3.5 cm de longitud con un campo magnético de unaintensidad máxima de 0.1 tesla y un gradiente máximo de unos 10 teslas/centímetro (elgradiente en un campo magnético homogéneo es igual a cero). La desviación de los hacesatómicos conseguida era tan sólo de 0.01 mm. El instrumento original solía estropearseunas pocas horas después de iniciarse el experimento por lo que tan sólo una fina capa deátomos de plata eran depositos en el receptor final. Cuando Stern y Gerlach observaron elreceptor no se veían trazas de la plata depositada pero a medida que exploraban la placareceptora esta empezó a cubrirse de un material que mostraba el paso del haz. Tal y comocuenta Gerlach en sus memorias la plata estaba reaccionando con los vapores de mercurioque provenían de su respiración y de los cigarrillos que fumaba habitualmente.
Al llevarse a cabo el experimento, se esperaba encontrar una distribución de intensidad delhaz con la máxima intensidad del haz centrada a lo largo del eje desde el cual saliódisparado el haz desde el horno, decreciendo a distancias cada vez más alejadas del puntode impacto. El resultado que Stern y Gerlach esperaban obtener, esperanzados en ladisponibilidad del electrón de valencia situado en la capa más exterior del átomo de plata,era el siguiente:
El método de aproximación WKB I
El método de aproximación WKB II
El método de aproximación WKB III
El método de aproximación WKB IV
El enlace molecular I
El enlace molecular II
La hibridación de los orbitales atómicos
La teoría de los orbitales moleculares
Teoría del campo cristalino
Operadores clase T
El espacio-posición y el espacio-momentum I
El espacio-posición y el espacio-momentum II
El espacio-posición y el espacio-momentum III
El espacio-posición y el espacio-momentum IV
La partícula libre I
La partícula libre II
La ecuación de movimiento deHeisenberg
Mecánicas Matricial y Ondulatoria:equivalencia
Evolución temporal de las ondas demateria I
Evolución temporal de las ondas demateria II
El operador de traslación
El operador de evolución del tiempo
Las representaciones de Heisenberg ySchrödinger
Operadores de rotación I
Operadores de rotación II
Los grupos de rotación I
Los grupos de rotación II
Los grupos de rotación III
La simetría como piedra angular
Representaciones irreducibles I
Representaciones irreducibles II
Los coeficientes Clebsch-Gordan I
Los coeficientes Clebsch-Gordan II
Los coeficientes Clebsch-Gordan III
Operadores tensoriales
El momento de cuadripolo
El teorema Wigner-Eckart I
El teorema Wigner-Eckart II
Mecánica Estadística Cuántica I
Mecánica Estadística Cuántica II
Mecánica Estadística Cuántica III
Mecánica Estadística Cuántica IV
Mecánica Estadística Cuántica V
Mecánica Estadística Cuántica VI
La matriz densidad I
La matriz densidad II
El láser
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En el caso clásico no cuántico, un haz de partículas de plata saliendo vaporizadas de unhorno estarán orientadas al azar y por lo tanto entrarán en el campo con su momentomagnético también orientado al azar, apuntando en todos los ángulos posibles. El efecto delcampo magnético sobre tales partículas clásicas debería ocasionar que fueran desviadastambién en sentidos opuestos pero dependiendo el grado de deflexión del ángulo inicialentre el momento magnético μ y el campo magnético B al que se somete el haz. Por lo tantoalgunas partículas serían desviadas fuertemente, otras de manera más débil yprogresivamente se irían encontrando partículas desviadas en ambas direccionescubriendo todo el espectro de intensidades posibles.
Pero para su sorpresa, el resultado obtenido experimentalmente resultó ser el siguiente:
El experimento de Stern-Gerlach puso de manifiesto que todas las partículas eran desviadaso bien hacia arriba o bien hacia abajo en dos grupos claramente distinguibles, aunqueambos grupos lo hacían con la misma intensidad.
Lo que sucede en el experimento Stern-Gerlach es de naturaleza eminentemente magnética.Al igual que como ocurre con la aguja magnetizada de un compás que tiende a alinearse enel sentido Norte-Sur, algo en el átomo debe estar actuando también como un pequeño imánque lo hace alinearse con el campo magnético que le es aplicado. Expresamos estoformalmente diciendo que los campos magnéticos ejercen fuerzas sobre objetos ypartículas que tienen momentos magnéticos. Estas fuerzas son bien comprendidas, y lasmismas reglas parecen aplicar para objetos macroscópicos que para objetos sub-microscópicos. En el caso de la brújula, el momento magnético -el cual se acostumbrasimbolizar con la letra griega mu (μ) que es el equivalente de la letra latina “m”- de la agujaproduce una rotación de la misma para alinearla con el campo magnético de la Tierra con elcual está interactuando. Por otro lado, si el campo magnético no es constante en el espacio,si varía en alguna dirección como ocurre en el experimento Stern-Gerlach, tenemos lapresencia de una fuerza que produce un movimiento de la partícula como un todo, la cualacelera a la partícula a lo largo de la dirección en la cual varía el campo magnético. Estafuerza es proporcional a la proyección del momento magnético en la dirección del campo.En virtud de que, como ya se vió arriba, la energía de interacción del momento magnético μdel átomo con el campo magnético B es E = -μ·B, podemos obtener la componente de lafuerza F experimentada por el átomo a lo largo del eje-z (el eje vertical) de la siguientemanera (mantendremos el eje vertical como el eje-z, el eje-x seguirá siendo la direcciónhorizontal inicial a lo largo de la cual salen disparadas las partículas del horno, siendo el eje-y el que apunta hacia una dirección lateral transversal que no nos concierne por lo pronto):
E = -μ·B = - (μx, μy , μz) · (Bx, By , Bz)
El teorema virial
Espectroscopías de resonanciamagnética I
Espectroscopías de resonanciamagnética II
Espectroscopías de resonanciamagnética III
Espectroscopías de resonanciamagnética IV
Esparcimiento clásico de partículas
Esparcimiento de las ondas de luz
Aspectos matemáticos de las ondasesféricas
El método de las ondas parciales
La aproximación de Born I
La aproximación de Born II
El teorema óptico
La ecuación Lippmann-Schwinger
El teorema adiabático I
El teorema adiabático II
La Mecánica Cuántica Relativista
Recursos de software
Constantes fundamentales y factores deconversión
Bibliografía
D A T O S P E R S O N A L E S
A R M A N D O M A R T Í N E ZT É L L E Z
V E R T O D O M I P E R F I L
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E = - μxBx - μy By - μzBz
Entonces, puesto que para una fuerza F = (Fx, Fy , Fx) tenemos:
Fx = - ∂E/∂x____Fy = - ∂E/∂y____Fx = - ∂E/∂z
se concluye que:
Fx = μx(∂Bx/∂x) + μz(∂Bz/∂x)
Fy = 0
Fz = μx(∂Bx/∂z) + μz(∂Bz/∂z)
Pero debido a la simetría, a lo largo del eje del haz se tiene ∂Bz/∂x = 0, y ∂Bx/∂z = 0. Por
otro lado, ∂Bx/∂x es demasiado pequeño. Se concluye que la única fuerza que actúa sobre
las partículas que son objeto del experimento es:
Fz = μz(∂Bz/∂z)
El resultado del experimento Stern-Gerlach es interesante porque a diferencia de losexperimentos espectroscópicos mediante los cuales con el suministro de una fuenteexterna de energía podemos hacemos “saltar” un electrón que está en la órbita exterior deun átomo de un nivel de energía a otro (produciéndose así un espectro de emisión al caernuevamente el electrón a la capa original de energía en la que estaba situado, liberando conello el fotón absorbido) o bien podemos hacer que un gas frío absorba los fotones de unespectro luminoso continuo (produciéndose así un espectro de absorción), en elexperimento Stern-Gerlach no se hace saltar al electrón de una capa energética discreta aotra. Estamos entonces ante otro tipo de fenómeno que no involucra “saltos” de energía yen el cual el número cuántico n del nivel de energía en que se encuentra cada átomopermanece igual antes y después de pasar por un aparato Stern-Gerlach, lo cual nos obliga air pensando ya en la adjudicación de un nuevo número cuántico al átomo que esindependiente del número cuántico que caracteriza a la energía del átomo.
La separación entre ambas franjas dependerá de la intensidad del campo magnéticoaplicado. Con un campo magnético B igual a cero, no se obtendrá franja alguna. Pero amedida que vamos aumentando la intensidad del campo magnético, ambas franjas se iránseparando manifestando en la diferencia que las separa la diferencia en las energíaspotenciales de ambas al haber atravesado el campo magnético:
Obsérvese que sin la presencia del campo magnético no habría forma alguna de distinguirentre los dos estados en los que se pueden encontrar los átomos de plata, seríanindistinguibles. Esto es un ejemplo claro y directo de lo que llamamos estadosdegenerados, los cuales poseen el mismo nivel energético siendo por lo tantoirreconocibles. La única forma en la cual podemos romper la degeneración es mediante laaplicación de un campo magnético, y de hecho los campos magnéticos son el recursofavorito de los físicos para sacar a la luz esos estados de los cuales no sabríamos de suexistencia sin la aplicación de campos magnéticos.
Estos son los resultados experimentales del experimento Stern-Gerlach. Ahora viene laparte teórica, que consiste en tratar de representar matemáticamente los resultados delexperimento. Los datos experimentales nos indican que para un aparato Stern-Gerlachsencillo hay dos tipos de partículas, o mejor dicho hay partículas iguales (siendo todas ellasátomos de plata) que pueden tomar uno de dos estados posibles: aquellas que salen del
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aparato disparadas “hacia arriba” y aquellas que salen disparadas “hacia abajo”. Puesto queno hay nada intermedio, se dá por hecho de que hay una cuantización que está operandoaquí que hace posible sólo dos estados discretos. Si queremos representar con una matrizalgo para lo cual sólo hay dos valores posibles, la matriz más pequeña que podemos utilizares una matriz 2x2. Los datos experimentales nos indican también que la intensidad deambos haces es la misma. En otras palabras, existe la misma probabilidad de que unapartícula saliendo del aparato Stern-Gerlach se encamine hacia arriba que se encaminehacia abajo. Lo más conveniente, por lo pronto, consiste en asignarle a las partículas quesalen disparadas hacia arriba el valor de +1/2 y a las que salen disparadas hacia abajo elvalor de -1/2, lo cual representa convenientemente el hecho de que la mitad de laspartículas salen disparadas en una dirección y la otra mitad salen disparadas en la direcciónopuesta, los cual nos simplifica las cosas. Representaremos dicho valor con el símbolo ms
como se ha mostrado en el diagrama de arriba, de modo tal que ms = ±1/2. Queremos ahora
especificar una matriz cuyos valores propios eigen puedan tomar los valores +1/2 y -1/2,pero como podemos sacar el valor 1/2 fuera de dicha matriz escribiéndolo como factormultiplicativo, entonces buscamos especificar una matriz cuyos valores propios eigenpuedan tomar los valores +1 y -1, lo cual nos simplifica aún más las cosas.
La forma más fácil de construír una matriz que pueda representar una cantidad limitada devalores físicos es tomar una matriz diagonal y meter en la diagonal principal loseigenvalores que la cantidad pueda tomar. Si admitimos sólo dos valores, +1 (“haciaarriba”) y -1 (“hacia arriba”), entonces la matriz será:
Esta matriz es suficiente y nos basta tratándose de un aparato Stern-Gerlach individualusado para separar en dos grupos un haz de partículas a lo largo de un solo eje coordenadocomo el eje-z. Sin embargo, si vamos a darle una representación vectorial a la cantidad queestamos representando (motivado por el hecho de que una cantidad apunta en unadirección y la otra apunta en dirección opuesta), para un espacio tri-dimensionalespecificado por las tres coordenadas Cartesianas (x, y, z) una sola matriz no basta, ya queel vector que vamos a representar en principio debe tener componentes en cada uno de losejes coordenados. Necesitamos otras dos matrices. Pero dichas matrices no deben serobtenibles de la matriz que se acaba de dar, ni deben ser obtenibles la una de la otra, delmismo modo en que las tres componentes de un vector sobre cada uno de los ejescoordenados deben ser independientes la una de la otra. Afortunadamente, resulta que hayno sólo una sino tres matrices distintas las cuales todas ellas tienen como valores propios a+1 y a -1. Fueron descubiertas por Wolfgang Pauli, razón por la cual son llamadas matricesde Pauli. Son las siguientes:
PROBLEMA: Obtener los valores propios para cada una de las matrices de Pauli:
Para la matriz σ1 la ecuación característica se obtendrá de la condición:
det(σ1 - rI) = 0
que viene siendo:
r² - 1 = 0
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r = ± 1
Entonces los valores propios de la matriz σ1 son +1 y -1.
Para la matriz σ2 la ecuación característica se obtendrá de la condición:
det(σ2 - rI) = 0
que viene siendo:
r² - 1 = 0
r = ± 1
Entonces los valores propios de la matriz σ2 son +1 y -1.
Por último, para la matriz σ3 la ecuación característica se obtendrá de la condición:
det(σ3 - rI) = 0
que viene siendo:
(1 - r)(-1 - r) = 0
r = ± 1
Entonces los valores propios de la matriz σ3 son +1 y -1.
Tenemos pues tres matrices distintas, todas ellas capaces de representar los valores +1 y -1.Y necesitamos de las tres, por el simple hecho de que necesitamos cada una de ellas paradescribir estos dos valores posibles no a lo largo de un solo eje coordenado sino a lo largode tres ejes (este tipo de representación gráfica es conocida en la literatura como una esferade Bloch):
Sobre un sistema de coordenadas Cartesianas podemos hacer la asignación arbitraria:
σx = σ1___σy = σ2___σz = σ3
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PROBLEMA: Demostrar que las matrices de Pauli 2x2 representan observablesincompatibles.
De los productos:
podemos ver que σ1σ2 ≠ σ2σ1. Puesto que las matrices σ1 y σ2 no son conmutativas, se
deduce que ambas representan observables incompatibles. Del mismo modo obtenemos losresultados:
σ1σ3 ≠ σ3σ1
σ2σ3 ≠ σ3σ2
y se concluye que las tres matrices de Pauli 2x2 representan observables incompatibles.
De cualquier modo, las tres matrices de Pauli presentan una propiedad interesante, de quecualquiera de ellas se puede obtener de las otras dos de la siguiente manera:
σ1σ2 = iσ3___σ2σ1 = - iσ3
σ2σ3 = iσ1___σ3σ2 = - iσ1
σ3σ1 = iσ2___σ1σ3 = - iσ2
Tenemos ya el aparato matemático con el cual podemos representar en una matriz los dosvalores físicos que puede tomar esa cantidad que hace que el haz original de partículas sedivida en dos. Lo que necesitamos ahora es una explicación del fenómeno. La explicaciónteórica de los resultados del experimento Stern-Gerlach llegó en 1925, cuando SamuelGoudsmit y George Uhlenbeck propusieron un modelo con el cual se le asignaba al electrónde valencia en el átomo de plata una característica suya muy propia, independiente porcompleto del momento magnético que pudiera producirse debido al movimiento orbital delelectrón en torno al núcleo del átomo. El haz de partículas utilizado en el experimentoStern-Gerlach era un haz de partículas de plata pura (la cual por ser conductora deelectricidad manifiesta de este modo la disponibilidad del electrón en su capa externa paraser movido de un átomo a otro con relativa facilidad). El átomo de plata consta de unnúcleo y 47 electrones, de los cuales 46 de ellos pueden ser visualizados formando unanube electrónica simétricamente esférica sin momento angular neto. Puesto que el electrónposee una carga eléctrica (negativa), cualquier movimiento del mismo puede generar unpequeño campo magnético capaz de hacerlo interactuar con un campo magnético externono homogéneo. Y una manera en la cual el 47 avo electrón solitario pueda comportarsecomo un pequeño imán dándole de este modo al átomo de plata un momento magnético esgirando sobre su propio eje como si fuese un trompo:
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Si el electrón gira en sentido contrario, el campo magnético producido por la cargaeléctrica se invertirá en dirección:
A este movimiento del electrón sobre su propio eje se le denominó spin. Se le simbolizacon la letra S y se le relaciona con el momento magnético μ del electrón mediante unarelación de proporcionalidad:
μ � S
El spin del electrón S, siendo el símil (aunque intrínseco) del vector momento angular L,apunta en dirección opuesta a la dirección del vector momento magnético μ por la mismarazón señalada arriba, la signo negativo de la carga del electrón:
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Antes de llevarse a cabo un experimento Stern-Gerlach, se supone que los átomos de plataantes de entrar en el campo magnético están orientados al azar. Si el 47 avo electrón en elátomo de plata se comportase como una partícula clásica, esperaríamos ver reflejadostodos los valores posibles del momento magnético entre |μ| y |-μ| al llevarse a cabo lasalineaciones con el campo magnético. Pero al llevarse a cabo el experimento, sólo se vendos valores. De este modo, los dos valores posibles de la componente-z del spin S quellamaremos Sz+ y Sz- resultan ser múltiplos de alguna unidad fundamental del momento
angular, la cual resulta ser precisamente ħ. Numéricamente:
Sz = ħ/2____Sz = - ħ/2
El momento magnético μ del spin del electrón se mide en magnetones Bohr, dándoselearbitrariamente al momento magnético intrínseco del electrón el valor de un magnetón deBohr, y definiéndosele al magnetón de Bohr en términos de “unidades naturales” de lasiguiente manera:
En unidades SI:
___μB = eħ/2me = 9.27 400915 ×10-24 Joule/Tesla
____________= 5.7 9 ×10-5 eV/Tesla
En unidades Gassianas-CGS:
___μB = eħ/2mec = 9.27 400915 ×10-21 erg/Oersted
siendo e la carga del electrón, me la masa del electrón, y c la velocidad de la luz.
PROBLEMA: Se prepara un experimento Stern-Gerlach para el cual se utilizan átomos deplata que recorren una distancia de 10 centímetros a lo largo de un campo magnético nohomogéneo cuyo gradiente es de 60 Teslas/metro. Calcúlese la velocidad de los átomos deplata si la separación entre los dos haces observada en la pantalla de recolección es de
0.15 milímetros. Tómese para el átomo de plata una masa de 1.79·10-25 Kilogramos.
Puesto que la separación total 2Δz entre los dos haces es de 0.15 milímetros, la distancia Δzque se desvía cada haz a lo largo del eje-z será:
2Δz = 0.15·10-3 metro
Δz = 7 .5·10-5 metro
La fuerza que obra sobre un átomo de plata es:
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Usando las relaciones anteriores y con |ms| = 1/2 tenemos entonces:
Metiendo números en el sistema de unidades SI:
Fz = (9.27 ·10-24 joules/Tesla)(60 Teslas/metro)
Fz = 5.562·10-22 Newtons
Esta es la fuerza que actúa sobre cada átomo de plata provocándole una desviación a lolargo del eje vertical (eje-y). Puesto que la fuerza no actúa en el sentido horizontal (eje-x) alo largo del cual la partícula sale disparada desde el horno moviéndose a velocidadconstante, podemos equiparar la trayectoria con un movimiento parabólico como elsiguiente:
De la velocidad de la partícula a lo largo del eje horizontal tenemos simplemente:
Δx = vt
t = Δx/v
Para el movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje-z tenemos entonces:
Δz = azt²/2 = az(Δx/v)²/2
Δz = azt²/2 = azΔx²/2v²
v² = azΔx²/2Δz
De la segunda ley de Newton, Fz = mAgaz, en donde mAg es la masa de un átomo de plata. De
esto tenemos az = Fz/mAg que podemos substituír arriba para escribir:
v² = FzΔx²/2mAgΔz
Haciendo las substituciones numéricas con los valores de arriba:
v² = (5.562·10-22 Nt)(0.1 m)²/2(1.7 9·10-25 Kg)(7 .5·10-5 metro)
v = 455 metros/segundo
El hecho de que el electrón en un átomo pueda tener dos orientaciones de spin endirecciones contrarias, con una orientación situada a un nivel de energía mayor que la otra,abre la posibilidad de que un electrón en un átomo situado en un nivel de energía mayor(más inestable) pueda caer a un nivel de energía menor (más estable), cambiando en efecto
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su orientación. Este cambio en la orientación del spin es conocido como vuelco de spin(en la literatura técnica en inglés se le conoce como spin-flip), y viendo lo que ocurre en elmodelo atómico planetario de Bohr, la emisión de un fotón cuando el electrón cae de unaórbita superior a una órbita inferior, se abre la posibilidad de que pueda ocurrir lo mismo alcambiar la orientación del spin:
En este caso, la emisión del fotón ocurre sin que el electrón cambie su órbita en torno alnúcleo atómico, lo único que cambia es el sentido de su orientación. Este fenómeno dehecho ocurre y ha sido observado. El ejemplo más importante, históricamente hablando,ocurrió en los años treinta del siglo XX cuando se descubrió un “silbido” de radiofrecuenciaque variaba en un ciclo diario y que parecía ser de origen extraterrestre. Tras sugerenciasiniciales de que este “silbido” pudiera ser ocasionado por el Sol, se observó que las ondas deradio parecían venir del centro de la galaxia. Estos descubrimientos fueron publicados en1940, y fue Hendrik van der Hulst quien en 1944 descubrió que el hidrógeno neutral podíaproducir una radiación con una frecuencia de 1420.4058 MHz a causa de dos niveles deenergía cercanamente espaciados correspondientes al estado basal (fundamental) delhidrógeno. De este modo, la línea de 21 centímetros (1420.4 MHz) fue detectada por vezprimera en 1951, y un año después se llevaron a cabo los primeros mapas del hidrógenoneutral en la galaxia, revelando por vez primera la estructura espiral de la Vía Láctea. Acontinuación se muestra una “fotografía” del grupo galáctico M81 tomada no con telescopioóptico alguno sino con la ayuda de un radiotelescopio midiendo la emisión deradiofrecuencia de la línea de 21 centímetros:
La fotografía óptica del mismo grupo galáctico es la siguiente:
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PROBLEMA: La línea de 21.10611405413 centímetros ha sido utilizada extensamente enradioastronomía para delinear el mapa de la Vía Láctea. Suponiendo que ésta línea surgede la emisión de un fotón cuando el electrón en un átomo galáctico “vuelca” su spin desdeestar “alineado” hasta estar “anti-alineado”, determinar la magnitud del campomagnético que experimenta el electrón al momento de producirse el vuelco.
Determinamos primero la cantidad de energía que lleva un electrón cuya longitud de ondaes de 21 centímetros:
ΔE = hf = hc/λ = (12.4·103 eV·Å)/(21·108 Å) = 5.9·10-6 eV
A continuación, tomando Bx = By = 0 y usando el valor |ms| = 1/2:
E = - μBz = - μB
E = -[(- eħ/me) ms]B
E = (eħ/me) msB
ΔE = (eħ/me)ΔmsB
Usando valores:
5.9·10-6 eV = [(2)(5.7 9·10-5 eV/Tesla)[(1/2) - (-1/2)]B
B = 0.0510 Tesla
P U B L I C A D O P O R A R M A N D O M A R T Í N E Z T É L L E Z E N 2 3 : 2 0
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