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8/17/2019 14. Física (1-8)
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VECTORES UNITARIOS
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2UNI 2014 - III FÍSICA
Reescribiendo esta expresión tenemos
A A A u
....................... (3)
Donde el vector A
es una magnitud vectorial
cualquiera, por ejemplo: un vector fuerza. Todo vector
posee pues un módulo, representado por la cantidad
escalar A y una dirección determinada por el vector
adimensional Au
, Fig. 3.
III. VECTORES UNITARIOS RECTANGU-
LARES
La manera de simplificar las operaciones en el algebra
vectorial, se hace uso de los vectores unitarios
rectangulares (versores rectangulares) ˆˆ ˆi, j y k , los
cuales serán usados para definir las direcciones positivas
de los ejes x, y y z.
z
x
yik
j
Fig 4
Haciendo uso de la ecuación (3), las componentes del
A
en la Fig. 2 se pueden expresar en función de los
Vectores Unitarios Rectangulares.
Por ejemplo:
Si A
esta dirigido a lo largo del eje x positivo se
expresara como sigue
xˆ A A i
Si A
se encuentra en el plano x - y se expresara como
sigue
x yˆ ˆ A A i A j
Si A
se dirige dentro de un octante del marco x, y y
z, se expresara como sigue
x y zˆˆ ˆ A A i A j A k
……………… (4)
También es posible representarlo así:
x y z A (A ,A , A )
IV. MAGNITUD DE UN VECTOR CARTE-
SIANO
Siempre es posible obtener la magnitud de un vector
cuando esta expresado en términos de sus
componentes rectangulares.
Por ejemplo:
Si: x y x yˆ ˆ A A i A j (A , A )
Su módulo será: 2 2x y A A A
Si: x y z x y zˆˆ ˆ A A i A j A k (A ,A , A )
Su módulo será: 2 2 2x y z A A A A
A los ángulos que forman el vector con cada uno de
los ejes rectángulares se les denomina ángulos
directores, y a los cosenos correspondientes cosenos
directores para los cuales se cumple:
Az
Z
y
Ay Ax
x
A
yx z A A A
Cos Cos Cos A A A
2 2 2Cos Cos Cos 1
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VECTORES UNITARIOS
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Luego el vector se puede expresar como:
x y z x y z A A i A j A k (A ;A ;A )
A A(Cos i Cos j Cos k)
V. PRODUCTO ESCALAR DE VECTORES
El producto escalar (punto) de dos vectores a
y b
(no nulos) se define por:
b
a
a.b | a | b | Cos
(Escalar)
Propiedades del producto escalar.
1. a . b b .a
2. a . b b .a
3. a .(b c) a .b a. c
4. 2 2 2 2x y za.a | a | a a a
5. Si: a b: a .b 0
Expresión en componentes rectangulares:
1. ˆi.i j . j k .k 1; i. j i.k j.k 0
2.
x y zx x y y z z
x y z
a a i a j a k a.b a b a b a b
b b i b j b k
VI. PRODUCTO VECTORIAL DE VECTORES
Para dos vectores A y B
(no nulos) su producto
vectorial (aspa) es otro vector N A B
con lassiguientes características:
1 . Módulo: | N| | A B | | A ||B |Sen
2. Direccción: Perpendicular al plano definido por
A y B
3. Sentido: Determinado por la regla de la mano
derecha.
(a) El producto vectorial entre dos vectores es un
vector perpendicular a ambos vectores en la dirección
dada por la regla de la mano derecha (b). Si se cambia
el orden de los vectores en el producto vectorial, se
invierte el sentido del vector.
A
A x B
SentidoPositivo
de A a B
B
(a)
A
B
B x A A x B= –
(b)
Propiedades del producto vectorial:
1. A B –B A
2. A B C A B A C
3. A B (A B)
4. Si: A //B : A B 0
Expresión en componentes rectangulares:
1.
i i j j k k 0
i j k j k i k i j
ˆ j i –k k j –i i k –j
2.
x y z x y z
y z z y z x x z x y y x
A A i A j A k B B i B j B k
A B i A B –A B j(AB –A B ) k(A B –A B )
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VECTORES UNITARIOS
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4UNI 2014 - III FÍSICA
Problema 1
Dado los vectores A
y B
tales que:
A B i j y A B 2i j
Hallar 2 2 A B
A) 1 B) 2
C) 3 D) 4
E) 5
Resolución:
Como:
A B i j
A B 2i j
32A 3i A i y2
1B i j2
piden: A2 – B2
22 2
22 2 3 1 A B 12 2
9 11
4 4
Respuesta: A) 1
Problema 2
Determine el módulo del vector
resultante si:
A 8 i 5 j
B 4 i 6 j
C 9 2 j
A) 13 B) 21
C) 26 D) 29
E) 30
Resolución:
Se sabe
R A B C
(8i 5j) ( 4 6 j) ( 9i 2 j)
R ( 5i 1j) ( 5;1)
2 2|R | ( 5) (1) 26
Respuesta: C) 26
Problema 3
Determine el vactor resultante del
sistema de fuerzas mostrado.
1 3F 5 i F 6 i
2F 4i
A) 5 i
B) 6 i
C) 7 i D) 8 i
E) 9 i
Resolución:
Sabemos:
1 2 3R F F F
(5i) ( 4 i) (6i)
7 i
Respuesta: C) 7 i
problemas resueltos
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5UNI 2014 - III FÍSICA
CINEMÁTICA I
FÍSICA
I. CONCEPTOPodemos decir que la CINEMÁTICA, es parte de la
mecánica que estudia el movimiento mecánico de
los cuerpos, sin considerar las causas que lo originan o
la modifican, es decir estudia las características geo-
métricas del movimiento mecánico.• ¿Qué es el movimiento mecánico?
Es el cambio continuo de posición de un cuerpo
con respecto a otro.
Por ejemplo observemos el movimiento del balón
mostrado en la figura, este realiza movimiento me-cánico, por que cambia de posición respecto al
jugador "A".
• ¿Por qué decimos que el movimiento mecáni-co es relativo?Porque depende del observador o cuerpo de refe-
rencia. Por ejemplo en el gráfico vemos que para
el observador "A" el foco realiza movimiento me-cánico pero para el observador "B" no, porque no
cambia de posición respecto a él.
=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/
(A)(B)
V
foco
=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/
(A)
(B)
V
foco
El fococambia deposición
El foco nocambia deposición
II. ELEMENTOS DEL MOVIMIENTO MECÁ-
NICO
El movimiento mecánico posee los siguientes elementos:
A. Vector posición ( r )
Nos indica la posición del móvil en un instante detiempo.
• Ar : Vector posición en (A).
• Br : Vector posición en (B).
B. Vector desplazamiento (r)
Es aquel vector que nos indica el cambio de posi-
ción del móvil.
B Ar r r
UnidadS.I.(metros :m)
C. Espacio (e)
Es la longitud de la trayectoria entre 2 puntos cual-
quiera. Esun escalar que se expresa en cualquier
unidad de longitud.
D. Distancia (D)
Es la longitud o módulo del vector desplazamiento.
d | r |
DESARROLLO DEL TEMA
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CINEMÁTICA I Exigimos más!
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III. MEDIDAS DEL MOVIMIENTO MECÁNICO Velocidad ( V )
Es una magnitud física vectorial que nos expresa me-
diante su valor la rapidez con que un cuerpo cambia
de posición y además nos indica en qué dirección se
mueve el cuerpo.
Además la velocidad se puede medir en un intervalode tiempo (velocidad media) o en un instante
(velocidad instantánea).
Velocidad media ( M V )
Se define:
B AM
r r r V UnidadS.I.m /st t
El módulo de la velocidad media se calcula:
Mdd | r | V UnidadS.I.m/st
d: distancia (metros: m)
t: tiempo (segundos: s)
También se define la rapidez media (m) como:
e UnidadS.I.m/st
e : espacio (metros: m)
t : tiempo (segundos: s)
Velocidad instantánea ( V )
Determinada para cada instante de tiempo. Se repre-
senta por un verctor tangente a la trayectoria en el
punto considerado, indicando su módulo la distancia
que recorrería el móvil en la unidad de tiempo.
Distancia Recorrida V
Unidadde tiempo
Rapidez media (R. M)
Cantidad escalar que se relaciona con la distancia reco-
rrida por el móvil durante un intervalo de tiempo, se
determina por:
Dist ancia RecorridaR.M.
Tiempoempleado
La rapidez media mas representa el valor de la veloci-
dad con la cual debería moverse el móvil para recorrer
con movimiento uniforme y en el mismo tiempo la dis-
tancia que ha recorrido con movimiento variado.
IV. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFORME(MRU)Es aquel movimiento rectilíneo en el que el móvil reco-
rre distancias iguales en tiempos iguales, es decir su
velocidad permanece constante.
Se cumple: d vt
donde: d: distancia (m – km)
v: velocidad (módulo) (m/s – km/h)
t: tiempo (s – h)
• Tiempo de encuentro (te)
=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/
te V A VB
d
A B
dte Unidad(s) V V
• Tiempo de alcance (ta)
=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/=/
ta V
A Va
d
A B
dta Unidad(s) V V
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CINEMÁTICA II
FÍSICA
I. MOVIMIENTO RECTILÍNEO UNIFOR-MEMENTE VARIADO (MRUV)
Es aquel movimiento rectilíneo con aceleración cons-tante, es decir el móvil varía su velocidad en la misma
proporción en intervalos de tiempos iguales. Por ejem-
plo, si un cuerpo acelera con 3 m/s2, decimos que
cada segundo su velocidad varía en 3 m/s.
a = 3m/s2
A. Elementos del MRUV
• v0 : Velocidad inicial (m/s)
• vF : Velocidad final (m/s)
• a : aceleración (m/s2)
• t : t iempo (s)
• d : distancia (m)
B. Ecuaciones
20
0 F
F 0
2 2F 0
11. d v t at2
v v Cada cantidad viene con su2. d t2 respectivo signo el cual depende
3. v v at del sentido tomado como positivo
4. v v 2ad
Desplazamiento en el enésimo segundo (dn)
n 01d v a(2n 1)2
• n : enésimo segundo• a : aceleración (m/s2)
• v0: velocidad inicial (m/s)
II. MOVIMIENTO VERTICAL DE CAÍDA LIBREEs aquel movimiento con aceleración constante de tra-
yectoria vertical, donde la única fuerza que actúa es la
fuerza de la gravedad (Es decir no se considera la
resistencia del aire)
• Elementos y Ecuaciones del MVCL
v0
vF
t
g
(A)
(B)
h
1. h = v0t +12
gt2 2. h = 0 Fv vt
2
3. vF = v0 + gt 4. vF2 = v0
2 + 2gh
Donde:
• v0 : Velocidad inicial (m/s)
• vF : Velocidad final (m/s)
• g : aceleración de la gravedad (m/s2)
• h : altura (m)
• t : tiempo (s)
Análisis del MVCL
(A)
v0
(B)
vM
vN NM
P
g HMAX
DESARROLLO DEL TEMA
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CINEMÁTICA II Exigimos más!
8UNI 2014 - III FÍSICA
• Se cumple:
i) tSUB = tBAJ = g
v0
t VUELO = tSUB + tBAJ = g
v20
ii) H MAX =
g2
v2
0
iii) v A = vB y vM = vN
(A alturas iguales rapideces iguales)
iv)
NMB A v v y v v
(A alturas iguales las velocidades no son iguales)
v) vp = 0m/s (En el punto más alto la rapidez es nula)
Los números de Galileo
Considerando g = 10 m/s2, se cumple:
1s
v0=0 m/s
g=10m/s2
10sm
1s
20sm
1s
30sm
1s
40sm
5m
15m
25m
35m
Nota: Para el movimiento rectilínio las diferentes cantidades vectoriales se convierten en cantidades
algebraicas cuyo signo depende de como se oriente el eje elegido.
Para el caso de un M.R.U.V. se tiene por ejemplo:
Movimiento
Acelerado
V
aumentado
Movimiento
Desacelerado
V
disminuye
V(–) V(+) X
a(–) a(+)
(–) (+) X
a(+) a(–)
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9UNI 2014 - III FÍSICA
CINEMÁTICA III
FÍSICA
GRÁFICAS DEL MRU - MRUV
I. GRÁFICAS EN CINEMÁTICAEn el estudio de las magnitudes cinemáticas es co-
mún encontrar una relación entre dos o más magni-
tudes, de tal manera que si aumenta el valor de una
de ellas, entonces cambia el valor de la otra (aumen-
tando o disminuyendo); por lo tanto se afirma que
entre ellas existe una proporción (directa o inversa)
a una variación lineal, cuadrática, cúbica, etc, en ge-
neral se dice que una de ellas está en función de la
otra.
Cuando una magnitud es función de otra, entonces
se puede construir una gráfica que relacione a dichasmagnitudes y para ello se emplean los ejes rectangu-
lares x – y, en cinemática encontramos que la veloci-
dad, la aceleración y la posición de móviles se pue-
den expresar en función del tiempo, por lo tanto se
pueden construir los gráficos correspondientes.
Relaciones básicas
A. Proporción Directa
y
xO
MagnitudDependiente
xMagnitud
Independiente
y k(Cons tante)x
y kx
k Tg (pendiente)
B. Variación Lineal
y
xO x
V0
0y kx y
C. Variación Cuadrática
y
xO x
y Semiparábola
2
2
y k(Constante)x
y kx
II. EN EL MRUV
A. Gráfica V - t
En este caso la gráfica es una línea horizontal para-lela al eje del tiempo, esta se debe a que la veloci-dad es constante y no depende del tiempo trans-currido.
DESARROLLO DEL TEMA
V
tO t
V
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Propiedad:
d Área
Observación:
(a) Primer cuadrante área (+)
Desplazamiento hacia la derecha
(b) Cuarto cuadrante área (–)
Desplazamiento hacia la izquierda
Nota 1.
Así por ejemplo
V
tO
k
d(+)
d
Movimiento haciala derecha (d = 0)
V
k
O
d(–)
t
dMovimiento haciala izquierda (d = 0)
V
Propiedades
1. El área comprendida entre la recta representati-va y el eje temporal nos da la distancia recorrida.
d = Área
2. La sumatoria algebráica de las áreas considerando
signos positivos para los ubicados encima del eje
positivo y signo negativo para los ubicados por
debajo, nos da el desplazamiento efectuado.
arriba debajo
del eje t del eje td S – S
Otro ejemplo:
yx1
O
x2
t1
t2t
V+V1
O
–V2
t1 t2t
V2
x2
V1
O x
1
2. Gráfica x – t
En este caso la gráfica es una línea recta inclina-
da la cual no necesariamente pasa por el origen
de coordenadas, esto se debe a que el móvil va
cambiando de posición durante el transcurso del
tiempo.
x
t
x
x0
0t
Propiedad.
V Tg
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Importante:(a) Desplazamiento hacia la derecha.
x
x0
0t
V
0 x0x
V tg (positivo)
(b) Desplazamiento hacia la izquierda.
x0
0t
V
0 x0x
. . .
V Tg Tg
(c) Cuerpo en reposo.
x
x0
Ot
t
0
1. Gráfica a – t
En este caso la gráfica es una línea horizon-
tal paralela al eje del tiempo, esto se debe a
que la aceleración es constante y no de-
pende del tiempo transcurrido.
a
0 t t
a
Propiedad:
F 0 V – V área
2. Gráfica V – t
En este caso la gráfica es una línea rectainclinada cuya pendiente puede ser positivao negativa, esto se debe a que la velocidaddel móvil va cambiando continuamente ya
sea aumenta o disminuyendo asó comotambien cambiando su dirección.
V
0 tt
Vt
Vi
Propiedad:
a Tg d área
Observaciones:
Si el móvil parte del reposo la gráfica es:
V
t
V1
t0
Si el móvil desacelera la gráfica es:
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V V1
0
a = Tg
t
t
Pero:
Tg Tg a Tg
3. Gráfica x – t.
En este caso la gráfica es un arco de pará-
bola cuyo eje es vertical paralelo al eje de
coordenadas (x), si el móvil parte del repo-so la gráfica es una semiparábola, cumplién-
dose que en cada punto de la gráfica la pen-
diente nos da la velocidad instantánea del
móvil.
x
x0
Ot
t
x Arco deparábola
Propiedad:
V Tg
Para recordar:
(a) Área debajo de la gráfica (MRU).
1020304050
60
1 2 3 4 5 6t(s)
V(m/s)
Área Área = (6 – 2)(40) = 160 d = 160 m
(b) Área debajo de la gráfica (MRUV).
510152025
30
2 4 6 8 10t(s)
a(m/s )2
Área Área = (8 – 2)(25) = 150 d = 150 m/s
0
Para recordar:
(a) Área de triángulo
b
b
b.h Área2
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CINEMÁTICA III Exigimos más!
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Problema 1
Una partícula se muestra a lo largo del
eje x de acuerdo a la gráfica posición
(x) - tiempo (t).
Hállese su velocidad media entre. t1 = 5s
y t2 = 15s.
20
108
–10
5
15 t
25(s)
x(m)
O
A) 3 m/s
B) – 1,5 m/s
C) –3 m/s
D) 2 m/s
E) 1,5 m/s
Resolución:
Recordemos que la velocidad media sedetermina por:
2 1m
2 1
x – xx Vt t – t
De la gráfica: 1 1t 5s x 20m y
2 2t 15s x 10m .
m m(–10) – (20) m V V –3(15) – (5) s
Respuesta: C) –3 m/s
Problema 2
Dos móviles A y B recorren la misma
recta, variándo sus velocidades según
indica la gráfica v-t. Si en el instante
en que sus velocidades se igualan, el
desplazamiento de A es el triple del
desplazamiento de B, obtener la ace-
leración de B (en m/s2).
V(m/s)
10
10
B A
Ot(s)
A) 2
B) 4
C) 0,2
D) 0,4
E) 5
Resolución:
Recordemos que en la gráfica v-t eldesplazamiento (distancia) está indica-
da por el área que encierran la gráfica
con el eje de los tiempos.
Las velocidades se igualan cuando las
gráficas se cortan, luego hallando el
instante cuando se igualan.
10
10
B A
Ot
A2A
t
10(t –10) A2
..........(1)
10t3A2
.................(2)
(1) en (2):
103
(t –10)
2
10
t
2t 15s
Luego la aceleración de B:
10a a 2t–10
Respuesta: A) 2
Problema 3
Un móvil de mueve a lo largo del eje
x, y su velocidad varía con el tiempo
de acuerdo a la gráfica que se mues-
tra. Señale la veracidad (V) o falsedad
(F) de las siguientes proposiciones.
( ) El desplazamiento durante los pri-
meros 15 es –750m.
( ) La velocidad media durante los pri-
meros 10 s es 25 m/s.
( ) La longitud total recorrida duran-
te los 15 s es 1250 m
50
0
–100
5 15t(s)
A) VVV
B) FFF
C) VFV
D) FFV
E) VFF
problemas resueltos
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CINEMÁTICA III Exigimos más!
14UNI 2014 - III FÍSICA
Resolución:
50
0
–100
5 15
V
A2 A3
10 t A1
(V) Desplazamiento ( x)
1 2 3 1 2 3x A – A – A A – (A A )
x 50(5) –100(10)x –750m
(F) velocidad media (0; 10 s):
1 2m
A – A 5(50) – 5(100) V10 10
Vm = –25 m/s
(V) Longitud recorrida:
1 1 2 3L A A A L 50 (5) 100 (10)
L 1250 m
VFV
Respuesta: C) VFV
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15UNI 2014 - III FÍSICA
CINEMÁTICA IV
FÍSICA
I. MOVIMIENTO EN EL PLANO CON ACE-LERACIÓN CONSTANTEEn este movimiento se tiene que la aceleración media
es igual a la aceleración instantánea, es decir no interesa
el intervalo de tiempo en el cual se determina.
Considerando 0t 0 tenemos que la velocidad se
puede expresar como:
V V aT
Ecuación vectorial
la cual expresada en componentes cartesianas nos da:
x 0x x y 0y y V V a T V V a T Ecuaciones escalares
Y (+)
y
0 x
(+)X
a=const.
V
Estas últimas ecuaciones nos sugiere que este
moviminto se puede considerar como la combinación
de dos movimientos rectilineos con aceleración
constante a lo largo de cada uno de los ejes. Luego
las ecuaciones para cada una de los movimientos
tenemos:
Luego el vector posición se determina por:
en forma analoga tenemos que:
Nota:
(1) Cada una de las cantidades que intervienen en las
diferentes ecuaciones escalares tienen un signo quedepende de su orientación con respecto a los ejes
coordenados
(2) En general la trayectoria recorrida por el móvil es
una parabola. En el caso particular que la velocidad
inicial sea paralela a la aceleración, la trayectoria sera
una línea recta.
DESARROLLO DEL TEMA
EJE X EJE Y
xa cte: M.R.U.V. ya cte :M.R.U.V.
x ox x V V a t y oy y V V a t
2o ox x
1x x V t a t2
2o oy y
1y y V t a t2
x oxo
V Vx x t
2
y oyo
V Vy y t
2
2 2 2 2x y o x y V V V V 2a x 2a y
2 2x ox x V V 2a x 2 2
y oy y V V 2a y
2o o
1ˆ ˆr Xi yj r V t at2
o o oˆ ˆr X i y j
o ox oyˆ ˆ V V i V j
o x yˆ ˆa a i a j
2 2o V V 2a. r
ˆr x2 yj
ox x x oy y y
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CINEMÁTICA IV
16UNI 2014 - III FÍSICA
II. MOVIMIENTO PARABÓLICO DE CAI-DA LIBRE (MPCL)
A. Concepto
Es aquel movimiento con aceleración constante,
cuya trayectoria es una línea curva denominada
parábola. También podemos decir que este es un
movimiento compuesto porque está formado por:
Eje x: MRUsi : g // ejeY
Eje y: MVCL
B. Elementos
Donde:
• : ángulo de elevación
• L: alcance horizontal
• tv: tiempo de vuelo• HMax: altura máxima
Análisis del movimiento
HMAX
(A)
V0y
Vx
V
Vy V
Vx
V =VP x
Vx
Vy V g
V0y
Vx
V
y
x
Se cumple:
1. V : permanece constante
V : varía debido a la aceleración de la gravedad
x
y
2.oy
v SUB BAJ
2Vt t t
g
3.2
oyMAX
VH
2g
4. 2 2x y V V V
5. VM = VN (a alturas iguales rapideces iguales).
6. VP = Vx (no es cero).
C. Fórmulas del MPCL Para resolver un problema de MPCL, no hay fórmu-
las, se utilizan las ya conocidas del MRU (en el eje x)
y las del MVCL (en el eje y), teniendo en cuenta
que el tiempo es común en ambos ejes.
Eje x: x = Vx . t
Eje y: 20
1y V t gt2
0 F(V V )ty
2
y yF 0 V gt
y y
2 2F o V V 2gy
D. Propiedades
1.
MAX4HTan
L
2.
90
3. Alcance horizontal máximo: (LMAX):
2
MAX VL cuando 452g
4.
h hTana b
ya g
8/17/2019 14. Física (1-8)
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CINEMÁTICA IV
17UNI 2014 - III FÍSICA
Problema 1
El gráfico muestra la velocidad versus
la posición x de una partícula que parte
del origen de coordenadas en el
instante t = 0 s con una aceleración
constante. Dadas las siguientes
proposiciones:
I. La aceleración de la partícula es de
8 m/s2.
II. La partícula pasa por x = 4,0 m en
el instante t = 1,0 s.
III. La velocidad de la partícula en elinstante t = 5,0 s es de 20,0 m/s.
Señale la alternativa que presenta la
secuencia correcta después de
determinar si la proposición es
verdadera (V) o falsa (F).
UNI 2009 - II
A) FFF B) FFV
C) VFV D) FVF
E) VVV
Resolución:
Del gráfico:
2 2f V Vo 2ad 36 = 4 + 2a(4)
a = 4 m/s2
Ecuación posición x = xo + Vot +12
at2
x = 2t + 2t2 V = 2 + 4t
I. Falso a = 4m/s2
II. Verdadero para t = 1s; x = 4m
III. Falso en t = 5s; V = 22m/s
Respuesta: D) FVF
Problema 2
Un cuerpo es soltado desde una altura
de 180 m. Hallar la rapidez final cuando
este llega al suelo. (g = 10 m/s2
)
180mt g
Vi=O
A) 50 m/s B) 20 m/s
C) 60 m/s D) 30 m/s
E) 10 m/s
Resolución:
Aplicamos: 2
i
1h V t gt
2
21180 (0)t (10)t2
t 6 s
Ahora: usamos VF = Vi + gt
VF = 0 + (10)(6)
VF = 60 m/s
Respuesta: C) 60 m/s
Problema 3
Un proyectil es lanzado verticalmente
hacia arriba con una rapidez de 20 m/s,si el proyectil choca contra el techo con
una rapidez de 10 m/s, calcular a que
altura está el techo. (g = 10 m/s2)
A) 20 m B) 10 mC) 5 m D) 15 m
E) 30 m
Resolución:
Aplicaciones 2 2F i V V 2gh
Reemplazando valores:
(10)2 =(20)2 – 2(10)H
H = 15 m
Respuesta: D) 15 m
problemas resueltos
8/17/2019 14. Física (1-8)
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8/17/2019 14. Física (1-8)
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MCU
19UNI 2014 - III FÍSICA
a. Periodo (T,P)
Tiempo mínimo al cabo del cual se repite elmovimiento
b. Frecuencia (f)
Rapidez con la cual se repite el movimiento.
Cumpliéndose:T 1f
Nota:
(1) Recordar que el ángulo se puede expresar en grado sexagesimales, radian o vueltascumpliendose la relación:
1 vuelta 360 2 rad.
(2) En el caso que el ángulo se exprese en vueltas o revoluciones la rapidez angular y lafrecuencia son numericamente iguales.
8/17/2019 14. Física (1-8)
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20UNI 2014 - III FÍSICA
MCUV
FÍSICA
I. MOVIMIENTO CIRCULAR UNIFORME-MENTE VARIADO (M.C.U.V)
A. Conceptos previos
1. Aceleración tangencial o lineal ( Ta )
Si un cuerpo se desplaza por una curva y el valor
o módulo de su velocidad tangencial cambia, en-
tonces aparece la aceleración tangencial cuya di-
rección será tangente a la circunferencia y su sen-
tido coincidirá con el de la velocidad tangencial si
el movimiento es acelerado y será de sentido
opuesto a ella, si el movimiento es desacelerado.
Unidades: 2 2
m cm; ;etcs s
F o
T V V
a ctet
a
V
R
Movimiento acelerado
a
V
R
Movimiento desacelerado
2. Aceleración angular ( )
Si un cuerpo se desplaza por una curva y su
velocidad angular cambia, entonces aparece laaceleración angular cuya dirección es
perpendicular al plano de rotación y su sentido
coincidirá con el de la velocidad angular si el
movimiento es acelerado y será de sentido
opuesto a ella si el movimiento es desacelerado.
F o cte
t
Unidades:
2 2 2 2
rad rad rev rev; ; ; ;etcs min s min
Movimiento acelerado
Movimiento desacelerado
DESARROLLO DEL TEMA
8/17/2019 14. Física (1-8)
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21UNI 2014 - III FÍSICA
MCUV
3. Aceleración (a)
Se denomina así a la resultante de la aceleración
tangencial con la aceleración centrípeta, tam-
bién se le denomina aceleración instantánea.
V
acp
a
Movimiento acelerado
aT
V
acp
a
Movimiento desacelerado
aT
Por el teorema de Pitágoras
B. Características del M.C.U
1. Ta = constante; Ta constante
2. = constante; = constante
3. cpa constante; cpa constante
4. En tiempos iguales la rapidez tangencial "V"
cambia cantidades iguales.
5. En tiempos iguales la rapidez angular " " cambia
cantidades iguales.
6. En tiempos iguales recorre arcos diferentes
realiza desplazamiento angulares diferentes.
C. Fórmulas
1. Tangenciales
aT aT
V1
V1
t
R R
S
Este gráfico es de un M.C.U.V. __________.
• f 1 T V V a t
• 2 2f 1 T V V 2a S
•2
1 T1
S V t a t
2
• n 1 T1S V a (2n 1)2
Sn = arco recorrido en el número de segundo
"n" (n-ésimo segundo)
Además: 1 f VSt 2
2. Angulares
i
R
R
f f
i
t
Este gráfico es de un M.C.U.V. _________.
• f i t
• 2 2f i 2
• 2i 1t t2
• n i1
(2n 1)2
n : ángulo descrito en el número de segundo
"n".
Además: i f
t 2
3. Relación entre la aceleración tangencial
"aT" y la aceleración angular "a"
f o f i f iT V V R R
a R t t t
Ta R
D. Movimiento de rodamiento
Cuando una rueda se mueve con rozamiento por
el piso se observa que su movimiento es el
resultado de un movimiento de traslación del centro
de la rueda y un movimiento de rotación con
respecto al centro de la rueda.
2 2T cpa a a T ca a a
T ca a
8/17/2019 14. Física (1-8)
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22UNI 2014 - III FÍSICA
MCUV
Exigimos más!
Resultante Traslación Rotación V V V
Velocidad resultante de cualquier punto de la rueda
Importante
Método práctico para determinar la velocidad re-
sultante V de un punto de la rueda:
V
V1
C.I. (Centro instantáneo)
1 ci V R
1 ci 1 V R
1 1
V R V R
donde:ci : es la velocidad angular con respecto al centro
instantáneo.
En un movimiento curvilíneo:
aN
V
La aceleración normal es perpendicular a la velocidad
(V):
2
Na
: Radio de curvatura
Problema 1
Una partícula se mueve en una
trayectoria circular de 4 m de radio de
tal manera que cada 4 segundos su
rapidez aumenta en 20 m/s. Si la
partícula partio del reposo, calcular el
desplazamiento angular (en rad)
después de 8 s de recorrido.
A) 30
B) 40
C) 50
D) 60
E) 70
Resolución:
Aceleración tangencial:
2T
va 5m/s
t
Luego la aceleración angular:
2TT
a 5a R .rad/s
R 4
Entonces el desplazamiento angular:
22
ott 5 8W 40rad2 4 2
Respuesta: B) 40
Problema 2 Al encender un motor eléctrico su eje
desarrolla un MCUV. Si durante el
segundo segundo logra girar 60
vueltas, determinese el número de
vueltas que logró durante el primer
segundo.
A) 20
B) 30
C) 40
D) 50
E) 60
Resolución:
Usando la gráfica w- t.
w
t
2h
h
0 1 2
x = ?
60
h(1)
x .........(1)2
2h(2)x 60 .......(2)
2
problemas resueltos
8/17/2019 14. Física (1-8)
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23UNI 2014 - III FÍSICA
MCUV
(1) en (2): x + 60 = 4 . (x)
x 20
Respuesta: A) 20
Problema 3
Una partícula desarrolla un movimiento
circular. Si al pasar por el punto P tiene
una aceleración 2a (–4i 3j)m/s
calcule su rapidez angular (en rad/s)en el punto P.
A) 1
B) 2
C) 3
D) 2
E) 3
Resolución:
Notemos que la aceleración centrípeta
tiene valor de:
2 2ta 4m/s w R w 1rad/s
4 m
O
y
xP
Respuesta: A) 1
8/17/2019 14. Física (1-8)
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24UNI 2014 - III FÍSICA
ESTÁTICA I
FÍSICA
Siempre que elevas, empujas, jalas, golpeas o das un
puntapié estás aplicando una fuerza sobre algún objeto.
Sin embargo, para nuestra sorpresa, no es necesario tocar
un cuerpo para ejercer una fuerza sobre él, por ejemplo,cualquier objeto, desde un botón hasta un avión es atraído
hacia el centro de la Tierra por la gravedad sin importar que
esté en contacto o no con la superficie.
Se puede reconocer la acción de una fuerza sobre un cuerpo
porque éste causa un movimiento (si el cuerpo estaba en
reposo) o causa un cambio de su velocidad (si el cuerpo
estaba ya en movimiento), sin embargo cuando son varias
fuerzas las que actúan es posible que en conjunto, el
resultado sea distinto, el cuerpo puede permanecer en
equilibrio; en este capítulo nos concentraremos en éste
aspecto de las fuerzas, el equilibrio de los cuerpos.
I. FUERZALlamaremos así a la magnitud vectorial que representa
en qué medida dos cuerpos interactúan y que es capaz
de cambiar el estado de movimiento de los cuerpos o
producir deformaciones en ellos. En el Sistema
Internacional de unidades se expresa en newton (N).
A. Las fuerzas de acuerdo a su naturaleza
1. Fuerza gravitatoria
Es la fuerza de atracción entre 2 cuerpos
cualquiera debido a la presencia de materia.
2. Fuerza electromagnética Aparece en in teracciones en tre 2 cuerpos
cargados eléctricamente.
3. Fuerza nuclear
Es el responsable de la estabilidad del núcleo
atómico (nuclear fuerte) y los procesos de
desintegración radiactiva (nuclear débil).
B. Algunos casos particulares
1. Peso
Es la fuerza de gravedad que ejerce la Tierra
sobre cualquier objeto cercano a su superficie.
PESO Peso mg
NOTA: En el próximo capítulo veremos que el
peso es proporcional a la masa es decir.
2. Tensión
Cuando jalas un cuerpo con una cuerda muy
liviana, la cuerda transmite tu fuerza hacia el
cuerpo; esta fuerza ejercida por las cuerdassobre los cuerpos se llama tensión.
F
T
T
F
3. Compresión
Cuando una fuerza externa actúa sobre una barra
tratando de comprimirla, ésta transmite dichafuerza al cuerpo con el que está en contacto. A la
fuerza ejercida por la barra se le llama compresión.
F
C
C
F
DESARROLLO DEL TEMA
8/17/2019 14. Física (1-8)
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ESTÁTICA I
25UNI 2014 - III FÍSICA
4. Reacción o contacto
Al poner en contacto un cuerpo con otro, las
moléculas reaccionan produciendo entre ellas una
fuerza de reacción; en general, ésta es oblicua
y tiene 2 componentes: la componente normal
y la componente de rozamiento, como se
muestra en la figura.
N R
f
FN: Reacción normal o normal
f: Fuerza de Rozamiento R: Reacción total
Se cumple: 2 2R N f = +
5. La fuerza elástica
Si una fuerza exterior actúa sobre un cuerpo
elástico (por ejemplo un resorte) produce una
deformación x; en respuesta, el resorte produce
una fuerza contraria proporcional a la deformación
sufrida, a ésta fuerza se le denomina fuerzaelástica.
x
Fe FExt
x
Fe FExt
Dentro de ciertos límites se cumple:
F K x
II. PRIMERA LEY DE NEWTON (LEY DE LAINERCIA)Basado en las observaciones de Galileo, Newton formuló
lo que se conoce como la primera Ley de movimiento.
"Un objeto en reposo o en movimiento con velocidad
constante permanecerá indefinidamente en ese estado
si ninguna fuerza actúa sobre el o si la resultante de
todas las fuerzas que actúan es nula".
Es decir sólo es posible cambiar la velocidad de un objeto
si una fuerza resultante actúa sobre él.
Se denomina inercia a la propiedad de los cuerpos de
oponerse a cualquier variación en su velocidad; el efecto
de la inercia es diferente en los cuerpos con diferente
masa. Es decir la masa es la cantidad de materia y está
asociado directamente a la inercia que los cuerpos
tienen.
III. TERCERA LEY DE NEWTON(LEY DE ACCIÓN Y REACCIÓN)Cuando un objeto ejerce una fuerza sobre otro, éste
ejerce sobre el primero una fuerza de igual magnitud,
igual dirección, pero de sentido contrario; a éste par
de fuerzas se les denomina acción y reacción .
Ejemplo:
Puedes comprobarlo fácilmente, para saltar empujas al
piso y la reacción te dá el impulso, para nadar empujas
el agua hacia atrás, la reacción te impulsa hacia
adelante.
Nota:
La acción y la reacción no se cancelan (a pesar de
ser opuestas) porque actúan sobre cuerpos
diferentes.
Nunca te olvides que las fuerzas aparecen en parejas.
IV. DIAGRAMA DE CUERPO LIBRE (D.C.L.)Para analizar las fuerzas que actúan sobre un cuerpo
(en movimiento o en reposo) es útil realizar un diagrama
que represente gráficamente las diversas fuerzas que
actúan sobre un cuerpo o sobre un sistema.
Se recomienda:
1. Seleccionar el o los cuerpos que se van a estudiar.
2. Aislar el cuerpo y elegir un sistema de coordenadas,
preferentemente con uno de sus ejes orientados
en la dirección del movimiento.
3. Graficar las fuerzas externas sobre el cuerpo.
Nota:Las fuerzas internas y las que ejerce el cuerpo sobreotros cuerpos no se grafican.
V. EQUILIBRIO DE PARTÍCULASPartícula es todo cuerpo (pequeño o no) en el cual
podemos ignorar su movimiento de rotación.
8/17/2019 14. Física (1-8)
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ESTÁTICA I Exigimos más!
26UNI 2014 - III FÍSICA
De la primera Ley de Newton podemos deducir que si
una partícula está en equilibrio sólo permanece así si la
resultante de las fuerzas es nula.
Equilibrio es el estado de reposo o de movimiento con
velocidad constante; físicamente son indistinguibles.
Es decir: matemáticamente.
F1
F2
F3
1 2 3F F F 0
+ + =
F 0
=
Analíticamente podemos descomponer las fuerzas en
los ejes coordenados, entonces.
XF 0=
Y F 0=
Nota:
1. Si sobre un cuerpo
0F se cumple:
=
=
( ) ( )
( ) ( )
F F
F F
2. Si sobre un cuerpo actúan varias fuerzas y la
0F dichas fuerzas pueden formar una
poligonal cerrada.
3. Si sobre un cuerpo actúan tres fuerzas y este
presenta equilibrio de traslación sin rotar, entonces
dichas fuerzas deben ser no paralelas y
concurrentes.
4. Ley de Lamy: En un cuerpo en equilibrio, sometido
a la acción de 3 fuerzas coplanares y concurrentes,
el módulo de cada fuerza es directamente
proporcional al seno del ángulo que se le opone.Formando un triángulo se tiene:
31 2 FF F
Sen Sen Sen
= =
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27UNI 2014 - III FÍSICA
ESTÁTICA II
FÍSICA
I. MOMENTO DE UNA FUERZA O TORQUE ( M
)
El momento de una fuerza M
, es una magnitud físicavectorial que mide el efecto de giro que produce una fuerzaal actuar en un cuerpo.Se debe tener presente que una fuerza al actuar sobre uncuerpo puede causar una serie de efectos como la deformaciónde un cuerpo cuando se estira o comprime un resorte. Tambiénpuede causar efectos de rotación, esto lo percibimos cuandouna puerta se abre o se cierra debido a una fuerza aplicada o elmovimiento del timón del automóvil debido a las fuerzas aplicadaspor las manos de un conductor.La primera condición de equilibrio asegura equilibrio de traslaciónde un cuerpo; sin embargo, no asegura que el cuerpo no rote.
F
F
F
FFF
Por ejemplo: si tenemos una barra homogénea suspendidaen su punto medio por una cuerda atada al techo.
Encontrándose en reposo se cumple: T = Fg, si ahoraaplicamos a los extremos de la barra, fuerzas verticales yopuestas tal como se demuestra:
FG
Siendo F1 = F2 la fuerza resultante sobre la barra siguesiendo nula, entonces la barra se mantiene en equilibrio detraslación. Sin embargo a causa de dichas fuerzas la barra
rota, entonces llegamos a la conclusión de que la primeracondición requiere de una segunda condición y dichacondición estará ligada con los efectos de rotación quepueden causar las fuerzas que actuan sobre un cuerpo yesto lo podemos caracterizar con una magnitud físicavectorial a la cual llamaremos (momento de fuerza).
F1
F2ROTACIÓN
El momento de una fuerza es una magnitud física vectorialque mide el efecto de rotación de una fuerza sobre uncuerpo en torno a un punto llamado centro de rotación,pero ¿de que dependerá el efecto de rotación? ¿De quédepende el momento de una fuerza?Para ello veamos un ejemplo de una puerta que puederotar en torno a sus bisagras.Si aplicamos una fuerza lejos de las bisagras, la puerta confacilidad se abre, eso es lo que hacemos diariamente; peroque sucede si ap licamos la misma fuerza pero en el mediode la puerta esta también rotará, pero con menos facilidad.
F F
DESARROLLO DEL TEMA
8/17/2019 14. Física (1-8)
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ESTÁTICA II Exigimos más!
28UNI 2014 - III FÍSICA
Y si aplicamos la misma fuerza cerca de las bisagras la puertagira pero con mucha dificultad.De ahí notamos que la capacidad de una fuerza para producirrotación no solamente depende de su modulo, sino tambiénde como y donde esta aplicada esta fuerza, es decir.Dependerá también de una distancia denominada (brazode palanca) tal que a mayor brazo de palanca mayor
será el efecto de rotación de la fuerza, es decir mayorserá su movimiento, pero cuando aplicamos una fuerzaen el eje de rotación esta fuerza no producirá efecto derotación en otras palabras, basta que la línea de acciónde la fuerza pase por dicho eje para que no produzcarotación.Por ello, es necesario que la línea de acción de la fuerza nopase por el centro de rotación para que se produzca unefecto de rotación tal como se muestra.
Centro demomentos (c.m.)
O
P F
L
d
Mlínea deacción de
furzabrazo defuerza
En este caso, el brazo de la fuerza (d) es la distancia máscorta desde el centro de momentos hasta la línea de acciónde la fuerza, resultando que son mutuamenteperpendiculares d F
, en consecuencia, el módulo del
momento de una fuerza se evalúa así:
FOM F.d= Unidad: N . m
La notación F0M se lee: modulo del momento de la fuerza F
respecto al punto O. Donde "O" es el centro de momentos.
Propiedades• Si d = 0, la línea de acción de la fuerza pasa por el
centro de momentos y no se produce ningún efectode rotación en ese caso.
O
F
FM 0=
• El momento será máximo cuando el brazo seamáximo (dmax), esto ocurre cuando F esperpendicular a la llave.
O
F
dmáx FmaxM F d=
• Se recomienda tomar como positivos los momentosque tienen un efecto de rotación en sentidoantihorario, y negativo los que tienen efecto derotación en sentido horario.
MF
O
(+)
ROTACIÓN ANTIHORARIA
MF
O
(-)
ROTACIÓNHORARIA
II. TEOREMA DE VARIGNONSi la resultante de un sistema de fuerzas coplanares esdifernte de cero, el torque que la resultante respectoa cualquier punto situado sobre el plano de acción dela fuerza es igual a la suma algebraica de los torques delas fuerzas componontes respecto del mismo punto:
R 1 2 3Si F F F F 0
F2 F3
F1
A
R 1 2 3
A A A AF F F FM M M M
III. POR FUERZAS O CULPASistema formado por dos fuerzas paralelas, de igualmódulo y dirigidas en sentidos contrarios.
F
F
Este sistema presenta las siguientes características:1) Su resultante ses nula por lo qu eno puede producirun movimiento de treslación.
2) Se caracterisa por un torque, independiente delcentro de momentos dado por:
M Fb
3) Produce un movimiento de rotación.4) Una cupla solo puede ser equilibrada por otra cupla
de igual torque pero de sentido cotrario.
IV. TEOREMA DE VARIGNONPara que un cuerpo se encuetre en equilibrio esnecesario qu ela suma d elos torques producidos por
cada una de las fuerzas que actúan sobre el, sonrespecto a cualquier punto sea igual a cero:
Nota:
1) Las condiciones del equi l ibr io sonindependientes entre si.2) Solo en el equilibrio se deben cumplir tanto laprimera como la segunda condición del equilibrio
AFM 0
Puntoarbitrario A :
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29UNI 2014 - III FÍSICA
Establece la leyes generales que rigen los movimientos de
los cuerpos.
I. INERCIA
La comparación de los resultados de la acción de una
misma fuerza sobre cuerpos diferentes conduce a la
noción de la inercia de los cuerpos. La inercia carac-
teriza la propiedad de los cuerpos materiales de cam-
biar más rápido o más lentamente la velocidad de su
movimiento bajo la acción de las fuerzas aplicadas.
La masa del cuerpo (m) es una magnitud física escalar
que es la medida cuantitativa de la inercia del cuerpo.
En mecánica se considera que la masa es constante
para cada cuerpo dado, osea no depende de la veloci-
dad del cuerpo cuando es pequeña comparada con la
velocidad de la luz.
A. 2.a ley de Newton
Toda fuerza resultante no nula que actúa sobre un
cuerpo de masa constante le comunica una acelera-
ción resultante, que tiene la misma dirección y sen-
tido que la fuerza resultante, siendo su valor direc-
tamente proporcional al valor de la fuerza resultante
e inversamente proporcional a la masa del cuerpo.
F4
F1
F2F
3
y
xFR
a
m
FR
F=
m
Luego: R F m a
B. Fuerza de gravedad (P)
Es la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la
Tierra (planeta) sobre un cuerpo que se encuentra
en sus cercanías.
Su dirección es vertical y hacia abajo (señala hacia
el centro de la Tierra). Su punto de aplicación es
el centro de gravedad del cuerpo.
P mg
Nota: Si un cuerpo está en caída libre, la única
fuerza que actúa sobre él es su peso.
C. Aplicación de la Segunda ley de Newton
1. Movimiento rectilíneo
Para este caso la aceleración es paralela a la
trayectoria rectilínea y en éste caso se reco-
mienda descomponer las fuerzas en una com-
ponente paralela y perpendicular a la trayec-
toria rectilínea.
Luego:
x xF ma ; y yF ma
Ejemplos:
•
x x
1 2
y y
1
F ma
F Cos F ma
F ma 0
F Sen N P
DESARROLLO DEL TEMA
DINÁMICA
FÍSICA
8/17/2019 14. Física (1-8)
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DINÁMICAExigimos más!
30UNI 2014 - III FÍSICA
•
x x
y y
F ma 0
F ma
F P ma
•
x x
y
F ma
mgSen ma
a gSen
F 0
N mgCos
Para sistemas de cuerpos que tienen la misma
aceleración en valor se puede aplicar:
(favor de a) (contra de a)F Fa
masas
Ejemplos:
•
2 1 2 1
1 2 1 2
P P (m m ) ga
m m m m
•
2
1 2
m ga
m m
2. Movimiento circular
La fuerza resultante se descompone en com-
ponentes radial (fuerza centrípeta) y tangencial
(fuerza tangencial). Las fuerzas sobre el cuerpo
también se descompone en componentes ra-
diales y tangentes.
• Eje radial (y)
cp radiales cpF F ma
2
2cp
mVF mW R R
Donde:
cp
vanhacia alejan delF F F
el centro centro
• Eje tangencial (x)
RTangencial tangencial TF F ma
Para el M.C.U.
T RTangenciala 0 F F Tangencial 0
R cpF F módulo constante
Observación:
La fuerza centrípeta (Fcp) es la componente
radial de la fuerza resultante. Su papel es des-
viar continuamente al cuerpo del camino recti-
líneo que recorrería por inercia en ausencia de
la fuerza actuante. La fuerza centrípeta es la
suma de las fuerzas radiales y genera a la acele-
ración centrípeta y por lo tanto cambia la direc-
ción de la velocidad tangencial para que el cuer-
po pueda girar. La componente tangencial
(FR Tangencial) de la fuerza resultante es la suma
de las fuerzas tangenciales y produce a la ace-
leración tangencial y por lo tanto modifica el
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DINÁMICA
31UNI 2014 - III FÍSICA
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Problema 1
En el sistema mostrado en la figura, la
polea tiene peso despreciable. Si la
fuerza de rozamiento en la superficie
horizontal es f, determine la aceleración
del bloque de masa m, en función de
F, f y m.
UNI
Nivel fácil
A)F 2f 2m
–
B)F 2f 2m+
C)2(F f)
2m+
D)F 2f
2m
–
E) 2F f 2m –
Resolución
Asumiremos que la cuerda unida al
bloque se rompe D.C.L.:
La 2.da ley de Newton determinará la
relación:
F f F a 2a am m
–= =
Fma f
2= –
F 2f a2m –=
Respuesta: A) –F 2f 2m
Problema 2
Un ascensorista cuya masa es de 60
kg esta sobre una balanza en un
ascensor en movimiento, está le indica
que pesa 760 N.
Asumiendo g = 9,8 m/s2, la magnitud
y dirección de su aceleración será:
UNI
Nivel intermedio
A) la aceleración es hacia arriba.
B) la aceleración es hacia abajo.
C) la aceleración es hacia la derecha
D) la aceleración es hacia la izquierda.
E) No hay aceleración.
Resolución:
Debemos comparar el valor de la fuerza
con el de la reacción normal.
Fg = m.g
Fg = (60)(9,8) = 588 N
N = 760 N
FN > Fg
Por la 2.da ley de Newton
FR = m.a
N – mg = m.a
760 – 588 = 60.a
a = 2,866 m/s2
La dirección es hacia arriba pues FN > Fg.
Respuesta: A) la aceleración es
hacia arriba.
Problema 3
Si R A y R B son las reacciones entre los
bloques m y M para los casos A y B
respectivamente, calcule la relación
R A /R B. No tome en cuenta el
rozamiento (M > m)
Caso A:
Caso B:
UNI
Nivel difícil
A)Mm
B)mM
C)m
M
D)2m
M
E)mM
problemas resueltos
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DINÁMICAExigimos más!
32UNI 2014 - III FÍSICA
Resolución:
Al ser la misma fuerza y conjunto de
masas hallaremos las aceleraciones en
ambos casos, siendo estas iguales.
A:
FR = m.a
R A = m .a A ... (1)
B:
FR = m.a
R B = M.aB ... (2)
(1) (2)
A A
B
m aR
R =
BM a
Por lo tanto
A
B
R mR M
=
Respuesta: A) m/M
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33UNI 2014 - III FÍSICA
ROZAMIENTO
FÍSICA
I. ROZAMIENTO
La resistencia que se opone al resbalamiento, o a su
tendencia a resbalar, de un cuerpo sobre otro es una
fuerza tangente a la superficie de contacto, que recibeel nombre de rozamiento. Las superficies en realidad
no son lisas por lo que la reacción de un cuerpo sobre
otro no es normal a dicha superficie de contacto.
Si se descompone la reacción (F) en dos componen-
tes, una perpendicular (N) y otra tangente a la super-
ficie de contacto, la componente tangencial (f) a di-
cha superficie se denomina fuerza de fricción o roza-
miento. En consecuencia, los diagramas del cuerpo li-
bre para problemas donde interviene el rozamiento son
los mismos que para aquellos en que intervienen su-
perficies lisas, salvo que ha de incluirse una fuerza de
rozamiento tangente a la superficie de contacto.
2 2
F f N
f N
F f N
Se suele hablar de dos tipos de rozamiento:
• Rozamiento estático (f s): Cuando no hay movi-
miento relativo entre los cuerpos en contacto; es
decir, cuando ninguno se mueve, o ambos se despla-
zan como si fueran uno solo, oponiéndose a cualquier
intento de movimiento relativo (deslizamiento).En este caso la fuerza de rozamiento desarrollada es
exactamente suficiente para mantener el reposo relati-
vo con las demás fuerzas que actúan sobre el cuerpo.
Esto implica que la fuerza de rozamiento estático es
una fuerza regulable o variable alcanzando un valor
máximo o límite, el cual depende de la normal y de la
aspereza de la superficies en contacto. Por lo tanto
la fuerza de rozamiento estático cumple con:
límites s0 f f
• Rozamiento cinético (f k ): Se genera cuando
los cuerpos en contacto se encuentran en
movimiento relativo. La fuerza de rozamiento
es constante y prácticamente independientedel valor de la velocidad o aceleración relativa.
A. Coeficiente de rozamiento
Constante experimental que permite comparar las
propiedades de rozamiento de pares distintos o
iguales de materiales en diferentes condiciones de
sus superficies en contacto, y con objeto de cal-
cular la fuerza de rozamiento máxima correspon-
diente a una fuerza normal cualquiera.
El coeficiente de rozamiento estático de 2
superficies cualesquiera se define como la razón
del rozamiento máximo o límite a la fuerza normalcorrespondiente:
límitess
RozamientoLímite (f )
Fuerzanormal(N)
Donde el rozamiento límite es el rozamiento que
existe cuando las superficies están a punto de em-
pezar a moverse la una con respecto a la otra (esta-
do de movimiento inminente).
En general, cuando las superficies en contacto se
mueven una respecto a la otra, el rozamiento dismi-
nuye. En este caso, la razón de la fuerza de rozamien-
to a la fuerza normal se define como coeficiente derozamiento cinético.
k k
RozamientoCinético (f )
Fuerzanormal(N)
El valor del coeficiente de rozamiento tiene que
determinarse experimentalmente, y es una constante para
dos materiales cualesquiera determinados, cuando las
superficies de contacto están en una condición fijada. No
obstante, varía mucho para diferentes condiciones de las
superficies y con la naturaleza de los cuerpos en contacto.
DESARROLLO DEL TEMA
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ROZAMIENTO
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34UNI 2014 - III FÍSICA
B. Leyes de rozamiento
Los resultados de un gran número de experiencias
sobre el rozamiento en superficies secas, publicadas
por C.A. de Coulomb en 1781, proporcionaron las
primeras informaciones sobre las leyes del rozamiento,
obteniéndose las siguientes leyes:
1. La fuerza máxima de rozamiento que puedeproducirse es proporcional a la fuerza normal
entre las superficies en contacto.
2. Esta fuerza máxima es independiente del
tamaño de la superficie de contacto.
3. La fuerza límite de rozamiento estático es ma-
yor que la fuerza de rozamiento cinético,
siempre que actúe la misma fuerza normal.
4. El coeficiente de rozamiento cinético es menor
que el coeficiente de rozamiento estático.5. La fuerza de rozamiento cinético es independiente
de la velocidad relativa de los cuerpos en contacto.
Problema 1
Si F1 = 100 N y F2 = 40 N, y además m A = 7 kg
y mB = 3 kg y no existe rozamiento, halla la
reacción entre los bloques A y B.
(g = 10 m/s2).
F1 F2
A B
UNI
Nivel fácil
A) 78 N B) 12 N C) 58 N
D) 48 N E) 56 N
Resolución:
Al igual que en el caso anterior, unanálisis de las fuerzas nos permiteafirmar que el sistema acelera hacia laderecha. Hagamos el D. C. L.:
100
N A
NB
40
70 30
a
R R
1) Para (A) 100 – R = 7a..........(1)
2) Para (B) R – 40 = 3a ..........(2)
De (1) y (2) 60 = 10a
6m/s2 = a
R – 40 = 3(6)
R = 58N
Respuesta: C) 58 N
Problema 2
Un bloque pequeño de 500 g gira enun plano horizontal, tal como semuestra. Si la cuerda mide 20 cm y lavelocidad angular es 6 rad/s, halla la
tensión en la cuerda.
W
UNI
Nivel fácil
A) 7,8 N B) 2,6 N C) 5,8 ND) 3,6 N E) 4,6 N
Resolución:
Hagamos un D. C. L.
T
N
mg
1) En dirección vertical:
Fy 0 , N m.g.
2) En dirección horizontal: R F m.a.2
CT m.a mcos R
2 1T 0,5 6
5
T 3,6N
Respuesta: D) 3,6 N
Problema 3
Una piedra de 2 kg gira en un plano
vertical mediante una cuerda de 1 m
de longitud. Si la velocidad en laposición mostrada es 10 m/s, halla la
tensión de la cuerda en dicha posición.
(g = 10 m/s2).
UNI
Nivel fácil
A) 148 N B) 220 N C) 108 N
D) 260 N E) 36 N
Resolución:
Hacemos un D. C. L.:
T
V
mg
R CF m.a
2v
T m.g. mR
210T – 2 10 21
T 220N
Respuesta: B) 220 N
problemas resueltos
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TRABAJO
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Para el caso de una dependencia lineal de "F" res-
pecto de "X" se puede utilizar el concepto de fuerza
media.
1 22 1
media
F +F Área = x - x
2
Área = F . d
B. Y ¿qué sucede si varía su dirección?
Respuesta: Si la fuerza es variable en dirección, el
problema es muy complejo y aún mayor si lo es
también en módulo, el análisis de este tipo de pro-
blemas requiere del ya mencionado cálculo dife-
rencial e integral para su solución. Pero no temas
tigre dentro de muy poco ingresarás a la universidad
y aprenderás a usar estas herramientas.
Sin embargo hay un caso más, el cual es muy sencillo,
se trata del trabajo que desarrolla una fuerza cons-
tante en módulo, dirección variable, pero tangente
a la trayectoria (colineal con la velocidad).
En el gráfico, F es siempre tangente a la trayectoria,
varía en dirección pero su módulo siempre es el mismo.
El trabajo que desarrolló F al trasladar su punto deaplicación de A hacia B se halla así:
F Const.
variableF AB A BW F
III. TRABAJO TOTAL O NETO (Wneto)El trabajo neto que se realiza sobre un cuerpo sobre el cualactúan varias fuerzas es la sumatoria de los trabajos realizadospor cada fuerza independientemente de las demás:
NETO F F F2 31 A B A B A B A BW W W W ...
Nótese que esta suma es escalar, los sumandos pueden
ser positivos, negativos o cero, lo mismo ocurre con el
resultado.
También se puede hallar el trabajo neto como el trabajo
de la fuerza resultante, así, si:
2 3R 1F = F +F +F +...
Nótese que es una suma vectorial, para obtener R Fhay que tener bastante cuidado con las direcciones ylos módulos de cada fuerza.
R FNETO A B A B
NETO A B R
W W
W F d Cos
• Si R F 0 (cuerpo en equilibrio) NETOW = 0
• Si el movimiento del bloque es uniforme (movimiento
a rapidez constante).
F V
90ºR
=
NETOW = 0
Reflexión
Cuando se trata de hallar el trabajo hay que espe-
cificar muy bien quién es el que realiza el trabajo y
sobre quién se realiza. Así por ejemplo, si un joven
empuja un cajón sobre una superficie horizontal apli-
cándole una fuerza de 10 N y desplazándolo 3 m se
puede evaluar fácilmente el trabajo que éste desarrolla
sobre el bloque jovensobreelbloqueW 30 J , sin embargo por la
tercera ley de Newton, durante el proceso, el cajón
ejerce una fuerza sobre el joven que tiene la misma
magnitud y de sentido opuesto a la que ejerce el joven,
tal es así que si hallamos el trabajo que realiza el cajón
sobre el joven sería jovensobreelbloqueW 30 J .
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TRABAJO
37UNI 2014 - III FÍSICA
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FCajón FCajón
d
Jovensobrecajón
Cajónsobre joven
W = –WFJoven = –FCajón
En general cuando un cuerpo "A" realiza un trabajo "W"sobre un cuerpo "B"; el cuerpo "B" realiza sobre el cuerpo"A" un trabajo "W" de signo contrario (por la fuerza dereacción, que tiene un sentido opuesto a la de acción).
IV. POTENCIA
La definición de trabajo no mencionó el tiempo em-pleado, por ejemplo, si se quiere desplazar un bloque
una distancia horizontal de 5 m mediante una fuerza
horizontal de 10 N el trabajo que se tiene que desarro-
llar sería: FW = F d=10 N (5 m) =50 J independiente-
mente de cuanto tiempo nos tardemos, pues podría
ser 1 s, 1 día, 1 año, etc. Pero muchas veces necesita-
mos conocer la rapidez con la cual se efectúa un traba-
jo, esto se describe en términos de potencia que es el
trabajo efectuado en la unidad de tiempo, esto es:
mTrabajo F dPotenciamedia= F V
Tiempo t
En general la potencia se puede expresar:
P F ... (**)
m m
instantánea instantánea
P P
P P
Si se tiene un mecanismo cuya potencia es determi-
nada, la ecuación (**) muestra que cuanto menor
sea mayor será la fuerza ejercida.
Eficiencia de una máquina ( )
Toda máquina necesita de un suministro de potencia
para realizar algún tipo de trabajo, esto es, para desa-
rrollar una potencia útil. Así se define la eficiencia de
una máquina como la razón entre las potencias útiles a
la entregada a la máquina.
útil
entregada
PP
Note que la eficiencia es un número adimensional y
que < 1 pues:
entregada útilP P
Esto es, toda la potencia que se entrega a una máqui-
na no es aprovechada íntegramente por esta para rea-
lizar trabajo, pues hay pérdidas por rozamiento que
normalmente se presencia en forma de calor (la má-
quina se calienta). Por ejemplo, cuando conectas una
licuadora al toma-corriente (suministro de potencia),
se entrega potencia a la licuadora y esta realiza trabajo
al mover sus cuchillas, sin embargo notarás que el motor
se calienta advirtiendo que hay pérdidas de potencia.Sin embargo se cumple:
entregada perdidaútilP P P
Observación
La eficiencia se suele expresar también en términosde tanto por ciento esto es:
útil
entregada
P100%
P
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TRABAJO
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38UNI 2014 - III FÍSICA
Problema 1
Un arandele puede deslizar por un eje
sin fricción; hallar el trabajo realizadopor F desde A hasta B. (AB = 10 m)
Nivel intermedio
A) 140 J B) 150 J C) 160 JD) 170 J E) 180 J
Resolución :
De la definición
FW F.AB Cos=
F4W 20 10 160 J5
= =
Respuesta: C) 160 J
Observa que la solución es equivalentea descomponer la fuerza o el
desplazamiento con tal que rF //
.
Problema 2
Hallar el trabajo del peso cuando la masa
m = 5 kg se dirige de "A" a "B" por latrayectoria mostrada. (g = 10 m/s2)
y =101
y =42
x =11 x =62
y
x
(m)
Nivel intermedio
A) 190 J B) 250 J C) 230 JD) 300 J E) 180 J
Resolución:
Siendo la gravedad constante; eldesplazamiento en la dirección del pesoes 10 – 4 = 6 m.
mg 1 2W mg y y 5 10 6= – =
mgW 300J=+
Este resultado es general eindependiente de la trayectoria. mg 1 2W mgy mgy= –
Respuesta: D) 300 J
Problema 3
Si solo el 20% de la potencia de un
motor fuera aprovechable, dicho motoreleva el bloque (m = 100 kg) convelocidad constante de 0,5 m/s. ¿Cuáles la potencia nominal que indica laetiqueta del motor?
Nivel intermedio
A) 1 090 W B) 2 500 WC) 2 300 J D) 3 000 WE) 1 800 J
Resolución:
• Sea P. Entregada = 100 K Como sólo se aprovecha el 20%
P. Útil = 20 k yP. Perdida = 80 k • Sabemos: P.útil = F . V
20 k = F . 12
F = 40 k; pero1 000 N = F = mg1 000 N = 40k
k = 25 P.Nominal = P.Entrega= 100k = 100(4) P.Nominal = 2 500 w
Respuesta: B) 2500 W
problemas resueltos
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39UNI 2014 - III FÍSICA
ENERGÍA
FÍSICA
Capacidad que posee un cuerpo o sistema de efectuar
trabajo bajo ciertas condiciones.
I. ENERGÍA MECÁNICA
A. Concepto
Capacidad para desarrollar trabajo mecánico, esto
es transmitir movimiento mecánico.
B. Tipos de energía mecánica
1. Energía cinética (EK )
Es la energía asociada al movimiento de los cuerpos.
2K
1E mV2
Donde:
m : masa del cuerpo (en kg)
V : rapidez del cuerpo (en m/s)
EK : energía cinética (en J)
2. Energía potencial (Ep)
Es la energía que tienen los cuerpos y que está
asociada a la interacción con otros cuerpos, esto
es, depende de su ubicación o posición frente
a otros cuerpos. Estudiaremos las siguientes
clases de energía potencial.
• Energía potencial gravitatoria (Epg)
Si dicha posición es una altura respecto a
la tierra o a cualquier nivel de referencia,donde se asume dicha energía como nula.
N.R.
Epg = 0
h
g = cteE = mgh
pg
Donde:
m: masa del cuerpo (en kg)
h: altura (en m)
g: aceleración de la gravedad (en m/s2)
Epg: energía potencial gravitatoria (en J)
Observación:
La "Epg" es relativa; pues depende del nivel
de referencia que se tome como cero.
• Energía potencial elástica (Epe)
Si dicha posición es una desviación respecto
a una posición de equilibrio, la presentan
co-múnmente los cuerpos elásticos cuando
son deformados.
DESARROLLO DEL TEMA
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ENERGÍA
41UNI 2014 - III FÍSICA
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2BmVm(0)2
mg(25) mg(15)2 2
+ = +
2BmVmg(25) mg(15)2
= +
2B10g2
=
B V 2.10.9,8=
Respuesta: A) V B = 14 m/s
Problema 1
Si la esfera es soltada en el punto "A",
¿con qué velocidad pasará por el punto"B"?
No considere rozamiento.
15 m25 m
A
B
Nivel dereferencia
UNI
Nivel intermedio
A) VB = 14 m/s
B) VB = 12 m/s
C) VB = 20 m/s
D) VB = 24 m/sE) VB = 10 m/s
Resolución:
Como no actúan fuerzas no
conservativas se cumple:
PG(A) C(A) PG(B) C(B)E E E E+ = +
2 2 A B
A BmV mV
mgh mgh2 2
+ = +
Observación:
A la suma de las energías cinética y potencial
en un sistema se denomina energía mecánica
total del sistema.
Esfera Esfera ResorteM K pg peE E E E
2. Casos en que se conserva "EM"
Si EM = cte solo deben realizar trabajo las
fuerzas conservativas.
A B C DM M M ME E E E
Caso especial
De la conservación de la energía mecánica:
Ahora, si sobre un cuerpo realizan trabajo fuerzas
conservativas y no conservativas tenemos:
F. conserv F. no conservK
Ep
W W E
f
F.N.conservK p
K p
M M Mo
W E E
E E
E E E
F.N.conservMW E
problemas resueltos
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ENERGÍAExigimos más!
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Problema 2
Determine la energía cinética del
cuerpo mostrado de 2 kg.
4 m/s
UNI
Nivel fácil
A) 14 J B) 16 J C) 12 J
D) 10 J E) 8 J
Resolución:
2C
1E mv2
= 21 .2,42
= = 16 J
Respuesta: B) 16 J
Problema 3
Hallar la mínima velocidad que se le
debe imponer al bloque para que
llegue a la parte superior del plano
inclinado liso de altura 5 m.
(g = 10 m/s2)
V0
5 m
UNI
Nivel intermedio
A) 4 m/s B) 9 m/s
C) 10 m/s D) 6 m/s
E) 8 m/s
Resolución:
Vemos que no está presente la energía
potencial elástica (¿por qué?) y como
no hay rozamiento ni otra fuerza no
conservativa, entonces la energía
mecánica se conserva.
C PG C PG1 1 2 2E E E E+ = +
20v
m 0 0 mgh2
+ = +
M0v 2gh=
0mv 2 10 5 10s
= =
Respuesta: C) 10 m/s
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43UNI 2014 - III FÍSICA
IMPULSO
FÍSICA
I. CANTIDAD DE MOVIMIENTOLlamada también momentum lineal, es una magni-tud vectorial que nos caracteriza el movimiento de tras-
lación una partícula, esto es, la cantidad de movimien-to, es la medi-da vectorial del movimiento de una par-tícula y se define como el producto de su masa por suvelocidad.
P
v
m P mv
Donde:m: masa de la partícula (en kg) V : velocidad de la partícula (en m/s)P : cantidad de movimiento de dicha partícula (en kg m/s)
La velocidad y la cantidad de movimiento
tienen la misma dirección
¿Cuál es el significado físico de la cantidad
de movimiento?
Para averiguarlo veamos el siguiente caso:Un ciclista y un trailer avanzan con distintas velocidadeshacia un poste. De lo d icho anteriormente, se observaque el trailer tiene una mayor cantidad de movimientoque el ciclista, pues tiene una mayor velocidad y masa.
¿Qué sucederá?
Se observa que el joven es fácilmente detenido, sinembargo, el trailer continuará su avance... ¿Continuará
con la misma rapidez?
Esto es: fue más difícil detener al trailer. ¿Por qué?Porque tenía mayor cantidad de movimiento
Exactamente, la cantidad de movimiento es
una medida de la dificultad de llevar a
una partícula, que se está moviendo,
hasta el reposo.
P Medida de la inercia
Observación
Tal vez estás pensando que este concepto parecemucho al de inercia y estás en lo cierto, pues la canti-dad de movimiento depende de la masa (esto es desu inercia), sin embargo, no confundas, todo cuerpoque posee masa tiene inercia, pues es una propiedadinherente de la materia, pero la cantidad de movi-miento sólo la poseen los cuerpos que tienen veloci-dad; así, si el trailer estuviese detenido y el ciclistamoviéndose, el ciclista tendría mayor cantidad de mo-vimiento que el trailer, pues su velocidad es nula:
P mv m(o) 0
DESARROLLO DEL TEMA
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IMPULSO
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A pesar de que el trailer tiene mayor inercia por po-seer mayor masa.La resistencia que ofrece un cuerpo, en movimiento,a ser detenido, esto es, la tendencia que posee a con-servar dicho movimiento depende tanto de su masacomo de su velocidad o mejor dicho de su cantidad demovimiento.
¡No olvides!
La cantidad de movimiento es una magnitud vectorial.
• AP 20i kg m / s
• BP 16i 12j kg m / s
• CP 20j kg m / s
Observamos: A B CP P P
Aunque tengan igual módulo: A B CP P P 20kg m / s
II. CANTIDAD DE MOVIMIENTO DE UNSISTEMA DE PARTÍCULASSea el siguiente sistema de partículas.
• 1 1 1P m V
• 2 2 2P m V
• 3 3 3P m V
Sistema 1 2 3P P P P
Generalizando para "n" partículas:
nSistema 1 2 3 n
i 1P Pi P P P .... P
nSistema n1 2 3 3 n1 2
i 1P mi Vi m V m V m V .... m V
Recuerda: n1 2 n1 2CMn1 2 3
m V m V .... m V V
m m m .... m
sistema CMtotaldesistemaP M
Sabemos que la aceleración del centro de masa (CM)solo se ve afectada por las fuerzas externas al sistema.
De ello tenemos:
Si la externas 0F CM externas
totalalsistema
Fa 0M
Esto es: CM Cte
nsistema CMtotaldelsistema i i
i 1P M V m v constante
Ley de conservación de la cantidad de movimiento
"Si la fuerza externa resultante ejercida sobre unsistema es igual a cero, la velocidad del centro de masasdel sistema es constante (se conserva)".
Observación:
Se aplica a cualquier sistema aislado de sus alrededoresque por tanto está libre de fuerzas exteriores.Es más aplicable que la ley de conservación de la ener-gía mecánica debido a que las fuerzas internas ejerci-das por una partícula del sistema sobre otra, son fre-cuentemente de naturaleza no conservativas.
Así pues, pueden hacer variar la energía mecánica totaldel sistema, pero como estas no afectan al CM, la can-tidad de movimiento del sistema se conserva.
Si la externas 0F
externasCM
Totaldelsistema
Fa 0M
Esto es: CM V Cte
sistemaP Cte
III. IMPULSO ( )I
Ya hemos visto anteriormente que es posible transmitirlemovimiento mecánico a un cuerpo mediante una fuerza,la cual se mide en términos del trabajo realizado.
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IMPULSO
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Pero también es posible dicha transmisión en términosdel impulso (I); una magnitud vectorial que nos mide latransmisión temporal del movimiento.
Así por ejemplo, al golpear la bola blanca con el taco,en un juego de billar, ejercemos una fuerza duranteun intervalo de tiempo, relativamente corto; el movi-miento que podemos transmitirle dependerá tanto dela magnitud y dirección en que apliquemos la fuerza,así como del tiempo que dure el contacto taco-bola.
Veamos el caso de una fuerza constante que actúasobre un cuerpo durante cierto intervalo de tipo " t ".
El impulso se define como: I F t . El impulso tienela dirección de F .
Donde:
F : fuerza constante (en N)
t : intervalo de tiempo (en s)
I : impulso de la fuerza F (en N.s)
Observación
El impulso tiene la capacidad de generarle variación enla cantidad de movimiento de un cuerpo.
Esto es, si hay una P es debido a un impulso.
P I
Observación:
El impulso tiene las mismas unidades que las de la can-tidad de movimiento:
xx2
mN s kgs
x s = kg x m/s
Esto significa que es posible expresar una magnituden función de la otra. ¡Existe una relación entre P e I !Si graficamos F vs t obtenemos:• Se observa que F es constante a través del tiempo.• Al calcular el área bajo la gráfica obtenemos:
f oF t t esto es, ÁREA = F t .
¡El módulo del impulso es numéricamente igual al áreabajo su gráfica!
Aunque esta relación la hallamos para F Cte es, en
general, válida si F varía en módulo, pero no en dirección.Para una fuerza de módulo variable pero de direcciónconstante, se tiene:
Área = |Impulso|
Nota: Una fuerza media (Fm) es una fuerza constante
que genera en igual tiempo un impulso equivalente auna fuerza variable.
A. Relación entre I y P
La partícula cambia su velocidad y por tanto su cantidad
de movimiento debido a la fuerza resultante R F .
Luego: R F ma
Esto es: f oR
V VF mt
of
f oR
I P P
F t m V m V
Esto es: el impulso resultante sobre una partículaes igual al cambio en su cantidad de movimiento.
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IMPULSO
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46UNI 2014 - III FÍSICA
IV. TEOREMA DEL IMPULSO Y LA CANTI-DAD DE MOVIMIENTOLuego:
R R F t I P
Observa: R PFt
Esto es equivalente a la 2.a Ley de Newton, pero esmás general.
O también:
x xf o xR m V m V F t
f o R mV mV I
Esto tiene algunas implicancias muy interesantes. Vea-
mos; si estuvieses en un auto al cual se le malograronlos frenos y al tratar de detenerte sólo tiene dos op-ciones: colisionar contra un muro de concreto o con-tra una montaña de paja, ¿cuál caso escogerías?, ¿encuál de ellos la fuerza media que recibirías sería menor?
En cualquiera de los dos casos la variación de la cantidadde movimiento sería:
0 f P P P y 0P mV
O sea, el impulso que recibirá en cualquiera de los casossería el mismo.Esto es:
muro pajaI I ....
Pero nota que la interacción del auto al chocar con lapaja es más prolongado, luego:
paja murot t por ello muro pajaF f
Observa el gráfico y la ecuación ( ):
muro pajamuro pajaF t f t
muro pajat t
muro pajaF f
Esto significa que si en un accidente de tránsito elchoque es más prolongado (dura más tiempo) la fuerzamedia que reciben los afectados es menor; es más, espor esta razón que se instalan sistemas de bolsas deaire y se usan los cinturones de seguridad en losautomóviles.
Ahora razona y responde
Si en el caso anterior solo tuvieras la opción de ir contrael muro, en qué caso te podría ir mejor si estás en unauto FORD año 50 (con chasis de acero) o en un TICOaño 2003 (con chasis de lata) ...
¿Ahora entiendes porque en los autos modernos, alser diseñado, se desea que la parte delantera sea lomás blanda posible?
Reflexión
Hasta ahora hemos medido el movimiento de dosformas:
Hemos medido la transmisión del movimiento mecánicode dos maneras.
Además observa
La transmisión de movimiento se puede expresar comouna variación de movimiento.
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IMPULSO
47UNI 2014 - III FÍSICA
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V. CHOQUES O COLISIONESInteracción entre dos o mas cuerpos de muy de muycorta duración, durante la cual se da un intercambiode energia y cantidad de movimiento:
A B
A
B V B
V A
V o
Características de los choques:
a) Tomando como sistema los cuerpos que chocan,las fuerzas entre ellos son fuerzas internas y por lotanto no modifican la cantidad de movimiento delsistema:
A.C D.C
P P Const.
b) Entre los cuerpos que colisionan se ejercen fuerzasque alcanzan valores muy altos durante intervalos
de tiempo muy pequeños, denominadas fuerzasimpulsivas.
c) Ley de Newton para los choques: Para un choquedierecto y central (unidimensional) la velocidadrelativa de separación después del choque, esproporcional a la velocidad relativa de acercamiento,antes del choque:
V o
A
V o
A A A
V F A
V FB A B
B A
A B
F F
o o
V Ve Const.
V V
Coeficiente de restitución (0 < e < 1)
El coeficiente de restitución depende de la naturalezade los cuerpos que chocan, teniendose los sigueintescasos:
e = 1 C. perfectamente elásticoe = 0 C. perfectamente inelástico o plástico
B AF F V V
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IMPULSO
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48UNI 2014 - III FÍSICA
Problema 1
Una bola de 50 g de masa moviéndo-
se con una rapidez de 10 m/s en ladirección +x, choca frontalmente con
una bola de 200 g en reposo, siendo
el choque inelástico. Si el coeficiente
de restitución es 0,5. Calcule las velo-
cidades, en m/s, de la bola incidente y
la de la bola que estaba en reposo,
después del choque.
UNI 2010 - I
A) 2i;i B) 2i;2i C) 2i;3i
D) i;3i E) i;3i
Resolución:
Operación del problema
DCH
ACH
Vrelat v1erelat 2 10
v 5m/s ............
ahora: inicial finalP P
50 10 200 50v
10 4 v ............
Relacionando y
3m/s =3 im/s
v 2 m/s v =-2 im/s
Respuesta: C) 2i;3i
Problema 2
Dos masas de plomo idénticas:
ecalC 0,03g C
que están sujetas por hilos de 2 m de
longitud de cada uno, se las deja caer
desde el reposo a partir de la posición
horizontal A. Las dos masas chocan en
la posición B de manera completamenteinelástica, quedando en reposo. Con-
siderando que toda la energía en el
choque se ha transformado en calor,
¿cuál es la temperatura de las masas
(en °C) después del choque? La tem-
peratura inicial de cada masa es 20 °C.
(1 cal = 4,18 J, g = 9,81 m/s2)
UNI 2009 - I
A) 18,15 B) 19,15
C) 20,15 D) 21,15
E) 22,15
Resolución:
Cambiando las unidades del Ce:
2e e3
4,186J JC 3.10 . C 30 4,186kgºC10
Como las masas adquieren cantidades
de movimiento de igual valor pero sen-
tidos opuestos, las masas quedan en
reposo. Toda la energía potencial se
convierte en calor:
Ep Q 2 m gh Ce 2m T
e
9, 81 2ghTC 30 4,186
TF – 20 °C = 0,15 °C
TF= 20,15 ºC
Respuesta: C) 20,15 ºC
Problema 3
Para detener un carro de 2000 kg de
masa, que se mueve en línea recta a25 m/s, se le aplica una fuerza cons-
tante durante 2 segundos, quedando
el carro en reposo. Calcule la magni-
tud del impulso que recibe el carro,
en 104 N.s, durante los 2 segundos.
UNI 2008 - II
A) 3 B) 4 C) 5
D) 6 E) 7
Resolución:
Ubicación de incógnita
Realizamos un gráfico que nos ayude a
la solución del problema y designamos
por I el impulso que recibe el carro.
Análisis de los datos o gráficos
Operación del problema
Del teorema del impulso y la cantidad
de movimiento tenemos:
o| I | m | V | 2000 kg 25m/s
4| I | 5 10 kg m/s
Nota:
El dato del tiempo no era necesarioser usado.
Respuesta: C) 45 10 kg m/s
problemas resueltos
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49UNI 2014 - III FÍSICA
MOVIMIENTO ARMÓNICO
SIMPLE
FÍSICA
I. IMPORTANCIAEl estudio del oscilador armónico constituye en Físicaun capítulo muy importante, ya que son muchos los
sistemas físicos oscilantes que se dan en la naturalezay que han sido producidos por el hombre.
II. OBJETIVOS• Analizar el M.A.S. como un movimiento periódico y oscilatorio.• Analizar los valores de la energía cinética, potencial
y la fuerza sobre la partícula, en particular, cuandola partícula pasa por el origen y por las posicionesde máximo desplazamiento.
• Definir e identificar las principales magnitudes físicasque intervienen en un M.A.S.
III. HISTORIASabemos que una de las propiedades más importantes de lamateria es el "movimiento" y en la naturaleza, este se pre-
senta en distintas formas; en algunos casos, bastante senci-llas de analizar como por ejemplo: el movimiento de un autoo en otros casos más complejos de analizar como por ejem-plo el movimiento de las moléculas que forman la sustancias.Con respecto a este último caso, el movimiento de las molé-culas de una sustancia sólida es un caso de mucha compleji-dad, pero esa complejidad disminuye considerablementecuando hacemos uso de un modelo que se asemeje muchoa lo que en realidad está ocurriendo y en ese sentido elmovimiento armónico simple (M.A.S.) es de gran utilidad.Los resultados teóricos que se obtienen al asumir que las mo-léculas en un sólido desarrollan un M.A.S. son muy próximos alos resultados que se obtienen en forma experimental.
Y en física, la validez y por ende la aceptación de un modelo, estáen función de cuanto se asemeje a lo que realmente ocurre y
eso lo determinan los resultados. Con esto podemos compren-der la gran importancia del estudio de este movimiento.Pero el M.A.S. no sólo sirve como modelo para explicar algunosmovimientos microscópicos sino también algu-nos macroscópicos,como los movimientos sísmicos y en general los movimientosondulatorios. Así por ejemplo: las ondas mecánicas como elsonido y las ondas que se generan al sacudir una cuerda, sonestudiados y descritos mediante el M.A.S. pero también lasondas electromagnéticas, como las ondas de radio y televisiónson descritos mediante este modelo.Por lo expuesto, el M.A.S. es de suma importancia ya quepermite comprender algunos de los movimientos oscilatoriosmás complejos que se presentan en la naturaleza.
IV. DEFINICIÓN
A. Movimiento periódico
Movimiento que se repite a intervalos regulares de tiempo.
B. Movimiento oscilatorioEs aquel movimiento en el cual el cuerpo se muevehacia uno y otro lado respecto a una posición deequilibrio, o decir efectúa un movimiento de vaivén.
C. Movimiento Armónico Simple (M.A.S.)
Es aquel movimiento rectilíneo, oscilatorio y perió-dico donde su aceleración siempre señala hacia laposición de equilibrio.
x(-)
V=0 a Vmáx a V=0
X(+)
(-)A A(+)
Q P
P.E.
P, Q: ExtremosP. E: Posición de equilibrio o punto medio, de PQ.
1. Oscilación simple
Es el movimiento que realiza un cuerpo al ir deuna posición extrema hasta la otra (ABCD).
2. Oscilación doble o completaEs el movimiento que realiza un cuerpo en ir deuna posición extrema a la otra y luego regresara la primera (ABCDCBA).
3. Período (T)Es el tiempo que emplea un cuerpo en realizaruna oscilación completa.
4. Frecuencia (f)Es el número de oscilaciones completas que realizaun cuerpo en cada unidad de tiempo (f = 1/T).
DESARROLLO DEL TEMA
8/17/2019 14. Física (1-8)
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MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE Exigimos más!
50UNI 2014 - III FÍSICA
5. Elogación (x)Es la distancia existente entre la posición de equi-librio y el cuerpo en un instante cualquiera.
6. Amplitud (A)Es la distancia existente entre la posición de equi-librio y cualquiera de las posiciones extremas.
Propiedad
T: periodo
w = 22 f T
w: Frecuencia angular del M.A.S, w es constante.
V. ECUACIONES CINEMÁTICAS DE UNAPARTÍCULA EN M.A.S SOBRE EL EJE X
A. Posición (x)x(+) = xmáxSen (wt + )xmáx = A
B. Velocidad (v)
v(+) = vmáxCos (wt + )vmáx = wA
C. Aceleración (a)
a(+) = amáxSen (wt + )
amáx = w2
A
Donde:• (wt + ): fase, es el argumento de la función
armónica (en radianes).• : fase inicial, es un ángulo que nos indica el
punto (x) donde se empieza a medir el tiempo(t0 = 0).
Propiedades
1. x2 +2
2v Aw
2. Vmáx = wA (en la P.E. x = 0)
Vmin = 0 (en los externos, x = 4)3. amáx = w2 A (en los externos)
amin = 0 (En la P.E., x = 0)
Problema 1
Una partícula tiene un movimientoarmónico simple. Si su rapidez máxima esde 10 cm/s y su aceleración máxima esde 25 cm/s2, calcule aproximadamente
el producto de su amplitud por el períododel movimiento en (cm. s).
UNI 2012 - II
A) 6 B) 7 C) 8D) 9 E) 10
Resolución:
Sabemos que en el M.A.S. la velocidadmáxima y aceleración máxima se danen di ferentes posiciones delmovimiento oscilatorio.• MÁX V .A 10 A• 2 2
MÁXa .A 25 .A
Tomando las ecuaciones anteriores ydividiendolas:
10 125
rad2.5 A 4 cm....s
Pero:
2T
2 2T ...................
2.5
Nos piden el producto de el periodocon la amplitud, entonces las ecuaciones
y serán multiplicadas:
2 A.T 4.2,5 A.T. 10, 048
Respuesta: E) 10
Problema 2Un péndulo simple tiene un período de 1,5 ssobre la superficie de la Tierra. Cuando se lepone a oscilar en la superficie de otro planeta,el período resulta ser de 0,75 s. Si la masa deeste planeta es 100 veces la masa de la Tierra,el cociente entre el radio del planeta y elradio de la Tierra, (R p /R T), es:
A) 2 B) 3 C) 5D) 7 E) 9
UNI 2011 - I
Resolución: R P /R T Análisis de los datos o gráficosEn la Tierra: En el planeta P:TT = 1,5s Tp = 0,75
Usando: LT 2 R
GM...(I)
Siendo: R: Radio del planetaG: Constante universalM: Masa del planetaL: Longitud del pénduloT: Período
Nos piden:
Pp
TT
T
L2 R T GMpT L2 R
GM
PT
TT
L2 R G(100M )0,751,5 L2 R
GM
P
T
R 5
R Respuesta: C) 5
Problema 3Un sistema masa-recorte oscila de maneraque la posición de la masa está dada por
x 0, 5sen(2 t), donde t se expresa ensegundos y x en metros. Halle la rapidez,en m/s, de la masa cuando x = –0,3 m.
A) 0,2 B) 0, 4 C) 0,6D) 0,8 E)
UNI 2010 - I Resolución: Ecuación de la posición: x = ASen (wt)
x = 0,5 Sen(2 t)Sabemos:
2 2 A x 2 2 V 2 0,5 (0,3) V 2 0,4 V = 0,8 m/s
Respuesta: D) 0,8 m/s
problemas resueltos
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51UNI 2014 - III FÍSICA
ONDAS MECÁNICAS SIMPLES -ENERGÍA DE UNA ONDA
FÍSICA
Cuando disfrutamos de las olas en una playa, estamos ex-
perimentando un movimiento ondulatorio. Los rizos en un
estanque, los sonidos musicales que escuchamos, otros so-
nidos que no podemos oír, los movimientos de un resortelargo y flojo estirado sobre el piso: todos éstos son fenó-
menos ondulatorios. Pueden ocurrir ondas siempre que un
sistema es perturbado de su posición de equilibrio y cuando
es perturbado puede viajar o propagarse de una región del
sistema a otra. El sonido, la luz, las olas del mar, la transmi-
sión de radio y televisión, y los terremotos, son fenómenos
ondulatorios. Las ondas son importantes en todas las ramas
de la física y la biología; de hecho, el concepto de onda es
uno de los hilos unificadores más importantes que corren por
toda la tela de las ciencias naturales.
En este tema se tratan las ondas mecánicas, ondas que
viajan dentro de algún material llamado medio.
No todas las ondas son mecánicas. Otra clase muy amplia es
la de las ondas electromagnéticas, que incluyen la luz, las
ondas de radio, la radiación infrarroja y ultravioleta, los rayos
x, los rayos gamma. Las ondas electromagnéticas no nece-
sitan un medio; pueden viajar por el espacio vacio.
Otra clase más de fenómenos ondulatorios es el comporta-
miento tipo onda de las partículas atómicas y subatómicas.
Este comportamiento forma parte de los cimientos de la
mecánica cuántica, la teoría básica que se usa para analizar
la estructura atómica y molecular. Volveremos a las ondas
electromagnéticas en clases posteriores. Mientras tanto,
podemos aprender el lenguaje esencial de las ondas en el
contexto de las ondas mecánicas.
I. ONDAS MECÁNICASObservemos una pequeña piedra que cae desde cierta
altura hacia la superficie de un lago con agua tranquila.
Al incidir la piedra en la superficie del agua, vemos que
ésta experimenta una perturbación, la cual se propa-
ga en toda la superficie del agua. Por lo tanto decimos
que se ha generado una ¡Onda!Una onda mecánica es una perturbación que viaja por
un material o sustancia que es el medio de la onda. Al
viajar la onda por el medio, las partículas que forman el
medio sufren desplazamientos de varios tipos, depen-
diendo de la naturaleza de la onda.
II. TIPOS DE ONDALa Fig. 1 muestra variedades de ondas mecánicas. En
la Fig. 1a el medio es un hilo o cuerda tensado. Si
imprimimos al extremo izquierdo una pequeña sacudi-
da hacia arriba, la sacudida viaja a lo largo del hilo.
Secciones sucesivas del hilo repiten el movimiento que
dimos al extremo, pero en instantes posteriores suce-sivos. Dado que los desplazamientos del medio son
perpendiculares o transversales a la dirección en que
la onda viaja por el medio, decimos que se trata de
una onda transversal.
Fig. 1 (a) La mano mueve la cuerda hacia arriba y re-
gresa, produciendo una onda transversal.
(b) El pistón comprime el líquido o gas y regresa, pro-
duciendo una onda longitudinal.
(c) La tabla empuja a la derecha y regresa, producien-
do una suma de ondas longitudinal transversal.
DESARROLLO DEL TEMA
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52UNI 2014 - III FÍSICA
ONDAS MECÁNICAS SIMPLES - ENERGÍA DE UNA ONDA
En los 3 casos la onda solitaria se propaga a la derecha.
En la Fig. 1b el medio es un líquido o gas de un tubo
con un pared rígida en el extremo derecho y un pis-
tón móvil en el izquierdo. Si damos al pistón un solo
movimiento hacia adelante y hacia atrás, el desplaza-
miento y las fluctuaciones de presión viajarán a lo largo
del medio. Esta vez los movimientos de las partículas
del medio son en la misma línea en que viaja la onda y
decimos que se trata de una onda longitudinal.
En la Fig.1c el medio es agua en un canal, como una
zanja de irrigación. Si movemos la tabla plana de la
izquierda hacia delante y hacia atrás una vez, una alte-
ración ondular viajará a lo largo del canal. En este caso
los desplazamientos del agua tienen componentes tanto
longitudinal como transversal.
Cada uno de estos sistemas tiene un estado de equi-
librio. Para la cuerda estirada, es el estado en que el
sistema está en reposo, tendido en línea recta. Para el
fluido en un tubo, es un estado en que el fluido está
en reposo con presión uniforme, y para el agua en
una zanja es una superficie lisa y plana de agua. Encada caso el movimiento ondulatorio es una alteración
del estado de equilibrio que viaja de una región del
medio a otra, y siempre hay fuerzas que tienden a
restablecer el sistema a su posición de equilibrio cuan-
do se le desplaza, al igual que la gravedad tiende a
llevar un péndulo hacia su posición de equilibrio cuan-
do se le desplaza.
Estos ejemplos tienen tres cosas en común. Primera,
la perturbación siempre viaja o se propaga por el me-
dio con una rapidez definida llamada rapidez de propa-
gación o simplemente rapidez de la onda, determina-
da en cada caso por las propiedades mecánicas del
medio. Usaremos el símbolo "V" para esta rapidez. (Larapidez de la onda no es la rapidez con que se mueven
las partículas cuando con movidas por la onda).
Segunda, el medio mismo no viaja por el espacio; sus
partículas individuales realizan movimientos alrededor de
sus posiciones de equilibrio. Lo que viaja es la configura-
ción global de la perturbación ondulatoria. Tercera, para
poner en movimiento cualquiera de estos sistemas, de-
bemos aportar energía realizando trabajo mecánico so-
bre el sistema. La onda transporta esta energía de una
región del medio a la otra. Las ondas transportan ener-
gía, pero no materia, de una región a otra.
III. ELEMENTOS DE UNA ONDA
A
x
V
P y
x
Y: Desplazamiento
A: Amplitud (Y max)
: Longitud de onda
T : Periodo
f : Frecuencia
T: s
f : hertz
1f T
Velocidad de propagación
V f T
IV. ECUACIÓN DE UNA ONDASi las partículas del medio tienen movimiento armónico,
entonces la onda se rige por la siguiente ecuación:
t x Y Asen2
T
Y Asen (wt kx)
(–) Si la onda se propaga a la derecha.
(+) Si la onda se propaga a la izquierda.
Cuando una onda choca con la frontera de su medio,
se reflejan parcial o totalmente. Si gritamos hacia la pa-
red de un edificio o un alcantarillado que ésta a cierta
distancia, la onda sonora se refleja la superficie rígida, y
regresa un eco. Si sacudimos el extremo de una cuerdacuyo otro extremo está atado a un soporte rígido, un
pulso viaja a lo largo de la cuerda y se refleja hacia noso-
tros. En ambos casos la onda inicial y reflejada se solapan
en la misma región del medio. Este solapamiento de
ondas puede producir una interferencia.
Si hay dos puntos o superficies de frontera, como en
una cuerda de guitarra que ésta sujeta por ambos ex-
tremos, obtenemos reflexiones repetidas.
En tales situaciones observamos que solo pueden ocu-
rrir ondas seniodales para ciertas frecuencias especiales
determinadas por las propiedades y dimensiones delmedio. Estas frecuencias especiales y las correspondien-
tes configuraciones de ondas se denominan modos
normales. Los tonos de la mayor parte de los instru-
mentos musicales están determinados por las frecuen-
cias de los modos normales también explica por qué
sentimos que cantamos mejor en la ducha y por qué la
voz amplificada de un cantante profesional puede rom-
per una copa de cristal si canta la nota correcta.
V. INTERFERENCIAS DE ONDASEs un fenómeno que consiste en el reforzamiento o
destrucción de las ondas cuando se superponen.
Dos trenes de ondas distintos procedentes de diferen-tes centros de vibración que concurren simultáneamente
en cierta región, se superponen propagándose como si
no hubieran superpuestos (principio de superposición).
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53UNI 2014 - III FÍSICA
ONDAS MECÁNICAS SIMPLES - ENERGÍA DE UNA ONDA
Superposición de los dos pulsos. El desplazamiento del pulso
combinado es la suma de los desplazamientos individuales.
La superposición de dos pulsos iguales y opuestos.
(A) antes de la anulación completa.
(B) anulación completa.
VI. VELOCIDAD DE LAS ONDAS EN UNACUERDAPara el caso de las ondas lineales, la velocidad de las ondas
mecánicas solo depende de las propiedades del medio
por el que se propaga la perturbación.
Nosotros enfocaremos la atención en la determinación de
la rapidez de un pulso que viaja sobre una cuerda estirada.
Si la tensión en la cuerda es F y su masa por unidad de
longitud es la rapidez V de la onda está dada por:
V T M
L
M T VL
T : Tensión (N)
: Densidad Lineal (kg/m)
¡No olvidemos!
Una onda es una perturbación, del equilibrio que viaja,o sea propaga, de una región del espacio a otra. La
rapidez de propagación se denomina rapidez de la onda.Las ondas pueden ser transversales, longitudinales ouna combinación de ambas.
En una onda periódica, la perturbación en cada puntoes una función periódica del tiempo, y la configuraciónde la perturbación es una función periódica de la dis-tancia. Una onda periódica tiene una frecuencia y lon-gitud de ondas definidas. En las ondas periódicas se-noidales cada partícula del medio oscila en movimientoarmónico simple.La función de onda sitúa cada punto en el medio en
que se propaga la onda en cualquier instante.
VII.ENERGÍA DE ONDAS
A. Velocidad de las ondas
La velocidad de propagación de las ondas mecáni-
cas depende de las propiedades del medio en el
cual se propaga la onda. En el caso de una onda
que viaja en una cuerda tensada, el valor de su
velocidad depende de la tensión (F) y de su masa
por unidad de longitud ( ).
F masa V ;longitud
Cuando una onda viaja a través de un medio, trans-
porta energía capaz de realizar un trabajo. La po-
tencia transmitida por una onda está dada por la
siguiente ecuación:
2 21Potencia A v2
B. Superposición de ondas
Es un hecho experimental que, en muchas clases
de ondas dos o más de ellas pueden propagarse
en un mismo medio en forma independiente, es
decir, ninguna onda afecta a la otra. El hecho que
las ondas actúen independientemente quiere de-
cir que todo punto que sea alcanzado simultánea-
mente por dos o más ondas sufrirá un desplaza-
miento igual a la suma vectorial de los desplaza-
mientos individuales que las ondas proporcionan.
Este proceso de adición vectorial de los desplaza-
mientos de una partícula se llama superposición.
C. Interferencia
La palabra interferencia se refiere a los efectos físi-
cos que resultan al superponer dos o mas trenes
de onda. Para que se dé una interferencia que no
varíe con el tiempo (estacionaria) se requieren las
siguientes condiciones:
1. Las ondas deben ser la misma naturaleza.
2. Las ondas deben poseer la misma frecuencia
(velocidad).
F1
F2
d2
d1
P
Consideremos dos ondas de la misma amplitud "A" y
frecuencia "f" al cabo de un cierto tiempo recorriendo
la misma distancia. La suma de las elongaciones Y = y +
y' en la figura muestra que se obtiene una onda sinusoidal
de la misma frecuencia, pero de amplitud "2A".
Esto implica que la intensidad de la onda resultante es
el cuádruple de una cualquiera de las ondas que se
superponen.
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ONDAS MECÁNICAS SIMPLES - ENERGÍA DE UNA ONDA
A y
d1
d2
d2
d1
2A
A y'
Y
Notemos que se obtiene el mismo resultado si las
dos ondas tienen entre sí una diferencia de caminod , igual a un número entero de longitud de onda
: d N N = 0, 1, 2, 3, ...
En este caso se dice que las ondas llegan en fase al
punto "P" y que se produce una interferencia cons- tructiva .
A y
d1
d2
d2
d1
2A
A y'
Y
Si las 2 ondas tienen entre sí una diferencia de
caminos iguales a / 2 , la suma de las elongaciones
es siempre cero. Luego la intensidad de la onda
resultante es nula. Observemos que el mismo efecto
se obtiene si la diferencia de camino es un número
impar de / 2 , es decir: d (2N 1) / 2 .
(N = 1, 2, 3, ...)
A y
d1
d2
d2
d1
A y'
Y
/2
En este caso se dice que las ondas llegan al punto
"P" en oposición de fase y que se produce una
interferencia destructiva .
A y
d1
d2
d2
d1
A y'
Y
d=(2 /2+1)
Si las amplitudes de las ondas son diferentes, se
obtiene una onda de igual frecuencia pero de am-
plitud igual a la diferencia de las amplitudes de las
ondas.
VIII. ONDAS ESTACIONARIASEstas ondas se obtienen mediante la superposición de
2 ondas de igual frecuencia y amplitud que se propagan
en direcciones opuestas. Las ondas estacionarias
presentan las siguientes características:
1. No todos los puntos vibran, existen puntos cuyo
movimiento es nulo. Denominados nodos.
2. La distancia entre dos nodos consecutivos es una
semi-longitud de onda ( / 2) .
3. Todos los puntos vibran con la misma frecuencia y
fase pero con diferentes amplitudes. La amplitudde la partícula correspondiente depende de su po-
sición, llamándose antinodos a los puntos de máxi-
ma amplitud.
4. Las ondas estacionarias se establecen para ciertas
frecuencias, las cuales dependen de las caracterís-
ticas del sistema oscilante.
Para el caso de una cuerda vibrante de longitud "L"
cuyos extremos se encuentran fijos los posibles va-
lores de la longitud de onda estan dados por:
2LN
=
Por lo que las correspondientes frecuencias son:
vf N
2L=
donde: N = 1, 2, 3, ...
Cuando N = 1, se obtiene la frecuencia conocida
como, frecuencia fundamental (f 1).
8/17/2019 14. Física (1-8)
http://slidepdf.com/reader/full/14-fisica-1-8 55/55
ONDAS MECÁNICAS SIMPLES - ENERGÍA DE UNA ONDA
Problema 1
Se tiene una onda armónica que viaja
hacia la derecha; Y max e Y min son los
puntos más altos y más bajos de la onda;se observa que Y máx – Y min = 4 m;
para "t" fijo se observa que la distan-
cia entre crestas consecutivas es 2 m
y para x fijo se observa que la onda
oscila con una frecuencia de 3 Hz.
Determine la ecuación de la onda sa-
biendo además que Y(0,0) = 0.
UNI 2011 - I
A) 1 Y(x, t) 4sen x t3
B) Y(x, t) 4sen x – 3t
C) x 1 Y(x, t) 2sen – t3 2
D) Y(x, t) 2sen x – 6t
E)x
Y(x, t) 2sen t3 2
Resolución
Ubicación de incógnita
Ecuación de la onda: Y(x; t)
Análisis de los datos o gráficos
Del texto:
0
2m
f 3Hz
Operación del problema
y(x, t) = Asen(kx – cot + )
Conclusión y respuesta
y(x, t) = 2sen( x –6 t)m
Respuesta: D) y(x, t) = 2sen( x –6 t)m
Problema 2
En la figura se muestran 2 fotos tomadas
en los instantes t1 = 10 m/s y t2 = 15 m/s,
a una onda viajera que se desplaza a
través de una cuerda a lo largo del eje
x. Si se sabe que t2 – t1 < T, siendo T
el periodo de oscilación de la onda, de-
termine su rapidez de propagación (en
m/s). (1 m/s = 10 –3 s)
UNI 2010 - II
A) 15 B) 20
C) 30 D) 40
E) 50
Resolución:
Ubicación de incógnita
Rapidez de la onda V.
Análisis de los datos o gráficos
–32 1
2 1
• t – t 5 10 s
• t – t T
• 20 cm
Operación del problema
2 1
–3
VT
T 2 t – t
T 10 x10 s
Problema 3
Las ecuaciones de 3 ondas viajeras es-
tán representadas por:
A
B
C
Y (x, t) A sen (kx t)
Y (x, t) A sen(kx t)
Y (x, t) A sen(kx t )
Con respecto a estas ondas se hacen
las siguientes proposiciones:
I. La superposición de Y A e Y B da co-
mo resultado una onda estaciona-
ria de amplitud 2A.
II. La superposición de Y A e Y C da
como resultado otra onda estacio-
naria.
III. La superposición de Y B e Y C da co-
mo resultado una onda de ampli-
tud cero.
Señale la alternativa que representa la
secuencia correcta después de deter-
minar si la proposición es verdadera (V)
o falsa (F).
UNI 2010 - I
A) VVV B) VVF C) VFV
D) FFV E) FFF
Resolución:
I. Y R = Y A + Y B
Y R = A sen (Kx – wt) + Asen(Kx + wt)
R Y 2A Sen(Kx)Cos(wt)
Es una onda estacionaria de ampli-
tud "máxima" 2A.
II. Y R = Y A + Y C
R Y ASen(Kx wt) ASen(Kx wt )
R Y 2A Sen Kx Cos wt2 2
R Y 2A Cos (Kx)Sen (wt)
Sigue siendo una onda estaciona-ria.
III. Y R = Y B + Y C
R Y ASen(Kx wt) ASen(Kx wt )
problemas resueltos