14 - Moderní frekvenční metody - Polyx · Automatické řízení - Kybernetika a robotika Pro vysoké frekvence • šumy mívají vyšší frekvence Návrh pro potlačení vlivu

14 - Moderní frekvenční metody

Michael ŠebekAutomatické řízení 2021

30-03-20

Automatické řízení - Kybernetika a robotika

Pro odchylku platí

a z toho (použitím trojúhelníkové nerovnosti)

Přitom jsme pro (každou) jednu frekvenci vázání omezením

které nás nutí si vybrat! Zřejmě nemůže být současně a

Zvolíme-li hodně malé (tzv. přesné řízení), bude zřejmě !Zvolíme-li naopak (robustní řešení, odolné šumům), pak !Co máme dělat? Rozhodujeme se podle jednotlivých frekvenčních pásem!

Pozor: jsou komplexní čísla, takže naopak úvahy neplatí

Loop shaping v uzavřené smyčce

Michael Šebek 2ARI-14-2019

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e j S j r j S j d j T j n jω ω ω ω ω ω ω= − +

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )e j S j r j S j d j T j n jω ω ω ω ω ω ω≤ + +

0 0( ) ( ) 1S j T jω ω+ =

0( ) 1S jω 0( ) 1T jω ≅

0( ) 1S jω 0( ) 1T jω

0( ) 1T jω 0( ) 1S jω ≅

0 0 0 0( ) 1 ( ) 1 ( ) 2 ( ) 1T j T j S j S jω ω ω ω= − → = ⇒ = →

0 0( ), ( )S j T jω ω

u( )K s ( )G s


Pro nízké frekvence je typicky a proto musíme zajistit

Z toho plyne hranice pro velmi nízké frekvence:• Pro přijatelnou regulační odchylku musíme stanovit

dolní mez pro zesílení při velmi nízkých frekvencích

• pak

Loop shaping: Chování pro nízké frekvence


0, 0, 0( ) ( ) ( )r j d j n jω ω ω≥ ≥ ≈

0 1( ) ( )S j L jω ω≈ ⇒ >>

0

10 0) ( ))( ( ( )r j d je j j nω ωω ω=

≤ × × ++

1( )L jω >> 1, 0( ) ( )T j S jω ω≅ ≅ Hranice ustálené odchylky

1cω

( )L jω



Pro vysoké frekvence

• šumy mívají vyšší frekvence

Návrh pro potlačení vlivu šumu senzorů • stanovení horní meze pro zesílení

při vysokých frekvencích

Loop Shaping - Chování pro vysoké frekvence


0, 0( ) ( )r j n jω ω≈ ≥

Hranice šumusenzorů

1cω

( )L jω


0

1 1 0( ) ( ) ( ) ( )e j r j d j n jω ω ω ω≤ × + × + ×

1( )L jω << 0, 1( ) ( )T j S jω ω≅ ≅

Když má i porucha vysoké frekvence, je to problém


Další hranice pro vysoké frekvence

Potlačení vlivu neurčitosti v soustavě = stanovení horní meze vf zesílení

Neurčitost je typicky větší na vf. typicky zanedbáním dynamiky vyšších řádů

Kdybychom s dynamikou vyšších řádů počítali, bude návrh složitýRaději ji zahrneme do neurčitosti a detaily ignorujeme!

Návrh musí zajistit, aby pro vf. nepřekročila hranici 1 = 0dB pak nezáleží na fázi

Jinak bychom s ní museli počítat a návrh by byl složitý

Loop Shaping - Neurčitost


f=1/s; bode(tf(f),tf(f/(1+s)),tf(f/(1+.5*s)),...tf(f/(1+.5*s)*(1+.1*s)),...tf(f/(1+.5*s)*(1+.01*s)^2));

nyquist(tf(f),tf(f/(1+s)),tf(f/(1+.5*s)), ...tf(f/(1+.5*s)*(1+.1*s)),tf(f/(1+.5*s)*(1+.01*s)^2));

( )L jω

cω

( )L jω

Hranice neurčitosti modelu


A teď obojí současněDolní mez pro vf

Př.: Když požadujeme, aby výstup sledoval sinusový vstupní signál s frekvencí s odchylkou ne větší než 1% , volíme W1 = 100

Horní mez zesílení pro vfPř.: pro přijatelné potlačení šumů

a robustní stabilitu při rozumné chybě modeluPro střední frekvence se snažíme dosáhnout • ωc blízko požadované šířky pásma• v okolí ωc směrnici -1 (-20dB/dek) pro dobré PM (≈ 90º) a tedy tlumení

Loop Shaping - shrnutí

Michael Šebek 6ARI-14-20 12

Hran

ice

ustá

lené

odc

hylk

y

1cω

( )L jω

Hran

ice

šum

u se

nzor

ů a

neur

čito

sti s

oust

avy

1W

21 W

1

1

0,( )1( ) , ( ) 1

nfWL j

S j T jW

ω ωω

ω ω

> ∈

⇒ < ≅

0, nfω ω∈

)2

2

1 ,( )

1( ) 1, ( )

vfL jW

S j T jW

ω ωω

ω ω

> ∈ ∞

⇒ ≅ >


• pro pevnou frekvenci ω0 je vzdálenost bodu L(jω0) na Nyquistově grafuod kritického bodu -1 rovna převrácené hodnotě velikosti citlivosti v ω0

• Vzdálenost celého grafu L(jω) od bodu -1 je

tedy rovna převrácené hodnotě špičky citlivosti MS

• čím větší je špička citlivost, tím blíže je L(jω) bodu nestability

Citlivost v Nyquistově grafu


1( )1 ( )

S sL s

=+

( )L jω

1−

( ( ))d L jω

0 0 0

0 0

( ) 1 ( ) 1 ( )1 1

1 1 ( ) ( )

d L j L j

L j S j

ω ω ω

ω ω

= − − = +

= =+

( )[ )

[ )0,

0,

1 1min ( )( )max ( ) S

d dL jMS jω

ω

ωωω∈ ∞

∈ ∞

= = =

( )L jω

0( )L jω

1−

0( )d ω


• Typicky požadujeme:• MS < 2 (6 dB)• MT < 1.25 (2 dB)

• větší hodnoty ( > 4 ) znamenají špatné chování i robustnost

• Liší se nejvýše o 1:|MS –MT| ≤ 1

• Souvislost s GM a PM je vidětze vzorečků

Špičky citlivostí


>> G=3*(1-2*s)/((5*s+1)*(10*s+1))G = 0.06 - 0.12s / 0.02 + 0.3s + s^2>> D=1.136*(1+1/(12.7*s))D = 0.089 + 1.1s / s>> L=D*G,S=1/(1+L),T=L*SL =

0.0054+0.057s-0.14s^2 / 0.02s+0.3s^2+s^3S =

0.02s+0.3s^2+s^3 / 0.0054+0.077s+0.16s^2+s^3T =

0.0054+0.057s-0.14s^2 / 0.0054+0.077s+0.16s^2+s^3>> bode(tf(L),tf(S),tf(T))

max ( )SM S jω

ω=max ( )TM T jω

ω=

SMωTMω

( )T jω

( )S jω

( )L jω

11 , 11

11 , 11

S

S T

S

S T

MGM GM GMM M

MGM GM GMM M

> ⇒ ≥ ≥ +−

< ⇒ ≤ ≤ −+

1 12arcsin2

1 12arcsin2

S S

T T

PMM M

PMM M

≥ ≥

≥ ≥


Geometrické vysvětlení vzorečků: Ms a GM

9

Re

Im

min1 GM

max1 GM1

SM

1−

( )L jω

11

S

S

MM

−

11

S

S

MM

+



Geometrické vysvětlení vzorečků: Ms a PM

1sin2 2

12arcsin2

S

S

M

M

α

α

= ⇒

=

10Michael Šebek 10ARI-14-2018

max

min

PM

PM

α

α

≥

≥


MS vs. gain plus phase margin

11

Tradičně buď

nebo

Teď (inverzní neurčitost)

min max

( ) ( )L s kL sGM k GM

→< <

min max

( ) ( )jL s e L sPM PM

ϕ

ϕ

−→< <

( )( )1 ( )

10 , ( ) 1S

L jL jr j

r jM

ωωω

ω

→+ ∆

≤ < ∆ ≤

maxPM

minPM

Im

Re

max1 GM

min1 GM

( )L jω

11Michael Šebek ARI-14-2018

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/7b/DoNotEnter.SVG


Požadavek na chování: Velikost odchylky menší než hodnota eb pro všechny referenční sinusovky s frekvencí 0 ≤ ω0 ≤ ω1 a amplitudou |r(jω0)|

vyjádříme jako , protože

Abychom pokaždé nemuseli definovat zvlášť spektrum referenčního signálu a požadavek na odchylku, normalizujeme problém zavedením váhové funkce chování (performance frequency function), která vyjadřuje, jak jsou naše požadavky na chování systému rozložené podle frekvencí - je to reálná funkce frekvence

S její pomocí můžeme požadavek přepsat do elegantního tvaru

• Pro návrh často užíváme

Požadavky na chování frekvenčně


( ) ( ) ( )e j S j r jω ω ω=( ) ( ) ( ) bee j S j r jω ω ω= ≤

1( )

( )b

r jW

eω

ω =

1: ( ) ( ) 1S j Wω ω ω∀ ≤

1 1( ) ( )W W jω ω=

( )r jω

1ω


• Protože

• Můžeme požadavek na chování interpretovat graficky:Pro žádné ω nesmí bod OL frekvenční charakteristiky L(jω) ležet v kruhu o poloměru W1(ω) se středem v kritickém bodu -1

• Pozor: platí to zvlášť po jednotlivých frekvencích ω

Grafická interpretace


[ ] 1 1: ( ) ( ) 1 ( ) |1 ( ) |0, S j W W L jω ω ω ω ω∀ ∈ ≤ ⇔ < +∞

1poloměr | ( ) |W ω=

|1 ( ) |d L jω= + ( )L jω


• Δ(jω) komplexní funkce, jakákoli, jediné omezeníreprezentuje amplitudu a fázi neurčitosti

• W2(ω) pevná váhová funkce• G0(s) nominální model

Abychom mohli použít Nyquistovo kritérium předpokládáme, že všechny soustavy v G(jω) mají stejný počet nestabilních pólů, neboli také, žeG(s) a G0(s) mají stejný počet nestabilních pólů pro všechny Δ(jω)

Že v tomto smyslu mají všechny soustavy stejný charakter. Možná trochu umělý, ale kritický požadavek - bez něj většina nástrojů neplatí

Multiplikativní neurčitost


[ ]0 2( ) ( ) 1 ( ) ( )G j G j W jω ω ω ω= + ∆

( ) 1jω∆ ≤

0 ( )G jω21 ( ) ( )W jω ω+ ∆

( )G jω

0 ( )G jω2 ( )W ω ( )G jω( )jω∆


Váhová funkce neurčitosti W2• popisuje rozložení neurčitosti podle frekvencí• je vlastně normalizovaná perturbace přenosu

Typicky je • malá pro nízké frekvence

(tam známe model velmi přesně)• a velká pro vyšší frekvence

(parazitní a nemodelované jevy)• typický průběh je

Váhová funkce neurčitosti

Michael Šebek 15ARI-14-20 12

[ ]0 2( ) ( ) 1 ( ) ( )

( ) 1

G j G j W j

j

ω ω ω ω

ω

= + ∆

∆ ≤

02

0 0

( ) ( )( ) 1 ( ) ( )( ) ( )

G j G jG j W jG j G j

ω ωω ω ωω ω

−− = = ∆

02

0

( ) ( )( )

( )G j G j

WG jω ω

ω ωω

−≤ ∀

1

10

100

1000

0.1

210− 110− 010 110 210


Nyquistův graf neurčitého systému


g0=2.5/((s+1)^3);k=rdf(1);w=rdf(.5);omega=0:.5:2;ball(g0,k,w,1,j*omega);hold on,nyquist(ss(g0))

[ ]0 2( ) ( ) 1 ( ) ( ) , ( ) 1G j G j W j jω ω ω ω ω= + ∆ ∆ ≤

0 0( )G jω

0 0 2 0( ) ( )G j Wω ω

0 ( )G jω

0 1( )G jω1( )G jω

celý kruh


Soustava s multiplikativní neurčitostíje

nominálně stabilní je stabilní

robustně stabilní je stabilní pro každétj. když je stabilní každá z nekonečné množiny soustav

• Podobně pro otevřenou smyčku

• i pro uzavřenou smyčku

Robustní stabilita


[ ]0 2( ) ( ) 1 ( ) ( ) , ( ) 1G j G j W j jω ω ω ω ω= + ∆ ∆ ≤

( ) 1jω∆ ≤

[ ][ ][ ]

00 0 2

0 200

0 0 2

1 1 1( ) , ( )1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( )

( ) 1 ( ) ( )( ) ( )( ) , ( )1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) ( )

S j S jL j L j L j W j

L j W jL j L jT j T jL j L j L j W j

ω ωω ω ω ω ω

ω ω ωω ωω ωω ω ω ω ω

= = =+ + + + ∆

+ ∆= = =

+ + + + ∆

[ ]0 0

0 2 0 0 2

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

L j D j G jL j D j G j L j W j L j L j W j

ω ω ω

ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω

=

= = + ∆ = + ∆

0 ( )G jω

( )G jω


Nutná a postačující podmínka robustní stability

• protože typicky W2 je velké pro velké ω, • musí být malé pro vysoké frekvence• Protože je , musí být pro vysoké frekvence

Přibližné vyjádření pomocí OL přenosu• pro vysoké frekvence je malé,

proto• a podmínka robustní stability se redukuje na

0 2( ) ( ) 1,T j Wω ω ω< ∀

Podmínka robustní stability


00

0

0 0

( )( )1 ( )

( ) ( ) ( )

L jT jL j

L j D j G j

ωωω

ω ω ω

=+

=

0 ( )T jω0 0 1S T+ = 0 ( ) 1S jω ≈

0 0( ) ( ) ( )L j D j G jω ω ω=

0 0( ) ( )T j L jω ω≈

0 2( ) ( ) 1T j Wω ω ω< ∀ 02

1( )( )

L jW

ω ωω

< ∀


Grafická interpretace: • obálka Nyquistových grafů nesmí obsahovat kritický bod -1

Grafická interpretace


0

0 0

0

2 0( ) ( ) 1 ( ) ( ) / (1 ( )) 1

( ) ( ) 1 ( )

T j W W L

L j L

j

W j

L j

ω

ω ω ω ω ω ω

ω ω

ω

ω

< ∀ ⇔ <

< +

+ ∀

∀⇔

g0=2.5/((s+1)^3);k=rdf(1);w=rdf(.5);omega=1:.01:2;

ball(g0,k,w,1,j*omega);hold onom=1.2;g0om=value(g0,j*om);wom=value(w,j*om);a=0:.1:2*pi;r=abs(wom*g0om);fill(r*sin(a)+real(g0om),r*cos(a)+imag(g0om),'

b')ball(g0,k,rdf(0),1,.8*j*omega);grid off

0|1 ( ) |d L jω= +

0| ( ) ( ) |r L j Wω ω=

( )L jω

0 ( )L jω


• Při návrhu může nastat efekt přelévání: abychom někdy zmenšili S(ω) , musíme ji jinde zvětšit. Toto přelévání nastává vždy.

• Když je relativní řád L(s) ≥ 2 , když tj. L(s) má aspoň o 2 póly více než nul,musí citlivost splňovat Bodeho integrální omezení ve tvaru

neboli

• Speciálně pro stabilní L(s) musí platit

• Graficky (pokud je logaritmické měřítko u amplitudy a lineární u frekvence), musí se obě plochy rovnat

• Má-li L(s) nestabilní póly, je plocha zesilování dokonce větší!

Omezení pro návrh: Efekt vodní postele I.


0

unstable,00ln ( ) Repn

iS j d pω ω π∞

= ∑∫

0ln ( ) 0S j dω ω

∞=∫

unstable,00log ( ) log Repn

iS j d e pω ω π∞

= ∑∫

Documents

14 - Moderní frekvenční metody - Polyx · Automatické řízení - Kybernetika a robotika Pro vysoké frekvence • šumy mívají vyšší frekvence Návrh pro potlačení vlivu