79

04 - Notaţia ştiinţifică şi prefixe metrice

1. Notaţia ştiinţifică

• Orice valoare poate fi reprezentată prin intermediul cifrelor sale semnificative şi o putere a lui zece

Scopul notaţiei ştiinţifice

În multe discipline ştiinţifice şi inginereşti, trebuie să lucrăm adesea cu valori foarte mari sau foarte mici

Cifrele semnificative

.

Unele dintre aceste cantităţi sunt foarte greu de reprezentat, fiind extrem de mari sau extrem de mici. Să luăm ca şi

exemplu masa protonului, una dintre particulele nucleului atomului:

Sau, numărul de electroni ce trec printr-un punct al unui circuit în fiecare secundă, sub influenţa unui curent

de 1 Amper:

În ambele cazuri, avem de a face cu mulţi de zero. Evident, este destul de incomod să lucrăm cu atât de

multe cifre, chiar şi cu ajutorul calculatoarelor.

În cazul celor două valori de mai sus, putem observa că există relativ puţine cifre diferite de zero în

componenţa acestora. În cazul masei protonului, avem doar „167” precedat de 23 de zero înainte de virgula

decimală. Pentru numărul de electroni pe secundă într-un Amper, avem „625” urmat de 16 zerouri. Numim aceste

cifre diferite de zero (de la prima la ultima), plus oricare zerouri ce se află între aceste limite, „cifrele

semnificative” ale oricărui număr.

Cifrele semnificative rezultate în urma unei măsurători reale indică de obicei acurateţea acelei măsurători.

De exemplu, dacă spunem că o maşină cântăreşte 1.000 kg, probabil că nu dorim să fim foarte exacţi referitor la

greutatea acesteia, ci am făcut o rotunjire aproximativă şi comodă. Această valoare conţine doar o cifră

semnificativă, şi anume, „1”-ul din faţa, zerourile fiind folosite în acest caz doar pentru a indica un multiplu al

primei cifre, şi nu „posedă” nicio valoare propriu-zisă. Totuşi, dacă am spune că maşina cântăreşte 1.005 kg, atunci

valoarea ar avea 4 cifre semnificative, şi anume „1.005”, iar în acest caz, zerourile sunt parte componentă a mărimii

măsurate.

80

În aceeaşi ordine de idei, numerele cu mai mulţi de zero nu sunt neapărat reprezentative pentru o anumita

cantitate reală până la punctul decimal. În acest caz, un asemenea număr poate fi scris printr-o prescurtarea

matematică pentru a fi mai uşor de citit. Prescurtarea poartă denumirea de notaţia ştiinţifică

Scrierea numerelor mari folosind notaţia ştiinţifică

.

Folosind notaţia ştiinţifică, un număr poate fi scris prin intermediul cifrelor semnificative ca şi o valoare

între 1 şi 10 (sau -1 şi -10 pentru numerele negative), iar zerourile sunt reprezentate ca şi puteri ale lui 10. De

exemplu:

poate fi scris sub forma

10 la puterea 18 (1018

Scrierea numerelor mici folosind notaţia ştiinţifică

) înseamnă 10 înmulţit cu el însuşi de 18 ori, sau, un 1 urmat de 18 zerouri. Înmulţit

cu 6,25, rezultă „625” urmat de 16 zerouri (luăm 6,25 şi mutăm virgula cu 18 locuri spre dreapta). Avantajele

notaţiei ştiinţifice sunt evidente: numărul nu mai este atât de „imposibil” de scris iar cifrele semnificative sunt

foarte uşor de identificat.

Ce putem face însă în cazul numerelor foarte mici, precum masa protonului în grame? Putem folosi şi în

acest caz notaţia ştiinţifică, doar că puterile lui 10 vor fi negative în acest caz, şi nu pozitive, ceea ce se traduce

printr-o deplasare a virgulei decimale înspre stânga şi nu înspre dreapta, precum în cazul precedent.

poate fi scris sub forma

10 ridicat la puterea -24 (10-24) înseamnă inversa (1 / x) lui 10 înmulţit cu el însuşi de 24 de ori, sau, un 1

precedat de o virgulă decimală şi de 23 de zerouri. Înmulţit cu 1,67, rezultatul este „167” precedat de virgula

decimală şi 23 de zerouri. La fel ca şi în cazul numerelor foarte mari, notaţia prescurtată este mult mai uşor de

utilizat. Şi în acest caz, cifrele semnificative sunt exprimate clar. Revenind la exemplul precedent, putem exprima valoarea de 1.000 kg cu ajutorul notaţiei ştiinţifice, astfel:

81

În cazul în care maşina ar cântări 1.005 kg, notaţia ştiinţifică ar fi următoarea:

2. Aritmetica notaţiei ştiinţifice

• Înmulţirea

•

numerelor sub forma notaţiei ştiinţifice se realizează înmulţind cele două cifre semnificative şi

adunând exponenţii puterilor lui zece

Împărţirea

Înmulţirea numerelor sub forma notaţiei ştiinţifice

numerelor sub forma notaţiei ştiinţifice se realizează împărţind cele două cifre semnificative şi

scăzând exponenţii puterilor lui zece

Beneficiile notaţiei ştiinţifice nu se opresc doar la uşurinţa scrierii numerelor. O asemenea notaţie este uşor

de folosit în cazul înmulţirii şi împărţirii numerelor. Să presupunem, de exemplu, că vrem să aflăm numărul de

electroni ce trec printr-un anumit punct al unui circuit ce transportă un curent de 1 A într-o perioadă de 25 de

secunde. Dacă ştim numărul de electroni pe secundă din circuit (ceea ce cunoaştem), tot ceea ce trebuie să facem

este să înmulţim acea cantitate cu numărul de secunde (25) pentru aflarea răspunsului:

Utilizând notaţia ştiinţifică putem reformula problem astfel:

Dacă luăm „6,25” şi îl înmulţim cu 25, obţinem 156,25. Prin urmare, răspunsul poate fi scris astfel:

Totuşi, dacă dorim să menţinem convenţia standard a notaţiei ştiinţifice, trebuie să reprezentăm cifrele

semnificative ca şi numere între 1 şi 10. În cazul de faţă, „1,5625” înmulţit cu o anumită putere a lui 10. Pentru a

obţine 1,5625 din 156,25, trebuie să trecem virgula decimală cu două poziţii în stânga. Acest lucru se realizează

astfel:

Adică, mutăm virgula decimală cu două poziţii în stânga, dar în acelaşi timp înmulţim numărul nou format

cu 10 la puterea 2 (numărul de poziţii). Rezultatul final arată acum astfel (înmulţim numărul de mai sus cu 1018):

82

Dacă am dori în schimb să aflăm numărul de electroni ce trec într-un interval de o oră (3.600 secunde)? În

acest caz, putem trece şi timpul sub forma notaţiei ştiinţifice:

Pentru realizarea acestui produs, înmulţim cele două cifre semnificative între ele (6,25 şi 3,6), precum şi

cele două puteri ale lui zece între ele, astfel:

Ceea ce înseamnă:

sau

Împărţirea numerelor sub forma notaţiei ştiinţifice

Pentru ilustrarea operaţiei de împărţire cu numere sub forma notaţiei ştiinţifice, putem să luăm exemplul de

mai sus invers, şi anume, să aflăm cât timp le-ar trebui acelui număr de electroni (2,25 x 1022) să treacă prin circuit,

în cazul unui curent de 1 A:

La fel ca şi în cazul înmulţirii, putem realiza calculele separat pentru cifrele semnificative şi pentru puterile

lui zece:

Putem vedea că am ajuns la aceeaşi valoarea, 3.600 secunde (3,6 x 103

).

3. Notaţia metrică

• Faţă de notaţia ştiinţifică, notaţia metrică utilizează prefixe alfabetice în loc de puteri ale lui zece

83

Scop şi prezentare

Sistemul metric, pe lângă faptul că reprezintă o colecţie de unităţi de măsură pentru diferite mărimi fizice,

este structurat în jurul conceptului de notaţie metrică. Diferenţa faţa de notaţia ştiinţifică o reprezintă faptul că

puterile lui zece sunt reprezentate cu ajutorul prefixelor alfabetice

În imaginea alăturată sunt prezentate

câteva dintre cele mai uzuale prefixe

alături de reprezentarea lor sub forma

puterilor lui zece. Pentru o descriere

completă a tuturor prefixelor metrice

utilizate, vedeţi intrarea de pe Wikipedia,

aici.

.

Urmărind această scală, putem vedea că, de exemplu, 2,5 G (giga) înseamnă de fapt 2,5 x 109, sau 2,5

miliarde. De asemenea, 3,21 pA (picoamperi) înseamnă 3,21 x 10-12

Conversia prefixelor metrice

Amperi.

Deoarece majoritatea prefixelor în sistemul metric se referă la puteri ale lui 10 ce sunt multiplii de 3,

notaţia metrică diferă de notaţia ştiinţifică prin faptul că cifrele semnificative se pot regăsi oriunde în intervalul 1 -

1000, în funcţie de prefixul ales. De exemplu, pentru o greutate de 0,000267 grame, cele două notaţii arată astfel:

Pentru a exprima o cantitate printr-un prefix metric diferit faţă de cel iniţial, trebuie doar să mutăm virgula

decimală spre stânga sau spre dreapta, în funcţie de caz.

De exemplu, să exprimăm 0,000023 A (amperi) în mA (microamperi). Putem observa că 0,000023 A nu

utilizează niciun prefix metric, ci reprezintă doar unitatea de măsură „pură”. Din graficul de mai sus, vedem că

micro (µ) reprezintă 10-6, prin urmare, trebuie să deplasăm virgula decimală cu 6 poziţii spre drepta, iar rezultatul

arată astfel:

84

Un alt exemplu: dorim să exprimăm 304.212 V (volţi) în kV (kilovolţi). Din nou, putem observa că acest

număr nu are momentan niciun prefix. Astfel, dacă dorim să trecem de la 100 (vezi graficul de mai sus) la 103 (kilo)

în stânga, trebuie să mutăm virgula decimală cu 3 poziţii spre stânga:

Să presupunem acum că dorim să transformăm 50,3 MΩ (megaohmi) în mΩ (miliohmi). 50,3 MΩ

înseamnă 50,3 x 106 Ω. Uitându-ne pe graficul de mai sus, observăm că de la Mega la mili există o diferenţă de 9

puteri ale lui zece (de la 106 la 10-3

, de la stânga la dreapta), prin urmare, trebuie să deplasăm virgula decimală cu 9

poziţii spre drepta: