1.4. Orden en la recta num erica · PDF fileLas desigualdades juegan un papel importante en nuestro siguiente ... A diferencia de los intervalos que son copias pequenas~ del conjunto

30 CAPITULO 1. NUMEROS, SISTEMAS NUMERICOS Y OPERACIONES

Figura 1.7: Ubicacion de puntos

1.4. Orden en la recta numerica

En esta seccion abordaremos los conceptos matematicos de: desigualdad, intervalo, y valor abso-luto, conceptos claves en el estudio de la matematica universitaria.

1.4.1. La recta real.

Una manera muy util de visualizar los numeros reales es extendiendolos a lo largo de una recta, demanera que cada numero real coincida con un punto sobre la recta y, recıprocamente, cada puntode la recta se corresponda con un numero real.Es usual tomar la direccion positiva de la recta hacia la derecha e indicarla con una flecha. Comopunto de partida tomamos un punto O arbitrario sobre la recta que llamaremos el origen, quecorresponde al numero real 0. Para representar un numero real sobre la recta, tomamos una unidadde medida conveniente, de manera tal que, un numero real positivo x se representa por un puntosobre la recta, que esta a una distancia de x unidades a la derecha del origen. De igual manera, unnumero negativo −x se representa por un punto sobre la recta a una distancia de x unidades a laizquierda del origen. como puede verse en la figura 1.3.

Ejemplo 1.11. El numero 5 esta a la derecha del origen en un punto de la recta a 5 unidadesde este, mientras que el numero −5 estara a la izquierda del origen en un punto de la recta a 5unidades de este, ver figura 1.4.

Figura 1.8: Ubicacion de 5 y -5 en la recta real

De esta manera identificamos un numero real como un punto sobre la recta y por tanto a esta rectala llamamos Recta real.

1.4. ORDEN EN LA RECTA NUMERICA 31

En este momento es importante apropiarnos de las siguientes propiedades del conjunto de numerosreales.

La recta real es continua, esto es, la recta real no tiene “huecos”. No hay vacios a ocupar porotro real. Los reales llenan totalmente todos los puntos de una recta.

Los numeros reales son ordenados. Diremos que el numero a es menor que b y lo notamosa < b, si la diferencia b − a es un numero positivo. Geometricamente, esto significa que elnumero a esta a la izquierda del numero b, o equivalentemente, el numero b esta a la derechadel numero a, lo cual se escribe b > a, de manera que las expresiones a a sondos maneras de escribir lo mismo. Una expresion que contenga los simbolos < o >, se llamauna desigualdad. Las desigualdades juegan un papel importante en nuestro siguiente curso decalculo diferencial.

Terminologia Notacion Definicion

a es menor que b a b b− a es negativo

Ejemplo 1.12. La desigualdad −3 < 1, es una desigualdad verdadera, pues, 1− (−3) = 4 > 0. Verfigura 1.5.

Figura 1.9: -3 esta a la izq. de 1

Ejemplo 1.13. Al contrario del ejemplo anterior, desigualdad −2 < −3 es falsa, ya que, −3 −(−2) = −1 < 0.

Los numeros a que satisfacen la desigualdad a > 0, se les llaman positivos, los numeros a quesatisfacen la desigualdad a < 0, se les llaman negativos mientras que los numeros a tales que a ≤ 0se denominan reales no negativos.

Relaciones entre si a es positivo, entonces −a es negativoa y −a si a es negativo, entonces −a es positivo

Es importante reconocer la siguiente propiedad de los numeros reales.

Teorema 1.4 (Tricotomia). Para todo numero real a se cumple una y solo una de las siguientes:

a = 0 o

a es un numero positivo, o,

a es un numero negativo.


Geometricamente, lo que dice el resultado es que si tomamos un numero en la recta real, estenumero es el origen o esta a la derecha del origen o esta a la izquierda del origen. Como era deesperarse.Debido a esta propiedad podemos afirmar que si a, b son dos numeros cualesquiera, se cumple unay solo una de las siguientes:

1. a− b = 0, o,

2. a− b positivo, o

3. −(a− b) positivo, o sea, b− a es positivo.

De manera que si tomamos dos numeros a y b podemos compararlos, ya que lo anterior, para estosdos numeros se cumple una y solo una de las siguientes:

1. a = b, o,

2. a < b, o,

3. a > b.

Por lo anterior se dice que los reales son un conjunto ordenado.

Ejemplo 1.14. Ordenamiento de tres numeros reales

1 < 3 < 5

−3 < −2 < 0

5 > 1 > −2

Ley de si a y b tienen el mismo signo, ab ya

bson positivos

signos si a y b tienen signos contrarios, ab ya

bson negativos

En realidad en la ley anterior podemos cambiar la palabra “entonces”por “si y solo si”.

Mediante este resultado podemos argumentar que si a 6= 0 es un real cualquiera, a2 es positivo,pues, si a es positivo entonces a2 = aa es positivo. Y si a es negativo esto es, −a es positivo entonces(−a)(−a) = a2 es positivo.

Hasta el momento solo hemos hecho referencia a las desigualdades simples a b. Lanotacion a ≤ b que se lee “a menor o igual a b ” y significa que a b o a = b

Ejemplo 1.15. La desigualdad 2 ≤ 3 es una desigualdad verdadera, pues, 2 < 3. La desigualdadx ≤ x tambien es una desigualdad cierta para todo numero real x, ya que, x = x.


Ejemplo 1.16. La desigualdad 3 ≤ 2 es falsa, pues, ni 3 < 2, ni 3 = 2.

Al manipular desigualdades usaremos las siguientes propiedades.Para a, b, c y d numeros, se tiene que:

Propiedad Significado Ejemplo

a < b, si y solo si < se preserva si sumamos o restamos un −2 < 3, es equivalente aa± c < b± c numero a lado y lado de la desigualdad −2− 4 < 3− 4 o −6 < −1.

Si a < b, y c > 0 < se preserva si multiplicamos por un −3 < 1, es equivalente aac < bc numero positivo a lado y lado de la desigualdad −3(2) < 1(2) o −6 < 2.

Alerta. Si en la desigualdad 2 < 7 multiplicamos por el numero negativo -3, obtenemos la desigual-dad, −6 < −14, la cual es una desigualdad falsa, pues, -14 esta a la izquierda de -6 en la rectareal.

De modo que nuestra propiedad no se cumple al multiplicar por numeros negativos, pero se cumplela siguiente.


Si a < b, y c < 0 < se invierte (>) si multiplicamos por un −3 < 1, es equivalente aac > bc numero negativo a lado y lado de la desigualdad −3(−2) > 1(−2) o 6 > −2.

Prosigamos con las propiedades de las desigualdades.


Si a < b y b < c, el simbolo < es transitivo de −3 < −1 y −1 < 4, se obtiene laa < c desigualdad −3 < 4

Si a 0 y b > 0, entonces los inversos multiplicativos como 2 < 4 entonces

a 

1

4invierten la desigualdad

Estas propiedades tambien son ciertas si cambiamos el simbolo “< ” por el simbolo “≤ ”

Con frecuencia en el calculo debemos tratar desigualdades que contienen incognitas, estas desigual-dades son llamadas inecuaciones.

Definicion 1.4. Se llama inecuacion a una desigualdad que involucra una o mas incognitas ovariables.

Ejemplo 1.17. La desigualdad 2x+ 1 ≤ 3 es una inecuacion que contiene una incognita, x. Porejemplo el numero x = 0 satisface la inecuacion, mientras que el numero x = 2 no la satisface. Verla siguiente tabla.


x 2x+ 1 ≤ 3 Conclusion

0 1≤3 Verdadero

2 5≤3 Falso

-2 -3≤3 Verdadero

3 7≤3 Falso

Ejemplo 1.18. La desigualdad x2+y2 ≥ 2 es una inecuacion con dos incognitas x e y. Por ejemplola pareja de numeros x = 1 y y = 2 satisfacen la inecuacion, mientras que, la pareja x = 0 y y = 1no la satisface.

Resolver una inecuacion que contenga una incognita significa hallar el conjunto de todos losnumeros que al ser sustituidos por la incognita hacen de la inecuacion una desigualdad verdadera.Los metodos para resolver desigualdades en una variable x son similares a los que se usan pararesolver ecuaciones. El conjunto de todos los numeros que satisfacen la inecuacion se llama conjuntosolucion ( CS) de la inecuacion. Resolver una inecuacion significa hallar su conjunto solucion. Engeneral, el (CS) de una inecuacion es un tipo de conjunto de numeros muy importante y requiereun tratamiento especial.

Veamos una de las nociones mas importantes de la matematica moderna y de mucha utilidad ennuestro trabajo.

Dentro del conjunto de numeros reales existe un tipo de conjunto especial y que juega papel im-portante en lo que sigue, los intervalos.

1.4.2. Intervalos

Sean a y b numeros reales con a < b, se llama intervalo abierto al conjunto de todos los numerosque se encuentran entre a y b, sin incluir ni a ni a b y se denota por (a, b). Geometricamente, unintervalo (a, b) es el segmento de recta de la recta real comprendido entre los puntos a y b sin incluirlos puntos extremos. Ver figura 1.6.

Figura 1.10: Intervalo abierto (a, b)

En notacion de conjuntos, un intervalo abierto (a, b) se escribe

(a, b) = {x ∈ R : a < x < b}


Si el intervalo contiene los extremos a y b se llama intervalo cerrado y se denota [a, b] que ennotacion conjuntista escribimos [a, b] = {x ∈ R : a ≤ x ≤ b} y geometricamente, es el segmento derecta entre a y b incluyendo los extremos a y b. Ver figura 1.7.

Figura 1.11: Intervalo cerrado [a, b]

Un intervalo puede contener uno de sus extremos, en tal caso, el intervalo de dice intervalo semi-abierto. Tambien consideramos intervalos infinitos, como se describen en la siguiente tabla.

Notacion Desigualdad Grafica

(a, b) a < x a ——◦————->

[a,∞) x ≥ a ——•————>

(−∞, b) x 

Observese que ahora el conjunto de los reales puede definirse de las siguientes dos formas equiva-lentes,

R = (−∞,∞) = {x : −∞ < x <∞}

A diferencia de los intervalos que son copias pequenas del conjunto de los reales y que por lo tantono tienen “huecos” sino que son conjuntos continuos, y que por ende, si tomamos dos elementoscualesquiera de un intervalo, digamos x y y, los elementos del subintervalo entre x y y, son todoselementos del mismo intervalo. Esto no sucede por ejemplo con el conjunto de numeros racionales,ya que si tomamos los numeros racionales 1 y 2 el intervalo entre 1 y 2 contiene elementos que noson numeros racionales como el numero

√2,√

3. Conjuntos como los racionales son ejemplos deconjuntos que no son continuos en el sentido que si tomamos dos elementos distintos en el conjunto,existen numeros reales entre estos elementos que no pertenecen al conjunto, tales conjuntos sonllamados conjuntos discretos.


Definicion 1.5. Un conjunto se dice discreto si esta formado por un numero finito de elementos,o si sus elementos se pueden colocar en secuencia de modo que haya un primer elemento, unsegundo elemento, un tercer elemento, y ası sucesivamente. Estos conjuntos se pueden describircompletamente mediante la notacion

{x1, x2, x3, ..., xn, ...}

Ejemplo 1.19. El conjunto de los numeros naturales, el conjunto de los numeros enteros y elconjunto de los numeros racionales son conjuntos discretos.

Ejemplo 1.20. El conjunto An =

{1

n: n ∈ N

}es un conjunto discreto.

Con estos conceptos a disposicion podemos entrar a resolver inecuaciones mas generales.

Ejemplo 1.21. Resolver la inecuacion 1− 2x < 3.

Solucion. Realizamos los siguientes pasos:

Paso 1. Sumamos -1 a lado y lado de la desigualdad 1− 2x− 1 < 3− 1 para obtener −2x < 2.

Paso 2. Multiplicamos por −12 a lado y lado de la desigualdad −1

2(−2x) > −12(2) para obtener

x > −1.Por tanto, el conjunto solucion de esta inecuacion es CS= {x/ x > −1} = (−1,∞). (ver figura1.8.)

Figura 1.12: CS de la inecuacion 1− 2x < 3

Ejemplo 1.22. (Doble desigualdad) Resolver la inecuacion −2 < 3x+ 2 < 3.

Solucion. Realizamos los siguientes pasos:Paso 1. Sumar a lado y lado -2, −2− 2 < 3x+ 2− 2 < 3− 2. Esto es, −4 < 3x < 1.Paso 2. Multiplicar a lado y lado por 1/3, 1

3(−4) < 133x < 1

3 . Esto es −43 < x < 1

3Por tanto el (CS) de la inecuacion es el intervalo (−4

3 ,13).

Ejemplo 1.23. (Doble desigualdad) Resolver la inecuacion −2x < 3x− 1 < x.


Solucion. Resolvemos por separado las desigualdades: −2x < 3x− 1 y 3x− 1 < x.Caso 1. Resolvemos la desigualdad −2x < 3x− 1.Sumamos 2x a lado y lado 0 < 5x− 1sumamos 1 a lado y lado 1 < 5xmultiplicamos por 1/5 a lado y lado 1

5 < x.Para este caso obtenemos como conjunto solucion al intervalo, S1 = (15 ,∞).Caso 2. Resolvemos la desigualdad 3x− 1 < x.Sumamos −x a lado y lado 2x− 1 < 0sumamos 1 a lado y lado 2x < 1multiplicamos por 1/2 a lado y lado x < 1

2Para este caso tenemos el conjunto solucion S2 = (−∞, 12).

Por tanto el conjunto solucion de la inecuacion −2x < 3x + 2 < x sera: S = S1 ∩ S2, esto es

S = (1

5,1

2). Ver fig 1.9

Figura 1.13: Conjunto solucion de −2x < 3x < x

El siguiente concepto de distancia en la recta real, desempenara un papel decisivo en este curso.

1.4.3. Valor absoluto y distancias

Para medir la distancia en la recta real de un punto cualquiera x al origen, usamos la notacion |x|y se denomina valor absoluto del numero real x. Como la distancia es no negativa, se tiene siempreque |x| ≥ 0. Ver figura 1.10.

Figura 1.14: Distancia de x y de −x al origen.


de acuerdo con la figura 1.10. podemos tomar la siguiente definicion para el valor absoluto de unnumero.

Definicion 1.6. El valor absoluto de un numero real x es

|x| =

{x, si x ≥ 0

−x, si x < 0

Ejemplo 1.24. |7− 3| = 4 y |4− 6| = | − 2| = −(−2) = 2.

Ejemplo 1.25. |π − 4| = −(π − 4) = 4− π (pues π − 4 < 0).

Ejemplo 1.26. Si x es un numero real, entonces, |x−2| sera igual a x−2 en caso que x−2 ≥ 0,es decir, en caso que x ≥ 2, pero, sera igual a −(x− 2) = 2− x en caso que x− 2 < 0, es decir, encaso que, x < 2. Lo cual podemos resumir en

|x− 2| =

{x− 2, si x− 2 ≥ 0

−(x− 2), si x− 2 < 0

o equivalentemente,

|x− 2| =

{x− 2, si x ≥ 2

2− x, si x < 2

Alerta. Observese que cada vez que deseamos evaluar el valor absoluto de un numero del cualdesconocemos si en la recta real esta a la derecha o a la izquierda del origen, se requiere laconsideracion por separado de distintos casos, como en el ejemplo anterior.

El valor absoluto tambien lo podemos utilizar para hallar la distancia entre dos puntos de la rectareal.

Definicion 1.7. Sean a y b dos numeros cualesquiera en la recta real, La distancia entre elnumero a y el numero b notada d(a, b) es: d(a, b) = |b− a|

Notese que |b− a| = |a− b|. (Ver figura 1.11.)

Ejemplo 1.27. Para calcular la distancia entre 3 y -2 calculamos |3− (−2)| = |5| = 5 o tambien| − 2− 3| = | − 5| = 5.

Ejemplo 1.28. Para calcular la distancia entre -5 y -20 calculamos | − 20− (−5)| = | − 15| = 15o tambien | − 5− (−20)| = |15| = 15.

Las siguientes propiedades en los numeros reales seran de gran utilidad en el manejo del valorabsoluto:


Figura 1.15: Distancia entre a y b.

Propiedad Interpretacion ejemplo

Para todo real a se tiene que El valor absoluto de todo real | − 5| = 5|a| ≥ 0 y |a| = 0 si y solo si a = 0 es siempre no negativo |x− 2| = 0, x = 2

Para todo real a se tiene que El valor absoluto de un numero | − 5| = |5|| − a| = |a| y su negativo es el mismo |x− 2| = |2− x|

Veamos algunos ejemplos.

Ejemplo 1.29. (Ecuaciones con valor absoluto.) Resolver la ecuacion |x− 3| = 0.

Solucion. Debemos hallar todo el conjunto de numeros que satisfacen la ecuacion, es decir, elconjunto de numeros que puede tomar la variable x y que al ser remplazados en la ecuacion laconvierten en una identidad.

Por la propiedad |x− 3| = 0, solo si, x− 3 = 0, esto es, x = 3.

Ejemplo 1.30. Resolver la ecuacion |x| = 3.

Solucion. Si x > 0, la igualdad se convierte en: x = 3. Mientras que si x < 0, la igualdad seconvierte en: −x = 3, esto es, x = −3, por consiguiente las soluciones de la ecuacion son x = −3y x = 3. La figura 10. ilustra graficamente la solucion.

En general se tiene la siguiente propiedad.

Propiedad Interpretacion ejemplo

Sea a > 0. Las soluciones de la ecuacion a y −a estan a la misma Las soluciones de |x| = 2|x| = a son x = a y x = −a distancia del origen son x = 2 y x = −2

La figura 1.12. ilustra graficamente la situacion.

Ejemplo 1.31. (Ecuaciones con valor absoluto.) Resuelva la ecuacion |x− 1| = 2.


Figura 1.16: Puntos cuya distancia al origen es a

Solucion. Por la propiedad anterior considerar dos casos. O bien

x− 1 = 2, es decir, x = 3, o x− 1 = −2, es decir, x = −1. Las soluciones de la ecuacion son:x = 3 y x = −1. (Compruebe que efectivamente estos valores son soluciones de la ecuacion)

Ejemplo 1.32. (Ecuaciones con doble valor absoluto.) Resuelva la ecuacion |x+ 1| = |x|.

Solucion. Igualmente, por la propiedad tenemos dos casos: o bien x+ 1 = x, osea, 1 = 0, lo cuales imposible, o bien, x+ 1 = −x, o sea, x = −1/2. Obteniendose la unica solucion x = −1

2 .

Ejemplo 1.33. (Ecuaciones con doble valor absoluto.) Resuelva la ecuacion |x+ 1| = |x|.

Solucion. Igualmente, por la propiedad tenemos dos casos: o bien x+ 1 = x, osea, 1 = 0, lo cuales imposible, o bien, x+ 1 = −x, o sea, x = −1/2. Obteniendose la unica solucion x = −1

2 .

Propiedad Interpretacion Ilustracion

Para todo par de numeros a El valor absoluto de un producto |(−2)(4)| = | − 2||4| = 8y b, |ab| = |a||b| es el producto de los valores ab |1− x2| = |1− x||1 + x|

Para todo par de numeros a El valor absoluto de un cociente es

∣∣∣∣x3 + x2 + x+ 1

1 + x2

∣∣∣∣ =

y b 6= 0,∣∣∣ab

∣∣∣ =|a||b|

el cociente de los valores absolutos|1 + x||1 + x2||1 + x2|

= |1 + x|

La siguiente propiedad se cumple en un triangulo, de hay su nombre “desigualdad del triangulo”


Para todo par de numeros El valor absoluto de una suma nunca 1 = | − 4 + 5| ≤ | − 4|+ |5| = 9a y b, |a+ b| ≤ |a|+ |b| excede la suma de los valores absolutos |1− x2| = |1− x||1 + x|

Ejemplo 1.34. |2 + 3| = |2|+ |3|, mientras que |5− 3| < |5|+ | − 3|


Alerta. Observe que, |a+ b| = a+b siempre que los numeros a y b tengan el mismo signo, mientrasque |a+ b| < a+ b si a y b tienen signos contrarios.


Si a > 0, entonces La distancia de x al origen es menor |x| < 1⇔ −1 < x < 1|x| < a si y solo si −a < x < a que a, significa que x > −a y que x < a

La propiedad se ilustra en la grafica 1.13.

Figura 1.17: La igualdad |x| = a y las desigualdades |x| < a y |x| > a

Ejemplo 1.35. Resolver la inecuacion |x+ 1| < 2.


Si a > 0, entonces |x| > a La distancia de x al origen es mayor |x| < 1⇔ −1 < x < 1si y solo si x > a o x < −a que a, significa que x > a o que x < −a

La propiedad se ilustra en la grafica 1.13.Estas propiedades siguen siendo validas si el simbolo < o > es reemplzado por el simbolo ≤ o ≥.

Ejemplo 1.36. Resolver la inecuacion |x+ 1| ≤ 2.

Solucion. La desigualdad |x+ 1| ≤ 2 es equivalente a la desigualdad −2 ≤ x+1 ≤ 2. Sumando −1a lado y lado se recibe, −3 ≤ x ≤ 1, obteniendose ası el intervalo [−3, 1] como conjunto solucion.

Ejemplo 1.37. Resolver |2x+ 1| ≥ 6.


Solucion. |2x+ 1| ≥ 6 es equivalente a2x+ 1 ≥ 6 o 2x+ 1 ≤ −6 ——propiedad2x ≥ 5 o 2x ≤ −7 —————–sumar -1 a lado y lado

x ≥ 52 o x ≤ −7

2——————multiplicar por

1

2a lado y lado.

En consecuencia, la solucion de la inecuacion es la union de los intervalos (−∞,−7/2]∪ [5/2,∞) .

Alerta. En la solucion anterior no es correcto escribir la solucion x ≤ −7

2o x ≥ 5

2como

5

2≤ x ≤ −7

2pues

5

26≤ −7

2.

Tampoco es correcto escribir a ≤ x ≥ b, ya que cuando se usa una doble desigualdad, elsentido de las desigualdades debe ser el mismo.

Ejemplo 1.38. (Desigualdades con doble valor absoluto.) Resolver la inecuacion |2x− 3| <|x− 4|.

Solucion. Como 2x − 3 se anula en x = 32 y x − 4 se anula en x = 4 y estos puntos dividen la

recta en tres segmentos, como se ilustra en la grafica 13.Resolvemos entonces la inecuacion en cada uno de esos intervalos ası:

a) Para el primer segmento donde x <3

2la desigualdad se convierte en −(2x − 3) < −(x − 4),

esto es, 2x− 3 > x− 4, o sea, x > −1, como estamos en el primer segmento, se tiene como (CS) al

intervalo I1 = (−1,3

2).

b) En el segundo segmento se tiene3

2< x < 4. La desigualdad se convierte en 3x− 3 < −(x− 4)

esto es 2x < 7 o x <7

2, como estamos en el segundo segmento, el (CS) es I2 = (

3

2,7

2).

c) Por ultimo, en el tercer segmento, x > 4 la desigualdad se escribe 2x− 3 < x− 4, o, x < −1.

En este caso I3 = ∅. Uniendo las soluciones y observando que x =3

2satisface la desigualdad (en

este caso los numeros 3/2 y 4 no se habian considerado), la solucion de la inecuacion es el intervalo:(−1, 7/2).

Ejemplo 1.39. (Desigualdad racional.) Resolver la desigualdad1

x− 3> 0.

Solucion. Como el numerador es positivo, es necesario que el denominador tambien lo sea, es decirx− 3 > 0, en consecuencia x > 3 y la solucion son todos los numeros del intervalo (3,∞).

Ejercicios propuestos

1. Sean a, b y c numeros reales tales que a > 0, b < 0 y c < 0. Encuentre el signo (+ o -) decada una de las expresiones

a) −ab) bc


c) ab+ ac

d) ab2

e) a+ bc

f ) ab− bc+ ac

g) −c(a− b)

2. Grafique el conjunto sobre la recta real.

a) (−3, 1) ∪ [0, 3]

b) (−∞, 0] ∩ [0,∞)

c) (−∞, 0) ∪ (0,∞)

d) (−3, 1] ∩ [0, 3]

3. Grafique el par de numeros en la recta real y luego encuentre la distancia entre los puntos.

a) 5, 8

b) −3, 5

c) −8, −2

d)1

17,

1

18e) −1,2, −0,5

4. Observando la figura, explique como ubicar el punto√

3 en la recta real. ¿Y como ubicar elpunto

√5?

Figura 1.18: Construccion de√

2 en la recta real.

5. Escriba en el espacio el signo correcto (<, >, o =)

3 -3 3.5 2/3 0.67

7/2

-7/2

0.67

-0.67

6. Sea H =

{−π,−e,−

√3,−1, 0,

1

2, e, π, 4

}. ¿Cuales de los elementos del conjunto H satisfacen

la desigualdad?


a) 2x− 1 <√

2

b) 1− 2x < π

c) 1 < 1− 2x < 3

d) 2x− 1 +1

x< 0

e) −3 < 2− x < −1

7. Complete la tabla con los signos de <, >, o =

-10 12/13 -1 1.41 1.1 -3 0.1

-6 <√2

−π-1/2

1.1

10/11

0.01

8. Diga si la desigualdad es verdadera o falsa. Si la desigualdad es falsa corrıjala.

-3.3 -1 11/13√

3

−3.3 ≤ > ≥ <

-0,3 < < ≤ <

15/16 > > < ≥√2 ≥ > ≥ >

9. Escriba cada enunciado en terminos de una desigualdad valida.

a) x es positivo.

b) y es negativo.

c) x es menor a 1/2 y mayor a -5.

d) La distancia de x a 5 es a lo mas 3.

e) w es positiva y menor igual a 11.

f ) y esta al menos 2 unidades de π.

g) El cociente de p y q es al menos 5.

10. Considere los intervalos I1 = (−1, 1), I2 = [0, 5] y I3 = (−2, 3]. Halle:

a) I1 ∪ I2b) I1 ∩ I2c) I1 ∪ I2 ∪ I3d) I1 ∩ I2 ∩ I3

11. Considere los conjuntos I1 = {x| x ≥ 1}, I2 = {x| − 2 ≤ x < 1}, I3 = {x| x ≥ 0}. Halle:

a) I1 ∪ I2b) I1 ∩ I2


c) I1 ∪ I2 ∪ I3d) I1 ∩ I2 ∩ I3

12. Dada la desigualdad −5 < −1, determine la desigualdad que se obtiene si:

a) Se suma 8 a lado y lado.

b) Se multiplica por 1/2 a lado y lado.

c) Se resta 5 a lado y lado.

d) Se multiplica por −1

2a lado y lado.

13. Exprese la desigualdad como un intervalo y trace su grafica.

a) x ≤ 3

b) x ≥ 3

c) −2 ≤ x < 1

d) −3 ≥ x > −5

14. Exprese el intervalo como una desigualdad en la variable x.

a) (0, 5)

b) [−4,−1]

c) (−∞, 5)

d) (2,∞).

15. Sean a y b reales tales que a > 0, b < 0 y c < 0. Halle el valor exacto de:

a) |−a|b) |−b|c) |a+ bc|d) |ab− bc+ ac|e) |−c(a− b)|

16. Compare los numeros5

101,

11

86y

906

996.

17. Escriba el enunciado en terminos de desigualdad.

a) x es negativo.

b) x esta a menos de 3 unidades de 2.

c) La distancia entre x y π esta entre 1 y 2.

d) x es no negativo y menor a 15.

18. Describa mediante una desigualdad con valor absoluto, el enunciado dado.

a) El peso de una persona no ha de variar mas de 2 lbs de 148 lbs.

b) El radio de un globo esferico no debe variar mas de 0,001 cm. de 1 cm.


Figura 1.19: Intervalo cerrado [0, 4]

c) La diferencia de dos temperaturas T1 y T2 de una una lamina homogenea tiene que estarentre 5◦CC y 10◦CC.

19. Describa mediante una desigualdad con valor absoluto, el conjunto ilustrado en la grafica.

20. En la desigualdad despeje x, suponiendo que a, b y c son positivos y a < c.

a) a+ b(c− ax) ≥ a+ b(c− a)

b) −a ≤ c− bx ≤ a

c)∣∣∣xa− b∣∣∣ > c

21. Evalue cada expresion.

a) ||−2| − |−6||

b)

∣∣∣∣π − 3

3− π

∣∣∣∣c)∣∣π −√2−

√3∣∣

d) |2x+ 3|

22. Exprese la expresion dada sin utilizar el simbolo de valor absoluto y simplificar.

a) |1 + 2x| si x < −12

b) |b− a| si a < b

c) | − x2 − 1|d) |x2 + x+ 1|.

23. Pruebe que si |x− x0| < r2 y |y − y0| < r

2 , entonces se tiene que |(x+ y)− (x0 + y0)| < r. Yque |(x− y)− (x0 + y0)| < r, r un real positivo.

24. Obtenga los numeros que estan a una distancia de 3 unidades del numero -1.

25. Encontrar todos los numeros x para los cuales se cumple que:

a) |x− 3| = 8


b) |x− 3| < 8

c) |x− 3| > 8

d) |x− 1|+ |x− 2| > 1

e) |x+ 1| |x+ 2| = 3

f ) (x− 3)2 = 1

g) |2x− 3|+ 5 ≤ 0

h)

∣∣∣∣3− 1

x− 2

∣∣∣∣ = 7

26. Resuelva la inecuacion lineal. Exprese la solucion en notacion de intervalo y grafique el con-junto solucion.

a) 3− x < 5− 2x

b)1

x< 0

c)1

2<

2− 3x

7≤ 3

4d) |7x+ 4| ≥ 3

e) (1− x) (x+ 2) > 0(¿ En que casos es po-sitivo el producto de dos numeros?)

f )3− x3 + x

≤ −1

g)x− 1

x+ 1> 0

27. Sean a, b, c y d numeros positivos tales quea

b<c

d. Muestre que

a

b<a+ c

b+ d<c

d.

28. Considere el conjunto An =

{1

n: n ∈ N

}.

a) Explique el porque el conjunto An es un conjunto discreto.

b) Halle

∞⋂i=1

An

29. Considere el conjunto H =

{n+ 1

n: n ∈ N

}.

a) Explique el porque el conjunto H es un conjunto discreto.

b) Encuentre el intervalo mas pequeno I tal que H ⊆ Ic) ¿El conjunto H tiene primer elemento?

d) ¿El conjunto H tiene ultimo elemento?

e) Halle la distancia entre el numero 1 y un numero cualquiera de H.

30. Mostrar que

a) Si 0 < a < 1, entonces a2 < a

b) Si 0 < a < b, entonces a2 < b2

c) Si a y b son no negativos con a2 < b2, entonces a < b

d) Si 0 < a < b, entonces a <√ab <

a+ b

2< b

31. Una oficina de correos por razones de logıstica solo acepta paquetes cuya longitud mas perıme-tro de una seccion trasversal no exceda los 100 cm.


a) Realice un dibujo y coloque sus variables.

b) Escriba la inecuacion correspondiente a los datos dados.

c) Si usted tiene que llevar un paquete de 8 cm. de ancho por 7 cm. de alto, ¿cual es lamaxima longitud que puede tener el paquete?

32. La relacion entre grados Celsius (C) y grados Fahrenheit (F) esta dada por la ecuacion

C =5

9(F − 32). Si un alimento debe conservarse refrigerado entre los 0◦CC y los 10◦CC. ¿A

que intervalo de temperatura Fahrenheit corresponde?

33. Una compania de alquiler de autos goza de dos planes para sus clientes:Plan A: $ 100.000 por dıa mas $ 100 por kilometro recorrido.Plan B : $ 130.000 por dıa y kilometraje ilimitado.

a) ¿Cuantos kilometros por dıa debe recorrer un cliente para que el plan A sea mas ventajosoque el plan B?

b) ¿Cuantos kilometros por dıa debe recorrer un cliente para que el planB sea mas ventajosoque el plan A?

34. Establecer la veracidad (V) o falsedad (F) de la proposicion. En caso que la proposicion seafalsa reemplacela por una proposicion correspondiente que sea verdadera.

a) Una desigualdad lineal en una incognita tiene un numero infinito de soluciones siempre.

b) Cuando los dos lados de una desigualdad se multiplican por una constante diferente decero se preserva el sentido de la desigualdad.

c) Si un numero negativo se resta a lado y lado de una desigualdad, el sentido de la de-sigualdad cambia.

d) El conjunto solucion de una inecuacion puede ser un numero.

e) Si |x| = a, entonces x = a o x = −a para todo valor de a.

f ) Si |x| = |y|, entonces x = y o x = −y.

g) La ecuacion |x− 2|+ |x− 3| = 0 no tiene solucion.

h) |x+ y| = |x|+ |y|, si y solo si, x y y tienen el mismo signo.

i) Si x es un numero real, entonces |x| ≥ x y |x| ≥ −x.j ) x > y implica |x| > |y|k) Si x2 > y2, entonces |x| > |y|.

35. Si una tienda puede vender x unidades diarias de un producto a un precio de $ p cada uno,donde p = 600 − x ¿Cuantas unidades del pruducto debe vender para obtener un ingresodiario de al menos $ 8000 ?

36. Si dos resistores R1 y R2 se conectan en paralelo en un circuito electrico, la resistencia netaR esta dada por

1

R=

1

R1+

1

R2

Si R1 = 10 ohms ¿que valores de R2 daran una resistencia neta de menos de 5 ohms?


37. De acuerdo con la ley de Hooke, la fuerza F en lbs requerida para estirar un resorte x pulgadas,mas alla de su longitud natural, esta dada por F = 4, 5x (ver figura). Si 10 ≤ F ≤ 18 ¿cualesson los valores correspondientes de la variable x?

38. Segun la figura, si una lente convexa tiene una longitud focal de f cm y si un objeto se colocaa una distancia de p cm de la lente p > f, entonces la distancia desde la lente a la imagenesta relacionada con p y f mediante la formula

1

p+

1

q=

1

f

Si f = 5 vm, ¿cuan cerca debe estar el objeto de la lente para que la imagen quede a mas de12 mc de la lente?

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1.4. Orden en la recta num erica · PDF fileLas desigualdades juegan un papel importante en nuestro siguiente ... A diferencia de los intervalos que son copias pequenas~ del conjunto