14-Spettro Di Risp

8/16/2019 14-Spettro Di Risp

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Prof. Adolfo Santini - Dinamica delle Strutture 1

Analisi sismica di un sistema lineare viscoso a più gradi dilibertà con il metodo dello Spettro di Risposta


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Prof. Adolfo Santini - Introduzione alla Dinamica delle Strutture 2

Analisi sismica con lo spettro di risposta 1/10

Ai fini progettuali è importante conoscere i valori massimi della risposta in termini di sforzi

interni e di spostamenti.

La determinazione della risposta massima di un sistema a molti gradi di libertà può essere

eseguita convenientemente utilizzando il concetto di spettro di risposta, definito per i sistemi

lineari viscosi a un grado di libertà.

L’equazione del moto di un sistema lineare viscoso a un grado di libertà sollecitato da un’accele-

razione del suolo üg(t ) si scrive

!!u(t )+ 2!"

!u(t )+"

2

u(t ) = # !!

ug (t )

Per un assegnato moto del suolo üg(t ), la risposta u(t ) dipende solo dalla frequenza del sistema !,

o dal corrispondente periodo naturale T , e dal rapporto di smorzamento ". Si ha cioè

u = u t ,T ,! ( )


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In genere, l’accelerazione del suolo varia con notevole irregolarità. Per tale ragione la soluzione

dell’equazione può essere eseguita solo mediante metodi numerici. Una volta calcolata la storia

nel tempo della risposta u(t ), gli sforzi interni possono essere valutati attraverso un’analisi staticadella struttura eseguita a ogni istante di tempo desiderato applicando la forza equivalente

f S (t ) = ku(t ) = m! 2u(t ) = mA(t )

in cui A(t ) = !2

u(t ) è la pseudo-accelerazione. Il taglio e il momento ribaltante alla base risultano

T b(t ) = mA(t )

M b(t ) = hmA(t ) = hT

b(t )

in cui h è l’altezza della massa rispetto alla base.



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Spettro di risposta

Assegnato un moto del suolo üg(t ), il diagramma dei valori massimi della risposta in funzione del

periodo naturale del sistema T , per un valore prefissato del rapporto di smorzamento ", èchiamato spettro di risposta.

La variazione di T consente di considerare tutti i possibili sistemi lineari viscosi a un grado di

libertà.

Al variare di " si possono tracciare diversi spettri, in modo da considerare i tipici intervalli divariazione dello smorzamento delle strutture.

Pertanto, per un’assegnata componente del moto del suolo, lo spettro di risposta consente dirappresentare la risposta massima di tutti i possibili sistemi lineari viscosi a un grado di libertà.


Gli spettri di risposta possono essere tracciati in funzione di diverse quantità:

u0

T ,! ( ) = maxt

u(t ,T ,! ) = D T ,! ( )

!u0 T ,! ( ) = max

t !u(t ,T ,! )

!!u0

t T ,! ( ) = max

t

!!ut (t ,T ,! )

spostamento

velocità

accelerazione totale


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Da un punto di vista applicativo sono importanti gli spettri di risposta in termini di pseudo-

velocità V e di pseudo-accelerazione A definiti in funzione di D come segue

V =! D =2"

T D A =!

2 D =

2"

T

# $ %

& ' ( 2

D


La pseudo-velocità V non rappresenta la velocità effettiva, ma è legata al valore massimo E

dell’energia di deformazione immagazzinata dal sistema durante il sisma:

La pseudo-accelerazione A non rappresenta l’accelerazione effettiva del sistema, ma consente di

calcolare il valore massimo del taglio alla base:

E =1

2kD

2=

1

2!

2mD

2=

1

2m ! D( )

2

=

1

2mV

2

T b0 = mA

che risulta pari alla forza d’inerzia associata alla massa m sottoposta all’accelerazione A.


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Per un accelerogramma assegnato, è possibile calcolare i valori di D, V e A incorrispondenza di

valori discreti di T e di ", costruendo così gli spettri di risposta che si presentano, in generale, conuna forma piuttosto irregolare.

Per ogni sito di interesse è importante, da un punto di vista applicativo, poter disporre di spettri

regolari. Questi possono essere ottenuti normalizzando, mediando e regolarizzando gli spettri

corrispondenti a gruppi di accelerogrammi compatibili con la geologia e i meccanismi

sismogenetici del sito.

Spettri di questo genere sono forniti dalle norme sismiche.


0,000

0,100

0,200

0,300

0,400

0,500

0,600

0,700

0,800

0,900

1,000

0,000 0,500 1,000 1,500 2,000 2,500 3,000 3,500 4,000 4,500

A, g

T, s


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Risposte modali massime

Il valore massimo del contributo alla risposta del modo n-esimo può essere calcolato attraverso lospettro di risposta elastico in termini della pseudo-accelerazione spettrale

An = A

n T

n,!

n( )

e la risposta modale massima risulta

rn0

= rn

st A

n

Il segno di rn0 è uguale al segno di perché An è sempre positiva. r nst

Le risposte modali non sono sincrone e quindi non raggiungono simultaneamente i loro valori

massimi. Pertanto, le risposte modali massime determinate attraverso lo spettro di risposta non

possono essere sommate direttamente, ma solo combinate in maniera approssimata.



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Regole di combinazione dei contributi modali massimi

Una buona stima della risposta nel caso di strutture con frequenze naturali ben separate è data

dalla radice quadrata della somma dei quadrati , cioè

r0 = r

n0

2

n=1

N

!" # $% & '

1

2

Per strutture in cui le frequenze naturali non sono ben separate, una migliore stima può essere

ottenuta con la regola della combinazione quadratica completa, cioè

r0 = !

inri0rn0

n=1

N

"i=1

N

"# $ %& ' (

1

2

! in =

" 2 1+ # in( )

2

1$ # in( )

2

+ 4" 2# in

! in =

" i

" n

in cui #in è il coefficiente di correlazione relativo ai modi i ed n. Il coefficiente #in è pari a 1

quando i = n, mentre è compreso tra 0 e 1 negli altri casi. Diverse espressioni sono state

presentate nella letteratura scientifica per tale coefficiente. A titolo di esempio, nel caso in cui

"i

= "n

= ", una delle più semplici è la relazione


in cui


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Osservazione

L’analisi sismica con lo spettro di risposta si riduce a una serie di analisi statiche, corrispondenti

ai contributi modali presi in considerazione:

1. si applicano le forze e si calcolano le risposte modali statiche ;

2. le risposte modali statiche sono moltiplicate per l’ordinata spettrale allo scopo di ottenere le

risposte modali massime ;

3. la risposta del sistema si ottiene combinando tra di loro le risposte modali massime.

sn = !

nM

n r

n

st

An

r n0

st

Il metodo, quindi, non richiede esplicitamente l’analisi dinamica dei sistemi modali a un grado di

libertà, ma va comunque interpretato come un’analisi dinamica.

Lo spettro di risposta, infatti, è ottenuto mediante numerose analisi dinamiche e fa riferimento

alle proprietà dinamiche del sistema e del terreno di fondazione (frequenze, modi naturali di

vibrazione e rapporti di smorzamento modali).



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Edifici multipiano a pianta simmetrica

Le risposte modali massime possono essere espresse in funzione dello spostamento spettrale Dn

o

della pseudo-accelerazione spettrale An.

uin = !

n" in D

n =

! n

# n

2"

in A

n

T bn

= mn

* A

n

M bn

= hn

*m

n

* A

n

f Sn

= sn A

n f Sin = ! nmi" in AnIl vettore con consente di calcolare direttamente le risposte massime

modali:



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Sommario del procedimento

1. Definizione delle proprietà dinamiche del sistema (gradi di libertà dinamici, matrice di massa

M e matrice di rigidezza traslazionale K).

2. Determinazione delle frequenze naturali !n (o dei periodi naturali di vibrazione T n = 2" /!n),dei modi naturali di vibrazione !n e delle masse modali efficaci mn

*.

3. Stima dei rapporti di smorzamento modale "n.

4. Calcolo dei valori massimi della risposta relativi a tutti i contributi modali inclusi nell’analisi:

! per ogni periodo naturale di vibrazione T n e del corrispondente rapporto di smorzamento

modale "n si leggono dallo spettro di risposta i valori dello spostamento massimo Dn edella pseudo-accelerazione massima An.

! calcolo degli spostamenti di piano;

! calcolo delle forze statiche equivalenti f Sn;

! calcolo degli sforzi interni attraverso un’analisi statica della struttura soggetta alle forze

f Sn.

5. Stima dei valori massimi della risposta mediante la combinazione dei valori massimi dei

contributi modali.


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