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FACULTAD DE INGENIERAS Y ARQUITECTURAS
EscuelaProfesionaldeIngenieraIndustrial
Lic.HctorF.CernaMaguia
CicloV
DireccinUniversitariadeEducacinaDistancia
InvestigacindeOperacionesI
UniversidadAlasPeruanasDireccinUniversitariadeEducacinaDistancia(DUED)CalleLosLirios144,SanIsidro.LimaPerTelf.(511)4221808http://dued.uap.edu.pedued@uap.edu.peImpresoenlostalleresgrficosdelaUniversidadAlasPeruanasAv.SanFelipe1109,JessMara.LimaPerTelf.(511)2660195Derechos reservados. No est permitida la reproduccin total o parcial de la obra porcualquiermediooprocedimiento,comprendidoslareprografa,eltratamientoinformticoyelectrnicosinlaautorizacindelaUniversidadAlasPeruanas.2010
Gua didctica Investigacin de Operaciones I
5
1. Presentacin de la Gua didctica
2. Presentacin del docente-tutor
3. Introduccin a la asignatura
4. Objetivos
5. Requisitos
6. Medios
7. Contenidos
8. Fuentes de informacin
9. Actividad acadmica
10. Evaluacin
11. Orientaciones para el estudio de la asignatura
12. Orientaciones para las tutoras
ndice
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Escuela Profesional de Ingeniera Industrial
Estimado participante:
Lo saludamos nuevamente al dar inicio a la asignatura de Investigacin de
Operaciones I y esperamos que haya cumplido los objetivos del cuarto ciclo de
estudios en la modalidad de educacin a distancia.
Propsito
El propsito de esta Gua didctica es apoyar el desarrollo de la asignatura y
brindarle las orientaciones necesarias para facilitar su aprendizaje. Por ello es
importante su permanente lectura y comprensin.
Utilidad
Es importante que tenga en consideracin las precisiones detalladas en esta
gua, ya que le permitirn:
Obtener respuesta a muchas de las interrogantes que usted probablemente se har en su proceso de aprendizaje.
Conocer, con anticipacin, muchos de los tpicos que se tratarn en la asignatura y obtener el mximo provecho de las sesiones con el tutor y/o
docente asignado.
Partes
Introduccin general al curso Presentacin del docente-tutor Introduccin a la asignatura Objetivos Requisitos Medios didcticos
1. Presentacin de la Gua didctica
Gua didctica Investigacin de Operaciones I
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Contenidos del curso Fuentes de informacin Actividad acadmica Evaluacin Orientaciones para el estudio de la asignatura Orientaciones para las tutoras
Recomendaciones
Lea detenidamente este documento y utilcelo en todo su proceso de estudio, consultndolo cada vez que sea necesario.
En el caso de buscar un tpico especfico, no dude en ver el ndice que se encuentra en la parte inicial de esta gua, el mismo que le facilitar la rpida
ubicacin del tema o aspecto que requiera consultar.
Recuerde que cuenta con el apoyo de sus profesores en general, y docente o tutor en particular, para alcanzar los objetivos planteados para este curso y
lograr la aprobacin del mismo.
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Escuela Profesional de Ingeniera Industrial
La Universidad Alas Peruanas se complace en presentar al licenciado Hctor
Flix Cerna Maguia, quien ha elaborado el presente material didctico y estar a
cargo del curso de Investigacin de Operaciones I.
El docente-tutor es la persona con la cual estar en constante comunicacin a
fin de facilitarle su proceso de aprendizaje, de acuerdo a las caractersticas de esta
modalidad educativa.
Se indica el correo electrnico mediante el cual podr comunicarse con el
docente que tendr a su cargo la asignatura de Investigacin de Operaciones I, as
como los principales datos de su hoja de vida para que tenga informacin de su
experiencia e inquietudes profesionales.
Permtanos presentarle al docente-tutor de la asignatura:
Hctor Flix Cerna Maguia es docente de esta universidad en la Facultad de
Ingenieras y Arquitectura.
Docente en la Universidad Nacional Federico Villarreal en la Facultad de Ciencias Naturales y Matemtica (1997-2007).
Docente permanente en la Universidad Nacional Mayor de San Marcos en la Facultad de Ciencias Contables (1998 a la fecha).
Docente en Diplomado de Especializacin en Eficiencia en la Enseanza de comunicacin y Lgico matemtica. Centro de Altos Estudios Pedaggicos-
Universidad Nacional Federico Villarreal.
Presidente del Captulo de Investigacin Operativa del Colegio de Matemticos del Per (2008-2010).
Licenciado en Investigacin Operativa (Universidad Nacional Mayor de San Marcos).
Diplomado en Docencia Universitaria (Universidad Alas Peruanas). Experiencia en Elaboracin de Modelos Cuantitativos.
2. Presentacin del docente
Gua didctica Investigacin de Operaciones I
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Estudios concluidos en la Maestra en Docencia Universitaria y Gestin Educativa en la Universidad Alas Peruanas.
Sus reas de inters son la investigacin cientfica aplicada a los Modelos Matemticos para resolver problemas del mundo real, como soporte en la toma
de decisiones.
El docente siempre estar dispuesto a resolver las interrogantes que usted
tenga respecto al curso. No dude en escribirle, pues siempre responder rpidamente
sus mensajes.
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Escuela Profesional de Ingeniera Industrial
A travs de estas lneas, queremos expresarles nuestras felicitaciones por
haber culminado con xito el curso de Inferencia Estadstica. Asimismo le damos la
bienvenida a la asignatura de Investigacin de Operaciones I (IO).
Cul es su finalidad?
La finalidad de esta asignatura es lograr que usted se familiarice con los
modelos cuantitativos y, en particular, centrar su atencin en la programacin lineal
que es una tcnica de modelo matemtico, cuya finalidad principal es optimizar el uso
de los recursos limitados. Las aplicaciones de IO se iniciaron con mucho xito en el
campo militar, la agricultura, la industria, la economa, los sistemas de salud, control
de la contaminacin ambiental, distribucin de materia prima e inclusive en los
sistemas organizacionales. En estos tiempos, el aumento de las capacidades
computacionales y la disponibilidad de programas permite que ms empresas tengan
acceso a las ventajas de los modelos de programacin lineal. La idea es lograr que
usted entienda lo que es un modelo matemtico, desarrolle habilidades para modelar y
resolver el mismo.
Qu caractersticas tiene?
Se trata de un curso terico-prctico, con mayor incidencia en la parte prctica,
por lo cual se recomienda la constante revisin y desarrollo de los ejercicios, tanto de
los realizados con el docente-tutor como de los propuestos.
3. Introduccin a la asignatura
Gua didctica Investigacin de Operaciones I
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Datos informativos
Asignatura : Investigacin de Operaciones I
Ciclo acadmico : V
Crditos : 4
Naturaleza : Obligatoria
Requisito : Inferencia Estadstica
Docente-tutor : Lic. Hctor Flix Cerna Maguia
Cunto tiempo debe dedicar al estudio de este curso?
En la modalidad de educacin a distancia se le recomienda que dedique un
tiempo mnimo de 10 horas semanales, debido a que la asignatura ser desarrollada
en 8 semanas.
Para facilitar la organizacin de su tiempo en el desarrollo de contenidos, se
indica, a manera de sugerencia, las semanas en las que debe usted debera estudiar
los contenidos y desarrollar los ejercicios propuestos.
Cmo estn organizados los contenidos de este curso?
Se han organizado en cuatro unidades didcticas:
Unidad I: Introduccin a la investigacin de operaciones y fundamentos de programacin lineal. Su finalidad es lograr que usted conozca la importancia de
la Investigacin Operativa en la toma de decisiones y la formulacin de
modelos lineales a gestin de operaciones de produccin, mezcla, distribucin
entre otras, La solucin de algunos modelos con dos variables de decisin
utilizando el mtodo grfico.
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Escuela Profesional de Ingeniera Industrial
Unidad II: Representacin matemtica del modelo lineal y el mtodo simplex. Su finalidad es la representacin matemtica y su solucin para ms de tres
variables de decisin utilizando el algoritmo simplex, utilizando este mismo
algoritmo resolveremos problemas con la teora de la dualidad y su posterior
anlisis de sensibilidad.
Unidad III: Aplicaciones Especiales de la programacin lineal. Su finalidad es resolver problemas de transporte y asignacin utilizando nuevos algoritmos de
solucin dado que es mucho ms sencillo su desarrollo con estos algoritmos
que por el mtodo simplex.
Unidad IV: Tpicos avanzados en programacin lineal-programacin lineal entera. La idea es mostrar modelos que tienen mltiples objetivos y convertir
los objetivos mltiples originales en una sola meta. En la parte de
programacin lineal entera es mostrar algunos problemas lineales cuyas
variables de decisin estn restringidas a valores enteros y su posterior
solucin.
Gua didctica Investigacin de Operaciones I
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Qu materiales necesita para estudiar?
Aparte de la gua y las unidades didcticas que le sern proporcionadas por la
universidad, se recomienda (no es obligatorio) tener:
La bibliografa bsica indicada en este documento.
Importancia de la asignatura
La Investigacin de Operaciones I dentro de la teora de optimizacin es una
rama de la matemtica aplicada. Como tcnica de optimizacin se convierte en
herramienta fundamental para resolver problemas cuantitativos en diversas reas de
las ciencias tales como la biologa, la economa, la medicina, la ingeniera, entre otras.
La IO como ciencia de la administracin permitir al ingeniero industrial maximizar o
minimizar alguna funcin objetivo, optimizando recursos limitados. Como podemos ver,
la IO resulta muy valiosa pues permite al ingeniero asesorar mejor a la gerencia en la
toma de decisiones frente a problemas complejos de la administracin.
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Escuela Profesional de Ingeniera Industrial
A continuacin le mostramos los objetivos generales y especficos del presente
curso, al mismo tiempo visualizar la semana en que debemos trabajar el logro de
cada objetivo.
Objetivo general
Introducir al alumno en los principios, tcnicas y filosofa de la investigacin de
operaciones (IO).
Como primer curso se concentra en los modelos lineales y las tcnicas de
solucin para ellos. Se enfatizar el modelamiento presentndose adems la teora
bsica y los algoritmos que permitirn entender los procedimientos y soluciones con
programas computacionales que se propondrn para el uso de los alumnos. Se
incidir en la interpretacin aplicada de los resultados obtenidos.
Unidad didctica Objetivos Semana de estudio
I Aprende la importancia de la definicin y formulacin de un modelo de programacin lineal, esto es, abstraer un problema real en trminos matemticos
1.-2.
II
Comprende la importancia de la representacin matemtica del modelo lineal y el uso del algoritmo simplex en la solucin de problemas de programacin lineal con ms de dos variables de decisin
3.-4.
III Reconoce y comprende la importancia de nuevos algoritmos para la solucin de casos especiales de la programacin lineal,
5.-6.
IV
Comprende la importancia de aplicar nuevos tpicos avanzados en programacin lineal, tales como programacin por objetivos y programacin lineal entera.
7.-8.
4. Objetivos
Gua didctica Investigacin de Operaciones I
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En esta seccin se detallan los requisitos mnimos que usted debe cumplir para
poder cursar la asignatura de Investigacin de Operaciones I.
Con relacin al plan de estudios
Haber aprobado la asignatura de Inferencia Estadstica.
Respecto al aspecto acadmico
Conceptos bsicos y operaciones sobre matrices Planteamiento de ecuaciones e inecuaciones Desigualdades lineales con dos variables Solucin de desigualdades Clculo de probabilidades e inferencia estadstica Estructuras discretas-teora de grafos
5. Requisitos
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Escuela Profesional de Ingeniera Industrial
Pasaremos a especificar aquellos medios que utilizaremos en el desarrollo de
la asignatura:
Impresos
La Gua didctica Es el documento orientador del curso, su lectura y comprensin es obligatoria
porque en ella se sealan todos los criterios a tener en cuenta durante el
desarrollo de la presente asignatura. No olvide leerla con detenimiento.
Las unidades didcticas Son los contenidos del curso exigidos por el Plan de Estudios. Su lectura
comprensiva es obligatoria para lograr los objetivos de la asignatura y como
consecuencia de ello el xito acadmico. Las unidades didcticas las
encuentra en el presente documento.
Campus virtual
Es el espacio disponible en Internet, que se utiliza como medio de transmisin
de informacin de la presente asignatura. Su acceso es muy importante durante cada
semana de estudio. Usted va a ingresar con un usuario y clave que le sern
entregados en el momento de su matrcula, en la Coordinacin de su Unidad
Descentralizada.
Ruta Web del Campus Virtual: http://dued.up.edu.pe
6. Medios didcticos
Gua didctica Investigacin de Operaciones I
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En el Campus Virtual encontrar las aulas virtuales (una por cada curso en que
se haya matriculado). En cada aula virtual usted visualizar:
Orientaciones generales En esta opcin descargar un archivo con informacin importante que lo ayudar
en el desempeo del curso.
Cronograma del curso
Aqu tiene el cronograma de evaluaciones (Examen Parcial, Final, Sustitutorio y
Trabajo Individual), y el horario del curso.
Foro de debate
A travs de esta seccin se realizarn los debates acadmicos definidos para el
curso: el docente plantear temas a ser discutidos, con la finalidad de profundizar
o aclarar temas de la asignatura. Usted puede participar del foro cuando lo
desee, tambin planteando sus dudas o comentando sobre lo aprendido.
P Para acceder al foro deber ingresar al curso desde el Campus virtual y lo encontrar como Foro de Debate
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Escuela Profesional de Ingeniera Industrial
Sala de conferencias
En este apartado docente y alumno interactan en lnea. Es el espacio en el aula
virtual en el que usted encontrar al tutor para recibir su asesoramiento, para
intercambiar opiniones, preguntas y respuestas acerca del curso. Los horarios de
tutora estn especificados en esta seccin. Tenga en cuenta que a esta sala
ingresan todos los participantes. Recuerde adems que:
1. Para utilizar adecuadamente esta Sala debe tener conectados audfonos o
parlantes.
2. Instalar con anticipacin el programa de la Sala de Conferencia.
3. Ingresar a la sala identificndote con su nombre completo (Nombre y
Apellido)
Adems se recomienda
1. Utilizar micrfono para poder hablar con el tutor o expositor.
2. Prestar atencin a las instrucciones durante la charla para mantener el
orden dentro de la Sala.
3. Leer el manual de uso de la Sala.
El procedimiento de acceso y adecuada comunicacin a travs de la Sala de conferencias se encuentra detallado en el apartado 12 de la presente Gua didctica titulado Orientaciones para las tutoras.
Para poder acceder a la sala de conferencias deber ingresar al curso desde el Campus virtual y la encontrar como:
Sala de Conferencias. Recuerde que debe tener preparados sus audfonos o parlantes y micrfono.
Gua didctica Investigacin de Operaciones I
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Compaeros de curso Este cono muestra la lista de alumnos matriculados en el curso, sus fotos y
correos, para que usted pueda relacionarse con ellos y realizar tambin trabajos
grupales.
Envo de exmenes
Se emplea para enviar las evaluaciones escritas, en los plazos establecidos.
Envo de trabajos finales Permite enviar el Trabajo final al docente del curso.
Visualizar trabajos enviados A travs de esta opcin puede asegurarse de que su trabajo fue correctamente
enviado.
Visualizar notas
Con este enlace puede ir viendo las calificaciones del curso.
Finalmente en:
Material del curso
En esta opcin encontrar la presentacin del docente, ayudas y enlaces
interesantes que le enve el docente. Al ingresar usted ver esta imagen en la
parte superior:
MATERIAL DEL CURSO CICLO 200X-XX
Curso: 0201-02XXX XXXXXXX Docente: XXXXXXXXXXXXXX
ESTRUCTURA DEL CURSO
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Escuela Profesional de Ingeniera Industrial
Estructura del curso
Al elegir esta opcin usted podr acceder a pantalla siguiente:
Curso : XXXXXXXXXXXXX
0201-02XXX XXXXXXXXXXXX Docente: XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXX
Slabo del curso Gua del curso Unidades didcticas
Estos documentos (slabo, gua del curso y unidades didcticas) estarn a su disposicin en la pantalla para que pueda revisarlos e informarse y estudiar,
desde el momento en que se matricule (pago en el banco y registro en su
Unidad Descentralizada). De esta forma, incluso si usted viaja, podr seguir
estudiando sin necesidad de trasladarse llevando los libros.
En esta seccin usted contar con:
Presentacin del docente
Modelo de examen
Trabajo final
Ayudas
Autoevaluaciones
Enlaces Interesantes
Gua didctica Investigacin de Operaciones I
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Presentacin del docente
Es la presentacin que el docente hace de su asignatura.
Modelo de examen
Es el espacio desde donde usted podr descargar un modelo de examen,
de tal forma que pueda prepararse adecuadamente para su evaluacin. El
modelo de examen, como bien dice su nombre, es una demostracin de la
forma en que vendr elaborado el examen original.
Trabajo final
Es el espacio en el Aula virtual en el que usted podr descargar el trabajo
final que necesita desarrollar y entregar en el plazo que figura en el
calendario de evaluacin. No olvide descargarlo para que pueda
elaborarlo.
Ayudas En este espacio usted podr descargar o compartir las ayudas que se
colocarn cada semana de estudio para reforzar o complementar sus
conocimientos; ellos son parte de las evaluaciones del presente curso.
Autoevaluaciones Aqu, el docente colocar preguntas, problemas o ejercicios que usted
desarrollar para asegurarse el adecuado nivel de comprensin de los
temas desarrollados cada semana.
Para acceder a las ayudas deber ingresar al curso desde el
campus virtual a Material del Curso y luego a Ayudas
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Escuela Profesional de Ingeniera Industrial
Para acceder a los enlaces interesantes deber ingresar al curso
desde el Campus virtual a Material del curso y luego a
Enlaces interesantes
Enlaces interesantes
Es el espacio donde el docente colocar rutas o enlaces a pginas web,
con temas de la semana.
Gua didctica Investigacin de Operaciones I
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En la parte inferior de cada aula virtual ver:
Tiene un cuadro con los nombres de todas las autoridades de su Facultad.
Para que usted pueda realizar sus pedidos.
Con todos los documentos que usted deber conocer para cumplir con sus obligaciones, ejercer sus derechos, cumplir con las normas de su Facultad, as
como efectuar trmites siguiendo las instancias apropiadas, para evitarse
inconvenientes, frustraciones o demoras.
Manuales
Gua de Atencin al Alumno
Gua del Estudiante a Distancia UAP
Presentacin y generalidades de la universidad
Sobre la Direccin Universitaria de Educacin a Distancia
(DUED)
Informacin y orientaciones bsicas para el alumno
Componentes del sistema de educacin a distancia
Campo de accin y perfil profesional
Gua de manejo del Campus virtual
Gua de manejo del Correo electrnico
Gua de Instalacin y Manual de Sala de Conferencias
Gua de configuracin de audio y micrfono
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Escuela Profesional de Ingeniera Industrial
Procedimientos
Actualizacin de Matrcula
Reserva de Matrcula
Cambio de Unidad Descentralizada (UDED)
Constancia de Estudios
Certificado de Estudios
Traslado de Modalidad de Estudios
Con todos los programas que usted deber trabajar:
Acrobat Reader Abre archivos de extensin PDF.
WinZip Comprime archivos reduciendo su tamao y colocndolos en un solo objeto con extensin .zip. Del modo inverso, los descomprime.
Microsoft Editor de Ecuaciones Agrega ecuaciones a sus documentos de MS Office.
Visual C# 2005 Express Edition Herramienta de desarrollo de software. Versin de prueba de 30 das.
Adobe Flash Herramienta para desarrollar contenido dinmico y multimedia para presentaciones e Internet. Versin de prueba de 30 das.
Minitab Es un programa diseado para ejecutar funciones estadsticas bsicas y avanzadas.
Gua didctica Investigacin de Operaciones I
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A continuacin le mostramos los contenidos distribuidos por semana de
estudio.
I Unidad didctica
INTRODUCCIN A LA INVESTIGACIN DE OPERACIONES Y FUNDAMENTOS DE LA PROGRAMACIN LINEAL
Objetivo general
Al finalizar esta unidad didctica estar en la capacidad de formular modelos
de programacin lineal con dos o ms variables y su solucin mediante el
mtodo grfico para modelos con dos variables de decisin.
Unidad
didctica
Objetivos
especficos Contenidos
Semana
de
estudios
Conoce y
comprende la
importancia de
los orgenes de la
investigacin
operativa
Introduccin y definicin de la IO, los orgenes de
la IO, qu es y para qu sirve la IO, la toma de
decisiones en nuestros das, las tcnicas de la
IO, perfil de un profesional en IO, por qu son
necesarias las tcnicas de optimizacin
Secuencia operativa de un proyecto de IO.
1.
Define y
comprende los
fundamentos de
la programacin
lineal
Definicin de PL, formulacin de un modelo de
PL, Ejemplos de aplicacin, mtodo grfico de
solucin
2.
I
Conoce y
comprende la
importancia de
modelar
problemas
aplicados a
diferentes reas
de la ciencia.
Aplicacin de PL en la gestin de operaciones y
presentacin de la solucin mediante software
(por ejemplo : gestin de operaciones de
produccin, compra, distribucin, mezcla, entre
otros)
2.
7. Contenidos
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Escuela Profesional de Ingeniera Industrial
II Unidad didctica
REPRESENTACIN MATEMTICA DEL MODELO LINEAL Y EL MTODO
SIMPLEX
Objetivo general
Al finalizar la presente unidad didctica, usted estar en la capacidad de reconocer la
importancia de representar problemas reales en trminos matemticos. As como
conocer y aplicar el algoritmo Simplex para modelos con ms de dos variables de
decisin en la solucin de problemas de optimizacin.
Unidad
didctica Objetivos especficos
Contenidos
Semana
de
estudios
Conoce y aplica la
representacin
matemtica de un modelo
lineal
Forma algebraica, forma matricial, solucin
bsica, interpretacin geomtrica, cantidad
mxima de soluciones bsicas, bsqueda de
la solucin factible ptima, interpretacin de
las variables de holgura, exceso.
3.
II
Comprende la importancia
del algoritmo Simplex en
la solucin de problemas
de programacin lineal
Representacin matemtica, solucin inicial
bsica factible, la condicin de optimalidad,
la condicin de factibilidad, el algoritmo
Simplex, representacin tabular, ejemplos.
Dualidad y anlisis de sensibilidad (cambios
sistemticos en los coeficientes de la
funcin objetivo y cambios sistemticos en
las constantes del lado derecho.
4.
Gua didctica Investigacin de Operaciones I
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III Unidad didctica
APLICACIONES ESPECIALES DE LA PROGRAMACIN LINEAL
Objetivo general
Al finalizar esta unidad didctica estar en capacidad de reconocer la importancia de
solucionar problemas especiales de la programacin lineal como son transporte y
asignacin mediante operaciones elementales.
Unidad didctica Objetivos especficos Contenidos Semana de estudios
III
Comprende y explica la definicin del modelo de transporte y la aplicacin del algoritmo.
Definicin del modelo de transporte, el algoritmo de transporte, aplicacin a problemas reales, solucin del problema de transporte siguiendo los siguientes pasos: 1. la determinacin de la solucin inicial, 2. el mtodo UV.
5.
Comprende y explica la definicin del modelo de transporte y la aplicacin del algoritmo.
Definicin del modelo de asignacin, el Algoritmo de Asignacin, aplicacin a problemas reales, solucin del problemas de asignacin: Mtodo hngaro
6.
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Escuela Profesional de Ingeniera Industrial
IV Unidad didctica
TPICOS AVANZADOS EN PROGRAMACIN LINEAL TALES COMO: PROGRAMACIN POR OBJETIVOS Y PROGRAMACIN LINEAL ENTERA
Objetivo general
Al finalizar esta unidad didctica estar en capacidad de comprender la importancia de
resolver modelos de mltiples objetivos y convertir los objetivos mltiples originales en
una sola meta y adems trataremos programas lineales en los cuales algunas o todas las
variables de decisin estn restringidas a valores enteros.
Unidad didctica Objetivos especficos Contenidos Semana de estudios
Comprende y explica los conceptos bsicos de la programacin por objetivos
Definicin y formulacin de programacin por metas, conceptos bsicos y solucin haciendo uso del Lindo
7
IV Comprende y explica los conceptos bsicos de la programacin lineal entera.
Definicin y formulacin de programacin lineal entera, enfoque grfico, problemas con el redondeo, solucin a travs del mtodo de ramificacin y acotamiento.
8
Gua didctica Investigacin de Operaciones I
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Bibliografa bsica Es el presente texto, material de estudio obligatorio. Su lectura y comprensin es
imprescindible para lograr los objetivos del curso.
Bibliografa complementaria Son textos adicionales de lectura no obligatoria
MATHUR, Kamlesh y Daniel SOLOW. Investigacin de Operaciones, El arte de la
toma de decisiones. Editorial Prentice-Hall Hispanoamericana S:A. 977 pginas.
Desarrolla conceptos relacionados con la claridad, el orden y la precisin en el
rea de construccin de modelos. Constituye un material de apoyo de primer
orden, por su forma didctica y enfoque terico-prctico de los temas
desarrollados.
Enlaces de Internet Son direcciones electrnicas (direcciones de Internet) que contienen informacin
relevante que darn soporte a las diferentes unidades didcticas. En el Campus
virtual del curso encontrar los enlaces por semana de estudio.
8. Fuentes de informacin
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Escuela Profesional de Ingeniera Industrial
Autoevaluativas
Son actividades sugeridas que usted encontrar al final de cada unidad
didctica del presente texto. No son de entrega obligatoria: estas actividades sirven
para reforzar los conocimientos o competencias que usted debi haber logrado en sus
semanas de estudio.
Lectura de textos de acuerdo al tpico desarrollado.
Ejercicios de ampliacin y complementacin de enunciados y
autocomprobacin de lo aprendido.
Trabajo acadmico
Su cumplimiento en cuanto al desarrollo adecuado y entrega oportuna es de
carcter obligatorio, es decir, segn lo programado en el Aula virtual. Usted debe
desarrollar el trabajo asignado bajo este rubro teniendo en cuenta la fecha lmite para
la presentacin, pudiendo antes del plazo, consultar con el docente.
Visite desde su Aula virtual, accediendo al espacio llamado Materiales del
curso, el espacio denominado Trabajo acadmico. En l encontrar las
especificaciones del trabajo a desarrollar y los detalles pertinentes que necesitar
conocer para realizarlo.
.
9. Actividades
Gua didctica Investigacin de Operaciones I
31
Dada la naturaleza del curso, es muy importante su participacin activa en el
proceso de aprendizaje. Por ello, se define en este acpite los criterios de evaluacin:
Exmenes Examen es la evaluacin escrita del presente curso, se evala con escala
vigesimal y se rendirn en las fechas seala en el siguiente cuadro.
Exmenes Semana de estudios
Examen parcial
Examen final
Examen sustitutorio
Cuarta
Octava
Dieciocho
La nota mnima aprobatoria de todos los exmenes es de once (11).
Es importante resaltar que la calificacin obtenida en el Examen sustitutorio
reemplazar a la nota del Examen parcial o del Examen final. Usted podr
acceder al examen sustitutorio si no ha sido evaluado en el examen parcial o en
el examen final, ha desaprobado alguno de ellos o desea mejorar su promedio.
Trabajo acadmico Son los trabajos que usted entregar obligatoriamente, y constituyen un requisito
indispensable para aprobar el curso.
El desarrollo de algunos trabajos acadmicos requiere trabajo en grupo, en otros
casos el desarrollo ser de forma personal.
El examen sustitutorio solo reemplaza uno de los exmenes al
parcial o al final. Bajo ninguna circunstancia la nota del examen
sustitutorio reemplaza las actividades obligatorias o los dos
exmenes antes mencionados o al promedio final.
RECUERDE
10. Evaluacin
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Escuela Profesional de Ingeniera Industrial
Los trabajos acadmicos estn colocados en el Campus virtual y las
especificaciones de los mismos sern detalladas oportunamente en el foro y en
la sala de conversacin, as como tambin el asesoramiento en su desarrollo.
Forma de evaluacin : Permanente. Rubros:
Examen parcial. (35%) Examen final. (35%) Actividades Obligatorias (30%)
El Trabajo acadmico se evaluarn tambin con escala vigesimal y tambin la
nota mnima aprobatoria es 11 (once). Toda copia de trabajos de Internet
detectada en las actividades tendr la nota 00 (cero)
Gua didctica Investigacin de Operaciones I
33
Estimado participante:
Para que usted pueda lograr los objetivos de cada unidad didctica considere
lo siguiente:
Unidad didctica Objetivo Tiempo
sugerido de estudio
I
Construye a travs de los orgenes de la investigacin operativa la importancia de la definicin y formulacin de un modelo de programacin lineal, es decir, abstraer un problema real en trminos matemticos.
30 horas
II
Comprende la importancia de la representacin matemtica del modelo lineal y al algoritmoSimplex en la solucin de problemas deprogramacin Lineal con ms de dos variablesde decisin
20 horas
III Reconoce y comprende la importancia de nuevosalgoritmos para la solucin de casos especiales de la Programacin Lineal,
20 horas
IV
Comprende la importancia de abordar tpicosavanzados en programacin lineal, tales comoprogramacin por objetivos y programacin linealentera.
20 horas
Con relacin a la Gua didctica
Le recomendamos que lea detenidamente este documento y lo considere una
gua que deber utilizar en todo su proceso de estudio, consultndolo cada vez que
sea necesario.
11. Orientaciones para el estudio de la asignatura
34
Escuela Profesional de Ingeniera Industrial
Con relacin a las unidades didcticas
En este proceso, es indispensable que cuente con un nivel de lectura
comprensiva e interpretativa para lo cual se pone en su consideracin las siguientes
pautas:
Busque las condiciones ambientales ms propicias para el estudio, lo que le facilitar su concentracin y su aprendizaje.
Haga un cronograma de estudio que deber cumplir en forma sistemtica. Recuerde que debe interpretar con sus propias palabras los conceptos
presentados por el autor, esto le permitir una mayor comprensin del tema.
Resuelva todas las actividades: autoevaluacin, prcticas y ejercicios propuestos.
Cuide la adecuada presentacin de sus trabajos, ya sea de fondo (profundidad, exactitud y rigurosidad de sus respuestas) como de forma (ortografa, orden).
Gua didctica Investigacin de Operaciones I
35
Con relacin a las tutoras telemticas
La comunicacin con el docente se realizar a travs de la Sala de conferencia,
y en caso de dificultades tcnicas, en la Sala de conversacin. Antes de comunicarse
con el docente usted deber preparar:
Las preguntas de los temas que usted considere de difcil comprensin. Comentarios que usted necesita realizarle al docente para profundizar algunos
conocimientos o para consultar los conocimientos que usted considere
conveniente.
Temas sociales (caf)
Se le recuerda que debe tener presente estas consideraciones cuando acuda a
la tutora telemtica:
1. Haga primero el intento de solucionar sus inquietudes estudiando con seriedad,
consultando la bibliografa pertinente e intercambiando opiniones con sus
compaeros. Si despus de ello persiste su duda, haga preguntas especficas
y no del tema en general. De lo contrario, indicara que no est haciendo su
mejor esfuerzo para aprender.
2. Formule sus preguntas de forma concreta y precisa. Esto ayudar a que el
tutor est en mejores condiciones para atenderlo y evitar confusiones
innecesarias.
3. No haga preguntas rebuscadas o que no sean pertinentes al tema. El tiempo
es un recurso valioso para todos.
La tutora telemtica es para resolver asuntos estrictamente acadmicos. Si usted necesita que el docente le aclare el puntaje obtenido en alguna
de sus calificaciones, utilice el correo electrnico.
RECUERDE
12. Orientaciones para las tutoras
36
Escuela Profesional de Ingeniera Industrial
4. Las indicaciones sobre las evaluaciones estn dadas en las respectivas
unidades didcticas, por lo que se le sugiere que no haga preguntas referentes
a si las evaluaciones son fciles o no; qu pasar si usted no aprueba,
etctera. Estamos para apoyarlo, pero solicite la ayuda en forma necesaria,
clara y oportuna.
5. Respete el horario establecido para la tutora. Si usted estudia a ltimo minuto,
lo ms probable es que no podamos atender sus requerimientos de la misma
forma. Por eso, se le sugiere elaborar y cumplir un horario de actividades con
la finalidad de que esto le ayude a organizarse en su estudio, prcticas y
evaluaciones.
Buena suerte!
I Unidad didctica
Investigacin Operativa I
INTRODUCCIN A LA INVESTIGACIN DE OPERACIONES Y FUNDAMENTOS DE LA
PROGRAMACIN LINEAL
Primera unidad didctica Investigacin de Operaciones I
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1. INTRODUCCIN A LA INVESTIGACIN DE OPERACIONES Y
FUNDAMENTOS DE LA PROGRAMACIN LINEAL
1.1 Los orgenes de la Investigacin Operativa
1.2 Qu es la investigacin Operativa?
1.3 La toma de decisiones
1.4 Tcnicas de la investigacin operativa (IO)
1.5 Perfil profesional en IO
1.6 Por qu son necesarias las tcnicas de optimizacin y anlisis?
1.7 Secuencias operativa de un proyecto de IO
1.8 Introduccin a la Construccin de Modelos
2. REPRESENTACIN MATEMTICA DEL MODELO LINEAL Y EL MTODO
SIMPLEX
2.1. Definicin de Programacin Lineal
2.1.1 Conceptos Bsicos
2.2. Conjunto Convexo
2.3. Formulacin de un problema de programacin lineal
2.3.1 Identificacin de las variables de decisin.
2.3.2 Identificacin de los datos del problema
2.3.3 Identificacin de la funcin Objetivo
2.3.4 Identificacin de las restricciones
2.4. Mtodo grfico o mtodo geomtrico de solucin
2.4.1 Graficacin de ecuaciones y desigualdades lineales
3. APLICACIONES DE PL EN LA GESTIN DE OPERACIONES Y
PRESENTACIN DE LA SOLUCIN MEDIANTE SOFTWARE
Esquema de contenidos
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Objetivo general
Al finalizar esta unidad didctica estar en la capacidad de formular modelos
de programacin lineal y su solucin mediante el mtodo grfico para
modelos con dos variables de decisin.
Objetivos especficos Conoce y comprende la importancia de los orgenes de la investigacin operativa Define y comprende los fundamentos de la programacin lineal Conoce y comprende la importancia de modelar problemas aplicados a diferentes reas de la ciencia.
Objetivos
Primera unidad didctica Investigacin de Operaciones I
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En este texto gua de Investigacin de Operaciones I a partir de nuestra
experiencia en la enseanza de los mtodos cuantitativos aplicados a las diferentes
reas como son las ingenieras, la industria, la economa, la administracin, la
medicina, la Biologa, en el campo militar, educacin, organizaciones sociales,
etctera, buscamos que el alumno aprenda el concepto de modelo matemtico y, lo
ms importante, la construccin de modelos pues sin los modelos matemticos no
tienen sentido la existencia de paquetes de computacin para resolver los modelos.
Desde este punto de vista, nuestra preocupacin se centra en ensear a nuestros
estudiantes cmo construir modelos, aunque es verdad que la construccin de
modelos es un arte que se logra con la prctica.
En este texto va a encontrar cuatro unidades referente al desarrollo del curso,
la primera unidad corresponde a la introduccin a la Investigacin de operaciones y
fundamentos de la programacin lineal; en la segunda unidad desarrollaremos la
representacin matemtica del modelo lineal y el mtodo Simples; la tercera unidad
corresponde a las aplicaciones especiales de la programacin lineal; y por ltimo, la
cuarta unidad corresponde a programacin por objetivos y programacin lineal entera.
La idea fundamental es que el estudiante se familiarice con el curso para ello
deber dedicarse con mucho esmero a cada unidad, tanto en lo que respecta a su
teora como a los ejemplos, y siempre buscar informacin adicional.
Prlogo
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Los cambios revolucionarios originaron gran aumento en la divisin de trabajo y
la separacin de las responsabilidades administrativas en las organizaciones. Sin
embargo esta revolucin cre nuevos problemas que se presentan hasta la fecha en
muchas empresas. Uno de estos problemas es la tendencia de muchos de los
componentes a convertirse en imperios relativamente autnomos, con sus propias
metas y sistemas de valores. Este tipo de problemas, y la necesidad de encontrar la
mejor forma de resolverlos, proporcionaron el surgimiento de la Investigacin de
Operaciones.
La Investigacin de Operaciones aspira a determinar la mejor solucin (ptima)
para un problema de decisin con la restriccin de recursos limitados.
Introduccin a la investigacin de operaciones (IO)
Primera unidad didctica Investigacin de Operaciones I
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I Unidad didctica
INTRODUCCIN A LA INVESTIGACIN DE OPERACIONES Y FUNDAMENTOS DE
LA PROGRAMACIN LINEAL
EL PROBLEMA
1.1. LOS ORGENES DE LA INVESTIGACIN OPERATIVA
Antecedentes
En los siglos XVII y XVIII, Newton, Leibnitz, Bernoulli y Lagrange.
Los franceses Jean Baptiste-Joseph Fourier esboz mtodos de la actual
programacin lineal.
Von Neumann public en 1928 su trabajo Teora de Juegos.
Matemticas: modelos lineales (Farkas, Minkowski) (s.XIX).
Estadstica: fenmenos de espera (Erlang, Markov) (aos 20).
Economa: Quesnay (s.XVIII), Walras (s.XIX), Von Neumann (aos 20).
Cada vez es ms difcil asignar los recursos o actividades, de la forma ms eficaz
Los recursos son escasos Los sistemas son cada vez ms complejos
Contenidos
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El origen de la IO moderna se sita en la Segunda Guerra Mundial para resolver
problemas de organizacin militar:
Despliegue de radares, manejo de operaciones de bombardeo, colocacin de
minas, etctera. Y luego con motivo de la revolucin industrial, ha ido teniendo
cada vez ms importancia dado el crecimiento y complejidad de las nuevas
organizaciones. Actualmente est cobrando especial importancia con el
desarrollo de la informtica.
El xito de la IO se debe a: - Progreso terico: RAND (Dantzig), Princeton (Gomory, Kuhn, Tucker),
Carnegie Institute of Technology (Charnes, Cooper).
- Creacin del Mtodo Simplex por George Dantzing, en 1947.
- El desarrollo del computador.
- Gran desarrollo de los ordenadores: aumento de la capacidad de
almacenamiento de datos, incremento de la velocidad de la resolucin de
problemas
Sigue habiendo un gran desarrollo, en muchos sectores, con grandes avances
sobre todo en el campo de la Inteligencia Artificial
En la actualidad existen organizaciones dedicadas al rea de IO, en sus dos niveles: acadmico y empresarial, estas organizaciones son:
- ORSA, Operations Research Society of American, 1952.
- TIMS, The Institute of management Science, 1953.
- ALIO, Asociacin Latinoamrica de IO.
- IFORS, International Federation of Operations Research.
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- Sociedad Espaola de Estadstica e Investigaciones Operativas (SEIO)
www.cica.es/aliens/seio.
- Association of European O.R. Societies (EURO)
www.ulb.ac.be/euro/euro_welcome.html.
- Institute for O.R. and the Management Sci. (INFORMS) www.informs.org.
- International Federation of O.R. Societies (IFORS) www.ifors.org
1.2. QU ES LA INVESTIGACIN OPERATIVA?
Responderemos esta interrogante con algunas definiciones:
Definicin de CHURCHMAN, ACKOFF y ARNOFF
La investigacin de operaciones es la aplicacin, por grupos interdisciplinarios, del
mtodo cientfico a problemas relacionados con el control de las organizaciones o
sistemas (hombre-mquina), a fin de que se produzcan soluciones que mejor sirvan a
los objetivos de la organizacin.
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Definicin NAMAKFORROSH
Es la aplicacin del mtodo cientfico a los problemas de decisin de las empresas y
otras organizaciones, incluyendo el gobierno y la milicia.
Definicin LAWRENCE y PASTERNAK, 1998
Un enfoque cientfico para la toma de decisiones ejecutivas, que consiste en: el arte de
modelar situaciones complejas, la ciencia de desarrollar tcnicas de solucin para
resolver dichos modelos y la capacidad de comunicar efectivamente los resultados.
Objetivo de la Investigacin operativa
- Estudiar la asignacin ptima de recursos escasos a determinada actividad.
- Evaluar el rendimiento de un sistema con el objeto de mejorarlo.
En conclusin podemos observar que todos coinciden en que la IO es la aplicacin del
mtodo cientfico por un grupo interdisciplinario de personas a la resolucin de un
problema con el fin de asignar los recursos o actividades de forma eficaz, en la gestin
y organizacin de sistemas complejos y el objetivo es ayudar a la toma de decisiones
es decidir mediante estos mtodos cientficos encontrar el diseo que optimiza el
proceso analizado, generalmente bajo condiciones que implican la utilizacin de
recursos escasos.
1.3. LA TOMA DE DECISIONES
a. Prcticamente todas las decisiones se toman en un ambiente de cierta
incertidumbre. Sin embargo, el grado vara de una certeza relativa a una gran
incertidumbre. En la toma de decisiones existen ciertos riesgos implcitos.
b. La toma de decisin es la respuesta a un problema de evaluar un conjunto de
alternativas. Algunas decisiones tienen una importancia relativa en el desarrollo
de nuestra vida, mientras otras son gravitantes en ella.
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c. Toda empresa funciona dentro de un mercado con factores competitivos, el
gerente debe tener herramientas cuantitativas para tomar mejores decisiones.
d. Tipos de decisiones
Decisiones bajo condicin de certeza
En una situacin donde existe certeza, las personas estn razonablemente
seguras sobre lo que ocurrir cuando tomen una decisin, cuentan con
informacin que se considera confiable y se conocen las relaciones de causa y
efecto.
Decisiones bajo condicin de incertidumbre
En una situacin de incertidumbre, las personas slo tienen una base de datos
muy deficiente. No saben si estos son o no confiables y tienen mucha
inseguridad sobre los posibles cambios que pueda sufrir la situacin.
Decisiones bajo condicin de riesgo
En una situacin de riesgo, quiz se cuente con informacin basada en hechos,
pero la misma puede resultar incompleta. Para mejorar la toma de decisiones se
puede estimar las probabilidades objetivas de un resultado, al utilizar, por
ejemplo modelos matemticos. Por otra parte se puede usar la probabilidad
subjetiva, basada en el juicio y la experiencia.
Base para la toma de decisiones
Bases cuantitativas: es la habilidad de emplear tcnicas presentadas como
mtodos cuantitativos o Investigacin de Operaciones, como puede ser la
programacin lineal, teora de lneas de espera y modelos de inventarios.
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Bases cualitativas: existen ciertas cualidades que hacen que los tomadores de
decisin sean buenos o malos. Las cualidades que tienen mayor importancia a la
hora de analizar al tomador de las decisiones son:
i. Informacin.
ii. Conocimientos.
iii. Experiencia.
iv. Anlisis.
v. Juicio.
e. Clases de decisiones
Decisiones programadas
Son aquellas que se toman frecuentemente, es decir son repetitivas y se
convierte en una rutina tomarlas.
Decisiones no programadas
Son decisiones que se toman en problemas o situaciones que se presentan con
poca frecuencia
1.4 TCNICAS DE LA INVESTIGACIN OPERATIVA (I .O)
Las tcnicas utilizadas para resolver problemas y apoyar a la toma de decisiones son
variadas, dependiendo, entre otros factores de la naturaleza de los datos. Se utilizan
modelos matemticos
Para solucionar modelos cuantitativos, podemos hacer uso de las siguientes tcnicas
de optimizacin:
- Determinsticos. Los casos determinsticos se presentan cuando hay certeza
sobre los parmetros, que son establecidos y fijados de antemano y en
consecuencia nos conducen a resultados ciertos. En estos casos se recurren a
modelos matemticos de optimizacin.
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- Probabilistico. Cuando no existe certeza sobre todos los datos, y algunos
parmetros o elementos no se conocen. Parten de datos estadsticos y nos
conducen a resultados probables. En estos casos se recurren a modelos
matemticos para proyectar y extrapolar, predecir.
Dentro de las tcnicas de optimizacin tanto en determinsticos como probabilsticos
sealaremos los siguientes:
A. Modelos determinsticos
Programacin matemtica Programacin lineal Programacin entera Programacin dinmica Programacin no lineal Programacin multiobjetivo Modelos de transporte Modelos de redes
B. Modelos probabilsticos
Programacin estocstica Gestin de inventarios Fenmenos de espera (colas) Teora de juegos Simulacin
1.5 PERFIL PROFESIONAL EN IO
Un profesional en IO debe tener una buena formacin en cuatro reas:
- Conocimientos en las reas de la IO.
- Conocimientos de las tcnicas cuantitativas y los softwares correspondientes.
- Conocimiento especializado en un rea diferente de la IO, esto le dar al
profesional una competencia especial de aplicar IO.
- Conocimiento bsico en desarrollar Sistemas de Soporte de Decisiones, para la
fase de implementacin de la aplicacin.
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1.6. POR QU SON N ECESARIAS LAS TCNIC AS DE OPTIMIZACIN Y
ANLISIS?
El inters por resolver un problema del mundo real nos lleva a la construccin o
formulacin de modelos, el proceso de tomar un problema real y abstraerlo en
trminos matemticos nos conduce al uso de una de las tcnicas de optimizacin y
anlisis mencionados en 1.5., que son muy importantes y necesarias pues ellas nos
permiten resolver problemas complejos y diversos aplicados a la ingeniera, economa,
minera, transporte, medio ambiente, medicina, en el campo militar, en las
organizaciones sociales, entre otros.
Las tcnicas de anlisis permiten obtener informacin muy til para interpretacin.
1.7. SECUENCIAS OPERATIVAS DE UN PROYECTO DE IO
- A lo largo de todo el proceso debe haber una interaccin constante entre el
analista y el cliente
- El proceso de aplicar mtodos cuantitativos requiere una sucesin sistemtica de
pasos estos son:
Definicin del problema
Desarrollo de un modelo matemtico y recoleccin de
datos
Resolucin del Modelo Matemtico
Solucin
Modelo Modificado Es vlida la solucin
Implementacin
no
S
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1.7.1. Definicin del problema
El primer paso es identificar, comprender y describir en trminos precisos el problema
que la organizacin enfrenta. En algunos casos, el problema est bien definido y es
claro.
En otras situaciones, el problema puede no estar bien definido y puede requerir
bastantes discusiones y consenso entre los miembros del equipo de proyectos.
1.7.2. Desarrollo de un modelo matemtico y recoleccin de datos
Despus de que el problema est claramente definido y comprendido, el siguiente
paso es expresar el problema en una forma matemtica, esto es, formular un modelo
matemtico. Una vez construido el modelo, existen muchas tcnicas matemticas
disponibles para obtener la mejor solucin, a pesar del vasto nmero de alternativas o
de la complejidad implicada.
Variable de decisin/v ariable/variable controlable: Es una cantidad cuyo valor se
puede controlar y es necesario determinar para solucionar un problema de decisin.
Funcin objetivo: El objetivo global de un problema de decisin expresado en una
forma matemtica en trminos de los datos y de las variables de decisin.
Limitacin: Es una restriccin sobre los valores de variables en un modelo
matemtico tpicamente impuesto por condicin externa.
Datos/ parmetros incontrolables: Informacin conocida en un problema de decisin
que no se puede controlar pero que se puede usar para determinar la solucin
1.7.3. Resolucin del modelo matemtico
Una vez formulado un modelo matemtico del problema, el siguiente paso es resolver
el modelo, es decir, obtener valores numricos para la variable de decisin. Es decir,
una vez que identifique el tipo de modelo que tiene, podr elegir una tcnica de
administracin apropiada para resolverlo. Estas tcnicas pertenecen a una de dos
categoras:
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a) Mtodos ptimos, que producen los mejores valores para las variables de
decisin, es decir, aquellos valores que satisfacen simultneamente todas las
limitaciones y proporcionan el mejor valor para la funcin objetivo.
b) Mtodos heursticos , que producen valores para las variables que satisfacen
todas las limitaciones. Aunque no necesariamente ptimos, estos valores proporcionan
un valor aceptable para la funcin objetivo.
En contraste con los mtodos ptimos, los mtodos heursticos son
computacionalmente ms eficientes y por tanto se usan cuando la obtencin de
soluciones ptimas lleva demasiado tiempo o es imposible porque el modelo es
demasiado complejo.
1.7.4. Validacin, instrumentacin y control de la solucin
Despus de resolver el modelo matemtico, es extremadamente importante validar la
solucin, es decir, revisar la solucin cuidadosamente para ver que los valores tienen
sentido y que las decisiones resultantes puedan llevarse a cabo. Algunas de las
razones para hacer esto son:
- El modelo matemtico puede no haber captado todas las limitaciones del
problema real.
- Ciertos aspectos del problema pueden haberse pasado por alto, omitido
deliberadamente o simplificado.
- Los datos pueden haberse estimado o registrado incorrectamente, tal vez al
introducirlos a la computadora.
1.7.5. Modificacin del modelo
Si durante el paso de validacin se encuentra que la solucin no puede llevarse a
cabo, se pueden identificar las limitaciones que fueron omitidas durante la formulacin
del problema original o puede uno darse cuenta de que algunas de las limitaciones
originales eran incorrectas y necesitan modificarse. En estos casos, debe regresarse a
la etapa de formulacin del problema y hacerse cuidadosamente las modificaciones
apropiadas para reflejar con ms exactitud el problema real.
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1.8. INTRODUCCIN A LA CONSTRUCCIN DE MODELOS
1.8.1. El modelado
Es una ciencia de anlisis de relaciones, aplicacin de algoritmos de solucin y a la
vez un arte: visin de la realidad, estilo, elegancia, simplicidad, uso creativo de las
herramientas y experiencia
1.8.2. Modelo
Representacin simplificada de la realidad, que facilita su comprensin y el estudio de
su comportamiento. Tambin podemos decir que un modelo es una abstraccin
selectiva de la realidad que:
Debe mantener un equilibrio entre sencillez y capacidad de representacin Modelo matemtico: modelo expresado en trminos matemticos: - Hace ms claras la estructura y relaciones.
- Facilita el uso de tcnicas matemticas y ordenadores.
- A veces no es aplicable.
Los modelos pueden ser: - Modelos fsicos, modelos de aviones a escala, etc.
- Modelos anlogos, mapa de carreteras, etc.
- Modelos simblicos, modelos cuantitativos (determinsticos, probabilsticos
o estocsticos).
1.8.3. Construccin del modelo
Traduccin del problema a trminos matemticos - Objetivos: funcin objetivo
- Alternativas: variables de decisin
- Limitaciones del sistema: restricciones
Pero a veces las relaciones matemticas son demasiado complejas - Heursticos
- Simulacin
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1.8.4. Modelado matemtico
Paso 1. Identificar las variables de decisin
Sobre qu tengo control?
Qu es lo que hay que decidir?
Cul sera una respuesta vlida en este caso?
Paso 2. Identificar la funcin objetivo
Qu pretendemos conseguir?
Si yo fuese el jefe de la empresa, qu me interesara ms?
Paso 3. Identificar las restricciones o factores que limitan la decisin
Recursos disponibles (trabajadores, mquinas, material)
Fechas lmite
Restricciones por la naturaleza de las variables (no negatividad, enteras,
binarias)
Restricciones por la naturaleza del problema
Paso 4. Traduccin de los elementos bsicos a un modelo matemtico.
1.8.5. Resolucin del modelo
Paso 1. Elegir la tcnica de resolucin adecuada
Tcnicas existentes, modificacin, creacin o heursticos.
Paso 2. Generar las soluciones del modelo
Programas de ordenador, hojas de clculo.
Paso 3. Comprobar/validar los resultados
Probar la solucin en el entorno real
Paso 4. Si los resultados son inaceptables, revisar el modelo matemtico
Estudiar hiptesis, comprobar exactitud de datos, relajar o endurecer
aproximaciones, revisar restricciones
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Paso 5. Realizar anlisis de sensibilidad
Analizar adaptaciones en la solucin propuesta frente a posibles cambios
1.8.6. Gua general para la formulacin de modelos
Identificacin de los elementos bsicos. Expresar en palabras:
Datos del problema - Factores que no son susceptibles de cambio
Variables de decisin - Variables sobre las que se tiene control
Restricciones - Causas por las que la decisin est limitada
Funcin objetivo - Medida del rendimiento que se quiere optimizar
- Traduccin de los elementos bsicos a expresiones matemticas
Serie de problemas 1.0
1. Ampliar los orgenes de la IO
2. Qu es y para qu sirve la IO? Dar algunas otras definiciones.
3. Investigar sobre la toma de decisiones en nuestros das
4. Breves definiciones sobre las diferentes tcnicas de la IO
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2. FUNDAMENTOS DE LA PROGRAMACIN LINEAL (P. L.)
La programacin lineal utiliza un modelo matemtico para representar el problema que
se estudia. La palabra lineal en el nombre se refiere a la forma de las expresiones
matemticas de este modelo. Programacin no se refiere a la programacin en
computadora; ms bien es, en esencia, un sinnimo de planear. As, la programacin
lineal significa planeacin de actividades representada por un modelo matemtico
lineal.
El til desarrollo actual de la PL para los negocios y la industria, se atribuye al doctor
George D. Dantzig, un matemtico que present su mtodo Simplex, como un
procedimiento sistemtico para resolver un problema de programacin lineal. Durante
el ao de 1947, George Dantzig (con Marshall Wood y sus asociados), se ocup de
un proyecto en la Fuerza Area de los Estados Unidos, el cual dio por resultado la
bsqueda de una tcnica capaz de resolver los problemas de planeacin militar. La
esencia de esas investigaciones consiste en considerar las interrelaciones entre las
actividades de una gran organizacin como un modelo de PL, y determinar el
programa de optimizacin minimizando (o maximizando) una funcin objetivo lineal.
Dantzig indic que ese nuevo enfoque tendra amplias aplicaciones en los problemas
de los negocios, como ocurre actualmente.
La programacin Lineal se usa en las siguientes reas
-Programacin de refineras de petrleo
- Distribucin de productos
- Planeamiento de la produccin
- Estudio de mercados
- Planeamiento de inversiones
- Problemas de transporte
- Problemas de dietas, etctera
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2.1. DEFINICIN DE PROGRAMACIN LINEAL
La programacin lineal es una tcnica matemtica que nos permite determinar la mejor
asignacin de los recursos limitados de la empresa de tal manera que la funcin
objetivo debe maximizarse o minimizarse cuando se consideran un conjunto de
restricciones.
2.1.1. Conceptos bsicos
Para resolver problemas de Investigacin de Operaciones por medio de PL debemos
primero explicar las caractersticas comunes de todos los modelos de PL y las
suposiciones matemticas que se aplican a ello:
Funcin Objetivo. La programacin lineal es un proceso de optimizacin. Con una sola funcin objetivo la cual se expresa matemticamente lo que se intenta
maximizar (por ejemplo las ganancias o utilidades) o minimizar (por ejemplo, los
costos o el desperdicio) en cada caso.
Variable de decisin. Representa aquellas selecciones que estn bajo el control de la persona que toma las decisiones. Resolviendo el problema se obtienen sus
valores ptimos.
Las variables pueden ser endgenas (aquellas que el modelo trata de explicar y
se conocen tambin como variables dependientes) o exgenas (aquellas fuerzas
exteriores al modelo y cuyas magnitudes intervienen como datos y tambin se
les denomina variables independientes). Estas dos expresiones tienen sentido
nicamente dentro del contexto de un modelo especfico, pues una variable
endgena en un modelo dado, puede muy bien ser exgena en otro.
Por ejemplo, una variable de decisin podra ser el nmero de unidades de un
producto que se deben fabricar en el siguiente mes.
La programacin lineal se basa en la suposicin de que las variables de decisin
son continuas.
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Restricciones. Son limitaciones que restringen las selecciones permisibles para las variables de decisin. Cada limitacin puede expresarse matemticamente en
cualquiera de estas tres formas:
- Restriccin menor ig ual que ( ) impone un limite superior a cierta funcin de las variables de decisin. Por ejemplo, el nmero mximo de
clientes a los cuales es posible atender.
- Restriccin mayor igual que ( ) impone un limite inferior a cierta funcin de las variables de decisin. Por ejemplo, la produccin de cierto producto
debe exceder o igualar a la magnitud de la demanda.
- Restriccin igual que (= ) Por ejemplo, que el inventario final siempre debe ser igual al inventario inicial ms la produccin menos las ventas.
Regin factible. Todo problema de PL debe tener una o varias restricciones. Consideradas en conjunto, esas restricciones definen una regin factible, la cual
representa todas las combinaciones permisibles de las variables de decisin. En
la mayor parte de los casos la regin factible contiene un nmero muy grande de
soluciones posibles. La meta de la persona que toma decisiones consiste en
encontrar la mejor solucin.
Parmetro. La funcin objetivo y las restricciones son funciones de las variables de decisin y los parmetros. Un parmetro, tambin llamado coeficiente o
constante se conocen con certidumbre. Por ejemplo, un programador de
computadoras puede saber de antemano que la ejecucin de un programa de
software requerir tres horas, ni ms ni menos.
Linealidad. La funcin objetivo y las ecuaciones de restriccin son lineales. La linealidad implica proporcionalidad y aditividad; no puede haber en ella productos
ni potencias (por ejemplo, 31 2 110 ,x x x ) de las variables de decisin.
No negatividad. Significa que las variables de decisin deben ser positivas o cero. Por ejemplo, una empresa que fabrica autos jams podr producir un
nmero negativo de autos.
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2.2. CONJUNTO CONVEXO
Un conjunto de puntos Xi del espacio n dimensional En forman un conjunto convexo,
si dado 2 puntos X1 y X2 del conjunto Xi, entonces todos los puntos contenidos en el
segmento de recta ( n dimensional ) que se obtiene al unir X1 y X2 estn en Xi.
Tambin puede definirse, un conjunto convexo, como aquel que tiene la propiedad de
que, para cualquier par de puntos pertenecientes al mismo, el segmento que los une
tambin se encuentra dentro del conjunto.
Obviamente, una lnea recta se ajusta a esta definicin y constituye un conjunto
convexo. Por convencin se considera que un punto nico, tambin es un conjunto
convexo.
conjuntos convexos (a) y (b)
conjuntos no convexos, c y d
El conjunto convexo (c.c.) est dado por la interseccin de los planos que forman
todas las desigualdades y ecuaciones que conforman un modelo, siempre y cuando no
tengan bordes dentados u orificios.
j a c d f
h
l
m
kc)
d)
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En general, para ser convexo, el conjunto de puntos no debe contener orificios, y su
borde no debe ser dentado en ningn lugar.
Teorema 1: el conjunto de todas las soluciones posibles al problema de P.L., es un
conjunto convexo.
Teorema 2: la funcin objetivo alcanza su mximo o mnimo en un punto extremo del
conjunto convexo, generado por el conjunto de soluciones factibles al problema de PL.
Por lo expuesto tendremos nicamente que investigar los puntos extremos del
polgono convexo y buscar aquel punto que proporcione el mayor (menor) valor para la
funcin objetivo y obtendremos as la solucin buscada.
Graficacin de ecuaciones y desigualdades lineales
Cuando se grafica una ecuacin, se genera una recta sobre el eje de coordenadas.
Las desigualdades generan un plano al graficarlo sobre el eje de coordenadas.
Pasos para la graficacin de una desigualdad:
a. Tomar de la desigualdad, la parte de la ecuacin, para determinar dos puntos
que permitan graficar una recta, que sera el lmite del plano.
En el caso de que en la ecuacin el trmino constante fuese cero, la recta pasa
por la intercepcin de los ejes. Por lo tanto, uno de los puntos sera (0,0).
El otro punto se obtendra dando un valor diferente de cero a una de las
variables.
Si la constante fuese diferente de cero, se procede de la siguiente manera:
Para el primer punto, se hace cero una de las variables y se despeja la otra
variable.
Para el segundo punto, se hace cero la otra variable, y se despeja para la
variable que queda pendiente.
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b. Determinacin del plano que da la desigualdad.
Se escoge un punto de prueba, debajo o sobre la recta y se verifica si satisface
la desigualdad.
Si satisface la desigualdad, el plano se forma para el lado que se encuentra el
punto de prueba escogido.
Si no satisface la desigualdad, el plano se forma para el lado contrario a donde
se encuentra el punto de prueba con respecto a la recta o lmite del plano.
2.3. FORMULACIN DE UN PROBLEMA DE PROGRAMACIN LINEAL
2.3.1. Identificacin de las variables de decisin
El primer paso en la formulacin del problema es identificar las variables de decisin, a
menudo simplemente llamadas variables, una vez determinados, proporcionan la
solucin al problema.
Caracterstica clave
Pautas generales para identificar variables de decisin
Qu elementos afectan los costos y/o ganancias (en genera, el objetivo global)
Qu elementos puede elegir y/o controlar libremente?
Qu decisiones tiene que tomar?
2.3.2. Identificacin de los datos del problema
La finalidad de resolver un problema es proporcionar los valores reales para las
variables de decisin que ha identificado. Se requiere conocer cierta informacin para
ayudar a determinar esos valores
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2.3.3. Identificacin de la funcin objetivo
Expresar el objetivo organizacional global en forma matemtica usando las variables
de decisin y los datos conocidos del problema. La funcin objetivo se crea en tres
etapas:
Establecer la funcin objetivo en forma verbal. Donde sea adecuado descomponer el objetivo (por ejemplo, suma, diferencia). Expresar las cantidades individuales matemticamente usando las variables de
decisin y otros datos conocidos en el problema
2.3.4. Identificacin de las restricciones
Las restricciones son condiciones que las variables de decisin deben satisfacer para
constituir una solucin aceptable. Las restricciones por lo general surgen de:
Limitaciones fsicas (por ejemplo, el nmero limitado de horas de trabajo) Restricciones impuestas por la administracin ( por ejemplo, demanda del
producto)
Restricciones externas (por ejemplo, la empresa no puede vender ms de cierta cantidad en el mercado)
Relaciones implicadas entre variables (por ejemplo, en un problema de inversin la proporcin de dinero a invertir debe sumar 1.
Modelo de Programacin Lineal
1 1 2 2 3 3 o ... ........( )n nMax Min Z c x c x c x c x = + + + +
Sujeto a las restricciones estructurales
1 1 2 2 3 3... ( 1, 2,... );.........( )i i i in n ia x a x a x a x b i m
+ + + + = =
Y las restricciones de no negatividad
0; ( 1,2,3,..., ).............( )jx j n =
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Observaciones
i) , , y ij i ja b c son valores que se asume conocidos
ii) jx son variables de decisin que se desea hallar, de tal manera que optimicen ( ) iii) la ecuacin ( ) se conoce como funcin objetivo iv) la ecuacin ( ) se conoce como conjunto de restricciones v) la ecuacin ( ) se conoce como variables de decisin
2.4. MTODO GRFICO O MTODO GEOMTRICO DE SOLUCIN
Es una tcnica que permite encontrar la solucin de modelos muy sencillos con dos
variables de decisin y a pesar de que casi todos los problemas reales tienen ms de
dos variables de decisin. Sirve en realidad para proporcionar una base intuitiva que
facilita el aprendizaje de soluciones de modelos ms complejos por otros mtodos.
Objetivo: establecer la naturaleza de un problema de programacin lineal,
introduciendo la terminologa asociada con el y resolverlo geomtricamente.
2.4.1. Graficacin de ecuaciones y desigualdades lineales
Cuando se grafica una ecuacin, se genera una recta sobre el eje de coordenadas.
Las desigualdades generan un plano, al graficarlo sobre el eje de coordenadas.
Pasos para la graficacin de una desigualdad:
a. Tomar de la desigualdad, la parte de la ecuacin, para determinar dos puntos
que permitan graficar una recta, que sera el lmite del plano.
En el caso de que la ecuacin el trmino constante fuese cero, la recta pasa por
la intercepcin de los ejes. Por lo tanto, uno de los puntos sera (0,0).
El otro punto se obtendra dando un valor diferente de cero a una de las
variables.
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30
Si la constante fuese diferente de cero, se procede de la siguiente manera:
Para el primer punto se hace cero una de las variables y se despeja la otra
variable.
Para el segundo punto se hace cero la otra variable, y se despeja para la variable
que queda pendiente.
b. Determinacin del plano que da la desigualdad
Se escoge un punto de prueba, debajo o sobre la recta y se verifica si satisface
la desigualdad.
Si satisface la desigualdad, el plano se forma para el lado que se encuentra el
punto de prueba escogido.
Si no satisface la desigualdad, el plano se forma para el lado contrario donde se
encuentra el punto de prueba con respecto a la recta o lmite del plano.
Ejemplos
A. REGION FACTIBLE NO ACOTADA
a. Formulacin de dieta Una dieta debe contener al menos 16 unidades de
carbohidratos y 20 de protenas. El alimento A contiene 2 unidades de
carbohidratos y 4 de protenas; el alimento B contiene 2 unidades de
carbohidratos y 1 de protenas. Si el alimento A cuesta $1.20 por unidad y el B
$0.80 por unidad, Cuntas unidades de cada alimento deben comprarse para
minimizar el costo?cul es el costo mnimo?
Solucin
Carbohidratos Protenas Costos
Alimento A 2 4 1.2
Alimento B 2 1 0.80
Rendimiento 16 20
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31
Variables de decisin
Sea X1 en N. de unidades de alimentos A comprar
Sea X2 en N. de unidades de alimentos B comprar
F.O costo min Z = 1.2 X1+0.8 X2 Sa.
2X1+2X2 >= 16 requerimento mnimo de carbohidratos
4X1+1X2 >=20 requerimento mnimo de protenas
X1, X2 >=0
Tabulando para cada una de las rectas, pues usted sabe que por dos puntos pasa una
recta
L1: 2X1+2X2 = 16
X1 X2
0 8 (0,8)
8 0 (8,0)
L2: 4X1+1X2 =20
X1 X2
0 20 (0,20)
5 0 (5,0)
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32
Punto L1 L2
2X1+2X2 = 16 resolviendo el sistema de ecuaciones se obtiene: X1=4 X2=4
4X1+1X2 =20
Reemplazando en Z = 1.2 X1+0.8 X2
En el punto (0,20) Z= 1.2 (0)+0.8 (20) = 16 En el punto (4,4) 1.2 (4)+0.8 (4) =8 En el punto (8,0) 1.2 (8)+0.8 (0) = 9.6 Respuesta: Z min. ptimo = 8 con un plan de compra:
X1: 4 unidades del alimento A X2: 4 unidades del alimento B
8
85
20
Regin Factible no acotada
L1: 2X1+2X2 = 16
L2: 4X1+1X2 >=20
(0,0)
Primera unidad didctica Investigacin de Operaciones I
33
Observaciones
Asumamos que el modelo matemtico del problema anterior (1) se desea maximizar, es decir:
F.O max Z = 1.2 X1+0.8 X2 Sa.
2X1+2X2 >= 16 requerimento mnimo de carbohidratos
4X1+1X2 >=20 requerimento mnimo de protenas
X1, X2 >=0
La grfica sigue siendo la misma y los puntos tambin
Decir que el valor mximo de Z = 1.2 X1+0.8 X2 es en el punto (0,20) con z=16 es completamente falso pues otro punto en la regin factible no acotada como por
ejemplo en: (8,20) nos da un z=25.6, y en (100,0) nos da un Z=120, es claro que
cuando (X1,X2 ) aumentan o toman otros valores dentro de la regin factible no
acotada, tambin lo hace Z. Por la tanto, ningn punto factible maximiza Z, de
modo que no existe solucin optima. En este caso decimos que la solucin es
no acotada
B. SOLUCIN MLTIPLE
b. Resolver grficamente
1 2max z x x= + s.a
1 2
1
2
1 2
412
, 0
x xxxx x
+
Solucin:
1 1 2: 4l x x+ = tabulamos si : 1 20 4x x= = tenemos (0,4) 2 10 4x x= = tenemos (4,0) 1 1 2 2: 1 : 2l x l x= =
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34
0 1 2 3 40
1
2x2
x1
: 1 x1 + 1 x2 = 4: 1 x1 + 0 x2 = 1
: 0 x1 + 1 x2 = 2
Payoff: 1 x1 + 1 x2 = 4
Optimal Decisions(x1,x2): ( 2, 2) ( 4, 0): 1x1 + 1x2 < = 4: 1x1 + 0x2 > = 1: 0x1 + 1x2 < = 2
Observamos que tiene soluciones ptimas alternativas en el punto (2,2) = ( 1 2,x x ) y
(4,0)= 1 2( , )x x para los cuales Z mximo = 4
C. REGIN FACTIBLE VACA
El ejemplo siguiente ilustra una situacin en la que no que existe solucin ptima
c. 1 2max z x x= + s.a.
1 2
1 2
1 2
42 2
, 0
x xx xx x
+ +
Primera unidad didctica Investigacin de Operaciones I
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0 10 20 30 400
6
12
18
: 1 x1 + 1 x2 = 4
: 1 x1 + 2 x2 = 2
Payoff: 1 x1 + 1 x2 = 0
: 1x1 + 1x2 >= 4: 1x1 + 2x2
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36
2 1 2: 2 4 8l x x+ = Tabulando si: 1 20 2x x= = tenemos (0,3) 2 10 4x x= = Tenemos (4,0) Resolviendo el sistema de ecuaciones 1 2l l es decir:
1 1 2: 3 2 6l x x+ = y 2 1 2: 2 4 8l x x+ = se obtiene 1 21 y 1.5x x= =
0 100
6
: 3.0 x1 + 2.0 x2 = 6.0
: 2.0 x1 + 4.0 x2 = 8.0
Payoff: 1.0 x1 + 1.0 x2 = 2.5
Optimal Decisions(x1,x2): ( 1.0, 1.5): 3.0x1 + 2.0x2
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0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 10
6
12
18
24
30
36
42
48
54
: 2 x1 + 1 x2 = 70
: 1 x1 + 1 x2 = 40
: 1 x1 + 3 x2 = 90
Payoff: 4 x1 + 6 x2 = 210
Optimal Decisions(x1,x2): ( 15, 25): 2x1 + 1x2
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EJEMPLO 12:
I
II
Requerimiento
mnimo A 2 2 80 B 6 2 120 C 4 12 240
Costo $4 $5 Variables de Decisin: Sea: X1 El nmeros de bolsas a comprar mezcla I X2 El nmeros de bolsas a comprar mezcla II f.o. Min C= 4X1 + 5X2 s.a.
2X1 + 2X2 80 6X1 + 2X2 120 4X1 + 12X2 240
Xi 0 i = 1,2 Solucin: L1: 2X1 + 2X2 = 80
X1 X2 0 40
40 0
L2: 6X1 + 2X2 = 120
X1 X2 0 60
20 0
L3: 4X1 + 12X2 = 240
X1 X2 0 20
60 0
Nutriente
Mezcla
(0, 40) (40, 0)
(0, 60) (20, 0)
(0, 20) (60, 0)
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39
Grfico: Pto B: L2 L1
6X1 + 2X2 = 120 2X1 + 2X2 = 80 3X1 + X2 = 60 -X1 - X2 = -40
2X1 = 20 X1 = 10 X2 = 30
B (10,30)
(0, 60)
(0, 40)
(0, 20)
(20, 0) (60, 0) (40, 0)
L1: 2X1 + 2X2 = 80
L3: 4X1 + 12X2 = 240
L2: 6X1 + 2X2 = 120
X1
X2
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40
Pto C: L1 L3 2X1 + 2X2 = 80 4X1 + 12X2 = 240 -X1 - X2 = 40 X1 + 3X2 = 60
2X2 = 20 X2 = 10 X1 = 30
C (30,10) f.o. Min C= 4X1 + 5X2 En el punto A (0, 60) Z= 4(109.09)+5(63.64) = 300 En el punto B (10, 30) Z= 4(10)+5(30) = 190 En el punto C (30, 10) Z= 4(30)+5(10) =170 En el punto D (60, 0) Z= 4(60)+5(0) = 240 Rpta: X1: 30 bolsas de la mezcla I X2: 10 bolsas de la mezcla II Costo mnimo ptimo =$ 170
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41
Serie de problemas 2.0
Resuelva cada uno de los siguientes programas lineales usando el mtodo grfico.
Indique si los problemas son:
a) ptimos: es decir que tiene una solucin ptima.
b) Infactibles: es decir, que no existen valores de las variables que satisfagan todas
las restricciones simultneamente.
c) Ilimitados: es decir, que existen valores factibles de las variables que hacen la
funcin objetivo tan grande o tan pequea como se desee.
Todo programa lineal es ptimo, infactible o ilimitado.
1. Maximizar 2. Maximizar 3. Maximizar
P = 10x +12y Z = 4x -6y Z = 4x 10y
Sujeta a s.a s.a
x + y 60 y 7 , x 4y 4 x 2y 0 3x y 3 , 2x - y 2 x, y 0 x +y 5 ,x,y 0 x, y 0
4. Minimizar 5. Minimizar 6.a) Maximizar
Z = 7x +3y C = 2x + y Z = 10x + 2y
Sujeta a s.a s.a
3x - y 2 3x + y 3, x +2y 4 x + y 9 4x +3y6, x - 2y 0 x y =-1 x +2y 2 x, y 0 x, y 0 x, y 0 6.b) Minimizar 6.c) Maximizar
Z = 3x +7y Z = -4x + 6y
Sujeta a s.a
x - y 4 6x -2 y 3 x -2 y 10 -2x +3y 6 -2x y 2 x +y 3 x, y 0
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42
7. Produccin para utilidad mxima. Un fabricante de juguetes prepara un
programa de produccin para dos nuevos juguetes, cosas y cositas, utilizando la
informacin concerniente a sus tiempos de produccin dados en la tabla que
sigue. Por ejemplo, cada cosa requiere de 2 horas en la mquina A. Las horas
disponibles empleadas por semana son: Para operacin de la mquina A, 70
horas; para B, 40 horas; para terminado, 90 horas. Si las utilidades en cada cosa
y cada cosita son de $4 y $6, respectivamente, Cuntos de cada juguete debe
producir por semana con el fin de maximizar la utilidad? Cul sera la utilidad
mxima?
Mquina
A
Mquina B Terminado
Cosa 2 horas 1 hora 1 hora
Cosita 1 hora 1 hora 3 horas
8. Formulacin de dieta . Una dieta debe contener al menos 16 unidades de
carbohidratos y 20 de protenas. El alimento A contiene 2 unidades de
carbohidratos y 4 de protenas; el alimento B contiene 2 unidades de
carbohidratos y 1 de protenas. Si el alimento A cuesta $1.20 por unidad y el B
$0.80 por unidad, Cuntas unidades de cada alimento deben comprarse para
minimizar el costo? Cul es el costo mnimo?
9. Extraccin de minerales. Una compaa extrae minerales de un yacimiento. El
nmero de libras de minerales A y B que puede ser extrado por cada tonelada
de los filones I y II est dado en la tabla siguiente junto con los costos por
tonelada. Si la compaa debe extraer al menos 3000 libras de A y 2500 de B,
Cuntas toneladas de cada filn deben ser procesadas con el fin de minimizar
el costo? Cul es el costo mnimo?
Filn I Filn II
Mineral A 110 lb 200 lb
Mineral B 200 lb 50 lb
Costo por tonelada $50 $60
Primera unidad didctica Investigacin de Operaciones I
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10. Costo de construccin. Una compaa qumica est diseando una planta para
producir dos tipos de polmeros, P1 y P2.
La planta debe ser capaz de producir al menos 100 unidades de P1 y 420
unidades de P2 cada da. Existen dos posibles diseos para las cmaras
principales de reaccin que sern incluidas en la planta. Cada cmara de tipo A
cuesta $600,000 y es capaz de producir 10 unidades de P1 y 20 unidades de P2
por da; el tipo B es un diseo ms econmico, cuesta $300,000 y es capaz de
producir 4 unidades de P1 y 30 unidades de P2 por da. A causa de los costos de
operacin, es necesario tener al menos 4 cmaras de cada tipo en la planta.
Cuntas cmaras de cada tipo deben ser incluidas para minimizar el costo de
construccin y satisfacer el programa de produccin requerido? (Suponga que
exista un costo mnimo).
11. Produccin para utilidad mxima. Un fabricante produce dos tipos de parrillas
para asar, Old Smokey y Blaze Hawai.
Durante la produccin las parrillas requieren del uso de dos mquinas, A y B. El
nmero de horas necesarias en ambas est indicado en la tabla siguiente. Si
cada mquina puede utilizar 24 horas por da y las utilidades en los modelos
son de $4 y $6, respectivamente, cuntas parrillas de cada tipo deben
producirse por da para obtener una utilidad mxima? Cul es la utilidad
mxima?
Mquina A Mquina B
Old Smokey 2 horas 4 horas
Blaze Away 4 horas 2 horas
12. Nutrientes en fertilizantes. Un agricultor comprar fertilizantes que contienen
tres nutrientes: A, B y C. Los requerimientos mnimos semanales son 80
unidades de A, 120 de B y 240 de C. Existen dos mezclas populares de
fertilizante en el mercado. La mezcla I cuesta $4 por bolsa, con dos unidades de
A, 6 de B y 4 de C. La mezcla II cuesta $5 por bolsa, con 2 unidades de A, 2 de B
y 12 de C. Cuntas bolsas de cada mezcla debe comprar el agricultor para
minimizar el costo de satisfacer sus requerimientos de nutriente?
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13. Programa de produccin. Una compaa petrolera, que tiene dos refineras,
necesita al menos 800, 1400 y 500 barriles de petrleo de grados bajo, medio, y
alto, respectivamente. Cada da la refinera I produce 200 barriles de grado bajo,
300 de medio y 100 de alto grado, mientras que la refinera II produce 100
barriles de grado alto, 100 de bajo y 200 de grado medio. Si los costos diarios
son de $2500 para operar la refinera I y de $ 2000 para la refinera II. Cuntos
das debe ser operada cada refinera para satisfacer los requerimientos de
produccin a un costo mnimo? Cul es el costo mnimo? (Suponga que existe
un costo mnimo).
14. Control de contamina cin. A causa de reglamentaciones federales nuevas
sobre la contaminacin, una compaa qumica ha introducido en sus plantas un
nuevo y ms caro proceso para complementar o reemplazar un proceso anterior
en la produccin de un qumico en particular. El proceso anterior descarga 15
gramos de dixido de azufre y 40 gramos de partculas a la atmsfera por cada
litro de qumico producido. El nuevo proceso descarga 5 gramos de dixido de
azufre y 20 gramos de partculas a la atmsfera por cada litro producido. La
compaa obtiene una utilidad de 30 y 20 centavos por litro en los procesos
anterior y nuevo, respectivamente. Si el gobierno permite a la planta descargar
no ms de 10,500 gramos de dixido de azufre y no ms de 30,000 gramos de
partculas a la atmsfera cada da, cuntos litros de qumico deben ser
producidos diariamente, por cada uno de los procesos, para maximizar la utilidad
diaria? Cul es la utilidad diaria?
15. World Oil Company puede comprar dos tipos de petrleo crudo: crudo ligero a
un costo de $25 por barril, y petrleo pesado a $22 por barril. Cada barril de
petrleo crudo, ya refinado, produce tres productos: gasolina, turbosina y
Kerosene.
La siguiente tabla indica las cantidade
