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GOMTRIE

Michle Audin

17 avenue de Hoggar

Parc dactivits de Courtabuf, BP 112

91944 Les Ulis Cedex A, France

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ISBN : 2-86883-883-9

Tous droits de traduction, d'adaptation et de reproduction par tous procds, rservs pour tous pays. La loi du 11 mars 1957 n'autorisant, aux termes des

alinas 2 et 3 de l'article 41, d'une part, que les copies ou reproductions strictement rserves l'usage priv du copiste et non destines une utilisation

collective , et d'autre part, que les analyses et les courtes citations dans un but d'exemple et d'illustration, toute reprsentation intgrale, ou partielle, faite

sans le consentement de l'auteur ou de ses ayants droit ou ayants cause est illicite (alina 1er de l'article 40). Cette reprsentation ou reproduction, par

quelque procd que ce soit, constituerait donc une contrefaon sanctionne par les articles 425 et suivants du code pnal.

2006, EDP Sciences

Michle Audin

Institut de Recherche Mathmatique Avance, Universit Louis Pasteuret CNRS, 7 rue Ren Descartes, 67084 Strasbourg cedex, France.E-mail: [email protected]

Url: http://www-irma.u-strasbg.fr/~maudin

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TABLE DES MATIRES

Ceci est un livre.... . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

I. Gomtrie affine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.1. Le postulat des parallles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7I.2. Espaces affines . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8I .3 . Appl icat ions affines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16I.4. Trois thormes de gomtrie plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26I.5. Appendice : rappels succincts sur les barycentres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29I.6. Appendice : notion de convexit. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31I.7. Appendice : coordonnes cartsiennes................................. 33

Exerc ices et problmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

II. Gomtrie euclidienne, gnralits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1II .1 . Espaces euc l id iens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51II .2. Structure des isomtries. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55II.3. Groupe orthogonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60Exerc ices et problmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

III. Gomtrie euclidienne plane . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3

I I I . 1 . A n g l e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3III.2. Isomtries et dplacements du plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85II I .3 . S imi l i tudes p lanes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89III.4. Inversions et faisceaux de cercles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94Exercices et problmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

IV. Constructions la rgle et au compas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 7IV.1. La rgle du jeu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128IV.2. Les nombres constructibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

IV.3. Applications des problmes de construction. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133IV.4. La question des polygones rguliers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 134IV.5. Remarques supplmentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138Exercices et problmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 138

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Table des matires

V. Gomtrie euclidienne dans lespace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 3V.1. Isomtries et dplacements de lespace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143V.2. Produit vectoriel, calculs daires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147

V.3. Sphres, triangles sphriques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151V.4. Polydres, formule dEuler. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153V.5. Polydres rguliers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156Exercices et problmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

VI. Gomtrie projective. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 7 7VI.1. Espaces projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 177VI.2. Sous-espaces projectifs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 179VI.3. Liaison affine/projectif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181

VI.4. Dualit projective . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187V I . 5 . H o m o g r a p h i e s . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 9 0VI.6. Birapport . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196VI.7. Droite projective complexe, groupe circulaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200Exercices et problmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 206

VII. Coniques et quadriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 1VII.1. Quadriques et coniques affines, gnralits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 221VII.2. Classification et proprits des coniques affines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 228

VII.3. Quadriques et coniques projectives.................................239VII.4. Birapport sur une conique et thorme de Pascal. . . . . . . . . . . . . . . . . . 247VII.5. Quadriques affines et gomtrie projective.........................250VII.6. Cercles, inversions, faisceaux de cercles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 259VII.7. Rappels sur les formes quadratiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 265Exercices et problmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 276

VIII. Courbes, enveloppes et dveloppes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 9 1

VIII.1. Enveloppe dune famille de droites dans le plan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293VIII.2. Courbure dune courbe plane. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 299VIII.3. Dveloppes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 301VIII.4. Appendice : rappels sur les courbes paramtres. . . . . . . . . . . . . . . . . . 302Exercices et problmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 305

IX. Surfaces dans lespace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 5IX.1. Exemples de surfaces dans lespace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315IX.2. Gomtrie diffrentielle des surfaces de lespace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 318

IX.3. Proprits mtriques des surfaces. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 331IX.4. Appendice : quelques formules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 341Exercices et problmes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343

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Indications pour les exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349Chapitre I. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 349Chapitre II. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355

Chapitre III. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 359C h a p i t r e I V . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 7 1Chapitre V. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 371C h a p i t r e V I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 8 1Chapitre VII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387Chapitre VIII. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 396C h a p i t r e I X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0 0

Bibliographie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 0 7

Index. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1 1

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CECI EST UN LIVRE...

Je me souviens que jai plusieurs fois essay de me servirdune rgle calcul, et que plusieurs fois aussi jai com-menc des manuels de maths modernes en me disant que sijallais lentement, si je lisais toutes les leons dans lordreen faisant les exercices et tout, il ny avait aucune raison

pour que je cale.Georges Perec, in [37].

Une premire version de ce livre est parue en 1998. Puis une deuxime, enanglais, en 2003. La prsente dition est destine aux tudiants de licence (l3) et

de master de mathmatiques ainsi qu celles et ceux qui prparent le capesou lagrgation. Elle sadresse donc des lecteurs qui ont tudi de la gomtrie defaon plus ou moins exprimentale au lyce et de lalgbre linaire de faon plusformelle pendant deux annes duniversit. Elle est issue de lenseignement que

jai donn aux tudiants de ces filires et des enseignements que jen ai moi-mmetirs.

Deux ides directrices

La premire ide est de fournir un expos rigoureux, bas sur la dfinition dunespace affine via lalgbre linaire, mais qui nhsite pas tre terre terre et l-mentaire. Cest pourquoi jai souhait expliquer comment lalgbre linaire peut

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Ceci est un livre...

tre utilise en gomtrie lmentaire et en mme temps montrer de la vraie gomtrie : des triangles, des sphres, des polydres, des angles inscrits, des in-versions, des paraboles...

Il est en effet trs satisfaisant pour les mathmaticiens de dfinir un espaceaffine comme un ensemble de points sur lequel opre un espace vectoriel (et cestce que je fais ici) mais cette approche formelle, si lgante soit-elle, ne doit pasocculter laspect phnomnologique de la gomtrie lmentaire, son esthtiquepropre : oui, le thorme de Thals exprime simplement que les projections sontdes applications affines, non, il nest pas ncessaire dorienter un plan euclidienpour y dfinir des angles orients... tout a nempche ni le cercle dEuler dtretangent aux cercles inscrit et exinscrits, ni les droites de Simson denvelopper une

hypocyclode trois rebroussements !Ce parti pris oblige aborder certains sujets sous des clairages diffrents. Par

exemple, les inversions planes traites de faon nave au chapitre III font desretours plus abstraits dans le chapitre de gomtrie projective et dans celui surles quadriques. De mme ltude des coniques projectives au chapitre VII vientaprs celle des coniques affines... alors quil aurait t plus simple au moinspour lauteur ! de tout dduire du traitement projectif.

La deuxime ide est de produire un texte ouvert : les ouvrages destins auxtudiants prparant le capes sont trop souvent ferms sur le programme de ceconcours, ce qui ne donne pas limpression que les mathmatiques soient unescience en mouvement (ni en fte, dailleurs !). Malgr laspect limit du pro-gramme trait ici, jespre intresser aussi des lectrices plus avances.

Enfin, les mathmatiques sont une activit humaine comme les autres et unebonne partie du contenu du livre ressortit la culture la plus classique puisquon yvoque notamment larc-en-ciel selon Newton, les sections coniques dApollonius,

la difficult dessiner des cartes de la Terre, la gomtrie dEuclide et le postulatdes parallles, la mesure des latitudes et des longitudes, les problmes de perspec-tive des peintres de la Renaissance(1), les polydres platoniciens. Jai essay de lemontrer dans la faon de lcrire(2) et dans la bibliographie.

Quoi de neuf ?

Ce nest pas juste une nouvelle dition. Jai corrig de nombreuses erreursfigurant dans les ditions prcdentes (en franais et en anglais), inclus quelques

(1)Le trait de gomtrie de Drer [18] est destin aux amateurs dart, pas aux mathmaticiens.(2)La faon dcrire les mathmatiques fait aussi partie de la culture. Comparer les onzeproprits de la sphre de [27] et les quatorze faons de dcrire la pluie de [19].

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additifs (crits pour la traduction en anglais) et un bref nouveau chapitre sur lesconstructions la rgle et au compas (tout au long des exercices, jai aussi un peuplus insist sur les problmes de construction).

Les prrequis

Il sagit du programme des deux premires annes de la licence, algbre linaireet formes quadratiques(3), un peu dalgbre (groupes, sous-groupes, oprations degroupes...)(4), la dfinition dune application diffrentiable et un peu de topologiedes espaces vectoriels norms (cest--dire de Rn), dans le dernier chapitre, desavatars du thorme des fonctions implicites, pour un ou deux exercices avancs

seulement, un peu danalyse complexe.

Les exercices

Chaque chapitre se termine par des exercices. Jen ai ajout une bonne cinquan-taine pour cette dition. Il faut faire des exercices. Il faut chercher les exercices.Un exercice nest pas quelque chose dont il faut connatre la solution pourla rciter un jury. Aucune notion ne peut tre comprise ou assimile sans un

minimum de pratique, de recherche, dchecs. Un exercice sur lequel on na pas sch est un exercice inutile.

Avec beaucoup de rticences, jai quand mme ajout les solutions de nombreuxexercices.

Remarque bibliographique

La difficult que javais conseiller des livres aux tudiants est une des raisons

dtre de ce texte : il y a beaucoup de livres de gomtrie, mais ceux qui sontbons sont trop difficiles, trop abstraits ou trop volumineux pour ces tudiants (jepense en particulier [3, 22, 5]).

Il nen reste pas moins quil y a quelques bons livres, tous les niveaux... etque jespre que celui-ci incitera les lecteurs aller regarder, par exemple, outre

(3)Il y a quand mme un paragraphe de rappels des proprits des formes quadratiques dans lechapitre sur les coniques.(4)Les groupes de transformations sont lessence-mme de la gomtrie. Jespre que cette ido-logie transparat dans ce texte. Pour ne pas masquer cette essence, jai choisi de ne pas crirede paragraphe de sorites gnraux sur les oprations de groupe. On consultera par exemple[39, 4, 24, 5].

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les trois ouvrages dj cits, [15, 14, 46, 49]. Jai utilis aussi de beaux livres determinale (des cinquante dernires annes), comme [16, 30, 34, 47].

Remerciements

Je remercie dabord tous ceux et celles, parents, enseignants, amis, collgues ettudiants, qui ont contribu, depuis si longtemps, me faire aimer les mathma-tiques prsentes dans ce livre.

Cest Daniel Guin qui ma dcide lcrire. Puis, Nicole Bopp a lu avec beau-coup dattention et critiqu une toute premire version des trois premiers cha-pitres. Cest grce eux deux que ce livre existe. Je les en remercie.

Une version prliminaire a t utilise par les tudiants strasbourgeois pendantlanne universitaire 1997-98. Puis le livre corrig a t publi, plus ou moins bien,diffus, plus ou moins bien aussi, mais il a visiblement trouv un public. Il y aeu ensuite la traduction en anglais et, chaque tape, de nouvelles suggestions,critiques, remarques, corrections, apportes par les collgues ou les tudiants quiutilisaient telle ou telle version. Et maintenant cette nouvelle dition, fruit detoutes ces contributions. Beaucoup de monde remercier.

Ici, Pierre Baumann, Laure Blasco, Olivier Debarre, Paul Girault, Gilles Hal-

bout, Vilmos Komornik(5)

, Jean-Yves Merindol. Ailleurs, Ana Cannas da Silva,Michel Coste(6), Jrme Germoni, Daniel Perrin(7), Emma Previato, FranoisRouvire(8). Ici ou l, tous ceux que jai oublis. Plus, encore ici, Vincent Blanlil,Mihai Damian, Ilia Itenberg et Nathalie Wach pour des exercices supplmen-taires. Et encore, tous les tudiants, plus particulirement Nadine Baldensperger,Rgine Barthelm, Martine Bourst, Sophie Grardy, Catherine Goetz, MathieuHibou, tienne Mann, Nicolas Meyer, Myriam Oyono-Oyono, Magali Pointeaux,Sandrine Zitt et tous les agrgatifs de ces quelques dernires annes, mais enfin,

vraiment, tous les tudiants. Enfin Alice Gaertig pour sa dtermination trouver o tait le photographe , Myriam Audin et Juliette Sabbah (9) pour leur aide

(5)Cest avec plaisir que jinclus sa courte et lgante dmonstration du thorme dErdsMordell (exercice III.22).(6)Autour du thorme de Witt.(7)Son thorme des six birapports, popularis par la premire dition, a obtenu un succs certainauprs des tudiants tout en nervant pas mal de mes collgues, vexs, comme javoue lavoirt, de ne pas lavoir invent eux-mmes.(8)

Grce qui un parfum de lavande agrmente cette dition.(9)Qui a mme redessin certaines des figures.

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la rdaction des exercices sur les caustiques. Je les remercie tous et toutes trschaleureusement.

Pource livre,

jai utilis,comme toujours,

les paquets LATEX 2de la Socit mathmatique

de France. Je ne peux me re-mercier ni pour avoir crit et tap ce

texte ni pour avoir rsolu la plupart desquatre cent onze exercices et dessin

les cent quatre vingt-quinze figuresquil contient, mais je peux

remercier Claude Sabbahpour son aide singu-

lire, stylistique,technique, lo-

gistique,etc.

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I

GOMTRIE AFFINE

Un espace affine est un ensemble de points, il contient des droites, des plans,et la gomtrie affine(1) discute, par exemple, des relations entre ces points etces droites (points aligns, droites parallles ou concourantes...). Pour dfinir cesobjets et dcrire leurs relations, on peut :

noncer une liste daxiomes, dincidence principalement, comme par deuxpoints passe une droite et une seule . Cest la voie dEuclide (et plus rcemment

de Hilbert). Mme si la dmarche et a fortioriles axiomes eux-mmes ny sont pasexplicits, cest cette mthode qui est utilise actuellement dans lenseignementsecondaire franais ;

dcider que lessentiel est que deux points dterminent un vecteur et toutdfinir laide de lalgbre linaire, cest--dire par les axiomes dfinissant lesespaces vectoriels.

Jai choisi de dvelopper ici la deuxime mthode, parce quelle est plus abs-traite et plus nette, bien sr, mais surtout parce que je crois quil est temps, en

licence de mathmatiques, de montrer aux tudiants que lalgbre linaire quonleur a enseigne pendant deux ans sert quelque chose !

I.1. Le postulat des parallles

Mais, pour commencer, je vais rappeler quelques aspects de la premire m-thode. Au commencement, il y a donc les axiomes dEuclide, qui tablissent desrelations entre des objets appels points et dautres appels droites . Par

exemple,

(1)Il sagit ici de gomtrie affine pure au sens o il ny a ni distance, ni angle, ni perpendi-culaires, ceux-ci appartenant la gomtrie euclidienne, qui fera lobjet des chapitres suivants.

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Chapitre I. Gomtrie affine

Postulat I.1.1. Par deux points passe une droite et une seule.

Les points sont sur les droites, les droites se coupent en des points. Pour ce

qui va nous intresser ici, deux droites qui ne se rencontrent pas (ou sont confon-dues) sont dites parallles (notation D D). Et il y a un des axiomes dEuclide,le clbre cinquime postulat , que lon peut formuler ainsi (ce nest pas laformulation dEuclide, mais elle lui est quivalente) :

Postulat I.1.2. Par un point hors dune droite, il passe une unique droite parallle cette droite.

D

A

Figure 1. Le postulat des parallles

Si ce cinquime postulat est clbre, cest parce que son indpendance des autresest la source des gomtries non-euclidiennes. Il est intressant de remarquerque ce cinquime postulat a pour consquence :

Proposition I.1.3. La relation tre parallle est une relation dquivalence

entre les droites du plan.Dmonstration. Par dfinition, elle est rflexive et symtrique. Montrons quelleest transitive. On suppose que trois droites D, D et D sont telles que D D etD D, on veut montrer que D et D sont parallles. Supposons donc que DDne soit pas vide, soit A D D. La droite D passe par A, elle est parallle Det D, donc on a D = D, grce lunicit dans le cinquime postulat.

I.2. Espaces affinesJe marrterai l pour le moment. Passons maintenant lalgbre linaire. Voici

la dfinition dun espace affine.

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I.2. Espaces affines

Dfinition I.2.1. Un ensemble E est muni dune structure despace affine par ladonne dun espace vectoriel(2) E et dune application qui associe un vecteurde E tout couple de points de

E:

E E E(A, B) AB

telle que

pour tout point A de E, lapplication partielle A : B AB soit une bijec-tion de Esur E,

pour tous points A, B et C de E, on ait AB = AC+CB (relation de Chasles).

A

B

E

AB

E

Figure 2

Lespace vectoriel E est la direction de E, les lments de Esont appels points,on appelle dimension de Ela dimension de lespace vectoriel E qui le dirige.

Exemples I.2.2

(1) Avec cette dfinition, lensemble vide est un espace affine (dirig par nim-

porte quel espace vectoriel) dont il est sage de convenir quil na pas de dimension.(2) Tout espace vectoriel a une structure naturelle(3) despace affine : lapplica-tion : E E E est simplement celle qui, au couple (u, v), associe le vecteurv u.

(3) Si E1 et E2 sont deux espaces affines dirigs respectivement par E1 et E2,le produit cartsien E1 E2 est un espace affine dirig par E1 E2 : lapplication

: (E1 E2) (E1 E2) E1 E2

(2)Cest un espace vectoriel sur un corps K de caractristique 0 que je ne prcise pas pour nepas alourdir les dfinitions. Les lectrices peuvent imaginer que ce corps est R ou C.(3)Elle est naturelle parce quelle est dfinie par la seule structure despace vectoriel (sans autrechoix). Il serait plus exact, mais moins naturel (!) de dire quelle est canonique .

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est celle qui, au couple ((A1, A2), (B1, B2)), associe le couple de vecteurs(A1B1,

A2B2).

PropritsLa relation de Chasles donne directement

AA +

AA =

AA donc

AA = 0 puis

AB +BA =

AA = 0 donc

AB = BA.

C

B

A

Figure 3. Relation de Chasles

B

A

A

B

Figure 4. Rgle du paralllogramme

Rgle du paralllogramme

Elle dit que les deux galitsAB =

AB et

AA =

BB sont quivalentes. Elle

se dmontre en appliquant la relation de Chasles :AB =

AA +

AB +

BB,

ce qui scrit aussiAB AB = AA BB .

Quand lune des deux galits est vrifie, on dit que AABB est un paralllo-gramme.

Remarque I.2.3. Si A est un point de lespace affine E et si u est un vecteur delespace vectoriel E qui le dirige, lunique point B de Etel que AB = u est parfoisnot

B = A + u.

Cette notation est cohrente puisquon a

(A + u) + v = A + (u + v)

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(cest une traduction de la relation de Chasles). On en trouvera une justificationdans lexercice I.63.

Vectorialis dun espace affineEn fixant un point A dun espace affine E, on peut dfinir sur celui-ci une

structure despace vectoriel, lequel espace vectoriel est not EA. LapplicationA : E E

M AMest une bijection, ce qui permet de transporter la structure despace vectoriel deE sur

E: on dit que M + N = Q si

AM +

AN =

AQ. On remarquera que la

structure ainsi dfinie dpend trs fortement du point A, celui-ci devenant en effetle zro de lespace vectoriel EA grce la relation AA = 0.

Remarque I.2.4. On en conclura que, si lespace vectoriel E possde une struc-ture naturelle despace affine, il nest pas vrai que lespace affine Epossde unestructure naturelle despace vectoriel.

Sous-espaces affines

On dit quun sous-ensemble F de E est un sous-espace affine sil est vide ousil contient un point A tel que A(F) soit un sous-espace vectoriel de E. Ondmontre facilement que ce sous-espace vectoriel ne dpend pas du choix du pointA. Plus prcisment :

Proposition I.2.5. SoitFun sous-espace affine deE. Il existe un sous-espace vec-toriel F de E tel que, pour tout point B deF, B(F) = F. Le sous-espaceFestun espace affine dirig par F.

La dmonstration est un exercice (exercice I.2).

Remarque I.2.6. Si M et N sont des points de F, le vecteur M N est dans F.

Inversement, on a, pratiquement par dfinition :

Proposition I.2.7. Soit F un sous-espace vectoriel de E et soitA un point deE. Ilexiste un et un seul sous-espace affine dirig par F et passant par A.

Dmonstration. Si Fest un sous-espace affine dirig par F et passant par A, alorsA(F) = F et

F=

M E | AM F

.

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Inversement, cette galit dfinit bien un sous-espace affine dirig par F et passantpar A.

Exemples I.2.8(1) Un espace affine de dimension 0 est constitu dun unique point (pour-

quoi ?). Tous les points dun espace affine Esont des sous-espaces affines.On appelle droites, respectivement plans, les espaces ou sous-espaces affines de

dimension 1, respectivement 2.(2) Soient E et F deux espaces vectoriels, et soit f : E F une application

linaire. Pour tout v dans limage de f dans F, limage rciproque f1(v) est unsous-espace affine de E (on considre, bien sr, que E est muni de sa structure

affine naturelle) de direction le noyau Ker f de f.

Dmonstration. Soit v Im f. On veut dmontrer que, pour u fix dans F =f1(v), on a

u(f1(v)) = Ker f.

Mais u(x) = x u par dfinition.

f

0

0

v

Ker f

F

f1(v)

Figure 5

Si y Ker f, pour x = y + u, f(x) = f(u) = v, donc x F et on a bieny = x u = u(x) pour un x de F. Ainsi Ker f u(F).

Rciproquement, si y u(F), y = xu pour un x de Fet donc f(y) = 0.

Par exemple, lensemble des solutions dun systme linaire, sil nest pas vide,est un sous-espace affine dirig par lensemble des solutions du systme sans secondmembre associ. Lquation

ni=1 aixi = b dfinit un sous-espace affine de lespace

vectoriel Rn (ou Cn, ou Kn).

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(3) Plus gnralement, les sous-espaces affines dun espace vectoriel E sont lessous-espaces de la forme F+u0, o F est un sous-espace vectoriel et u0 un vecteurde E. Les sous-espaces vectoriels sont donc les sous-espaces affines contenant 0.

Sous-espace engendr par une partie de EProposition I.2.9. Toute intersection de sous-espaces affines est un sous-espace af-fine.

Dmonstration. Soit (Fi)iI une famille de sous-espaces affines de E. Soit F leurintersection. Si elle est vide, cest un sous-espace affine. Sinon, on y choisit un

point A. Chaque A(Fi) est un sous-espace vectoriel Fi de la direction E de E.Soit F lintersection des sous-espaces Fi dans E. Cest un sous-espace vectoriel(cest clair?) et F est le sous-espace affine passant par A et dirig par F : unpoint M de Eest dans F si et seulement si il est dans chacun des Fi, soit si etseulement si

AM est dans chacun des Fi donc dans F.

Proposition I.2.10. Soit S une partie deE. Lintersection de tous les sous-espacesaffines deEcontenant S est le plus petit sous-espace affine contenant S.

Ce sous-espace est le sous-espace engendr par S. On le note S.Par exemple, si S = {A0, . . . , Ak} est un ensemble fini, A0, . . . , Ak est le

sous-espace affine contenant A0 et dirig par lespace vectoriel engendr par lesvecteurs

A0A1, . . . ,

A0Ak. En particulier, sa dimension est au plus k.

Dfinition I.2.11. Les k + 1 points A0, . . . , Ak sont affinement indpendants si ladimension de lespace A0, . . . , Ak quils engendrent est k. Si k = dim E, on dit

que (A0, . . . , Ak) est un repre affine de E.

Par exemple, un repre affine dune droite est constitu de deux points (dis-tincts). Les lecteurs devraient dailleurs sassurer quils savent dmontrer quepar deux points passe une droite et une seule(4) (exercice I.3). Trois points sontindpendants sils ne sont pas aligns et plus gnralement k + 1 points sont in-dpendants si et seulement si aucun nest dans le sous-espace engendr par lesautres (exercice I.9).

(4)Cette proprit, que la mthode axiomatique doit noncer comme axiome, prcisment, estici une consquence de la structure despace vectoriel.

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Remarque I.2.12. On peut considrer un repre affine (A0, . . . , Ak) dun espaceE comme la donne dune origine A0 et dune base (A0A1, . . . , A0Ak) de sa di-rection. Ce qui permet dattribuer chaque point M de

Edes coordonnes, les

composantes du vecteur A0M dans la base en question. Voir le I.7.

Notations

Le symbole A, B dsigne donc, si A et B sont distincts, la droite passant par Aet B. On la notera aussi AB, bien sr. Profitons-en pour donner une notation pourles segments, dans le cas des espaces affines rels, bien entendu(5). Si A et B sontdeux points, lensemble des points M de la droite AB tels que

AM =

AB avec

0

1, en bon franais le segment AB, sera not, en cas de risque dambigut,[AB]. Je prciserai toujours en franais ( la droite AB , le segment AB ...).

Position relative de deux sous-espaces affines, paralllisme

Dfinition I.2.13. On dit que deux sous-espaces affines Fet G de Esont parallles(notation F G, ce qui se lit Fest parallle G ) sils ont la mme direction.

Comme le paralllisme est dfini par les mots la mme , cest une relationdquivalence.

Remarque I.2.14. Avec cette dfinition, deux sous-espaces peuvent tre disjoints(F G = ) sans tre parallles. Par exemple, une droite nest jamais parallle un plan (figure 6). Par contre, dans un plan, deux droites qui ne se rencontrentpas sont parallles. Certains auteurs qualifient de faiblement paralllesdeux sous-espaces F et G dont les directions vrifient F G (comme sur la figure 6). Jenaime pas beaucoup cette terminologie, surtout parce que le faible paralllisme nest pas une relation dquivalence (cest clair ?).

G

F

Figure 6

(5)Pourquoi, au fait ?

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Exemple I.2.15. Si f : E F est une application linaire, tous les sous-espacesf1(v) (pour v dans limage de f) sont parallles puisquils sont tous dirigs parKer f.

Proposition I.2.16. SiFest parallle G, alorsFetG sont gaux ou disjoints.

Dmonstration. Supposons que F G ne soit pas vide. Soit A un point de lin-tersection. La direction F de F et le point A dfinissent un unique sous-espaceaffine, si lon en croit la proposition I.2.7. Donc, si F G nest pas vide, on algalit F= G.

Remarquons que le postulat des parallles(6) est vrai dans les espaces affines :

Proposition I.2.17( Postulat des parallles ). Par tout point dun espace affine, ilpasse une unique droite parallle une droite donne.

Dmonstration. Le point A et la direction D de la droite D dterminent la paral-lle en question :

D = M E |AM D .

Proposition I.2.18. Soient F et G deux sous-espaces affines dun espace affine E,dirigs respectivement par F et G. On suppose que F et G engendrent E (ensymboles, F + G = E). Alors tout sous-espace parallle G rencontreF.

La dmonstration est fonde sur le lemme suivant.

Lemme I.2.19. SoientFetG deux sous-espaces affines dun espace affineE, dirigsrespectivement par F et G. Soient A un point de

F, B un point de

G. Pour que

F G ne soit pas vide, il faut et il suffit que le vecteur AB soit dans F + G.

Dmonstration de la proposition. Soient A un point de F et B un point de E.On veut montrer que le sous-espace affine G passant par B et parallle Grencontre F. On crit

AB E = F + G

et on applique le lemme Fet G pour conclure.

(6)Il est contenu dans la dfinition du paralllisme, et donc, en dernire instance, dans la dfinitiondun espace vectoriel. Au sujet du postulat des parallles, voir aussi le corollaire III.1.16, lecorollaire V.3.2 et lexercice VI.52.

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Dmonstration du lemme. Si lintersection F G nest pas vide, choisissons-y unpoint M. On a alors

AM = u

F,

BM = v

G

donc AB =

AM BM F + G.

Inversement, si le vecteurAB est dans F + G, crivons

AB = u v avec u F et v G.

Le point M dfini par u =AM est dans Fet

AB = u +

M B

donc BM = v est dans G, donc M est dans G et finalement M est dans F G.

I.3. Applications affines

Les applications affines sont le pendant en gomtrie affine des applicationslinaires en algbre linaire.

Dfinition I.3.1. Soient

Eet

Fdeux espaces affines dirigs respectivement par E

et F. Une application : E Fest dite affine sil existe un point O dans Eetune application linaire f : E F tels que

M E, f(OM) = (O)(M).Remarque I.3.2. Lapplication linaire f ne dpend alors pas du choix du point O.En effet, si O est un autre point, on a

(O)(M) =

(O)(O) +

(O)(M)

= (O)(O) + (O)(M)= f(OO) + f(OM)= f(

OM OO) puisque f est linaire

= f(OM).

Comme lapplication linaire f ne dpend que de , on a ainsi une application delensemble des applications affines dans celui des applications linaires. Je noterai limage de par cette application (donc ici f = ).

Ce que nous venons de dmontrer scrit, avec cette notation :(A)(B) = (AB) pour tous points A, B de E.

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Je vais utiliser des applications affines et des applications linaires. Pour faciliterla lecture, je vais rserver les lettres latines f, g etc. aux applications linaires et leslettres grecques , etc. aux applications affines. Dans tous les cas, je prciserai

naturellement qui est quoi .

Remarque I.3.3. Soit une application de lespace affine Edans lespace affine F.Soit O un point de E. Vectorialisons Een O et Fen (O). On a des isomorphismeslinaires

(O)1 : E EO et (O) : F(O) F.

Considrons lapplication compose

E EO

F(O) Fu M (M) vo M et v sont dfinis par

OM = u et v =

(O)(M). Lapplication vrifie

(OM) = (O)(M).Dire que lapplication est affine, cest dire que est linaire, ce qui est qui-valent dire que elle-mme est linaire comme application de lespace vectoriel

EO dans lespace vectoriel

F(O).

Exemples I.3.4

(1) Lapplication constante envoyant E sur un point est affine, lapplicationlinaire associe est lapplication nulle.

(2) Si E = F = R, les applications affines sont les applications de la formex ax + b (lapplication linaire associe est x ax).

(3) Plus gnralement, si E et F sont deux espaces vectoriels munis de leursstructures affines naturelles, une application

: E Fest affine si et seulement si il existe un vecteur v0 dans F et une applicationlinaire

f : E Ftelle que lon ait (u) = f(u) + v0 pour tout u dans E.

Dmonstration. On choisit O = 0, la relation (OM) = (O)(M) scrit, pardfinition de la structure affine de lespace vectoriel F, (u) = (u) (0),ce qui est bien la relation annonce, avec v0 = (0) et f =

.

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Les applications linaires de E dans F sont donc les applications affines quienvoient 0 sur 0.

(4) Supposons queE

=

F. Les applications affines dont lapplication linaire

associe est IdE sont les applications

: E Etelles que

(A)(B) =

AB pour tous A et B dans E. La rgle du paralllogramme

donne alorsA(A) =

B(B) pour tous A et B. Autrement dit, le vecteur

M (M)

est un vecteur constant u. On dit que est la translation de vecteur u et on lanote tu (figure 7).

A

B

(A)

(B)

u

Figure 7. Translation

A

B

O

(A)

(B)

Figure 8. Homothtie

(5) Soient O un point, un scalaire et lapplication dfinie parO(M) =

OM. Cest une application affine. Lapplication linaire associe est lhomothtie

vectorielle de rapport . Le point O est fixe, on appelle lhomothtie de centreO et de rapport et on la note h(O, ) (figure 8).

Effet sur les sous-espaces

De mme que (et parce que) limage dun sous-espace vectoriel par une appli-cation linaire est un sous-espace vectoriel, on a :

Proposition I.3.5. Limage dun sous-espace affine par une application affine est

un sous-espace affine.

Dmonstration. Soit : E E une application affine. Soit F Eun sous-espaceaffine, de direction F. Si F est vide, son image par est vide et en particulier,

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cest un sous-espace affine. Sinon, soit A un point de F. Il est clair qualors (F)est le sous-espace affine de E dirig par (F) et passant par (A).

Corollaire I.3.6. Toute application affine envoie trois points aligns sur trois pointsaligns.

Le mme argument, cest--dire lutilisation du rsultat vectoriel analogue, per-met de dmontrer :

Proposition I.3.7. Limage inverse dun sous-espace affine par une application af-fine est un sous-espace affine.

La dmonstration est laisse en exercice aux lectrices.

Effet sur les barycentres(7)

La traduction en termes affines de la linarit est, comme on dit souvent : lesapplications affines conservent le barycentre , et plus prcisment :

Proposition I.3.8. Limage du barycentre de ((A1, 1), . . . , (Ak, k)) par lapplica-tion affine est le barycentre de (((A1), 1), . . . , ((Ak), k)). Rciproquement,si une application transforme le barycentre de tout systme de deux points pon-

drs((A, ), (B, 1 )) en celui du systme (((A), ), ((B), 1 )), alors elleest affine.Dmonstration. Supposons dabord que soit une application affine. En notantsystmatiquement M limage (M), on a, pour tout point P de E,

(1P A1 + + kP Ak) = 1 (P A1) + + k (P Ak)= 1

PA1 + + k

PAk.

Si P est le barycentre du systme des (Ai, i), la relation donne

1PA1 + + kPAk = 0et P est bien le barycentre du systme image.

Rciproquement, soit G le barycentre du systme ((A, ), (B, 1)). Pour toutpoint O de E, on a

OG =

OA + (1 )OB.

Comme G est le barycentre de ((A, ), (B, 1 )), il vrifie une relation dumme type pour nimporte quel point et en particulier pour limage O de O :

OG =

OA + (1 )OB.

(7)Voir le I.5 pour un rappel de la dfinition du barycentre.

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Un point O et son image O par tant fixs, on dfinit une application f parf(

OM) =

OM... et on veut montrer que f est linaire. Remarquons dj quen

faisant M = O , on trouve que f(0) = 0. On a ensuite

f(OA + (1 )OB) = f(OG) = OG = OA + (1 )OB

et donc, pour tous , A et B,

f(OA + (1 )OB) = f(OA) + (1 )f(OB).

En particulier, si B = O, en posant u =OA,

f(u) = f(u) + (1 )f(0) = f(u).

1

2(u+ v)

A

B

M

u

v

O

Figure 9

Enfin, si u et v sont deux vecteurs de E, on dfinit A et B de faon que u =OA

et v =OB. Pour = 1/2, on a(8)

1

2f(u + v) = f

u + v

2

daprs ce quon vient de voir. Mais (u + v)/2 =

OM o M est le milieu de AB

(figure 9), donc

fu + v

2

=

1

2

OA +

1

2

OB =

1

2(f(u) + f(v)) .

On en dduit (en multipliant par 2) que

f(u + v) = f(u) + f(v).

Ainsi f est bien linaire, donc est affine, avec = f.De la partie directe (et facile) de la proposition I.3.8, on dduit par exemple, en

considrant les barycentres de deux points affects de coefficients positifs (dans lecas dun espace affine rel) :

(8)On utilise ici le fait que la caractristique du corps est diffrente de 2.

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Corollaire I.3.9. Limage dun segment par une application affine est un segment.

Applications affines et represDe mme quune application linaire est dtermine par les images des vecteurs

dune base, une application affine est dtermine par limage dun repre affine(cest immdiat, exercice I.22). On utilise souvent la consquence suivante de cetteproprit :

Proposition I.3.10. La seule transformation affine de lespace affineEde dimensionn qui fixe n + 1 points indpendants est lidentit.

Par exemple, une application affine du plan dans lui-mme qui a trois pointsfixes non aligns est lidentit, une application affine qui a deux points fixes (dis-tincts) fixe la droite quils dfinissent.

Le groupe affine

Commenons par tudier la composition de deux applications affines.

Proposition I.3.11. La compose

de deux applications affines :E Fet : F G est une application affine. Lapplication linaire associe est la

compose des applications linaires associes (en formules = ).

Une application affine est bijective si et seulement si lapplication linaireassocie lest. Alors 1 est affine et lapplication linaire qui lui est associeest lapplication rciproque de (en formules1 = 1).Dmonstration. Lassertion sur la composition est claire. En effet, avec des nota-tions videntes, on a :

(P)(M) =

(

PM) =

(P M).

Supposons maintenant que soit une application linaire bijective. Pour Mdans F, on cherche les points P de Etels que (P) = M, mais ceci est quivalent

OP =

OM, soit (OP) = OM soit enfin OP = 1(OM) do

lexistence et lunicit de P. Lapplication affine est donc bien bijective.Inversement, si est bijective, donnons-nous un vecteur u de F et cherchons

les v tels que (v) = u. Fixons un point O et son image O, ainsi que le point

M tel que OM = u. Comme est bijective, il y a un unique point P dans Etelque M = (P). On a alors (OP) = (O)(P) = OM = u et OP est luniquesolution, donc est bijective.

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Corollaire I.3.12. Les bijections affines deEdans lui-mme forment un groupe, legroupe affine GA(E).

Proposition I.3.13. Lapplication du groupe affine dans le groupe linaire,

GA(E) GL(E)

qui envoie une application affine sur lapplication linaire associe, est un homo-morphisme surjectif de groupes, dont le noyau est le groupe des translations deE,isomorphe au groupe additif de lespace vectoriel E.

Dmonstration. Cest une consquence directe de ce qui prcde. Le noyau estform des applications affines dont lapplication linaire associe est IdE, cest--dire des translations, comme on la dj dit. Il est clair que le groupe des trans-lations est isomorphe au groupe additif de E : ce nest quune faon pdante dedire que tu tv = tu+v.

La seule chose restant vrifier est la surjectivit de notre homomorphisme.On va montrer un rsultat un peu plus prcis qui mrite dtre nonc part :

Lemme I.3.14. Soit O un point de E. Soit f un isomorphisme linaire de E. Ilexiste une unique application affine dont f est lapplication linaire associe etqui fixe O (en formules f = et (O) = O).

Ce lemme achve la dmonstration de la proposition.

Sa dmonstration est immdiate : (M) est en effet le point dfini parO(M) = f(

OM).

Cet argument donne dailleurs un rsultat un peu plus gnral :

Lemme I.3.15. Soitf : E F une application linaire. SoientEetFdeux espacesaffines dirigs par E et F respectivement. Pour tous points O de E, O de F, ilexiste une unique application affine

: E F

qui envoie O sur O et dont lapplication linaire associe est f.

Remarquons que ces noncs fournissent beaucoup dexemples dapplicationsaffines. Ils affirment aussi :

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Corollaire I.3.16. tant donn un point O de E, toute application affine de Edans lui-mme scrit de faon unique sous la forme

= tu o fixe O.

Remarque I.3.17. On a dj not une proprit quivalente si lon vectorialise Een O (voir les exemples I.3.4).

Conjugaison des translations

On aurait pu, dans lnonc du corollaire prcdent (corollaire I.3.16), remplacer

= tu par = tv.Lapplication affine fixant O et ayant mme application linaire associe que est bien la mme dans les deux critures. Les vecteurs des translations, eux, sontdiffrents : on a

tu = tv 1,les deux translations sont conjugues.

Proposition I.3.18. La conjugue tv 1 dune translation par un lment du groupe affine GA(E) est la translation de vecteur (v).

Dmonstration. Il sagit de montrer que, pour tout point M de E, on a lgalitM tv 1(M) = (v).

Soient donc M un point quelconque et N = 1(M). On a

M tv 1

(M) = (N) tv(N)= (N tv(N)) par dfinition de = (v) par dfinition de tv.

Une digression : la conjugaison

On peut lire lnonc prcdent de la faon suivante : quand on conjugue unetranslation (par une transformation affine), on trouve une translation ; de plus,

le vecteur de la nouvelle translation est donn, en fonction du vecteur originel etde la transformation qui conjugue, par la seule formule qui ait un sens. Cest uneillustration dun principe gnral en gomtrie, que nous aurons loccasion derencontrer souvent dans ce livre et dont lnonc, trs vague, est le suivant.

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Principe I.3.19 (Transport par conjugaison). Si est un lment dun groupede transformations G,

son conjugu

1 par un lment de G est un lment de mmenature gomtrique que ,

les lments dfinissant cette nature sont, pour le conjugu 1,les images de ceux de par.

Il ne sagit pas dun thorme, mais plutt dun cadre gnral qui peut setransformer, dans chaque situation particulire, en nonc prcis en remplaantles parties entre guillemets par des objets dfinis prcisment, par exemple

translations, vecteurs des translations, symtries centrales, centres, ou plus gnralement homothties, centres (voir lexercice I.29), (dans le groupe symtrique) transpositions, lments changs par la trans-

position.

Points fixes

Les lecteurs auront compris (voir au besoin la remarque I.3.3) quon peut consi-

drer une application affine de E dans lui-mme qui a (au moins) un point fixecomme une application linaire du vectorialis de Een ce point dans lui-mme. Ilest donc intressant de savoir quand une application affine a un point fixe.

Proposition I.3.20. Soit une transformation affine de E. Pour quelle ait ununique point fixe dans E, il faut et il suffit que lisomorphisme nait aucunvecteur fixe autre que 0.

Remarque I.3.21. La condition signifie que 1 nest pas une valeur propre de .Dmonstration. Si a un point fixe O, on vectorialise Een O pour voir que lesautres points fixes de correspondent aux vecteurs fixes non nuls de . Alors Oest lunique point fixe si et seulement si le seul vecteur fixe de est le vecteurnul.

Si na pas de vecteur fixe non nul (en dautres termes, si cet endomorphismena pas la valeur propre 1), on recherche dventuels points fixes de . Soient Oun point et O son image. Un point fixe M vrifie

(OM) = O(M) = OM = OO + OM ,soit encore

(OM) OM = OO.

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Par hypothse, Id est injectif. Comme cest un endomorphisme dun espacede dimension finie, il est aussi surjectif et lquation (u)u = OO a une uniquesolution

OM. Donc a un point fixe.

Enfin, si M et N sont deux points fixes de , (M N) = M N, de sorte queM N = 0 et M = N. Donc a un unique point fixe. On en dduit la proposition.

Sous certaines hypothses, on peut prciser ce qui se passe quand lapplicationlinaire a la valeur propre 1 :

Proposition I.3.22. Soit une transformation affine deE. On suppose que lespacevectoriel E se dcompose en somme directe

E = Ker( Id) Im ( Id) .Alors il existe un unique vecteur v et une unique application affine avec un pointfixe tels que

(v) = v, = tv .

De plus, tv et commutent. Lapplication affine a un point fixe si et seulement

si v = 0, auquel cas lensemble des points fixes de est un sous-espace affinedirig par le sous-espace propre des points fixes de .

Dmonstration. On commence par choisir un point O de Eet on utilise la dcom-position de E en somme directe pour crire

O(O) = v + (z) z, o v satisfait (v) = v.

Considrons le point A dfini par z =AO. On a

A(A) =

AO +

O(O) +

(O)(A) = z + v + (z) z + (OA) = v.

On pose = tv . Pour cette nouvelle application affine, on a(A) = tv((A)) = A,

donc a un point fixe. On a aussi

tv 1 = t (v) = t (v) = tv

(en utilisant la proposition I.3.18) de sorte que et tv commutent.Dmontrons maintenant lunicit du couple (v, ). On suppose que

= tv = tv

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o les deux applications et ont des points fixes, disons (A) = A et (A) =

A, et o les deux vecteurs v, v sont fixs par . Alors A(A) = v et A(A) = v,donc

AA = A(A) + (A)(A) + (A)A = v + (AA) vet

AA (AA) = v v.Ce vecteur est dans Ker( IdE) Im( IdE) = 0, ce pourquoi v = v et = . Si v = 0, on a = et a un point fixe.

Rciproquement, si a un point fixe, on lutilise comme point O, on en dduitque v = 0. En vectorialisant lespace affine

Een O, on voit que les points fixes de

correspondent aux vecteurs fixes de . Lensemble des points fixes est donc lesous-espace affine passant par O et dirig par lespace vectoriel des vecteurs fixesde lapplication linaire .

I.4. Trois thormes de gomtrie plane

On utilise les applications affines pour dmontrer trois thormes classiques de

gomtrie plane, les thormes de Thals, Pappus et Desargues. On se place doncmaintenant dans un plan affine.

Remarque I.4.1 (Notation). Soient A, B et C trois points aligns et soit u un vec-teur directeur de la droite quils dfinissent. On peut crire

AB = u, o = AB,

la mesure algbrique dpend du choix de u... Rappelons toutefois que le rap-port AB/AC, lui, nen dpend pas.

Le thorme de Thals

Thorme I.4.2. Soientd, d etd trois droites parallles distinctes, D1 etD2 deuxdroites dont aucune nest parallle d. Soient, pour i = 1, 2, Ai = Di d, Ai =Di d, Ai = Di d. Alors on a

A1A1A1A1

=A2A2A2A2

.

Rciproquement, si un point B deD1 vrifie lgalit

A1BA1A1

= A2A2

A2A2,

alors il est sur d (et B = A1).

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I.4. Trois thormes de gomtrie

Dmonstration. Soit la projection sur D2 paralllement d et soit p la projectionlinaire associe. Alors envoie A1 sur A2 etc. De plus, si

A1A

1 =

A1A

1, on

a p(A1A

1) = p(

A1A

1) car p est linaire. Cest dire que

A2A

2=

A2A

2, galit

dont on dduit le sens direct du thorme.La rciproque en est consquence. On a

A1A

1 =

A2A2A2A2

A1A

1

de sorte queA1B =

A1A

1 et donc que B = A

1.

D1

D2

A1

A2

A1

A2

A1

A2

d

d

d

Figure 10. Le thorme de Thals...

D1

D2

A1

A2

A1

A2

A

Figure 11. ... et un de ses corollaires

Corollaire I.4.3. SoientD1 etD2 deux droites scantes en A, d et d deux droitesparallles coupant Di en Ai, Ai distincts de A. Alors

AA1AA1

= AA2AA2

= A1A2A1A

2

.

Dmonstration. On fait passer par A une droite parallle d et d. On peutappliquer le thorme de Thals. On obtient ainsi

AA1

AA1=

AA2

AA2,

la premire galit recherche. On voit aussi ainsi que lhomothtie de centre A

qui envoie A1 sur A1 envoie A2 sur A2. On en dduit la deuxime galit.

Remarque I.4.4. Le thorme de Thals exprime simplement le fait que les pro-jections sont des applications affines (exercice I.17). On utilise maintenant, pour

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le thorme de Pappus, les homothties et les translations, et prcisment le faitque deux translations, ou deux homothties de mme centre, commutent.

Le thorme de Pappus

Thorme I.4.5. Soient A, B, C trois points dune droite D et A, B, C troispoints dune droite D distincte de D. Si AB est parallle BA et BC estparallle CB, alors AC est parallle CA.

A

B

C

AB

C

D

D

Figure 12. Le thorme de Pappus

A

B

C

A

B

C

Figure 13. Le thorme de Desargues

Dmonstration. Supposons dabord que D et D ne soient pas parallles. Soit Oleur point dintersection. Soient lhomothtie de centre O qui envoie A sur B et celle qui envoie B sur C. Alors, grce au thorme de Thals (ou simplement parcequune homothtie vectorielle transforme tout vecteur en un vecteur colinaire), envoie B sur A et envoie C sur B. Ainsi envoie A sur C et envoieC sur A. Comme et sont des homothties de mme centre, elles commutent.Il y a donc une homothtie de centre O qui envoie A sur C et C sur A, maisalors AC et CA sont parallles comme laffirme la rciproque du thorme deThals.

Si D et D sont parallles, on peut remplacer les homothties par des transla-tions dans le raisonnement.

Le thorme de Desargues

Encore des homothties et des translations pour le thorme de Desargues.

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I.5. Appendice : rappels succincts sur les barycentres

Thorme I.4.6. SoientABC et ABC deux triangles sans sommet commun et cts respectivement parallles. Alors les droites AA, BB et CC sont concou-rantes ou parallles.

Dmonstration. Si AA et BB se coupent en O, lhomothtie de centre O quienvoie A sur A envoie aussi B sur B (encore Thals). Soit son rapport et soit

C = (C). AinsiOC =

OC. Mais

OA =

OA et donc AC et AC sont

parallles. Alors C est sur la parallle AC passant par A, cest--dire AC,mais il est aussi sur la parallle BC passant par B, cest--dire BC. DoncC = C. Mais bien sr, O, C et C sont aligns, ce qui fait que CC passe par O.

Si AA et BB sont parallles, on raisonne de faon analogue avec des transla-

tions.

On trouvera dautres versions des thormes de Pappus et Desargues dansles exercices I.59 et I.60. Ils rvleront leur nature et leur unit profondes auchapitre VI.

I.5. Appendice : rappels succincts sur les barycentres

Dans ce paragraphe, je rappelle trs brivement quelques proprits et dfini-tions utiles sur les barycentres. Les lectrices sont invites complter les dmons-trations, en utilisant, si le besoin sen fait sentir, leur livre de terminale prfr.

Si les Ai sont des points dun espace affine Eet les i des scalaires, on dit quele systme ((A1, 1), . . . , (Ak, k)) est un systme de points pondrs.

Proposition I.5.1. Si((A1, 1), . . . , (Ak, k)) est un systme de points pondrs telque

i = 0, il existe un unique point G deEvrifiant lgalit

iGAi = 0.De plus, pour tout point O deE, on a

(

i)OG =

i

OAi.

Lunique point G dfini par cette proposition est appel le barycentre du sys-tme. Les lecteurs sont invits se demander ce qui se passe quand la somme descoefficients est nulle.

Le barycentre du systme ((A1, 1), . . . , (Ak, k)) est, par dfinition et pourtout scalaire non nul, le mme que celui du systme ((A1, 1), . . . , (Ak, k)).Quand tous les coefficients i sont gaux, on parle disobarycentre des points

A1, . . . , An. Lisobarycentre de deux points A et B est le milieu du segment AB,

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celui de trois points A, B et C non aligns est appel le centre de gravit dutriangle ABC.

Le barycentre (ou plutt lopration de barycentration ) satisfait une pro-prit dassociativit un peu pnible noncer mais de vrification immdiate :

Proposition I.5.2 (Associativit du barycentre). tant donns des scalaires

1,1, . . . , 1,k1 , . . . , r,1, . . . , r,kr

tels quaucune des sommesj i,j,

i,j i,j ne soit nulle, soit

((A1,1, 1,1), . . . , (A1,k1 , 1,k1), . . . , (Ar,1, r,1), . . . , (Ar,kr , r,kr))

un systme de points pondrs et soit G son barycentre. Soit Bi le bary-centre du systme ((Ai,1, i,1), . . . , (Ai,ki , i,ki)). Le barycentre du systme((B1,

j 1,j), . . . , (Br,

j r,j)) est G.

En dautres termes, pour trouver le barycentre dun grand systme, on peutdabord regrouper des termes et considrer leur barycentre, puis prendre le ba-rycentre des nouveaux points, affects de coefficients convenables (sommes des

coefficients des points utiliss dans les regroupements). Un cas particulier simpleet utile est le corollaire suivant :

Corollaire I.5.3. Soit G le barycentre de ((A, ), (B, ), (C, )). On suppose que + + = 0 et que + = 0. Le point dintersection A de AG et de BC estle barycentre de ((B, ), (C, )).

A

B C

G

Figure 14. Centre de gravit dun triangle

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I.6. Appendice : notion de convexit

On en dduit par exemple que, dans un triangle, les trois mdianes (droitesjoignant les sommets aux milieux des cts opposs) sont concourantes au centrede gravit du triangle (figure 14).

Lie celle de barycentre, la notion de convexit est une notion de gomtrieaffine importante et utile (pas seulement en gomtrie !). On lutilisera beaucoupau chapitre V.

I.6. Appendice : notion de convexit

Donnons-en ici quelques rudiments, renvoyant les lectrices [5] pour plus derenseignements.

Plaons-nous dans un espace affine rel (pour pouvoir parler de segments ).Une partie C E est dite convexe si pour tous points A et B de C, le segmentAB est entirement contenu dans C (figure 15).

non convexe convexe

Figure 15

Exemple I.6.1. Avec cette dfinition, il est clair que lensemble vide, un point,un segment, une droite, un plan sont des convexes. Il est clair aussi que len-semble constitu de deux points (distincts) nest pas convexe. On trouvera dautresexemples et contre-exemples dans lexercice I.45.

On construit de nouveaux convexes grce la proposition suivante, dont ladmonstration (facile) est laisse aux lecteurs.

Proposition I.6.2. Toute intersection de convexes est convexe.

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La runion de deux parties convexes nest pas convexe en gnral (penser parexemple une partie forme de deux points).

La convexit est une notion affine , ce qui peut sexprimer par lnonc

suivant.

Proposition I.6.3. Limage de tout convexe par une application affine est convexe.

Dmonstration. Soit C un convexe de lespace affine Eet soit une applicationaffine de E dans E. Soient A et B deux points quelconques de (C). On veutmontrer que le segment AB est contenu dans C. On peut trouver deux points Aet B de C dont A et B soient les images. Comme C est convexe, il contient lesegment AB. Limage de ce segment par est le segment A

B

(cest ce que ditle corollaire I.3.9), qui est donc bien contenu dans (C).

On dmontre (et les lectrices vrifieront) de la mme faon que

Proposition I.6.4. Limage rciproque de tout convexe par une application affineest convexe.

Dfinition I.6.5. Lintersection de tous les convexes contenant la partie S de

Eest

une partie convexe de E, appele lenveloppe convexe de S.

Figure 16. Lenveloppe convexe dun polygone toil

Proposition I.6.6. Lenveloppe convexe de S est forme des barycentres des pointsde S affects de coefficients positifs ou nuls.

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I.7. Appendice : coordonnes cartsiennes

Dmonstration. Notons C(S) lenveloppe convexe de S et S+ lensemble des ba-rycentres des points de S affects de coefficients positifs ou nuls.

Remarquons dabord que S+ est convexe : si M et N sont deux barycentres

de points de S affects de coefficients positifs ou nuls, les points du segment M Nsont les barycentres des systmes ((M, ), (N, 1 )) avec 0 1. Grce lassociativit de la barycentration, ces points sont tous dans S+.

Comme tout point M de S est barycentre du systme ((M, 1)), on a linclusionS S+ et donc aussi, comme S+ est convexe, on a C(S) S+.

Montrons, inversement, que S+ est contenu dans C(S). Pour ce faire, mon-trons, par rcurrence sur k, que, si 1, . . . , k sont des rels positifs ou nuls etA1, . . . , Ak des points de

C(S), alors le barycentre de ((A1, 1), . . . , (Ak, k)) est

dans lenveloppe convexe C(S).Si k = 1, le barycentre est A1 et lassertion est vraie. Pour k = 2, le barycentre

est un point du segment A1A2 ; il est dans C(S) par convexit.Montrons maintenant comment passer dun systme de k1 points un systme

de k points. Si lun des i est nul, on peut retirer (Ai, i) de la liste. Supposonsdonc que tous les i sont non nuls. En particulier, k nest pas nul et la somme 1+ +k1 non plus. Soit G le barycentre du systme ((A1, 1), . . . , (Ak1, k1)).Le point G qui nous intresse est le barycentre de ((G, 1+

+ k1), (Ak, k)),

qui est un point du segment GAk. Mais G est dans lenveloppe convexe C(S) parhypothse de rcurrence et donc, grce la convexit de C(S), G est aussi unpoint de C(S).

I.7. Appendice : coordonnes cartsiennes

Un repre affine (O, A1, . . . , An) (et une origine O) de lespace affine E tant

fix(s), on peut reprer tout point M de Epar les composantes du vecteur OMdans la base (OA1, . . . , OAn) de la direction E de E, que lon appelle les coordon-nes cartsiennes de M dans le repre affine en question.

En dautres termes, le choix du repre affine (O, A1, . . . , An) dfinit un iso-morphisme affine de Edans Kn, celui qui, au point M, associe ses coordonnescartsiennes.

Sous-espaces affines

Un sous-espace affine peut tre dcrit par un point A et une direction, elle-mmedfinie par une base (u1, . . . , uk), comme ceci :

F=

M E | AM =

iui

.

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Ce qui se traduit, pour les coordonnes (x1, . . . , xn) de M, par

x1 = a1 + 1u

11 + + ku1k

.

..xn = an + 1u

n1 + + kunk

o (a1, . . . , an) sont les coordonnes du point A, (u1i , . . . , uni ) sont les composantes

du vecteur ui dans la base (OA1, . . . ,

OAn) de E. On appelle ces quations un

systme dquations paramtriques de F.Par exemple, si (b1, . . . , bn) sont les coordonnes dun point B distinct de A,

les quations

x1 = a1 + (b1

a1)

...xn = an + (bn an)

dcrivent la droite AB (voir plus gnralement lexercice I.11).

Un sous-espace affine peut aussi se dcrire par des quations cartsiennes. Unebase de E tant donne, le sous-espace vectoriel F peut tre dcrit par un systmedquations cartsiennes

1,1x1 +

+ 1,nxn = 0

...m,1x1 + + m,nxn = 0.

Les points M du sous-espace affine F sont caractriss par lquation AM F,soit par

1,1(x1 a1) + + 1,n(xn an) = 0...

m,1(x1 a1) + + m,n(xn an) = 0ou encore par 1,1x1 + + 1,nxn = b1...m,1x1 + + m,nxn = bm.

Ce sont des quations cartsiennes de F. Par exemple le systme

2x + 3y 5z = 12x

2y + 3z = 0

dcrit une droite affine de R3 (pourquoi ?).Les quations cartsiennes dcrivent le sous-espace affine comme

F= f1((b1, . . . , bm))

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Exercices et problmes

o f : E Km est lapplication linaire dont la matrice dans les bases (

OA1, . . . ,

OAn), base de E, dune part,

base canonique de Km, de lautre,

est la matrice 1,1 1,n... ...m,1 m,n

.Les lecteurs sont invits vrifier quils ont compris en faisant lexercice I.12.

Applications affines

Considrons maintenant une application affine : E E et supposons quelespace affine E soit, lui aussi, muni dun repre affine, not (O, A1, . . . , Am).On reprsente les points de E par leurs coordonnes (x1, . . . , xm)... autant direquon utilise, en plus de lisomorphisme E Kn, un isomorphisme E Km. travers ces isomorphismes(9), devient une application affine

Kn Km

dont nous savons (voir les exemples I.3.4) quelle est de la forme application

linaire plus constante . Cest dire que les coordonnes (x1, . . . , xm) de limage(M) du point M de coordonnes (x1, . . . , xn) sont donnes par

x1 = 1,1x1 + + 1,nxn + b1...xm = m,1x1 + + m,nxn + bm.

Les lectrices sont invites vrifier quelles ont bien compris cette criture enessayant de changer de repres (exercice I.34).


Espaces affines, sous-espaces affines

Exercice I.1. Les diagonales dun paralllogramme se coupent en leur milieu(10)

(si AABB est un paralllogramme et si M vrifieAB = 2

AM, alors il vrifie

(9)Si : E Kn et : E Km sont les noms des isomorphismes dfinis par les repres, cest 1 que lon dcrit ici.(10)Suivant lexemple de [15], jai souvent omis les mots Montrer que dans la rdaction desnoncs.

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aussiAB = 2

AM). Et rciproquement (si les diagonales dun quadrilatre se

coupent en leur milieu, celui-ci est un paralllogramme).

Exercice I.2. Soit Fune partie dun espace affine Edirig par lespace vectorielE et soit A un point de F tel que A(F) soit un sous-espace vectoriel F de E.Montrer que, pour tout point B de F, on a B(F) = F (cest la proposition I.2.5).

Exercice I.3. Par deux points (distincts) dun espace affine passe une droite et uneseule.

Exercice I.4. On considre un plan affine sur le corps Z/3Z. Combien a-t-il depoints ? de droites ? combien chaque droite a-t-elle de points ? Montrer que par

chaque point, il passe quatre droites et que pour une direction donne, il y a troisdroites parallles cette direction.

Exercice I.5. Soient F1 et F2 deux sous-espaces affines dun espace affine E. quelle condition F1 F2 est-il un sous-espace affine ?

Exercice I.6. Une partie Fdun espace affine est un sous-espace affine si et seule-ment si pour tous points A et B de F, on a linclusion A, B F.

Exercice I.7. Dans un espace affine de dimension suprieure ou gale 3, on consi-dre n droites (n 2). On suppose que deux droites de cette famille ont toujoursun point commun. Montrer que, soit toutes ces droites ont un point commun, soitelles sont coplanaires.

Exercice I.8 (Autour du thorme des milieux ). Pour cet exercice, on se placedans le cadre axiomatique. Plus prcisment, on suppose quon ne connat ni lesbarycentres ni le thorme de Thals. On sait, par contre, quun quadrilatre estun paralllogramme si et seulement si ses diagonales se coupent en leur milieu.

(1) Le thorme des milieux. Soit ABC un triangle et soient C le milieu duct AB, B celui de AC. Soit M le point de BC tel que B soit le milieu deCM. Que peut-on dire du quadrilatre AMCC ? du quadrilatre CM CB ?

Dmontrer le thorme des milieux : Dans un triangle ABC, soit C le milieude AB. Une droite passant par C est parallle BC si et seulement si elle passepar le milieu de AC.

(2) Le centre de gravit. On considre le point dintersection G des mdianes

CC

et BB

, les points C

de CC

et B

de BB

tels que C

soit le milieu de GC

et B celui de GB. Montrer que les droites CB, AG et BC sont parallles.Montrer que G est le milieu de CC (on pourra considrer le triangle ACC)

et de mme que cest le milieu de BB .

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Montrer que AG est la troisime mdiane du triangle (on pourra considrer letriangle BB C).

En dduire que les trois mdianes du triangle ABC sont concourantes en un

point G situ aux deux-tiers de chacune delles en partant du sommet.(3) quipollence. On dit que deux couples de points (ou bipoints ) (A, B)

et (A, B) sont quipollents si ABDC est un paralllogramme. Montrer que cestune relation dquivalence sur lensemble des couples de points.

La classe dquivalence de (A, B) est noteAB et sappelle un vecteur. Mon-

trer que la relationAC =

AB +

BC dfinit une loi de composition interne sur

lensemble des vecteurs... et en fait un groupe.

Exercice I.9. Les points A0, . . . , Ak sont affinement indpendants si et seulementsi

i {0, . . . , k} , Ai A0, . . . , Ai1, Ai+1, . . . , Ak.Exercice I.10. Les points A0, . . . , Ak sont affinement indpendants si et seulementsi

i {1, . . . , k} , Ai A0, . . . , , Ai1.Exercice I.11. Lespace affine est muni dun repre affine. Dcrire par un systmedquations paramtriques le sous-espace affine engendr par les points B0, . . . , Bk.

Exercice I.12. Soit A une matrice m lignes et n colonnes coefficients dans Ket soit B un vecteur (colonne) de Km. Soit F la partie de Kn dfinie par

F= {X Kn | AX = B} .Expliquer pourquoi Fest un sous-espace affine. Quelle est sa direction ? Quandest-il vide? Exprimer sa dimension laide du rang r de la matrice A.

Exercice I.13. quelles conditions les deux quations

a1x1 + + anxn = b et a1x1 + + anxn = b

dcrivent-elles des hyperplans parallles de Kn ?

Exercice I.14. Soit Eun espace affine de dimension 3 muni dun repre affine. Dterminer une quation cartsienne du plan passant par le point A =

(1, 0, 1) dans la direction engendre par les vecteurs u = (0, 2, 1) et v = (1, 1, 0).

Dterminer une quation cartsienne du plan parallle au plan prcdent etcontenant le point B = (0, 1, 0). Dterminer une quation cartsienne du plan parallle au plan prcdent et

passant par le milieu de AB.

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Exercice I.15. quelles conditions les deux systmes dquations

a1x + b1y + c1z = 0

a2x + b2y + c2z = 0

et a1x + b

1y + c

1z = 0

a

2x + b

2y + c

2z = 0

dcrivent-ils des droites vectorielles de K3 ? la mme droite vectorielle de K3 ? quelles conditions les deux systmes dquations

a1x + b1y + c1z = d1a2x + b2y + c2z = d2

et

a1x + b1y + c

1z = d

1

a2x + b2y + c

2z = d

2

dcrivent-ils des droites affines de K3 ? des droites affines parallles de K3 ?

Applications affines

Exercice I.16(Un truc trs utile). Soit f une application linaire de E dans lui-mme. On suppose que limage par f de tout vecteur est un vecteur qui lui estcolinaire. crire cette hypothse avec des symboles mathmatiques et des quan-tificateurs. crire en termes analogues la dfinition dune homothtie vectorielle.Comparer les deux critures et dmontrer que f est, quand mme, une homothtievectorielle.

Exercice I.17(Projections). Soit D une droite dun plan affine P et soit d unedirection de droite, non parallle D. On appelle projection sur D paralllement d lapplication : P P telle que M = (M) D et M M d. Montrerque est affine. Quelle est lapplication linaire associe ?

Soit Fun sous-espace affine dun espace(11) E, et soit G un sous-espace vectorielde E tel que F G = E. Dfinir une projection (affine) sur Fparalllement G.

Soit : E E une application affine vrifiant = . Montrer que estune projection.

Exercice I.18 (Le thorme de Thals, en dimension quelconque)Dans un espace affine, on considre trois hyperplans parallles H, H et H

ainsi que deux droites D1 et D2 dont aucune nest contenue dans un hyperplanparallle H. Soient Ai = Di H, Ai = Di H, Ai = Di H. Montrer que

A1A1A1A

1

=A2A2A2A

2

.

(11)Dans ces exercices, une lettre romaine non dfinie (E, F...) dsigne toujours la direction delespace affine dsigne par la lettre ronde (E, F...) correspondante.

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Montrer de plus que, si un point B de D1 vrifieA1B

A1A1

=A2A2

A2A2

,

alors il est sur H (et B = A1).Soient D1 et D2 deux droites scantes en A, H et H deux hyperplans parallles

coupant Di en Ai, Ai distincts de A. Montrer queAA1

AA1=

AA2

AA2=

A1A2

A1A2

.

Exercice I.19 (Symtries). Si F et G sont deux sous-espaces vectoriels supplmen-

taires dans un espace vectoriel E, on dfinit la symtrie s par rapport F dansla direction de G par

sF(u + v) = u v si u F et v G.On vrifiera que cest une application linaire et une involution. Soient Fun sous-espace affine dun espace affine Eet G une direction de sous-espaces affines telsque F G = E. On choisit un point O Fet on dfinit : E Epar

O(M) = sF(

OM).

Si O F, vrifier queOM = sF(

OM) OM = sF(

OM).

Montrer que est une application affine (symtrie) ne dpendant pas du choixde O.

Exercice I.20. On donne deux droites D et D non parallles dun plan affine. tout point M du plan, on associe le point M dfini de la faon suivante : laparallle D passant par M coupe D en H et M est tel que H soit le milieu deM M. Montrer que lapplication M M est affine.

Exercice I.21 (Symtries glisses). Soit une transformation affine de lespace af-fine E. On suppose que lapplication linaire associe est une symtrie. Montrerque scrit de faon unique comme compose dune symtrie affine et dunetranslation de vecteur v fixe par .

Soit une transformation affine de E. On suppose que lapplication linaireassocie est involutive (cest--dire vrifie 2 = IdE). Peut-on en dduire que est involutive (cest--dire vrifie 2 = IdE) ?

Exercice I.22. Une application affine est dtermine par limage dun repre affine.

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Exercice I.23. Soient Eun espace affine de dimension au moins gale 2 et uneapplication affine E Etelle que limage de toute droite soit une droite qui luiest parallle. Montrer que est une translation ou une homothtie.

Exercice I.24. Une partie borne dun espace affine ne peut avoir plus dun centrede symtrie.

Exercice I.25. Soit E un espace affine de dimension finie et soit : E E uneapplication affine vrifiant Im(2) = Im().

(1) Montrer que pour tout M E, il existe P E et u Ker( ) tels queM (P) = u.

(2) Montrer que u et (P) sont uniquement dtermins dans cette dcompo-sition.

(3) Donner un exemple dapplication ayant cette proprit.

Exercice I.26. Dans un espace affine de dimension 3, on considre un ttradre(quelconque) T de sommets A, B, C et D. Dmontrer que lensemble des ap-plications affines qui prservent T est un groupe isomorphe au groupe S4 despermutations de lensemble {A,B,C,D}. Combien y a-t-il dapplications affinesconservant

T?

Exercice I.27. Soient A, B et C trois points non aligns du plan et soit uneapplication affine telle que (A) = B, (B) = C et (C) = A. Est-elle complte-ment dtermine ? est-elle injective ? tudier 3 et montrer que a un point fixe.Quelle est la matrice de dans le repre dorigine A et de base (

AB,

AC) ?

Exercice I.28. On donne une application linaire f : E F. Dcrire toutes lesapplications affines : E Fdont f est lapplication linaire associe.

Exercice I.29. Quelle est la conjugue

h(O, )

1 de lhomothtie h(O, )par la transformation affine ?

Exercice I.30. Quelle est la compose de deux homothties h(B, ) h(A, ) ?Lensemble des homothties affines est-il un groupe ? Quel est le sous-groupe(12)

quil engendre dans le groupe affine ?

Exercice I.31. Si h(A, ) h(B, ) = h(C, ), les trois points A, B et C sontaligns.

Exercice I.32. Lespace affine Eest muni dun repre affine. Dcrire en coordonnescartsiennes les applications affines suivantes

(12)On appelle souvent ce sous-groupe groupe des dilatations.

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translation de vecteur v, homothtie de centre A et de rapport .

Exercice I.33. On se place dans un plan muni dun repre affine muni dun repre.(1) Dterminer lexpression dune application affine qui transforme le parall-

logramme dlimit par les droites y = 2x + 1, y = 2x + 3, x = 3y et x = 3y + 4en le carr(13) de sommets (0, 0), (1, 0), (0, 1), (1, 1).

(2) Peut-on transformer nimporte quel quadrilatre en un carr par uneapplication affine ?

Exercice I.34. Les espaces affines Eet E sont munis de repres affines. Une appli-cation affine de Edans E

est alors donne sous forme matricielle parX = AX+ B

o A est une matrice m lignes et m colonnes et B est un vecteur (colonne)de Km. Comment cette criture se transforme-t-elle quand on change de represaffines dans Eet E ?

Exercice I.35 (Affinits). On donne un nombre rel = 1. Trouver les applicationsaffines telles que, si M dsigne limage de M et M celle de M, on ait

MM =

M M.Exercice I.36(Groupe affine de la droite). Rappeler ce quest le groupe linaire dela droite vectorielle K. Dcrire le groupe affine de cette mme droite.

Barycentres

Exercice I.37. Dans un plan affine rel, dcrire lintrieur dun triangle en termesde barycentres.

Exercice I.38. Soit ABCD un ttradre (quelconque). Montrer que son centre degravit G est le milieu des segments joignant les milieux des artes opposes.

Si A est le centre de gravit du triangle BC D, montrer que G est sur le segmentAA, aux trois quarts de AA en partant de A.

Exercice I.39. Soit ABCD un ttradre quelconque. Soient P, Q, R et S quatrepoints tels que

AP = k

AB,

AQ = k

AD,

CR = k

CB et

CS = k

CD. On appelle

I et J les milieux respectifs de AC et BD. Montrer que les droites P S, QR et IJsont concourantes.

(13)Pourquoi les guillemets ?

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Exercice I.40. Soient a, b et c trois rels fixs tels que a + b + c = 1 et soient A, B,C trois points variant sur trois droites parallles. Dterminer le lieu gomtriquedu barycentre de ((A, a), (B, b), (C, c)).

Exercice I.41. Soient ABC et ABC deux triangles dun plan affine. Dterminerle lieu des milieux des segments reliant les barycentres de ((A, p), (B, q), (C, r)) etde ((A, p), (B, q), (C, r)) lorsque p, q et r parcourentR en vrifiant p+q +r = 1.

Exercice I.42. Soient A, B, C et D quatre points dun plan affine, tous affects dela mme masse. Montrer que les barycentres D, C, B et A des triangles ABC,ABD, ACD et BC D forment un quadrilatre homothtiques ABCD. Trouver

le centre et le rapport de lhomothtie qui transforme ABCD en ABCD.

Exercice I.43. Soit ABC un triangle de centre de gravit G dans un plan affine.On appelle A, B et C les milieux (respectivement) des cts BC, CA et AB.

(1) Rappeler pourquoi il existe une homothtie de centre G envoyant A sur A,B sur B et C sur C. Quel est son rapport ?

(2) On donne un rel k diffrent de 0 et 1. Soit M un point du plan. On appelleP limage de M par lhomothtie de centre A et de rapport k, Q limage de M par

lhomothtie de centre B et de rapport k et R limage de M par lhomothtie decentre C et de rapport k. Quelles sont les images de P, Q et R par lhomothtiede centre M et de rapport 1/(1 k) ?

(3) Montrer quil existe une homothtie ou une translation envoyant P sur A,Q sur B et R sur C. Que peut-on dire des droites AP, BQ et CR ?

Exercice I.44 (Repre affine et coordonnes barycentriques)Soit (A0, . . . , An) un repre affine de lespace E. Montrer que tout point M

de E est barycentre de (A0, . . . , An) pour certains coefficients (0, . . . , n). Cescoefficients sont-ils uniques ? On appelle (0, . . . , n) un systme de coordonnesbarycentriquesdu point M dans le repre (A0, . . . , An).

Exercice I.45 (Convexit). Parmi les parties suivantes dun espace affine, dire les-quelles sont convexes : un cercle, un disque, une demi-droite, un demi-plan, unesphre.

Soient ABC un triangle et une transformation affine. Montrer que limage

par de lintrieur de ABC est lintrieur du triangle (A)(B)(C).

Exercice I.46. Soit S un ensemble fini de points dun espace affine. Montrer quelenveloppe convexe C(S) est compacte.

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Exercice I.47. Soit S une partie dun espace affine. On suppose que S nest conte-nue dans aucun hyperplan. Montrer que lintrieur de lenveloppe convexe C(S)nest pas vide.

Exercice I.48 (Demi-plans). Soient D une droite dun plan affine Pet A un pointde Phors de D. Soit

PA = {M P | [AM] D = } .

Soit une droite passant par A et coupant D en un point I. Montrer que M estdans PA si et seulement si la projection de M sur paralllement D est sur lademi-droite ouverte dorigine I contenant A.

Montrer que

si B est un point de PA, alors PB = PA, si B PA D, alors Pest la runion disjointe PA PB D, PA est convexe.On appelle PA le demi-plan ouvert dfini par D et contenant A. Le demi-plan

ferm est PA D. Dfinir plus gnralement les demi-espaces dun espace affine

dfinis par un hyperplan et en montrer des proprits analogues.

Exercice I.49. Montrer que le complmentaire dune droite dans un plan affine rela deux composantes connexes. Quen est-il du complmentaire dune droite dansun espace affine rel de dimension 3 ou plus ? du complmentaire dune droitedans un plan affine complexe ?

Exercices classiques

A B

M

M

M

M

A B

Figure 17

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Exercice I.50. On fixe deux points A et B dans un plan affine P. tout point Mdu plan, lapplication associe le centre de gravit du triangle AMB. Est-elle af-fine ? Mme question avec lorthocentre(14),

Ptant suppos euclidien (figure 17).

Exercice I.51. Soit ABC un triangle. Soit M0 un point du ct AB. La parallle BC issue de M0 coupe AC en M1. La parallle AB issue de M1 coupe BCen M2 etc. (figure 18). On dfinit ainsi des points Mi (pour i 0). Montrer queM6 = M0.

A

B C

M0 M1

M2

M3 M4

M5

Figure 18

Exercice I.52. tant donns n points A1, . . . , An dun plan affine P, peut-on trou-ver n points B1, . . . , Bn tels que A1, A2, . . . , An soient les milieux, respectivement,de B1B2, B2B3, . . . , BnB1 (figure 19) ? On tudiera en particulier les cas n = 3 et

n = 4.Exercice I.53. Soit ABC un triangle. partir de tout point M, on construit M0 =M, puis M1, le milieu de M0A, M2 le milieu de M1B, M3 le milieu de M2C, M4le milieu de M3A et ainsi de suite. On pose n(M) = Mn.

(1) Montrer que n est une application affine.(2) Montrer que la suite (M3n)n0 est convergente. Quelle est sa limite?

Pensez-vous que la suite (Mn)n0 soit convergente ?

(14)Certains des exercices de ce chapitre affine utilisent des notions euclidiennes bien connues(orthocentre, aire...) dont il et t dommage de se priver sous prtexte quelles navaient pasencore t dfinies dans ce livre.

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A1

A2A3

B1

B2

A1

An

B1

B2B3

Figure 19

Exercice I.54. tant donn un triangle ABC, construire trois points A, B et C

de telle sorte que B soit le milieu de AC, C celui de BA et A celui de CB.

A

B

C

A

B

C

A

B

C

Figure 20

Exercice I.55. Sur les trois cts dun triangle ABC, on place trois points A, B,C de faon que

AC = 23

AB,

BA = 23

BC,

CB = 23

CA. Les droites AA, BB et

CC dessinent un petit triangle ABC (figure 20). valuer le rapport de lairede ABC celle de ABC.

Exercice I.56(Thorme de Menelas). Soient ABC un triangle, A, B et C despoints de ses cts BC, CA et AB. Montrer que les points A, B et C sont

aligns si et seulement si les trois points vrifient lgalit :

AB

AC B

C

BA C

A

CB= 1.

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Applications. On suppose que A, B et C sont aligns.Soient A, B et C les symtriques de A, B et C par rapport aux milieux

des cts concerns. Montrer que A, B et C sont aligns.

Soient I, J et K les milieux de AA, BB et CC. On veut montrer que I, J et Ksont aligns(15). Soient E, F et G les milieux de BC, AC et AB respectivement.Montrer que I F G, J GE et K EF, puis que I, J et K sont aligns.

A

B

C

AB

C

A

B

C

A

B

C

Figure 21. Menelas et Ceva (main dans la main)

Exercice I.57(Thorme de Ceva). Soient A, B et C trois points sur les ctsdun triangle comme

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