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calculo vectorial
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17/03/2012
1
DERIVADAS PARCIALESDERIVADAS PARCIALES
FUNCIÓN REAL DE VARIAS FUNCIÓN REAL DE VARIAS VARIABLESVARIABLES
CAPÍTULO II DERIVADA PARA UNA FUNCION DE DOS VARIABLES z = f (x, y)
Rosa Ñique Alvarez 2
xyxfyxxfyxfD
x ∆−∆+
=→∆
),(),(lim),(0
1
yyxfyyxfyxfD
y ∆−∆+=
→∆
),(),(lim),(02
NOTACION z = f (x, y)
Rosa Ñique Alvarez 3
xffxffD ==
∂∂
= 11
yffyffD ==
∂∂
= 22
DERIVADA PARCIAL EN UN PUNTO (x0, y0)
Rosa Ñique Alvarez 4
xyxfyxxf
yxfDx ∆
−∆+=
→∆
),(),(lim),( 0000
0001
yyxfyyxf
yxfDy ∆
−∆+=
→∆
),(),(lim),( 0000
0002
Interpretación Geométrica
Rosa Ñique Alvarez 5
Plano: y=y0
Superficie:z= f (x, y)
P=(x0,y0,f(x0, y0 ))
Interpretación Geométrica
Rosa Ñique Alvarez 6
Plano: x=x0
Superficie:z= f (x, y)
P=(x0,y0,f(x0, y0 ))
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17/03/2012
2
EJEMPLO 1
Rosa Ñique Alvarez 7
=
≠+
−=
)0,0(),(0
)0,0(),()(),( 22
22
yx
yxyx
yxyxyxf
18
Calcular: D1 f (0, 0) y D2 f (0, 0).
Solución
Rosa Ñique Alvarez 8
0)0,0(
00lim)0,0(
)0,0()0,0(lim)0,0(
1
01
01
=
∆−
=
∆−∆+
=
→∆
→∆
fD
xfD
xfxffD
x
x
18
=
≠+
−=
)0,0(),(0
)0,0(),()(),( 22
22
yx
yxyx
yxyxyxf
=
≠+
−=
)0,0(),(0
)0,0(),()(),( 22
22
yx
yxyx
yxyxyxf
0)0,0(
00lim)0,0(
)0,0()0,0(lim)0,0(
2
02
02
=
∆−
=
∆−∆+
=
→∆
→∆
fD
yfD
yfyffD
y
y
Solución
Rosa Ñique Alvarez 9
19
Solución
Rosa Ñique Alvarez 10
=
≠+
−=
)0,0(),(0
)0,0(),()(),( 22
22
yx
yxyx
yxyxyxf
0)0,0(
0)0,0(
2
1
=
=
fD
fD
EJEMPLO 2
( )
=
≠−
−−=
yx
yxyx
yyxxyxf
,0
,32),( 2
323
Rosa Ñique Alvarez 11
Calcular: D1 f (0, 0) y D2 f (0, 0).
Rosa Ñique Alvarez 12
y=x
Solución
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17/03/2012
3
Solución
Rosa Ñique Alvarez 13
202
lim)0,0(
)0,0()0,0(lim)0,0(
2
3
01
01
=∆
−∆∆
=
∆−∆+
=
→∆
→∆
xxx
fD
xfxffD
x
x
18
( )
=
≠−
−−=
yx
yxyx
yyxxyxf
,0
,32),( 2
323
10
lim)0,0(
)0,0()0,0(lim)0,0(
2
3
02
02
−=∆
−∆∆
−=
∆−∆+
=
→∆
→∆
yyy
fD
yfyffD
y
y
Solución
Rosa Ñique Alvarez 14
19
( )
=
≠−
−−=
yx
yxyx
yyxxyxf
,0
,32),( 2
323
1)0,0(2 −=fD
Solución
Rosa Ñique Alvarez 15
19
( )
=
≠−
−−=
yx
yxyx
yyxxyxf
,0
,32),( 2
323
2)0,0(1 =fD
EJEMPLO 3
Rosa Ñique Alvarez 16
a) Calcular: D1 f (0, y) si y ≠ 0 ; D1 f (0, 0 )
b) Calcular: D2 f (x,0) si x ≠ 0 ; D2 f (0, 0 ).
14
( ) ( )
=
≠+=
0,0,,0
)0,0(),(,2),( 22
yx
yxyx
yxyxf
Rosa Ñique Alvarez 17
(0, y)),0(1 yfD
)0,0(1 fD
Solución Solución
Rosa Ñique Alvarez 18
0,2),0(
02
lim),0(
0,),0(),0(lim),0(
1
22
01
01
≠=
∆
−+∆
∆
=
≠∆
−∆+=
→∆
→∆
yy
yfD
xyxyx
yfD
yx
yfyxfyfD
x
x
( ) ( )
=
≠+=
0,0,,0
)0,0(),(,2),( 22
yx
yxyx
yxyxf
0)0,0(1 =fD
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17/03/2012
4
Rosa Ñique Alvarez 19
(x, 0)
)0,(2 xfD)0,0(2 fD
Solución Solución
Rosa Ñique Alvarez 20
0,2)0,(
02
lim)0,(
0,)0,()0,(lim)0,(
2
22
02
02
≠=
∆
−∆+∆
=
≠∆
−∆+=
→∆
→∆
xx
xfD
yyxyx
xfD
xy
xfyxfxfD
y
y
( ) ( )
=
≠+=
0,0,,0
)0,0(),(,2),( 22
yx
yxyxyx
yxf
0)0,0(2 =fD
Conclusiones
Rosa Ñique Alvarez 21
( ) ( )
=
≠+=
0,0,,0
)0,0(),(,2),( 22
yx
yxyx
yxyxf
0,2),0(1 ≠= yy
yfD 0)0,0(1 =fD
0,2)0,(2 ≠= xx
xfD 0)0,0(2 =fD
EJEMPLO 4
Rosa Ñique Alvarez 22
=
≠+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
22
yx
yxyx
yxyxf
Determine las funciones D1f (x, y) y D2 f (x, y).
GRAFICA
Rosa Ñique Alvarez 23superficie
=
≠+=
)0,0(),(,0
)0,0(),(,),( 22
22
yx
yxyx
yxyxf Solución:
Rosa Ñique Alvarez 24
( )
=
≠+=
)0,0(),(0
)0,0(),(2
),( 222
4
1
yx
yxyxyx
yxfD
=
≠+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
22
yx
yxyx
yxyxf
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17/03/2012
5
( )
=
≠+=
)0,0(),(0
)0,0(),(2),( 222
4
1
yx
yxyx
yxyxfD
Rosa Ñique Alvarez 25
Solución:
Rosa Ñique Alvarez 26
( )
=
≠+=
)0,0(),(0
)0,0(),(2),( 222
4
2
yx
yxyxyx
yxfD
=
≠+=
)0,0(),(0
)0,0(),(),( 22
22
yx
yxyx
yxyxf
( )
=
≠+=
)0,0(),(0
)0,0(),(2),( 222
4
2
yx
yxyx
yxyxfD
Rosa Ñique Alvarez 27
DERIVADA PARCIAL DE UNA FUNCION DE nVARIABLES
k
nknkk
x
nkk
xxxxfxxxxf
xxxfD
k ∆−∆+
=→∆
),,(),,,(lim
),,,(
11
0
1
KKKK
KK
Rosa Ñique Alvarez 28
( )nk xxxxfw ,.....,,....,, 21=
DERIVADAS PARCIALES DE ORDEN SUPERIOR PARA f (x, y)
Rosa Ñique Alvarez 29
xyf
yxfffD∂∂
∂===
21212
2
3
112112 xyffffD xxy
∂∂∂===
Derivada de orden dos
Derivadas de orden tres
DEFINICION DE DERIVADA PARCIAL DE ORDEN SUPERIOR
Rosa Ñique Alvarez 30
yyxfDyyxfD
yxfDy ∆
−∆+=
→∆
),(),(lim),( 11
012
),( yxfz =
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17/03/2012
6
DEFINICION DE DERIVADA PARCIAL DE ORDEN SUPERIOR
Rosa Ñique Alvarez 31
xyxfDyxxfDyxfD
x ∆−∆+
=→∆
),(),(lim),( 22021
),( yxfz =
EJEMPLO 5:
=
≠+
−=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;)(),( 22
22
yx
yxyx
yxyxyxf
Rosa Ñique Alvarez 32
Calcular: D12 f (0, 0) y D21 f (0, 0).
Solución
Rosa Ñique Alvarez 33
( )222
4224
22
22 )4()(
)0,0(),(Para
yxyyxxy
yxyxyx
x
yx
+
−+=
+
−∂∂
≠
0)0,0()0,0(lim)0,0(
)0,0(),(Para
01 =∆
−∆+=
=
→∆ xfxffD
yx
x
Solución
( )
=
≠+
−+=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;)4(),( 222
4224
1
yx
yxyx
yyxxyyxfD
Rosa Ñique Alvarez 34
yfDyfDfD
y ∆−∆+
=→∆
)0,0()0,0(lim)0,0( 11
021
1)0,0(21 −=fD
Solución
( )
=
≠+
−−=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;)4(
),( 222
4224
2
yx
yxyx
yyxxxyxfD
Rosa Ñique Alvarez 35
1)0,0(12 =fD
Solución
Rosa Ñique Alvarez 36
=
≠+
−=
)0,0(),(;0
)0,0(),(;)(),( 22
22
yx
yxyx
yxyxyxf
1)0,0(21 −=fD 1)0,0(12 =fD
0)0,0(1 =fD 0)0,0(2 =fD
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17/03/2012
7
EJEMPLO 6:
( ) ( )
=
≠+=
0,0,,0
)0,0(),(,2),( 22
yx
yxyx
yxyxf
Rosa Ñique Alvarez 37
10
Calcular D12f(0,0) y D21f(0,0) si es que existen
Solución
( )( ) ( )
=
≠+
−
=
0,0,,0
)0,0(),(,22
),( 222
23
1
yx
yxyx
yxyyxfD
Rosa Ñique Alvarez 38
( )existeno2lim)0,0()0,0(lim)0,0( 20
110
12yy
fDyfDfDyy ∆
=∆
−∆+=
→∆→∆
Solución
( )( ) ( )
=
≠+
−=
0,0,,0
)0,0(),(,22
),( 222
23
2
yx
yxyxxyx
yxfD
Rosa Ñique Alvarez 39
( )existeno2lim)0,0()0,0(lim)0,0(
2022
021
xxfDxfDfD
xx ∆=
∆−∆+
=→∆→∆
Solución
Rosa Ñique Alvarez 40
( ) ( )
=
≠+=
0,0,,0
)0,0(),(,2),( 22
yx
yxyx
yxyxf
existenno)0,0(y)0,0(
0)0,0(,0)0,0(
2112
21
fDfD
fDfD ==
TEOREMA 1
Rosa Ñique Alvarez 41
),(),( 0000 yxfyxf xyyx =
Suponga que f es una función en lasvariables x e y, que está definida en el discoabierto B((x0, y0), δ) y que fx , fy, fx y y f y xestán definidas en B. Además, suponga quefx y y fy x son continuas en B. Entonces
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