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15. Chebyshev 综合 - Xidian2013/01/06  · 15. Chebyshev 综合 一、Chebyshev函数 二、Chebyshev多项式逼近 三、修正的偶数阶Chebyshev函数 四、Chebyshev综合

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Text of 15. Chebyshev 综合 - Xidian2013/01/06  · 15. Chebyshev 综合 一、Chebyshev函数...

  • 15. Chebyshev 综 合西安电子科技大学,电子工程学院

    苏 涛

  • G

    fcω

    nH

    2nH 3=n5=n

    Butterworth综合

    ( ) nc

    nHG 22

    1

    +

    =

    ωω

    ω

    •带外过于平坦

    •带边3dB

  • 15. Chebyshev 综 合

    一、Chebyshev函数

    二、Chebyshev多项式逼近

    三、修正的偶数阶Chebyshev函数

    四、Chebyshev综合

  • 15. Chebyshev 综 合

    一、Chebyshev函数

    二、Chebyshev多项式逼近

    三、修正的偶数阶Chebyshev函数

    四、Chebyshev综合

  • ( )( )

    ( )

    >⋅

    ≤⋅=

    1

    1coscos1

    1

    xxchnch

    xxnxTn

    Chebyshev函数

    (1)表面分段,实质连续;(2)表面超越函数,实际是整数多项式;(3)带内等波纹,带外单调;

  • 递推公式

    ( ) ( ) ( )

    xTT

    xTxxTxT nnn

    ==

    −= −+

    1

    0

    11

    12

    证明: x1cos−=α αcos=x

    ( ) ( ) αααα nnn coscos21cos1cos =−++

    ( ) ( ) ( )xxTxTxT nnn 211 =+ −+

  • L

    xxxTxxTxxT

    xTxT

    T

    52016

    188

    34

    12

    1

    355

    244

    33

    22

    1

    0

    +−=

    +−=

    −=

    −=

    ==

  • (1)零点特性

    ( ) ( ) −

    =oddnevennT

    n

    n 010

    2

    (2)带边特性

    ( ) 11 =nT

    (3)奇偶特性

    ( ) ( ) ( )xTxT nnn 1−=−

  • (4)带外特性

    带外单调变化

    ( ) 12 1 >>≈ − xxxT nnn(5)最佳特性

    当 处,mxx = ( ) ( )mnmn xPxT =

    若带外固定,则Chebyshev带内波纹最小;若带内波纹固定,则Chebyshev带外最陡。

  • 15. Chebyshev 综 合

    一、Chebyshev函数

    二、Chebyshev多项式逼近

    三、修正的偶数阶Chebyshev函数

    四、Chebyshev综合

  • G

    ω1

    nH

    21 ε+nH

    oddn

    G

    ω1

    nH

    21 ε+nH

    evenn

    ( ) ( )ωεω 222

    1 nn

    THG

    +=

  • (1)直流特性

    ( )

    +

    =evennHoddnH

    Gn

    n

    210

    ε

    (2)带内特性

    2

    min

    max

    2minmax

    1

    1

    ε

    ε

    +=

    +==

    GG

    HGHG nn

    ε 等波纹系数;( )21log10 ε+=K 分贝波纹;

  • (3)带外特性

    ( ) ( ) 12 2222222 >>=≅ − ωωεωε

    ω nnn

    n

    n HTHG

    (4)复延拓:Chebyshev多项式

    ( ) ( )ωεω 222

    1 nn

    THG

    += ( ) ( )sjT

    HsGn

    n

    −+=− 22

    2

    1 ε

    ωjs =

    ( ) ( ) ( ) ( )( )sjTsjTsGsSsS

    n

    n

    −+−

    =−−=− 2222

    21111 1

    ε

  • ( ) 01 22 =−+ sjTnε拆分分母:Chebyshev多项式

    ( )[ ]ε11 jsjnchch ±=−−即,

    令, ( ) jvusjch +=−−1

    ( )[ ]ε1jjvunch =+

    ε1sincos jnvjshnunvchnu =⋅+⋅

    =⋅

    =⋅

    ε1sin

    0cos

    nvshnu

    nvchnu

  • ( )

    ashn

    unv

    nkn

    kvnv

    k

    k

    =

    =⇒=

    −=+

    =⇒=

    εε

    π

    111sin

    12,,2,1,02

    120cos

    1

    L

    ( ) vjchuvshujvujchs cossin ⋅+⋅−=+=

    ( ) ( )

    12,,2,1,02

    12cos2

    12sin1

    −=

    +⋅+

    +⋅−=+

    nkn

    kjchan

    kshask

    L

    ππ

  • 显然,根的分布 111 +++ += kkk js ωσ

    12

    12

    1 =

    +

    ++

    chashakk ωσ

    n2π

    椭圆上的等分分布

  • (5)Chebyshev多项式的n

    带外特性确定n,即元件数;

    当 时,要求 ,

    其中 分贝波纹

    1>= sωω ALLs >AK

    ( ) ( )[ ] ALTHGL nns ≥++−=−= 2222 1log10log10log10 ωεω

    1=nH110 10 −=AK

    ε

  • 1110

    110

    int 110

    101

    +

    = −

    s

    AK

    AL

    ch

    ch

  • 注意:偶数阶Chebyshev多项式逼近的矛盾

    ( )

    +

    =evennHoddnH

    Gn

    n

    210

    ε

    ( )( )

    1,1

    40 2 =+= g

    l

    l rrrG

    ( )( )

    11

    41 22 ≤

    ++=

    l

    ln r

    rH εevenn

    l

    l

    rr2

    1−≤ε

    显然, 1≠lr

    偶数阶Chebyshev响应,负载不能等于特性阻抗。

  • 15. Chebyshev 综 合

    一、Chebyshev函数

    二、Chebyshev多项式逼近

    三、修正的偶数阶Chebyshev函数

    四、Chebyshev综合

  • 【定理】修正的偶数阶Chebyshev多项式Ln与标准Chebyshev多项式有如下关系:

    ( ) ( )hkxTxL nn += 22

    其中,n

    hk2

    ,2cos,cos2 0002 πθθθ =−==

  • 15. Chebyshev 综 合

    一、Chebyshev函数

    二、Chebyshev多项式逼近

    三、修正的偶数阶Chebyshev函数

    四、Chebyshev综合

  • 理想响应

    nH

    f

    ( )2ωG

    采用Buttworth逼近函数

    ( ) ( ) ( )sSsSsG −=− 21212

    网络无耗

    ( ) ( )( )2

    *1111

    1 sGsSsS

    −−=

    分解反射函数非唯一,可实现性

    ( )sS11

    阻抗函数

    ( ) ( )( )sSsSZsZ in

    11

    110 1

    1m

    ±=

    阶梯电抗网络

  • ( ) ( )sjTHsG

    n

    n

    −+=− 22

    2

    1 ε

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )sjTsjTHsGsSsS

    n

    nn

    −+−+−

    =−−=− 2222

    21111 1

    11ε

    ε

    令:nH−

    =1

    ˆ2

    2 εε

    ( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( )

    ( ) ( )( )( ) ( )( ) ( )sCsC

    sDsDsjTsjTH

    sjT

    sjTHHsSsS

    nn

    nn

    n

    nn

    n

    nn

    n

    −−

    =

    −+−+

    −=

    −+

    −−

    +−=−

    22

    22

    22

    22

    1111

    1ˆ11

    11

    11

    εε

    ε

    ε

  • ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )sCsCsDsDsSsS

    nn

    nn

    −−

    =−1111

    ( ) ( )( )sCsDsS

    n

    n±=11

    显然,分解非唯一;必须保证分母的根在左半平面。

  • 【例】综合n=2的Chebyshev低通网络

    ( ) ( )sjTHsG

    n

    n

    −+=− 22

    2

    1 ε

    ( ) ( ) 1212 222 −−=−−=− ssjsjT

    ( ) ( )14411

    2422

    +++=−

    sssG

    ε

    ( ) ( ) ( )

    2

    224

    22

    2421111

    4121

    144111

    εε

    ε

    +++

    +

    =

    +++−=−

    ss

    s

    sssSsS

  • ( ) ( )( )

    ( ) ( )bsasbsasss

    sSsS+−⋅++

    +−⋅

    +

    =− 22

    22

    111121

    21

    待定系数a,b,得到

    +=

    −=

    εε

    ε

    21

    111

    2

    2

    b

    a

    ( )bsas

    ssS

    ++

    += 2

    2

    1121

  • ( ) ( )( )21

    212

    11

    2

    11

    11

    −+

    +++=

    +−

    =bsa

    bsas

    sSsSsZin

    sa2

    21

    +b

    21

    −b

    0

    sb

    a

    21

    +

    212 2 +++ bsas

    21

    −+ bsa

    sa

    bs 122 2 −+

    122 −= ba

    21

    −+ bsa

    sa

    21

    +b

    2121

    +

    b

    b

    21

    +b

  • sa2

    sb

    a

    21

    +2121

    +

    b

    b