15044-14-507788793929

Kal-Lanjut-Smdl14PDparsiil

PERSAMAAN DIFERENSIAL PARSIAL

( P. D. PARSIAL )

Persamaan Diferensial Parsial adalah Persamaan Diferensial yang memuat

diferensial parsial.

Perbedaan antara P D biasa dengan P D Parsial:

P D Biasa P D Parsial

1. Ada 2 variabel Ada 3 variabel

( Satu variable terikat, ( Satu variable terikat,

satu variable bebas.) dua variable bebas )

2. Penyelesaian PD: y = f(x) Penyelesaian PD: z = f(x,y)

3. Contoh PD: ( 2 variabel) Persamaan Gelombang:

a). a). ( 3 variabel)

b). x + y = x2 b). x + y = z z = √(x2+y2)

Perbedaan antara Diferensial Parsial dengan Diferensial Total:

Diferensial Parsial Diferensial Total

V = r2 h

= + δV = δr + δh

Jika z = f (x,y) dz = dx + dy.

∂z = lim f(x+∆x,y) – f(x,y) ∂x ∆x0 ∆x

∂z = lim f(x, y+∆y) – f(x, y) ∂y ∆y0 ∆y

Pusat Pengembangan Bahan Ajar - UMB SUMARDI H.SKALKULUS LANJUT

1


Dalam Persamaan Diferensial Parsial, kita akan menggunakan: x dan y sebagai

variabel bebas ( independent variable ), sedang z atau u sebagai variabel terikat

(dependent variable ), yaitu : z = f(x,y) atau U = f(x,y).

Untuk memudahkan penulisan, kita gunakan symbol-simbol: p, q, r, dan t seperti

berikut:

= p; = q ; = r ; = s ; = t

atau

= p; = q ; = r ; = s ; = t

Cara membentuk PD Parsial, dengan :

A. Cara eliminasi konstanta,

B. Cara eliminasi fungsi.

A. Cara eliminasi konstanta:

Contoh :

a). Bentuklah PD Parsial dari x2 + y2 + ( z – c )2 = a2.

Jawab:

x2 + y2 + ( z – c )2 = a2.

Diferensial ke-x, ( berarti y dianggap konstanta )

diperoleh: 2x + 0 + 2 ( z-c) = 0

atau 2x + 0 + 2 ( z-c) p = 0 ..............( i )

Diferensial ke-y, ( berarti x dianggap konstanta )

diperoleh: 0 + 2y + 2 ( z-c) = 0

atau 2x + 0 + 2 ( z-c) q = 0 .............( ii )

( i ) x q - ( ii ) x p, diperoleh:

x q – y p = 0

atau x - y = 0 ( PD Parsial )


2


B. Cara eliminasi fungsi:

Contoh :

a). Bentuklah PD Parsial dari z = f( x2 – y2 ).

Jawab:

z = f( x2 – y2 ).

Diferensial ke-x, ( berarti y dianggap konstanta )

diperoleh: = p = f1( x2 – y2 ).2x ..............( i )

Diferensial ke-y, ( berarti x dianggap konstanta )

diperoleh: = q = f1( x2 – y2 ).2y ..............( ii )

diperoleh = =

atau - p y = q x x q + y p = 0

x + y = 0 ( PD Parsial )

METODE-METODE PENYELESAIAN P.D. PARSIAL

METODE INTEGRAL LANGSUNG

Contoh :

1). Selesaikan PD Parsial : = cos ( 2x – 3y )

Jawab : = = cos ( 2x – 3y )

Integralkan ke-x, diperoleh: = ∫ cos ( 2x – 3y ) dx

= ½ sin ( 2x – 3y ) + F(y)

Integralkan ke-y, diperoleh: z = ∫ { ½ sin ( 2x – 3y ) + F(y) } dy

Atau z = f(x,y) = 1/6 cos ( 2x – 3y ) + H(y) + G(x)


3


2). Selesaikan PD Parsial : = x2 y, z = f(x, y)

Dengan syarat f(x,0) = x2 dan f(1,y) = cos y

Jawab: = = = x2 y

Integralkan ke-y, diperoleh: = ∫ x2 y dy

= ½ x2 y2 + F(x)

Integralkan ke-x, diperoleh: z = ∫ { ½ x2 y2 + F(x) } dx

Atau z = f(x,y) = 1/6 x3 y2 + G(x)+ H(y) ...............(1)

f(x, 0) = 0 + G(x) + H(0) = x2

G(x) = x2 - H(0) ………….(2)

f(1,y) = 1/6 y2 + G(1)+ H(y) = cos y

H(y) = cos y – 1/6 y2 – G(1) ................(3)

(2) & (3) masuk (1), diperoleh:

z = f(x,y) = 1/6 x3 y2 + x2 - H(0) + cos y – 1/6 y2 – G(1)

Dari (2) untuk x=1, diperoleh G(1) = 1 – H(0) -H(0) –G(1) = -1

Jadi z = f(x,y) = 1/6 x3 y2 + x2 + cos y – 1/6 y2 -1 //

CONTOH-CONTOH PD PARSIAL DALAM BENTUK PRAKTIS:

1. Persamaan Gelombang :

2. Persamaan Gelombang Radio :

3. Persamaan Panas ( heat flow )

untuk dimensi satu :

4. Persamaan Panas ( heat flow )

untuk dimensi dua : = 0

METODE PENYELESAIAN PD PARSIAL BENTUK PRAKTIS


4


A. Metode Pemisalan U =

B. Metode Pemisahan Variabel: U = X Y, X = X(x), Y = Y(y)

= X1 Y ; = X Y1

A. Metode Pemisalan U =

Contoh:

1. Selesaikan PD Parsial 2 + 3 = 2 U

Jawab :

Misal U =

= a ;

= b

Jadi PD Parsial : 2 + 3 = 2 U menjadi

2 a + 3 b = 2

Atau 2 a + 3 b = 2 a = 1 – 3/2 b

Jadi U = = =

Jadi Penyelesaian Umum:

U = F( 2y – 3x ) //

2. Selesaikan PD Parsial = 4 , U(0,y) = sin 2y

Jawab :

Misal U =

= a ;


5


= b

= 4 a = 4 b a = 4b

Jadi: U = = = F( 4x + y)

Karena diketahui U(0,y) = F( 4.0+y) = F(y) = sin 2 y, maka

U = F( 4x + y) = sin 2( 4x + y) = sin (8x +2y) //

3. Selesaikan PD Parsial + 2 = 0, U(x, 0) = x + cos 3x

Jawab :

Misal U =

= a ;

= b

Jadi PD Parsial : + 2 = 0 menjadi

a + 2 b = 0

Atau a + 2 b = 0 a = - 2 b

Jadi U = = = F( y – 2x )

Karena diketahui U(x, 0) = F( 0 – 2x ) = F(-2x) = x + cos 3x

Misal - 2 x = m x = - ½ m F ( m ) = - ½ m + cos ( - 3/2 m)

Jadi U = F ( y- 2x ) = - ½ ( y – 2 x ) + cos ( - 3/2 ( y – 2x ) )

U = x - ½ y + cos 3 ( x – ½ y ) //


6


B. Metode Pemisahan Variabel U = X Y, X = X(x), Y = Y(y)

= X1 Y ; = X Y1

Contoh:

1. Selesaikan PD Parsial = 4 , U(0,y) = 8

Jawab :

Misal U = X Y = X1 Y ; = X Y1

Jadi PDP menjadi X1 Y = 4 X Y1 atau

= 4 = k ( konstanta )

= k dan 4 = k

X = C1 dan Y = C2 , sehingga:

U(x,y) = U = X Y = C1 . C2 = C , C = C1C2

Karena U(0,y) = 8 = C = C , maka

Dari identitas diperoleh : C = 8, k/4 = -3 k = -12

Jadi Penyelesaian PDP adalah U(x,y) = 8 //

2. Selesaikan PD Parsial + U = , U(ix,0) = 4

Jawab :

Misal U = X T = X1 T ; = X T1

Jadi PDP menjadi X1 T + XT = X T1 atau

+ 1 = = k ( konstanta )

+ 1 = k dan = k

i


7


X = C1 dan Y = C2 , sehingga:

U(x,t) = U = X T = C1 . C2 = C , C = C1C2

Karena U(x,0) = 4 = C = C , maka

Dari identitas diperoleh : C = 4, k - 1 = -3 k = -2

Jadi Penyelesaian PDP adalah U(x,y) = 4 //

SOAL-SOAL LATIHAN

1. Selesaikan PD Parsial 4 + = 3 u , u(0,x) = 3 -

Ans.: u = -

2. Selesaikan PD Parsial x + y = 0

Ans.: u = c

3. Selesaikan PD Parsial - 2 += u ; syarat : u(x,0) = 3 + 2

Ans.: u = 3 + 2

4. Selesaikan PD Parsial 4 + = 3 u, u(0,y) =

Ans.: u =


8

Documents

15044-14-507788793929