151299111 Zbirka Zadataka Iz Automatskog Upravljanja

  • View
    105

  • Download
    14

Embed Size (px)

Transcript

  • UNIVERZITET U BEOGRADU

    FIZIKI FAKULTET

    Doc. dr Stevan Stojadinovi

    ZBIRKA ZADATAKA

    IZ

    AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

    BEOGRAD, 2008.

  • SADRAJ

    1. LAPLASOVE TRANSFORMACIJE............................................................................1

    2. PRENOSNA FUNKCIJA

    SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA........................................................18

    3. VREMENSKE I FREKVENTNE KARAKTERISTIKE

    SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA .......................................................76

    4. METOD PROSTORA STANJA..................................................................................90

    5. TANOST I STABILNOST

    SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA .....................................................115

    6. LITERATURA...........................................................................................................138

  • LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

    1

    1. LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

    Laplasove transformacije zasnivaju se na integralima:

    [ ] ==0

    stdte)t(f)t(fL)s(F (1)

    [ ] dse)s(Fj2

    1)s(FL)t(fj

    j

    st1 +

    == (2)

    gde su:

    L operator direktne Laplasove transformacije 1L operator inverzne Laplasove transformacije

    s = + j kompleksna promenjiva Laplasove transformacije F(s) kompleksni lik funkcije )t(f

    f(t) original funkcije )s(F

    Integral (1) predstavlja direktnu Laplasovu transformaciju i prevodi vremensku funkciju

    f(t) u kompleksnu funkciju F(s), dok integral (2) predstavlja inverznu Laplasovu

    transformaciju i prevodi kompleksnu funkciju F(s) u vremensku funkciju f(t).

    Egzistencija integrala (1) zavisi od oblika funkcije f(t) i vrednosti . Laplasova transformacija funkcije f(t) postoji samo za o> . Veliina o naziva se apcisa apsolutne konvergencije i predstavlja minimalnu (realnu i pozitivnu) vrednost .consto == koja obezbeuje konvergenciju integrala funkcije f(t):

    0 Laplasova transformacija je:

    [ ])s(s

    e1L t +=

  • LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

    3

    4. Prostoperiodine sinusne i kosinusne funkcije

    Za sinusnu funkciju Laplasova transformacija je:

    [ ]

    220

    t)sj(t)sj(0

    sttj

    0

    sttjtjtj

    sjs1

    js1

    j21

    sje

    sje

    j21

    dtej2

    edtej2

    ej2

    ej2

    eL)tsin(L

    +=

    +=

    =

    ==

    =

    +

    Za kosinusnu funkciju Laplasova transformacija je:

    [ ] 22tjtj

    ss

    2e

    2eL)tcos(L +=

    +=

    1.2. Osobine direktne Laplasove transformacije

    1. Teorema linearnosti

    [ ] )s(Fa)s(Fa)t(fa)t(faL 22112211 +=+ , ( 21 a,a R) 2. Teorema o izvodu originala (realno diferenciranje)

    =

    +

    +

    =

    =

    n

    1k

    )1k(knnn

    n)0(fs)s(Fs)t(f

    dtdL

    )0(f)s(sF)t(fdtdL

    3. Teorema o integralu originala (realno integraljenje)

    [ ]s

    )s(Fdt)t(fL

    s

    dt)t(f

    s)s(Fdt)t(fL

    t

    0

    0

    =

    +=

    +

    4. Teorema o izvodu kompleksnog lika (kompleksno diferenciranje)

    [ ][ ] )s(F

    dsd)1()t(ftL

    )s(Fdsd)t(tfL

    n

    nnn =

    =

    5. Kompleksno integraljenje

    =

    s

    ds)s(Ft

    )t(fL

  • LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

    4

    6. Teorema kanjenja (realna translacija)

    [ ] )s(Fe)at(fL as= , a > 0 7. Teorema pomeranja (kompleksna translacija)

    [ ] )s(F)t(feL t += 8. Teorema slinosti

    [ ]

    =asF

    a1)at(fL

    9. Teorema o poetnoj vrednosti

    =

    s0t)s(sFlim)t(flim

    10. Teorema o konanoj vrednosti

    0st

    )s(sFlim)t(flim

    =

    11. Konvolucija originala

    Ako je funkcija f(t) data konvolucionim integralom

    =t

    021 d)(f)t(f)t(f

    tada je:

    [ ] )s(F)s(F)t(fL)s(F 21== 12. Parsevalova teorema

    =0

    j

    j

    2 ds)s(F)s(Fj2

    1dt)t(f

    1.3. Nalaenje inverzne Laplasove transformacije

    Inverzna Laplasova transformacija zasniva se na integralu (2). Integraljenje se vri du

    prave =)s(Re izabrane tako da se svi polovi funkcije F(s) nalaze levo od nje. U svim sluajevima od interesa u automatskom upravljanju funkcija F(s) se moe prikazati u obliku

    racionalne razlomljene funkcije:

    011n

    1nn

    n

    011m

    1mm

    m

    asa...sasabsb...sbsb

    )s(Q)s(P)s(F ++++

    +++== (4)

  • LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

    5

    gde su P(s) i Q(s) polinomi po s, pri emu je stepen polinoma u brojitelju manji ili jednak

    stepenu polinoma u imenitelju )nm( . Nule polinom P(s) i Q(s) nazivaju se nule i polovi funkcije F(s). Poto su P(s) i Q(s) polinomi sa realnim koeficijentima, njihove nule, odnosno

    nule i polovi funkcije F(s) mogu biti ili realni, ili u konjugovano kompleksnim parovima.

    Tada se inverzna Laplasova transformacija moe nai razvojem funkcije F(s) u parcijalne

    razlomke (Heaviside ov razvoj) ili primenom Koijeve teoreme ostataka. U mnogim

    sluajevima inverzna Laplasova transformacija moe se nai u tablicama Laplasovih

    transformacionih parova.

    1.2.1. Metoda parcijalnih razlomaka

    Funkcija (4) moe se napisati u obloku:

    )ss()ss)(ss(A)s(P

    )s(Q)s(P)s(F

    n21 == (5)

    Mogui su sledei sluajevi:

    a) koreni su meusobno razliiti:

    Funkcija F(s) moe se tada prikazati u obliku:

    =

    =+++=n

    1k k

    k

    n

    n

    2

    2

    1

    1ss

    Kss

    Kss

    Kss

    K)s(F (6)

    gde su K1, K2, Kn konstantni koeficijenti. Mnoenjem jednaine (6) sa )ss( k i prelaenjem na graninu vrednost dobija se:

    )s(Q)s(P)ss(lim

    ssK)ss(lim k

    ss

    n

    1k k

    kk

    ss kk= = (7)

    odnosno:

    ksskk )s(Q

    )s(P)ss(K

    =

    = (8)

    Inverzna Laplasova transformacija funkcije F(s) odreuje se na taj nain to se za svaki

    lan parcijalnog razlomka (6) odredi inverzna transformacija:

    ==

    =

    =n

    1k

    tsk

    n

    1k k

    k1 keKss

    KL)t(f (9)

  • LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

    6

    Ako su neki koreni kompleksni, oni se javljaju u konjugovanim parovima. Neka su

    kkk js += i kk*k1k jss ==+ . Tada se funkcija (6) moe prikazati u obliku:

    )s(Q)s(P

    ssK

    ssK

    )s(Q)ss)(ss()s(P)s(F

    1*k

    1k

    k

    k

    1*kk

    ++==+ (10)

    Za koeficijente Kk i Kk+1 dobija se:

    )s(Q2j)s(P

    )s(Q)ss()s(P

    )s(Q)s(P)ss(K

    k1k

    k

    k1*kk

    k

    sskk

    k==

    =

    = (11)

    )s(Q2j)s(P

    )s(Q)ss()s(P

    )s(Q)s(P)ss(K *

    k1k

    *k

    *k1k

    *k

    *k

    ss

    *k1k

    *k

    ==

    ==

    + (12)

    Kompleksni koeficijenti Kk i Kk+1 su konjugovani:

    kjkkkk eKjyxK

    =+= kj

    kkk*k1k eKjyxKK

    + ===

    gde je k

    kk x

    yarctg= .

    Pri nalaenju inverzne Laplasove transformacije funkcije F(s) lanovi zbira sa

    kompleksnim korenima se objedinjuju. Tada je:

    )tcos(eK2eeKeeKss

    Kss

    KL kkt

    k)t(jt

    k)t(jt

    k*k

    *k

    k

    k1 kkkkkkk +=+=

    +++

    b) koreni su viestruki

    Kada se koreni polinoma u imenitelju funkcije (5) ponavljaju, ona se moe napisati u

    obliku:

    n21 m

    nm

    2m

    1 )ss()ss()ss(A)s(P

    )s(Q)s(P)s(F == (13)

    Svaki koren sk multipliciteta mk moe se napisati u obliku:

    = +

    =+++k

    k

    k

    kk

    m

    1j1jm

    k

    kj

    k

    km1m

    k

    2km

    k

    1k

    )ss(

    Kss