151299111 Zbirka Zadataka Iz Automatskog Upravljanja

UNIVERZITET U BEOGRADU

FIZIČKI FAKULTET

Doc. dr Stevan Stojadinović

ZBIRKA ZADATAKA

IZ

AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

BEOGRAD, 2008.

SADRŽAJ

1. LAPLASOVE TRANSFORMACIJE............................................................................1

2. PRENOSNA FUNKCIJA

SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA........................................................18

3. VREMENSKE I FREKVENTNE KARAKTERISTIKE

SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA .......................................................76

4. METOD PROSTORA STANJA..................................................................................90

5. TAČNOST I STABILNOST

SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA .....................................................115

6. LITERATURA...........................................................................................................138

LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

1

1. LAPLASOVE TRANSFORMACIJE

Laplasove transformacije zasnivaju se na integralima:

[ ] ∫∞

−==0

stdte)t(f)t(fL)s(F (1)

[ ] dse)s(Fj2

1)s(FL)t(fj

j

st1 ∫∞+σ

∞−σ

−

π== (2)

gde su:

L – operator direktne Laplasove transformacije 1L− – operator inverzne Laplasove transformacije

s = σ + jω – kompleksna promenjiva Laplasove transformacije

F(s) – kompleksni lik funkcije )t(f

f(t) – original funkcije )s(F

Integral (1) predstavlja direktnu Laplasovu transformaciju i prevodi vremensku funkciju

f(t) u kompleksnu funkciju F(s), dok integral (2) predstavlja inverznu Laplasovu

transformaciju i prevodi kompleksnu funkciju F(s) u vremensku funkciju f(t).

Egzistencija integrala (1) zavisi od oblika funkcije f(t) i vrednosti σ. Laplasova

transformacija funkcije f(t) postoji samo za oσ>σ . Veličina oσ naziva se apcisa apsolutne

konvergencije i predstavlja minimalnu (realnu i pozitivnu) vrednost .consto =σ=σ koja

obezbeđuje konvergenciju integrala funkcije f(t):

∫∞

σ− ∞<0

tdte)t(f , oσ≥σ (3)

Laplasove transformacije imaju veliku primenu u analizi i sintezi sistema, u rešavanju

sistema diferencijalnih jednačina sa konstantnim koeficijentima, kao i u nalaženju prenosne

funkcije sistema.


2

1.1. Laplasove transformacije osnovnih funkcija

1. Heaviside - ova funkcija

Ova funkcija je poznata i pod imenom jedinična odskočna funkcija. Data je relacijom:

⎩⎨⎧

=01

)t(U 0t0t

<≥

Laplasova transformacija Heaviside - ove funkcije je:

[ ]s1e

s1dte)t(UL

0

st

0

st =−==∞

−∞

−∫

2. Dirac - ova delta funkcija

Ova funkcija je poznata i pod imenom jedinična impulsna funkcija. Data je relacijom:

⎪⎩

⎪⎨

⎧∞=δ

0)t(

0t

0t

≠

=

Pri tome je:

∫∞

=δ0

1dt)t(

Laplasova transformacija Dirac - ove delta funkcije je:

[ ] ∫ ∫∞ ∞

=−− =δ=δ=δ

0 00t

stst 1dt)t(|edte)t()t(L

3. Eksponencijalne funkcije

Za opadajuću eksponencijalnu funkciju datu relacijom:

)t(Ue)t(f tα−= , α > 0

Laplasova transformacija je:

[ ]α+

=α+

−==∞

α+−∞

−α−α− ∫ s1e

s1dteeeL

0

t)s(

0

sttt

Za rastuću eksponencijalnu funkciju datu relacijom:

)t(U)e1()t(f tα−−= , α > 0

Laplasova transformacija je:

[ ])s(s

e1L t

α+α

=− α−


3

4. Prostoperiodične sinusne i kosinusne funkcije

Za sinusnu funkciju Laplasova transformacija je:

[ ]

220

t)sj(t)sj(0

sttj

0

sttjtjtj

sjs1

js1

j21

sje

sje

j21

dtej2

edtej2

ej2

ej2

eL)tsin(L

ω+

ω=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡ω+

−ω−

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−ω−−

−ω=

=−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=ω

∞+ω−−ω

∞−

ω−∞−

ωω−ω

∫∫

Za kosinusnu funkciju Laplasova transformacija je:

[ ] 22

tjtj

ss

2e

2eL)tcos(L

ω+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=ω

ω−ω

1.2. Osobine direktne Laplasove transformacije

1. Teorema linearnosti

[ ] )s(Fa)s(Fa)t(fa)t(faL 22112211 +=+ , ( 21 a,a ∈R)

2. Teorema o izvodu originala (realno diferenciranje)

∑=

+−−

+

−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

n

1k

)1k(knnn

n)0(fs)s(Fs)t(f

dtdL

)0(f)s(sF)t(fdtdL

3. Teorema o integralu originala (realno integraljenje)

[ ]

s)s(Fdt)t(fL

s

dt)t(f

s)s(Fdt)t(fL

t

0

0

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+=

∫

∫∫

+

4. Teorema o izvodu kompleksnog lika (kompleksno diferenciranje)

[ ]

[ ] )s(Fdsd)1()t(ftL

)s(Fdsd)t(tfL

n

nnn −=

−=

5. Kompleksno integraljenje

∫∞

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

sds)s(F

t)t(fL


4

6. Teorema kašnjenja (realna translacija)

[ ] )s(Fe)at(fL as−=− , a > 0

7. Teorema pomeranja (kompleksna translacija)

[ ] )s(F)t(feL t α+=α−

8. Teorema sličnosti

[ ] ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

asF

a1)at(fL

9. Teorema o početnoj vrednosti

∞→→=

s0t)s(sFlim)t(flim

10. Teorema o konačnoj vrednosti

0st

)s(sFlim)t(flim→∞→

=

11. Konvolucija originala

Ako je funkcija f(t) data konvolucionim integralom

∫ τττ−=t

021 d)(f)t(f)t(f

tada je:

[ ] )s(F)s(F)t(fL)s(F 21==

12. Parsevalova teorema

∫ ∫∞ ω

ω−

−π

=0

j

j

2 ds)s(F)s(Fj2

1dt)t(f

1.3. Nalaženje inverzne Laplasove transformacije

Inverzna Laplasova transformacija zasniva se na integralu (2). Integraljenje se vrši duž

prave σ=)s(Re izabrane tako da se svi polovi funkcije F(s) nalaze levo od nje. U svim

slučajevima od interesa u automatskom upravljanju funkcija F(s) se može prikazati u obliku

racionalne razlomljene funkcije:

011n

1nn

n

011m

1mm

m

asa...sasabsb...sbsb

)s(Q)s(P)s(F

++++

+++== −

−

−− (4)


5

gde su P(s) i Q(s) polinomi po s, pri čemu je stepen polinoma u brojitelju manji ili jednak

stepenu polinoma u imenitelju )nm( ≤ . Nule polinom P(s) i Q(s) nazivaju se nule i polovi

funkcije F(s). Pošto su P(s) i Q(s) polinomi sa realnim koeficijentima, njihove nule, odnosno

nule i polovi funkcije F(s) mogu biti ili realni, ili u konjugovano kompleksnim parovima.

Tada se inverzna Laplasova transformacija može naći razvojem funkcije F(s) u parcijalne

razlomke (Heaviside – ov razvoj) ili primenom Košijeve teoreme ostataka. U mnogim

slučajevima inverzna Laplasova transformacija može se naći u tablicama Laplasovih

transformacionih parova.

1.2.1. Metoda parcijalnih razlomaka

Funkcija (4) može se napisati u obloku:

)ss()ss)(ss(A)s(P

)s(Q)s(P)s(F

n21 −⋅⋅⋅−−== (5)

Mogući su sledeći slučajevi:

a) koreni su međusobno različiti:

Funkcija F(s) može se tada prikazati u obliku:

∑= −

=−

+⋅⋅⋅+−

+−

=n

1k k

k

n

n

2

2

1

1ss

Kss

Kss

Kss

K)s(F (6)

gde su K1, K2,… Kn konstantni koeficijenti. Množenjem jednačine (6) sa )ss( k− i

prelaženjem na graničnu vrednost dobija se:

)s(Q)s(P)ss(lim

ssK)ss(lim k

ss

n

1k k

kk

ss kk

−=−

−→=→

∑ (7)

odnosno:

ksskk )s(Q

)s(P)ss(K

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−= (8)

Inverzna Laplasova transformacija funkcije F(s) određuje se na taj način što se za svaki

član parcijalnog razlomka (6) odredi inverzna transformacija:

∑∑==

− =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=

n

1k

tsk

n

1k k

k1 keKss

KL)t(f (9)


6

Ako su neki koreni kompleksni, oni se javljaju u konjugovanim parovima. Neka su

kkk js β+α−= i kk*k1k jss β−α−==+ . Tada se funkcija (6) može prikazati u obliku:

)s(Q)s(P

ssK

ssK

)s(Q)ss)(ss()s(P)s(F

1*k

1k

k

k

1*kk

+−

+−

=−−

= + (10)

Za koeficijente Kk i Kk+1 dobija se:

)s(Q2j)s(P

)s(Q)ss()s(P

)s(Q)s(P)ss(K

k1k

k

k1*kk

k

sskk

kβ

=−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

=

(11)

)s(Q2j)s(P

)s(Q)ss()s(P

)s(Q)s(P)ss(K *

k1k

*k

*k1k

*k

*k

ss

*k1k

*k

β−=

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

=+ (12)

Kompleksni koeficijenti Kk i Kk+1 su konjugovani:

kjkkkk eKjyxK ϕ=+=

kjkkk

*k1k eKjyxKK ϕ−

+ =−==

gde je k

kk x

yarctg=ϕ .

Pri nalaženju inverzne Laplasove transformacije funkcije F(s) članovi zbira sa

kompleksnim korenima se objedinjuju. Tada je:

)tcos(eK2eeKeeKss

Kss

KL kkt

k)t(jt

k)t(jt

k*k

*k

k

k1 kkkkkkk ϕ+β=+=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−+

−α−ϕ+β−α−ϕ+βα−−

b) koreni su višestruki

Kada se koreni polinoma u imenitelju funkcije (5) ponavljaju, ona se može napisati u

obliku:

n21 m

nm

2m

1 )ss()ss()ss(A)s(P

)s(Q)s(P)s(F

−⋅⋅⋅−−== (13)

Svaki koren sk multipliciteta mk može se napisati u obliku:

∑=

+−− −=

−+⋅⋅⋅+

−+

−

k

k

k

kk

m

1j1jm

k

kj

k

km1m

k

2km

k

1k

)ss(

Kss

K

)ss(K

)ss(K (14)

odnosno za celu funkciju F(s) dobija se:

∑∑=

+−= −

=k

k

m

1j1jm

k

kjn

1k )ss(

K)s(F (15)


7

Koeficijenti korena sk određuju se tako što se jednačina (15) pomnoži sa kmk )ss( − i stavi

kss = :

[ ] [ ] 1kss1m

kkm2

k3kk2k1kssm

k K)ss(K)ss(K)ss(KK)s(F)ss(k

k

kk

k =−+⋅⋅⋅+−+−+=−=

−=

Diferenciranjem ovog izraza po s, pre prelaska na graničnu vrednost, i smenom kss = ,

dobija se:

[ ] 2kss2m

kkmkk3k2kss

mk K)ss(K)1m()ss(K2K)s(F)ss(

dsd

k

k

k

k

k =−−+⋅⋅⋅+−+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −

=−

=

Za nalaženje opšteg koeficijenta kjK diferenciranje treba produžiti do (mk-1 )-og izvoda, a

zatim staviti kss = . Tada je:

k

k

ss

mk1j

1j

kj )s(F)ss(dsd

)!1j(1K

=−

−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−

−= , j = 1,2, …mk (16)

Sa poznatim koeficijentima Kkj, inverzna transformacija funkcije (13) postaje:

tsjmm

1j k

kjn

1k

kkk

et)!jm(

K)t(f −

==∑∑ −

= (17)


8

TABLICA LAPLASOVIH TRANSFORMACIONIH PAROVA

No F(s) f(t) , t ≥ 0

1 1 )t(δ

2 ns1 , ,...3,2,1n =

!−

−

)1n(t 1n

3 n)s(

1α+

t1n

e)1n(

t α−−

!−

4 1n

n

)s(s

+α+ ∑

=

α−

!!−

α−!n

0k

k2

kt t

)k()kn()(ne

5 )s)(s(

1γ+α+

α−γ

− γ−α− tt ee

6 )s)(s(

as oγ+α+

+

α−γγ−−α− γ−α− t

ot

o e)a(e)a(

7 2

o

)s(asα+

+ [ ] t

o e1t)a( α−+α−

8 )s)(s)(s(

1δ+γ+α+

))((

e))((

e))((

e ttt

δ−γδ−α+

γ−δγ−α+

α−δα−γ

δ−γ−α−

9 2s)s(

1α+

2

t 1teα

−α+α−

10 )s)(s)(s(

as oδ+γ+α+

+ ))((

e)a())((

e)a())((

e)a( to

to

to

δ−γδ−αδ−

+γ−δγ−α

γ−+

α−δα−γα− δ−γ−α−

11

s)s(as

2o

α+

+ t

2oo

2o e)

at

a(

a α−

α−

α−α

+α

12 22s

1β+

)tsin(1β

β

13 22s

1β−

)t(sh1β

β

14 22s

sβ+

)tcos(β


9

15 22s

sβ−

)t(ch β

16 22)s(

1β+α+

)tsin(e1 t ββ

α−

17 22)s(

sβ+α+

α+ )tcos(e t βα−

18 ])s)[(s(

122 β+α+γ+

)tsin(e)(

1)(

e t2222

tψ−β

β+α−γβ+

β+α−γα−

γ−

α−γβ

=ψ arctg

19 ])s)[(s(

as22

o

β+α+γ+

+ )tsin(e)()a(1

)(e)a( t

22

22o

22

to ψ+β

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

β+α−γ

β+α−β

+β+α−γ

γ− α−γ−

α−γβ

−α−

β=ψ arctg

aarctg

o

20 ase− )at( −δ

21

se as−

)at(U −

22 2

as

se−

)at(U)at( −−

23

α+

−

se as

)at(Ue )at( −−α−

24 2

as

)s(eα+

− )at(Ue)at( )at( −− −α−

25

)s)(s(e as

γ+α+

− )at(Uee )at()at(

−⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

α−γ− −γ−−α−

26

se1 as−−

)at(U)t(U −−

27

see bsas −− −

)bt(U)at(U −−−

28 2

as

ase)as( −+ )at(U)a

a1t( −−−


10

1.1) Odrediti Laplasovu transformaciju funkcije:

( ) )t(Ut3sin2t2cosete)t(f t t −+= −−

Rešenje:

[ ] [ ] [ ] [ ]

9s6

4)1s(1s

)1s(1

9s32

4)1s(1s

1s1

dsd

t3sinL2t2coseLteL)t(fL)s(F

22222

t t

+−

+++

++

=+

−++

++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

=−+== −−

(1.1.1)

1.2) Koristeći integral konvolucije odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

)2s)(1s(

1)s(F++

=

Rešenje:

Prenosna funkcija se može napisati u obliku:

)s(F)s(F)s(F 21= (1.2.1)

gde su:

1s1)s(F1 +

= (1.2.2)

2s1)s(F2 +

= (1.2.3)

Tada je:

[ ] )t(Ue)s(FL)t(f t1

11

−− == (1.2.4)

[ ] )t(Ue)s(FL)t(f 2t 2

12

−− == (1.2.5)

Korišteći integral konvolucije dobija se:

[ ] ( ) )t(Ue1edeedeed)(f)t(f)s(FL)t(f t tt

0

t

o

t

0

t2 )-(t 21

1 −−τ−−τ−τ−− −=τ=τ⋅=τττ−== ∫∫ ∫ (1.2.6)

1.3) Odrediti inverznu Laplasovu transformaciju funkcije:

)1s)(5s(

7s)s(F+−

+=


11

Rešenje:

Primenom Heaviside – ovog razvoja prenosna funkcija se može napisati u obliku:

1sK

5sK

)1s)(5s(7s)s(F 21

++

−=

+−+

= (1.3.1)

Koeficijenti K1 i K2 su:

[ ] 21s7s)s(F)5s(K 5s5s1 =

++

=−= == (1.3.2)

[ ] 15s7s)s(F)1s(K 1s1s2 −=

−+

=+= −=−= (1.3.3)

Tada je:

1s1

5s2)s(F

+−

−= (1.3.4)

[ ] ( ) )t(Uee2)s(FL)t(f tt51 −− −== (1.3.5)


)2s)(1s(s

1s)s(F2

+++

=

Rešenje:

2sK

1sK

sK

)2s)(1s(s1s)s(F 321

2

++

++=

+++

= (1.4.1)

[ ]21

)2s)(1s(1s)s(sFK

0s

2

0s1 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++

===

= (1.4.2)

[ ] 2)2s(s

1s)s(F)1s(K1s

2

1s2 −=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

=+=−=

−= (1.4.3)

[ ]25

)1s(s1s)s(F)2s(K

2s

2

2s3 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

=+=−=

−= (1.4.4)

2s1

25

1s2

s1

21)s(F

+⋅+

+−⋅= (1.4.5)

[ ] )t(Ue25e2

21)s(FL)t(f t2t1 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−== −−− (1.4.6)


12


)2s2s(s

2s)s(F 2 ++

+=

Rešenje:

[ ][ ] )j1(sK

)j1(sK

sK

)j1(s )j1(ss2s

)2s2s(s2s)s(F 321

2 −−−+

+−−+=

−−−+−−+

=++

+= (1.5.1)

[ ][ ] 1)j1(s )j1(s

2sK0s

1 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−+−−

+=

=

(1.5.2)

[ ] 21

)j1(ss2sK

j1s2 −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−

+=

+−=

(1.5.3)

[ ] 21

)j1(ss2sK

j1s3 −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−

+=

−−=

(1.5.4)

)j1(s1

21

)j1(s1

21

s1)s(F

−−−⋅−

+−−⋅−= (1.5.5)

[ ] [ ]

( ) )t(Utcose1)t(U2eee1

)t(Uee21)t(U)s(FL)t(f

tjtjt

t

t)j1(t)j1(1

−−

−

−−+−−

−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ +−=

=+−==

(1.5.6)


)1s)(8s4s(

7s3s)s(F 2

2

+++

++=

Rešenje:

[ ][ ]

1sK

)j22(sK

)j22(sK

)1s()j22(s )j22(s7s3s

)1s)(8s4s(7s3s)s(F

321

2

2

2

++

+++

−+=

=+++−+

++=

+++

++=

(1.6.1)

[ ] 2j

j22s

2

j22s1 e41j

41

)1s)(j22s(7s3s)s(F)j22s(K

π

+−=+−= =⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+++++

=−+= (1.6.2)


13

[ ] 2j

j22s

2

j22s2 e41j

41

)1s)(j22s(7s3s)s(F)j22s(K

π−

−−=−−= =⋅−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−+++

=++= (1.6.3)

[ ] 18s4s7s3s)s(F)1s(K

1s2

2

2s3 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

++

++=+=

−=−= (1.6.4)

1s1

j22se

j22se

41)s(F

2j

2j

++

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

−+⋅=

π−

π

(1.6.5)

[ ]

)t(Uet2sine21)t(Ue

2t2cose

21

)t(Ue2eee

21

)t(Ue)t(Ueeee41)s(FL)t(f

tt2tt2

t)

2t2(j)

2t2(j

t2

tt)j22(2jt)j22(2

j1

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ π

+⋅⋅=

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

⋅⋅=

=+⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡⋅+⋅⋅==

−−−−

−

π+−

π+

−

−+−π

−−−π

−

(1.6.6)


)2s()1s(

s4s3)s(F 2

2

+−

−=

Rešenje:

2sK

1sK

)1s(K

)2s()1s(s4s3)s(F 212

211

2

2

++

−+

−=

+−

−= (1.7.1)

[ ]31

2ss4s3)s(F)1s(K

1s

2

1s2

11 −=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+−

=−==

= (1.7.2)

( )

914

)2s()s4s3()2s)(s83(

2ss4s3

dsd)s(F)1s(

dsdK

1s2

21s

2

1s

212

−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

+

−−+−=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

=

== (1.7.3)

[ ]922

)1s(s4s3)s(F)2s(K

2s2

2

2s2 −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

−−

=+=−=

−= (1.7.4)


14

)2s(922

)1s(914

)1s(31)s(F 2 +

−−

−−

−= (1.7.5)

[ ] )t(Ue922e

914te

31)s(FL)t(f t2tt1 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−== −− (1.7.6)


23s)1s(1)s(F

+=

Rešenje:

sK

sK

1sK

)1s(K

)1s(K

s)1s(1)s(F 22

22113

212

311

23 +++

++

++

=+

= (1.8.1)

[ ] 1s1)s(F)1s(K

1s21s

311 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=+=

−=−= (1.8.2)

( ) 2s2

s1

dsd)s(F)1s(

dsdK

1s3

1s2

1s

312 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +=

−=−=−= (1.8.3)

( ) 3s6

21

s2

dsd

21)s(F)1s(

dsd

21K

1s4

1s3

1s

32

2

13 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⋅=

−=−=−=

(1.8.4)

[ ] 1)1s(

1)s(FsK0s

30s2

21 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡

+==

== (1.8.5)

( ) 3)1s(

3)1s(

1dsd)s(Fs

dsdK

0s4

0s3

0s

222 −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡

+

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

=== (1.8.6)

s3

s1

1s3

)1s(2

)1s(1)s(F 223 −+

++

++

+= (1.8.7)

[ ] )t(U3te3te2et21)s(FL)t(f ttt21 ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+++⋅== −−−− (1.8.8)

1.9) Primenom Laplasovih transformacija rešiti diferencijalnu jednačinu:

)t(Ut)t(y9dt

)t(dy6dt

)t(yd 32

2=+−

Poznato je: 0)t(y 0t == , 0dt

)t(dy0t =+= .


15

Rešenje:

Primenom direktne Laplasove transformacije diferencijalna jednačina postaje:

[ ] 40t0t0t2

s6)s(Y9)t(y)s(sY6

dt)t(dy)t(sy)s(Ys =+−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−

+=+=+= (1.9.1)

odnosno, posle smenjivanja brojnih vrednosti za početne uslove, dobija se:

3sK

)3s(K

sK

sK

sK

sK

)3s(s6

)9s6s(s6)s(Y 22

22114

213

312

411

2424 −+

−++++=

−=

+−= (1.9.2)

gde su:

[ ]32

)3s(6)s(YsK

0s20s

411 =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−==

==

( )94

)3s(12

)3s(6

dsd)s(Ys

dsdK

0s3

0s2

0s

412 =

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=

===

( )92

)3s(36

21

)3s(12

dsd

21)s(Ys

dsd

!21K

0s4

0s3

0s

42

2

13 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

===

( )818

)3s(144

61

)3s(36

dsd

61)s(Ys

dsd

!31K

0s5

0s4

0s

43

3

14 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

−

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

===

[ ]272

s6)s(Y)3s(K

3s43s

221 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=−==

=

( )818

s24

s6

dsd)s(Y)3s(

dsdK

3s5

3s4

3s

222 −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

===

Tada jednačina (1.9.2) postaje:

3s1

818

)3s(1

272

s1

818

s1

92

s1

94

s1

32)s(Y

2234 −⋅−

−⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= (1.9.3)

Primenom inverzne Laplasove transformacije dobija se rešenje diferencijalne jednačine:

)t(Ue818te

272

818t

92t

92t

91

)t(Ue818te

272

818t

92

!2t

94

!3t

32)t(y

t3t323

t3t323

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++++=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+++⋅+⋅=

(1.9.4)


16

1.10) Primenom Laplasovih transformacija naći zakon kretanja sistema sa slike 1.10. Poznato

je: M = 25kg, B = 75Nsm−1, K = 50Nm−1, Fo = 12.5N, ω = 4s−1, x ⎢t=0+ = 0, 10t ms2

dtdx −

+= = .

Rešenje:

Diferencijalna jednačina kretanja sistema sa slike 1.10 je:

tsinF)t(Kxdt

)t(dxBdt

)t(xdM o2

2ω=++ (1.10.1)

Primenom direktne Laplasove transformacije diferencijalna jednačina (1.10.1) postaje:

[ ]22

o

0t0t0t2

sMF

)s(XMK)t(x)s(sX

MB

dt)t(dx)t(sx)s(Xs

ω+

ω⋅=

=+−+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−

+=+=+= (1.10.2)

Posle smenjivanja brojnih vrednosti i početnih uslova dobija se:

16s34s2)s(X)2s)(1s()s(X)2s3s( 2

22

+

+=++=++ (1.10.3)

odnosno:

j4sK

j4sK

2sK

1sK

)16s)(2s)(1s(34s2)s(X 4321

2

2

++

−+

++

+=

+++

+= (1.10.4)

Konstante K1, K2, K3 i K4 su:

[ ]1736)s(X)1s(K

1s1 =+=−=

[ ]1021)s(X)2s(K

2s2 −=+=−=

[ ]5440e)s(X)j4s(K

j

j4s3

ϕ−

==−=

[ ]5440e)s(X)j4s(K

j

j4s4

ϕ

−==+=


17

gde je: 67arctg=ϕ . Tada je:

j4s1

5440e

j4s1

5440e

2s1

1021

1s1

1736)s(X

jj

+⋅+

−⋅+

+⋅−

+⋅=

ϕ+ϕ− (1.10.5)

Primenom inverzne Laplasove transformacije dobija se:

[ ] )t(Uee55401)t(Ue

1021)t(Ue

1736)t(x )t4(j)t4(jt2t ϕ−−ϕ−+−− +⋅+⋅−⋅= (1.10.6)

odnosno:

)t(U)t4cos(027.0e1021e

1736

)t(U2

ee13601)t(Ue

1021)t(Ue

1736)t(x

t2t

)jt4(j)t4(jt2t

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ϕ−⋅+⋅−⋅=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +⋅+⋅−⋅=

−−

ϕ−−ϕ−+−−

(1.10.7)

PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

18

2. PRENOSNA FUNKCIJA SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

Sistem automatskog upravljanja je aktivna mreža sačinjena od pasivnih i aktivnih

komponenata različite prirode (električne, mehaničke, termičke, pneumatske, hidraulične

itd.). Dinamičko ponašanje pojedinih komponenata sistema automatskog upravljanja opisuje

se integro – diferencijalnim jednačinama. Dinamičko ponašanje sistema sa jednom ulaznom

promenjivom x(t) i jednom izlaznom promenjivom y(t) dato je linearnom diferencijalnom

jednačinom sa konstantnim koeficijentima:

011n

1n

1nn

n

n011m

1m

1mm

m

m bdtdyb

dtdxb

dtdxba

dtdya

dtdya

dtdya ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++

−

−

−−

−

− (1)

Prelaskom u Laplasov domen, pod uslovom da su svi početni uslovi nula, jednačina (1)

postaje:

)s(X)bsbsbsb()s(Y)asasasa( 011n

1nn

n011m

1mm

m ++⋅⋅⋅++=++⋅⋅⋅++ −−

−− (2)

Prenosna funkcija sistema je:

)ps()ps)(ps()zs()zs)(zs(

Kasasasa

bsbsbsb)s(X)s(Y)s(G

m21

n21

011m

1mm

m

011n

1nn

n

−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−

=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++

==−

−

−− (3)

Kod fizički ostvarljivih sistema stepen polinoma u brojitelju manji je od stepena polinoma

u imenitelju n < m. Nule polinoma u brojitelju su nule prenosne funkcije, a nule polinoma u

imenitelju su polovi prenosne funkcije.

Prenosna funkcija linearnog sistema automatskog upravljanja obično se može prikazati u

obliku:

011k

1kk

kD

IP sscscsc

1)sKs

KK()s(X)s(Y)s(G

+⋅⋅⋅++⋅++==

−−

(4)

gde su:

KP – proporcionalna konstanta sistema

KI – integralna konstanta sistema

KD – diferencijalna konstanta sistema

Vrednost koeficijenta ck ≠ 0 određuju red sistema.


19

2.1. Algebra prenosnih funkcija

Algebra prenosnih funkcija predstavlja skup pravila koja omogućavaju da se nađe

prenosna funkcija složenog sistema automatskog upravljanja ako su poznate prenosne

funkcije njegovih komponenata. U strukturnom blok dijagramu promenjive sistema

predstavljene su linijskim segmentima, a funkcije prenosa između pojedinih promenjivih

blokovima (Slika 1).

2.1.1. Pravila algebre prenosnih funkcija

1) Redna veza

2) Paralelna veza

3) Povratna sprega

4) Premeštanje bloka iz direktnog kola


20

5) Premeštanje bloka iz povratnog kola

6) Pomeranje povratne sprege ispred bloka

7) Pomeranje povratne sprege iza bloka

8) Pomeranje diskriminatora ispred bloka

9) Pomeranje diskriminatora iza bloka


21

2.2. Graf toka signala

Graf toka signala je drugi način predstavljanja prenosnih funkcija složenog sistema

automatskog upravljanja. U grafu toka signala promenjive sistema predstavljaju se čvorovima

grafa, a funkcije prenosa orijentisanim granama (Slika 2).

2.2.1. Ekvivalentne transformacije grafa toka signala

1) Redna veza

2) Paralelna veza

3) Povratna sprega

4) Eliminacija petlje


22

2.1) Odrediti signal na izlazu blok dijagrama sa slike 2.1.

Rešenje:

Primenom principa superpozicije dobija se:

0XX0XX0XX 213132YYYY ====== ++= (2.1.1)

Za X2 = X3 = 0 strukturni blok dijagram sa slike 2.1 postaje:

Primenom pravila za povratnu spregu i rednu vezu signal 0XX 32Y == je:

12121

210XX X

HHGG1GG

Y32 −

=== (2.1.2)

Za 0XX 31 == strukturni blok dijagram sa slike 2.1 postaje:


22121

20XX X

HHGG1G

Y31 −

=== (2.1.3)


23

Za 0XX 21 == strukturni blok dijagram sa slike 2.1 postaje:


32121

1210XX X

HHGG1HGG

Y21 −

=== (2.1.4)

Izlazni signal Y je:

2121

3121221210XX0XX0XX HHGG1

XHGGXGXGGYYYY213132 −

++=++= ====== (2.1.5)

2.2) Primenom pravila algebre prenosnih funkcija uprostiti strukturni blog dijagram sa

slike 2.2.

Rešenje:

Primenom pravila za paralelnu vezu na blokove G4 i G5 strukturni blok dijagrama sa

slike 2.2.1 je:


24

Pomeranjem diskriminatora iza bloka G1 strukturni blok dijagram sa slike 2.2.1 postaje:

Primenom pravila za povratnu spregu strukturni blok dijagram sa slike 2.2.2 postaje:

Primenom pravila rednu vezu i povratnu spregu strukturni blok dijagram sa slike 2.2.3

postaje:


25

2.3) Primenom pravila algebre prenosnih funkcija uprostiti strukturni blog dijagram sa

slike 2.3.

Rešenje:

Pomeranjem povratne sprege iza bloka G3 strukturni blok dijagram sa slike 2.3 postaje:

Korišćenjem pravila za rednu vezu i povratnu spregu strukturni blok dijagram sa

slike 2.3.1 postaje:


26

2.4) Primenom pravila algebre prenosnih funkcija uprostiti strukturni blok dijagram sa

slike 2.4 i odrediti prenosnu funkciju. Dobijeni rezultat analitički proveriti.

Rešenje:

Primenom pravila za rednu i paralelnu vezu strukturni blok dijagram sa slike 2.4 postaje:

Pomeranjem povratne sprege iza bloka G2 strukturni blok dijagram sa slike 2.4.1 postaje:


27

Primenom pravila za rednu i paralelnu vezu strukturni blok dijagram sa slike 2.4.2

postaje:

Primenom pravila za povratnu spregu dobija se prenosna funkcija kola slike 2.4.3:

1

34521

1

21

G1)GG)(GG1(G

1

G1GG

)s(G

+−+

+

+= (2.4.1)

Analitički se dobijeni rezultat može dobiti na sledeći način. Sa slike 2.4 se vidi da je:

22XGY = (2.4.2)

[ ]3341

12 X)GG(X

G1GX −−+

= (2.4.3)

2522522523 X)GG1(XGGXYGXX +=+=+= (2.4.4)

Iz jednačina (2.4.3) i (2.4.4) dobija se:

XG1

GG1

)GG)(GG1(G1X

1

1

1

345212 +

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−++ (2.4.5)

Iz jednačina (2.4.2) i (2.4.5) dobija se prenosna funkcija kola sa slike 2.4:


28

1

34521

1

21

G1)GG)(GG1(G

1

G1GG

)s(X)s(Y)s(G

+−+

+

+== (2.4.6)

2.5) Naći prenosnu funkciju sistema čiji je graf toka signala dat na slici 2.5.

Rešenje:

Koristeći ekvivalentne transformacije za paralelnu vezu i povratnu spregu graf toka

signala sa slike 2.5 postaje:

Koristeći ekvivalentne transformacije za rednu vezu i povratnu spregu graf toka signala sa

slike 2.5.1 postaje:

Koristeći ekvivalentne transformacije za rednu vezu graf toka signala sa slike 2.5.2

postaje:


29

2.6) Na slici 2.6 prikazan je strukturni blok dijagram sistema automatskog upravljanja.

Formirati graf toka signala. Primenom Mejsonovog pravila izračunati prenosnu funkciju

sistema.

Rešenje:

Na slici 2.6.1 prikazan je graf toka signala za strukturni blok dijagram sa slike 2.6.

Mejsonovo pravilo omogućava da se odredi prenosna funkcija od proizvoljnog čvora X

tipa izvora (čvor tipa izvora je čvor iz koga grane samo izviru) do proizvoljnog čvora Y tipa

ponora (čvor tipa ponora je čvor u koga grane samo poniru) i definisano je izrazom:


30

)s(

)s()s(P

)s(X)s(Y)s(G

n

1iii

∆

∆==∑= (2.6.1)

gde su:

n – broj direktnih putanja između čvorova od izvora do posmatranog ponora (direktna putanja

je niz sukcesivno povezanih i u istom smeru orijentisanih grana koje spajaju navedene

čvorove i duž kojih se svaki čvor pojavljuje samo jedanput);

Pi – pojačanje i – te direktne putanje, koje se formira kao proizvod pojačanja grana koje

sačinjavaju putanju;

∆ - determinanta grafa toka signala (karakteristična funkcija grafa) koja je definisana

relacijom:

∑ ∑∑∑ ∑ ⋅⋅⋅+−+−=−−=∆ +

j j3j2j

k j j1jjk

1k PPP1P)1(1 (2.6.2)

gde su:

∑j

1jP – zbir kružnih pojačanja svih zatvorenih putanja grafa;

∑j

2jP – zbir svih proizoda kružnih pojačanja od po dve zatvorene putanje koje se međusobno

ne dodiruju;

∑j

3jP – zbir svih proizoda kružnih pojačanja od po tri zatvorene putanje koje se međusobno

ne dodiruju;

∑j

4jP , ∑j

5jP , … - definisane su na analogan način;

∆i je ∆ koja se dobija primenom jednačine (2.6.2), ali samo za zatvorene putanje koja ne

dodiruju i – tu direktnu putanju;

Graf toka signala sa slike 2.6.1 ima:

Dve direktne putanje sa pojačanjima:

P1 = G1G2G3 , P2 = G4;

Četiri zatvorene putanje kružnih pojačanja:

P11 = G1G5, P21 = G4G5G6G7, P31 = G2G6, P41 = G3G7;

Putanje P11 i P41 međusobno se ne dodiruju, pa je proizvod kružnih pojačanja ovih putanja:

P12 = P11P41 = G1G3G5G7,

Determinata grafa toka signala je:


31

753173627654511241312111 GGGGGGGGGGGGGG1P)PPPP(1 +−−−−=++++−=∆ Direktna putanja P1 dodiruje sve zatvorene putanje. Zato je ∆1 = 1. Direktna putanja P2 ne

dodiruje zatvorenu putanju P31 i ∆2 = 1 – P31 = 1 – G2G6.

Prenosna funkcija sistema na osnovu jednačine (2.6.1) je:

75317362765451

624321

2211

GGGGGGGGGGGGGG1)GG1(GGGG

)s()s()s(P)s()s(P

)s(X)s(Y)s(G

+−−−−−+

=

=∆

∆+∆==

(2.6.3)

2.7) Za multivarijabilni sistem sa dva ulaza i dva izlaza čiji je strukturni blok dijagram

prikazan na slici 2.7 formirati graf toka signala i odrediti Y1(X1,X2) i Y2(X1,X2) primenom

Mejsonovog pravila.

Rešenje:

Na slici 2.7.1 prikazan je graf toka signala za strukturni blok dijagram sa slike 2.7.


32

Pošto je graf linearan, funkcije Y1(X1,X2) i Y2(X1,X2) se mogu odrediti superpozicijom.

Kružna pojačanja zatvorenih putanja su:

P11= − G1G3, P21= − G4G5, P31= − G4G5G6, P41= G1G2G4G7.

Proizvodi kružnih pojačanja od po dve kružne putanje koje se ne dodiruju međusobno su:

P12= P11P21=G1G3G4G5 i P22= P11P31=G1G3G4G5G6

Determinanta grafa toka signala je:

65431543174216545431 GGGGGGGGGGGGGGGGGGGG1 ++−+++=∆

Od ulaza X1 do izlaza Y1 postoji samo jedna direktna putanja 3111 GGP = , koja ne

dodiruje zatvorene putanje P21 i P31 Tada je:

65454312111 GGGGG1)PP(1 ++=+−=∆

Od ulaza X2 do izlaza Y1 postoji samo jedna direktna putanja 43212

1 GGGGP = , koja

dodiruje sve zatvorene putanje zatvorene putanje i 121 =∆ .

Superpozicijom se dobija da je:

∆+++

=∆

∆+∆= 24321165454312

21

211

11

11

211XGGGGX)GGGGG1(GGXPXP)X,X(Y

Od ulaza X1 do izlaza Y2 postoji samo jedna direktna putanja 7654112 GGGGGP = , koja

dodiruje sve zatvorene putanje i 112 =∆ .

Od ulaza X2 do izlaza Y2 postoji samo jedna direktna putanja 65422 GGGP = , koja ne

dodiruje zatvorenu putanju P11. Tada je:

311122 GG1P1 +=−=∆

Superpozicijom se dobija da je:

∆++

=∆

∆+∆= 2316541765412

22

221

12

12

212X)GG1(GGGXGGGGGXPXP)X,X(Y

Zavisnost izlaznih veličina Y1 i Y2 od ulaznih veličina X1 i X2 može se prikazati u

matričnom obliku:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆+

∆

∆∆++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

2

1

3165476541

43216545431

2

1

X

X

)GG1(GGGGGGGG

GGGG)GGGGG1(GG

Y

Y (2.7.1)


33

2.8) Za kolo sa slike 2.8 formirati graf toka signala i primenom Mejsonovog pravila odrediti

prenosnu funkciju.

Rešenje:

Na osnovu slike 2.8 mogu se napisati sledeće jednačine:

)]s(U)s(U[sC)s(I 211 −= (2.8.1)

)]s(I)s(I[R)s(U 212 −= (2.8.2)

)]s(U)s(U[sC)s(I 322 −= (2.8.3)

)]s(I)s(I[R)s(U 323 −= (2.8.4)

)]s(U)s(U[sC)s(I 433 −= (2.8.5)

)s(RI)s(U 34 = (2.8.6)

Na osnovu jednačina od (2.8.1) do (2.8.6) može se formirati graf toka signala za kolo sa

slike 2.8.

Od )s(U1 do )s(U4 postoji samo jedna direktna putanja pojačanja:

3331 CRsP = (2.8.7)

Postoje ukupno 5 zatvorenih putanja istih kružnih pojačanja −sRC. Tada je:

∑ −=j

1j sRC5P (2.8.8)


34

∑ =j

2222j CRs6P (2.8.9)

∑ −=j

3333j CRsP (2.8.10)

Na osnovu jednačina (2.8.8), (2.8.9) i (2.8.10) sledi da je:

∑ ∑∑ +++=−+−=∆j j

2223333j2j

j1j sRC5CRs6CRs1PPP1)s( (2.8.11)

Ne postoji ni jedna zatvorena putanja koja se ne dodiruje se sa direktnom putanjom i ∆1=1 .

Prenosna funkcija kola sa slike 2.8 je:

sRC5CRs6CRs1CRs

)s()s()s(P

)s(U)s(U)s(G 222333

33311

1

4

+++=

∆∆

== (2.8.12)

2.9) Za nelinearni sistem automatskog upravljanja koji je opisan diferencijalnom jednačinom:

)t(xdt

)t(dx2)t(y)t(ydt

)t(dy)t(ydt

)t(yd 232

2+=−++

napraviti linearni model u okolini tačke ravnotežnog stanja )2,6()y,x( QQ = . Odrediti

prenosnu funkciju linearizovanog modela.

Rešenje:

Linearni model se dobija Tejlorovim razvojem prvog reda jednačine u okolini tačke

ravnotežnog stanja:

[ ] yyfx

xf)y,x(f)t(y),t(xf

Q

Q

Q

Q

yyxx

yyxxQQ ∆⋅

∂∂

+∆⋅∂∂

+≅==

== (2.9.1)

Za xx)t(x Q ∆+= i yy)t(y Q ∆+= , dobija se:

[ ]dt

)t(ydydt

)t(dy)t(y Q∆

≅ (2.9.2)

3Q

2Q

3 y)t(yy3)t(y +∆⋅= (2.9.3)

2QQ

2 x)t(xx2)t(x +∆⋅= (2.9.4)

[ ] [ ]

[ ] 2QQ

Q3Q

2QQ2

2

x)t(xx2dt

)t(xd2

y)t(yy)t(yy3dt

)t(ydydt

)t(yd

+∆⋅+∆

=

=−∆−+∆⋅+∆

+∆

(2.9.5)


35

odnosno:

[ ] [ ] [ ] )t(x62dt

)t(xd2)t(y11dt

)t(yd2dt

)t(yd2

2∆⋅+

∆=∆+

∆+

∆ (2.9.6)

Primenom direktne Laplasove transformacije na jednačinu (2.9.6) dobija se prenosna

funkcija linearizovanog modela:

11s2s62s2

)s(X)s(Y)s(G 2 ++

+=

∆∆

= (2.9.7)

2.10) Rezervoar konstantne površine poprečnog preseka A sa slike 2.10 prazni se po zakonu

hK)t(q2 = , gde je h – visina nivoa tečnosti u rezervoaru, a K – konstanta. Odrediti zakon

promene visine nivoa tečnosti u rezervoaru. Napraviti linearni model u okolini nominalne

visine hQ. Odrediti prenosnu funkciju linearizovanog modela.

Rešenje:

Zapremina tečnosti u rezervoaru je:

)t(hAV ⋅= (2.10.1)

Zakon promene zapremine je:

)t(hK)t(q)t(q)t(qdt

)t(dhAdt

)t(dV121 ⋅−=−== (2.10.2)

Zakon promene visine nivoa tečnosti u rezervoaru je:

)t(qA1)t(h

AK

dt)t(dh

1⋅+⋅−= (2.10.3)

Za )t(hh)t(h Q ∆+= i ),t(qq)t(q 1Q11 ∆+= linearni model postaje:

[ ] )t(qA1q

A1)t(h

h1

A2Kh

AK

dt)t(hd

1Q1Q

Q ∆⋅+⋅+∆⋅⋅−⋅−=∆ (2.10.4)


36

odnosno:

[ ] )t(qA1)t(h

h1

A2K

dt)t(hd

1Q

∆⋅=∆⋅⋅+∆ (2.10.5)

Primenom direktne Laplasove transformacije na jednačinu (2.10.5) dobija se prenosna

funkcija linearizovanog modela:

Q

1hA2

Ks

A1

)s(Q)s(H)s(G

+=

∆∆

= (2.10.6)

2.11) Serijsko RLC kolo i analogni mehanički sistemi, translacioni i rotacioni, prikazani su

na slici 2.11. Napisati diferencijalne jednačine koje opisuju dinamičko ponašanje ovih

sistema i odrediti analogne fizičke promenjive i parametre.

Rešenje:

a) Primenom Kirhofovog zakona o naponima na serijsko RLC kolo dobija se:

∫++=++= dt)t(iC1

dt)t(diL)t(Ri)t(u)t(u)t(u)t(u CLR (2.11.1)

Kako je dt

)t(dq)t(i = , jednačina (2.11.1) postaje:

)t(qC1

dt)t(dqR

dt)t(qdL)t(u 2

2++= (2.11.2)

b) Primenom zakona dinamike na translacioni mehanički sistem dobija se:

)t(f)t(f)t(f)t(f MBK ++= (2.11.3)

gde su:

∫== dt)t(vK)t(Kx)t(fK


37

)t(Bvdt

)t(dxB)t(fB ==

dt)t(dvM

dt)t(xdM)t(f 2

2

M ==

jednačina (2.11.3) postaje:

∫++= dt)t(vK)t(Bvdt

)t(dvM)t(f (2.11.4)

)t(Kxdt

)t(dxBdt

)t(xdM)t(f 2

2++= (2.11.5)

Poređenjem jednačina (2.11.1) i (2.11.2) sa jednačinama (2.11.4) i (2.11.5) vidi se da su

matamatički modeli koji opisuju dinamičko ponašanje RLC kola i analognog translacionog

mehaničkog sistema identični, i analogne fizičke promenjive i parametri su:

)t(x)t(q)t(v)t(i)t(f)t(u

⇔⇔⇔

K1C

BRML

⇔

⇔⇔

Na slici 2.11.1.a prikazani su simboli za masu M, elastičnost K, trenje B i silu f(t), a na

slici 2.11.1.b analogna mehanička mreža translacionog mehaničkog sistema.

c) Primenom zakona dinamike na rotacioni mehanički sistem dobija se:

)t(M)t(M)t(M)t(M JBK ++= (2.11.6)

gde su:

∫ω=θ= dt)t(K)t(K)t(MK

)t(Bdt

)t(dB)t(MB ω=θ

=


38

dt)t(dM

dt)t(dJ)t(M 2

2

Jω

=θ

=


∫ω+ω+ω

= dt)t(K)t(Bdt

)t(dJ)t(M (2.11.7)

)t(Kdt

)t(dBdt

)t(dJ)t(M 2

2θ+

θ+

θ= (2.11.8)


matamatički modeli koji opisuju dinamičko ponašanje RLC kola i analognog rotacionog

mehaničkog sistema identični, i analogne fizičke promenjive i parametri su:

)t()t(q)t()t(i

)t(M)t(u

θ⇔ω⇔

⇔

K1C

BRJL

⇔

⇔⇔

Na slici 2.11.2.a prikazani su simboli za moment inercije J, elastičnost K, trenje B i

moment sile M(t), a na slici 2.11.2.b analogna mehanička mreža rotacionog mehaničkog

sistema .

Poređenjem analognih mehaničkih mreža sa serijskim RLC kolom može se izvesti

sledeće pravilo: Mehaničkim elementima u paralelnoj vezi odgovaraju analogni električni

elementi vezani serijski, a mehaničkim elementima u serijskoj vezi odgovaraju analogni

električni elementi vezani paralelno.

2.12) Na slici 2.12 prikazan je translacioni mehanički sistem sa dva stepena slobode.

Koristeći analogiju koja postoji između električnih i mehaničkih elemenata formirati

mehaničku i analognu električnu mrežu. Izračunati prenosnu funkciju sistema smatrajući da

je x1(t) ulazna promenjiva, a x2(t) izlazna promenjiva sistema.


39

Rešenje:

Masa M2, opruga K2 i prigušnica B2 vrše isti pomeraj x2(t). Zato su ovi elementi

mehanički u paralelnoj vezi, a u analognoj električnoj mreži u serijskoj vezi. Opruga K1

izložena je pomeraju x1(t) – x2(t) i zato je mehanički serijski elemenat, a u analognoj

električnoj mreži paralelan. Masa M1 i prigušnica B1 vrše isti pomeraj x1(t) i ovi elementi su

mehanički u paralelnoj vezi, a u analognoj električnoj mreži u serijskoj vezi. Na slici 2.12.1

prikazane su mehanička mreža (a) i analogna električna mreža (b) sistema sa slike 2.12.

Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike 2.12.1.b dobija se:

)t(f)t(xK)t(xKdt

)t(dxB

dt)t(xd

M 21111

121

2

1 =−++ (2.12.1)

0)t(x)KK(dt

)t(xB

dt)t(xd

M)t(xK 2212

222

2

211 =++++− (2.12.2)

Primenom direktne Laplasove transformacije jednačine (2.12.1) i (2.12.2) postaju:

( ) )s(F)s(XK)s(XKsBMs 2111112 =−++ (2.12.3)

( ) 0)s(XKKsBMs)s(XK 221222

11 =++++− (2.12.4)

Iz jednačine (2.12.4) sledi da je prenosna funkcija translacionog mehaničkog sistema:


40

21222

1

1

2

KKsBMsK

)s(X)s(X

)s(G+++

== (2.12.5)

2.13) Električna mreža diferencijalnog tipa i analogna mehanička mreža prikazane su na

slici 2.13. Napisati diferencijalne jednačine koje opisuju dinamičko ponašanje ovih mreža,

izvesti prenosnu funkciju sistema i odrediti analogne fizičke promenjive i parametre.

Rešenje:

a) Za električnu mrežu sa slike 2.13.a važi:

)t(u)t(u)t(u 2C1 += (2.13.1)

)t(i)t(i)t(i 21 += (2.13.2)

Jednačina (2.13.2) može se napisati u obliku:

dt)t(duC

R)t(u

R)t(u C

1

C

2

2 += (2.13.3)

Iz jednačine (2.13.1) sledi da je:

)t(u)t(u)t(u 21C −= (2.13.4)


[ ]dt

)t(u)t(udCR

)t(u)t(uR

)t(u 21

1

21

2

2 −+

−= (2.13.5)

odnosno:

)t(uR1

dt)t(duC)t(u

R1

R1

dt)t(duC 1

1

12

21

2 +=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ (2.13.6)

Primenom direktne Laplasove transformacije jednačina (2.13.6) postaje:


41

)s(UR1)s(sCU)s(U

R1

R1)s(sCU 1

112

212 +=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++ (2.13.7)

Prenosna funkcija električne mreže sa slike 2.13.a je:

21

21

1

21

2

21

1

1

2

RRRRsC1

sCR1RR

R

R1

R1sC

R1sC

)s(U)s(U)s(G

++

+⋅

+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

+== (2.13.8)

b) Za mehaničku mrežu sa slike 2.13.b. važi:

[ ] )t(xK)t(x)t(xKdt

)t(dxdt

)t(dxB 2221121 =−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ − (2.13.9)

odnosno:

( ) )t(xKdt

)t(dxB)t(xKKdt

)t(dxB 111

2212 +=++ (2.13.10)


( ) ( ) )s(XKsB)s(XKKsB 11221 +=++ (2.13.11)

Prenosna funkcija mehaničke mreže sa slike 2.13.b je:

21

1

21

1

21

1

1

2

KKBs1

KBs1

KKK

KKsBKsB

)s(X)s(X)s(G

++

+⋅

+=

+++

== (2.13.12)

Iz jednačina (2.13.8) i (2.13.12) sledi da su analogne fizičke promenjive i parametri:

11 K

1R

)t(x)t(u

⇔

⇔

22 K

1R

BC

⇔

⇔

2.14) Za rotacioni mehanički sistem sa tri stepena slobode sa slike 2.14 napisati diferencijalne

jednačine koje opisuju dinamičko ponašanje ovog sistema. Formirati mehaničku i analognu

električnu mrežu. Izračunati prenosnu funkciju sistema uzimajući da je θ1(t) ulazna

promenjiva, a θ3(t) izlazna promenjiva.


42

Rešenje:

Primenom zakona dinamike za rotaciono kretanje na kolo sa slike 2.14 dobijaju se

diferencijalne jednačine koje opisuju dinamičko ponašanje sistema:

[ ] )t(M)t()t(K 211 =θ−θ (2.14.1)

[ ] [ ] 0)t()t(Kdt

)t()t(dBdt

)t(dBdt

)t(dJ 12132

32

122

2

1 =θ−θ+θ−θ

+θ

+θ (2.14.2)

[ ] 0)t(Kdt

)t()t(dBdt

)t(dBdt

)t(dJ 3223

33

223

2

2 =θ+θ−θ

+θ

+θ (2.14.3)

Na slici 2.14.1 prikazana je mehanička mreža (a) i analogna električna mreža (b) sistem.

Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike 2.14.1.b dobija se:

[ ] )s(M)s()s(K 211 =Θ−Θ (2.14.4)

( )[ ] 0)s(sB)s(KBBsJs)s(K 3321311

211 =Θ−Θ++++Θ− (2.14.5)

( )[ ] 0)s(KBBsJs)s(sB 31311

223 =Θ++++Θ− (2.14.6)

Rešavanjem ovog sistema jednačina Kramerovim pravilom dobija se:


43

( )( )

( )( ) ( )( )[ ]23

22322

21311

2

23222

3

313112

1

1

BsKBBsJsKBBsJs)s(M

KBBsJssB0sBKBBsJs00K)s(M

−++++++=

=+++−

−+++−

=∆

(2.14.7)

( ) 31

3

13112

1

11

3 BsK)s(M0sB00KBBsJsK

)s(MKK⋅=

−+++−

−=∆ (2.14.8)

Prenosna funkcija rotacionog mehaničkog sistema sa slike 2.14 je:

( )( ) ( )( )[ ]23

22322

21311

231

1

3

1

3

BsKBBsJsKBBsJs

BsK)s()s(

)s(G−++++++

=∆∆

=ΘΘ

= (2.14.9)

2.15) Na rotacioni mehanički sistem na slici 2.15 dejstvuje mehanički momenat M(t).

Prenosni odnos reduktora određen je brojem zubaca n1 i n2. J1 i J2 su momenti inercije

zamajaca čija su obrtna kretanja izložena viskoznom trenju koeficijenata trenja B1 i B2.

Koeficijenat torzione elastičnosti osovine čiji je ugaoni pomeraj θ1(t) je K1. Izračunati

prenosnu funkciju sistema smatrajući da je M(t) ulazna promenjiva sistema, a ugaoni pomeraj

θ2(t) izlazna promenjiva sistema.

Rešenje:

Diferencijalne jednačine koje opisuju dinamičko ponašanje sistema sa slike 2.15 su:

)t(M)t(M)t(Kdt

)t(dB

dt)t(d

J 1111

121

2

1 −=θ+θ

+θ

(2.15.1)


44

)t(Mdt

)t(dB

dt)t(d

J 22

222

2

2 =θ

+θ

(2.15.2)

gde je M1(t) otporni moment, a M2(t) pokretački moment predat reduktoru.

Između pomeraja pre i posle redukcije postoji veza:

)t(n)t(n 2211 θ=θ (2.15.3)

odnosno:

)t(N)t(nn)t( 22

1

21 θ=θ=θ (2.15.4)

gde je 1

2nnN = . Oba zubčanika moraju da izvrše isti rad. Zato je:

)t()t(M)t()t(M 2211 θ=θ (2.15.5)

Iz jednačina (2.15.4) i (2.15.5) se dobija odnos između momenata pre i posle redukcije:

N)t(M)t(M 2

1 = (2.15.6)

Primenom direktne Laplasove transformacije prethodne jednačine postaju:

( ) )s(M)s(M)s(KsBJs 111112 −=Θ++ (2.15.7)

( ) )s(M)s(sBJs 22222 =Θ+ (2.15.8)

)s(N)s( 21 Θ=Θ (2.15.9)

N)s(M)s(M 2

1 = (2.15.10)

Iz ovih jednačina sledi da je prenosna funkcija sistema:

12

212

2122

2

KN)BBN(s)JJN(sN

)s(M)s(

)s(G++++

=Θ

= (2.15.11)

2.16) Pneumatski sistem koji se sastoji od dovodne cevi i komore sa gasom pod pritiskom

prikazan je na slici 2.16. Sa Pi i Po označene su stacionarne vrednosti pritiska gasa u ulaznoj

cevi i komori, a sa pi(t) i po(t) male varijacije pritiska gasa u ulaznoj cevi i komori u odnosu

na vrednosti u stracionarnom stanju. Protok gasa q(t) direktno je proporcionalan razlici

pritisaka gasa pi(t) u dovodnoj cevi, kao ulazne promenjive, i pritiska gasa po(t) u komori, kao

izlazne promenjive sistema. Definisati pneumatsku otpornost R prigušnog prstena i

pneumatski kapacitet C komore. Izračunati prenosnu funkciju pneumatskog ventila. Koristeći

analogiju koja postoji između električnih i pneumatskih elemenata, za dva kaskadno vezana


45

sistema sa slike 2.16, formirati analognu električnu mrežu i izračunati funkciju prenosa

sistema.

Rešenje:

Pneumatska otpornost R prstena definisana je relacijom:

)t(q)t(pR ∆

= (2.16.1)

Pneumatski kapacitet komore definisan je relacijom:

)t(qdt

)t(dpC = (2.16.2)

Iz definicija za otpornost prstena R i kapacitet komore C dobija se:

)t(q)t(p)t(p

R oi −= (2.16.3)

)t(qdt

)t(dpC o = (2.16.4)

Iz jednačina (2.16.3) i (2.16.4) sledi da je:

)t(p)t(pdt

)t(dpRC io

o =+ (2.16.5)


)s(P)s(P)sRC1( io =+ (2.16.6)

Prenosna funkcija pneumatskog sistema je:

sRC11

)s(P)s(P

)s(Gi

o+

== (2.16.7)

Na slici 2.16.1 prikazana je ekvivaletna električna mreža pnematskog sistema sa

slike 2.16. Primenom Kirhofovog zakona o naponima na kolo sa slike 2.16.1 dobija se:

)t(udt

)t(duRC)t(u)t(Ri)t(u)t(u)t(u CC

CCR +=+=+= (2.16.8)

gde je:


46

dt)t(duC)t(i C= (2.16.9)


matematički modeli koji opisuju dinamičko ponašanje RC kola i analognog pneumatskog

sistema identični, i da su analogne fizičke promenjive i parametri:

)t(q)t(i)t(p)t(u

⇔⇔

CCRR

⇔⇔

Na slici 2.16.2 prikazan je pneumatski sistem koji se sastoji od kaskadne veze dva

pneumatska sistema sa slike 2.16.

Analogna električna mreža pneumatskog sistema sa slike 2.16.2 prikazana je na

slici 2.16.3.


47

Na osnovu slike 2.16.3 mogu se napisati sledeće jednačine:

)t(qR)t(p)t(p 11i =− (2.16.10)

)t(qR)t(p)t(p 22o =− (2.16.11)

)t(q)t(qdt

)t(dpC 211 −= (2.16.12)

)t(qdt

)t(dpC 2

o2 = (2.16.13)


)s(QR)s(P)s(P 11i =− (2.16.14)

)s(Q)s(Q)s(PsC 211 −= (2.16.15)

)s(QR)s(P)s(P 22o =− (2.16.16)

)s(Q)s(PsC 2o2 = (2.16.17)

Na osnovu jednačina od (2.16.14) do (2.16.17) može se formirati graf toka signala za kolo

sa slike 2.16.3.

Od Pi(s) do Po(s) postoji samo jedna direktna putanja pojačanja:

212121

RRCCs1)s(P =


1111 RsC

1)s(P −= , 21

21 RsC1)s(P −= ,

2231 RsC

1)s(P −= .

Kružne putanje P11(s) i P31(s) se međusobno ne dodiruju. Tada je:

2121212 RRCCs

1)s(P =

Determinanta graf toka signala je:


48

21212

21212

111222

21212

222111

RRCCsRRCCsRsCRsCRsC1

RRCCs1

RsC1

RsC1

RsC11)s(

++++=

=++++=∆

Direktna putanja dodiruje sve zatvorene putanje. Zbog toga je ∆1 = 1.

Prenosna funkcija sistema sa slike 2.16.2 je:

21212

111222

11

i

o

RRCCsRsCRsCRsC11P

)s(P)s(P

)s(G++++

=∆∆

== (2.16.18)

2.17) Termički sistem sa toplotnom izolacijom rezervoara prikazan je na slici 2.17. Smatrati

da nema akumulirane energije u izolatoru i da se tečnost u rezervoaru idealno meša, odnosno

da su temperature tečnosti u rezervoaru i tečnosti na izlazu iste i da je toplotni kapacitet

metalnog grejača G zanemarljivo mali. Promenjive sistema su:

θ1 – temperatura hladne tečnosti na ulazu rezervoara (oC);

θ2 – temperatura zagrejane tečnosti na izlazu rezervoara (oC);

q – toplotni protok koji obezbeđuje grejač (J/s);

q1 – toplotni protok koji je posledica uticaja hladne tečnosti na ulazu rezervoara (J/s);

q2 – toplotni protok koji je posledica isticanja tople tečnosti na izlazu rezervoara (J/s);

Definisati termičku otpornost i termički kapacitet. Formirati strukturni blok dijagram i

izračunati prenosnu funkciju sistema, smatrajući temperaturu θ1(t) i toplotni protok q(t) za

ulazne promenjive, a temperaturu θ2(t) za izlaznu promenjivu sistema. Toplotni protoci q1(t) i

q2(t) su: )t(cn)t(q 11 θ= i )t(cn)t(q 22 θ= , gde je c – specifični toplotni kapacitet tečnosti, a

n – maseni protok tečnosti.


49

Rešenje:

Termička otpornost R definisana je relacijom:

)t(q)t(R θ∆

= (2.17.1)

Termički kapacitet definisan je relacijom:

)t(qdt

)t(dC =θ (2.17.2)

Iz definicije za termičku otpornost izolacije R može se naći toplotni protok u jedinici

vremena kroz izolaciju:

R)t()t()t(q 12

iθ−θ

= (2.17.3)

Iz definicije za termički kapacitet C može se naći toplotni protok u jedinici vremena kroz

tečnost:

dt)t(dC)t(q 2

Tθ

= (2.17.4)

Jednačina ravnoteže toplotnog protoka tečnosti u jedinici vremena je:

)t(q)t(q)t(q)t(q)t(q Ti21 ++=+ (2.17.5)

odnosno:

dt)t(dC

R)t()t()t(cn)t(q)t(cn 212

21θ

+θ−θ

+θ=+θ (2.17.6)


)s()cnR1()s(RQ)cnRsRC1)(s( 12 Θ++=++Θ (2.17.7)

odnosno:

)s(cnRsRC1

cnR1)s(QcnRsRC1

R)s( 12 Θ++

++

++=Θ (2.17.8)

Na osnovu jednačine (2.17.8) može se formirati sledeći strukturni blok dijagram sistema:


50

2.18) Za hidraulični sistem sa slike 2.18 promenjive sistema su:

Q – stacionarna vrednost ulaznog i izlaznog protoka fluida (m3 / s)

q1 – mala varijacija protoka fluida na ulazu od vrednosti u stacionarnom stanju (m3 / s)

q2 – mala varijacija protoka fluida na izlazu od vrednosti u stacionarnom stanju (m3 / s)

h – mala varijacija nivoa fluida u odnosu na stacionarnu vrednost (m)

Definisati hidrauličnu otpornost R ventila u slučaju laminarnog strujanja fluida i hidraulični

kapacitet C rezervoara. Izvesti prenosnu funkciju sistema. Koristeći dobijene jednačine, za

dva kaskadno povezana sistema sa slike 2.18, formirati strukturni blok dijagram i njegovom

sukcesivnom redukcijom odrediti funkciju prenosa sistema.

Rešenje:

Između protoka fluida i nivoa fluida u rezervoaru, kod laminarnog kretanja, postoji veza:

)t(Kh)t(q = (2.18.1)

Hidraulična otpornost ventila definisana je relacijom:

)t(q)t(h

K1

)t(dq)t(dhR === (2.18.2)

Na osnovu relacije (2.18.2) sledi da je hidraulična otpornost izlaznog ventila:

)t(q)t(hR

2= (2.18.3)

Hidraulični kapacitet rezervoara je:

R)t(h)t(q)t(q)t(q

dt)t(dhC 121 −=−= (2.18.4)


)s(RQ)s(H)sRC1( 1=+ (2.18.5)

Prenosna funkcija hidrauličnog sistema sa slike 2.18 je:

sRC11

)s(QR

)s(H

)s(Q)s(Q)s(G

11

2+

=== (2.18.6)


51

Na slici 2.18.1 prikazana je ekvivaletna električna mreža kola sa slike 2.18.

Primenom Kirhofovog zakona o naponima na kolo sa slike 2.18.1 dobija se:

)t(i)t(idt

)t(duC 21

C −=+ (2.18.7)

)t(i)t(u

R2

C= (2.18.8)


matematički modeli koji opisuju dinamičko ponašanje RC kola i analognog hidrauličnog

sistema sa slike 2.18 identični, i da su analogne fizičke promenjive i parametri:

CCRR

⇔⇔

)t(q)t(i

)t(h)t(uC

⇔⇔

Na slici 2.18.2 prikazana je hidraulični sistem koji se sastoji od kaskadne veza dva

hidraulična sistema sistema sa slike 2.18.

Na osnovu definicije hidraulične otpornosti mogu se napisati sledeće jednačine:

)t(q)t(h)t(hR 21

1−

= (2.18.9)


52

)t(q)t(hR

2

22 = (2.18.10)

Na osnovu definicije hidrauličnog kapaciteta rezervoara mogu se napisati sledeće

jednačine:

)t(q)t(qdt

)t(dhC 11

1 −= (2.18.11)

)t(q)t(qdt

)t(dhC 22

2 −= (2.18.12)


)s(H)s(H)s(QR 211 −= (2.18.13)

)s(H)s(QR 222 = (2.18.14)

)s(Q)s(Q)s(HsC 111 −= (2.18.15)

)s(Q)s(Q)s(HsC 222 −= (2.18.16)

Na osnovu prethodnih jednačina mogu se formirati sledeći blok dijagrami koji su

prikazani na slici 2.18.3:

Na osnovu slike 2.18.3 može se formirati strukturni blok dijagram sistema sa slike 2.18.4.


53

Premeštanjem povratne sprege iza bloka 2R

1 i diskriminatora isped bloka 1sC

1 , dijagram

sa slike 2.18.4. postaje:

Korišćenjem pravila za rednu vezu i povratnu spregu blok dijagram sa slike 2.18.5

postaje:

Sa slike 2.18.7 se vidi da je prenosna funkcija sistema sa slike 2.18.2:

21212

212211

2122111

2

RRCCsRsCRsCRsC11

RsC)RsC1)(RsC1(1

)s(Q)s(Q)s(G

++++=

=+++

==

(2.18.17)

Analogna električna mreža hidrauličnog sistema sa slike 2.18.2. prikazana je na

slici 2.18.8.


54

Primenom metode konturnih struja na kolo sa slike 2.18.8 dobija se:

0)s(QsC

1)s(QsC

1sC1R)s(Q

sC1

2221

111

=−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++− (2.18.18)

0)s(QsC

1R)s(QsC

12

22

2=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++− (2.18.19)

Iz jednačina (2.18.18) i (2.18.19) dobija se prenosna funkcija:

21212

212211 RRCCsRsCRsCRsC11)s(G

++++= (2.18.20)

2.19) Na slici 2.19 prikazan je prigušivač koji se koristi u sistemu regulacije. Odrediti

funkciju prenosa sistema ako je x1(t) ulazna promenjiva, a x2(t) izlazna promenjiva sistema.

Poznato je: A – površina klipa prigušivača, ρ – gustina fluida, K – koeficijenat elastičnosti

opruge, R – hidraulična otpornost. Promenjive sistema su: A[p2(t) – p1(t)] – sila pritiska koja

deluje na klip prigušivača, q(t) – maseni protok fluida.

Rešenje:

Iz definicije za hidrauličnu otpornost ventila dobija se:

)t(q)t(p)t(p

R 12 −= (2.19.1)


55

Iz uslova ravnoteže sile koja deluje na klip prigušivača i sile napregnute opruge dobija se:

[ ] )t(KxA)t(p)t(p 212 =− (2.19.2)

Maseni protok q(t) može se izraziti preko zapreminskog protoka dt

)t(dV)t(qV =

jednačinom:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −ρ=ρ=

dt)t(dx

dt)t(dxA)t(q)t(q 21

V (2.19.3)

Iz prethodnih jednačina dobija se:

)t(xARK

dt)t(dx

dt)t(dxA

R)t(p)t(p)t(q 2

2112 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −ρ=

−= (2.19.4)


[ ] )s(XARK)s(X)s(XAs 221 =−ρ (2.19.5)


RAKs

s

RAsK1

1)s(X)s(X)s(G

221

2

ρ+

=

ρ+

== (2.19.6)

Na osnovu jednačine (2.19.6) može se formirati strukturni blok dijagram sistema:

2.20) Realizacija proporcionalnog pneumatskog regulatora prikazan je na slici 2.20. Gas

konstantnog pritiska p1 uvodi se kroz prigušni prsten konstantnog pneumatskog otpora u cev

na čijem se drugom kraju nalazi mlaznik, naspram koga se nalazi leptir sa zazorom. Posle

prolaska gasa kroz prigušni prsten dolazi do pada pritiska i izlazni pritisak p2(t) je manji od

pritiska napajanja. U zavisnosti od rastojanja između mlaznika i zazora menja se izlazni

pritisak. Izračunati prenosnu funkciju sistema smatrajući pritisak p2(t) za izlaznu promenjivu,

a pomeraj leptira e(t) za ulaznu promenjivu sistema. Smatrati da između izlaznog pritiska

p2(t) i pomeraja zazora važi linearna zavisnost.


56

Rešenje:

Kako je sistem linearan važi:

)t(Kx)t(p2 = (2.20.1)

gde je K – konstanta proporcionalnosti.

Veza između pomeraja leptira x(t) i pomeraja zazora e(t) je:

)t(eba

b)t(x+

= (2.20.2)


)t(eba

Kb)t(p2 += (2.20.3)


)s(Eba

Kb)s(P2 += (2.20.4)


baKb

)s(E)s(P

)s(G 2+

== (2.20.5)

2.21) Realizacija proporcionalnog – integralno – diferencijalnog pneumatskog regulatora

prikazan je na slici 2.21. Gas konstantnog pritiska pi uvodi se kroz prigušni prsten

konstantnog pneumatskog otpora u cev na čijem se drugom kraju nalazi mlaznik, naspram

koga se nalazi leptir sa zazorom. Posle prolaska gasa kroz prigušni prsten dolazi do pada

pritiska i izlazni pritisak po(t) je manji od pritiska napajanja. U zavisnosti od rastojanja

između mlaznika i zazora menja se izlazni pritisak. Ova promena se kroz ventil konstantnog

pneumatskog otpora R1 prenosi na pritisak p1(t) u mehu 1 kapaciteta C1, a kroz ventil

konstantnog pneumatskog otpora R2 prenosi na pritisak p2(t) u mehu 2 kapaciteta C2, što


57

dovodi do rezultujećeg pomeraja x2(t) njihove zajedničke površine A. Ovaj pomeraj se preko

leptira prenosi na promenu rastojanja x1(t) zazora od mlaznika. Formirati strukturni blok

dijagram i odrediti parametre regulacije sistema uzimajući pritisak po(t) za izlaznu

promenjivu, a pomeraj leptira e(t) za ulaznu promenjivu sistema. Smatrati da između izlaznog

pritiska po(t) i pomeraja zazora važi linearna zavisnost.

Rešenje:

Kakoje sistem linearan važi:

)t(Kx)t(p 1o = (2.21.1)

gde je K – konstanta proporcionalnosti.

Veza između pomeraja leptira i pomeraja zazora može se naći sa slike 2.21. Za male

pomeraje )t(x1∆ važi:

)t(x)t(xb

)t(eba

11 ∆+≅

+ (2.21.2)

)t(xa

)t(xba

12 ∆≅

+ (2.21.3)


)t(xba

a)t(eba

b)t(x 21 +−

+= (2.21.4)

Iz definicija za otpornost ventila dobija se:


58

)t(q)t(p)t(pR

1

1o1

−= (2.21.5)

)t(q)t(p)t(pR

2

2o2

−= (2.21.6)

Iz definicije za kapacitet komore dobija se:

)t(qdt

)t(dpC 11

1 = (2.21.7)

)t(qdt

)t(dpC 22

2 = (2.21.8)

Iz uslova ravnoteže sile pritiska koja deluje na površinu A meha [ ]A)t(p)t(p 12 − i sile

elastičnosti meha )t(xK 2m , gde je Km – koeficijenat elastičnosti omotača meha, sledi da je:

[ ] )t(xKA)t(p)t(p 2m12 =− (2.21.9)


)s(PK1)s(X o1 = (2.21.10)

)s(Xba

a)s(Eba

b)s(PK1)s(X 2o1 +

−+

== (2.21.11)

1

1o1 R

)s(P)s(P)s(Q −= (2.21.12)

2

2o2 R

)s(P)s(P)s(Q −= (2.21.13)

1

1o111 R

)s(P)s(P)s(Q)s(PsC −== (2.21.14)

odnosno:

)s(PCsR1

1)s(P o11

1 += (2.21.15)

2

2o222 R

)s(P)s(P)s(Q)s(PsC −== (2.21.16)

odnosno:

)s(PCsR1

1)s(P o22

2 += (2.21.17)

[ ] )s(PCsR1

1CsR1

1KA)s(P)s(P

KA)s(X o

1122m12

m2 ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−+

=−= (2.21.18)



59

)s(P)RsC1)(RsC1(

RsCRsCKA

baa)s(E

bab)s(P

K1

o2211

2211

mo ++

−⋅⋅

+−

+= (2.21.19)

odnosno:

)s(Eba

Kb)s(P)RsC1)(RsC1(

RsCRsCKA

baKa1 o

2211

2211

m +=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

−⋅⋅

++ (2.21.20)


)RsC1)(RsC1(RsCRsC

KA

baKa1

baKb

)s(E)s(P)s(G

2211

2211

m

o

++−

⋅⋅+

+

+== (2.21.21)

Na osnovu jednačine (2.21.21) može se formirati strukturni blok dijagram sistema:

U normalnom režimu rada sistema važi: )RsC1)(RsC1(

RsCRsCKA

baKa1

2211

2211

m ++−

⋅⋅+

+ >>1, i


1211

2211moRsCRsC

)RsC1)(RsC1(aA

bK)s(E)s(P

)s(G−++

⋅≅= (2.21.22)

Ako se R1 i R2 podese tako da je R1>>R2, tada je R1C1>>R2C2. Jednačina (2.21.22)

postaje:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+++⋅=

++⋅≅ 22

11

22

11

m

11

2211m RsCRCRC

1RsC

1aA

bKRsC

)RsC1)(RsC1(aA

bK)s(G (2.21.23)

Kako je 0RCRC

11

22 ≅ , prenosna funkcija sistema je:

s1KsKK

s1s1k

RsC1RsC1

aAbK

)s(G IDPI

D11

22m ++=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛τ

+τ+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅≅ (2.21.24)


60

gde su:

aAbKk m=

22D CR=τ – diferencijalna vremenska konstanta sistema

11I CR=τ – integralna vremenska konstanta sistema

bAaKK m

P = – proporcionalna konstanta regulatora

22m

DD CRaA

bKkK ⋅=τ= – diferencijalna konstanta regulatora

11

m

II CR

1aA

bKkK ⋅=τ

= – integralna konstanta regulatora

Iz jednačine (2.21.24) sledi da pod navedenim uslovima sistem sa slike 2.21 predstavlja

proporcionalno – integralno – diferencijalni regulator (PID) nultog reda.

2.22) Realizacija diferencijalnog regulatora preko idealnih operacionih pojačavača prikazana

je na slici 2.22. Odrediti prenosnu funkciju sistema i parametre regulacije uzimajući napon

u1(t) za ulaznu promenjivu, a napon u2(t) za izlaznu promenjivu sistema.

Rešenje:

Prenosna funkcija kola sa slike 2.22 je:

)s(U)s(U)s(G

1

2= (2.22.1)

Sa slike 2.22 se vidi da je:

R)s(U

R2)s(U a1 −= (2.22.2)


61

R)s(U

)s(sCU2R

)s(U)s(U aa

ab +=−

(2.22.3)


)s(U)sRC1()s(U 1b +−= (2.22.4)

Izlazni operacioni pojačavač igra ulogu sabirača. Izlazni napon je:

)s(sRCU)s(U)s(U)s(U 1b12 =−−= (2.22.5)

Iz jednačine (2.22.5) sledi da je prenosna funkcija sistema:

sKsRC)s(G D ⋅== (2.22.6)

gde je RCK D = – diferencijalna konstanta regulatora

2.23) Elektronsko izvođenje proporcionalno – diferencijalnog sistema prikazano je na slici

2.23. Izračunati prenosnu funkciju i formirati strukturni blok dijagram uzimajući napon u1(t)

za ulaznu promenjivu, a napon u2(t) za izlaznu promenjivu sistema.

Rešenje:


[ ])t(u)t(uK)t(u 312 −= (2.23.1)

)t(udt

)t(duRCdt)t(i

C1)t(Ri)t(u 3

32 +=+= ∫ (2.23.2)

gde je:

dt)t(duC)t(i 3= (2.23.3)

Primenom direktne Laplasove transformacije jednačine (2.23.1) i (2.23.2) postaju:

[ ])s(U)s(UK)s(U 312 −= (2.23.4)

( ) )s(UsRC1)s(U 32 += (2.23.5)


62

Eliminacijom napona U3(s) iz jednačina (2.23.4) i (2.23.5) dobija se:

)s(KUsRC1K1)s(U 12 =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

++ (2.23.6)

Prenosna funkcija sistema sa slike 2.23 je:

1KRCs1

sRC11K

K

sRC1K1

K)s(U)s(U)s(G

1

2

++

+⋅

+=

++

== (2.23.7)

Na osnovu jednačine (2.23.7) može se formirati sledeći strukturni blok dijagram sistema:

2.24) Za jednosmerni motor sa opterećenjem sa slike 2.24 izračunati:

a) prenosnu funkciju )s(U)s()s(G

s

oΘ= , kada se motor upravlja strujom u statoru

b) prenosnu funkciju )s(U)s()s(G

r

oΘ= , kada se motor upravlja strujom u rotoru

Rs i Ls su otpornost i induktivnost statorskog kola, a Rr i Lr otpornost i induktivnost namotaja

rotora. Jm i Bm su moment inercije i koeficijenat viskoznog trenja osovine rotora, a Jo i Bo

moment inercije i koeficijenat viskoznog trenja opterećenja. Sa N je označen prenosni odnos

mehaničkog reduktora.


63

Rešenje:

Pokretački momenat motora je Mm(t) je:

)t(Mdt

)t(dBdt

)t(dJ)t(M *o

mm2

m2

mm +θ

+θ

= (2.24.1)

gde je )t(M*o momenat opterećenja posmatran ispred mehaničkog reduktora. Između ugaonih

brzina i momenata opterećenja pre i posle mehaničke redukcije postoji veza:

dt)t(d

Ndt

)t(d om θ=

θ (2.24.2)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ θ+

θ==

dt)t(dB

dt)t(dJ

N1)t(M

N1)t(M o

o2o

2

oo*o (2.24.3)

Iz prethodnih jednačina dobija se:

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ θ++

θ+=

dt)t(d

)BNB(dt

)t(d)JNJ(

N1)t(M o

m2

o2o

2

m2

om (2.24.4)

odnosno:

dt)t(dB

dt)t(dJ)t(NM)t(M o

2o

2

mθ

+θ

== (2.24.5)

gde su:

m2

o JNJJ += – ukupan momenat inercije sveden na osovinu motora

m2

o BNBB += – ukupno viskozno trenje svedeno na osovinu motora

M(t) – momenat opterećenja sveden na osovinu motora

Prema jednačini (2.24.5) sistem sa slike 2.24 može se zameniti ekvivalentnim sistemom

prikazanim na slici 2.24.1.

Fluks proizveden strujom statora u prostoru između namotaja statora i rotora je:


64

)t(iK)t( s1=φ (2.24.6)

Pokretački momenat motora Mm (t) je linearno zavisi od proizvoda između fluksa )t(φ i

struje rotora )t(ir , odnosno:

)t(i)t(iKK)t(i)t(K)t(M rs21r2m =φ= (2.24.7)

a) Ako se motor upravlja strujom statora, tada je struja rotora ir konstantna. Pokretački

momenat motora je tada:

)s(IK)s(M ssm = (2.24.8)

odnosno, prema jednačini (2.24.5)

)s(NIK)s(M ss= (2.24.9)

Jednačine električne ravnoteže ulaznog kola i mehaničke ravnoteže izlaznog kola su:

)s(U)s(I)RsL( ssss =+ (2.24.10)

0)s()BsJ(s)s(NIK oss =Θ++− (2.24.11)

Jednačina (2.24.11) izražava mehaničku ravnotežu pokretačkog momenta motora i

ekvivalentnog momenta opterećenja na izlaznoj osovini motora. Prenosna funkcija sistema je:

)1s)(1s(sK

)BsJ)(RsL(sNK

)s(U)s()s(G

mess

s

s

o+τ+τ

=++

=Θ

= (2.24.12)

gde su:

)BNB(RNK

BRNKK

m2

os

s

s

s

+== – pojačanje sistema

s

se R

L=τ – električna vremenska konstanta sistema

m2

o

m2

om BNB

JNJBJ

+

+==τ – mehanička vremenska konstanta sistema

b) Ako se motor upravlja strujom rotora, tada je struja statora is konstantna. Pokretački

momenat motora je tada:

)s(IK)s(M remm = (2.24.13)

odnosno, prema jednačini (2.24.5):

)s(NIK)s(M rem= (2.24.14)

Za razliku od slučaja kada se motor upravlja strujom statora, kod koga se prenosi samo

uticaj od električnog ka mehaničkom kolu, kod motora koji se upravlja strujom u rotoru,


65

postoji i uticaj mehaničkog kola na električno preko elektromotorne sile um(t) koja se, usled

prisustva fluksa proizvedenog konstantnom strujom statora, pri obrtanju rotora indukuje u

rotorskom namotaju. Elektromotorna sila )t(um proporcionalna je ugaonoj brzini rotora:

)s(NsK)s(sK)s(U omemmem Θ=Θ= (2.24.15)

Jednačine ravnoteže su:

)s(U)s(NsK)s(I)RsL( romerrr =Θ++ (2.24.16)

0)s()BsJ(s)s(NIK orem =Θ++− (2.24.17)


)1s2s(sK

]NKK)BsJ)(RsL[(sNK

)s(U)s()s(G 222

meemrr

em

r

o

+ξτ+τ=

+++=

Θ= (2.24.18)

gde su:

2meemm

2or

em

2meemr

em

NKK)BNB(RNK

NKKBRNK

K

++=

=+

=

– pojačanje sistema

2meemm

2or

o2

or2

meemr

r

NKK)BNB(R)BNJ(L

NKKBRJL

++

+=

+=τ –vremenska konstanta sistema

]NKK)BNB(R)[JNJ(L2

)JNJ(R)BNB(L

)NKKBR(JL2

JRBL

2meemm

2orm

2or

m2

orm2

or

2meemrr

rr

+++

+++=

=+

+=ξ

– koeficijenat prigušenja

2.25) Jednosmerni motor upravljan Vard – Leonardovom grupom prikazan je na slici 2.25.

Upravljački napon us (t) priključen je na krajeve pobudnog kola generatora G čiju osovinu

pokreće pomoćni motor (nije prikazan na slici) konstantnom ugaonom brzinom ω. Napon na

krajevima generatora ug(t) priključen je na krajeve rotora upravljanog strujom u rotoru.

Napon na krajevima generatora direktno je proporcionalan struji u pobudnom kolu, tj.

)t(iK)t(u sgg ω= . J i B predstavljaju ekvivalentan moment inercije i koeficijenat viskoznog

trenja na izlaznoj osovini motora. Odrediti prenosnu funkciju sistema smatrajući us(t) za

ulaznu promenjivu, a )t(oθ izlaznu promenjivu sistema.


66

Rešenje:

Vard – Leonardova grupa je skup mašina koju čine generator G, motor M i pomoćni

motor koji okreće osovinu generatora konstantnom ugaonom brzinom. Jednačine električne

ravnoteže sistema sa slike 2.25 su:

)s(U)s(I)RsL( ssss =+ (2.25.1)

0)s(sK)s(I)]RR()LL(s[)s(IK mmerrgrgsg =Θ+++++Ω− (2.25.2)

Jednačine mehaničke ravnoteže sistema sa slike 2.25 su:

0)s()BsJ(s)s(NIK orem =Θ++− (2.25.3)

)s(N)s( om Θ=Θ (2.25.4)

Iz jednačina (2.25.2), (2.25.3) i (2.25.4) dobija se:

[ ] )s(sNKNK

)BsJ(s)RR()LL(sK

1)s(I omeem

rgrgg

s Θ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

++

+++Ω

= (2.25.5)


[ ] )s(U)s(KKsN)BsJ(s)RR()LL(sNKK

RsLsoemme

2rgrg

emg

ss =Θ+++++Ω+ (2.25.6)


emme2

rgrgss

emg

s

o

KKN)BsJ)](RR()LL(s[ )RsL(s

NKK)s(U)s(

)s(G++++++

Ω=

Θ= (2.25.7)

Kako je mehaničko opterećenje motora relativno veliko, induktivnosti električne konture

u kojoj postoji struja ir (t), mogu se zanemariti, tj. Lg ≅ Lr ≅ 0 i prenosna funkcija postaje:

[ ] )1s)(1s(sK

KKN)RR(B)RR(sJ)RsL(s

NKK)s(G

21emme2

rgrgss

emg

+τ+τ=

+++++

Ω= (2.25.8)

gde su:


67

[ ]emme2

rgs

emg

KKN)RR(BR

NKKK

++

Ω= – pojačanje sistema

s

s1 R

L=τ ,

emme2

rg

rg2 KKN)RR(B

)RR(J

++

+=τ – vremenske konstante

2.26) Servomehanizam sa slike 2.26 sastoji se iz pojačavača A1, A2 i A3 , Vard – Leonardove

grupe sa motorom M koji se upravlja strujom u rotoru, mehaničkih reduktora prenosnog

odnosa N1 i N2 i i obrtnih potenciometara sa konstantom KP. Odrediti matricu kolonu funkcija

prenosa sistema smatrajući pomeraj )t(1θ za ulaznu promenjivu, a pomeraje )t(2θ i )t(3θ za

izlazne promenjive sistema.

Rešenje:

Napon na izlazu pojačavača A1 je:

[ ])s()s(KA)s(U 21P11 Θ−Θ= (2.26.1)


⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

+Θ−=

sRC1K)s()s(UA)s(U P

3122 (2.26.2)

Za deo sistema pojačavač A3 – generator mogu se napisati sledeće jednačine:

)s(I)RsL()]s(U)s(U[A)s(U sss2,123s +=−= (2.26.3)


68

)s(IK)s(U sgg = (2.26.4)

Za Vard – Leonardovu grupu može se nacrtati ekvivalentna električna mreža koja je

prikazana na slici 2.26.1.

Primenom metode konturnih struja na mrežu sa slike 2.26.1 dobija se:

)s(U)s(RI)s(RI2 gmg =− (2.26.5)

)s(U)s(RI2)s(RI mmg −=+− (2.26.6)


2R3R2RRR2

=−

−=∆

)s(RU)s(RU2R2)s(UR)s(U

mgm

g1 −=

−−

=∆ (2.26.7)

)s(RU)s(RU2)s(UR

)s(UR2gm

m

g2 +−=

−−=∆

Napon U1,2(s) između tačaka 1 i 2 je:

[ ])s(U)s(U31R)s(U mg

212,1 +⋅=

∆∆−∆

⋅= (2.26.8)

Jednačine jednosmernog motora upravljanog strujom u rotoru su:

)s(U)s(sK)s(RI 2,1mmem =Θ+ (2.26.9)

)s(M)s(M)s()BsJ(s)s(IK *2

*1mmmmem −−=Θ++− (2.26.10)

gde su:

( ) ( ) )s(BsJsN1)s(BsJs

N1)s(M m112

1211

1

*1 Θ+=Θ+= (2.26.11)

( ) ( ) )s(BsJsNN

1)s(BsJsNN1)s(M m222

221

32221

*2 Θ+=Θ+= (2.26.12)


69

Iz jednačina (2.26.10), (2.26.11) i (2.26.12) sledi da je:

0)s()BsJ(s)s(IK meemem =Θ++− (2.26.13)

gde su:

22

21

221

1me NN

JNJJJ ++=

22

21

221

1me NN

BNBBB ++=

ekvivalentni moment inercije i koeficijenat trenja preslikani na strani motora. Iz jednačina

(2.26.9) i (2.26.13) sledi da je prenosna funkcija motora:

emmeee

em

2,1

mm KK)BsJ(R

K)s(U)s(sG

++=

Θ= (2.26.14)

Na osnovu prethodnih jednačina može se formirati strukturni blok dijagram sistema:

Strukturnom blok dijagramu sa slike 2.26.2 odgovara graf toka signala sa slike 2.26.3:


70


31K

RsL1AP g

ss311 ⋅⋅

+⋅−=

mme

21 G3

KP ⋅=

sRC1K

NsN1G

31K

RsL1AAP P

21mg

ss3231 +

⋅⋅⋅⋅⋅+

⋅−=

P1

mgss

32141 KsN

1G31K

RsL1AAAP ⋅⋅⋅⋅+

⋅−=


sRC1K

NsN1G

31K

RsL1AAK

sN1G

31K

RsL1AAA

G3

K31K

RsL1A1)PPPP(1

P

21mg

ss32P

1mg

ss321

mme

gss

341312111

+⋅⋅⋅⋅⋅

+⋅+⋅⋅⋅⋅⋅

+⋅+

+⋅−⋅⋅+

⋅+=+++−=∆

Od ulaza )s(1Θ do izlaza )s(2Θ postoji samo jedna direktna putanja:

1mg

ss321P1 sN

1G31K

RsL1AAAKP ⋅⋅⋅⋅+

⋅=

koja dodiruje sve zatvorene putanje i 11 =∆


21mg

ss321P2 NsN

1G31K

RsL1AAAKP ⋅⋅⋅⋅+

⋅=

koja dodiruje sve zatvorene putanje i 12 =∆

Matrica kolona funkcije prenosa sistema je:

)s(

N1

1sN

1G31K

RsL1AAAK

)s(

)s(1

2

1mg

ss321P

3

2Θ⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅∆

⋅⋅⋅⋅+

⋅=

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡

Θ

Θ (2.26.15)

2.27) Sistem sa slike 2.27 koji se sastoji od pojačavača A1, A2, motora M koji se upravlja

strujom u rotoru, mehaničkog reduktora prenosnog odnosa N, obrtnih potenciometara sa

konstantom KP i potenciometra R faktora slabljenja a, vrši pozicioniranje tereta mase m koje

je sa jedne strane vezano za kotur poluprečnika r zanemarljive mase, a sa druge strane za

oprugu koeficijenta elestičnosti K. Formirati strukturni blok dijagram ovog sistema


71

smatrajući pomeraj )t(1θ i masu tereta m za ulazne promenjive, a pomeraj )t(2θ za izlaznu

promenjivu sistema. Primenom Mejsonovog pravila odrediti matricu vrstu funkcije prenosa.

Rešenje:


[ ])s()s(KA)s(U 21P11 Θ−Θ= (2.27.1)


[ ])s(U)s(UA)s(U a122 −= (2.27.2)

Primenom metode konturnih struja na mrežu sa slike 2.27.1 dobija se:

)s(U)s(RI)s(I)RR( 2m1 =−+ (2.27.3)

)s(U)s(I)RRsL()s(RI mmmm −=+++− (2.27.4)


)RsL(R)RRsL(RRRsLR

RRR)s( mmmm1

mm

1 +++=++−

−+=∆ (2.27.5)


72

)s(RU)s(U)RRsL(RRsL)s(U

R)s(U)s( m2mm

mmm

21 −++=

++−−

=∆ (2.27.6)

)s(RU)s(U)RR()s(UR

)s(URR)s( 2m1

m

212 ++−=

−−+

=∆ (2.27.7)

Napon U1,2(s) između tačaka 1 i 2 je:

)RsL(R)RRsL(R)s(UR)s(U)RsL(RR)s(U

mmmm1

m12mm212,1 ++++

++⋅=

∆∆−∆

⋅= (2.27.8)

odnosno:

)s(U)s()s(U)s()s(U m22,1 β+α= (2.27.9)

gde su:

)RsL(R)RRsL(RRsLR)s(

mmmm1

mm++++

+⋅=α

)RsL(R)RRsL(RRR)s(

mmmm1

1++++

⋅=β

)s(sK)s(U mmem Θ=

Napon Ua(s) je:

)]s(U)s()s(U)s([a)s(aU)s(U m22,1a β+α== (2.27.10)


)s(U)s(sK)s(I)RsL( 2,1mmemmm =Θ++ (2.27.11)

[ ] 2m

2

22

mmmmemsN

)s(sKrN

mgr)s(KrmgrN1)s()BsJ(s)s(IK

Θ−−=Θ+−=Θ++− (2.27.12)


mG)s(UGm

sNKrBsJ)RsL(KK

grN1)RsL(

)s(U

sNKrBsJ)RsL(KK

K)s(s

22,11

2

2

mmmmmeem

mm

2,1

2

2

mmmmmeem

emm

⋅−⋅=⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

⋅⋅+−

−⋅

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

=Θ

(2.27.13)

Na osnovu prethodnih jednačina može se formirati strukturni blok dijagram sistema:


73

Strukturnom blok dijagramu sa slike 2.27.2 odgovara graf toka signala sa slike 2.27.3:


aAP 211 α−=

me121 KGP β=

sN1GAKAP 12P131 ⋅α−=


me112P12312111 KGsN1GAKAaA1)PPP(1 β−⋅α+α+=++−=∆


sN1GAKAP 12P11 ⋅α=

koja dodiruje sve zatvorene putanje. Zato je 11 =∆

Od ulaza m do izlaza )s(2Θ postoji samo jedna direktna putanja:


74

sN1GP 22 ⋅−=

koja ne dodiruje zatvorenu putanju P11. Tada je:

aA1P1 2112 α+=−=∆

Matricu vrsta funkcije prenosa je:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡Θ⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

∆α+−

∆

⋅α=Θ

m

)s()aA1(GsN

1GAKA)s(

122

12P12 (2.27.14)

2.28) Potenciometarski sistem sa slike 2.28 sastoji se iz pojačavača A1 i A2, jednosmernog

motora upravljanog strujom u rotoru, mehaničkog reduktora prenosnog odnosa N,

tahogeneratora konstante osetljivosti KTG i obrtnih potenciometara sa konstantom KP.

Odrediti prenosnu funkciju sistema smatrajući pomeraj )t(1θ za ulaznu promenjivu, a

pomeraj )t(2θ za izlaznu promenjivu sistema.

Rešenje:


[ ])s()s(KA)s(U 21P11 Θ−Θ= (2.28.1)


[ ])s(U)s(UA)s(U TG122 −= (2.28.2)

Napon tahogeneratora UTG proporcionalan je ugaonoj brzini )s(s mΘ :


75

)s(sK)s(U mTGTG Θ= (2.28.3)


)s(U)s(sK)s(I)RsL( 2mmemmm =Θ++ (2.28.4)

0)s()BsJ(s)s(IK meemem =Θ++− (2.28.5)

gde su:

2o

me NJJJ +=

2o

me NBBB +=

ekvivalentni moment inercije i koeficijenat viskoznog trenja preslikani na strani motora. Iz

jednačina (2.28.4) i (2.28.5) sledi da je prenosna funkcija motora:

emmeeemm

em

2

mm KK)BsJ)(RsL(

K)s(U)s(sG

+++=

Θ= (2.28.6)

Na osnovu prethodnih jednačina može se formirati sledeći strukturni blok dijagram

sistema:


)GAK1(sNKGAA1

)GAK1(sNKGAA

)s()s(

)s(G

m2TG

Pm21

m2TG

Pm21

1

2

++

+=

ΘΘ

= (2.28.7)

VREMENSKE I FREKVENTNE KARAKTERISTIKE

76

3. VREMENSKE I FREKVENTNE KARAKTERISIKE SISTEMA

AUTOMATSKOG UPRAVLJNJA

3.1. Vremenske karakteristike

Vremenske karakteristike sistema automatskog upravljanja opisuju vremensku zavisnost

odziva sistema y(t) za definisani oblik pobude x(t) pri nultim početnim uslovima. Kao ulazni

signali najčešće se koriste signali predstavljeni Heaviside – ovom jediničnom funkcijom U(t):

⎩⎨⎧

=01

)t(U 0t0t

<≥

(1)

ili Dirac – ovom delta funkcijom δ(t) (impulsna funkcija) δ(t):

⎪⎩

⎪⎨

⎧∞=δ

0)t(

0t

0t

≠

= (2)

Odziv sistema na jediničnu funkciju naziva se prelazna karakteristika sistema i obeležava

se sa h(t). Odziv sistema na impulsnu funkciju naziva se impulsna karakteristika sistema i

obeležava se sa g(t).

Prelazna i impulsna karakteristika sistema su međusobno povezane, tj.:

dt)t(dh)t(g = (3)

odnosno:

td)t(g)t(ht

0∫= (4)

3.2. Frekventne karakteristike

Frekventne karakteristike sistema automatskog upravljanja opisuju ponašanje odziva

sistema u zavisnosti od frekvencije pobude sistema. Pri proračunu frekventne karakteristike


77

polazi se od prenosne funkcije električnog kola, koja predstavlja odnos kompleksnih funkcija

odziva sistema Y(s) i pobude X(s), pri nultim početnim uslovima.

)s(X)s(Y)s(G = (5)

gde je s = σ + jω kompleksna promenjiva. Prenosna funkcija većine sistema automatskog

upravljanja se može prikazati u obliku:

011n

1nn

n

011m

1mm

m

asa...sasa

bsb...sbsb)s(Q)s(P)s(G

++++

+++==

−−

−− (6)

pri čemu je stepen polinoma u brojitelju manji ili jednak stepenu polinoma u imenitelju

(m ≤ n). Smenom s = jω prenosna funkcija postaje identična prenosnoj funkciji sistema u

ustaljenom sinusoidnom režimu:

[ ])()(j QPe)j(Q)j(P

)j(Q)j(P)j(G ωϕ−ωϕ⋅

ωω

=ωω

=ω (7)

gde su:

)j(Q)j(P)j(G

ωω

=ω (8)

amplitudno frekventna karakteristika sistema i

)()()( QP ωϕ−ωϕ=ωϕ (9)

fazno frekventna karakteristika sistema.

Kod crtanja grafika frekventnih karakteristika frekvencija se prikazuje u logaritamskoj

razmeri (log ω). Jedinica nove promenjive se naziva dekada, jer jediničnom intervalu

odgovara promena frekvencije od deset puta. Kod crtanja logaritamske amplitudno

frekventna karakteristika sistema moduo funkcije G(jω) se transformiše pomoću jednačine:

)j(Glog20)dB()j(G ω=ω (10)


78

3.1) Izračunati impulsnu karakteristiku g(t) sistema čija je prenosna funkcija:

)2s)(1s(

2s2s)s(G2

+++−

=

Rešenje:

Impulsna karakteristika g(t) sistema je:

[ ])s(GL)t(g 1−= (3.1.1)

gde je:

)2s)(1s()KK2K2()KKK3(sKs

)2s)(1s()3s(K)2s(K)2s3s(K

)2s(K

)1s(KK

)2s)(1s(2s2s)s(G

32132112

322

1

321

2

++++++++

=

=++

++++++=

=+

++

+=+++−

=

(3.1.2)

Iz jednačine (3.1.2) dobija se sledeći sistem jednačina:

1K1 =

2KKK3 321 −=++ (3.1.3)

2KK2K2 321 =++

Rešavanjem ovog sistema jednačina dobija se da su koeficijenti: K1 = 1, K2 = 5, K3 = –10.

Tada je:

)2s(10

)1s(51)s(G

+−

++= (3.1.4)

Primenom inverzne Laplasove transformacije impulsna karakteristika postaje:

[ ] ( ) )t(Ue10e5)t()s(GL)t(g 2t t1 −−− −+δ== (3.1.5)

3.2) Izračunati prelaznu karakteristiku h(t) sistema čija je prenosna funkcija:

)2s2s)(5.0s(

1)s(G 2 +++=

Rešenje:

Prelazna karakteristika h(t) sistema je:

[ ] ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡== −− )s(Gs1L)s(HL)t(h 11 (3.2.1)


79

gde je:

[ ][ ])j1(s )j1(s)5.0s(s1

)2s2s)(5.0s(s1)s(H 2 −−−+−−+

=+++

= (3.2.2)

Rastavljanjem racionalne funkcije (3.2.2) na proste razlomke dobija se:

)j1(sK

)j1(sK

5.0sK

sK

)s(H 4321−−−

++−−

++

+= (3.2.3)

Koeficijenti Ki (i = 1,2,3,4) su:

[ ][ ] 1)j1(s )j1(s)5.0s(

1K0s

1 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−+−−+

==

[ ][ ] 6.1)j1(s )j1(ss

1K5.0s

2 −=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−+−−

=−=

[ ]ϕ

+−=

=+

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−−+

= j

j1s3 e

101

10j3

)j1(s)5.0s(s1K

[ ]ϕ−

−−=

=−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−+

== j

j1s

*34 e

101

10j3

)j1(s)5.0s(s1KK

gde je:31arctg=ϕ . Tada je:

)j1(se

101

)j1(se

101

5.0s6,1

s1)s(H

jj

−−−⋅+

+−−⋅+

+−=

ϕ−ϕ (3.2.4)

Primenom inverzne Laplasove transformacije prelazna karakteristika postaje:

( )

( )

)t(U)tcos(e102e6.11

)t(Ueee101e6.11

)t(Ueeee101e6.11)t(h

tt5.0

)t(j)t(jtt5.0

t)j1(jt)j1(jt5.0

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ϕ++−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅+−=

−−

ϕ+−ϕ+−−

−−ϕ−+−ϕ−

(3.2.5)

3.3) Izračunati prenosnu funkciju sistema G(s) čija je prelazna karakteristiku h(t):

)t(Ut2sin23t2cosee)t(h tt

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= −

Rešenje:



80

)s(sH)s(G = (3.3.1)

gde je:

[ ] [ ] [ ] [ ]

)5s2s)(1s(3s5

4)1s(2

23

4)1s(1s

1s1

t2sineL23t2coseLeL)t(hL)s(H

222

t tt

++−

+=

++⋅+

++

+−

−=

=+−== −−

(3.3.2)

Iz jednačine (3.3.1) i (3.3.2) sledi da je prenosna funkcija sistema:

)5s2s)(1s()3s5(s)s(sH)s(G 2 ++−

+== (3.3.3)

3.4) Izračunati prenosnu funkciju sistema G(s) čija je impulsna karakteristiku g(t):

)t(Ueetee2t)t(g t2t 2t 2t

2

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−−−= −−−−

Rešenje:


[ ]

)1s()2s(1

1s1

2s1

)2s(1

)2s(1

1s1

2s1

2s1

dsd

2s1

dsd

21

eetee2tL)t(gL)s(G

323

2

2

t2t 2t 2t 2

++=

++

+−

+−

+−=

=+

++

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅−=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−−−== −−−−

(3.4.1)

3.5) Nacrtati logaritamske frekventne karakteristike (Bode – ove dijagrame ) za sistem sa

slike 3.5.


81

Rešenje:

a) Prenosna funkcija kola sa slike 3.5 je:

p

z

p

z

i

os1

s1a

ss

CR2s

CR1s

RsC1R

R)s(U)s(U

)s(G

ω+

ω+

=ω+ω+

=+

+=

+== (3.5.1)

gde su:

CR1

z =ω , RC2

p =ω , 21a

p

z =ωω

= .

Smenom ω= js jednačina (3.5.1) postaje:

p

z

j1

j1a)j(G

ωω

+

ωω

+=ω (3.5.2)


2

p

2

z

1

1a)j(G

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ωω

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

+=ω (3.5.3)

Kako se kod crtanja logaritamske amplitudno frekventne karakteristike moduo funkcije

G(jω) transformiše pomoću jednačine:

)j(Glog20)dB(G ω= (3.5.4)

jednačina (3.5.3) se piše u obliku:

)dB(G)dB(G)dB(G

1log201log20alog20)dB(G

210

2

p

2

z

++=

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ωω

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

++=

(3.5.5)

gde su:

( ) dB6alog20)dB(G0 −== (3.5.6)

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

=z

1 log20dBG , zωω

>>1 (3.5.7)


82

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

ωω

−=p

2 log20dBG , pωω

>>1 (3.5.8)

Na slici 3.5.1 prikazana je logaritamska amplitudno frekventna karakteristika. Jednačina

(3.5.6) predstavljena je pravom linijom povučenom na nivou 20log(a). Jednačina (3.5.7)

predstavljena je pravom linijom povučenom sa nagibom 20 dB/dec u odnosu na liniju

20log(a). Jednačina (3.5.8) predstavljena je pravom linijom povučenom sa nagibom

– 20 dB/dec u odnosu na liniju 20log(a).

Logaritamska fazna frekventna karakteristika koja je:

pzarctgarctg)(

ωω

−ωω

=ωϕ (3.5.9)

odnosno:

⎪⎩

⎪⎨⎧π=ωϕ

2

0)(1

z

z

10

1,0

ω≥ω

ω≤ω

⎪⎩

⎪⎨⎧

π−

=ωϕ

2

0)(2

p

p

10

1,0

ω≥ω

ω≤ω

(3.5.10)

Na slici 3.5.2 prikazana je logaritamska fazna karakteristika.


83

3.6) Nacrtati logaritamsku amplitudno frekventnu karakteristiku za kolo sa slike 3.5 koje je

realizovano pomoću idealnog operacionog pojačavača. Poznato je: R=110kΩ, C=1µF.

Rešenje:

Kako je u kolu primenjena negativna povratna sprega, a operacioni pojačavač je idealan

važi:

)s(U)s(U)s(U 2== −+ (3.6.1)


[ ] [ ] [ ]R

)s(U)s(U)s(U)s(UsC)s(U)s(UsC2 2a

2aa1−

+−=− (3.6.2)


84

[ ]R

)s(U)s(U)s(UsC 22a =− (3.6.3)

Iz prethodnih jednačina sledi da je prenosna funkcija kola sa slike 3.6:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

==

RC1s

RC21s

s)s(U)s(U

)s(G2

1

2 (3.6.4)

Smenom s = jω jednačina (3.6.4) postaje:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

+

ω=ω

21

2

j1j1K)j(G (3.6.5)

gde su: 024.0C2RK 22 −=−= , 4.542RC

1ω1 == , 9.08RC1ω2 == . Tada je:

2

2

2

1 ωω120log

ωω120log40logωK20logdBG ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+= (3.6.6)

Na slici 3.6.1 prikazana je logaritamska amplitudno frekventna karakteristika kola sa

slike 3.6.

3.7) Nacrtati logaritamsku amplitudno frekventnu karakteristiku sistema čija je prenosna

funkcija:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ω

+⋅=

3P2P1P

z

2

s1s1s1

s1sK)s(G

gde su: 40K −= , 21P =ω , 05.02P =ω , 1133P =ω , 23z =ω .


85

Rešenje:

Smenom ω= js prenosna funkcija sistema postaje:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

+⋅ω−=ω

3P2P1P

z2

j1j1j1

j1K)j(G (3.7.1)

Tada je:

2

3P

2

2P

2

1P

2

z2

111

1K)j(G

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

+

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

+

⋅ω⋅=ω (3.7.2)

2

3P

2

z

2

2P

2

1P

1log201log20

1log201log20log40Klog20dBG

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

++

+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

+−⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

+−ω+=

(3.7.3)


86

3.8) Nacrtati amplitudno faznu karakteristiku sistema čija je prenosna funkcija:

o

o ssG)s(Gω+

=

Rešenje:

2o

o

oo

o

oo

oojs

1

j1G

j1

j1

j1

1Gj

jG)s(G

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ωω

+

ωω

+=

ωω

+

ωω

+⋅

ωω

−=

ω+ωω

=ω= (3.8.1)

odnosno:

)(jG)(G

1

Gj

1

G)j(G 212o

oo

2o

o ω+ω=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ωω

+

ωω

⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ωω

+

=ω (3.8.2)

gde su:

2o

o1

1

G)(G

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ωω

+

=ω (3.8.3)

)(G

1

G)(G 1

o2

o

oo

2 ωωω

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ωω

+

ωω

=ω (3.8.4)

Jednačine (3.8.3) i (3.8.4) predstavljaju parametarske jednačine tražene karakteristike. Iz

jednačine (3.8.3) sledi da je:

1)(G

G

1

oo −ω

=ωω (3.8.5)


0)(G1)(G

G)(G 21

1

o22 =ω⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

ω=ω (3.8.6)

odnosno: 2

o22

2o

1 2G)(G

2G)(G ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=ω+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −ω (3.8.7)

Jednačina (3.8.7) je jednačina kruga sa centrom u tački (G0/2 , 0). U polarnim

koordinatima jednačina (3.8.1) postaje:


87

[ ]ϕ+ϕω=ω=ω ωϕ sinjcos)j(Ge)j(G)j(G )(j (3.8.8)

gde su:

2o

o

oo

1

Gj

jG)j(G

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ωω

+

=ω+ω

ω=ω

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ωω

−π

=ωϕo

arctg2

)(

Amplitudno fazna karakteristika se crta u ravni G1(ω) i jG2(ω) za vrednosti kružne

učestanosti 0 ≤ ω < ∞ . Položaj bilo koje tačke u toj ravni određen je vrhom fazora G(jω) čija

je dužina jednaka )j(G ω , a koji sa pozitivnim smerom G1(ω) ose zaklapa ugao ϕ(ω). Iz

jednačina (3.8.2) i (3.8.8) sledi da su: ϕω=ω cos)j(G)(G1 i ϕω=ω sin)j(G)(G2 .

Karakteristične tačke funkcije G(jω) su date u tablici.

ω 0 oω ∞

)(G1 ω 0 2

Go oG

)(G2 ω 0 2

Go 0

)j(G ω 0 2

Go oG

)(ωϕ 2π

4π

0

Amplitudno fazna karakteristika sistema je prikazana na slici 3.8.1.


88

3.9) Nacrtati amplitudno faznu karakteristiku sistema čija je prenosna funkcija:

1ss

1)s(G 2 ++=

Rešenje:

)(jG)(G)1(

j)1(

j)1(j)1(

j)1(1

1j1)s(G

21222

2

2

2

22js

ω+ω=ω+ω−ω−ω−

=

=ω−ω−ω−ω−

⋅ω+ω−

=+ω+ω−

=ω=

(3.9.1)

gde su:

222

2

1)1(

1)(Gω+ω−

ω−=ω (3.9.2)

2222 )1()(G

ω+ω−ω

−=ω (3.9.3)

U polarnim koordinatima jednačina (3.9.1) postaje: )(je)j(G)j(G ωϕω=ω (3.9.4)

gde su:

( ) 2221

1)j(Gω+ω+

=ω

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ω−

ω−=ωϕ 21

arctg)(

Neke od tačaka funkcije G(jω) su date u tablici.

ω 0 0.5 1 2 ∞

)(G1 ω 1 0.923 0 –0.231 0

)(G2 ω 0 –0.615 –1 –0.154 0

)j(G ω 1 1.109 1 0.227 0

)(ωϕ 0 33.7o –90o –146.3o –180o

Amplitudno fazna karakteristika sistema je prikazana na slici 3.9.1.


89

METOD PROSTORA STANJA

90

4. METOD PROSTORA STANJA

Reprezentacija sistema u prostoru stanja sastoji se u izražavanju trenutnih relacija između

signala ulaza u(t) i signala izlaza y(t) u obliku:

)t(BU)t(AXdt

)t(dX+= (1)

)t(DU)t(CX)t(Y += (2)

gde su:

X(t) – n x 1 dimenzioni vektor stanja, a njegove n koordinate su promenjive stanja;

U(t) – m x 1 dimenzioni ulazni vektor, a njegove m koordinate su ulazne promenjive;

A – n x n matrica prelaza;

B – n x m matrica ulaza;

Y(t) – p x 1 dimenzioni vektor, njegove p koordinata su izlazne promenjive;

C – p x n matrica izlaza;

D – p x m izlazno – ulazna matrica;

Reprezentacija sistema u prostoru stanja je pogodna kod složenijih sistema automatskog

upravljanja, kada se traže rešenja više promenjivih, naročito ako su one uslovljene

unutrašnjim ponašanjem sistema. Ovaj prilaz obično koristi matrični račun. Korišćenjem

promenjivih stanja sistem se opisuje sistemom linearnih diferencijalnih jednačina prvog reda,

odnosno problem se rešava rešavanjem sistema linearnih diferencijalnih jednačina, umesto

jedne diferencijalne jednačine višeg reda. Takođe, metoda prostora stanja uspešno se

primenjuje i kod sistema sa više ulaznih i izlaznih promenjivih sistema, kao i kod većine

nelinearnih, vremenski promenjivih, stohastičkih i sistema sa diskretnom promenjivom.


91

4.1) Za električni sistem sa slike 4.1 napisati diferencijalne jednačine koje opisuju dinamičko

ponašanje sistema u prostoru stanja. Za ulazne promenjive uzeti napone generatora v1(t) i

v2(t), a za izlazne promenjive napone na zavojnicama L1 i L2.

Rešenje:

Za sistem sa slike 4.1 se primenom metode konturnih struja mogu napisati sledeće

jednačine:

)t(v)t(vdt

)t(diL)t(iR 11

111 =++ (4.1.1)

)t(v)t(vdt

)t(diL)t(iR 22

222 −=−+ (4.1.2)

)t(i)t(idt

)t(dvC 21 −= (4.1.3)

Prethodni sistem jednačina može da se napiše u sledećem obliku:

)t(v0)t(vL1)t(v

L1)t(i0)t(i

LR

dt)t(di

2111

211

11 ⋅+⋅+⋅−⋅+⋅−= (4.1.4)

)t(vL1v0)t(v

L1)t(i

LR)t(i0

dt)t(di

22

12

22

21

2 ⋅−⋅+⋅+⋅−⋅= (4.1.5)

)t(v0)t(v0)t(v0)t(iC1)t(i

C1

dt)t(dv

2121 ⋅+⋅+⋅+⋅−⋅= (4.1.6)

U matričnom obliku prethodni sistem jednačina izgleda:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−

=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

)t(v)t(v

00L10

0L1

)t(v)t(i)t(i

0C1

C1

L1

LR

0

L10

LR

dt)t(dv

dt)t(di

dt)t(di

2

1

2

1

2

1

22

211

1

2

1

(4.1.7)

odnosno:


92

)t(UB)t(XAdt

)t(dX⋅+⋅= (4.1.8)

gde su:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)t(v)t(v

)t(U2

1 – ulazni vektor i ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

)t(v)t(i)t(i

)t(X 2

1

– vektor stanja

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−

−−

=

0C1

C1

L1

LR0

L10

LR

A22

211

1

i

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

00L10

0L1

B2

1

Za napone na zavojnicama, kao izlaznim promenjivim, mogu se napisati sledeće

jednačine:

)t(v0)t(v)t(v)t(i0)t(iRdt

)t(diL)t(v 212111

11L ⋅++−⋅+⋅−== (4.1.9)

)t(v)t(v0)t(v)t(iR)t(i0dt

)t(diL)t(v 212212

22L −⋅++⋅−⋅== (4.1.10)

U matričnom obliku predhodni sistem jednačina izgleda:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡)t(v)t(v

1001

)t(v)t(i)t(i

1R010R

)t(v)t(v

2

12

1

2

1

2L

1L (4.1.11)

odnosno:

)t(UD)t(XC)t(Y ⋅+⋅= (4.1.12)

gde su:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

)t(v)t(v

)t(Y2L

1L – izlazni vektor,

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−=

1R010R

C2

1 i ⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=10

01D

4.2) Za hidraulični sistem sa slike 4.2 napisati diferencijalne jednačine koje opisuju

dinamičko ponašanje sistema u prostoru stanja. Za ulazne promenjive uzeti protoke q1i(t) i

q2i(t), a za promenjive stanja h1(t) i h2(t).


93

Rešenje:

Na osnovu definicije hidraulične otpornosti mogu se napisati sledeće jednačine:

)t(q)t(h)t(hR

o1

211

−= (4.2.1)

)t(q)t(hR

o2

22 = (4.2.2)

Na osnovu definicije hidrauličnog kapaciteta rezervoara mogu se napisati sledeće

jednačine:

)t(q)t(qdt

)t(dhC o1i11

1 −= (4.2.3)

)t(qq)t(qdt

)t(dhC o2i2o12

2 −+= (4.2.4)


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −−=

1

21i1

1

1R

)t(h)t(h)t(q

C1

dt)t(dh (4.2.5)

Iz jednačina (4.2.1) i (4.2.2) i (4.2.4) sledi da je:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+

−=

2

2i2

1

21

2

2R

)t(h)t(q

R)t(h)t(h

C1

dt)t(dh (4.2.6)

Za promenjive stanja:

)t(h)t(x 11 = i )t(h)t(x 22 =

i ulazne promenjive

)t(q)t(u i11 = )t(q)t(u i22 =

prethodne jednačine postaju:

(t)uC1(t)x

CR1(t)x

CR1

dt(t)dx

11

211

111

1 ⋅+⋅+⋅−= (4.2.7)


94

)t(uC1)t(x

CR1

CR1)t(x

CR1

dt)t(dx

22

22211

121

2 ⋅+⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⋅= (4.2.8)

Odnosno, u matričnom obliku:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

=

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

(t)u

(t)u

C10

0C1

(t)x

(t)x

CR1

CR1

CR1

CR1

CR1

dt(t)dx

dt(t)dx

2

1

2

1

2

1

221121

1111

2

1

(4.2.9)

4.3) Prenosna funkcija sistema data je jednačinom:

5ss3s2s

3)s(U)s(Y)s(G 234 ++++==

Koristeći direktan postupak napisati diferencijalne jednačine koje opisuju ponašanje sistema

u prostoru stanja. Formirati simulacioni blok dijagram.

Rešenje:

Iz prenosne funkcije sistema G(s) proizilazi da je diferencijalna jednačina sistema:

)t(u3)t(y5dt

)t(dydt

)t(yd3dt

)t(yd2dt

)t(yd2

2

3

3

4

4=++++ (4.3.1)

Ako se za promenjive stanja usvoje:

)t(y)t(x1 = (4.3.2)

dt)t(dx

dt)t(dy)t(x 1

2 == (4.3.3)

dt)t(dx

dt)t(yd)t(x 2

2

2

3 == (4.3.4)

dt)t(dx

dt)t(yd)t(x 3

3

3

4 == (4.3.5)

diferencijalna jednačina (4.3.1) prelazi u sledeći sistem diferencijalnih jednačina:

)t(xdt

)t(dx2

1 = (4.3.6)

)t(xdt

)t(dx3

2 = (4.3.7)


95

)t(xdt

)t(dx4

3 = (4.3.8)

)t(u3)t(x2)t(x3)t(x)t(x5dt

)t(dx4321

4 +−−−−= (4.3.9)


)t(u

3000

)t(x)t(x)t(x)t(x

2315100001000010

)t(x)t(x)t(x)t(x

dtd

4

3

2

1

4

3

2

1

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

(4.3.10)

[ ]⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅=

)t(x)t(x)t(x)t(x

0001)t(y

4

3

2

1

(4.3.11)

Simulacija linearnih sistema sa koncentrisanim parametrima može se izvršiti standardnih

elementa čiji su simboli i prenosne funkcije prikazani na slici 4.3.1.

Na osnovu prethodnih jednačina može se formirati simulacioni blok dijagram sistema:


96


32s5s3s

52sU(s)Y(s)G(s) 23 +++

+==

Koristeći direktan postupak napisati diferencijalne jednačine koje opisuju ponašanje sistema

u prostoru stanja. Formirati simulacioni blok dijagram.

Rešenje:

Prenosna funkcija sistema se može napisati u obliku:

)s(G)s(G)s(Z)s(Y

)s(U)s(Z

)s(U)s(Y)s(G 21=⋅== (4.4.1)

gde su:

32s5s3s1

U(s)Z(s)(s)G 231

+++== (4.4.2)

5s2)s(Z)s(Y)s(G 2 +== (4.4.3)

Iz jednačina (4.4.2) i (4.4.3) dobijaju se sledeće diferencijalne jednačine:

u(t)3z(t)dt

dz(t)2dtz(t)d5

dtz(t)d3 2

2

3

3=+++ (4.4.4)

)t(y)t(z5dt

)t(dz2 =+ (4.4.5)


)t(z)t(x1 = (4.4.6)


97

dt)t(dx

dt)t(dz)t(x 1

2 == (4.4.7)

dt)t(dx

dt)t(zd)t(x 2

2

2

3 == (4.4.8)

diferencijalna jednačina (4.4.4) prelazi u sledeći sistem diferencijalnih jednačina:

)t(xdt

)t(dx2

1 = (4.4.9)

)t(xdt

)t(dx3

2 = (4.4.10)

)t(u31)t(x

35)t(x

32)t(x

dt)t(dx

3213 +−−−= (4.4.11)


)t(u

3100

)t(x)t(x)t(x

35

321

100010

)t(x)t(x)t(x

dtd

3

2

1

3

2

1

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ (4.4.12)

Jednačina (4.4.5) postaje :

)t(x2)t(x5)t(y 21 += (4.4.13)


[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅=

)t(x)t(x)t(x

025)t(y

3

2

1

(4.4.14)



98


)4s)(3s)(1s(

5)s(U)s(Y)s(G

+++==

Koristeći serijski postupak napisati diferencijalne jednačine koje opisuju ponašanje sistema u

prostoru stanja.

Rešenje:

Prenosnoj funkciji sistema G(s) odgovara sledeći strukturni blok dijagram:

Sa slike 4.5.1 se vidi da je:

1s5

)s(U)s(X3

+= (4.5.1)

odnosno:

)s(U5)s(X)s(sX 33 =+ (4.5.2)

3s1

)s(X)s(X

3

2+

= (4.5.3)

odnosno:

)s(X)s(X3)s(sX 322 =+ (4.5.4)

4s1

)s(X)s(X

2

1+

= (4.5.5)

odnosno:

)s(X)s(X4)s(sX 211 =+ (4.5.6)

Primenom inverzne Laplasove transformacije prethodne jednačine postaju:

)t(x)t(x4dt

)t(dx21

1 +−= (4.5.7)

)t(x)t(x3dt

)t(dx32

2 +−= (4.5.8)

)t(u5)t(xdt

)t(dx3

3 +−= (4.5.9)


99


)t(u500

)t(x)t(x)t(x

100130014

)t(x)t(x)t(x

dtd

3

2

1

3

2

1

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ (4.5.10)


)5s)(4s)(2s(

)3s)(1s(2)s(U)s(Y)s(G

+++++

==

Koristeći serijski postupak napisati diferencijalne jednačine koje opisuju ponašanje sistema u

prostoru stanja.

Rešenje:

Prenosnoj funkciji sistema G(s) odgovara sledeći strukturni blok dijagram:


2s2

)s(U)s(X3

+= (4.6.1)

odnosno:

)s(U2)s(X2)s(sX 33 =+ (4.6.2)

2U(s)(s)2X(s)sX 33 +−= (4.6.3)

4s1s

)s(X)s(X

3

2++

= (4.6.4)

odnosno:

)s(U2)s(X)s(X)s(U2)s(X2)s(X)s(sX)s(X4)s(sX 3333322 +−=++−=+=+ (4.6.5)

)s(U2)s(X)s(X4)s(sX 322 +−−= (4.6.6)

5s3s

)s(X)s(X

2

1++

= (4.6.7)

odnosno:

)s(X3)s(U2)s(X)s(X4)s(X3)s(sX)s(X5)s(sX 2322211 ++−−=+=+ (4.6.8)


100

)s(U2)s(X)s(X)s(X5)s(sX 3211 +−−−= (4.6.9)


)t(u2)t(x)t(x)t(x5dt

)t(dx321

1 +−−−= (4.6.10)

)t(u2)t(x)t(x4dt

)t(dx32

2 +−−= (4.6.11)

)t(u2)t(x2dt

)t(dx3

3 +−= (4.6.12)


)t(u222

)t(x)t(x)t(x

200140115

)t(x)t(x)t(x

dtd

3

2

1

3

2

1

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ (4.6.13)


)4s)(2s)(1s(

1s)s(U)s(Y)s(G

2

++++

==

Koristeći paralelni postupak napisati diferencijalne jednačine koje opisuju ponašanje sistema

u prostoru stanja.

Rešenje:

Prenosna funkcija sistema se može napisati u obliku:

4sK

2sK

1sK

)4s)(2s)(1s(1s

)s(U)s(Y)s(G 321

2

++

++

+=

++++

== (4.7.1)

gde su koeficijenti Ki (i = 1,2,3):

[ ]32)s(G)1s(K 1s1 =+= −=

[ ]25)s(G)2s(K 2s2 −=+= −=

[ ]6

17)s(G)4s(K 4s3 =+= −=



101

)s(U4s

16

17)s(U2s

125)s(U

1s1

32)s(Y

+⋅+

+⋅−

+⋅= (4.7.2)

Jednačini (4.7.2) odgovara sledeći strukturni blok dijagram:


)s(U1s

1)s(X1 += (4.7.3)

odnosno:

)s(U)s(X)s(sX 11 =+ (4.7.4)

)s(U2s

1)s(X2 += (4.7.5)

odnosno:

)s(U)s(X2)s(sX 22 =+ (4.7.6)

)s(U4s

1)s(X3 += (4.7.7)

odnosno:

)s(U)s(X4)s(sX 33 =+ (4.7.8)

Iz jednačne (4.7.2) sledi da je:

)s(X6

17)s(X25)s(X

32)s(Y 321 +−= (4.7.9)


)t(u)t(xdt

)t(dx1

1 +−= (4.7.10)

)t(u)t(x2dt

)t(dx2

2 +−= (4.7.11)


102

)t(u)t(x4dt

)t(dx3

3 +−= (4.7.12)

)t(x6

17)t(x25)t(x

32)t(y 311 +−= (4.7.13)


)t(u111

)t(x)t(x)t(x

400020001

)t(x)t(x)t(x

dtd

3

2

1

3

2

1

⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ (4.7.14)

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

)t(x)t(x)t(x

617

25

32)t(y

3

2

1

(4.7.15)

4.8) Odrediti prenosnu funkciju sistema koji je opisan sistemom diferencijalnih jednačina u

prostoru stanja:

)t(BU)t(AXdt

)t(dX+=

)t(CX)t(Y =

gde su:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

300320010

A ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

200

B [ ]001C =

Rešenje:

Primenom direktne Laplasove transformacije, uz uslov da su svi početni uslovi nula,

sistem jednačina koji opisuje dinamičko ponašanje sistema u prostoru stanja postaje:

)s(BU)s(AX)s(sX += (4.8.1)

)s(CX)s(Y = (4.8.2)


[ ] )s(BU)s(XAsI =− (4.8.3)

odnosno:

[ ] )s(BU AsI)s(X 1 −−= (4.8.4)

gde je I – jedinična matrica. Inverzna matrica:


103

[ ] [ ][ ]AsIdet

AsIadj AsI 1 −−

=−=Φ − (4.8.5)

naziva se rezolventna matrica. Iz jednačina (4.8.2) i (4.8.4) sledi da je:

[ ] )s(BU AsIC)s(Y 1 −−= (4.8.6)

Iz jednačine (4.8.6) se dobija prenosna funkcija sistema:

[ ] B AsIC)s(U)s(Y 1 −−= (4.8.7)

Iz prethodnih jednačina sledi da je:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−

−=−

3s0032s0

01sAsI (4.8.8)

[ ] )3s)(2s(sAsIdet −−=− (4.8.9)

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−

=−)2s(s00

s3)3s(s033s)3s)(2s(

AsIadj (4.8.10)

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−−−

=−= −

3s100

3)2)(s(s3

2s10

3)2)(ss(s3

2)s(s1

s1

AsIΦ(s) 1 (4.8.11)

Iz jednačina od (4.8.7) do (4.8.11) sledi da je prenosna funkcija sistema:

[ ]3)2)(ss(s

6

200

3s100

3)2)(s(s3

2s10

3)2)(ss(s3

2)s(s1

s1

001(s)BCU(s)Y(s)G(s)

−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−

−−−

−−−

⋅=Φ==

4.9) Dinamičko ponašanje sistema sa dva ulaza i dva izlaza opisano je sledećim

diferencijalnim jednačinama:


104

)t(u)t(y3)t(y2dt

)t(dy4

dt)t(yd

1211

21

2=−++

dt)t(du3

dt)t(du2)t(u)t(y)t(y4

dt)t(dy 21

2122 ++=+−

Napisati diferencijalne jednačine koje opisuju dinamičko ponašanje sistema u prostoru stanja.

Formirati simulacioni blok dijagram.

Rešenje:

Primenom direktne Laplasove transformacije jednačine koje opisuju dinamičko ponašanje

sistema postaju:

)s(U)s(Y3)s(Y2)s(sY4)s(Ys 121112 =−++ (4.9.1)

)s(sU3)s(sU2)s(U)s(Y)s(Y4)s(sY 212122 ++=+− (4.9.2)


[ ])s(Y)s(Y4)s(Us1)s(U3)s(U2)s(Y 122212 −+++= (4.9.3)


)s(Y)s(X 11 = (4.9.4)

)s(sX)s(X 12 = (4.9.5)

[ ])s(Y)s(Y4)s(Us1)s(X 1223 −+= (4.9.6)


)s(X)s(U3)s(U2)s(Y 3212 ++= (4.9.7)

Iz jednačina (4.9.1), (4.9.4), (4.9.5) i (4.9.7) sledi da je:

)s(Y3)s(X2)s(X4)s(U)s(sX 21212 +−−= (4.9.8)

Odnosno, iz jednačina (4.9.7) i (4.9.8) sledi:

[ ])s(X)s(U3)s(U23)s(X2)s(X4)s(U)s(sX 3211212 ++⋅+−−= (4.9.9)


[ ] )s(X)s(X)s(U3)s(U24)s(U)s(sX 132123 −++⋅+= (4.9.10)

Primenom inverzne Laplasove transformacije jednačine (4.9.5), (4.9.9) i (4.9.10) postaju:

)t(u0)t(u0)t(x0)t(x1)t(x0dt

)t(dx21321

1 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= (4.9.11)


105


)t(dx21321

2 ⋅+⋅+⋅+−⋅−= (4.9.12)


)t(dx21321

3 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅−= (4.9.13)

U matričnom obliku prethodni sistem jednačina u prostoru stanja postaje:

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

)t(u)t(u

1389700

)t(x)t(x)t(x

401342010

)t(x)t(x)t(x

dtd

2

1

3

2

1

3

2

1

(4.9.14)

Primenom inverzne Laplasove transformacije jednačine (4.9.4) i (4.9.7) postaju:

)t(u0)t(u0)t(x0)t(x0)t(x1)t(y 213211 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= (4.9.15)

)t(u3)t(u2)t(x1)t(x0)t(x0)t(y 213212 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅= (4.9.16)


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡)t(u)t(u

3200

)t(x)t(x)t(x

100001

)t(y)t(y

2

1

3

2

1

2

1 (4.9.17)



106

4.10) Dinamičko ponašanje sistema sa dva ulaza i tri izlaza opisano je sledećim

diferencijalnim jednačinama:

0yydt

dy21

1 =−+

dtduu2y4

dtdy3

dtyd

dtdy 2

132

22

21 −−=−−−

133 uy2

dtdy

=+

Napisati diferencijalne jednačine koje opisuju dinamičko ponašanje sistema u prostoru stanja.

Formirati simulacioni blok dijagram.

Rešenje:

Primenom direktne Laplasove transformacije jednačine koje opisuju dinamičko ponašanje

sistema postaju:

)s(Y)s(Y)s(sY 121 −= (4.10.1)

)s(sU)s(U2)s(Y4)s(sY3)s(sY)s(Ys 2132122 ++−−= (4.10.2)

)s(Y2)s(U)s(sY 313 −= (4.10.3)


s)s(Y2)s(U

2)s(U)s(Y3)s(Y)s(sY 312212

−++−= (4.10.4)


s)s(Y2)s(U)s(Y 313

−= (4.10.5)


)s(Y2)s(U)s(Y3)s(Y)s(sY 32212 ++−= (4.10.6)


)s(Y)s(X 11 = (4.10.7)

)s(Y)s(X 22 = (4.10.8)

)s(Y)s(X 33 = (4.10.9)

primenom inverzne Laplasove transformacije jednačine (4.10.1), (4.10.3) i (4.10.6) postaju:


)t(dx21321

1 ⋅+⋅+⋅+⋅+⋅−= (4.10.10)


107


)t(dx21321

2 ⋅+⋅+⋅+−⋅= (4.10.11)


)t(dx21321

3 ⋅+⋅+⋅−⋅+⋅= (4.10.12)


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

)t(u)t(u

011000

)t(x)t(x)t(x

200231011

)t(x)t(x)t(x

dtd

2

1

3

2

1

3

2

1

(4.10.13)

Primenom inverzne Laplasove transformacije jednačine (4.10.7), (4.10.8) i (4.10.9)

postaju:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

)t(y)t(y)t(y

)t(x)t(x)t(x

3

2

1

3

2

1

(4.10.14)


4.11) Na slici 4.11 prikazan je simulacioni blok dijagram sistema automatskog upravljanja.

Odrediti model u prostoru stanja. Ispitati kontrolabilnost i observabilnost modela u zavisnosti

od parametra K.


108

Rešenje:

Sa slike 4.11 se vidi da su jednačine koje dinamičko ponašanje sistema:

)t(x)1K()t(x2dt

)t(dx21

1 ++−= (4.11.1)

)t(u)t(xdt

)t(dx2

2 +−= (4.11.2)

)t(xdt

)t(dx2

3 = (4.11.3)

)t(x)t(x)t(y 31 += (4.11.4)


)t(UB)t(XA)t(u010

)t(x)t(x)t(x

01001001K2

)t(x)t(x)t(x

dtd

3

2

1

3

2

1

⋅+⋅=⋅⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−+−

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡ (4.11.5)

[ ] )t(XC)t(x)t(x)t(x

101)t(y

3

2

1

⋅=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅= (4.11.6)

Sistem je kontroabilan (upravljiv) ako postoji takav upravljački vektor U(t) koji u

konačnom vremenu može prevesti sistem iz proizvoljnog početnog stanja u neko unapred

odabrano krajnje stanje. Kontrolabilnost stanja se verifikuje na osnovu izračunavanja matrice

kontrolabilnosti:

[ ]BA...ABBQ 1nc

−=

Ako je rang[Qc] = n, stanja su potpuno kontrolabilna (Matrica A ima rang r ako među

njenim kvadratnim submatricama postoji bar jedna nesingularna matrica reda r, dok su sve

submatrice reda višeg od r, ako postoje singularne. Kvadratna matrica je nesingularna ako i

samo ako je determinanta matrice različita od nule).

Matrica kontrolabilnosti kola sa slike 4.11 je:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−−+=

110111

3K31K0Qc (4.11.7)

Sistem je potpuno kontrolabilan ako je rang[Qc] = 3, odnosno ako je:

0)1K(2]Qdet[ c ≠+−= (4.11.8)

Iz jednačine (4.11.8) sledi da je sistem potpuno kontrolabilan za svako K koje je različito

od − 1.


109

Sistem je observabilan (osmotriv) ako se na osnovu merenja izlaznog vektora Y(t) u

konačnom vremenu mogu dobiti podaci za rekonstrukciju vektora stanja X(t). Stanje X(t) je

kompletno opservabilno ako je rang matrice observabilnosti:

[ ]T1nTTTTo C)A(...CACQ −=

jednak rang[Qo] = n.

Matrica observabilnosti kola sa slike 4.11 je:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−−+

−=

0014K32K0

421Qc (4.11.9)

Sistem je potpuno observabilan ako je rang[Qc]=3, odnosno ako je:

0K2]Qdet[ o ≠= (4.11.10)

Iz jednačine (4.11.10) sledi da je sistem potpuno observabilan za svako K koje je različito

od nule.

4.12) Ispitati kontrolabilnost i observabilnost sistema koji je opisan sistemom diferencijalnih

jednačina u prostoru stanja:

)t(BU)t(AXdt

)t(dX+=

)t(CX)t(Y =

gde su:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−=

122232

627A

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=0111

11B ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−−=

111211

C

Rešenje:

Sistem je potpunu kontrolabilan ako je rang matrice kontrolabilnosti sistema Qc jednak

redu sistema, odnosno 3. Matrica Qc sistema je:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−

−−==

0903012595311

2595311BAABBQ 2

c (4.12.1)

Kako je rang[Qc] = 2 < 3 sistem nije potpuno kontrolabilan.

Sistem je potpuno observabilan ako je rang matrice opservabilnosti sistema Qo jednak

redu sistema, odnosno 3. Matrica Qo sistema je:


110

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−−−−−−−−

==923212

913111913111

CAACACQ TTTTTTo (4.12.2)

Kako je rang[Qo] = 2 < 3 sistem nije potpuno kontrolabilan.

4.13) Dinamičko ponašanje sistema automatskog upravljana je opisan sistemom

diferencijalnih jednačina u prostoru stanja:

)t(BU)t(AXdt

)t(dX+=

)t(CX)t(Y =

gde su:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=

300130001

A ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

101

B ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=

41

21

41C

odrediti prenosnu funkciju i ispitati kontrolabilnost i observabilnost sistema.

Rešenje:

Da bi se odredila prenosna funkcija sistema potrebno je izračunati rezolventnu matricu:

[ ] [ ][ ]AsIdet

AsIadj AsI 1 −−

=−=Φ − (4.13.1)

gde su:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−+

+=−

3s0013s0

001sAsI (4.13.2)

[ ] 2)3s)(1s(AsIdet ++=− (4.13.3)

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++++

+=−

)3s)(1s(001s)3s)(1s(0

00)3s(AsIadj

2

(4.13.4)

Rezolventna matrica je:


111

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++

+

=−= −

3s100

3)(s1

3s10

001s

1

AsIΦ(s) 21 (4.13.4)


22 3)1)(s(s2s

101

3s100

3)(s1

3s10

001s

1

41

21

41(s)BC

U(s)Y(s)G(s)

+++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++

+

⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −=Φ==

Matrice kontrolabilnosti sistema Qc je:

[ ]⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−==

931610

111BAABBQ 2

c (4.13.4)

Sistem je potpunu kontrolabilan ako je rang matrice kontrolabilnosti sistema Qc jednak

redu sistema, odnosno 3. Kako je det[Qc] =−4, rang[Qc] =3 i sistem je potpuno kontrolabilan.

Matrica observabilnosti sistema Qo je:

[ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−

−

==

421

45

41

29

23

21

41

41

41

CAACACQ TTTTTTo (4.13.5)

Sistem je potpuno observabilan ako je rang matrice observabilnosti sistema Qo jednak

redu sistema, odnosno 3. Kako je det[Qo] =0.25, rang[Qc] =3 i sistem je potpuno

observabilan.

4.14) Odrediti fundamentalnu matricu za sistem automatskog upravljanja čiji je matrični

model u prostoru stanja:


112

)t(XA)t(x)t(x)t(x

100120013

)t(x)t(x)t(x

dtd

3

2

1

3

2

1

⋅=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

pomoću: a) rezolventne matrice; b) razvijanjem u red.

Rešenje:

a) Fundamentalna matrica sistema je:

[ ])s(L)t( 1 Φ=Φ − (4.14.1)

gde je Φ(s) rezolventna matrica sistema:

[ ] [ ][ ]

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

++−

−−+−−−

=−−

=−=Φ −

1s100

)2s)(1s(1

2s10

)3s)(2s)(1s(1

)3s)(2s(1

3s1

AsIdetAsIadj AsI)s( 1 (4.14.2)

Da bi se odredila fundamentalna matrica sistema neophodno je odrediti inverznu

Laplasovu transformaciju od Φ(s). Inverzna Laplasova transformacija za svaki član

rezolventne matrice je:

t3111

111 e

3s1L)]s([L)t( =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

=φ=φ −−

t2t31112

112 ee

2s1

3s1L

)3s)(2s(1L)]s([L)t( −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

−−

−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−

=φ=φ −−−

t3t2t1

113

113

e41e

31e

121

3s1

41

2s1

31

1s1

121L

)3s)(2s)(1s(1L)]s([L)t(

+−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−⋅+

−⋅−

+⋅=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−+

=φ=φ

−−

−−

t2122

122 e

2s1L)]s([L)t( =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−

=φ=φ −−

t2t1123

123 e

31e

31

2s1

31

1s1

31L

)2s)(1s(1L)]s([L)t( −−−−− +−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡

+⋅+

+⋅−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡++

=φ=φ

t133

133 e

1s1L)]s([L)t( −−− =⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+

=φ=φ

Sada je fundamentalna matrica sistema data:


113

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+−

+−−

=Φ

−

−−

−

t

t2tt2

t3t2tt2t3t3

e00

e31e

31e0

e41e

31e

121eee

)t( (4.14.3)

b) Fundamentalna matrica se dobija razvijanjem eksponencijalne funkcije u red:

kk

0k

nn22At tA!k

1...tA!n

1...tA!2

1AtIe)t( ∑∞

=

=+++++==Φ (4.14.4)

Fundamentalna matrica je:

...

2t002t

2t40

2t

2t5

2t9

t00tt20ttt3

100010001

e)t( At +

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==Φ (4.14.5)

4.15) Dinamičko ponašanje sistema automatskog upravljana je opisan sistemom

diferencijalnih jednačina u prostoru stanja:

)t(BU)t(AXdt

)t(dX+=

)t(CX)t(Y =

gde su:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=

200010000

A ⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

111

B ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

211

21C

odrediti kretanje promenjivih stanja X(t) i ponašanje izlaza sistema Y(t). Ulaz je u(t) = 2h(t),

dok je vektor početnih uslova: [ ]T011)0t(X −== +

Rešenje:

Kretanje promenjivih stanja određuje se pomoću relacije:

∫ τττ−Φ+=⋅Φ= +

t

0

d)(Bu)t()0t(X)t()t(X (4.15.1)


114

Prvi sabirak sa desne strane predstavlja kretanje promenljivih stanja usled dejstva

početnih uslova. Drugi sabirak sa desne strane predstavlja kretanje promenljivih stanja usled

dejstva spoljne pobude. Fundamentalna matrica sistema je:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=Φ

−

−

t2

t

e000e0001

)t( (4.15.2)

Izraz za kretanje promenljivih stanja usled dejstva početnih uslova je:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−⋅

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡==⋅Φ −

−

−+

0e1

01

1

e000e0001

)0t(X)t( t

t2

t (4.15.3)

Izraz za kretanje promenljivih stanja usled dejstva spoljne pobude određuje se primenom

teoreme o konvoluciji originala, uzimajući da je F1(s) = Φ(s), a F2(s) = BU(s).

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+=⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

+

+=Φ

)2s(s2

)1s(s2s2

s2

1

1

1

2s100

01s

10

00s1

)s(BU)s(

2

(4.15.4)

Tada je:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−=τττ−Φ

−

−∫)e1(2)e1(2

t2d)(Bu)t(

t2

tt

0

(4.15.5)

Konačan izraz koji opisuje kretanje promenljivih stanja sistema je:

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

−

−

−

−−

)e1(2e321t2

)e1(2)e1(2

t2

0e1

)t(x)t(x)t(x

)t(Xt2

t

t2

tt

3

2

1

(4.15.6)

Izraz koji opisuje ponašanje izlaza sistema je:

t2t

t2

t ee327t

e1e321t2

211

21)t(CX)t(y −−

−

− −−+=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−+

⋅⎥⎦⎤

⎢⎣⎡== (4.15.7)

TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

115

5. TAČNOST I STABILNOST SISTEMA AUTOMATSKOG UPRAVLJANJA

5.1. Tačnost sistema automatskog upravljanja

Sistemi automatskog upravljanja su uglavnom sistemi sa negativnom povratnom spregom

(slika 1). Pod tačnošću sistema automatskog upravljnja podrazumeva se odstupanje između

neke unapred zadate vrednosti ulazne – upravljačke promenjive x(t) i ostvarene vrednosti

izlazne – upravljene promenjive y(t).

Greška odstupanja e(t) je:

)t(y)t(x)t(e −= (1)

Tačnost sistema je veća kada je ova razlika manja. Tačnost upravljanja zavisi od sistema

upravljanja i oblika ulazne promenjive. Greške sistema se definišu za unapred usvojene

ulazne promenjive i to u stacionarnom stanju. Sa slike 1 se vidi da je:

)s(W1)s(X)s(E

+= (2)

Na osnovu teoreme o konačnoj vrednosti određuje se greška u stacionarnom stanju:

)s(W1)s(sXlim)s(sElim)t(elim

0s0st +==

→→∞→ (3)

Kao standardne ulazne promenjive koriste se uglavnom:

1. jedinična funkcija s

x)s(X)t(Ux)t(x o

o =→=


116

2. nagibna funkcija 2o

osx

)s(Xtx)t(x =→=

3. parabolična funkcija 3o

2o

sx

)s(X2tx

)t(x =→=

1. Greška u stacionarnom stanju na jediničnu ulaznu promenjivu je:

p

o

o

0s0st K1x

)s(W1s

xslim)s(sElim)t(elim

+=

+

⋅==

→→∞→

Kp je konstanta položaja i data je jednačinom:

)s(WlimK0sp

→=

2. Greška u stacionarnom stanju na nagibnu ulaznu promenjivu je:

[ ] v

oo0s

2o

0s0st Kx

)s(W1sxlim

)s(W1sxs

lim)s(sElim)t(elim =+

=+

⋅==

→→→∞→

KV je brzinska konstanta i data je jednačinom:

)s(sWlimK0sv

→=

3. Greška u stacionarnom stanju na paraboličnu ulaznu promenjivu je:

[ ] a

o2

o0s

3o

0s0st Kx

)s(W1sxlim

)s(W1sxs

lim)s(sElim)t(elim =+

=+

⋅==

→→→∞→

Ka je konstanta ubrzanja i data je jednačinom:

)s(WslimK 2

0sa→

=

5.2. Stabilnost sistema automatskog upravljanja

Linearni, kontinualni i vremenski invarijantan sistem sa koncentrisanim parametrima je

stabilan ako i samo ako u njemu komponente prelaznog režima iščezavaju kada t → ∞.

Sistem je nestabilan ukoliko jedna ili više promenjivih stanja, kada t → ∞ imaju beskonačno

velike vrednosti ili postaju oscilatorne funkcije vremena sa beskonačno velikim amplitudama.

Sistem je granično stabilan ukoliko jedna ili više promenjivih stanja, kada t → ∞ imaju


117

ograničene konstantne vrednosti ili postaju oscilatorne funkcije vremena ograničenih

amplituda.

Da bi utvrdilo da li je sistem čija je prenosna funkcija data jednačinom (4):

)ps()ps)(ps()zs()zs)(zs(

Kasasasa

bsbsbsb)s(X)s(Y)s(G

m21

n21

011m

1mm

m

011n

1nn

n

−⋅⋅⋅−−−⋅⋅⋅−−

=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅++

==−

−

−− (4)

stabilan ili nije, dovoljno je odrediti korene karakteristične jednačine

0asasasa 011m

1mm

m =++⋅⋅⋅++ −− (5)

i utvrditi da li svi koreni imaju negativne realne delove. Ako imaju onda je sistem stabilan.

Potreban uslov da karakteristična jednačina ima sve korene sa negativnim realnim delom je

da su svi koeficijenti karakterističnog polinoma pozitivni, odnosno istog znaka. Ovaj uslov je

i dovoljan samo za sisteme prvog i drugog reda. Za sisteme višeg reda koriste se razni

kriterijumi. Sistem je nestabilan ako karakteristična jednačina ima jedan ili više korena sa

pozitivnim realnim delom ili jedan ili više višestrukih korena sa realnim delom koji je nula.

Sistem je granično stabilan ako karakteristična jednačina ima nema korene sa pozitivnim

realnim delom, a ima barem jedan prost koren sa realnim delom koji je nula.

5.2.1. Rausov kriterijum stabilnosti

Rausovog kriterijum određuju da li svi koreni karakteristične jednačine imaju negativan

realan deo. Postupak čini raspodela koeficijenata prema tablici:

sm am am-2 am-4 am-6 . . .

sm-1 am-1 am-3 am-5 am-7 . . .

sm-2 c1 c2 c3 c4 . .

sm-3 d1 d2 d3 d4 .

. . . . . .

. . . . . .

. . . . . .

s2 k1 k2

s1 l1

s0 m1


118

Prve dve vrste sadrže sve polinome karakteristične jednačine. Koeficijenti treće vrste c1,

c2,.., dobijaju se unakrsnim množenjem koeficijenata iz prethodne dve kolone, odnosno:

1m

3mm2m1m1 a

aaaac

−

−−− −=

1m

5mm4m1m2 a

aaaac

−

−−− −=

.................................................

Na analogan način dodijaju se koeficijenti d1, d2, ..,

1

21m3m11 c

caacd −− −

=

1

31m5m12 c

caacd −− −

=

.................................................

Sa formiranom tablicom Rausov kriterijum se definiše u obliku: Neophodan i dovoljan

uslov da realni delovi korena karakteristične jednačine sistema budu negativni je da svi

koeficijenti prve kolone Rausove tablice imaju isti znak. Ukoliko svi koeficijenti nemaju isti

znak, tada broj korena koji imaju pozitivne realne delove, jednak je broju promena znaka u

prvoj Rausovoj koloni. Ukoliko je neki koeficijenat u prvoj Rausovoj koloni nula, tada se

zamenjuje sa nekim malim pozitivnim brojem ε i postupak formiranja Rausove kolone se

nastavlja.

5.2.2. Hurvicov kriterijum stabilnosti

Pri formulisanju Hurvicovog kriterijumu polazi se od Hurvicove determinante date

jednačinom (6). Pri formiranje determinante Dm koeficijenti sa indeksom većim od stepena

polinoma karakteristične jednačine ili manjim od nule, zamenjuju se nulama.

024

13

2mm

3m1m

4m2mm

5m3m1m

m

aaa..0000aa..0000.......0.......0....aa00....aa00....aaa0....aaa

D −

−−

−−

−−−

= (6)


119

Sa formiranom Hurvicovom determinantom kriterijum se definiše u obliku: Neophodan i

dovoljan uslov da realni delovi korena karakteristične jednačine sistema budu negativni je da

su svi dijagonalni minori determinante veći od nule.

5.2.3. Nikvistov kriterijum

Nikvistov kriterijum je grafo analitički metod koji omogućava da se ispita stabilnost

sistema automatskog upravljanja u zatvorenoj sprezi na osnovu amplitudno fazne

karakteristike sistema u otvorenoj povranoj sprezi. Nikvistov kriterijumu polazi od funkcije

povratnog prenosa sistema W(s) (slika 1):

)s(Q)s(P)s(W = (7)

Karakteristična jednačina sistema je:

)s(Q)s(D

)s(Q)s(P)s(Q

)s(Q)s(P1)s(W1)s(F =

+=+=+= (8)

Polinom D(s) jednak je karakterističnom polinomu zatvorenog sistema, dok je polinom

Q(s) jednak karakterističnom polinomu otvorenog sistema. Zato se potrebni i dovoljni uslovi

stabilnosti sistema svode na uslov da funkcija F(s) nema nula u desnoj poluravni s − ravni.

Uočimo konturu C (slika 2) koja se sastoji iz imaginarne ose i polukruga beskonačnog

poluprečnika, pri čemu funkcija F(s) nema nule i polove na konturi C.

Prema Košijevoj teoremi argumenata proizilazi da će, kada konturu C obiđemo jedan put u

smeru kazaljke na časovniku, priraštaj argumenta funkcije F(s) u stabilnom sistemu biti:

π⋅=∆ 2P)s(FargC (9)

gde je P broj polova funkcije povratnog prenosa W(s) koji se nalaze u desnoj poluravni s −

ravni. Kako su realni polinomi u brojiocu i imeniocu funkcije W(s) istog stepena, duž


120

polukruga beskonačnog poluprečnika, F(s) je jednaka nekoj realnoj konstanti i priraštaj

njenog argumenta duž ovog dela konture C jednak je nuli. Zato u stabilnom stanju važi:

∞≤ω≤∞π⋅=ω∆ - ,2P)j(Farg

∞≤ω≤π⋅=ω∆ 0 ,P)j(Farg

[ ] ∞≤ω≤π⋅=ω+∆ 0 ,P)j(W1arg

Ako se za razne vrednosti ω od 0 do ∞ izračunaju realni i imaginarni delovi od W(jω),

tada se u ravni W(jω) dobija kriva koja se naziva Nikvistovom krivom, i koja predstavlja

amplitudno faznu karakteristiku sistema u otvorenoj povratnoj sprezi. Nikvistov kriterijum se

može definisati na sledeći način: Da bi sistem sa povratnom spregom bio stabilan potrebno je

i dovoljno da amplitudno fazna karakteristika otvorenog sistema obuhvata kritičnu tačku sa

koordinatama (–1, j0) u pozitivnom smeru (suprotno od kretanja kazaljke na časovniku) P/2

puta, gde je P broj polova funkcije povratnog prenosa sistema koji imaju pozitivne realne

delove. Ako je sistem u otvorenoj povratnoj sprezi stabilan (P = 0), tada se Nikvistov

kriterijum može definisati na sledeći način: Zatvoren sistem je stabilan ako amplitudno fazna

karakteristika otvorenog sistema, pri promeni ω od nule do beskonačno velike vrednosti, ne

obuhvata kritičnu tačku sa koordinatama (–1, j0).

Kada je oblik karakteristike u ravni W(jω) složen, mogu se javiti teškoće u određivanju

obuhvata ove karakteristike oko kritične tačke. Tada se Nikvistov kriterijum može definisati

na sledeći način: Zatvoren sistem je stabilan ako je razlika između broja pozitivnih i

negativnih prelaza amplitudno fazna karakteristika otvorenog sistema na delu ravni (−∞,−1),

pri promeni ω od nule do beskonačno velike vrednosti jednak P/2, gde je P broj polova

funkcije povratnog prenosa sistema koji imaju pozitivne realne delove. Pozitivan prelaz je

ako amplitudno fazna karakteristika seče osu na delu (−∞,−1) odozgo na dole, a negativan

ako je seče odozdo na gore. Ako amplitudno fazna karakteristika počinje na delu realne ose

(−∞,−1) za ω = 0 ili se na ovom delu završava pri ω → ∞, tada se smatra da karakteristika

čini jedan poluprelaz.


121

5.1) Za sistem sa jediničnom povratnom spregom sa slike 5.1 odrediti:

a) grešku u stacionarnom stanju za pobudu x(t) = U(t) i konstantu položaja Kp

b) grešku u stacionarnom stanju za pobudu x(t) = tU(t) i brzinsku konstantu Kv

c) grešku u stacionarnom stanju za pobudu x(t) =21 t2U(t) i konstantu ubrzanja Ka

Rešenje:

Greška sistema je:

)s(E)2s(s

1s)s(X)s(Y)s(X)s(E 2 +

+−=−= (5.1.1)

odnosno:

)s(X

)2s(s1s1

1)s(E

2 +

++

= (5.1.2)

a) Greška sistema na jediničnu pobudu je:

1ss2s)2s(s

s1

)2s(s1s1

1)s(E 23

2+++

+=⋅

+

++

= (5.1.3)

Greška sistema u stacionarnom stanju na jediničnu pobudu je:

01ss2s

)2s(slim)s(sElim)t(elim 23

2

0s0st=

+++

+==

→→∞→ (5.1.4)

Konstanta položaja Kp je:

∞=+

+=

→ )2s(s1slimK 20s

p (5.1.5)

b) Greška sistema na nagibnu pobudu je:

1ss2s2s

s1

)2s(s1s1

1)s(E 232

2+++

+=⋅

+

++

= (5.1.6)

Greška sistema u stacionarnom stanju na nagibnu pobudu je:


122

0)1ss2s(s

2slim)s(sElim)t(elim 230s0st=

+++

+==

→→∞→ (5.1.7)

Brzinska konstanta Kv je:

∞=+

+⋅=

→ )2s(s1sslimK 20s

v (5.1.8)

c) Greška sistema na paraboličnu pobudu je:

)1ss2s(s2s

s1

)2s(s1s1

1)s(E 233

2+++

+=⋅

+

++

= (5.1.9)

Greška sistema u stacionarnom stanju na paraboličnu pobudu je:

2)1ss2s(s

2slim)s(sElim)t(elim 230s0st=

+++

+==

→→∞→ (5.1.10)

Konstanta ubrzanja Ka je:

21

)2s(s1sslimK 2

20s

a =+

+⋅=

→ (5.1.11)

5.2) Sistem automatske regulacije nivoa tečnosti u rezervoaru sa proporcionalnim

pneumatskim regulatorom prikazan je na slici 5.2. Odrediti grešku sistema u stacionarnom

stanja pri jediničnom ulaznom signalu jedinične amplitude. Takođe, odrediti grešku

stacionarnog stanja ako se umesto proporcionalnog koristi integralni regulator. Smatrati da su

sve varijacije promenjivih u sistemu male u odnosu na njihove vrednosti u stacionarnom

stanju tako da se sistem može aproksimativno opisati linearnim matematičkim modelom.

Rešenje:

Kako se radi o proporcionalnom regulatoru važi:


123

)t(eKK)t(pK)t(q PVV1 ⋅== (5.2.1)

gde su:

KV – konstanta proporcionalnosti ventila

KP – konstanta proporcionalnosti dejstva

Signal greške je:

)t(h)t(x)t(e −= (5.2.2)

Iz definicije za otpornost ventila R sledi da je:

)t(q)t(hR

2= (5.2.3)

Iz definicije za kapacitet rezervoara C sledi da je:

)t(q)t(qdt

)t(dhC 21 −= (5.2.4)


)s(EKK)s(Q PV1 = (5.2.5)

)s(H)s(X)s(E −= (5.2.6)

R)s(H)s(Q2 = (5.2.7)

R)s(H)s(EKK)s(Q)s(Q)s(sCH PV21 −=−= (5.2.8)

odnosno:

)s(EKRK)s(H)sRC1( PV=+ (5.2.9)


)s(EsRC1

KRK)s(X)s(E PV

+−= (5.2.10)

odnosno:

)s(X

s1K1

1)s(X

sRC1KRK

1

1)s(EPV

⋅

τ++

=⋅

++

= (5.2.11)

gde su: RKKK PV= i RC=τ

Za jedinični ulazni signal jedinične amplitude:

s1)s(X = (5.2.12)

signal greške je:


124

s1

s1K1

1)s(E ⋅

τ++

= (5.2.13)

Greška sistema u stacionarnom stanju je:

1K1

s1K1

1lim)s(sElim)t(elim0s0st +

=

τ++

==→→∞→

(5.2.14)

Ako se umesto proporcionalnog uvede integralni regulator, tada je:

)s(Es

K)s(Q I1 = (5.2.15)

gde je KI – konstanta integralnog dejstva. Na osnovu jednačina (5.2.7), (5.2.8) i (5.2.15) sledi

da je:

[ ])s(E)s(XRK

)sRC1(s)s(HRK

)sRC1(s)s(EII

−+

=+

= (5.2.16)

odnosno:

)s(X

)sRC1(sRK

1

1)s(EI

++

= (5.2.17)

Za jedinični ulazni signal jedinične amplitude signal greške je:

s1

)sRC1(sRK

1

1)s(EI

⋅

++

= (5.2.18)


0

)sRC1(sRK

1

1lim)s(sElim)t(elim)(eI0s0st

=

++

===∞→→∞→

(5.2.19)

5.3) Sistem automatske regulacije nivoa tečnosti sa proporcionalnim regulatorom prikazan je

na slici 5.3. Odrediti grešku sistema u stacionarnom stanja pri jediničnom poremećaju male

amplitude no. Pokazati da je grešku sistema u stacionarnom stanja nula ako se primeni

regulator integralnog tipa. Pretpostaviti da je prenosna funkcija pneumatskog ventila jednaka

jedinici. Takođe pretpostaviti da su varijacije svih promenjivih sistema veoma male u odnosu

na njihove vrednosti u stacionarnom stanju.


125

Rešenje:

Kako se radi o proporcionalnom regulatoru važi:

)t(eK)t(eKK)t(pK)t(q PPVV1 =⋅== (5.3.1)

gde su:

KV – konstanta proporcionalnosti ventila, pri čemu je 1KV =

KP – konstanta proporcionalnosti dejstva

Signal greške je:

)t(h)t(h)t(x)t(e 22 −=−= (5.3.2)

Iz definicije za otpornost ventila i kapacitet rezervoara sledi da je:

)t(q)t(hR 1

1 = (5.3.3)

)t(q)t(hR

2

22 = (5.3.4)

)t(q)t(qdt

)t(dhC 11

1 −= (5.3.5)

)t(n)t(q)t(qdt

)t(dhC 22

2 +−= (5.3.6)


)s(EK)s(Q P1 = (5.3.7)

)s(H)s(E 2−= (5.3.8)


126

1

11 R

)s(H)s(Q = (5.3.9)

22

22 R

)s(ER

)s(H)s(Q −== (5.3.10)

)s(Q)s(Q)s(HsC 111 −= (5.3.11)

)s(N)s(Q)s(Q)s(HsC 222 +−= (5.3.12)


)s(ECsR1

K)s(QCsR1

1)s(Q11

P1

11 +=

+= (5.3.13)

Iz jednačina (5.3.8), (5.3.10), (5.3.12) i (5.3.13) sledi da je:

)s(N)s(ER1)s(E

CsR1K)s(EsC)s(HsC

211

P222 ++

+=−= (5.3.14)

odnosno:

)s(NRRsC1

KRRsC1)s(E 211

P222 −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

++ (5.3.15)

Kada na objekat deluje step poremećaj male amplitude no imamo da je:

)t(Un)t(n o= (5.3.16)

odnosno:

sn)s(N o= (5.3.17)

Iz jednačina (5.3.15) i (5.3.17) sledi da je signal greške:

s1

RsC1RKRsC1

Rn)s(E

11

2P22

2o ⋅

+++

−= (5.3.18)


2P

2o0st RK1

Rn)s(sElim)t(elim

+−==

→∞→ (5.3.19)

Ako se umesto proporcionalnog uvede integralni regulator, jednačina (5.3.18) postaje:

s1

)RsC1(sRKRsC1

Rn)s(E

11

2I22

2o ⋅

+++

−= (5.3.20)

Greška sistema u stacionarnom stanju tada je:

0)s(sElim)t(elim0st

==→∞→

(5.3.21)


127

5.4) Ispitati stabilnost sistema čiji je karakteristični polinom:

02s2s3ss 234 =++++

primenom Hurvicovog kriterijuma

Rešenje:

Hurvicova determinanta je:

2310021002310021

D4 = (5.4.1)

Iz jednačine sledi da je D1 = 1, D2 = 1, D3 = 0 i D4 = 2D3 = 0. Pošto nisu svi dijagonalni

minori determinante veći od nule sistem nije stabilan. Kako je D3 = 0, karakteristični polinom

ima par konjugovanih korena sa realnim delom koji je nula i sistem se nalazi na granici

oscilatorne stabilnosti.

5.5) Primenom Hurvicovog kriterijuma ispitati stabilnost sistema čiji je strukturni blok

dijagram prikazan na slici 5.5, u zavisnosti od parametra K.

Rešenje:

Blok dijagramu sa slike 5.5 odgovara graf toka signala sa slike 5.5.1.


128


)2s)(75.0s(1P11 ++

−= i )2s)(1s(

KP12 −+−=


)2s)(1s(K

)2s)(75.0s(11)PP(1 1211 −+

+++

+=+−=∆

Od ulaza X(s) do izlaza Y(s) postoji samo jedna direktna putanja:

)2s)(75.0s(1P1 −+

=

koja dodiruje obe zatvorene putanje i 11 =∆


)5K5.1(s)8K75.2(s)25.2K(s75.1s)2s)(1s(

)2s)(1s(K

)2s)(75.0s(11

)2s)(75.0s(1

P)s(X)s(Y)s(G

234

11

−+−+−++

++=

=

−++

+++

−+=

∆∆

== (5.5.1)

Karakteristična jednačina sistema čija je prenosna funkcija data jednačinom (5.5.1) je:

0)5K5.1(s)8K75.2(s)25.2K(s75.1s 234 =−+−+−++ (5.5.2)

Hurvicova determinanta je:

5K5.125.2K1008K75.275.1005K5.125.2K1008K75.275.1

D4

−−−−−

−

= (5.5.3)

Da bi sistem bio stabilan, prema Hurvicovom kriterijumu potrebno je da:

0K0625.4)8K75.2()25.2K(75.125.2K1

8K75.275.1D2 >−=−−−=

−−

= (5.5.4)

[ ]0)77.1K)(53.3K(75.21875.17K578.14K75.2

)8K75.2()5K5.1(75.1)8K75.2)(25.2K(75.1

8K75.275.105K5.125.2K1

08K75.275.1D

2

2

3

>−−−=−+−=

=−−−−−−=

=−−−

−=

(5.5.5)

0D)5K5.1(D 34 >−= (5.5.6)


129

Iz jednačine (5.5.4) sledi da je potrebno da K < 4.0625. Iz jednačine (5.5.5) sledi da je

potrebno da K ∈ (1.77,3.53). Iz jednačine (5.5.6) sledi da je potrebno da K > 3.33. Takođe je

potrebno da svi koeficijenti karakterističnog polinoma (5.5.2) budu pozitivni, odnosno da

K > 2.25, K > 909.275.28

= i K > 33.35.1

5= .

Kako je potrebno da svaka od navedenih nejednakosti bude zadovoljena, traženi opseg

parametra K koji obezbeđuje stabilnost sistema se dobija presekom ovih oblasti, odnosno

K ∈ (3.33; 3.53).


012s6s)4K(s 23 =++++

u zavisnosti od parametra K primenom Rausovog kriterijuma.

Rešenje:

Karakterističnom polinomu odgovara sledeća Rausova tablica:

s3

1

6

s2

K+4

12

s1

4K12)4K(6

+−+

0

s0

12

Prema Rausovom pravilu da bi sistem bio stabilan potrebno je da:

K + 4 > 0, odnosno K> −4

6(K+4) – 12 > 0, odnosno K> −2

Pošto obe nejednakosti treba da bude zadovoljena, traženi opseg pojačanja K koji

obezbeđuje stabilnost sistema dobija se presekom ovih oblasti, odnosno za K > −2.


04s8s6s2s 234 =++++

primenom Rausovog kriterijuma.


130

Rešenje:


s4 1 6 4 s3 2 8 0 s2 2 4 s1 4 s0 4

Svi koeficijenti prve kolone Rausove tablice imaju isti znak i sistem je stabilan.


01s2s5s5ss 2345 =+++++

primenom Rausovog kriterijuma.

Rešenje:


s5 1 5 2 s4 1 5 1 s3 ε 1 0 s2

ε−ε 15

1

s1

15152

−ε−ε+ε−

s0 1

Za ε→0 Rausova tablica postaje:

s5 1 5 2 s4 1 5 1 s3 0 1 0 s2 – ∞ 1 s1 1 s0 1

U graničnom slučaju postoje dve promene znaka, sa 0 na – ∞ i sa – ∞ na 1. Sistem je

nestabilan sa dva korena karakteristične jednačine sa pozitivnim realnim delom.


131

5.9) Ispitati stabilnost sistema čija je funkcija povratnog prenosa:

)s5.01)(s1)(s101(

5)s(W+++

=

primenom Nikvistovog kriterijuma.

Rešenje:

Smenom s = jω funkcija povratnog prenosa postaje:

)55.11(j)5.151(5

)j5.01)(j1)(j101(5)j(W 32 ω−ω+ω−

=ω+ω+ω+

=ω (5.9.1)

2

3

5.15155.11arctg)(ω−ω−ω

−=ωϕ (5.9.2)

Jednačina (5.9.1) se može napisati u obliku:

[ ] [ ])j(WImj)j(WRe

)55.11()5.151()55.11(5j

)55.11()5.151()5.151(5

)55.11(j)5.151()55.11(j)5.151(

)55.11(j)5.151(5)j(W

2322

3

2322

2

32

32

32

ω+ω=

=ω−ω+ω−

ω−ω−

ω−ω+ω−ω−

=

=ω−ω−ω−ω−ω−ω−

⋅ω−ω+ω−

=ω

(5.9.3)

gde su:

[ ] 2322

2

)55.11()5.151()5.151(5)j(WRe

ω−ω+ω−ω−

=ω

[ ] 2322

3

)55.11()5.151()55.11(5)j(WIm

ω−ω+ω−ω−ω

−=ω

Karakteristične tačke funkcije W(jω) su:

[ ] 5)j(WRe 0 =ω =ω [ ] 0)j(WRe =ω ∞→ω

[ ] 0)j(WIm 0 =ω =ω [ ] 0)j(WIm =ω ∞→ω

[ ] 0)j(WRe 1 =ω gde je: 254.05.15

11 ==ω . Tada je: [ ] 72.1)j(WIm 1 −=ω

[ ] 0)j(WIm 2 =ω gde je: 52.15

5.112 ==ω . Tada je: [ ] 144.0)j(WRe 2 −=ω


132

Na osnovu prethodnih podataka približni tok Nikvistovog dijagrama je dat na slici 5.9.1.

Na osnovu dijagrama se vidi da je sistem stabilan pošto ne obuhvata tačku sa

koordinatama (-1,0).


)5s)(2s)(1s(

)10s)(2s(K)s(W+−−

++=

u zavisnosti od parametra K primenom Nikvistovog kriterijuma.

Rešenje:

Funkcija povratnog prenosa je:

10s13s2s20s12sK)s(W 23

2

+−+

++= (5.10.1)

Smenom s = jω funkcija povratnog prenosa (5.10.1) postaje:

)13(j)210(j12)20(K)j(W 32

2

ω+ω−ω−

ω+ω−=ω (5.10.2)

odnosno:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω

=+ω+ω+ωω+ω−ω−

++ω+ω+ω

+ω−ω−=

ω+ω+ω−ω−ω+ω+ωω−

+ω+ω+ω−

ω+ωω−ω−ω−=

=ω+ω+ω−ω+ω+ω−

⋅ω+ω−ω−

ω+ω−=

ω

K)j(WImj

K)j(WRe

1001293038017j

1001293020020610

)13()210()210(12)13)(20(j

)13()210()13(12)210)(20(

)13(j)210()13(j)210(

)13(j)210(j12)20(

K)j(W

246

35

246

24

2322

232

2322

322

32

32

32

2


133

gde su:

1001293020020610

K)j(WRe 246

24

+ω+ω+ω

+ω−ω−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ω

1001293038017

K)j(WIm 246

35

+ω+ω+ω

ω+ω−ω−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ω

Karakteristične tačke funkcije K

)j(W ω su:

2K

)j(WRe0=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ω

=ω 0

K)j(WRe =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω

∞→ω

0K

)j(WIm0=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ω

=ω 0

K)j(WIm =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω

∞→ω

0K

)j(WRe 1 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω gde je: 964.01 =ω . Tada je: 42.1

K)j(WIm 1 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω

0K

)j(WIm 2 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω gde je: 573.32 =ω . Tada je: 466.0

K)j(WRe 2 −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω

Na osnovu prethodnih podataka približni tok Nikvistovog dijagrama nacrtan je na

slici 5.10.1.

Funkcija povratnog prenosa ima dva pola sa pozitivnim realnim delovima (s = 1 i s = 2),

odnosno P = 2. Sa slike 5.10.1. se vidi da je neophodno da K bude veće od 466.01 , da bi

amplitudno fazna karakteristika otvorenog sistema, pri promeni ω od nule do beskonačno

velike vrednosti, obuhvatala jedan put (P/2 = 1) kritičnu tačku sa koordinatama (–1, j0).


134


3

2

s)1s(K)s(W +

=


Rešenje:

Funkcija povratnog prenosa ima polove u koordinatnom početku s – ravni (poseduje

astatizam). Da bi se izbegle teškoće koje nastaju kada funkcija W(s) poseduje singlularitet

tipa pola, on se zaobilazi polukrugom čiji poluprečnik teži nuli (slika 5.11.1). Za analizu

stabilnosti neophodno je amplitudno faznu karakteristiku W(jω), dobijenu pri promeni ω od

0+ do ∞, odnosno pri promeni od tačke B do beskonačnosti duž pozitivnog dela imaginarne

ose, dopuniti krivom u W(s) – ravni, koji odgovara vrednostima za s na luku od tačake A do

tačke B.

Na luku od tačke A do tačke B, s je jednako θjre , gde r → 0, a θ∈[0,π/2]. Tada je:

θ−θθ

θθ

∞=≅+

= 3j3j33j3

2jje

er1

er)1re(

K)re(W (5.11.1)

U tački A ugao θ = 0, i toj tački u W(s) ravni odgovara tačka A’ u beskonačnosti na

pozitivnom delu realne ose. U tački B ugao θ = π⁄2, i toj tački odgovara tačka B’ u

beskonačnosti na pravoj koja prolazi kroz koordinatni početak i zaklapa ugao θ = −3π⁄2 u

odnosu na pozitivan deo realne ose. Luk od tačke A do tačke B iz s – ravni preslikava se u

W(s) − ravan u odgovarajući luk na centralnom krugu beskonačno velikog poluprečnika. Taj

luk polazi u negativnom smeru iz tačke u beskonačnosti na pozitivnom delu realne ose i

obuhvata onoliko kvadranata u W(s) − ravni, koliki je red astatizma posmatranog sistema.

Od tačke B do tačke C, s = jω. Tada je:


135

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω

=ω

ω−+ω−=

ω−ω+ω−

=ω+ω

=ω

K)j(WImj

K)j(WRe)1(j2

jj2)1(

)j()1j(

K)j(W

3

2

3

2

3

2

gde su:

22

K)j(WRe

ω−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ω

3

21K

)j(WImωω−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω


)j(W ω su:

0K

)j(WRe =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω

∞→ω

0K

)j(WIm =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω

∞→ω

0K

)j(WIm 1 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω gde je: 11 =ω . Tada je: 2

K)j(WRe 2 −=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω


slici 5.11.2.


136

I slučaj:

Ukoliko je 2K1

−<−<∞− , odnosno: 21K0 << , tada je broj pozitivnih prelaza 0=Σ+ ,

a broj negativnih prelaza 1=Σ− . Sistem će biti stabilan ukoliko je 2P

=Σ−Σ −+ . Kako je

P = 0 i 01 ≠−=Σ−Σ −+ , sistem je nestabilan.

II slučaj:

Ukoliko je 0K12 <−<− , odnosno: ∞<< K

21 , tada je broj pozitivnih prelaza 1=Σ+ , a

broj negativnih prelaza 1=Σ− . Kako je 0=Σ−Σ −+ , sistem je stabilan.


)3s(s

2sK)s(W+−

=


Rešenje:

Na luku od tačke A do tačke B (slika 5.11.1), s je jednako θjre , gde r → 0, a θ∈[0,π/2].

Tada je:

)(jjjj

jje

re32

)3re(re2re

K)re(W θ+π−

θθθ

θθ

∞=−≅+

−= (5.12.1)

U tački A ugao θ = 0, i toj tački u W(s) ravni odgovara tačka A’ u beskonačnosti na

negativnom delu realne ose. U tački B ugao θ = π⁄2, i toj tački odgovara tačka B’ u

beskonačnosti na pravoj koja prolazi kroz koordinatni početak i zaklapa ugao θ = −3π⁄2 u

odnosu na pozitivan deo realne ose.

Od tačke B do tačke C, s = jω. Tada je:

⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω

+⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω

=

=ω+ω

ω−ω+ω=

ω+ω−ω+ω−

⋅ω+ω−

−ω=

+ωω−ω

=ω

K)j(WImj

K)j(WRe

9)6(j5

j3j3

j32j

)3j(j2j

K)j(W

24

22

2

2

2

gde su:


137

95

K)j(WRe 2 +ω

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω

)9(6

K)j(WIm 2

2

+ωωω−

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω


)j(W ω su:

95

K)j(WRe

0=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ω

=ω

0K

)j(WRe =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω

∞→ω 0

K)j(WIm =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω

∞→ω

0K

)j(WIm 1 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω gde je: 45.261 ==ω . Tada je:

31

K)j(WRe 2 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ω


slici 5.12.1.

I slučaj:

Ukoliko je 0K1<−<∞− , odnosno: ∞<< K0 , tada je broj pozitivnih prelaza 0=Σ+ , a

broj negativnih prelaza 21

=Σ− . Sistem će biti stabilan ukoliko je 2P

=Σ−Σ −+ . Kako je

P = 0 i 021≠−=Σ−Σ −+ , sistem je nestabilan.


138

II slučaj:

Ukoliko je 31

K10 <−< , odnosno: 0K3 <<− , tada je broj pozitivnih prelaza 0=Σ+ , a

broj negativnih prelaza 21

21+=Σ− . Kako je 1−=Σ−Σ −+ , sistem je nestabilan.

III slučaj:

Ukoliko je ∞<−<K1

31 , odnosno: 3K −<<∞− , tada je broj pozitivnih prelaza 1=Σ+ ,

a broj negativnih prelaza 21

21+=Σ− . Kako je 0=Σ−Σ −+ , sistem je stabilan.

LITERATURA

139

6. LITERATURA

1. Boško Ćirilov, Aleksandar Žikić, Automatsko upravljanje, CLIO, Beograd, 1996.

2. Milić Stojić, Kontinualni sistemi automatskog upravljanja, Naučna knjiga Beograd,

1998.

3. Branko Kovačević, Željko Đurović, Sistemi automatskog upravljanja − zbornik

rešenih zadataka, 1996.

4. Stevan A. Milinković, Dragutin Lj. Debeljković, Zbirka rešenih zadataka iz analize i

sinteze sistema automatskog upravljanja, Beograd, 1996.

5. Dragutin Lj. Debeljković, Ljubomir A. Jacić, Milorad V. Rančić, Tomislav M.

Peruničić, Linearni sistemi automatskog upravljanja − zbirka rešenih zadataka,

Beograd, 1997

6. Dušan Simić, Osnovi automatskog upravljanja, Naučna knjiga, Beograd, 1987.

7. Milivoje Sekulić, Osnovi teorije automatskog upravljanja − servomehanizmi, Naučna

knjiga, Beograd, 1982.

8. Borislav R. Milojković, Ljubomir T. Grujić, Automatsko upravljanje, Beograd 1977.

9. Paul E. Pfeiffer, Linear systems analysis, Mcgraw −Hill Book Company, Inc., 1961.

10. Dragoslav S. Mitrinović, Dragomir Ž. Đoković, Polinomi i matrice, Naučna knjiga,

Beograd, 1991.

Documents

151299111 Zbirka Zadataka Iz Automatskog Upravljanja