§15.2.1 平方差公式

寮步镇香市中学 孙树德

口算，比一比谁最快

32

600

100

1000

225

?

?

②(x ＋ 1)( x － 1 )

③(2x ＋ y)(2x － y )

①(m ＋ 2 )( m － 2 )=m2 － 22

=x2 － 12

=(2x)2 － y2

(1) 等式左边有什么结构特征？

=m2 － 4

=x2 － 1

=4x2 － y2

两个数的和乘以两个数的差(2) 等式右边有什么结构特征？

平方差的形式(3) 能不能用字母表示你的发现？

(a+b)(a-b)=a2-b2

计算下列各题 , 你能发现什么规律？ 一、小试牛刀

((aa++bb)()(a a −−bb) ) == aa22−−bb22

文字表达：文字表达：两数两数和和与这两数与这两数差差的积的积 ,, 等于这两数的平方差等于这两数的平方差 ..

(( 头头 ++ 尾尾 )()( 头头−−尾尾 ))==头头 22−− 尾尾 22

两尾相同两头相同 减号

 

 

a ba

2a2b

a

b

b

公式几何论证：你能根据图中的面积说明平方差公式吗？

图 1 图 2图 1 阴影部分的面积 =a2-b2 图 2 阴影部分的面积 =(a+b)(a-

b) ((aa++bb)()(a a −−bb) ) == aa22−−bb22

bbb

例 运用平方差公式计算

（ x+2y)(x-2y)

解：原式＝ x2 - (2y)2

＝ x2 - 4y2

运用平方差公式计算

（ 3x+2)(3x-2)

（ x+2)(x-3) ？

（ 2x-2)(2x-2) ？

×

×

注意：两头相同，两尾相同，中间符号相反

二、冲锋陷阵

下列各题计算有没有错误？错的如何改正？

改正：

改正：

2( 9)( 9) 9x x x 2 2 2( 9)( 9) 9 81x x x x

2(2 1)(2 1) 2 1x x x 2 2(2 1)(2 1) (2 ) 1 4 1x x x x

（ 1 ） （ ） ×

（ 2 ） （ ） ×

2

（ ）

三、针锋相对

逆向思考：在横线上填上适当的代数式，使它能用平方差公式进行计算：

（ 2a ＋ 3b ） · ________（ 2a -3b ）或（ 3b -2a ）

（ -3b+2a ） （ -2a+3b ）

四、火眼金睛

例题 运用平方差公式计算 (b+2a)(2a － b) ；

(2 )(2 )a b a b 原式2 2(2 )a b

2 24a b

运用平方差公式计算（ 1 ） (4x+y)(y － 4x) ；（ 2 ） ( － x+2y)( － x － 2y) ．

五、如鱼得水

抢答秘诀在哪呢 ? 102×98=? 解：原式＝ (100+2)(100-2)

＝ 1002 - 22

＝ 10000-4 ＝ 9996

51×49 解：原式＝ (50+1) (50-1)

＝ 502 - 12

＝ 2500-1

＝ 2499

六、神机妙算

计算 ( 2)( 2) ( 1)( 5)y y y y 2 24 ( 5 5)y y y y 原式

4 1y

2 24 5 5y y y y

七、大显身手

宏业住宅小区的花园，起初被设计为边长为 a 米的正方形，后因道路的原因，设计修改为：正方形的一边缩短 3 米，而另一边加长 3 米，试问修改后的花园面积和原来设计的花园面积相差多少？

实际问题 八、神通广大

3 米

3 米

a 米(a-3)

(a+3) 米

面积相差多少？原来原来 修改后修改后

a2 (a+3)(a-3)

a 米

a2=a2-9

- （ a2-9）

=9

((aa++bb)()(a a −−bb) ) == aa22−−bb22

通过本节课你学到了什么？

(( 头头 ++ 尾尾 )()( 头头−−尾尾 ))==头头 22−− 尾尾 22

两尾相同两头相同 减号

对号入座

* 课后作业 ：试卷中的课后作业部分，学有余力的同学可做课后拓展题。

谢谢指导！