157049811 Nc Modelo de Ramsey

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Aldo Ferrer - Vivir Con Lo Nuestro. Nosotros y La Globalizacion

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  • Universidad de Buenos Aires - Facultad de Ciencias Econmicas

    CRECIMIENTO ECONMICO

    NOTAS DE CLASE:El modelo de Ramsey, Cass-

    Koopmans

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  • Por: los integrantes del curso1Ao 2012

    1 Las presentes notas de clase fueron elaboradas por Pablo Garca y adaptadas por los miembros del curso de crecimiento econmico de Andrs Asiain. Estas pueden descargarse del sitio web del curso: http://crecimientoeconomico-asiain.weebly.com/neoclaacutesicos.html

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  • Crecimiento Econmico / FCE-UBAEL MODELO DE RAMSEY-CASS-KOOPMANS Curso: Andrs Asiain

    una de las contribuciones ms notables a la economa matemtica alguna vez realizada, tanto en lo referido a la importancia y la dificultad intrnseca de su tema, la energa y la elegancia de los mtodos tcnicos empleados, y la claridad e iluminacin con la cual es percibida por el lector la mente del escritor al abordar el tema. El artculo es terriblemente difcil de leer para un economista, pero no es difcil apreciar cmo la calidad cientfica y esttica se combinan en l juntas.

    Keynes (1933), p. 65 refirindose al trabajo original de Ramsey

    1. IntroduccinHasta ahora habamos trabajado en el modelo de Robert Solow con una tasa de ahorro que era constante y determinada exgenamente s. Ahora en el modelo de Ramsey-Cass-Koopmans que desarrollaremos a continuacin la tasa de ahorro ser el resultado de la optimizacin dinmica de las decisiones de consumo de los hogares de acuerdo a su funcin de utilidad y su restriccin presupuestaria (modelo con ahorro endgeno).

    1.A Los supuestos del Modelo:

    Economa cerrada y sin sector pblico Se produce un solo bien que se puede consumir o invertir. La inversin y el ahorro son siempre iguales (ex ante y ex post), la

    Ley de Say se cumple y no hay problemas de demanda efectiva En el mercado de trabajo hay pleno empleo, no existe el

    desempleo involuntario. Funcin de produccin neoclsica F(K, L)

    a) Rendimientos constantes a escala2 (funcin homognea de grado 1) ),(),( LKFLKF =

    b) Rendimientos Marginales Decrecientes de los factores 0/ >LF ; 0// KF ; 0//

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    Funcin de la felicidad U(c) presenta:d) Es creciente en c (consumo) y cncava, suavizan el

    consumo 0/ >cu ; 0//

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    [ ] [ ] ( )0 0

    ( ) ( )nt t n tU u c t e e dt U u c t e dt

    = = donde ent multiplicando la funcin de utilidad individual representa el crecimiento poblacional que crece a la tasa n. Es importante marcar que para que la funcin este bien definida debemos suponer que >n. A su vez, podemos hacer que ( ) ( )/ ( )ntoL t L e L t L t n

    = =

    La restriccin presupuestaria

    El ahorro de las familias est representado por la diferencia entre sus ingresos rK + wL menos su consumo C. Sabemos adems que las familias poseen sus activos en forma de bonos b que, a su vez, como estamos en una economa cerrada y no poseer activos externos, la totalidad de estos activos son iguales al stock de capital K. Por lo tanto se cumple que ( ) ( )b t k t

    = . Su restriccin presupuestaria intertemporal es:

    B C rK wL K rK wL C

    + = + = + (1)

    Entonces, si partimos de la expresin del capital per capita, aplicamos logaritmo y derivamos respecto de t obtendremos:

    ( )( ) ln ( ) ln ( ) ln ( )( )

    K tk t k t K t L tL t

    = =

    ln ( )k t k K L K K L K Lsi k k k kt k K L K L L L L

    = = =

    Reemplazamos LL

    por n y K por la ecuacin (1)

    rK wL Ck nkL

    + = ( )k rk w c nk k w c r n k

    = + = + (2)

    a.1) Optimizacin Dinmica:Armamos el Hamiltoniano ( ) ( )H V k;c;t . g k,c,t = +

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    Donde v(k,c,t) es la funcin a maximizar, en nuestro caso la funcin de la felicidad de la familia representativa sujeta a g(k,c,t) es la funcin de acumulacin del capital de la familia representativa. El capital permite obtener utilidad futura indirectamente, al incrementar el consumo futuro por los mayores ingresos que generar el retorno del capital acumulado.

    variable de coestado, precio sombra por unidad de capital acumuladoc es la variable control, sobre la cual las familias actan directamentek es la variable estado, su evolucin depende de la variable control c

    [ ] ( )( ) ( ) ( )n tH u c t e t k t = + reemplazamos ( )k t

    por la ecuacin (2)

    [ ] [ ]cknrwtetcuH tn ++= )()()( )( Las condiciones de primer orden (CPO) para la optimizacin dinmica son:

    a) 0Hc

    =

    ; b) ( )H tk

    =

    ; c) [ ] 0)()(lim ==

    tkt

    t

    a) ( )'( ) ( ) 0n tH u c e tc

    = =

    ( )'( ) ( )n tu c e t =

    b) == )()()( tnrt

    kH )()()( trnt =

    trneot )()()( = c) [ ] 0)()(lim ==

    tkt

    t

    c) Es la condicin de transversalidad, implica que el ltimo da o se consume todo el capital o este carece de valor (en valor actual).

    Diferenciamos a) / ( )( ) ( ) n tt u c e = respecto del tiempo y obtenemos:

    ( ) ( )( ) ''( ) '( ) ( )n t n tt u c c e u c n e

    = + (3)

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    Reemplazamos a) y c) en b) sustituyendo (t) ( )t

    )()()( trnt =

    ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )' ''' n t n t n tu c c e u c n e n r u c e

    + =

    Simplificando obtenemos la siguiente ecuacin:

    '( )( )

    ''u c c cru c c

    = +

    (4.a)

    Elasticidad de la utilidad marginal respecto del consumo /

    /

    ( ) 0( )

    du c cdc u c

    . Caso contrario, aumentarn el consumo hoy r

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    a.2) UN EJEMPLO: la funcin de elasticidad intertemporal de sustitucin constante (CIES)

    Si suponemos una funcin de Utilidad que depende del consumo como la siguiente:

    1( )( ) 11Uc tc t

    =

    (4.1)

    Para obtener la elasticidad de sustitucin de la utilidad marginal respecto del consumo, debemos derivar dos veces nuestra funcin de

    utilidad respecto del consumo (para obtener / /

    /

    ( )( )

    u cu c

    y poder

    reemplazarlo), entonces:

    1 1

    1

    '

    ''( ) (1 ) ( ) / (1 ) ( )

    ( ) ( )

    U c c t c t

    U c c t

    = =

    =

    1'( ) ( ) ( )''( ) ( )

    U c c t c tU c c t

    = =

    Reemplazando en (4.b)

    ( ) 1( ). .( )

    c c trc c t

    rcc

    =

    = (4.2)

    Nuevamente, r es la remuneracin del capital, es la tasa de descuento subjetivo o tasa de impaciencia que mide la valoracin subjetiva de trasladar consumo presente al futuro. La variable es la forma funcional simplificada que antes tena la elasticidad de sustitucin. Esta representa cmo se modifica proporcionalmente la utilidad marginal conforme se modifica el consumo proporcionalmente. Si la elasticidad es muy alta (en valor absoluto) el individuo tendr una fuerte preferencia por suavizar el perfil de su consumo en el tiempo. Grficamente esto se vera representado por la curvatura de la funcin de utilidad.

    Grficamente:

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    Ua representa la semisuma de la utilidad que obtiene el agente que decide consumir en c1 poco y en c2 mucho. Ub representa el nivel de utilidad que obtiene el agente que decide consumir lo mismo en ambos periodos. De este modo, en el grafico queda representado por el

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    U

    C1C 2C

    segA

    1;2bC C=

    Ua

    bU

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    segA la mayor utilidad que se obtiene al suavizar el consumo entre los periodos C1 y C2. A su vez, representa la curvatura de la funcin utilidad y mide el deseo del agente por suavizar ese consumo.

    b) LAS FIRMAS:

    Las firmas producen bienes, pagan salarios por el trabajo y una renta por el capital.Funcin de produccin (sin progreso tcnico4) es la siguiente:

    [ ]( ) ( ), ( )Y t F K t L t=Suponemos una tasa de retorno del capital r neta de depreciacin:

    = )(/ kfr

    Si normalizamos la funcin de produccin por el nmero de trabajadores (L), de acuerdo a sus propiedades, obtendremos que:

    [ ]( ) ( ) ,1 ( ) ( )( ) ( )

    Y t K tF y t f k tL t L t

    = =

    Las firmas maximizan sus beneficios (pi ) con sus ingresos menos sus costos:

    ( , ) ( )F K L r K wLpi = +

    Si dividimos y multiplicamos el 2do miembro por L:

    [ ]( ) ( )L f k r k wpi = + Un firma en competencia perfecta toma r y w como dados, entonces para determinar el capital (K) a utilizar que maximiza sus beneficios manteniendo la cantidad de trabajo (L) constante:

    4 Hemos omitido el progreso tcnico A considerando que en trminos conceptuales puede ser entendido mucho ms correctamente ya que se simplifica mucho su derivacin matemtica. A su vez, tambin se puede ver que al existir decisiones inter-temporales se podra optimizar haciendo un lagrangiano en cada periodo Ti.

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    1 1'( ) ( ) 0L f k rK L Lpi = + = '( ) '( )f k r r f k = + =

    (5)

    Ahora determinamos el nivel de trabajo efectivo (AL) que maximiza los beneficios manteniendo al capital (K) constante: