16-11-2012_08-19-36_Cours de BA partie 1[1]

Béton armé aux EUROCODES

EI CESI OCEAN INDIEN

-------------

COURS DE BETON ARME

AUX EUROCODES

-------------

PARTIE 1

Année 2012-2013

Jean-François VIGNÉ

[Présentation de l’Eurocode 2] Page 1

HISTORIQUE

En 1975, la Commission des communautés européennes décida d'harmoniser les méthodes et règles decalcul des structures de génie civil en lançant la rédaction des Eurocodes.

En 1989, la Commission transféra au Comité européen de normalisation (CEN) la prise en charge de larédaction des Eurocodes. Une première version de l'Eurocode 2 concernant le matériau béton est parue en1992 sous forme de norme provisoire (ENV 1992-1) et fut reprise comme norme expérimentale par l'AFNOR.Elle devait pouvoir servir d'alternative aux Règles BAEL, mais fut très peu utilisée.

La version nouvelle, connue sous le nom de norme européenne EN 1992, ou EC2, est assez différente de laversion ENV. Elle est le résultat de nombreuses discussions entre les spécialistes des États membres, maisforme cependant un ensemble cohérent et complet.

L'Eurocode 2 comporte les parties suivantes :

Partie 1-1 Règles générales et règles pour les bâtiments Partie 1-2 Règles générales - Calcul du comportement au feu Partie 2 Ponts en béton - Calcul et dispositions constructives Partie 3 Silos et réservoirs

Bien que l'on trouve des similitudes : états limites de service, états limites ultimes, coefficients 1,35 et1,5 pour les charges permanentes et variables, 1,5 et 1,15 pour les matériaux béton et acier,diagramme parabole-rectangle pour la relation contrainte-déformation du béton, on n'y retrouvera pascertaines règles bien utiles du BAEL telles :

Le calcul des poutres et dalles avec les portées entre nus des appuis ;

Le calcul des poutres continues par la méthode de Caquot qui simplifiait les calculs en remplaçant larésolution d'un système de n équations à n inconnues (équation des trois moments) par un système den équations à une inconnue, et surtout la disparition de la méthode dite « Caquot minorée » quipermettait de réduire de façon sensible les moments sur appuis, très utile pour la vérification descontraintes du béton sur appuis des poutres en Té ;

Le calcul de la force portante des poteaux d'élancement inférieur à 70 par la formule

28. . / (0,9. ) . /u r c b s sN B f A fe L'EC2 n'offre que des méthodes compliquées et, au

minimum, un calcul en flexion composée, même en l'absence de moment du premier ordre ;

Le calcul simplifié des panneaux de dalles rectangulaires continues dans les deux directions, (article A8.2.32 du BAEL) en prenant une fermeture des moments à 1,25 M0.

Les changements importants par rapport au BAEL portent principalement sur :

Le calcul des poutres et dalles avec la portée entre axes et en retenant le moment au nu de l'appui ; Le calcul complexe des poteaux de bâtiment ne recevant qu'une charge axiale ; Les longueurs d'ancrage et de recouvrement compliquées et fastidieuses à déterminer ; La disparition du coefficient 0,85 dans le calcul de la contrainte du béton en ELU (AN).

Nous préciserons par la notation (AN) les prescriptions ou formules de PEC2 laissées à l'appréciation dechaque État membre qui peut, dans son Annexe nationale, modifier ou non les propositions faites.


Un document guide (ou règles professionnelles) a été rédigé par la Commission miroir française de l'EC2.Il reprend certaines dispositions du BAEL qui ne sont pas en contradiction avec l'Eurocode.

L'utilisation de l'EC2 doit, pour être cohérente, être faite avec un ensemble de documents connexes,Eurocodes ou normes européennes :



UNITES Les unités sont celles du système international (SI), principalement : les longueurs en m ou mm ; les sections d'acier en cm ou mm (plus commode que le m ) ; les forces en kN ou MN ; les moments en kNm ou MNm ; les contraintes en MPa.


COURS DE BETON ARME

AUX EUROCODES

---------

Chapitre 1 : Les Matériaux

[Eurocode 2 – Matériaux] Page 1

LE BETON

I-RESISTANCE CARACTERISTIQUE A LA COMPRESSION

L'EC2 permet d'utiliser des bétons de 12 à 90 MPa de résistance sur cylindres.

Les bétons couramment utilisés en bâtiment ont une résistance de 25 MPa, rarement 40, voire 50 ou plus pourcertains éléments très sollicités tels que poteaux ou voiles de contreventement.

Cette valeur, notée fck, correspond à une valeur caractéristique de la résistance à 28 jours. Elle permetde déterminer les autres caractéristiques mécaniques des bétons (voir le tableau ci-après).

Elle correspond à un fractile de 5 %, ce qui signifie que l'on a une chance sur vingt d'avoir une résistanceinférieure à la valeur fck .

La valeur moyenne est notée fcm.

La résistance de calcul est donnée par : fcd cc.fck

c

Le coefficient cc , qui jusqu'à maintenant était pris égal à 0,85 dans la plupart des règlements de

calcul nationaux, est pris égal à 1 dans l'EC2.

En effet, il est censé représenter la diminution de résistance du béton sous charge soutenue. Si la chargerésistante d'un poteau est de 1 sous chargement instantané, elle n'est que de 0,85 pour un chargement delongue durée.Or, il est rare que la charge de calcul en combinaison rare soit de longue durée. On suppose ainsi que lerapport « charge de combinaison quasi permanente/charge de combinaison rare » est inférieur à 0,85.

De plus, la résistance du béton continue d'augmenter au-delà de 28 jours.

Si la résistance du béton est déterminée à plus de 28 jours, la valeur cc est remplacée par .t cck avec kt = 0,85 (AN)

Variation dans le temps


cu2 2,8 3590 fck

100

4

50 fck 90


II-RESISTANCE A LA TRACTION (art. 3.1.8)

La résistance moyenne à la traction fctm permet de déterminer la résistance caractéristique fctk,0,05 (fractile 5

%) et la résistance caractéristique fctk,0,95 (fractile 95 %).

On peut déduire la résistance à la traction fct, de la résistance par fendage par : fct 0,9. fct ,sp

Variation dans le temps

III- FLUAGE

L'EC2 développe en Annexe B une méthode de calcul du fluage avec de nombreuses équations (voir exempleci-après).

Pour une contrainte de compression c , constante inférieure à 00,45. ( )ckf t appliquée à l'âge du béton t0 et

un module tangent Ec (que l'on peut prendre égal à 1,05 Ecm), la déformation de fluage à l'instant t = infini estdonnée par :

IV- RETRAIT

Le retrait total est la somme du retrait endogène ca et du retrait de dessiccationcd : cs ca cd

L'EC2 donne un certain nombre de formules en son article 3.1.4 et en annexe B.2 pour le calcul du retrait àun instant t et à l'infini.


V-DIAGRAMMES CONTRAINTE-DEFORMATION EN COMPRESSION

L'EC2, pour les calculs en ELU, propose quatre types de diagrammes :

pour les calculs d'analyse structurale non linéaires (principalement le calcul au flambement) :

pour les calculs des sections : le diagramme parabole-rectangle :


ou le diagramme bi-linéaire ;

ou le diagramme rectangulaire simplifié de hauteur , et de résistance effective (ne pas

confondre ce avec le précédent) :

Si la largeur de la zone comprimée diminue dans la direction de la fibre extrême la plus comprimée

(section circulaire par exemple), la valeur . cdf est à réduire de 10%.

Dans le cas de sections rectangulaires, pour le calcul des efforts de compression repris par le béton et dumoment de ces efforts, on a besoin de connaître la surface de l'aire située sous la courbe au travers de soncoefficient de remplissage (remp) et la position du centre de gravité de cette même aire par rapport à la fibre laplus comprimée (cdg).


On a ainsi :

effort de compression du béton = . . .cdremp f b x (pour une hauteur comprimée x) ;

moment résistant du béton comprimé par rapport à la fibre supérieure = 2. . . .cdremp f b x cdg

Valeurs des coefficients de remplissage (remp) et de la position du centre de gravité de la résultante de

compression du béton pour 1,5 1c ccet

VI-MODULE D’YOUNG (art. 3.1.3)

Ecm représente le module sécant entre les contraintes 0 et 0,4 fcm avec un correctif dépendant de la naturedes granulats

VII-AUTRES CARACTERISTIQUES (ART. 3.1.3)

• Coefficient de Poisson : 0,2 en section non fissurée et 0 en section fissurée.• Poids volumique : 2500 kg/ m3 , soit 24,5 kN/m3 .• Coefficient de dilatation thermique : 10-5 .• Joints de dilatation. Dans les bâtiments, les effets du retrait et de la dilatation peuvent être négligés dansl'analyse globale, si l'on dispose de joints de dilatation tous les 30 m maximum (art. 2.3.3(3)).

L'Annexe nationale française (ANF) reprend les valeurs utilisées auparavant en France, à savoir:

- 25 m dans les départements voisins de la Méditerranée (régions sèches à forte opposition detempérature) ;

- 30 à 35 m dans les régions de l'Est, les Alpes et le Massif central ;- 40 m dans la région parisienne et les régions du Nord ;- 50 m dans les régions de l'Ouest de la France (régions humides et tempérées).

Ces distances précédentes peuvent être augmentées, sur justifications spéciales, par des dispositionsconstructives appropriées permettant aux variations linéaires de se produire sans gêne (poteaux souples parexemple).

On peut ne pas tenir compte des autres effets de la température ainsi que du retrait sous réserve de lajustification de dispositions constructives appropriées, adaptées à l'ouvrage (ANF).


LES ACIERS

Les aciers des armatures de béton armé utilisés avec l'EC2 sont dans la gamme 400/600 MPa (AN).En France, la limite élastique courante des aciers à haute adhérence (symbole HA) est de 500 MPa avec unfractile de 5 %.

Les aciers sont soit laminés à chaud et possèdent une certaine ductilité, soit profilés à froid avec une ductilitéplus faible.

Une bonne ductilité, aptitude à s'allonger sous contrainte constante, est nécessaire dans les calculsparasismiques.

La norme EN 10080 et l'annexe C de l'EC2 distinguent trois classes de ductilité : A (la moins ductile), B(normale) et C (la plus ductile).

En béton armé, on utilise des aciers en barres, en fils ou des treillis soudés.

I-RELATIONS CONTRAINTE-DÉFORMATION

Notations

ykf : limite élastique ;

ydf : contrainte de calcul en ELU :yk

syd

ff

s : coefficient de sécurité des aciers en ELU ;

s = 1,15 (sauf en combinaisons accidentelles pour lesquelles s = 1,0) ;

0 .

yk

s ss

f

E : allongement de l'acier à la limite du palier de plasticité.


On peut utiliser, au choix (sauf pour un calcul au feu où seul le diagramme à palier est autorisé) :

soit un diagramme avec palier de plasticité, sans limitation d'allongement de l'acier ;

soit un diagramme avec droite inclinée en limitant l'allongement de l'acier à la valeur εud=0,9.εuk (AN).

Dans ce cas, pour un allongement εs, la contrainte est donnée par :


II- LONGUEURS DEVELOPPEES DES CADRES, ETRIERS, EPINGLES ET U

III- LONGUEURS DEVELOPPEES DES BARRES AVEC CROCHETS


IV- CARACTERISTIQUES DIVERSES

• Module d'Young : Es = 200 GPa.• Poids volumique : 7 850 kg/m3, soit 77 kN/m3.• Coefficient de dilatation thermique : 10-5.

Il existe aussi des aciers doux de limite élastique 235 MPa. Ces aciers ne sont pratiquement plusutilisés en béton armé sauf dans des cas très spécifiques lorsque de nombreux pliages ou dépliagessont à prévoir ou encore pour des crochets de levage de pièces préfabriquées comportant descontraintes élevées et concentrées dans des parties à faible rayon de courbure. Ils n'entrent pasdans le champ de l'EC2.

Caractéristiques matériaux 31 mars 2007

1 Béton

1.1 Caractéristiques à 28 jours . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EN 1992-1-1 Tableau 3.1

fck (MPa) résistance caractéristique en compression à 28 jours sur cylindre (fractile 5%)

fck < 90 MPa

fck,cube (MPa) résistance caractéristique en compression à 28 jours su cube

fcm (MPa) résistance moyenne en compression à 28 jours

fcm = fck +8

fctm (Mpa) résistance moyenne en traction à 28 jours

fctm =0,3 f 2/3

ck fck É 50

2,12ln

(1+ fck +8

10

)50 < fck É 90

fctk 0,05 (MPa) résistance caractéristique en traction à 28 jours (fractile 5%)

fctk0,05 = 0,7 fctm

fctk 0,95 (MPa) résistance caractéristique en traction à 28 jours (fractile 95%)

fctk0,95 = 1,3 fctm

fctm, f l (MPa) résistance caractéristique en traction à la flexion à 28 jours

fctm, f l = max[(1,6−h/1000) fctm ; fctm

]Ecm (MPa) module sécant d’élasticité moyen du béton

Ecm = 22000

(fck +8

10

)0,3

εc1 (‰) déformation au pic de la loi σ/ε complète du béton

εc1 = min(0,7(

fck +8)0,31 ; 2,8)

εcu1 (‰) déformation ultime de la loi σ/ε complète du béton

εcu1 =

3,5 fck É 50

2,8+27

(90− fck

100

)4

50 < fck É 90

εc2 (‰) déformation à la fin de la parabole de la loi σ/ε parabole rectangle du béton

εc2 ={

2,0 fck É 50

2,0+0,085(

fck −50)0,53 50 < fck É 90

εcu2 (‰) déformation ultime de la loi σ/ε parabole rectangle du béton

εcu2 =

3,5 fck É 50

2,8+35

(90− fck

100

)4

50 < fck É 90

n coefficient puissance de la parabole pour le béton

n =

2 fck É 50

1,4+23,4

(90− fck

100

)4

50 < fck É 90

εc3 (‰) déformation à la fin de la partie linéaire de la loi σ/ε bilinéaire du béton

εc3 =1,75 fck É 50

1,75+0,55fck −50

4050 < fck É 90

εcu3 (‰) déformation ultime de la loi σ/ε parabole bilinéaire du béton

εcu3 =

3,5 fck É 50

2,6+35

(90− fck

100

)4

50 < fck É 901

JF

Rectangle


1.2 Caractéristiques à t jours

On déduit les caractéristiques à t jours des relations précédentes pour :

– fcm(t ), résistance moyenne à la compression à t jours (T◦ ≈ 20◦C) :

fcm(t ) =βcc (t ) fcm = es

1−√

28

t

fcm

s =

0,20 pour des CEM 42,5 R, CEM 52,5 N CEM 52,5 R

0,25 pour des CEM 32,5 R, CEM 42,5 N

0,38 pour des CEM 32,5 R

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EN 1992-1-1 3.1.2 (6)

– fctm(t ), résistance moyenne à la traction à t jours :

fctm(t ) = [βcc (t )

]α fctm

α={

1 pour t < 28

2/3 pour t Ê 28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EN 1992-1-1 3.1.2 (9)

– fck (t ), résistance caractéristique à t jours :

fck (t ) ={

fcm(t )−8 pour 3 < t < 28

fck pour Ê 28

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EN 1992-1-1 3.1.2 (5)

– Ecm(t ), module sécant à t jours :

Ecm(t ) =[

fcm(t )

fcm

]0,3

Ecm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EN 1992-1-1 3.1.3 (3)

1.3 Déformations instantanées

– ν, coefficient de Poisson :

ν={

0,2 béton non fissuré

0 béton fissuré

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EN 1992-1-1 3.1.3 (4)

– Ec , module tangent à l’origine (σc = 0) :

Ec = 1,05Ecm

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EN 1992-1-1 3.1.4 (2)

– αT , coefficient de dilatation thermique :

αT = 10.10−6K−1 = 10−5°C−1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EN 1992-1-1 3.1.3 (4)

2

JF

Rectangle


1.4 Déformations différées

1.4.1 Fluage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Annexe B

– RH , humidité relative en %

– to , âge d’application de la contrainte σc

– t =∞, âge où l’on calcule l’influence du fluage

– Ac , aire totale de béton,

– u, périmètre de la section de béton,

– ho , rayon moyen de la section :

ho = 2Ac

u

– to,T , temps corrigé, on peut prendre en compte l’influence de la température avant son char-gement, mais généralement il vaut to = 28 jours.

– α, paramètre :

α=

−1 ciment de classe S(low)

0 ciment de classe N(ormal)

1 ciment de classe R(apid)

– to , temps corrigé :

to = max

(to,T

(9

2+ t 1,2o,T

+1

)α; 0,5

)Rem : il semblerait que ce soit 0,5to et non 0,5...

– α1, α2, coefficients :

α1 =(

35

fcm

)0,7

α2 =(

35

fcm

)0,2

– ϕRH , coefficient de fluage tenant compte de l’humidité :

ϕRH =

1+ 1−RH/100

0,1 3√

ho

pour fck É 27 MPa

[1+ 1−RH/100

0,1 3√

ho

α1

]α2 pour fck > 27 MPa

– β( fck ), coefficient tenant compte de la résistance du béton :

β( fck ) = 16,8√fck +8

– β(to), coefficient tenant compte de l’âge du béton :

β(to) = 1

0,1+ t 0,20o

– ϕ(∞, to), coefficient de fluage :

ϕ(∞, to) =ϕRHβ( fck )β(to)

3

JF

Rectangle


1.4.2 Retrait

– εcs(t ), retrait total au jour t :εcs(t ) = εcd (t )+εca(t )

– εcd (t ), retrait de dessiccation au jour t :

εcd (t ) =βd s(t , ts) kh εcd ,0

avec

βd s(t , ts) = t − ts

t − ts +0,04√

h3o

ho = 2Ac /u, ts fin de cure

kh = min(1;max(0,0000025h2o −0,00225ho +1,2;0,7))

εcd ,0 = 0.85

(220+110αd s1)e−αd s2

fcm

10

10−6βRH

βRH = 1,55

[1−

(RH

100

)0,3]

αd s1 =

3 ciment (S)

4 ciment (N)

6 ciment (R)

αd s2 =

0,13 ciment (S)

0,12 ciment (N)

0,11 ciment (R)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EN 1992-1-1 3.1.4 (6), annexe B

– εcd (t ), retrait endogène au jour t :

εcd (t ) =βas(t )εca(∞)

avec

{βas(t ) = 1−e−0.2

pt

εca(∞) = 2.5( fck −10)10−6

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . EN 1992-1-1 3.1.4 (6), annexe B

– εcs(∞), retrait total à l’infini :εcs(∞) = εcd (∞)+εca(∞)

– εcd (∞), retrait de dessiccation à l’infini :

εcd (∞) = khεcd ,0

– εcd (∞), retrait endogène à l’infini :

εcd (∞) = εca(∞)

4

JF

Rectangle


2 Acier

fyk (MPa) limite d’élasticité

ft (MPa) résistance en traction

εuk (MPa) ductilité, déformation au picde contrainte

fyd (MPa) limite d’élasticité de calcul

fyd = fyk

γs

εud (%) limite de déformation

εud = 0,9εuk

Es (MPa) module d’élasticité de l’acier

Es = 200 000 MPa

ρs (kg/m3) masse volumique de l’acier

ρs = 7 850 kg/m3

s

e

f t = k f y k

f y d = f y k / g s

e u kf y d / E s e u d

k f y d

5

JF

Rectangle


COURS DE BETON ARME

AUX EUROCODES

---------

Chapitre 2 : Durabilité

EC2 Durabilité Page 1

La durabilité est l'aptitude d'un matériau à résister aux différentes épreuves auquel il est soumisau cours de sa vie.

Un matériau entretenu peut avoir une durée de vie excédant la durée pour laquelle il a été conçu. À l'inverse, un matériaumal entretenu pourra présenter des désordres affectant sa disponibilité à satisfaire les exigences qu'on attend de luiavant la fin de la durée pour laquelle il été calculé.

Un matériau durable doit satisfaire aux exigences d'aptitude au service, de résistance et de stabilité pendant toute ladurée d'utilisation de projet, sans perte significative de fonctionnalité, ni maintenance imprévue excessive.

Il doit être tenu compte des conditions d'environnement pour définir les conditions à satisfaire pour la protection desaciers contre la corrosion, la compacité du béton en limitant la pénétration des chlorures et du gaz carbonique, lesenrobages et la maîtrise de la fissuration.

L'Eurocode NF EN 1990 définit des durées indicatives d'utilisation de projet (EC0-A1.1)(Tab.3.1)

I-LES CONDITIONS D'ENVIRONNEMENT (art. 4.2)

Elles sont définies dans la norme NF EN 206-1 et reprises dans FEC2 (Tab. 3.2)

Note :Un gel est considéré comme faible si l'on constate deux jours au plus à une température égale ouinférieure à - 5 °C. Un gel est considéré comme sévère pour au moins dix jours à une températureinférieure ou égale à -10 °C. Un gel modéré pour les autres cas.



Compléments de l'ANF

Note 1 :Si un béton non armé contient des pièces métalliques noyées et que l'environnement n'est pas classé très sec, laclasse ne peut être X0.

Note 2 :Les parties de bâtiment à l'abri de la pluie, clos ou non, sont en XC1 à l'exception des parties exposées à descondensations importantes à la fois par leur fréquence et leur durée qui sont alors à classer en XC3. C'est le casnotamment de certaines parties d'ouvrages industriels, de buanderies, de papeteries, de locaux de piscine...

Note 3 :Sont à classer en XC4 les parties aériennes des ouvrages d'art et les parties extérieures des bâtiments nonprotégées de la pluie, par exemple : façades, pignons et parties saillantes à l'extérieur, y compris retours de cesparties concernés par les cheminements et/ou rejaillissements de l'eau.

Note 4 :Ne sont à classer en XD3 que les parties d'ouvrages soumises à des projections fréquentes et contenant deschlorures dans le cas où il n'y a pas de revêtements d'étanchéité assurant la protection du béton. Ne sont donc àclasser en XD3 que les parties de parcs de stationnement de véhicules exposées directement aux sels contenantdes chlorures (par exemple, partie supérieures des dalles et rampes) et ne comportant pas de revêtementpouvant assurer la protection du béton pendant la durée de vie du projet.


Note 5 :Sont à classer en XS3 les éléments de structures en zone de marnage et/ou exposé aux embruns lorsqu'ils sontsitués à moins de 100 m de la côte, parfois plus, jusqu'à 500 m, suivant la topographie particulière. Sont àclasser en XS1 les éléments de structures situés au-delà de la zone de classement XS3 et situés à moins de 1 kmde la côte, parfois plus, jusqu'à 5 km, lorsqu'ils sont exposés à un air véhiculant du sel marin, suivant latopographie particulière.

Note 6 :En France, les classes d'exposition XF1, XF2, XF3 et XF4 (gel-dégel) sont indiquées sur la carte donnant leszones de gel, sauf spécification particulière notamment fondée sur l'état de saturation du béton (voir en E.2 del'Annexe de l’EC2-1-1 ou l'EN-206-1 en NA 4.1, figure NA.2 et note). Pour ces classes d'exposition XF, et sousréserve du respect des dispositions liées au béton (EN 206-1 et documents normatifs nationaux), l'enrobage seradéterminé par référence à une classe d'exposition XC ou XD.

*Pour les ponts corniches, longrines d'ancrage des dispositifs de retenue, solins des joints de dilatation.

Note 7 :Les exemples informatifs donnés pour les classes XA1, XA2, et XA3 sont à comprendre et préciser comme suit :

- éléments de structures en contact avec le sol ou un liquide agressif ;- ouvrages de génie civil soumis aux attaques chimiques, par exemple certains bâtiments de catégorie E),suivant les DPM (Documents particuliers du marché).

Note 8 :Les risques de lixiviation (entraînement de particules du matériau par l'eau) et d'attaque par condensation d'eaupure sont à traiter dans les classes d'exposition XA1, XA2 et XA3 suivant leur sévérité.

Carte des zones de gel en France

La carte des zones de gel en France a été établie suivant un classement : gel faible, gel modéré, gel sévère àpartir de données statistiques de stations météorologiques de Météo France couvrant le territoire national (voirnote en 1, ci-dessus).



II- CLASSES INDICATIVES DE RÉSISTANCE POUR LA DURABILITÉ (Annexe E informative)

Si, pour des raisons de durabilité, on choisit une résistance de béton supérieure à la résistance nécessaire pour lescalculs de dimensionnement, on prendra comme valeur de fctm celle du béton qui a la plus grande résistance dans ladétermination du ferraillage minimal d'aciers longitudinaux et dans le contrôle de la largeur des fissures.

III-ENROBAGE (art. 4.4.1)

L'EC2 le définit comme la distance entre la surface de l'armature et la surface du béton la plus proche. On pourrait, pourêtre plus précis, donner la définition suivante : la distance entre l'axe de l'armature et la surface du béton la plus pro-che, diminuée de son diamètre nominal.Ce qui éviterait des contestations sur le diamètre réel de l'armature compte tenu des épaisseurs des nervureséventuelles.

L'enrobage nominal figurant sur les plans et devant être respecté sur le chantier est donné par :

EC2-1-1 de base :

fabrication sous assurance qualité avec mesures d'enrobage 5 mm ≤ ∆cdev ≤ 10 mm ; garantie d'utilisation d'un appareil de mesure très précis de l'enrobage avec rejet des éléments non conformes

0 ≤ ∆cdev ≤ 10 mm.


L'ANF ajoute à ces deux cas 0 ≤ ∆cdev ≤ 10 mm:

existence d'un système d'assurance qualité couvrant toutes les phases de conception et d'exécution et prenant encompte ce qui suit, pour toutes les classes d'exposition :

en phase de conception et de dessin : dessins de détail à grande échelle des ferraillages sensibles (coupesur bandeau, lisse, parapet...) précisant enrobages et façonnages,

en phase de ferraillage : réception des aciers façonnés et contrôle de leurs dimensions,

en phase de mise en coffrage : élaboration des plans de calage des aciers (types, fréquence et fixation descales...) réception des ferraillages et contrôle des enrobages avant coulage,

en phase de mise en œuvre du béton : le cas échéant et en tant que de besoin, confection d'un élémenttémoin.

Cmin,b Enrobage minimal d'adhérence = diamètre de la barre ou diamètre équivalent du paquet (∅√n pour nbarres), à majorer de 5 mm si le plus gros granulat est > 32 mm.Pour des paquets de deux barres superposées, lorsque les « conditions d'adhérence sont bonnes », cesbarres ne sont pas considérées comme un paquet.

Cmin,dur Enrobage pour les conditions d'environnement (voir tableaux suivants).

∆Cdur,ߛ Marge de sécurité : 0 mm (AN).

∆Cdur,st Réduction pour acier inox : 0 mm en l'absence de spécifications supplémentaires. L'ANF précise quel'on peut donner la valeur de ∆Cdur,st dans les pièces du marché sous réserves de justification spéciales.

∆Cdur,add Réduction pour protection supplémentaire (revêtement par exemple) : 0 mm en l'absence despécifications supplémentaires. L'ANF précise que pour des revêtements adhérents faisant partieintégrante de la structure et justifiés pour la pénétration des agents agressifs pendant la durée d'utilisationde l'ouvrage, une valeur non nulle de ∆Cdur,add peut être retenue. L'enrobage minimal ne peut être inférieurà Cmin,b et à 10 mm.

Valeurs de Cmin,dur

En fonction de la classe d'exposition et de la classe structurale, on définit un enrobage Cmin,dur (AN).

L'EC2 a retenu six classes structurales S1 à S6. La classe structurale peut être modifiée en fonctiond'un certain nombre de paramètres (voir le tableau 3.4 de classification structurale recommandée).

Les classes structurales ne sont utilisées que pour définir l'enrobage des armatures.

La classe S4 recouvre les ouvrages de bâtiment et de génie civil courant (ANF de l'EC2-1-1). Lesponts sont en classe de durée d'utilisation de projet de 100 ans (voir les tableaux 3.6 et 3.6 bis).



(1) Par souci de simplicité, la classe de résistance joue ici un rôle d'un indicateur de durabilité. On peut aussi seréférer au guide AFGC Conception des bétons pour une durée de vie donnée des ouvrages.

(2) S'applique pour des éléments pour lesquels une bonne compacité des enrobages peut être garantie :- face coffrée des éléments plans (assimilables à des dalles, éventuellement nervurées, coulé horizontalementsur des coffrages industriels) ;- éléments préfabriqués industriellement : éléments extradés ou filés, ou face coffrée des éléments coulés dansdes coffrages métalliques ;- sous face des dalles de pont, éventuellement nervurées, sous réserve de l'accessibilité du fond de coffrageaux dispositifs de vibration.

(3) Pour les classes XAi, cette correspondance est indicative sous réserve d'une justification de l'agent agressif.


L'ANF attire l'attention sur les problèmes de fissuration auxquels risque de conduire un enrobage cmin supérieur à50 mm. Il est donc recommandé, en cas d'environnement agressif, d'utiliser des dispositions du tableau 3.5 oudes aciers inox ou la mise en place d'un système qualité. (Note de l'ANF 4.4 .1.2 (5)).

L'ANF précise également qu'un enrobage de dimension inférieure au plus gros granulat peut conduire à desdifficultés de bétonnage.

ExempleDalle intérieure de bâtiment avec fck = 25 MPa : classe structurale S4, classe d'exposition XC1, minoration de 1point (dalle), donc assimilable à une classe S3. L'enrobage Cmin,dur est de 20 mm.

Cas particuliers

Béton coulé en place au contact d'autres éléments en béton (préfabriqués ou coulés en place), l'enrobageminimal par rapport à l'interface peut être réduit à la valeur correspondant à celle requise par l'adhérence sousréserve que : fck ≥ 25MPa; l'exposition de la surface du béton à un environnement extérieur soit de courte durée (< 28 jours) ; l'interface ait été rendue rugueuse.

Pour des parements irréguliers (béton à granulats apparents par exemple), augmenter l'enrobage minimal de 5mm.

En cas d'abrasion du béton, augmenter l'enrobage (épaisseur sacrificielle) de ki mm.

Béton coulé en contact de surfaces irrégulières, l'enrobage minimal devient :

Correctifs à apporter en moins si :- entraîneur d'air supérieur à 4 % ;- armatures protégées ;- acier inox ;- béton coulé au contact d'un autre béton ;- maîtrise particulière de la qualité de production du béton ;- mise en œuvre soumise à un contrôle de la qualité incluant des mesures de l'enrobage des armatures.

Correctifs à apporter en plus si :- granulats apparents (+ 5 mm) ;- abrasion en site industriel (AN) : + 5 mm pour roues à bandage élastomère plein, + 10 mm pour roues

métalliques, + 15 mm pour chenilles.


Armatures de béton précontraint

• Gaine circulaire : diamètre de la gaine, limité à 80 mm maximum ;• Gaine rectangulaire de côtés a x b avec a ≤ b : Max [a ; 0,5 b], limité à 80 mm maximum.

En résumé.Enrobages minimaux (mm) pour les bâtiments courants d'habitations, de bureaux, scolaires, hospitaliers,

sportifs, industriels... de classe structurale S4, tolérance ∆cdev de 10 mm incluse (AN).

1) À l'abri de la pluie, clos ou non, sans condensations importantes (faces extérieures de poteaux, poutres, voiles protégées pardes revêtements étanches, par exemple).(2) À l'abri de la pluie, clos ou non, avec condensations importantes en fréquence et durée (buanderies, papeteries, locaux depiscine...).(3) Y compris les retours des éléments concernés par les cheminements et rejaillissements d'eau.(4) Face supérieure de dalle de parking, rampe, non protégée par une étanchéité pendant la durée de vie de l'ouvrage sinonXC1, XC3 ou XC4/XF1.(5) Pour la face de la fondation sur béton de propreté, prévoir cnom = 40 mm, et 75 mm pour coulage contre le sol (EC2-1-1,art. 4.4.1.3 (4)). L'ANF a réduit ces valeurs à respectivement : cnom = 30 et 65 mm.(6) Cette distance peut être portée jusqu'à 5 km suivant topographie particulière exposée à un air véhiculant des sels marins.(7) Cette distance peut être portée jusqu'à 500 m suivant topographie particulière.

(8) Minorations possibles de ∆cdev de 0 à 10 mm, si assurance qualité, mesures des enrobages, si fck > aux valeurs du tableauci-dessus (voir aussi tableaux ci-dessous).

EN 1992-1-1 : 2004 (F)

56

4.4.1.2 Enrobage minimal, cmin (1)P Un enrobage minimal cmin doit être assuré afin de garantir :

- la bonne transmission des forces d'adhérence (voir également sections 7 et 8) - la protection de l'acier contre la corrosion (durabilité) - une résistance au feu convenable (voir EN 1992-1-2).

(2)P La valeur à utiliser est la plus grande valeur de cmin satisfaisant aux exigences à la fois en ce qui concerne l'adhérence et les conditions d'environnement.

cmin = max {cmin,b; cmin,dur + ∆cdur,γ - ∆cdur,st - ∆cdur,add; 10 mm} (4.2)

avec : cmin,b enrobage minimal vis-à-vis des exigences d'adhérence, voir 4.4.1.2 (3) cmin,dur enrobage minimal vis-à-vis des conditions d'environnement, voir 4.4.1.2 (5) ∆cdur,γ marge de sécurité, voir 4.4.1.2(6) ∆cdur,st réduction de l'enrobage minimal dans le cas d'acier inoxydable, voir 4.4.1.2

(7) ∆cdur,add réduction de l'enrobage minimal dans le cas de protection supplémentaire, voir

4.4.1.2 (8).

(3) Pour assurer à la fois une transmission sans risque des forces d'adhérence et un béton suffisamment compact, il convient que l'enrobage minimal ne soit pas inférieur à cmin,b donné dans le Tableau 4.2.

Tableau 4.2 : Enrobage minimal cmin,b requis vis-à-vis de l'adhérence

Exigence vis-à-vis de l'adhérence Disposition des armatures Enrobage minimal cmin,b*

Armature individuelle Diamètre de la barre Paquet Diamètre équivalent (φ n)(voir 8.9.1)

*: Si la dimension nominale du plus gros granulat est supérieure à 32 mm, il convient de majorer cmin,b de 5 mm

Note : En ce qui concerne l'enrobage des armatures de précontrainte pré-tendues et l'enrobage des gaines de précontrainte de section circulaire ou plates, pour armatures adhérentes, les valeurs de cmin,b à utiliser dans un pays donné peuvent être fournies par son Annexe Nationale. Les valeurs recommandées pour les gaines de précontrainte par post-tension sont les suivantes :

gaines de section circulaire : diamètre gaines plates : la plus petite dimension ou la moitié de la plus grande dimension, si celle-ci est supérieure

Il n'y a pas d'exigence supérieure à 80 mm pour les gaines de section circulaires ou les gaines plates. Les valeurs recommandées pour les armatures de précontrainte pré-tendues sont les suivantes :

1,5 x diamètre du toron ou du fil lisse 2,5 x diamètre du fil cranté.

(4) Il convient de retenir un enrobage minimal de l'ancrage des armatures de précontrainte conforme à l'Agrément Technique Européen concerné.

EN 1992-1-1 : 2004 (F)

57

(5) L'enrobage minimal des armatures de béton armé et des armatures de précontrainte dans un béton de masse volumique normale, qui tient compte des classes d'exposition et des classes structurales, est donné par cmin,dur.

Note : Les classes structurales et les valeurs de cmin,dur à utiliser dans un pays donné peuvent être fournies par son Annexe Nationale. La Classe Structurale recommandée (durée d'utilisation de projet de 50 ans) est la classe S4, pour les résistances indicatives du béton données à l'Annexe E ; le Tableau 4.3N donne les modifications de Classe Structurale recommandées. La Classe Structurale minimale recommandée est la classe S1.

Les valeurs recommandées de cmin,dur sont données dans le Tableau 4.4N (armatures de béton armé) et dans le Tableau 4.5N (armatures de précontrainte).

Tableau 4.3N : Classification structurale recommandée

Classe structurale Classe d'exposition selon Tableau 4.1

Critère X0 XC1 XC2 / XC3 XC4 XD1 XD2 / XS1 XD3 / XS2 / XS3

Durée d'utilisation de projet de 100 ans

majoration de 2

classes

majoration de 2

classes

majoration de 2

classes

majoration de 2

classes

majoration de 2

classes

majoration de 2

classes

majoration de 2

classes Classe de résistance 1) 2)

≥ C30/37 minoration

de 1 classe


de 1 classe


de 1 classe


de 1 classe


de 1 classe


de 1 classe


de 1 classe

Elément assimilable à une dalle (position des armatures non affectée par le processus de construction)

minoration de 1

classe

minoration de 1

classe

minoration de 1

classe

minoration de 1

classe

minoration de 1

classe

minoration de 1

classe

minoration de 1

classe

Maîtrise particulière de la qualité de production du béton

minoration de 1

classe

minoration de 1

classe

minoration de 1

classe

minoration de 1

classe

minoration de 1

classe

minoration de 1

classe

minoration de 1

classe

Notes relatives au Tableau 4.3N 1. On considère que la classe de résistance et le rapport e/c sont liés. Il est possible de considérer une composition particulière (type de ciment, rapport e/c, fines) afin d'obtenir une faible perméabilité.

2. La limite peut être réduite d'une classe de résistance si l'air entraîné est supérieur à 4%. Tableau 4.4N : Valeurs de l'enrobage minimal cmin,dur requis vis-à-vis de la durabilité dans le cas des

armatures de béton armé conformes à l'EN 10080

Exigence environnementale pour cmin,dur (mm) Classe d'exposition selon Tableau 4.1 Classe

Structurale X0 XC1 XC2 / XC3 XC4 XD1 / XS1 XD2 / XS2 XD3 / XS3 S1 10 10 10 15 20 25 30 S2 10 10 15 20 25 30 35 S3 10 10 20 25 30 35 40 S4 10 15 25 30 35 40 45 S5 15 20 30 35 40 45 50 S6 20 25 35 40 45 50 55

EN 1992-1-1 : 2004 (F)

58

Tableau 4.5N : Valeurs de l'enrobage minimal cmin,dur requis vis-à-vis de la durabilité dans le cas des armatures de précontrainte

Exigence environnementale pour cmin,dur (mm) Classe d'exposition selon Tableau 4.1 Classe

Structurale X0 XC1 XC2 / XC3 XC4 XD1 / XS1 XD2 / XS2 XD3 / XS3 S1 10 15 20 25 30 35 40 S2 10 15 25 30 35 40 45 S3 10 20 30 35 40 45 50 S4 10 25 35 40 45 50 55 S5 15 30 40 45 50 55 60 S6 20 35 45 50 55 60 65

(6) Il convient de majorer l'enrobage d'une marge de sécurité ∆cdur,γ .

Note : La valeur de ∆cdur,γ à utiliser dans un pays donné peut être fournie par son Annexe Nationale. La valeur recommandée est ∆cdur,γ = 0 mm.

(7) L'enrobage minimal peut être réduit de ∆cdur,st lorsqu'on utilise de l'acier inoxydable ou que l'on prend d'autres dispositions particulières. Dans ce cas, il convient d'en considérer les effets pour l'ensemble des propriétés des matériaux concernées, y compris l'adhérence.

Note : La valeur de ∆cdur,st à utiliser dans un pays donné peut être fournie par son Annexe Nationale. La valeur recommandée, en l'absence de spécifications supplémentaires, est ∆cdur,st = 0 mm.

(8) Dans le cas d'un béton bénéficiant d'une protection supplémentaire (revêtement, par exemple), l'enrobage minimal peut être réduit de ∆cdur,add.

Note : La valeur de ∆cdur,add à utiliser dans un pays donné peut être fournie par son Annexe Nationale. La valeur recommandée, en l'absence de spécifications supplémentaires, est ∆cdur,add = 0 mm.

(9) Dans le cas d'un béton coulé en place au contact d'autres éléments en béton (préfabriqués ou coulés en place), l'enrobage minimal par rapport à l'interface peut être réduit à la valeur correspondant à celle requise pour l'adhérence (voir (3) ci-dessus), sous réserve que :

- le béton appartienne au moins à la classe de résistance C25/30, - l'exposition de la surface du béton à un environnement extérieur soit de courte durée (< 28

jours), - l'interface ait été rendue rugueuse.

(10) Il convient que l'enrobage minimal des armatures de précontrainte non-adhérentes soit conforme à l'Agrément Technique Européen. (11) Dans le cas de parements irréguliers (béton à granulats apparents, par exemple), il convient d'augmenter l'enrobage minimal d'au moins 5 mm. (12) Il convient de porter une attention particulière à la composition du béton (voir l'EN 206-1 Section 6) lorsqu'on prévoit que celui-ci sera exposé au gel-dégel ou à une attaque chimique (classes XF et XA). Dans des situations de ce type, un enrobage conforme à 4.4 sera normalement suffisant. (13) En ce qui concerne l'abrasion du béton, il convient de porter une attention particulière aux granulats, conformément à l'EN 206-1. Une option consiste à tenir compte de l'abrasion du béton en

EC2 Durabilité 31 mars 2007

1 Définition de cnom

L’enrobage est noté cnom, il est défini commela distance entre la paroi la plus proche et lepremier acier (peau, transversal, longitudinal).. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1.1-2(P)

cnom

c n o m

2 Calcul de cnom

1. cmin,b, enrobage minimal d’adhérence : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.1.2-(3)

cmin,b =

∅ une barre∅n = min

(∅√nb ; 55 mm

)nb barres de diamètre ∅

∅n = min

(√∑i

∅2i ; 55 mm

)n barres de diamètres ∅i

+

{0 dg < 32 mm5 mm dg > 32 mm

avec dans un paquet le rapport des diamètres ∅i/∅j < 1, 7 dans le paquet considéré, dg

diamètre du plus gros granulat, nn, n < 3 en traction, flexion. . . . . . . . . . . . . . 8.9.1 (1)(2)

2. cmin,dur, enrobage minimal de durabilité : . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.1.2-(5)

– X ?, détermination de la classe X ? sur l’ensemble de la structure . Tab 4.1 et NF

– fck, détermination d’une résistance minimale du béton . . . . . . . . . . . . . . . . . . .AN6 F

– définition d’un projet de base : de classe structurale S4 et de durée de référencetref = 50 ans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1.2-(5)

– pondération des valeurs de cmin,dur en fonction des valeurs de fck défini et tref définidans le projet (cumulatif) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Tab. 4.3NF

3. ∆cdur,γ = 0 mm, enrobage de marge de sécurité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1.2 (6)

4. ∆cdur,st = 0 mm, acier inoxydable . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.1.2 (7)

5. ∆cdur,add = 0 mm, protection supplémentaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.1.2 (8)

6. cmin, enrobage minimal, . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.4.1.2

cmin = max

cmin,b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .cmin,dur + ∆cdur,γ −∆cdur,st + ∆cdur,add

10 mm. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7. ∆cdev = 10 mm, tolérances d’exécution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.1.3 (1)P

8. cnom, enrobage nominal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4.4.1.2

cnom = cmin + ∆cdev

En pré-dimensionnement, on néglige le terme d’adhérence cmin,b

1

JF

Rectangle

JF

Rectangle

JF

Zone de texte

Attention, les références citées sont de l'Annexe de l'EC2


COURS DE BETON ARME

AUX EUROCODES

---------

Chapitre 3 : Adhérence

EC2 Adhérence Page 1

Adhérence - Ancrages - Recouvrements

Le matériau béton armé ne peut exister que parce que l'acier et le béton sont adhérents, c'est-à-dire que leurs

déformations sont les mêmes sous les sollicitations qui leur sont appliquées. L'acier ne glisse pas.

Les ancrages peuvent être rectilignes ou bien avec des crochets ou coudes à 90°, 135°, 150° ou 180°.

I-MANDRINS DE CINTRAGE (art. 8.3)

Les rayons des mandrins de cintrage doivent être tels que le pliage n'entraîne pas d'endommagement des armatures.


Il n'est pas nécessaire de justifier les diamètres du mandrin de cintrage vis-à-vis de la rupture du béton si les

conditions ci-après sont remplies :

le diamètre du mandrin de cintrage est ≥ aux valeurs du tableau 4.2 ;

l'ancrage nécessaire de la barre ne dépasse pas 5 au-delà de l'extrémité de la partie courbe ;

la barre n'est pas disposée près de la surface du béton, et il existe une barre transversale de diamètre ≥ à

l'intérieur de la partie courbe.

Dans le cas contraire, le mandrin de cintrage doit être augmenté pour satisfaire l’inéquation (art. 8.1) :

2

11

bcd

btm

af

F

btF est l'effort de traction ELU dans une barre ou un groupe de barres en contact à l'origine de la partie courbe

/ 2b noma c pour une barre (ou un groupe de barres) proche du parement ; ou bien / 2ba (demi entre

axes de deux barres)

II convient de limiter cdf à 55 / c (MPa). Cette vérification n'est pas exigée pour les cadres, étriers et

épingles.


II- ESPACEMENT DES ARMATURES (art. 8.2)

L'espacement minimal entre armatures doit permettre une bonne mise en place du béton (compactage et vibration) et

garantir un bon développement de l'adhérence acier-béton.


La distance entre nus des aciers, horizontalement et verticalement, est au minimum de : Max [k1. ; dg + k2 ; 20 mm] ;

avec k1= 1,0 (AN) et k2 = 5 mm (AN) ;

dg = dimension du plus gros granulat.

III-CONTRAINTE ULTIME D'ADHÉRENCE (art. 8.4.2)

La contrainte ultime d'adhérence est donnée par : 1 22,25. . .bd ctdf f avec,0,05

ct= ctkctd

c

ff

050 ,,ctkf est limité à 3,1 MPa ;

1ct (AN); c = 1,5

11 pour des « bonnes » conditions d'adhérence

701 , pour des conditions d'adhérence « médiocres » ainsi que pour les bétons coffrés avec des

coffrages glissants ;

12 pour ≤ 3 2;

1001322 /mm pour > 3 2 (soit 0,92 pour 40 et 0,76 pour 56).

Ainsi, les dalles (ou poutres) de moins de 25 cm de hauteur et toutes les barres relevées à plus de45° bénéficient de la condition « bonne adhérence ».

On notera que les barres verticales (poteaux, pieux, voiles) offrent de bonnes conditions

d'adhérence.

A

250

A

9045 a) c) mmh 250

A

b) mmh 250

h

A

d) mmh 600

300

a) et b) conditions d'adhérence "bonnes" pour toutes les barres

c) et d) zone non hachurée – conditions d'adhérence "bonnes" zone hachurée – conditions d'adhérence"médiocres"


IV-LONGUEUR D'ANCRAGE DES BARRES LONGITUDINALES (art. 8.4.3 et 8.6)

Un ancrage peut être réalisé au moyen de barres rectilignes (ancrages droits) ou de barres courbées avec des angles de90°, 135°, 150° ou 180° (ancrages courbes). Dans ces derniers cas, la longueur droite au-delà de la courbe doit auminimum être de 5. .

Fig.4.4

bdl

rqd,bl

eq,bl

15090

5

SF

a) Longueur d'ancrage de calcul bdl mesurée le long de l'axe

quelle que soit la forme du tracé

b) Longueur d'ancrage équivalente pour un coude

normal

5

eq,bl

150

SF SF

eq,bl

SF

c) Longueur d'ancrage équivalente pour un crochet normal d) Longueur d'ancrage équivalente pour une boucle normale

eq,bl

5

60,t SF

e) Longueur d'ancrage équivalente avec barre transversale soudée

On définit :

la longueur d'ancrage de référence : , 4sd

b rqdbd

Lf

la longueur d'ancrage minimale égale à :

,min ,0,3 ; 10 ; 100b b rqdL Max L mm pour barres tendues,

,min ,0,6 ; 10 ; 100b b rqdL Max L mm pour barres comprimées ;

la longueur d'ancrage de calcul : 51 2 3 4 , ,min. . . . .bd b rqd bL L L

Le produit 52 3. . . ne peut être inférieur à 0,7.

Dans les cas courants et pour éviter que les frais d'étude de calcul de la longueur d'ancrage coûte plus cher quel'économie d'acier réalisée, on pourra retenir la valeur 1,0 pour tous les coefficients .


Cependant, pour des dalles, pour des gros diamètres ou pour des cas répétitifs, on pourra prendre les valeurs suivantesdes coefficients « ».

où : 0,25 poutre une poutre et pour une dallest st

s s

A A

A A

stA aire de la section des armatures transversales le long de bdl (longueur d'ancrage de calcul)

sA aire de la section d'une barre ancrée individuelle de diamètre maximal

K valeurs apparaissant sur la Figure 4.7

p pression transversale à l'état-limite ultime le long de bdl en MPa

Figure 4.5 donnant le produit 1 2. en fonction du rapport /dC


Figure 4.6 donnant la valeur de Cd

Figure 4.7 donnant la valeur de K pour la détermination de 3

Exemples de cas courants (tableau 4.5)


1 ; / 2dC Min C a ;

1C = enrobage latéral des armatures de la poutre dans le poteau ;

a = espace entre nus des barres. Les barres le long des bords sont supposées être à une distance du bord ≥

/ 2a ;

G = charges permanentes non majorées apportées par le voile ou le poteau au-dessus ;

VEd = effort tranchant à l'appui.

Méthode pratique pour les cas courants

On calcule , 4sd

b rqdbd

Lf

On détermine les valeurs 1 2et d'après le tableau 4.5.

Si 1 2 ,. .bd b rqdL L est jugé trop important et si 2 > 0,7, on peut :

utiliser 5 = 1 - 0,04.p (sauf sans le cas de poutre suspendue avec retombée insuffisante) avec

.EdG V

pt e

(Fig. 1 du tableau 4.5) ;

utiliser des armatures transversales non soudées (les barres transversales soudées ne sont pas

d'usage courant en France) de section stA avec 5 1 .k (Tab. 4.5 et Fig. 4.7) ;


vérifier que 52 3 0,7. . ;

Si 1 2 ,. .bd b rqdL L est encore jugé trop important, on pourra disposer d'une barre transversale

soudée de diamètre ≥ 0,6, située à plus de 5 du point de départ de l'ancrage (Fig. 4.4e).

Enfin, on vérifiera que Lbd obtenu est supérieur à ,0,3 ; 10 ; 100b rqdMax L mm

V- ANCRAGES DES ARMATURES D'EFFORT TRANCHANT ET AUTRES ARMATURESTRANSVERSALES

VI- ANCRAGES PAR BARRE SOUDEE TRANSVARSALE (art. 8.6)

Dans certains cas, il peut être intéressant d'ancrer des barres par une (ou deux) barre(s) transversale(s) soudée(s) de

longueur Lt (nez de balcon, appuis de dalles courts...).

1- Pour des barres transversales de diamètre compris entre 14 et 32 mm (Fig.4.10)

On définit :

la force de traction dans la barre à ancrer de section : .s s ydAs F A f ;

la résistance de la soudure : 0,5. .swd ydF A f (AN) (ce qui nécessite deux barres transversales pour un

ancrage complet) ;

la résistance à l'entraînement de la barre transversale : . .td t tdbtdF L (AN);



2-Pour des barres transversales de 12 mm et moins

La résistance de l'ancrage dépend principalement de la résistance de la soudure :

16. . . tsbtd wd cd

L

F F A f

t = diamètre de la barre transversale et L = diamètre de la barre à ancrer.

Si l'on utilise deux barres soudées espacées d'au moins 0t, la force d'ancrage est multipliée par 1,41.

VII- RECOUVREMENT (art. 8.7)

1-Longueur de recouvrement L0

Désignons par 1 la proportion d'acier en recouvrement dans une section donnée. On distingue des barres au contact ou

proches et des barres éloignées (Fig. 4.12).

Pour des recouvrements de barres voisines, on intercalera un décalage de 00,3.L (Fig.4.13).

Dans un même lit, on peut procéder à un recouvrement 1 = 100 % de la section des armatures, sur plusieurs lits de

seulement 50 % :

0,min 6 ,50 1 2 3 4 6 ,. . . . . 0,3. . ; 15. ; 200. b rqdb rqd L Max L mmL L

Les coefficients 51 à sont lus dans le tableau (longueur d’ancrage des barres longitudinales).

Pour 3 , on prendra yd

sds,minst

fAA

avec As = section d'une barre en recouvrement.

Le coefficient 6 vaut : 16 1; 1,5

25

ou bien peut être lu dans le tableau 4.5


2- Armatures transversales dans les zones de recouvrement de barres tendues

Si < 20 mm ou si la proportion de barres en recouvrement dans une même section 1 ≤ 25 % : pas de barres

transversales à prévoir en plus de celles existant par ailleurs (flexion transversale).

Si ≥ 20 mm, disposer sur la longueur de recouvrement L0 (Fig. 4.15) une section totale d'armatures

transversale stA (à répartir moitié-moitié dans les tiers extérieurs de L0) au moins égale à la section As de la

barre (ou d'une seule s'il y en a plusieurs Fig. 4.16) : st sA A .


Si 1 ≥ 50 % et si la distance « a » entre recouvrements adjacents est ≤ 10, les armatures transversales seront

des cadres, étriers ou épingles à répartir moitié-moitié dans les tiers extérieurs de L0 (Fig. 4.17).

3- Armatures transversales dans les zones de recouvrement de barres comprimées

(Mêmes dispositions que pour les barres tendues avec une barre supplémentaire située à l'extérieur de la longueur L0 età moins de 4 (Fig. 4.18).

Les exigences des figures ci-dessus sont fort peu réalistes et on peut se demander quelles sont les expériences dechantier que peuvent avoir leurs auteurs.


4-Recouvrement des treillis soudés en armatures à haute adhérence

• Décaler de 1,3 L0 les jonctions des différents panneaux.• Aucune armature transversale n'est requise dans les zones de recouvrement.• Le diamètre transversal est au moins égal à 60% du diamètre principal.• La longueur d'ancrage n'est valide que si elle va au-delà de 5 du premier acier transversal (Fig. 4.19).

VIII- PAQUETS DE BARRES (art. 8.9)

Un paquet de nb barres dont le rapport des diamètres ne dépasse pas 1,7 est à considérer comme une barre fictive

équivalente de même section2. / 4 et de même centre de gravité que le paquet et de diamètre : .n bn

avec nb ≤ 4 pour des barres comprimées ou à l'intérieur d'une jonction de recouvrement et nb ≤ 3 dans tous les autrescas.

Pour deux barres disposées l'une au-dessus de l'autre et lorsque les conditions d'adhérence sont bonnes, il n'est pasnécessaire de traiter ces barres comme un paquet.

Ceci ne peut donc pas s'appliquer aux aciers supérieurs des poutres et dalles de hauteur supérieure à 0,25 m.

104

On admet que la transmission des efforts d’une barre à l’autre s’effectue par compression des « bielles » de béton découpées par des fissures inclinées à 45° sur la direction des barres.

Cette transmission n’est donc effective que sur la longueur :

7.1.2 Longueur de recouvrement l0

Chaque barre doit être totalement ancrée d’où42 :

(8.10)

avec :

, , , et comme pour les ancrages droits (voir § 3.8) en prenant ici :

où = aire de la section d’une des barres comportant un recouvrement (voir § 7.1.3 pour ou remarque du § 3.8 si les coutures des recouvrements ne sont pas imposées),

où = pourcentage de barres avec recouvrements dont l’axe se situe dans la plage d’amplitude par rapport à l’axe du recouvrement considéré :

l l cbd = −0

42. EC 2 – 8.7.3 (1)

l

lb rqd

0

1 2 3 4 5 6

1 4 60 7= Max

α α α α α α

α α α

. . . . . .

, . . . .

,

ll

l

b rqd,

, min0

⎧

⎨⎪

⎩⎪

α1 α2 α3 α4 α5

A Afst s

sd

yd, min∑ =

σ

AsAst∑

αρ

61

251 1 5= ∈[ ]; ,

ρ1± , .0 65 0l

l0

0,65.l0 0,65.l0

1,30.l0

barre I

barre IV

barre IIbarre III


COURS DE BETON ARME

AUX EUROCODES

---------

Chapitre 4 : Les actions

EC2 Actions Page 1

Actions

Les actions agissant sur une structure sont dues :

aux charges permanentes, principalement le poids propre des éléments de la structure et deséquipements (maçonnerie, corps d'état secondaires, etc.), poids ou poussées des terres...

aux charges d'exploitation (ou charges de services) ; aux charges climatiques (vent, neige, variations de température...) ; au séisme (voir EC8 = EN NF 1998).

I- ÉTATS LIMITES ULTIMES ELU (ECO)

On distingue :

EQU : perte d'équilibre statique de la structure ou d'une partie de celle-ci (bas-feulement, flambement,déversement...) ;

STR : défaillance interne ou déformation excessive de la structure (résistance de matériaux atteinte) ;

GEO : défaillance ou déformation excessive du sol ;

FAT : défaillance due à la fatigue.

Pour la prise en compte des eaux souterraines sur les structures, les documents particuliers du marché

doivent préciser, s'il y a lieu, les trois niveaux d'eau :

le niveau EB des basses eaux ;

le niveau EH des hautes eaux ;

le niveau EE des eaux exceptionnelles (prévoir un dispositif d’écoulement empêchant l’eau d’exercer

une action plus haut).

Niveau de l’eau →en dessous du

niveau EBentre EB et

EHentre EB et EE

Types de charges permanentes variablesaction accidentelle

physiquement bornée

Action [EB] [EH – EB] [EE - EB]

EC2 Actions Page 2

Valeurs de calcul d’actions (EQU)

Situations deprojet

durables ettransitoires

Actions permanentes Actionvariable

dominante

Actions variablesd'accompagnement

défavorables favorables Principale Autres

Éq.6.10 del’EC0

NF EN 1990

Gj,sup

Gkj,sup

Gj,inf

Gkj,inf

Q,1

Qk,1

le cas Q,i

o,i

Qk,i

1,10 Gkj,sup

0,9 Gkj,inf

1,5 Qk,1

échéant 1,5 o,i

Qk,i

Pour EQU, si l’eau souterraine est l’action dominante : la vérification de l’équilibre statiquedoit être faite avec le niveau des eaux exceptionnelles (EE) avec les coefficients suivants :

Gj,sup

Gkj,sup

Gj,inf

Gkj,inf

Q,1

Qk,1

1,10 Gkj,sup

0,95 Gkj,inf

1,0 Qk,1

(EE)

Valeurs de calcul d’actions (STR et GEO).

En France, on utilisera l’ensemble B

Situationsde projet

durables ettransitoires

Actions permanentes Actionvariable

dominante


défavorables favorables Principale Autres

Éq.6.10 Gj,sup

Gkj,sup

Gj,inf

Gkj,inf

Q,1

Qk,1

le cas Q,i

o,i

Qk,i

Ensemble B 1,35 Gkj,sup

1,0 Gkj,inf

1,5 Qk,1

(ou 0 sidéfavorable)

échéant1,5

o,iQ

k,i

(ou 0 sidéfavorable)

Éq.6.10 Gj,sup

Gkj,sup

Gj,inf

Gkj,inf

Q,1

Qk,1

le cas Q,i

o,i

Qk,i

Ensemble C 1,0 Gkj,sup

1,0 Gkj,inf

1,3 Qk,1

échéant 1,3 o,i

Qk,i

EC2 Actions Page 3

Note 1. Les valeurs de toutes les actions permanentes d’une même origine sont multipliées par le même

coefficient, soit Gj,sup

, soit Gj,inf

Note 2. Lorsqu’une action variable est réellement bornée par un dispositif physique, le coefficient 1,5

est remplacé par 1,35 et le coefficient 1,30 est remplacé par 1,20.

Note 3. Lorsque l’action dominante est due à l’eau souterraine, on prend en STR et GEO :

. si elle est défavorable : 1,35 [EB] comme action permanente et

Min{ 1,5[EH-EB] ; 1,35 [EE-EB]} comme action variable

. si elle favorable : [EB] comme action permanente et 0 comme action variable

Valeurs de calcul d’actions accidentelles et sismiques

Situationsde projet

Actions permanentes Actionsismique ouaccidentelledominante


défavorables favorables PrincipaleAutre

AccidentelleÉq.6.11 a/b de

l’EC0

Gkj,sup

Gkj,inf

Ad (*)

2,i

Qk,i

SismiqueÉq.6.11 a/b de

l’EC0

Gkj,sup

Gkj,inf

iA

Ekou A

Ed

2,iQ

k,i

(*) L’action variable principale est prise avec sa valeur fréquente 11

Qk1

lorsque l’action accidentelle est

un incendie, avec sa valeur quasi-permanente 21

Qk1

dans les autres cas.

Note 4. Lorsque l’action dominante est due à l’eau souterraine, en combinaison accidentelle ou sismique,

on prend le niveau [EE].

En résumé, en bâtiment, pour les cas avec une seule action variable, on aura à vérifier :

1,35. 1,5.

1,00. 1,5.

G Q

G Q

EC2 Actions Page 4

Nouveau zonage sismique

EC2 Actions Page 5

II- ÉTATS LIMITES DE SERVICE ELS (ECO)

On distingue :

la combinaison caractéristique normalement utilisée pour des états limites irréversibles ;

les combinaisons fréquentes normalement utilisée pour des états limites réversibles (principalementen béton précontraint) ;

les combinaisons quasi permanentes normalement utilisée pour des effets à long terme et l'aspect

de la structure.

CombinaisonActions permanentes G

dActions variables Q

d

Défavorables Favorables Dominante Autres

Caractéristique Gkj,sup

Gkj,inf

Qk,1

o,i

Qk,i

Fréquente Gkj,sup

Gkj,inf

1,1

Qk,1

2,i

Qk,i

Quasi-permanente Gkj,sup

Gkj,inf

2,1

Qk,1

2,i

Qk,i

En résumé, en bâtiment, pour les cas d’une seule action variable, on aura à vérifier : G + Q

III- COEFFICIENTS (ECO, Tab. A.1.1)

Charges d’exploitation des bâtiments (voir NF EN 1991-1-1) o

1

2

Catégorie A : habitation, zones résidentiellesCatégorie B : bureauxCatégorie C : lieux de réunion

0,70,70,7

0,50,50,7

0,30,30,6

Catégorie D : commercesCatégorie E : stockageCatégorie F : zone de trafic, véhicule de poids ≤ 30 kNCatégorie G : zone de trafic, véhicules entre de 30 à 160 kNCatégorie H : toits

0,71,00,70,70

0,70,90,70,50

0,60,80,60,30

Charges de neige sur les bâtiments (voir NF EN 1991-1-3)- pour les lieux à une altitude > 1000 m + St-Pierre & Miquelon- pour les lieux à une altitude ≤ 1000 m

0,70,5

0,50,2

0,20

Charges dues au vent sur les bâtiments (voir NF EN 1991-1-4) 0 ,6 0,2 0

Actions de la température (hors incendie) dans les bâtiments (voir NFEN 1991-1.5) 0,6 0,5 0

EC2 Actions Page 6

IV- CHARGES DE CALCUL

Dans les combinaisons d’actions, le poids propre de tous les éléments structuraux et non-structuraux sont àconsidérer comme une action unique, donc même coefficient

G

Quand les charges d’exploitation agissent en même temps que d’autres actions variables (neige, vent, …),elles sont à considérer comme une action unique. [EC1-§3.2 et §3.3.1]

Charges permanentes

• Lorsque le poids propre est susceptible de varier dans le temps, on prendra en compte les valeurscaractéristiques supérieure et inférieure. [EC1-§2.1]

• Les cloisons mobiles sont à considérer comme des charges d’exploitation. [EC1-§2.1]• Le poids des terres sur les toits et terrasses est à considérer comme une action permanente. [EC1-

§2.1]

Charges d’exploitation

• Pour un plancher, on doit considérer séparément, sauf indication contraire, l’action d’une chargeconcentrée et celle des charges réparties. [EC1-§6.2.1]

• Sur les toitures, on ne prend pas en compte simultanément les charges d’exploitation et les chargesdues au vent et à la neige. [EC1-§3.3.2]

Charges d’exploitation de bâtiments [EC1] (ANF)

Nature deslocaux

Catégorie de la surface chargéeq

k

(kN/m2

)

Qk

(kN)(3)

Habitation,résidentiel

A

Planchers

Escaliers(1)

Balcons

1,52,53,5

222

Bureaux B2,5 4

Lieux de

réunions(2) C

C1 Espaces avec tables (écoles, cafés, salles de réception, …)C2 Espaces avec sièges fixes (théâtres, églises, salles d’attente, …)C3 Espaces sans obstacles à la circulation des personnes (salles de

musée, hôtels, hôpitaux, gares, accès des bâtiments publics,…)

C4 Espaces avec activités physiques (dancing, scènes, salles degym)C5 Espaces avec foules importantes (salles de concert, de sport,quais de gares, …)

2,544

5

5

344

7

4,5

Commerces DD1 Commerces de détail courantsD2 Grands magasins

55

57

(1) Sauf pour les marches indépendantes qui relèvent d’une approche dynamique

(2) À l’exception des surfaces des catégories A, B et D.

(3) La charge concentrée peut être prise sur un carré de 50 x 50 mm

EC2 Actions Page 7

Pour le calcul des bâtiments lorsque la catégorie n’est pas précisée, on appliquera la catégorie D1(commerces de détail courant).

Cloisons mobiles qk

(par m2

de plancher)

Cloisons mobiles de poids propre ≤ 1 kN/m linéaire de mur 0,5 kN/m2



Coefficients de réduction horizontale A

pour planchers et toitures

Planchers (A, B, C3, D1 et F et terrasses (catégorie I) pour une aire chargée A.

A

(m2)

≤15,2

20 25 30 35 40 45 50 55 60 65 70

A

1 0,945 0,910 0,887 0,870 0,858 0,848 0,840 0,834 0,828 0,824 0,820

Coefficients de réduction verticale n

pour poteaux et murs

• S’applique à la totalité de la charge des niveaux situés au-dessus.• n est le nombre d’étages (> 2) au-dessus des éléments structuraux chargés et de la même

catégorie.

EC1 de base § 6.3.1.2(11) ANF

Surfaces de catégorie A

n=[2n + (n-2)

o]/n

n

= 0,5 + 1,36/n

Surfaces de catégorie B et F n

= 0,7 + 0,8/n

EC2 Actions Page 8

Coefficients de réduction pour poteaux et murs (pour n niveaux au-dessus et de même

catégorie) (ANF)

Cat. n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

A n

= 1 1 0,953 0,84 0,772 0,727 0,694 0,67 0,651 0,636 0,624 0,613 0,605 0,679 0,591

B

& F

n= 1 1 0,967 0,9 0,86 0,833 0,814 0,8 0,789 0,78 0,773 0,767 0,762 0,757 0,753

Apar

plancher1 1 0,86 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5 0,5

B

& F

par

plancher1 1 0,9 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7

Aires de stockage et locaux industriels

Cat. Usage spécifiqueq

k

(kN/m2)

Qk

(kN)(3)

E1Surfaces susceptibles de recevoir une accumulation demarchandise, y compris aires d’accès (aires de stockage, ycompris livres)

7,5 7,0

E2 Usage industriel (AN) 7,5 7,0

Chariots élévateurs

La charge statique à l'essieu kQ est à majorer par le coefficient dynamiqueφ :

φ = 1,40 pour les bandages pneumatiques ;

φ = 2 pour les bandages pleins.

Les charges horizontales dues à l'accélération et au freinage sont prises égales à 30 % de la charge verticale

kQ (sans coefficient dynamique).

La charge kQ est appliquée en deux charges 0,5. kQ sur deux surfaces (les roues) de 0,2 x 0,2 m dont les

centres sont espacés de la longueur a.

EC2 Actions Page 9

Garages et aires de circulation accessibles aux véhicules : charges d’exploitation hors ponts

Catégorie Usage spécifiqueq

k

(kN/m2)

Qk

(kN)

Aire chargée(m)

F

Aires de circulation et stationnement pour véhiculeslégers(PTAC ≤ 30 kN et nombre de places assises ≤ 8 +conducteur) (garages, parkings,…)

2,3 15 0,1 x 0,1

G

Aires de circulation et stationnement pour véhiculesde poids moyen(30 kN ≤ PTAC ≤ 160 kN à deux essieux) (zonesd’accès, de livraison, lutte incendie)

5 90 0,2 x 0,2

Le modèle de charge comporte un essieu unique avec une charge kQ .

Ces valeurs couvrent les effets dynamiques lorsque la vitesse de circulation est inférieure à 20 km/h encatégorie F et 10 km/h en catégorie G (AN).

Toitures : charges d’exploitation

Catégorie Usage spécifique Type de la toitureq

k

(kN/m2

)(1)

Qk

(kN)(2)

HToitures inaccessibles sauf pourentretien et réparations courants

Toitures de pente < 15 %recevant une étanchéité

0,8 1,5

Autres toitures 0 1,5

IToitures accessibles pour les usages

des catégories A à D

Si non défini

précédemment3

KTerrasses accessibles pour usages

particuliers (héliostat par exemple)

Pour héliostat voir Tab

suivant

(1) qk

agit sur une aire rectangulaire de 10 m2

dont la forme et la localisation sont choisies de la façon la

plus défavorable sans que le rapport longueur/largeur dépasse 2 (AN)

(2) La charge répartie et la charge concentrée ne sont pas à appliquer simultanément. (AN)

Les charges réparties et concentrées ne sont pas à prendre en même temps que les chargesclimatiques (vent, neige).

Toitures de catégorie K pour Hélistations : charges d’exploitation

EC2 Actions Page 10

Charges horizontales sur garde-corps et murs de séparation agissant comme barrières à unehauteur ≤ 1,20 m - q

k(kN/m)

Catégorie ACatégories B et C1Catégories C2 à C4 et DCatégories C5Catégories E (une valeur supérieure si nécessaire)

0,60,61,03,02,0

Pour les espaces susceptibles de supporter une foule importante (manifestations publiques, stades, scènes,amphithéâtres, salles de conférence, …), on prendra une charge linéique correspondant à la catégorie C5.

V- BARRIÈRES DE SÉCURITÉ ET GARDE-CORPS POUR PARKINGS (EC1-1-1 Annexe B)

Force horizontale à prendre en compte :21 .

.2 c b

m vF

Les barrières des rampes d’accès doivent résister à 0,5 F définie, appliquée à 610 mm au-dessus du niveaude la rampe

En face des extrémités de rampes rectilignes destinées à la descente et de longueur 20 m, la barrière doitrésister à 2 F.

VI- EFFETS THERMIQUES [§2.3.3 (3) et 2.6 (2)]

En ELS : en tenir compteEn ELU, on ne les prend en compte que dans des cas particuliers (fatigue, effets significatifs

du 2e

ordre sur la stabilité…)

VII- RETRAIT (§2.4.2.1)

Lorsque la prise en compte des effets du retrait est requise en ELU, on prend un coefficient partiel γSH

= 1

EC2 Actions Page 11

VIII- JOINTS DE DILATATION [§2.3.3(3)]

• Dans les bâtiments, les effets du retrait et de la dilatation peuvent être négligés dans l'analyse globale,si l’on dispose de joints de dilatation tous les 30 m maximum.

• L’annexe nationale française (ANF) reprend les valeurs utilisées auparavant, à savoir:

- 25 m dans les départements voisins de la Méditerranée (régions sèches à forte opposition de

température),

- 30 à 35 m dans les régions de l'Est, les Alpes et le Massif Central,

- 40 m dans la région parisienne et les régions du Nord,

- 50 m dans les régions de l'Ouest de la France (régions humides et tempérées).

• Ces distances peuvent être augmentées, sur justifications spéciales, par des dispositions constructivesappropriées permettant aux variations linéaires de se produire sans gêne (poteaux souples parexemple).

• On peut ne pas tenir compte des autres effets de la température ainsi que du retrait sous réserve de lajustification de dispositions constructives appropriées, adaptées à l'ouvrage (ANF). Cependant, dans lecas des ouvrages particulièrement sensibles : dallages, radiers, dalles de parking enserrées dans lesparois, ... on prendra des dispositions constructives adaptées à l'ouvrage portant sur tout ou partie despoints suivants :

- la qualité du béton,

- la conception des ouvrages (type de plancher, sens de portée, préfabrication, ...

- le phasage de mise en oeuvre du béton (zones alternées en damier, ...

- les procédures de cure,

- les joints de reprise de bétonnage et/ou de clavetage ainsi que leur position,

- les joints de pré-fissuration ainsi que leur position,

- les dispositions constructives de ferraillage (position, altitude, espacement, pourcentage, ...

COURS DE BETON ARME

AUX EUROCODES

---------

Chapitre 5 : Les sollicitations

EC2 Sollicitations Page 1

Sollicitations

Les éléments de structure sont calculés en fonction des sollicitations qu'ils subissent : moment, effort normal,effort tranchant, moment de torsion.

Les sollicitations permettent de déterminer les contraintes et les déformations des déments, sauf dans le casd'utilisation de méthodes aux éléments finis qui donnent les contraintes et déformations permettant dedéterminer les sollicitations.

Deux types de sollicitations sont envisagés :

En état limite de service (ELS) comportement élastique-linéaire : la « résistance desmatériaux » élastique classique (correspondant aux charges courantes et permettant de vérifier queles conditions de déformations (flèches, aspect esthétique) ou de limitation des risque de corrosionsont satisfaites ;

En état limite ultime (ELU) correspondant aux charges de service majorées de coefficients desécurité en vérifiant que les matériaux béton et acier, avec des insistances minorées par d'autrescoefficients de sécurité, permettent à la structure de résister, d'être stable (flambement, basculement,renversement).

Des analyses locales particulières peuvent être nécessaires lorsque l'hypothèse d’une distribution linéaire desdéformations unitaires ne s'applique plus, pare exemple :

à proximité des appuis ; localement, au droit des charges concentrées ; aux nœuds poteaux-poutres ; dans les zones d’ancrage ; aux changements de section transversale.

Dans les bâtiments, les déformations dues à l’effort tranchant et à l’effort normal peuvent ne pas êtreprise en compte, dans la détermination des sollicitations, si l’on prévoit qu’elles seront inférieures à 10% des déformations de flexion. Ce qui est le cas pour les dalles, pour les poutres dont la hauteur < L/5

I-CAS DE CHARGES ET COMBINAISONS [art 5.1.3]

Pour les bâtiments, on peut limiter les combinaisons aux trois cas suivants pour les charges variables :• les travées paires chargées• les travées impaires chargées• deux travées adjacentes quelconques chargées

Sinon : lignes d’influence

• ANF : « les simplifications dans les dispositions de charges à utiliser sont fondées sur le principesuivant : les cas de charge à utiliser sont ceux que l'on utiliserait si les éléments portés reposaientisostatiquement sur les éléments porteurs ; les actions ainsi obtenues sur les éléments porteurs sontforfaitairement majorées ou minorées en fonction de l'hyperstaticité ainsi négligée. »

• En clair, cela permet d'utiliser la méthode simplifiée française qui consiste à majorer forfaitairementles réactions d'appuis sur éléments porteurs de 10 % pour les appuis intermédiaires despoutres continues de plus de 2 travées et de 15 % pour l'appui central d'une poutre de 2travées.

Exemple pour une poutre sur 5 appuis (n appuis = n combinaisons)


i

Hi Na

Nb

LNa

Nb

Hi

/2/2

/2

b) Système decontreventement

c1) Plancher decontreventement

c2) Diaphragmede toiture

II-IMPERFECTIONS GÉOMÉTRIQUES [art.5.2]

• À ne prendre en compte qu’en ELU.• Valeurs associées à des tolérances normales d’exécution (classe 1 de l’EN 13670)

1-Inclinaison

0

0

. .

1/ 200 ( )

2 2avec 1

3

10,5.(1 )

i mh

h h

m

AN

L

m

Exemple de l’effet des imperfections géométriques


III-MODÉLISATION DE LA STRUCTURE [art. 5.3]

1-Définition des éléments (art. 5.3.1 et 9.6.1)

Poutre si L > 3 h longueur L et hauteur h

Dalle si b > 5 h largeur b et épaisseur h

Poteau si b < a < 4 bet H > 3 b

côtés a et b, hauteur H

Voile si L > 4 h épaisseur h, longueur L

Dalle portant dansdeux directions

si 0,5 L1≤ L

2≤ 2 L

1L

1et L

2dimensions horizontales

de la dalle


2- Largeurs participantes des tables de compression des poutres en Té

Une table de compression située en partie supérieure d'une poutre confère à celle-ci une résistance plusélevée pour toutes les sections comprises entre les points de moments nuls (moments positifs).

La largeur efficace effb (ou participante) des tables dépend de la largeur réelle de la table, mais aussi de la

portée et de la distance de la section étudiée par rapport au point de moment nul (mise en charge progressivede la compression dans la table).

Par simplification, l'EC2 n'a pas pris en compte ce dernier paramètre, mais cela a peu d'importance du fait queles moments y sont faibles et que la nervure peut à elle seule reprendre le moment.

Par simplification aussi, l'EC2 définit des positions forfaitaires des points de moments nuls (qui, en

réalité, varient pour chaque combinaison de cas de charges) : à 0,15 L0 pour des appuis intermédiaires ou

appui de rive avec console .

Lo = 0,85 L1

L1

Lo = 0,15 L1

+ 0,15 L2 Lo = 0,7 L2

L2 L3

Lo = 0,15 L2 + L3

b1 b1 b2 b2

b

bw

beff,1 bw beff,2

beff

Débord participant (efficace) de table :

à gauche : beff,1

= Min[b1

; 0,2 b1

+ 0,1 Lo

; 0,2 Lo]

à droite : beff,2

= Min[b2

; 0,2 b2

+ 0,1 Lo

; 0,2 Lo]

La largeur participante de la table : beff

= bw

+ beff,1

+ beff,2

3- Portées de calcul des dalles et poutres

Les calculs sont à effectuer avec la portée entre axes des poutres avec un correctif pour le cas des appuis

très larges et en tenant compte de la participation du béton de l’appui dans le calcul des aciers nécessaires.


Lna1 a2

Leff

Ma1

Ma2

Mn2

Mn1

Moments nuls

Moment max

Pour des poutres ou dalles appuyées sur des éléments en béton (poutre, poteau, voile) qui leur sont liésmonolithiquement, on peut considérer l’existence d’une diffusion de l’effort de compression de la partieinférieure (moment négatif) dans l’appui.

En général, la section d'acier au nu de l'appui est plus grande que dans l'axe de l'appui. C'est pourquoi, l’EC2permet de prendre le moment au nu de l'appui en s'assurant cependant qu'il est au moins égal à 65 %du moment d'encastrement.

A défaut d’être monolithe : La réaction d’appui FEd,sup

correspond à une charge répartie (uniforme,

trapézoïdale ou triangulaire) sur la largeur « t » de l’appui dont la moyenne vaut : q = FEd,sup

/ t.

A toute charge uniforme appliquée sur une longueur « t » correspond une amplitude de moment :

∆M = q . t2

/ 8 = FEd,sup

. t / 8

Cette réduction de moment existe dans tous les cas et est appelée « écrêtage du moment sur appui ».

Moments aux nus pour une charge uniforme « p » sur toute la travée :

Mn1

= (1 – 1) M

a1+

1.M

a2+ 4

1(1 –

1) . M

o

Mn2

= (1 – 2) M

a2+

2.M

a1+ 4

2(1 –

2) . M

o

avec : 1

= a1

/ Leff

; 2

= a2

/ Leff

Mo

= p.Leff

2

/ 8

L’EC2 permet de prendre un moment au nu de l’appui en s’assurant qu’il est au moins égal à 65% du moment

d’encastrement .


t

h

Ln

Leff

a1 = Min[0,5 h ; 0,5 t]

a) Éléments isostatiques

t

h

Ln

Leff

ai = Min[0,5 h ; 0,5 t]

b) Éléments continus

t

h

Ln

Leff

ai = Min[0,5 h ; 0,5 t]

c) Appuis considérés commes desencastrements parfaits

t

h

Ln

Leff

a1 = Min[0,5 h ; 0,5 t]

d) Présence d'un appareil d'appui

axe

d'a

pp

ui

t

h

Ln

Leff

ai = Min[0,5 h ; 0,5 t]

e) Console


d = - i1(x) 1x

L i1

.

dx

E.Ii1(x)0

L i1

et g = i(x)x

Li

.dx

E.Ii (x)0

L i

IV- CALCUL DES MOMENTS SUR APPUIS DES POUTRES CONTINUES

1- Équation des trois moments

L'équation des trois moments entre dans le cadre de la méthode de calcul élastique à comportementlinéaire de l’EC2.

Li

i-1

Li+1

i i+1

dg

Rappel des coefficients de souplesse de la travée « i »

ai = 1x

Li

2

.dx

E.Ii(x)0

L i

bi =x

Li

1x

Li

.

dx

E.Ii(x)0

L i

ci =x

Li

2

.dx

E.Ii(x)0

L i

E = module d'Young ;Ii = moment d'inertie constante de la travée « i » ;Ii(x) = moment d'inertie variable de la travée « i » ;L = portée identique pour toutes les travées ;Li = portée de la travée « i » ;Mi = moment sur l'appui « i »;

Pi = charge répartie uniforme sur la totalité de la travée « i » ;

μi(x) = moment de la travée « i » rendue isostatique sous le même chargement ;

d = rotation à droite de l'appui « i » de la travée « i+1» rendue isostatique sous le mêmechargement ;

g = rotation à gauche de l'appui « i » de la travée « i » rendue isostatique sous le mêmechargement .

Mêmes portées et mêmes inerties.Charges uniformes totales

Mi-1

+ 4 Mi+ M

i+1= - 0,25 (p

i+ p

i+1) L

2

Mêmes inerties.Charges uniformes totales

Mi-1

Li+ 2(L

i+ L

i+1) M

i+ L

i+1M

i+1= - 0,25 (p

iL

i

3

+ pi+1

Li+1

3

)

Inerties constantes.Charges uniformes totales

(Li/ I

i) M

i-1+ 2 [(L

i/ I

i) +(L

i+1/ I

i+1)] M

i+ (L

i+1/ I

i+1) M

i+1= - 0,25 [p

i.L

i

3

/ Ii+ p

i+1.L

i+1

3

/ Ii+1

]

Inerties constantes.Charges quelconques

(Li/ I

i) M

i-1+ 2 [(L

i/ I

i) + (L

i+1/ I

i+1)] M

i+ (L

i+1/ I

i+1)] M

i+1= - 6E (I

i

g- I

i+1

d)

Inerties variablesCharges quelconques

biM

i-1+ (a

i+1+ c

i) M

i+ b

i+1M

i+1= -

g+

d


2-Redistribution limitée des moments (en ELU seulement) [art. 5.5]

Une redistribution limitée des moments peut être effectuée, en général pour diminuer les moments sur appuis

qui sont souvent déterminant pour le dimensionnement des poutres ou dalles.

L'EC2 l'autorise sous les conditions suivantes :

le rapport des portées est compris entre 0,5 et 2

les éléments sont sollicités principalement en flexion (donc pas pour les poteaux)

le coefficient de redistribution = Maprès

/Mavant

est fonction de l’état de sollicitation de la

section (plus la section est sollicitée, moins on peut redistribuer) par l’intermédiaire de la hauteur

comprimée xu

Classe d’acier fck≤ 50 MPa f

ck> 50 MPa

A(peu ductile

= 0,44 + 1,25 (xu/d) ≥ 0,8 = 0,54 + 1,25 (0,6 + 1,4/

cu2) (x

u/d) ≥ 0,8

B ou C

(ductile ou très ductile)

= 0,44 + 1,25 (xu/d) ≥ 0,7 = 0,54 + 1,25 (0,6 + 1,4/

cu2) (x

u/d) ≥ 0,7

Le coefficient de redistribution peut être choisit de tel sorte que le moment en valeur absolue sur

appui, déterminé par les cas (c) (voir page 2) soit diminué pour être rapproché du moment des cas a

et b.

On ne connaît le coefficient de redistribution que si l'on connaît le moment redistribué (soit μaprès

exprimé en moment réduit : 2/ ( . . )cdM b d f ). On procède alors par itérations successives ou bien on utilise

l'abaque de la figure suivante ou tableau.

avant0,480,372

aciers

comprimés

conseillés

0,294

pas de

redis-

tribution

posible

0,255

après

class

eA

(0,8

)

class

es Bet C

(0,7)

0 0,05 0,1 0,150,2 0,25 0,30

0,05

0,15

0,1

0,2

0,25

0,3


Coefficient de redistribution δ en fonction de μavant avant redistribution (fck ≤ 50MPa)

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9

≤ 0,2 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7

0,21 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7 0,7001 0,7024

0,22 0,7046 0,7069 0,7092 0,7115 0,7138 0,7162 0,7186 0,721 0,7234 0,7259

0,23 0,7284 0,7309 0,7334 0,7360 0,7386 0,7412 0,7438 0,7465 0,7492 0,7519

0,24 0,7547 0,7575 0,7603 0,7632 0,7661 0,7690 0,7720 0,7750 0,7781 0,7812

0,25 0,7843 0,7875 0,7907 0,7939 0,7972 0,8006 0,8040 0,8074 0,8109 0,8145

0,26 0,8181 0,8218 0,8255 0,8293 0,8331 0,8370 0,8410 0,8450 0,8492 0,8533

0,27 0,8576 0,8620 0,8664 0,8709 0,8756 0,8803 0,8851 0,8900 0,8951 0,9002

0,28 0,9055 0,9109 0,9165 0,9222 0,9280 0,9341 0,9403 0,9467 0,9533 0,9601

0,29 0,9672 0,9746 0,9822 0,9902 0,9985 1 1 1 1 1

≥ 0,3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

A retenir : Pas de distribution si µ > 0,294

Exemple : Poutre continue sur 3 appuis

L=6m L=6m

g=27 KN/mq= 9 KN/m

1,35g+1,5q 1,35g

cas (a)

cas (b)

cas (c)

1,35g+1,5q1,35g

1,35g+1,5q 1,35g+1,5q


Résultats avant redistribution

0,25 ; 0,52 ; 0,47

: 225 0,246 ; 0,359

w

uappui avant

b m h m d m

xAvant redistribution M KNm

d

μavant < 0,294, la redistribution est possible

Si on ramène le moment sur appui à 194 KNm (> 65%) (de « c » à « a ou b ») ; on obtient :

: 194 0,213 ; 0,302uappui après

xAprès redistribution M KNm

d

0, 2130,865 0,7

0,246

Le tableau autorise jusqu’à 0,772 soit M=173,7 KNm


Moment de plastification limite

=d

xu 0,15 0,25 0,35 0,45

=

cd2 f.d.b

M0,113 0,180 0,241 0,294

Rappel = 0,8 (1 – 0,4 )

3-Analyse plastique des poutres, portiques et dalles (en ELU seulement)

Les méthodes basées sur l’analyse plastique ne doivent être utilisés qu’en ELU.

On peut utiliser une méthode cinématique (borne supérieure de la plasticité) ou une méthode statique(borne inférieure de la plasticité).

On pourra négliger les chargements antérieurs et admettre un chargement progressif monotone.

Pour un chargement monotone croissant, la contrainte de l’acier augmente progressivement jusqu’àatteindre

so= f

yd/ E

s, seuil à partir duquel la rotule plastique commence à fonctionner.

On devra vérifier que les sections critiques (rotules plastiques) ont une capacité de rotation suffisantepour que le mécanisme envisagé puisse se produire (voir tableau ci-dessous)

Non requise Requise : s ≤ k . pl,d

Si :d

xu ≤ 0,25 pour fck ≤ 50 MPa

Ou si :d

xu ≤ 0,15 pour fck > 50 MPa

et si les aciers sont de classe B ou C

et si : 0,5 ≤appui

travée

M

M≤ 2

Si : 0,25 ≤d

xu ≤ 0,45 pour fck ≤ 50 MPa

Ou si : 0,15 ≤d

xu ≤ 0,35 pour fck > 50 MPa

La capacité de rotation se traduit par la vérification suivante ,.s pl dk avec :

s = rotation calculée sur une longueur 0,6 h de part et d’autre de la rotule plastiquepl,d = rotation plastique admissible lue sur abaque EC2k = coefficient de correction dépendant de l’élancement vis-à-vis de l’effort tranchant

k =3

= distance entre le point de moment nul et le point de moment maximal après redistribution rapporté

à la distance utile d (que l’on peut prendre, pour simplifier, égal à =d.V

M

Sd

Sd )

Calcul de θs

La rotation sur la longueur (2*0,6.h) est donnée par :

0,6

0,6

1.

h

h

dxr

avec 01,2. .1

soit( ). ( ).s

yd yds

u u s u s

f h f

r d x d x E d x E


Valeurs de base de ,pl d pour armatures de classes B et C

0 0,05 0,10 0,15 0,20 0,25 0,30 0,35 0,4 0,45

0

5

10

15

20

25

30

35

pl,d (mrad)

xu/d

classe B

classe C

<= C50/60

C90/105

<= C50/60

C90/105

On procèdera par interpolation pour des bétons 50 90ckf MPa

Méthode cinématique (borne supérieure de la plasticité)

Cette méthode énergétique consiste à écrire que le travail des sollicitations résistantes (travail interneWi) est égal au travail des sollicitations agissantes (travail externe We) :

. .j j i iM P

avec :

Mj = moment de plastification dans la rotule ;

ωj = angle de rotation ;Pj - charge extérieure (ou charge répartie * longueur de la charge) ;δi= déplacement de la charge (ou de la résultante de la charge répartie).

Cette méthode est utilisée pour les dalles sous le nom de « méthode des lignes de rupture » .

Avec cette méthode, il faut rechercher, parmi tous les mécanismes de rupture possibles, celui qui,

pour une charge donnée, conduit au moment le plus élevé, ou bien pour un moment résistant donné,

conduit à la charge la plus petite.

Pour les poutres, en général, le mécanisme à retenir est celui qui comporte une rotule dans chaque

travée et sur chaque appui.


Exemple :

Nous supposons qu'il se forme une rotule plastique sur chaque appui et en chaque travée, créant ainsiun mécanisme.

Nous admettons que le moment maximal de plastification peut être différent sur appui et en travée.

Par exemple pour une section en Té, le moment résistant est plus important en travée et l'on estsouvent limité sur appui car l'on ne dispose que d'une section rectangulaire.

On peut retenir un moment résistant maximal 2. . .Rda cdM b d f sur appui et

2 ( ). . .( / 2). . . w f cd fRdt cd b b h f d hM b d f en travée d'une poutre en Té.

Le coefficient μ dépend de la nature du béton et de la vérification ou non de la capacité de rotationou non de la section .

Le moment résistant est fonction de la quantité d'acier.

Travée de rive :


On recherche la valeur de la charge la plus petite qui entraîne un moment de plastification Ma1 sur

appui et Mt en travée en écrivant que la dérivée de cette expression par rapport à est nulle.


Travée intermédiaire :

Méthode statique (borne inférieure de la plasticité)On suppose une rotule plastique sur chaque appui et une rotule plastique au point de moment maximalen travée.

Une charge répartie « p » conduit à un moment parabolique dont l'équation, pour une origine prise au

sommet de la parabole, est de la forme2

.2x

M p


Travée de rive :

A partir de2

.2x

M p , on obtient :

2

1

2 2.et

( . ) (1 ). .2 2t t a

LM

LM p M p

Si l’on se fixe deux paramètres, on peut déduire les autres paramètres inconnus.

Travée intermédiaire :


A partir de2

.2x

M p , on obtient :

2

21

2 2.et

( . ) (1 ). .2 2t t aa

LMM

LM p M p

Si l’on se fixe trois paramètres, on peut déduire les autres paramètres inconnus.

Exemple numérique


V- PRISE EN COMPTE DES DEFORMATIONS DUES A L’EFFORT TRANCHANT


La rotation de la section est constante et vaut :1

' 'V

GS LGS

Application au calcul des moments sur appuis d’une poutre continue

Action de l’effort tranchant sur les moments sur appuis

Le deuxième membre de l'équation des 3 moments reste inchangé, car les rotations des sections dues à

l'effort induit par les charges extérieures sont nulles.

En posant : 1 2

1 1 2 2

et1 1

' 'd d

LGS L GS


L’équation des 3 moments complète devient :

1 1 0 2 1 1 2 1 2 2 2( ). ( ). ( ). g db d M a c d d M b d M

Pour une poutre continue à un nombre infini de travée identiques

Dans l'équation précédente, tous les moments sont égaux, les coefficients d sont tous égaux ets'annulent. On est ramené à l'équation classique des 3 moments classique.

1 0 2 1 1 2 2( ). ( ). ( ). g db M a c M b M

Il n’y a donc pas d’influence des déformations d’effort tranchant sur le calcul des momentssur appuis.

Pour une poutre de deux travées identiques

L’équation 1 1 0 2 1 1 2 1 2 2 2( ). ( ). ( ). g db d M a c d d M b d M devient :

2 1 1 2 1 12( ). (2 ).g gd da c d d M a d M

Le moment sur appui est donc multiplié par :1

1a

a d k

avec 2

1 3 6 .(1 ).

' '

d EI Ik

a LGS L L S

Pour une section rectangulaire :2

20,6 (1 )

3,2

h

Lk

avec

2

21,92.(1 ).

h

L

Par exemple, pour une poutre-cloison de hauteur égale à la moitié de la portée, le moment sur appui

intermédiaire, sans tenir compte des déformations d'effort tranchant, vaut :2

8

pL . En tenant compte des

déformations dues à l'effort tranchant, le moment est2 1

.8 1

pL

k

avec : k = 0,6 x 0,25 = 0,15 (avec h = 0,5.L

et = 0), soit2

0,87. (-13%)8

pL

Pour une poutre de trois travées identiques

L'équation 1 1 0 2 1 1 2 1 2 2 2( ). ( ). ( ). g db d M a c d d M b d M devient :

1 2(2 2 ). ( ). g da d M b d M

Soit : 0,94 (-6%)1

1 / 25k

1 32

L L


Prescriptions de l’EC2 :

Dans les bâtiments, les déformations des éléments linéaires et des dalles dues à l'effort tranchant et àl'effort normal peuvent être négligées lorsqu'on prévoit qu'elles seront inférieures à 10 % desdéformations de flexion.

Ce qui revient, pour les poutres et dalles sans effort normal, à ne pas prendre en compte les effets des

déformations dues à l'effort tranchant si 0,10 .

Pour des sections rectangulaires, ceci mène à la condition :

2 2

2 21,92. 1 . 0,1 ou encore à 19,2. 1h L

L h

Le coefficient de Poisson prend la valeur 0 pour des sections fissurées et 0,2 pour des sections nonfissurées (EC2-1-1, art. 3.1.3 (4)).

Donc, le cas le plus défavorable ( = 0,2) conduit à ne pas tenir compte des déformations d'effort tranchant

tant que le rapportL

hest supérieur à 4,8.

Par contre, pour les poutres-cloisons, cette condition peut conduire à des moments sur appuis

intermédiaires de poutres continues notablement inférieurs à ceux trouvés par l'application habituelle

de l'équation des 3 moments ( 2 3et ).

Pour n = 0

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

0,6

0,7

0,8

0,9

1

0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7L/h

j

m2

m3

Poutre-cloison : L/h < 3

Coefficient réducteur du moment sur appui :

2

pour 2 travées, 3

pour 3 travées identiques

Déformations non prises en compte si rapport des déformations < 0,10

COURS DE BETON ARME

AUX EUROCODES

---------

Chapitre 6 : Les tirants

Eurocode 2 – Les Tirants Page 1

1. - TRACTION SIMPLE - LES TIRANTS

1.1. - DEFINITION

Lorsque dans une pièce en BA, les sollicitations se réduisent uniquement à un effort normal de traction, la pièce en BAest appelée tirant. Si le tirant est vertical, on le nomme suspente.Pour les tirants horizontaux, si le poids propre est de quelque importance (non négligeable), il introduit un moment de flexion quicombiné avec l’effort normal de traction donne la flexion composée avec effort normal de traction.

1.2. - JUSTIFICATION A L’E.L.U.

1.2.1. - HYPOTHESES :

Hypothèses communes à l’E.L.U. et l’E.L.S.- Bernoulli ;- Adhérence parfaite Acier-Béton ;- Le béton tendu est supposé fissuré et négligé.

Hypothèse spécifique à l’ELU (voir cours sur Matériaux page 8)

- A l'E.L.U l'allongement unitaire s des aciers est limité à :

Pour le diagramme bilinéaire avec branche supérieure inclinée : 45 ‰. (31045

)

3 30 9 0 9 50 10 45 10ud uk, ,

La contrainte qui lui correspond : 466s ud MPa constitue la contrainte max.

Pour le diagramme élasto-plastique parfait : pas de limitation de la déformation

Pour une déformation supérieure à :3

510172

102

8434 ,,

E

f

s

yd;

500434 8

1 15

yk

yd

S

ff , MPa

,

Le centre de gravité des aciers tendus est confondu avec celui de la section droite (béton + armatures)et par conséquent avec le point d'application de Nu.

1.2.2. - SOLLICITATION DE CALCUL : EduN

Combinaison de base la plus couranteQ,GG, minmax 51351

1.2.3. - DIMENSIONNEMENT DES ARMATURES LONGITUDINALES :

L'effort de traction n'est équilibré que par les armatures longitudinales.

y

x

x

Coupure Section droite

GG

1sN

2sA

1sA

2sNEduN

La connaissance du diagramme des déformations entraîne la connaissance du diagramme des contraintes.

Par hypothèse, nous allons fixer la déformation de la section droite à31045 su .

A..4.3,3.


Coupure

G

y

Coupure

G

y

31045 .uds

31045 .uds

diagramme des déformations diagramme des contraintes

efforts normaux dans la section

Coupure

G

y

N

13

1 1045 suds A..N

23

2 1045 suds A..N

N Sdu = effort normal en E.L.U

suA = aire totale d'acier tendu

La contrainte à l'E.L.U, pour un allongement unitaire = 45 ‰,

est notée 31045 s : elle est supérieure ou égale à

yk

S

f

Si les armatures sont disposées symétriquement par rapportau plan Gxz :

N Rdu étant appliqué en G et 21 ssRdu NNN avec

21 ss NN

21 sssu AAA avec 21 ss AA

Condition de résistance : Ed ,u Rd ,uN N l’effort normal

appliqué doit être inférieur à l’effort normal résistant avec

yk

Rd ,u su

S

fN A

ou 345 10Rd ,u su sN A

d'oùEd ,u

suyk

S

NA

f

ou

345 10

Ed ,u

su

s

NA

-


1.3. JUSTIFICATION A L'E.L.S :

La fissuration est normale dans les structures en béton armé (Cracking is normal in reinforced concrètestructures) soumises à des sollicitations de flexion, d'effort tranchant, de torsion ou de traction résultantsoit d'un chargement direct, soit de déformations gênées ou imposées (art. 7.3.1 (2)).

Les fissures peuvent être admises sans que l'on cherche à en limiter l'ouverture sous réserve qu'elles nesoient pas préjudiciables au fonctionnement de la structure (art.7.3.1 (4)).

(1) Pour les classes d'exposition X0 et XC1, l'ouverture des fissures n'a pas d'incidence sur la durabilité et cette limiteest fixée pour garantir un aspect acceptable (art. 7.3.1 (5)). En l'absence de conditions sur l'aspect, cette limite peutêtre traitée de manière moins stricte.

(2) Pour ces classes d'exposition, il convient de vérifier la décompression sous combinaison quasi permanente descharges.

(1) L'attention est attirée sur le fait que wmax est une valeur conventionnelle servant pour le calcul.

(2) Sauf demande spécifique des Documents particuliers du marché (DPM), la maîtrise de la fissuration est supposéeassurée par des dispositions constructives minimales données dans l'article 7.3 de l’EC2-1-1 (section minimaled'armatures), le calcul de wmax n'est pas alors requis.

(3) Dans le cas des bâtiments de catégorie et d'usage A et D (voir cour EC2 Actions page 6) , (tous les bâtiments

exceptés les bâtiments de stockage et industriels, dans les classes d’exposition 2XC , 3XC et 4XC ) sauf

demande spécifique des Documents particuliers du marché, la maîtrise de la fissuration est supposée assurée par desdispositions constructives minimales données ailleurs que dans l'article 7.3, le calcul de wmax n'est pas alors requis.

(4) Pour ces classes d'exposition, en outre, il convient de vérifier la décompression sous combinaison quasipermanente des charges.

.7.3.1


(5) Pour la classe XD3, en l'absence de dispositions particulières, ce sont ces valeurs qui s'appliquent.

(6) La décompression impose que le béton situé à moins de 25 mm des armatures de précontrainte adhérente ou deleurs gaines, soit comprimé sous combinaison de charges spécifiée.

1.3.1.- HYPOTHESES : Hypothèses communes à l’ELU et l’ELS

- Bernoulli ;- Adhérence parfaite Acier-Béton ;- Le béton tendu est supposé fissuré et négligé.

Hypothèses spécifiques à l’ELS - L'acier possède un comportement linéaire élastique.

- La contrainte normale s dans les aciers est limitée à s en fonction des conditions de

fissuration. s est fixée par le projeteur ou déterminée.

Limitation des contraintes (art. 7.2)

Il peut être pertinent de limiter, mais ce n'est pas une obligation, (art. 7.2.2), la contrainte de compression du béton

σc afin d'éviter les fissures longitudinales, les microfissures ou encore des niveaux élevés de fluage en classed'exposition XD (chlorures), XF (exposé à la pluie et au gel) et XS (eau de mer) :

1 1. avec 0,6c ckk f k (AN) en ELS, combinaison caractéristique.

Le fluage peut être considéré comme linéaire si la contrainte de compression du béton ne dépasse pas :

2 2. avec 0,45c ckk f k (AN) en ELS, combinaison quasi permanente.

Le niveau de fissuration et de déformation est considéré comme inacceptable si la contrainte de l'acier dépasse la

valeur 3 3. avec 0,8ykk f k (AN) ou 4 4. avec 1ykk f k (AN) si cette contrainte est due à des

déformations imposées en ELS, en combinaison caractéristique.

Le centre de gravité des aciers tendus est confondu avec celui de la section droite (béton + armatures)

et par conséquence avec le point d'application de serN .

1.3.2.- SOLLICITATION DE CALCUL : serN (voir cour EC2 Actions)

Combinaison caractéristique des chargesQG

Combinaison quasi-permanente des chargesQG 2

1.3.3.Méthodes

Les ouvertures de fissures peuvent être calculées conformément à 7.3.4.

Une option simplifiée consiste à limiter le diamètre ou l'espacement des barres comme indiqué en7.3.3.

.7.2.5


1.3.4. : Calcul de l’ouverture des fissures conformément à 7.3.4

L'ouverture k des fissures peut être calculée en fonction de l'espacement maximal entre fissures, de la déformation

moyenne cm du béton entre les fissures et de la déformation moyenne sm des aciers : ,max .( )r sm cmk s

avec :

,,

,

. .(1 . )

0,6.

ct effs t e p eff

p eff ssm cm

s s

fk

E E

sers

s

NA

= contrainte de l'acier en supposant la section fissurée ;

se

cm

EE

= rapport des modules d'Young (coefficient d'équivalence);

,,

sp eff

c eff

AA

0,6tk pour un chargement de courte durée ; 0, 4tk pour un chargement de longue durée ;

, . 2,5.( ); ;3 2c eff

h x hb Min h dA

= aire de la section effective de béton autour de l'armature tendue

sauf pour les aciers de précontrainte (ANF) : , . 2,5.( );2c eff

hb Min h dA

x = hauteur du béton comprimé ;d=0,9.h hauteur utile ;h = hauteur totale ;

Valeurs de sr max

Si l'espacement des armatures tendues est faible, c'est-à-dire 5.( )2

c

c'est le cas des poutres en

général :

1 2,max

,

0,425. . .3, 4.r

p eff

k kS c

pour deux diamètres différents :

2 21 1 2 2

1 1 2 2

. .

. .

n n

n n

;

c = enrobage au nu des armatures ;

1 0,8k pour des aciers à haute adhérence et 1 1,6k pour des aciers lisses ;

2 0,5k en flexion et 2 1k en traction pure

Pour les autres cas 1 2

12 2.

k

; 1 2et étant la plus grande et la plus petite déformation

du béton supposé fissuré

.7.3.4


Si l'espacement des armatures tendues est grand, c'est-à-dire 5.( )2

c

c'est le cas des dalles en

général : ,max 1,3.( )rS h x

Cette formule ne s’applique que si sa valeur est supérieure à celle de la formule précédente et si l’espacement

des armatures est 5.( )2

c

1.4. Armatures minimales

1.4.1. Pour la maîtrise de la fissuration art. 7.3.2 et 9.2.1.1)

Si la maîtrise de la fissuration est requise par les documents du marché (ANF, art. 7.3.1 (5), on disposera d'un

minimum d'armature tel que :,

,min

. . .c ctct effs

s

k k f AA

avec :

.wct b hA = section droite de béton tendu juste avant l'apparition de la 1ère fissure pour la contrainte

maximale ,ct eff ctmf f Act = 0,5. b.h (aire de béton tendu avant la première fissuration d’une section

rectangulaire)

s ykf sauf utilisation des tableaux 7.2 N et 7.3N

..7.3.2


1.4.2. Pour la condition de non-fragilité (rupture fragile) (art. 9.2.1.1) : yks f

Le béton résistant mal à la traction, on doit éviter une rupture fragile lorsque la résistance à la traction est

atteinte. On doit disposer des armatures travaillant à la contrainte ykf capables de reprendre l'effort de traction (à

la contrainte ctmf ) repris par le béton tendu venant à faire défaut (art. 9.2.1.1 (1)).

,min 0,26. . . 0,0013. .ctmt t

yk

s b d b df

fA pour une largeur moyenne ( )t t wb b b

La section d'armature d'une poutre ne doit pas dépasser 4 % (AN) (sauf en zone de recouvrement 8 %)(art. 9.2.1.1 (3)), sinon ce n'est plus du béton armé, mais de l'acier bétonné.

1.4.3. Armatures transversales

Armatures transversales 83l max

t max mm ;

Avec espacement maxs a ( a = petite dimension de la section droite)

1.4.4. Armatures de peau (art. 7.3.3 (3))

Pour la maîtrise de la fissuration des poutres de hauteur > 1 m, on prévoira des aciers à répartir dans la partietendue située entre l'axe neutre et les aciers de flexion, à l'intérieur des cadres, de section :

,. . .c ctct effs

s

k k f AA

Avec :

et 0,5; 0,4 en flexion simples cykf k k

1 en traction pureck

Soit un pourcentage :


1.5. Maîtrise de la fissuration sans calcul direct

(1) Dans le cas des dalles en béton armé ou précontraint dans les bâtiments, sollicitées à la flexion sanstraction axiale significative, aucune disposition particulière n'est nécessaire pour la maîtrise de lafissuration lorsque l'épaisseur totale de la dalle n'excède pas 200 mm et que les spécifications de 9.3sont respectées.

(2) Comme simplification, les règles données en 7.3.4 peuvent être présentées sous la forme de tableauxlimitant le diamètre ou l'espacement des armatures.

Note : Lorsque les éléments comportent le ferraillage minimal donné en 7.3.2, on peut estimer que lesouvertures des fissures ne seront pas excessives :

si pour des fissures principalement dues aux déformations gênées, les diamètres des barres nedépassent pas les valeurs données dans le Tableau 7.2N, la contrainte de l'acier étant égale à la

valeur obtenue juste après la fissuration (c.-à-d. sߪ dans l'Expression (7.1))

si pour des fissures principalement dues aux charges, les dispositions du Tableau 7.2N ou biencelles du Tableau 7.3N sont satisfaites. Il convient de calculer la contrainte de l'acier sur la based'une section fissurée sous la combinaison d'actions considérée.

Dans le cas du béton précontraint par pré-tension, lorsque la maîtrise de la fissuration est essentiellementassurée par les armatures de précontrainte adhérentes, les Tableaux 7.2N et 7.3N peuvent être utilisés enprenant la contrainte totale dans ces armatures diminuée de la pré-tension. Dans le cas du béton précontraintpar post-tension, lorsque la maîtrise de la fissuration est essentiellement assurée par des armatures passives,les tableaux peuvent être utilisés en prenant la contrainte dans ces armatures, calculée en incluant l'effet desforces de précontrainte.

..7.3.3


,* .

. .2,9 2.

ct eff c crs s

f K h

h d

COURS DE BETON ARME

AUX EUROCODES

---------

Chapitre 7 :

La compression - Le flambement

EC2 Compression Page 1

Compression simple – Poteaux

Les poteaux (si h / 4 ≤ b ≤ 4 h, sinon voiles) sont calculés en tenant compte des effets du 2e ordre

(flambement) du fait d'une excentricité non négligeable, au moins l'imperfection géométrique « » à laquelle

s'ajoute une déformation due au moment correspondant à la charge excentrée .

Excentricité d’imperfection géométrique ei= Max[L

0/400 ; 0,02 m] (ANF voir cours sollicitations)

charge éventuellement excentrée de eo

= MEd0

/ NEd

excentricité du 1er ordre : e1

= e0

+ ei→ M

Ed1= N

Ed. e

1

L0

= longueur efficace (longueur de flambement, voir çi après)

Cette déformation complémentaire entraîne un moment complémentaire qui lui-même génère unedéformation, etc.

La relation moment-courbure conduit à l'équation différentielle :

Colonne d’EULER

On en déduit la déformation de la section :


I- LONGUEUR DE FLAMBEMENT ET ELANCEMENT (ART. 5.8.3)

La longueur de flambement (dite efficace) d'un poteau (ou d'un voile) dépend de ses conditions d'extrémités

et, en particulier, des conditions d'encastrement. Pour un poteau bi-articulé, la longueur de flambement est

égale à celle de l'élément, mais pour d'autres cas, elle peut varier, en théorie, de 0 à l'infini .


Pour des éléments de portiques (art. 5.8.3.2 (3)), l’EC2 donne les formules suivantes :

Eléments contreventés :

Eléments non contreventés :

k1 = et k2 =

Élancement

C'est un coefficient sans dimension qui est défini par où « » , rayon de giration vaut :

pour un moment d'inertie « » et une aire de section droite « ».

Pour une section rectangulaire, on a :

Pour une section circulaire de rayon r, on trouve :


Remarque. On peut appliquer le même coefficient réducteur de 0,85 sur la longueur de flambement pourles voiles armés que pour les voiles non armés (art. 5.8.3.2(7) et 12.6.5.1(4)), lorsque le voile est lié surses bords haut et bas de manière rigide par du béton coulé en place et un ferraillage approprié de sorteque les moments sur ses bords peuvent être complètement équilibrés.

II-LES EFFETS DU SECOND ORDRE PEUVENT ETRE NEGLIGES

Les effets du second ordre peuvent être négligés (art. 5.8.2 (6), 5.8.3.1 (1), 5.8.3.3 (1)), si :

a) S'ils représentent moins de 10 % des effets du 1er ordre correspondants.

b) Si, pour un élément isolé, l'élancement est inférieur à (AN)

avec :

(si le coefficient de fluage effectif n'est pas connu, on peut prendre A = 0,7) ;

(si le ratio mécanique d'armatures n'est pas connu, B=1,1);

(si le rapport des moments d'extrémités du 1er ordre n'est pas connu :

C = 0,7) avec |M02| ≥ |M01| ;

= effort normal relatif =

Si les moments d'extrémités provoquent des tractions sur une même face, on prendra positif donc

C ≤ 1,7), sinon < 0 (et C > 1,7).

Par ailleurs, pour les cas suivants, on prendra (soit C = 1,7) :

éléments contreventés, avec moments du 1er ordre uniquement ou bien moments dus demanière prépondérante à des imperfections ou aux charges transversales ,

éléments non contreventés en général.

Dans la pratique courante, on pourra retenir :

lim

= 20 x 0,7 x 1,1 x 0,7 . (fcd

/ c)0,5

= 10,8 (fcd

/ c)0,5

pour une contrainte de compression du béton c

Dans le cas de flexion déviée, le critère d'élancement peut être vérifié séparément dans

chaque direction. Selon le résultat de la vérification :

- il est possible de négliger les effets du 2e ordre dans les deux directions ;- on doit les prendre en compte dans une direction et les négliger dans l'autre ;- on doit les prendre en compte dans les deux directions.

Cas où la section ou l'effort normal varie le long de l'élément (art. 5.8.3.2 (6))

On vérifiera le critère avec une longueur de flambement établie sur la


base de la charge de flambement où NB est la charge de flambement

correspondant à la rigidité de flexion EI

c) Si pour une structure de bâtiment, on peut vérifier l'inéquation suivante :

Avec :

Fv,Ed

= charge verticale totale (sur tous les éléments contreventés et non contreventés)

ns

= nombre d’étages

L = hauteur totale du bâtiment au-dessus du niveau d’encastrement du moment

Ecd

= valeur de calcul du module d’élasticité du béton = Ecm

/ γcE

avec γcE

= 1,2

Ic

= moment d’inertie (non fissuré) des éléments de contreventement

k1

= 0,31. Cette valeur peut être remplacée par k2

si l’on peut montrer que les éléments de

contreventement sont non fissurés à l’ELU : k2

= 0,62

sous toutes les conditions suivantes :

l’instabilité de torsion n’est pas dominante (la structure est raisonnablement symétrique)

les déformations globales dues au cisaillement sont négligeables (ce qui est le cas dans un

système de contreventement constitué de voiles de contreventement sans grandes ouvertures)

les éléments de contreventement sont fixés rigidement à la base (les rotations sontnégligeables)

la rigidité des éléments de contreventement est raisonnablement constante sur toute la hauteur

la charge verticale totale augmente approximativement de la même quantité à chaque étage.

Exemple (Flambement global)

Bâtiment de 8 étages sur rez-de-chaussée et un sous-sol, de 2,80 m de hauteur d’étage, avec une charge

ELU de 12 kN/m2

en moyenne (dont 4 de charges permanentes de plancher non majorées), de dimensions

hors tout 14 m x 25 m , contreventé par deux voiles pignons de 0,20 m x 14 m et un béton

fck

= 25 MPa (Ecm

= 31 GPa).

On peut prendre k1= 0,31 à défaut de savoir si les voiles sont non fissurés.

Fv,Ed

= 14 m x 25 m x 12 kN/m2

x 10 niveaux = 42 MN

Ic

= 2 x 0,2 x 143

/ 12 = 91,47 m4

Fv,Ed

= 42 ≤ 0,31 x (10 / 116) . (91,47 x 31000 / 1,2) / (10 x 2,8)2

= 805 MN

Ce qui est (largement) vérifié

On peut donc négliger les effets globaux du second ordre dans ce bâtiment


III- LE FLUAGE (art. 5.8.4)

La déformation du second ordre correspond à des charges de courte et de longue durée. On doit prendre encompte l'amplification de cette déformation due au fluage au prorata des charges de longue durée surles charges totales et de leur durée d'application.

Le coefficient de fluage effectif , intervenant par l'expression dans le calcul des déformations, peut

être calculé de façon simplifiée par :

est la valeur finale du coefficient de fluage (voir chap. Matériaux) ;

= moment fléchissant du 1er ordre en combinaison quasi permanente ELS ;

moment fléchissant du 1er ordre en combinaison de calcul ELU.

Si le rapport varie dans l'élément ou dans la structure, on peut soit calculer le rapport pour

la section de moment maximal, soit utiliser une valeur moyenne représentative.

L'effet du fluage peut être ignoré (donc ( = 0) si les trois conditions suivantes sont satisfaites :

(coefficient de fluage) ;

(élancement) ;

(h = hauteur de la section dans la direction correspondante).

IV- LES METHODES DE CALCUL

L'EC2-1-1, art. 5.8.5 propose trois méthodes de calcul :

une méthode générale ; une méthode simplifiée d'analyse du 2e ordre basée sur la rigidité nominale ; une méthode simplifiée basée sur une estimation de la courbure.

1. Méthode générale (art. 5.8.6)

Analyse non linéaire : non-linéarité géométrique, non-linéarité des comportements des matériaux,effet du fluage à prendre en compte.

Le principe consiste à rechercher parmi toutes les déformations de sections possibles qui satisfontl'équilibre : excentricité agissante = excentricité résistante


celle qui donne l'effort normal résistant maximal, en utilisant les deux paramètres déformations et tels

que la déformation en fibre supérieure soit égale à et la déformation en fibre inférieure

On supposera que :

la déformée à l'équilibre est sinusoïdale (demi-onde sur la hauteur L0) ;

le moment du premier ordre est constant sur toute la hauteur (conséquence de l'hypothèse

précédente), l'excentricité du 1er ordre valant


Pour cette méthode (non-linéaire), on utilisera comme diagramme contrainte-déformation du

béton celui qui est indiqué par l’EC2 (voir chapitre sur Matériaux) :

avec = c/

c1; k = 1,05 E

cm.

c1/ (

cE. f

cd) ;

cE= 1,2

Pour l’acier, au choix : diagramme avec palier ou diagramme avec droite inclinée.

En l’absence de modèle plus fin, on pourra prendre une déformation du béton après fluage

multipliée par le facteur (1 + ef

)

On peut prendre en compte l’effet favorable du béton tendu (compliqué car inertie desection non fissurée entre deux fissures), mais par simplification, on peut aussi le négliger.

Normalement, les conditions d’équilibre et de compatibilité des déformations relatives sontsatisfaites dans plusieurs sections. Pour simplifier, on peut ne considérer que la (ou les)

section critique en supposant une variation appropriée de la courbure, semblable à celle du

1er

ordre par exemple (ou sinusoïde).

Pour des charges principalement statiques, les effets des chargements antérieurs peuventgénéralement être négligés et on peut admettre une croissance monotone de l’intensité des

actions .

Notations

ei

excentricité due aux imperfections géométriques

e1

excentricité du 1e

ordre

e2

excentricité du 2e

ordre = (1/r) . (L0/)

2= (

h–

b) / h . (L

o/ )

2

h épaisseur du poteau dans le sens du flambement

RH humidité relative en %


L0

longueur de flambement

MEd

moment agissant en ELU

NEd

effort normal agissant en ELU

MRd

moment résistant de la section critique

NRd

effort normal résistant de la section critique

r rayon de courbure de la section critique et 1/r = (h

– b) / h = courbure

h

déformation en fibre la plus comprimée

b

déformation en fibre tendue ou la moins comprimée

n

déformation au point C (voir schéma de déformation de la section)

m

déformation de rotation telle que la déformation en fibre supérieure soit égale à :

h

= n

+ m

ef

coefficient de fluage effectif

Dans le prolongement de la pratique française pour les poteaux élancés, il est possibled’utiliser une méthode dérivée de la méthode Faessel, avec les hypothèses suivantes :

imperfection géométrique ei= Max[L

0/400 ; 0,02 m] (Annexe Nationale Française)

les sections planes restent planes

le béton tendu est négligé ; l’EC2 autorise de prendre éventuellement en compte le bétontendu,

les effets du retrait du béton sont négligés

on adopte pour le béton le diagramme contrainte-déformation donné par l‘équation (formule de

Sargin simplifiée) de l’EC2-1-1, avec une affinité de l’axe des déformations pour tenir

compte des effets du fluage, et pour l’acier, au choix, un diagramme bilinéaire à palier deplasticité horizontal ou incliné

en choisissant l’option simplifiée de ne considérer les conditions d’équilibre que dans la (les)section(s) critique(s)

2. Méthode de la rigidité nominale

Utilisable pour des éléments isolés ou pour la structure complète, mais ne s’applique pas aux

structures hyperstatiques.

La rigidité nominale (béton + aciers) peut être estimée par :

avec :

Ecd

= valeur de calcul du module d’élasticité du béton = (AN)

Ic

= moment d’inertie de la section droite du béton

Es

= module d’élasticité de l’acier (200 GPa)


Kc

= coefficient tenant compte des effets de la fissuration, du fluage,

Si n’est pas défini, on prendra k2 = 0,3 et n ≤ 0,20

On pourra prendre : pour deux aciers de section As, chacun espacés de

Sous réserve que le pourcentage d’acier , on peut adopter : Ks

= 0 et

(au moins pour le 1er

cas d’itération).

Majoration des Moments

Le moment de calcul total (incluant l’excentricité du 2e

ordre) peut être calculé par :

Avec :

MoEd

= moment du premier ordre (y compris les effets des imperfections géométriques)

= NEd. Max[L0/400 ; 0,02 m]

NB

= charge de flambement basée sur la rigidité nominale = charge critique d’Euler =

NEd

= effort normal agissant de calcul

= coefficient dépendant de la distribution des moments du 1er

et du 2e

ordre

= pour un élément isolé de section constante et effort normal constant (distribution

sinusoïdale)

co

= coefficient dépendant de la distribution de la courbure du 1er

ordre = 8 pour une courbure

constante


Diagramme d’interaction


3. Méthode de la courbure nominale

Convient aux éléments isolés, à effort normal constant en donnant une valeur approchée par

excès de la déformée du 2e

ordre.

Le moment de calcul vaut :

avec :

MoEd

= moment du premier ordre (y compris les effets des imperfections géométriques)

NEd

= effort normal agissant de calcul

Lo

= longueur de flambement (efficace)

c = coefficient dépendant de la distribution de la courbure totale (c = 10 pour une section constante,et 8 pour une courbure constante)

Des moments du 1er

ordre différents aux extrémités peuvent être remplacés par :

MoEd

= 0,6 Mo2

+ 0,4 Mo1

≥ 0,4 Mo2

(avec ), les deux moments sont de même signe s’ils

provoquent une traction sur la même face.

La courbure

Pour des éléments de section droite constante et symétrique (y compris le ferraillage), on peut adopter :

Avec :

= coefficient de fluage effectif

Si toutes les armatures ne sont pas concentrées sur les faces opposées, mais qu’une partie est distribuée

parallèlement au plan de flexion, d est défini par :

Avec = rayon de giration de la section totale d’armatures =


V- DISPOSITIONS CONSTRUCTIVES (art. 9.5)

Résistance de calcul du béton et de l'acier , effort normal agissant , section de

béton Ac, petit côté b et grand côté h (b ≤ h ≤4b) :

pourcentage minimal (sinon ce n'est pas du béton armé) :

pourcentage maximal : , sauf dans les zones de recouvrement ( ) (AN);

au moins une barre dans chaque angle et, pour les poteaux circulaires, au moins 4 barres ;

diamètre minimal des aciers longitudinaux : (AN) ;

diamètre minimal des aciers transversaux : et 6 mm, sauf les treillis soudés (5 mm) ;

recouvrement des aciers longitudinaux (attentes): et 200 mm, ce qui donne

pour un béton fck = 25 MPa et des aciers travaillant à 435 MPa :

écartement maximal des aciers transversaux (Fig. suivante):

valeur multipliée par 0,6 :

dans les zones de hauteur h au-dessus et au-dessous des planchers,

dans les zones de recouvrement si en y prévoyant au moins 3 cadres.


Dans les zones de changement de direction des barres (pratique peu courante France), prévoir desarmatures transversales pour reprendre l'effort associé si pente du changement de direction est > 1/12 ;

Une barre longitudinale non tenue par des armatures transversales ne peut être plus de 150 mm d'une

barre longitudinale tenue .

ARMATURES TRANSVERSALES :

Elles sont disposées en cours successifs plans et normaux à l'axe longitudinal du poteau.

Chaque cours forme une ceinture sur le contour du poteau et entoure toutes les armatures

longitudinales pour éviter leur déplacement éventuel vers la ou les parois les plus voisines.

Le tracé de l'armature transversale ne comporte ni angle rentrant, ni recouvrement parallèle à la

paroi.


VI-COMPRESSION CENTREE - DIMENSIONNEMENT DES POTEAUX RECTANGULAIRES ETCIRCULAIRES (Méthode THONIER)

La formule simple du BAEL de la force portante d'un poteau soumis à des charges centrées d'élancement

inférieur à 70, n'existant pas dans l'EC2, M. THONIER propose de

dimensionner les poteaux avec les formules suivantes :

[1]

Ou encore : [2]

Ou encore : [3]

Avec :

b = largeur du poteau rectangulaire ;D = diamètre de la section circulaire ;h = épaisseur du poteau dans le sens du flambement ;L0 = longueur de flambement ;

;

As = section totale des aciers situés à la distance d' des parois, disposés en deux lits pour une sectionrectangulaire ou en au moins six barre pour une section circulaire ;

enrobage relatif ≤ 0,3 ;

élancement pour une section rectangulaire de côté h dans le sens du flambement ;


élancement pour une section circulaire de diamètre D dans le sens du flambement ;

% d'acier total pour une section rectangulaire ≤ 3 % ;

% d'acier total pour une section circulaire ≤ 3 % ;

Limites d'emploi : élancement

En identifiant NRd =NEd dans l’équation [3], on définit ainsi une équation du 1er ou du 2e degré

avec inconnue

Remarque :

Si l'on ne connaît pas les valeurs de et , on peut prendre :


VII-EXEMPLE

TD1

Soit un poteau définit comme suit :Dimensions : 0,20 x 0,40 mLongueur de flambement : L0=2,60 mBéton : fck=25 MPaAcier : fyk=500 MPa ; Es= 200 000 MPa

Charges :

Permanentes : NG=0,36 MN ; Exploitation : NQ=0,16 MN

Coefficient de combinaison quasi permanente : =0,3

Classe d’exposition : XC1 – durée de vie 50 ans

Pour le calcul du coefficient de fluage, on supposera un chargement t0= 28 jours et un taux d’humidité

RH=70% ; ciment de classe Normal

En admettant une compression centrée, déterminer la section d’armature par la méthode simplifiée de

M. THONIER, puis vérifier si les effets du 2e ordre peuvent être négligés. Si , rechercher le

moment de 2e ordre par :

La méthode de la rigidité nominale

La méthode de la courbure nominale

TD2

Reprendre le poteau du cours « 4-Compression simple BAEL » et dimensionner les armatures par la méthodesimplifiée (THONIER) à l’EC2 en considérant les hypothèses suivantes :

Béton : fck=25 MPaAcier : fyk=500 MPa ; Es= 200 000 MPa

Coefficient de combinaison quasi permanente : =0,3

Classe d’exposition : XC1 – durée de vie 50 ans

Pour le calcul du coefficient de fluage, on supposera un chargement t0= 28 jours et un taux d’humidité

RH=70% ; ciment de classe Normal

EC2 Fluage 26 décembre 2006

Cette fiche synthèse donne le déroulement pour le calcul courant du coefficient de fluage àl’infini ϕ(∞, to) à partir de l’annexe B de l’EC2.

– entrées :

– RH, humidité relative en %– fck, résistance caractéristique du bé-

ton– b, h, dimensions de la section rectan-

gulaire

– to, âge d’application de la contrainteσc

– t = ∞, âge où l’on calcule l’influencedu fluage

– rayon moyen de la section ho :– Ac, aire totale de béton,– u, périmètre de la section de béton,– ho, rayon moyen de la section :

ho =2Ac

u– temps corrigé to :

– temps corrigé to,T , on peut prendre en compte l’influence de la température avantson chargement, mais généralement il vaut to = 28 jours.

– paramètre α :

α =

−1 ciment de classe S(low)0 ciment de classe N(ormal)1 ciment de classe R(apid)

– temps corrigé to :

to = max

(to,T

(9

2 + t1,2o,T

+ 1

)α

; 0, 5

)Rem : il semblerait que ce soit 0, 5to et non 0, 5...

– facteur tenant compte de l’humidité ϕRH :– coefficients α1, α2 :

α1 =

(35

fcm

)0,7

α2 =

(35

fcm

)0,2

– coefficient de fluage tenant compte de l’humidité ϕRH :

ϕRH =

1 +

1−RH/100

0, 1 3√

ho

pour fck 6 27 MPa

[1 +

1−RH/100

0, 1 3√

ho

α1

]α2 pour fck > 27 MPa

– coefficient tenant compte de la résistance du béton β(fck) :

β(fck) =16, 8√fck + 8

– coefficient tenant compte de l’âge du béton β(to) :

β(to) =1

0, 1 + t0,20o

– coefficient de fluage ϕ(∞, to) :

ϕ(∞, to) = ϕRHβ(fck)β(to)

1

JF

Rectangle

JF

Rectangle

INSTABILITÉS –IMPERFECTION)

– fcd : contrainte de dimensionnement du béton ;– fyd : contrainte de dimensionnement de l’acier ;– l : longueur libre de l’élément ;– m : nombre d’élément contribuant à l’effort total, vaut

1 pour un élément isolé ;– Ac = bh : aire de béton non fissurée ;

– Ic =bh3

12: moment d’inertie de la section non fissurée ;

– i =

√Ic

Ac

: rayon de giration de la section non fissurée ;

Détermination de la longueur efficace lo (5.8.3.2)

Élancement λ =loi

θi = θ0αhαm

θ0 =1

200rad

αh = max

(2

3; min

(2√l

; 1

))αm =

√0, 5

(1 +

1

m

)

ei = max

(θi

lo2

; 20 mm)

ϕef = ϕ(∞, to)M0Eqp

M0Ed

ϕ(∞, t0) : coefficient de fluage à l’infini (3.1.4)M0Eqp = MEqp + NEqp ei : moment fléchissant du premier ordre sous

sollicitations quasi permanente aux ELSM0Ed = MEd + NEd ei : moment fléchissant du premier ordre aux ELU

ω =Asfyd

Acfcd

: ratio mécanique d’armatures

As : aire totale d’armatures

rm =M01

M02

: rapport des moments d’extrémités

du premier ordre pour un poteau isolé.

A =1

1 + 0, 2ϕef

B =√

1 + 2ωC = 1, 7− rm

n =NEd

Acfcd

λlim = 20ABC√

n

λ?

>λlim

Chance, pas devérification ausecond ordre

Non

OuiIl y a le choixentre 3 mé-thodes ! ! !

INSTABILITÉS –COURBURE NOMINALE

– fck : contrainte caractéristique du béton ;– ϕef : coefficient de fluage effectif (cf. algorithme im-

perfections) ;– λ : élancement du poteau (cf. algorithme imperfec-

tions) ;– m : nombre d’élément contribuant à l’effort total, vaut

1 pour un élément isolé ;– Ac = bh : aire de béton non fissurée ;

– Ic =bh3

12: moment d’inertie de la section non fissurée ;

– i =

√Ic

Ac

: rayon de giration de la section non fissurée ;

Kϕ = max(1 + βϕef ; 1)

β = 0, 35 +fck

200− λ

150

Kr = min

(nu − n

nu − nbal

; 1

)n =

NEd

AcfEd

ω =Asfyd

Acfcd

nu = 1 + ωnbal = 0, 4

εyd =fyd

Es

1

ro

=εyd

0, 45d

1

r= KrKϕ

1

ro

Le coefficient de courbure c vaut en général 10

e2 =1

r

l2oc

M2 = NEde2

MEd = M0Ed + M2

JF

Rectangle

JF

Zone de texte

cd

INSTABILITÉS –RIGIDITÉ NOMINALE

– Ecd : module de déformation d’élasticité du béton ;– Ic : moment d’inertie de la section droite de béton

(bh3/12 pour une section rectangulaire) ;– Es : module de déformation d’élasticité de l’acier ;– Is : moment d’inertie de la section des armatures en

centre de gravité des aciers ;

– ρ =As

Ac

: ratio géométrique d’armatures

Ks =

{1 si 0, 002 6 ρ 6 0, 01

0 si ρ > 0, 01

Kc =

k1k2

1 + ϕef

si 0, 002 6 ρ 6 0, 01

0, 3

1 + 0, 5ϕef

si ρ > 0, 01

– k1 =

√fck

20

– n =NEd

Acfcd

: effort normal relatif ;

– k2 = min

(n

λ

170; 0, 20

)en vérification ;

– k2 = min (n0, 30 ; 0, 20) en dimensionnement ;

EI = KcEcdIc + KsEsIs

NB = π2EI

l2o

– β = 1 en dimensionnement ;

– β =π2

co

en vérification ;

– co coefficient de chargement :– 8 : moment de premier ordre constant– 9,6 : distribution parabolique...

MEd = M0Ed

1 +β

NB

NEd

− 1

COURS DE BETON ARME

AUX EUROCODES

---------

Chapitre 8 : La flexion aux ELU

EC2 Flexion ELU Page 1

Flexion à l’état limite Ultime

L'EC2 reprend les mêmes hypothèses sur la flexion en ELS, à l'exception de la proportionnalité contrainte-déformation qui n'existe plus, car on est dans le domaine élastoplastique des matériaux béton et acier.

une section plane reste plane après déformation avec conservation des sections planes et non-gauchissement (principe de Navier-Bernoulli) ;

non-glissement entre l'acier et le béton, d'où un certain nombre de conditions "à vérifier sur ceque l'on appelle l'adhérence ;

non-prise en compte de la résistance du béton tendu, ce qui est prudent compte tenu de safaible résistance à la traction et du fait que des fissures ont pu se produire avant sa mise enchargement sous l'action du retrait, des variations de température et d'humidité.

C'est en ELU que l'on détermine les aciers de flexion, quitte à vérifier ensuite les contraintes en ELS sicela est exigé.

Principe du calcul

• En ELU : détermination des aciers de flexion• En ELS, vérification éventuelle des contraintes• Pour les aciers, intérêt à utiliser le diagramme avec droite inclinée à la place du palier

(économie non négligeable)

Aciers à palier : pas de limite d’allongement

Aciers à droite inclinée : εud

= 22,5 ‰, 45 ‰ ou 67,5 ‰ (au lieu de 10 ‰ pour le BAEL)

Rappel de la maîtrise de la fissuration

La fissuration est normale dans les structures en béton armé (Cracking is normal in reinforced concrète

structures) soumises à des sollicitations de flexion, d'effort tranchant, de torsion ou de traction résultant soit

d'un chargement direct, soit de déformations gênées ou imposées (art. 7.3.1 (2)).

Les fissures peuvent être admises sans que l'on cherche à en limiter l'ouverture sous réserve qu'elles

ne soient pas préjudiciables au fonctionnement de la structure (art.7.3.1 (4)).

(1) Pour les classes d'exposition X0 et XC1, l'ouverture des fissures n'a pas d'incidence sur la durabilité et cette limite est

fixée pour garantir un aspect acceptable (art. 7.3.1 (5)). En l'absence de conditions sur l'aspect, cette limite peut être traitée

de manière moins stricte.

(2) Pour ces classes d'exposition, il convient de vérifier la décompression sous combinaison quasi permanente des charges.

.7.3.1


(1) L'attention est attirée sur le fait que wmax est une valeur conventionnelle servant pour le calcul.

(2) Sauf demande spécifique des Documents particuliers du marché (DPM), la maîtrise de la fissuration est supposée assurée

par des dispositions constructives minimales données dans l'article 7.3 de l’EC2-1-1 (section minimale d'armatures), le calcul

de wmax n'est pas alors requis.

(3) Dans le cas des bâtiments de catégorie et d'usage A et D (voir cour EC2 Actions page 6) , (tous les bâtiments exceptés les

bâtiments de stockage et industriels, dans les classes d’exposition 2XC , 3XC et 4XC ) sauf demande spécifique des

Documents particuliers du marché, la maîtrise de la fissuration est supposée assurée par des dispositions constructives

minimales données ailleurs que dans l'article 7.3, le calcul de wmax n'est pas alors requis.

(4) Pour ces classes d'exposition, en outre, il convient de vérifier la décompression sous combinaison quasi permanente des

charges.

(5) Pour la classe XD3, en l'absence de dispositions particulières, ce sont ces valeurs qui s'appliquent.

(6) La décompression impose que le béton situé à moins de 25 mm des armatures de précontrainte adhérente ou de leurs

gaines, soit comprimé sous combinaison de charges spécifiée.

I-REGLES DES PIVOTS

Cas du diagramme avec pente – limitation de à 45‰uk

1a

A

B

C

45 10-3

2 10-3

3,5 10-3

raccourcissements allongements

section droite avant déformation

1b

section droite après déformation

paraboleux

31020 ccdf

cdf

ul

AB AB AB

3,50,0721 ; = 0,8. .(1-0,4. )=0,056

3,5 45c

ABc s


En conséquence :

si2

0,056. .

uu AB

w cd

M

b d f ; c’est la capacité portante de l’acier qui est épuisée : PIVOT A ; Sinon PIVOT B et

cette fois c’est la capacité du béton qui est épuisée. Il faut alors comparer àu l ; si

: pas d'aciers comprimés sinon aciers comprimésu ul

La démarche de calcul est similaire à celle du BAEL

Cas du diagramme avec palier – pas de limitation de uk

Le pivot A n’a pas de sens, on est automatiquement au pivot B

Le palier commence à 0 2,17‰s (plastification de l’acier)

2a

A

B

C

45 10-3

2 10-3

3,5 10-3

raccourcissements allongements

section droite avant déformation

2b

section droite après déformation

parabole

rectangle

h73

ux

310172 ,E

f

E

f

ss

yk

s

yd

ul

s

cdf

AB AB AB

3,50,617 ; = 0,8. .(1-0,4. )=0,371

3,5 2.17c

ABc s

En conséquence :

si2

0,371 2,17 ‰. .

uu AB s

w cd

M

b d f ; c’est la capacité portante du béton qui est épuisée : PIVOT B ,

l’acier est bien utilisé ; Sinon 2,17 ‰s = mauvaise utilisation de l’acier donc soit Aciers comprimés ou revoir la

section de béton .

II- SECTION RECTANGULAIRE

Compte tenu du fait qu'il n'y a pas de limite d'allongement à prendre en compte dans les calculs pourdes aciers avec palier ou bien, que les aciers à droite inclinée ont une limite de calcul

0,9.ud uk (AN) avec un uk minimum de 2,5 % soit 25 ‰, (2,5 fois plus que la limite du BAEL),

le pivot 1 du BAEL n'a plus de sens et on peut considérer, même pour de petites hauteurs de la partiecomprimée du béton, que celui-ci a une déformation de 3,5 % en section partiellement tendue.


On retrouve les formules classiques de la flexion ELU des sections rectangulaires avec :


III- SECTIONS RECTANGULAIRES - ORGANIGRAMMES DE RESOLUTION

Cas du diagramme avec pente – limitation de à 45‰uk


Cas du diagramme avec palier – pas de limitation de uk


Aciers comprimés

Même démarche qu’au BAEL


Correctif : remplacer .(1 0,4. )u ul ulz par z d et'

par ..

lusc

uu u

lu yd yd

M AA A

z f f

III-FLEXION SIMPLE ET COMPOSÉE - SECTION EN TÉ -DÉTERMINATION DES ACIERS

La flexion simple n'étant qu'un cas particulier de la flexion composée avec 0EdN

On supposera que l'axe neutre est dans l'âme, sinon on est ramené au cas d'une sectionrectangulaire bh.

On doit utiliser la largeur utile de la table telle que définie au chapitre « 6-EC2 Sollicitations ».

On suppose que la table est entièrement comprimée à la contrainte cdf (diagramme rectangulaire

simplifié). On déterminera le moment résistant de la partie extérieure de la table que l'on déduira du

moment agissant pour connaître le moment qui sera repris par l'âme.


x

b

dh

As

c

s

z

Fs

Fc

axe neutre

bw

hfd' F's

fcd (pour fck <= 50)

0,8 x (pour fck <= 50)A's

NEd


IV-APPLICATIONS

TD1 :

Soit la poutre suivante sollicitée comme suit : mkNM g 150 ; 260 et =0,3qM mkN

Caractéristiques géométriques mmhmmbw 600300

Classe structurale : 4S (durée d’utilisation du projet = 50 ans)

Poutre à l’intérieur d’un bâtiment : Environnement :Classe d’exposition 1XC Matériaux :

béton 3730 /C MPafck 30 ;

acier S500 MPaf yk 500 classe B Es= 200 000 MPa ; diagramme avec palier

Humidité relative RH = 70% - chargement t0=28 jours

Déterminer les aciers aux ELU et faire la vérification aux ELS


TD2 :

Soit la poutre suivante sollicitée comme suit : 240gM mkN ; 296 et =0,3qM mkN



Poutre à l’intérieur d’un bâtiment : Environnement :Classe d’exposition 1XF Matériaux :

béton 3730 /C MPafck 30 ;

acier S500 MPaf yk 500 classe B Es= 200 000 MPa ; diagramme avec palier


Déterminer les aciers aux ELU et faire la vérification aux ELS

TD3 :

Reprendre le TD1 en considérant le diagramme de l’acier avec pente

TD4 :

Reprendre le TD1 en considérant une section de 250 x 400 mm

COURS DE BETON ARME

AUX EUROCODES

---------

Chapitre 9 : La flexion aux ELS

EC2 Flexion ELS Page 1

Flexion à l’état limite de service

La flexion peut être simple en l'absence de compression axiale, ou bien composée en présence d'un effort

normal excentré sur un des axes principaux de la section, ou bien déviée avec un effort excentré en dehors

d'un des deux axes principaux.

Pour une section en matériau homogène, les contraintes de compression ou de traction dues à de la flexion

simple sont calculées par les formules classiques :.M y

I pour un point situé à une distance y de la fibre

neutre (contrainte nulle)

En béton armé, il est nécessaire de faire un certain nombre d'hypothèses rappelées par l'EC2 :

a) une section plane reste plane après déformation avec conservation des sections planes et

non-gauchissement (principe de Navier-Bernoulli) ;

b) non-glissement entre l'acier et le béton, d'où un certain nombre de conditions à vérifier sur ce que l'on

appelle l'adhérence (qui est plutôt un blocage de bielles de béton sur les verrous des barres) ;

c) non-prise en compte de la résistance du béton tendu, ce qui est prudent compte tenu de sa faible

résistance à la traction et du fait que des fissures ont pu se produire avant sa mise en chargement

sous l'action du retrait, des variations de température et d'humidité ;

d) les matériaux ont des comportements élastiques en état limite de service (ELS).

L'EC2 donne quelques précisions sur les contraintes du béton et de l'acier (art. 7.2) en ELS.

Pour éviter les fissures longitudinales, il peut être pertinent de limiter la contrainte du béton (ce n'est

donc pas une obligation) à la valeur : 1 1. avec 0,6c ckk f k (AN) en classe XD, XF et,,XS, sous

combinaison caractéristique.

Quand on prend en compte le fluage du béton dans les calculs (en combinaison quasi permanente) :

- celui-ci est linéaire si 2.c ckk f ;

- celui-ci est non linéaire si 2 2. avec 0,45c ckk f k (AN).

Pour éviter des allongements inélastiques et avoir des déformations et fissurations acceptables, onlimite la contrainte de l'acier en combinaison caractéristique à :

3 3. avec 0,8s ykk f k en général;

4 4. avec 1s ykk f k (AN) sous les combinaisons comportant une déformation imposée ;

Pour le contrôle de la fissuration et à défaut d'avoir à calculer l'ouverture des fissures, une méthodealternative est proposée par l'EC2 qui consiste à limiter les contraintes, le diamètre et les espacementsdes aciers. VOIR chapitre : 7- EC2 Tirant.pdf

I-FLEXION SIMPLE - SECTION RECTANGULAIRE -DÉTERMINATION DES CONTRAINTES

La formule vue plus haut pour un matériau homogène s'applique au béton armé à condition d'homogénéiser

la section en assimilant la section d'acier sA à une section équivalente de béton (tendu ou comprimé

selon le cas) égale à a fois sa valeur et à négliger le béton tendu ; est appelé couramment coefficientd'équivalence (n dans l'ancienne notation).


L'égalité des déformations, pour un béton et un acier situés à un même niveau, résulte de l'hypothèse b) ci-

dessus : ce qui donnes c s ss c

s c c c

EE E E

L'EC2 prend une valeur dépendant de chaque projet en fonction du module d'Young1

cmc

e

EE

, du

coefficient de fluage à long terme qui dépend lui- même du rapport des charges quasi permanentes :

( ; 0). Epe

Ed

Mt

M avec 0( ; )t = coefficient de fluage à l'infini (Annexe B de EEC2-1-1) et une mise en

chargement à l'instant t0, un moment ELS dû aux charges quasi permanentes MEqp et un moment de calculELS MEd

Calcul des contraintes

x

b

dh

As

c

s

c

s/n

z

Fs

Fc

axe neutre


lre méthode. Formule classique de la résistance des matériaux :.M y

I

Le béton tendu étant négligé, on détermine le centre de gravité de la section composée du bétoncomprimé et de l'acier tendu au moyen des moments statiques

2

. .( )2 s

bxA d x , équation du 2e degré :

2

. .( ) 02 s

bxA d x dont la racine vaut :

2( . ) 2. . . . .s s sA A b d Ax

b

puis le moment d'inertie : 23

. .( )3 sI

bxA d x

D'où les contraintes : béton.

c

M xI

et acier. .( )

s

M d xI

2e méthode. Équilibre des forces

Effort de compression du béton :1

. . .2c cN b x et de l'acier : .s ss AN

En l'absence d'effort normal extérieur (flexion simple), l'équilibre des forces s'écrit : sc NN

La contrainte de l'acier peut être déduite de celle du béton (Thalès) par :

. .s cd x

x

, d’où 0,5. . . .sb x

d xA

x

On retrouve bien l'équation du 2e degré de la méthode ci-dessus.

Le moment du couple résistant équilibre le moment extérieur : . .s c EdF z F z M

Avec / 3z d x , d'où : 0,5. . . . . .c s sEdM b x z A z , soit :. .

Edc

Mb x z

et. s

Eds

Mz A



II-FLEXION SIMPLE - SECTION EN TÉ - CALCUL DES CONTRAINTES (vérification)

On distingue deux cas suivant que la fibre neutre est :

dans la table. On est alors ramené au cas d'une section rectangulaire de section bh, car le

béton situé en dessous, étant tendu, est ignoré ;

dans l'âme. On procède de la même façon qu'en section rectangulaire, une section en Té

étant la différence de deux rectangles b.x et (b - bw). (x - hf) .

x

b

dh

As

c

s

c

s/n

z

Fs

Fc

axe neutre

bw

A's hfd' F's

's/n

0,5 bw . x2

+ [( As + A’s) + (b – bw) hf] . x – As d – A’s d’ – 0,5 (b – bw) hf2

= 0

I =bx3

3-

(b bw)(x hf )3

3+ As (x – d)

2+ A’s (x – d’)

2

D’où la contrainte dans le béton :.

cM x

I et dans l’acier :

.( ).sM d x

I

III-FLEXION SIMPLE - SECTION EN RECTANGULAIRE -DETERMINATION DES ARMATURES POUR UNE CONTRAINTE LIMITE DONNEE(dimensionnement)


IV-FLEXION COMPOSÉE - SECTION RECTANGULAIRE OU EN TÉ - CALCUL DESCONTRAINTES (vérification)

En présence d'un effort normal NEd, d'aciers tendus et d'aciers comprimés, on peut utiliser la formule

dite de la circulaire de 34 (règlement de calcul des marchés de l'État de 1934) qui conduit à la

résolution d'une équation du 3e degré : 3 . 0y p y q

c = excentricité de l'effort normal NEd par rapport à la fibre supérieure de la section

(voir Fig. suivante où c est positif).


x

b

dh

As

c

s

z

Fs

Fcaxe neutre

bw

A's hfd' F'c

NEd

-

c+

0

c

Les contraintes sont alors données par :

c =NEd.x

0,5bwx2 0,5(b bw)(2x hf )hf As (d x) As( d x)

s = . c .d x

xet s = . c .

x d

x

V-FLEXION COMPOSÉE - SECTION RECTANGULAIRE - DETERMINATION DES ARMATURESTENDUES ((dimensionnement)

On peut ramener le calcul à celui de la flexion simple, en prenant le moment par rapport aux aciers tendus.

Pour MEd et NEd donnés, on calcule le moment 1 .Ed EdM M N si représente la distance de l'effort

normal aux aciers tendus, positivement si l'effort normal est au-dessus des aciers .

Le moment 1M permet de calculer la section d'acier correspondante. La section finale doit prendre en

compte l'effort normal appliqué au même point, soit :

1Ed

syd

MN

zAf

M1 = MEd + NEd . → =cd

21

f.d.b

M → z = )211(d5,0 → As =

yd

Ed1

f

Nz

M

x

b

dh

As

NEd


VI- CALCUL DES FLÈCHES DES POUTRES ET DALLES

L'EC2-1-1 définit dans l'article 7.4 les conditions à satisfaire pour limiter les flèches : valeurs limites desflèches, règles simplifiées de détermination de la hauteur des poutres et dalles, méthode de calcul des flèchesen tenant compte du caractère fissuré du béton.

Limitation des flèches

Pour des raisons de bon fonctionnement (rupture de revêtement rigides tels que carrelages ou decloisons fragiles) ou d'aspect (esthétique), on limitera les déformations.

Sous combinaisons quasi permanentes en ELS, la flèche calculée ne devra dépasser les valeurssuivantes en fonction de la portée utile L.

Dispense de calcul des flèches

L'EC2 propose des valeurs des rapports portée/hauteur utile pour un certain nombre de cas simples

qui sont censés satisfaire les limites définies ci-dessus.

L = Leff

= portée utile = portée de calcul

d = hauteur utile

0

= pourcentage de référence = fck

0,5

/1000

= pourcentage d’aciers longitudinaux tendus à mi-travée = As/(b.d)

’ = pourcentage d’aciers longitudinaux comprimés

à mi-travée = A’s/(b.d)

K = coefficient dépendant du type de structure


Rapport maximal L / d

(Pour fck = 25 ou 30 MPa)

K Béton fortement sollicité ≥ 1,5 %

Béton faiblement sollicité ≤ 0,5 %

Poutre sur appuis simples 1,0 14 20Dalle sur appuis simples portant dans 1 direction 25 30Travée de rive d'une poutre continue 1,3 18 26Travée de rive d'une dalle continue portant dans 1 direction,ou continue le long d'un grand côté et portant dans 2 directions

30 35

Travée intermédiaire d'une poutre 1,5 20 30Travée intermédiaire d'une poutre ou d'une dalle portant dans1 ou 2 directions

1,3 18 26

Travée intermédiaire d'une dalle portant dans 1 ou 2 directions 35 40Dalle sans nervure sur poteaux (plancher-dalle),pour la portée la plus longue

1,2 17 24

Poutre en console 0,4 6 8Dalle en console 0,4 10 12Note 1. Les valeurs proposées vont dans le sens de la sécurité. Un calcul peut montrer fréquemment que des éléments demoindre hauteur peuvent convenirNote 2. Les limites indiquées pour les planchers-dalles correspondent à une limite moins sévère que L / 250 pour la flèche àmi-portée. L'expérience a montré que ceci est satisfaisant.

Correctifs

multiplier L/d par 310/s

si la contrainte en ELS diffère notablement de 310 MPa

multiplier par 0,8 pour les poutres en Té si beff

> 3 bw

multiplier par 7/Leff

pour les poutres ou dalles (autres que planchers-dalles) si L > 7 m et supportantdes cloisons fragiles

multiplier par 8,5/Leff

pour des planchers-dalles si L > 8,5 m et cloisons fragiles

Exemple.

Travée de rive d’une dalle continue L = Leff

= 5,20 m de longueur portant dans une direction

fck

= 25 MPa ; avec 0,5 % d’acier, on lit : L / d = 35 ,

soit d = 5,2 / 35 = 0,149 m qui correspond à h = 0,15 m.

APPLICATION

TD 1

Soit la poutre suivante sollicitée comme suit : mkNM g 150 ; 260 et =0,3qM mkN



Poutre à l’intérieur d’un bâtiment : Environnement :Classe d’exposition 1XC

Matériaux : béton 3730 /C MPafck 30 ; acier S500 MPaf yk 500 classe B Es= 200 000 MPa


3 HA 8 en montage


bw = 300

h=

60

0

de

ff=

55

5

6épinglecadre

mmcnom

20

203 HAG

12142 HAHA

Vérifier les contraintes dans la section de béton et dans la section d’acier tendue en supposant :

Environnement :Classe d’exposition 1XC

Environnement :Classe d’exposition 1XF

La maîtrise de la fissuration n’est pas requise

Peut-on se dispenser de vérifier la flèche ?

COURS DE BETON ARME

AUX EUROCODES

---------

Chapitre 10 : Le cisaillement

EC2 Effort tranchant Page 1

Effort tranchant

On distingue les éléments sans armatures d'effort tranchant (principalement dalles) et les élémentsavec armatures d'effort tranchant (poutres).

Les charges sont supposées être appliquées en face supérieure des éléments. Dans le cas d'une chargeREd appliquée sur la hauteur de l'élément (poutre croisées par exemple) ou en face inférieure (poutre ou dalleen allège), on relèvera cette charge par des armatures (suspentes) de section Asr (cadres, étriers ou épingles)dans la zone comprenant la partie commune aux deux éléments et définie sur les figures suivantes avec

Edsr

yd

RA

f

h1

coupe verticale

poutreporteuse

poutreportée

h2

<= h1

h2 h1

poutreportée

poutreporteuse coupe verticale

<= h2/3

<= h1

vue en plan

poutreporteuse

poutreportée

zonecommuneaux deux

autres

zone autoriséepour mise en place

des suspentes

<=

h2/2


Vccd

Vtd

I-NOTATION

Composantes d'effort tranchant dans le cas d'éléments de hauteur variable.


II-VERIFICATIONS DES EFFORTS TRANCHANTS (6.1)

,Ed ccd td Rd cV V V V pour des éléments non armées à l'effort tranchant :

,Ed ccd td Rd sV V V V Pour des poutres armées à l'effort tranchant ;

,maxEd ccd td RdV V V V Pour la résistance du béton des bielles (sans réduction due à la

transmission directe aux appuis).

Compte tenu de l'inclinaison des bielles, II convient que les armatures longitudinales tendues soient

capables de résister à l'effort de traction tdF supplémentaire généré par l'effort tranchant.

La force de traction des armatures principales est donc représentée par l’expression :

,max ( ) ( ) 1min ; ; cot cot

2EdEd L

td td td Ed

MM M x a M xF F F V g g

z z z

avec z d 0 9, {6.18} . Ces armatures longitudinales doivent être prolongées en direction de

l'appui (ce qui revient au même que d'augmenter, au point de calcul, la valeur de l'effort dans les

armatures longitudinales) :

d'une longueur La d pour les éléments non armés à l'effort tranchant (dalles principalement) ;

d'une longueur 0,5. .(cot cot )La z g g pour les éléments armés (poutres principalement).

si 45 et 90° 0,5. .(cot cot ) 0,5.La z g g z (décalage de la courbe des moments)

s

d z=0,9d

EdM

z EdV

EdV

cotVEd

sin

VEd

EdV

sin

VEd

cotVEd

EdN

tdF

cdF

tdF

tdcd FF

cotVEd2

1

cotVEd2

1

cotVEd

2

1

effort

dans la bielle

cotcotVF Edtd 2

1

cotVEd2

1

effort dans

l'armature

d'effort tranchant

cdF

tdF

EdV EdMEdN

EdV

2z

2z

cotcotVEd

cotcotVF Edtd 2

1

A B

CD

A B

C D

membrure comprimée

membrure tendue

bielles

armatures

d'effort tranchant bw bw

EdV

cotcotVEd


III- TRANSMISSION DIRECTE DES CHARGES AUX APPUISLorsque des charges sont appliquées sur la face supérieure de l'élément, à une distance va du nu

de l'appui telle que 0,5 2vd a d , la contribution de cette charge à l'effort tranchant agissant EdV peut être

minorée pard

av

2 .

d d

1

0,25

va

Transmissions directes : cas des charges ponctuelles : coefficient .

Pour la valeur de l’effort tranchant EdV ainsi calculé, il convient de satisfaire swEd ywdV A f sin , swA

représente la section des armatures d’effort tranchant dans la partie centrale sur une longueur de

va,750 . Cette réduction est uniquement valable lorsque les armatures longitudinales sont

complètement ancrées au droit de l’appui.

ywdf est la limite d'élasticité de calcul des armatures d'effort tranchant

va,750

va

va,750

va

(Fig.6.6 de l’EN 1992-1-1) : Armatures d'effort tranchant dans des travées courtes, avec bielle de transmission directe.

Pour 0,5va d , il convient de prendre la valeur 0,5va d . 250,

Pour la valeur de EdV calculée sans appliquer le facteur de réduction , il convient de satisfaire la

condition : max,RdEd VV


IV- ÉLEMENTS SANS ARMATURES D'EFFORT TRANCHANT (PRINCIPALEMENT DALLES)

on devra vérifier :

et 0,5. . . .cd wEdV f v b d (toujours vérifié pour une dalle non armée)

minv c,RdC 1k

Valeurs recommandées par la norme: NF

EN 1992-1-1

21230350/

ckmin fk,v

C

,

180 150,

Annexe nationale NF EN 1992-1-1/NA minv c,RdC 1k

Pour les dalles bénéficiant d’un effet deredistribution transversale sous le cas decharge considéré.

21340 /

ck

C

f,

C

,

180

150,

Pour les poutres et pour les dalles autres

que celles ci-dessus.21230530 /

ck

C

fk,

Pour les voiles 21350 /

ck

C

f,

1/31, , min. .(100. . ) ; . . .cp wLEd Rd c Rd c ckV V Max C k f v k b d


45°45°

section considérée

section considéréeA

A

section considéréeA

45

EdVbd

lsl

A

d

bdl bd

lEdV

EdV

slAsl

A

d

Définition de Asl

Asl : aire de la section des armatures tendues, prolongée d’une longueur supérieure à bdld au delà de la

section considérée.( bdl étant la longueur d’ancrage de calcul)

V- ÉLEMENTS AVEC ARMATURES D'EFFORT TRANCHANT (PRINCIPALEMENT LESPOUTRES)

On modélise le fonctionnement d'une poutre en béton armé comme celui d'une poutre treillis (treillisdit de Ritter-Môrsch) avec bielles et tirants.

sens d'apparition des fissures

membrure comprimée

biel

led'ab

out

biel

le2

bielle

3

biel

le1

=45°

sens d'apparition des fissures

bielle

4

L'EC2 reprend ce principe avec la possibilité de choisir l'inclinaison des bielles sur l'horizontale dans

les limites : 1 cot 2,5g (AN) ou encore 21,8 45 pour des éléments soumis à la flexion

simple ou composée de compression.

En flexion composée de traction ou traction pure, les limites sont les suivantes :

1 cot 2,5. 1ct ct

ctm ctmf fg

avec ct = contrainte de traction au centre de gravité.


L'utilisation de bielles à 45° ou à une autre inclinaison a des avantages et des inconvénients : les bielles très inclinées nécessitent moins d'acier d'effort tranchant mais conduisent à allonger un peu

plus les armatures longitudinales.

En général, la solution la plus économique correspond aux bielles à 45° .

z

z cotg z cotg

z (cotg + cotg)

bielle

cadre

acier inf.

Le bras de levier utilisé dans les formules peut être pris égal 0,9.d pour les éléments en béton armé (fissurés).

Pour les éléments non fissurés (béton précontraint ou flexion composée de compression), on adoptera la

formule de la résistance des matériauxI

zm

ou I représente le moment d'inertie de la section et m le

moment statique de la partie de la section située du même côté du centre de gravité.

Cas des Armatures droites 90

on devra vérifier :

, ,max, ; ;0,5. . . .wRd s Rd cdEd Rd cV V Min V V b d v f


Résultats comparatifs pour fck=25 MPa

On remarque que ce que l'on gagne en aciers transversaux, on le perd en partie en

allongements des aciers longitudinaux.


Cas des Armatures inclinées 45 90

Quantité minimale d'acier d'effort tranchant et espacements maximaux

À l'exception de certains éléments, on disposera d'un minimum d'armatures transversales :

. .sin 0,08. .sinsww w w

Ab b

s

En conséquence de la théorie du treillis, l'espacement des cadres ne doit pas laisser de manque

d'armatures entre deux nœuds situés en partie basse de la poutre et distants de .(cot cot )z g g .

L'EC2 a retenu les conditions suivantes :

0,75. .(1 cot )s d g (AN) pour les cadres, étriers et épingles ;

0,6. .(1 cot )s d g (AN) pour l'espacement entre les barres relevées. ;

0,75. et 600s d mm pour l'espacement transversal entre brins d'un même cadre.

Les armatures comprimées de diamètre doivent être maintenues par des cadres espacés de

moins de 15.


Epure des espacements des armatures d’effort tranchant

Pour des éléments principalement soumis à des charges réparties :

pas de vérification de l’effort tranchant à une distance à l’appui inférieure à d § 6.2.1(8),donc : V

Ed(x=d) (valable pour éléments armés et non armés)

poutres (§6.2.3 (5)) : on peut prendre l’effort tranchant le plus petit sur une longueur

.cotl z g donc : VEd

(x-l) pour le calcul des armatures (décalage)

Décalage des armatures longitudinales : 0,5. .(cot cot )La z g g soit entre 0,5 z et

1,25 z si 45 21,8ou

Dispositions constructives

Les armatures d'effort tranchant peuvent être constituées de cadres (2 brins) fermés ou ouverts,

d'étriers (2 brins) ou d'épingles (1 brin) ou de barres

1cadre

fermé à 135°

2étrier

3épingle

5cadreouvert

4cadre

fermé à plat

6cadre

fermé à 90°

7cadre

fermé à plat

La forme 7 est interdite en cas de torsion


Dalles avec armatures d’effort tranchant (art 9.3.2)

• Épaisseur minimale : 0,20 m• Même pourcentage minimal que pour les poutres :

,min 0,08. ck

yk

sww

f

f

As

• Si effort tranchant de calcul,max

3Rd

Ed

VV , les armatures pour reprendre l’effort tranchant peuvent

être entièrement composées de barres relevées ou bien de cadres, d’étriers et d’épingles (§ 9.3.2.3)(au choix).

• VRd,max

= cw

.bw. z . . f

cd(cotg + cotg)

• = 0,6 (1 - fck

/ 250)

• = inclinaison des bielles par rapport à l’horizontale•

cw= 1 en béton armé

• Sinon, on applique le cas général : au moins 50% de l’effort tranchant repris par cadres,étriers ou épingles

• Si = 90°, et θ = 45°, l’équation devient : VRd,max

= cw

. bw

. z . . fcd

.

• Espacement maximal : s ≤ 0,75 d pour cadres, étriers et épingles

s ≤ d pour les barres relevées

Aciers de glissement

Les aciers inférieurs sur appuis doivent pouvoir reprendre les efforts des bielles d'appui.Sur appui de rive (6.2.3)

L'effort dans le tirant inférieur est déterminé par l'équilibre du nœud inférieur sur appui :

(compression positive)cot EdEd Ed Ed NF V g N

Cette force conditionne la section droite du 1er lit d’armatures longitudinale et son ancrage.

La longueur d'ancrage de ces armatures doit être assurée à partir du nu de l'appui .


b

bdl

b

bdl

S'il existe une compression transversale p , la longueur d'ancrage peut être diminuée par lecoefficient∝5 = 1 - 0,4.p (∝5 compris entre 0,7 et 1).

C'est le cas de la composante verticale (VED) de l'effort de compression de la bielle d'appui et de laréaction d'appui qui l'équilibre et éventuellement de l'effort de compression du poteau ou du voilesitué au-dessus.

On peut aussi rencontrer ce cas dans le croisement avec une autre poutre perpendiculaire encastrée

dans l'appui. Le moment négatif de cette dernière comprime horizontalement la partie inférieure de la

première poutre.

Sur appui intermédiaire

L'effort dans l'armature inférieure est la somme des composantes de la bielle d'appui, de l'effortnormal agissant NED éventuel et de la compression de flexion (pour un moment négatif surappui).

Pour l'acier à droite de l'appui , on trouve :

2 2.cot Ed

E Ed Ed

M

zF V g N


Ces armatures doivent être ancrées dans l'appui d'au moins 10. pour des barres rectilignes,

du diamètre du mandrin de cintrage pour des crochets avec 16 et deux fois ce diamètrepour les crochets de barres de diamètre < 16.

10L

b)

bdl

c)

10L

m

d

mdl

a)

bdl

La section de ces armatures doit être d'au moins 25 % (AN) de la section d'acier à mi-travée

pour les poutres et de 50 % pour les dalles.

Vérification de la bielle d’about (6.5)Si on admet que les charges sont transmises par une bielle inclinée à ' par rapport à l'axe de

la poutre. Cela conduit au schéma mécanique suivant:

wb

EdVR

nomc 02s

0s

a

bdl

h

0s

pb

'l

'sin'cotsaab

0

2

'cotsa 02

z

cotz

2

cotz

2,Rd


EdV : valeur de l'effort tranchant au nu de l'appui pour x 0 (effort tranchant non réduit) = action de

contact ou réaction d’appui.

EdV effort tranchant au nu de l’appui

EdF représente l’action de l’armature inférieure sur le tronçon de bielle, transmis par adhérence.

bF l’effort de compression dans la bielle

Ce tronçon est soumis à 3 forces, elles sont concourantes, traduisons géométriquement que larésultante est nulle.

cotcot '

2Ed

Ed

F gg

V

EdVR

'sin'cotsaab

0

2

1,Rd

2,Rd 'sin

VF Ed

b

'

'cotVFEdEd

EdVR

'cotVFEdEd

'sin

VF Ed

b

'


L’équilibre donne :

L’armature doit être capable de reprendre un effort normal égal à : cot 'Ed EdF V g

2

cot'cot

On peut en déduire l’effort normal de compression dans la bielle d’about

La bielle est soumise à un effort égal à :

'sin

VF Ed

b 2 2

b Ed EdF V F

Vérification de la bielle en compression :

Pour une bielle inclinée à ' , l’effort normal dans celle-ci est.'sin

VF Ed

b

Nous devons vérifier que la contrainte de compression soit inférieure à :

2,max '. 0,85 1 .250

ckRd cd cd

fk f f

, {6.61}

La largeur de la bielle de béton est égale à :, 02 cot ' sin 'ba a s g

La section droite de la bielle =02 cot ' sin '. wa s g b

.

pb largeur du poteau wb largeur de la poutre soit pwb b;bMinb

La vérification s'écrit :

Soit ,Rd bielle ou ,2Rd la contrainte dans la bielle = ,max02 cot ' sin '.

bRd

b

F

a s g b

en remplaçant'sin

VF Ed

b

,max202 cot ' .sin ' .

EdRd

b

V

a s g b

Vérification de l’appui constitué par le poteau :

La valeur de EdV à considérer = l’effort tranchant au nu de l’appui + les charges appliquées

sur l’appui.

pb largeur du poteau wb largeur de la poutre soit pwb b;bMinb

La compression sur la surface d’appui doit aussi vérifier ,Rd a ou :

,1 ,max.Ed

Rd Rdb

V

a b


Cas ou la bielle d’about est trop comprimée

Toutefois en cas de poutre haute, on pourra superposer plusieurs bielles d’about suivant le principe ci

dessous illustré pour 2 bielles. Les bielles et ses tirants seront calculés comme ci-avant, chacun avec sa

part de charge (ici 0,5. VEd).(BAEL)°

Pour soulager la bielle d’about, nous pouvons utiliser un réseau croisé d’armatures reprenant

une partie de l’effort tranchant.

Si la largeur d’appui est insuffisante pour permettre le passage de Vu (bielle trop comprimée), nous

pouvons faire intervenir une largeur de bielle supérieure en disposant des armatures horizontales

réparties sur la hauteur de la poutre et ancrées au-delà de la ligne AB ; Il ne faut cependant pas oublier

de « remonter » la part d’effort tranchant Vu2 par l’intermédiaire de cadres et d’étrier situés tout près du

voisinage de l’appui.

Aw3

Ast2

Ast1

a(z-a)/2

z~~0,9d

A

B=Ast2

a

z+Lb,net

isolons la seconde bielle

C

Vu2

21 uuu VVV ;

Vu1 effort tranchant repris par la première bielle, on peut la faire travailler à sa valeur limite soit 1uV .

D’après le règlement BAEL, il faut que VV

u

u

1 3 , cela suppose que V

Vu

u

2

2

3 ; or les règles de

bonne construction conseillent de ne pas compter exagérément sur ces bielles secondaires au

risque de désordres graves VV

u

u

2 4 .

Pour les armatures Ast 2 , on peut utiliser des boucles disposées à plat comme indiqué sur le

schéma ci-contre.

Ast2boucle disposée à plat


VI- CISAILLEMENT TABLE-NERVURE (9.31)

Table comprimée

L'effort de compression dans la partie extérieure de la table est transmis par cisaillement le long d'un

plan vertical de longueur x et de hauteur hf.

VEd

x

yx

fh

x

FEd

fh

Edv

Edv

Edv

FEd

sf

Asf

bw

hf

beff

barre longitudinale ancréeau-delà du point obtenu parconstruction avec (voir 6.2.4(7):

f

B

A bielles de béton:

x

f

+bdl FEd

FEd

FEd

FEd

+ FEdFEd

Effort total de compression du béton : MEd

/ z

Part reprise par le débord de l’âme : (beff

– bw) / (2 b

eff) si l’axe neutre est dans la table ou inférieure à

cette valeur si la fibre neutre est dans âme.

Effort de compression du débord : FEd

= MEd

(beff

– bw) / (2 z . b

eff)

Pour une longueur x , la contrainte de cisaillement moyenne vEd est telle que :

. . .2.

eff wEdEd f

eff

b bMv h x

z b

d’où le cisaillement : vEd

1. .

. 2weffEd

Edf eff

b bMv

h x z b


Cet effort doit être repris par des armatures dont la section dépend de l’obliquité f des bielles de la

table :

V

z (cotg + cotg)

hf

z

h

M/z

bw beff b

F/cos

f

f

Ftg

f

bw/2

(beff+bw)/4

Mz

beff-bw

2beff

Mz

beff-bw

2beff

Mz

bw

beff

F =

Il convient de disposer d'une quantité minimale d'acier pour éviter une rupture fragile :

0,08. . ckf

f yk

sf f

f

Ah

s

Si, dans la table, il existe déjà des armatures transversales de section As par unité de largeur, pour une autreraison (flexion transversale par exemple), deux cas sont à envisager :

. . . .1 . .

. 2sf

yd f Ed f ff

weffEd

f eff

Af tg v h tg

s

b bMx zh b


Si le cisaillement,0,05.

. ( )ct ctkEd ctd ctd

c

fv k f f

avec k = 0,5 en cas de surface verticale de

reprise de bétonnage et k = 1 lorsqu’il n’y a pas de surface verticale de reprise de bétonnage (AN) », il

n'est pas nécessaire de disposer d'aciers en plus de ceux qui existent (pas même le minimal

défini ci-dessus) ;

sinon, on devra disposer de la section d'acier = ;0,5.sf sfs

f f

A AMax A

s s

Pour éviter d'avoir des écartements variables à chaque abscisse et compte tenu d'une certaine

plastification des sections, on peut considérer une contrainte constante sur une certaine longueur.

Certains règlements admettent une valeur constante sur toute la longueur de moment positif.

L'EC2 considère quatre plages entre les points de moments nuls en retenant la section moyenne d'acier.

i;nL

i;effL

i;a

2i;a

1

1iM

iM

ip

i;nM

1

i;nM

2

max;tiM,750

max;tiM,750

charge uniformément répartie

max;tiM,750

4i

a

4ia

4ia

4ia

max;tiM,250

,maxtiM

i,effiL,a 70

zone 1

zone 3

zone 2 zone 1

zone3

La longueur de table comprimée peut être celle qui donne forfaitairement la largeur de table efficace :0,70 L

effpour travée intermédiaire

0,85 Leff

pour travée de rive sans console

Pour simplifier, on peut considérer pour longueur de la table comprimée ia : figure 5.2 NF EN 1992-1-1

Soit4

iax pour la membrure comprimée et effL,x 150 pour la membrure tendue.


• Vérification de la contrainte de la bielle

La contrainte de compression de la bielle doit être limitée, ce qui conduit à vérifier :

avec 0,6.(1- / 250). .sin .cos ckEd cd f f v fV v f



Table tendue

Pour les moments négatifs et bien que le béton tendu ne soit pas pris en compte, les tables de poutresen Té jouent un rôle en permettant de tenir compte des aciers longitudinaux situés dans latable, à l'extérieur de l'âme.

On peut ainsi étaler les aciers de chapeaux sur toute la largeur utile beff de la table, de les disposer enun seul lit et ainsi gagner sur le bras de levier (art. 9.2.1.2(2)).

Si As2 représente la section d'acier longitudinal situé d'un côté de l'âme et As la section totale d'acier

longitudinal, en suivant le même raisonnement que pour les tables comprimées , l'effort longitudinal se

transmet par des bielles inclinées de f par rapport à l'axe longitudinal (l’EC2 donne la latitude de

variation d'angle entre 38,6° et 45° soit 1 cot 2,5g (AN).

On a besoin d'une section d'acier transversal égale à :

Avec0,15.

appui

eff

MM

x L

La vérification de non-écrasement de la bielle s’écrit :

2 1. .

.. .sf s

fsf ywd

A Atg

s A z f

Mx

2 . .sin .cos1

.. .

d sEd cd f f

f s f

Av f

A

F

x h z hV

Mx




ORGANIGRAMME SIMPLIFIE de calcul des armatures d’effort tranchant pour θ = 45°


COURS DE BETON ARME

AUX EUROCODES

---------

ANNEXES

Examen CCV109 – STI Génie Civil

Année 2010-2011 1

Conservatoire National des Arts et Métiers de la Réunion

RNCP - Titre Professionnel niveau II – Travaux Publics / BâtimentBéton Armé

Le 10/03/2011

CCV109 –Béton Armé

2eme session

Durée : 3hCalculatrice et tous documents autorisés

I- ETUDE D’UNE POUTRE DE PLANCHER - Voir annexes (12 points)

Objectif de l’étude :

L’étude porte sur le calcul du ferraillage de la poutre axée sur la file 3 (250 x 400 mm) duplancher haut du 1er étage d’un bâtiment à usage de bureaux (voir plan en annexe).

Données :

Béton : Classe de résistance 3025 /C MPaf ck 25

Le bâtiment est de catégorie B - 2 0,3

Classe d’exposition 1XC - durée de vie = 50 ans

Armatures HA : Classe B500 MPaf yk 500 Palier plastique

Ouverture de fissure : Wmax = 0,4 mm

200 000sE MPa

31476cmE MPa

Coefficient d’équivalence acier-béton : 16,26

Charges permanentes à prendre en compte :

Poids volumique du béton armé : 25 kN/m3

Cloisons fixes, chape et Revêtement de sol: 1,4 kN/m2

Charges d’exploitation à prendre en compte : kq

Plancher courant : 2,5 kN/m2


Année 2010-2011 2

Travail demandé:

A partir des recommandations professionnelles pour l’application dela norme NF EN 1992-1-1 :

1. Déterminer la largeur de la table de compression en travée pour la poutre de la file 3.(0,5 point)

2. Donner les cas de charge permettant d’obtenir les moments maxi en travée et sur appuis ;Calculer la valeur de ces moments et tracer le diagramme des courbes enveloppes.(1,5 points)

3. Détermination des armatures longitudinales de la poutre file « 3 »:a. Déterminer le ferraillage longitudinal en travée :

Pour cette question, on prendra : la largeur de la table de compression « beff » égale à 1,355 m ; le moment maxi en travée Mtmax= 54,31 KNm

(1,5 points)

b. Déterminer le moment « Mn » au nu de l’appui de la file « a » .Pour cette question, on prendra : les résultats RDM donnent pour une charge pu= 37,35 KN/m: le moment à l’axe de l’appui de la file « a » : Mapp= -42,02 KNm le moment à l’axe de l’appui de la file « b » : Mapp= -18,68 KNm

(0,5 point)

c. Déterminer le coefficient « » de redistribution et le moment après

redistribution sur l’appui de la file « a » .(0,5 point)

d. Quelle est la valeur du moment à retenir au niveau de l’appui de la file « a » ?Calculer la section d’armature longitudinale sur cet appui.Contrôle de la fissuration : Déterminer la section minimale d’armature.(2 points)

4. Vérifier les contraintes dans les matériaux acier et béton au niveau de l’appuide la file « a ». Pour cette question, on prendra Mser car = -29 KNm.

Sous combinaison caractéristique, on limitera la contrainte du béton à 0,6.fck et celle del’acier à 0,8.fyk.(1,5 points)

5. Effectuer toutes les vérifications nécessaires vis-à-vis de l’effort tranchant à droite del’appui de la file « a », c’est à dire : Nécessité d’avoir ou non des armatures transversales (6.2.2); Vérification de la résistance de la bielle de béton (6.2.3); Détermination du premier espacement des armatures transversales (6.8); Vérification du non-écrasement de l’appui ; Vérification complémentaire en présence d’un moment sur appui.


Année 2010-2011 3

Les résultats de la RDM donnent les efforts tranchants et moment non-réduits:VEd droite=-80,54 KN, VEd gauche=56,02 KN et Mapp= -42,02 KNm.

On prendra des armatures transversales à 90° et l’inclinaison de la bielle de béton à 45°.(2,5 points)

6. Déterminer la section d’armature nécessaire à la jonction dalle-nervure dans la travée dela poutre de la file « 3 ». Rappel : Mtmax= 54,31 KNm(1 point)

7. Représenter en coupe et en élévation toutes les sections d’armatures calculéesprécédemment.(0,5 point)

II- VERIFICATION D’UN POTEAU EN BETON ARME (250 x 300 mm)(8 points)

Objectif:

Dans cette seconde partie, l’objectif est de vérifier la section d’armature d’un poteauisolé, compte tenu des effets du second ordre suivant la norme NF EN 1992.

Données :

béton : Classe de résistance 3025 /C MPaf ck 25

Le bâtiment est de catégorie B Classe d’exposition 1XC - durée de vie = 50 ans

Armatures HA : Classe B500 MPaf yk 500 Palier plastique

200 000sE MPa

31476cmE MPa

Poids volumique : 325 m/kN

Sous combinaison quasi permanente 2 0,3 Humidité relative RH = 80% - chargement t0=28 jours Ciment : classe de résistance 42,5N

Coefficient de distribution de la courbure : 8oC pour un moment constant

Effort normal sollicitant: 0,07 ; 0,028G QN MN N MN

Moment sollicitant en tête: 02 0,042zM MNm

Moment sollicitant en pied : 01 0,042zM MNm Longueur libre L= 3 m Longueur de flambement L0 : à déterminer

Excentricité due aux imperfections, par simplification : 0 ; 2400

maxi

Lcme

Supplément d’excentricité : 0 0e

Section transversale : 250 300 mm Section d’armatures longitudinales : 6HA16 maintenus à l’aide de cadres

et étriers en HA8


Année 2010-2011 4

Travail demandé :

1. Montrer que les effets du second ordre ne sont pas négligeables(prendre ef = 1,141 ). Les coefficients A, B et C ne seront pas pris en valeursforfaitaires mais calculés. (0,5 point)

2. Par la méthode de la rigidité nominale, déterminer le moment de second ordre.(3 points)

3. Par la méthode de la courbure nominale, déterminer le moment de second ordre.(2,5 points)

4. Vérifier si la section d’armature proposée (6HA16) est suffisante (abaqued’interaction à armatures symétriques en annexe). (2 points)

Lli

bre

Mz=42 KNm

Mz=42 KNm

z

y

250 mm

30

0m

m

NEd

6HA16


Année 2010-2011 5

ANNEXES

Classe d’acier fck

≤ 50 MPa fck

> 50 MPa

A(peu ductile

= 0,44 + 1,25 (xu/d) ≥ 0,8 = 0,54 + 1,25 (0,6 + 1,4/

cu2) (x

u/d) ≥ 0,8

B ou C

(ductile ou très ductile)

= 0,44 + 1,25 (xu/d) ≥ 0,7 = 0,54 + 1,25 (0,6 + 1,4/

cu2) (x

u/d) ≥ 0,7


Année 2010-2011 6

1

2

3

4

a b

3000

mm

3500

mm

2900

mm

1500 mm 4000 mm 1000 mm

250 x 400 mm

250 x 400 mm

250 x 400 mm

250 x 400 mm

300 mm 300 mm

300 mm 300 mm

160

PLAN DE COFFRAGE PARTIEL PLANCHER HAUT 1er ETAGE

400

mm

COUPE AA

A

A


Année 2010-2011 7

METHODE DE LA RIGIDITE NOMINALE

M1sd

M2sd

L libre

h

b

DONNEES:

Largeur b = 30,00 cmHauteur h = 25,00 cmEnrobage cnom = 25 mm

Hauteur poteau H = 3,00 m

Coef de flambement β1 = 2,00

Coefficient de distribution du moment c = 8,00

Humidité relative RH = 80,00 %Age béton t0 = 28 jours

Coef charge quasi permanente ψ2 = 0,30

Nbre de barres nb = GEW("EC2JF/AcierLong" ; n ; ) = 6

Ferraillage adopté Choix = SEL("EC2JF/AcierLong" ; Choix; n=nb;) = 6 HA 16Diamètre Long dL = TAB("EC2JF/AcierLong" ; ds ; Choix=Choix; ) = 16 mm

Diamètre Transv dT = SEL("EC2JF/AcierLong" ; ds ; ) = 8 mm

Hauteur utile d = h -(cnom + dT + dL/2) * 0,1 = 20,90 cm

Section d'armature As_vor = TAB("EC2JF/AcierLong" ; As ; Choix=Choix; ) = 12,060 cm²

SOLLICITATIONS:

Effort normal NG = -70,00 kN

Effort normal NQ = -28,00 kN

Effort normal NSd = 1,35*NG + 1,5*NQ = -137 kN

Effort normal quasi permanent Nqp = NG + ψ2*NQ = -78,40 kN

Remarque :M2sd > M1sd

Moment en pied M1Sd = 42 kNm

Moment en tête M2Sd = 42 kNm

MATERIAUX:

Beton = GEW("EC2JF/CarBeton" ; Choix; fck≤90) = C25/30fck = TAB("EC2JF/CarBeton"; fck ; Choix = Beton) = 25 MN/m²

fcd = 1*TAB("EC2JF/CarBeton"; fck ; Choix = Beton)/1,5 = 16,67 MN/m²

fcm = TAB("EC2JF/CarBeton"; fck ; Choix = Beton) + 8 = 33,00 MN/m²

Ecm = 22000*(fcm/10)0,3 = 31475,806 MN/m2

Acier = GEW("EC2JF/CarAcier"; Choix;) = B 500fyk = TAB("EC2JF/CarAcier"; fyk; Choix=Acier) = 500,00 MN/m²

fyd = TAB("EC2JF/CarAcier"; fyk; Choix=Acier)/1,15 = 434,78 MN/m²

Es = 200000,00 MN/m²

AN valeur de γγγγCE = 1,20

AN valeur de ks = 1,0

Ecd =Ecm

γγγγCE= 26229,838 MN/m²

CALCULS PRELIMINAIRES

Ac = b*h = 750,00 cm²

Rayon moyen de la section h0 = 10 * *2Ac

*2 ( )+b h= 136,36 mm

Coefficient α1 = ( )35

fcm

1/2

= 1,03

Coefficient α2 = (35 / fcm )^(7/10) = 1,04

ρRH27 = 1+(1-RH/100)/(0,1*h0^0,333) = 1,389

ρRH27plus = (1+((1-RH/100)*α1)/(0,1*h0^0,333))*α2 = 1,457

Coeff fluage ϕRH = IF (fck ≥ 27; ρRH27plus ; ρRH27) = 1,389

βfck = 16,8 / (fck+8)^0,5 = 2,92

βt0 =1

+0,1 t02/10

= 0,49

Coefficient de fluage à l'infini ρ∞1 = ϕRH *βt0 * βfck = 1,987

Valeur retenue d coef de fluage à l'infini ρ∞ = IF (ρ∞1 ≥ 2; 2 ; ρ∞1) = 1,987

Imperfections ei = MAX (2 ; 100*β1*H/400) = 2,00 cm

ea= 100 * ( 0,4 * M1Sd + 0,6 * M2Sd ) / -NSd = 30,66 cm

eb = 100 * ( 0,4 * M2Sd ) / -NSd = 12,26 cm

e0 = MAX ( ea; eb) = 30,66 cm

Exencentricité premier ordre e1 = ei + e0 = 32,66 cm

Moment 1er ordre M0Ed= ABS(NSd) * e1/100 = 44,744 kNm

Moment quasi permanent Mqp = - *Nqpe1

100= 25,605 kNm

Coefficient de fluage ρρρρef = ρ∞ ∗ ρ∞ ∗ ρ∞ ∗ ρ∞ ∗ Mqp / M0Ed = 1,137

CALCUL DE l'ELANCEMENT :

Longueur de flambement L0 = β1*H = 6,00 m

Elancement λ λ λ λ =*100 *ββββ1 H

*0,289 h= 83,04

CALCUL DE l'ELANCEMENT LIMITE :

rm = IF ( M1Sd =0; 0;M1Sd /M2Sd ) = 1,000

ω =*As_vor fyd

*Ac fcd= 0,419

A = 1 / (1 + 0,2 * ρef ) = 0,815

B = (1 + 2*ω )^(1/2) = 1,356

C = 1,7 -rm = 0,700

n = ABS(NSd)*10/(Ac*fcd) = 0,110

λλλλlim = 20 * A *B * C / (n0,5) = 46,650

RIGIDITE NOMINALE :

Ic = *( )*bh3

1210

- 8= 39062,500*10-8 m4

n = ABS(NSd)*10/(Ac*fcd) = 0,110

k1 = ( )fck

20

0,5

= 1,1180

k2 = MIN((n*λ / 170) ; 0,2) = 0,0537

kc = k1 * k2 / (1 + ρρρρef ) = 0,0281

d1 = d - (cnom + dT + dL/2) * 0,1 = 16,80 cm

Is = *( )*As_vor

d12

4

10- 8

= 850,954*10-8 m4

Module EI = (kc * Ecd * Ic ) + (ks * Is * Es) = 1,9898 MNm2

NB = *ππππ2 EI

L02

= 0,5455 MN

β = π2 / c = 1,2337

Moment 2ème ordre Rigidité M2r = M0Ed * 10-3 * β * (1 / ((NB / ((-NSd) * 10

-3)) - 1)) = 0,0185 MNm

Moment total MEdc = +( )M0Ed

1000M2r = 0,063 MNm

CALCUL DES ARMATURES:

νSd = ABS(NSd )* 10 / ( b * h * fcd ) = 0,11

µSd = ABS(MEdc) * 106 / ( b * h² * fcd ) = 0,20

LECTURE ABAQUE

ωtot = 0,40

As = *ωωωωtot *b *hfcd

fyd= 11,50 cm²

Diamètre ds = GEW("EC2JF/AcierLong" ; ds ; ds>6 ) = 16,00 mm

Nbre de barres n = SEL("EC2JF/AcierLong" ; Choix ; ds=ds ; As≥≥≥≥As/2 ) = 3 HA 16

Choix As = 2*TAB("EC2JF/AcierLong" ; As; Choix = n ) = 12,06 cm²

METHODE DE LA COURBURE NOMINALE

M1sd

M2sd

L libre

h

b

DONNEES:

Largeur b = 30,00 cmHauteur h = 25,00 cmEnrobage cnom = 25 mm

Hauteur poteau H = 3,00 m

Coef de flambement β1 = 2,00

Coefficient de distribution du moment c = 8,00

Humidité relative RH = 80,00 %Age béton t0 = 28 jours

Coef charge quasi permanente ψ2 = 0,30

Nbre de barres nb = GEW("EC2JF/AcierLong" ; n ; ) = 6

Ferraillage adopté Choix = SEL("EC2JF/AcierLong" ; Choix; n=nb;) = 6 HA 16Diamètre Long dL = TAB("EC2JF/AcierLong" ; ds ; Choix=Choix; ) = 16 mm

Diamètre Transv dT = SEL("EC2JF/AcierLong" ; ds ; ) = 8 mm

Hauteur utile d = h -(cnom + dT + dL/2) * 0,1 = 20,90 cm

Section d'armature As_vor = TAB("EC2JF/AcierLong" ; As ; Choix=Choix; ) = 12,060 cm²

SOLLICITATIONS:

Effort normal NG = -70,00 kN

Effort normal NQ = -28,00 kN

Effort normal NSd = 1,35*NG + 1,5*NQ = -137 kN

Effort normal quasi permanent Nqp = NG + ψ2*NQ = -78,40 kN

Remarque :M2sd > M1sd

Moment en pied M1Sd = 42 kNm

Moment en tête M2Sd = 42 kNm

MATERIAUX:

Beton = GEW("EC2JF/CarBeton" ; Choix; fck≤90) = C25/30fck = TAB("EC2JF/CarBeton"; fck ; Choix = Beton) = 25 MN/m²

fcd = 1*TAB("EC2JF/CarBeton"; fck ; Choix = Beton)/1,5 = 16,67 MN/m²

fcm = TAB("EC2JF/CarBeton"; fck ; Choix = Beton) + 8 = 33,00 MN/m²

Ecm = 22000*(fcm/10)0,3 = 31475,806 MN/m2

Acier = GEW("EC2JF/CarAcier"; Choix;) = B 500fyk = TAB("EC2JF/CarAcier"; fyk; Choix=Acier) = 500,00 MN/m²

fyd = TAB("EC2JF/CarAcier"; fyk; Choix=Acier)/1,15 = 434,78 MN/m²

Es = 200000,00 MN/m²

CALCULS PRELIMINAIRES

Ac = b*h = 750,00 cm²

Rayon moyen de la section h0 = 10 * *2Ac

*2 ( )+b h= 136,36 mm

Coefficient α1 = ( )35

fcm

1/2

= 1,03

Coefficient α2 = (35 / fcm )^(7/10) = 1,04

ρRH27 = 1+(1-RH/100)/(0,1*h0^0,333) = 1,389

ρRH27plus = (1+((1-RH/100)*α1)/(0,1*h0^0,333))*α2 = 1,457

Coeff fluage ϕRH = IF (fck ≥ 27; ρRH27plus ; ρRH27) = 1,389

βfck = 16,8 / (fck+8)^0,5 = 2,92

βt0 =1

+0,1 t02/10

= 0,49

Coefficient de fluage à l'infini ρ∞1 = ϕRH *βt0 * βfck = 1,987

Valeur retenue d coef de fluage à l'infini ρ∞ = IF (ρ∞1 ≥ 2; 2 ; ρ∞1) = 1,987

Imperfections ei = MAX (2 ; 100*β1*H/400) = 2,00 cm

ea= 100 * ( 0,4 * M1Sd + 0,6 * M2Sd ) / -NSd = 30,66 cm

eb = 100 * ( 0,4 * M2Sd ) / -NSd = 12,26 cm

e0 = MAX ( ea; eb) = 30,66 cm

Exencentricité premier ordre e1 = ei + e0 = 32,66 cm

Moment 1er ordre M0Ed= ABS(NSd) * e1/100 = 44,744 kNm

Moment quasi permanent Mqp = - *Nqpe1

100= 25,605 kNm

Coefficient de fluage ρρρρef = ρ∞ ∗ ρ∞ ∗ ρ∞ ∗ ρ∞ ∗ Mqp / M0Ed = 1,137

CALCUL DE l'ELANCEMENT :

Longueur de flambement L0 = β1*H = 6,00 m

Elancement λ λ λ λ =*100 *ββββ1 H

*0,289 h= 83,04

CALCUL DE l'ELANCEMENT LIMITE :

rm = IF ( M1Sd =0; 0;(M1Sd /M2Sd )) = 1,000

ω =*As_vor fyd

*Ac fcd= 0,419

A = 1 / (1 + 0,2 * ρef ) = 0,815

B = (1 + 2*ω )^(1/2) = 1,356 C = 1,7 -rm = 0,700

n = ABS(NSd)*10/(Ac*fcd) = 0,1096

λλλλlim = 20 * A *B * C / (n0,5) = 46,735

COURBURE NOMINALE :

nu = 1+ω = 1,419

nbal = 0,400

β = 0,35 + fck/200 - λ/λ/λ/λ/150 = -0,079

Kr = MIN ((nu-n)/(nu-nbal);1) = 1,000

Kϕ= MAX (1+β ∗ρρρρef ; 1) = 1,000

εεεεyd = fyd / Es = 0,00217

r0 = **0,45 d

εεεεyd0,01 = 43,34

r = r0 / (Kr*Kϕ) = 43,34

Excentricité second ordre e2 = *( )1r ( )L0

2

c

= 0,104 m

Moment du second ordre courbure M2c = -NSd * e2 /1000 = 0,014 MN*m

Moment total MEdc = +( )M0Ed

1000M2c = 0,059 MN*m

CALCUL DES ARMATURES:

νSd = ABS(NSd )* 10 / ( b * h * fcd ) = 0,11

µSd = ABS(MEdc) * 106 / ( b * h² * fcd ) = 0,19

LECTURE ABAQUE

ωtot = 0,40

As = *ωωωωtot *b *hfcd

fyd= 11,50 cm²

Diamètre ds = GEW("EC2JF/AcierLong" ; ds ; ds>6 ) = 16,00 mm

Nombre de barres n =SEL("EC2JF/AcierLong" ; Choix ; ds=ds ; As≥≥≥≥As/2 ) = 3 HA 16

Choix As = 2*TAB("EC2JF/AcierLong" ; As; Choix = n ) = 12,06 cm²