A.16. 1

16) MODELOS PARAMÉTRICOS LINEALES En los modelos no paramétricos obtenidos en ensayos al escalón u oscilatorios, la dinámica del sistema se representa con funciones temporales o frecuenciales del módulo, de la viscosidad, o de la compliancia. Desarrollemos ahora modelos matemáticos basados en ecuaciones diferenciales lineales y de coeficientes constantes.

Introducción a Sistemas Diferenciales Lineales

Ej. 1 Oscilador Armónico Amortiguado F + Fs + Fb +Fin. = 0 Fs = – k x Fb = – B x& Fin. = – m x&&

mFx

mkx

mBx =++ &&&

• Relación de amortiguamiento: mkB

2=ζ ≥ 0 [Adimensional]

• Frecuencia natural no amortiguada: mkω =0 ≥ 0 [rad./s]

Resulta: mFxωxωx =++ 2

002 &&& ζ

Con Entrada Sinusoidal:

)ωtsin(Fm1ωω2 0

200 =++ xxx &&& ζ

Ej. de Solución General: )ωtcos(5.1 =++ xxx &&& ; con x(0) = 0; x´(0) = 1.

0ω2ζ = 1,5 ; 20ω = 1

75,0=ζ ; mF0 = 1

En los ensayos de DMA oscilatorios, los sistemas son sobreamortiguados (ζ > 1). Además, la contribución inercial por la masa es despreciable con respecto a los otros términos .

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Ej. 2. Circuito RLC en serie:

Ej. 3. Respuesta en Frecuencia de elementos RLC individuales:

Ej. 4. Sistemas de Primer Orden a.1) Circuito RL en serie ante entradas escalón en tensión (V) y Salida en I:

a.2) Circuito RL en serie con entrada V0(t) y salida VL(t).

Filtro “Pasa-altos”

( ) ( ) ( )tVtVtV 0LL && =+ Función de respuesta en frecuencia:

( )( ) 1iω

iωiωViωV

0

L+

=

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a.3) Ejemplo de Filtro “Pasa-bajos”:

( ) ( ) ( )tqtLtL =+&

( )( ) 1iω

1iωqiωL

+=

Fluencia/ Recuperación en Modelos de 1 y 2 elementos básicos

Tensión σ0 “Creep” Recuperación

Tiempo t

(t)εE(t)σ s0s =

( )dt

tdεη(t)σ d0d =

εd(t) = (σ0/η0)×t

Nótese que en ningún caso se logra reproducir la respuesta de un típico material viscoelástico. Para ello, necesitamos al menos 3 elementos…

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Relajación a la Tensión y Fluencia/ Recuperación en Modelos 2 y 3 elementos básicos

Nótese que:

• Modelo de Maxwell: representa bastante bien la relajación a la tensión en sólidos y la fluencia/ relajación en fluídos elásticos (pero no en sólidos).

• Modelo de Voigt: representa bastante bien a la fluencia/ recuperación pero es incapaz de representar a la relajación a la tensión (es imposible estirar instantáneamente a un líquido o a un amortiguador sin romperlo).

• Modelo de Kelvin: representa adecuadamente a los sistemas viscoelásticos ideales.

Derivemos a continuación las expresiones de los modelos de Maxwell y Voigt, ya que los casos más complicados los resolveremos combinando 2 o más de dichos modelos en serie o en paralelo

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Modelo de Voigt

En este caso, la deformación es igual en ambos elementos, y la tensión total es la suma de las tensiones:

ε(t) = εs(t) = εd(t)

σ = σspring + σdashpot

σ = E0 ε + η0 ε&

Dividiendo por E0 y definiendo τ ≡ 0

0Eη , se obtiene la solución general:

ε(t) = ( )0Etσ [1 – exp (-t/τ)]

Fluencia/ Recuperación En Fluencia/ Recuperación: σ(t+) = σ0 y entonces:

ε(t) = 0

0Eσ [1 – exp (-t/τ)]

con: ε(0) = 0; y ε(∞) = σ0/E0.

Por último, el módulo de “creep” teórico resulta:

Ec(t) ≡ 0σ

ε(t)

Ec(t) = 0E

1 [1 – exp (-t/τ)]

con τ ≡ 0

0Eη [s =

ss Pa ]

Nótese que si bien el modelo tiene 2 parámetros, la respuesta temporal sólo depende de la constante de tiempo (es decir, del cociente entre η0 y E0, pero no de los valores individuales).

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Relajación a la Tensión No puede implementarse.

Respuesta en Frecuencia Supongamos una deformación sinusoidal:

ε = ε0 sen ωt

La tensión es:

σ = σs + σd • σs = G ε = G ε0 sen ωt • σd = η ε& = η ω cos ωt

σ = G ε0 sen ωt + η ω ε0 cos ωt

σ/ε0 = G sen ωt + η ω cos ωt

Luego: G’ = G (el módulo de almacenaje es constante!)

G” = ηω y tan δ = GG′′′ =

Gωη ≡ T ω

(tanto el Módulo de Pérdida como tan δ aumentan linealmente con ω!)

* * * En resumen: el modelo de Voigt reproduce bastante bien a los ensayos de “creep”/ recuperación en sólidos, pero es incapaz de representar la relajación a la tensión, o la respuesta en frecuencia.

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Modelo de Maxwell

σs = E es

σd = η dt

ded

En este caso es:

σs(t) = σd(t) = σ(t) = E es = η dt

ded

e(t) =es(t) + ed(t)

dedt =

sdedt +

ddedt

ησ

dtdσ

E1

dtde

+=

σdtdστ

dtdε

+= ; (τ ≡ ηE

Tiempo de Relajación)

Integrando la anterior:

e(t) = η

σ(t)dtEσ(t) ∫+

Fluencia/ Recuperación: σ = σ0

e(t) = tησ

Eσ 00 + ; e(t) = e1(t) + e2(t)

Compliancia de “creep”: Jc(t) = e(t)/σ0 = J0 + t/η

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Relajación a la Tensión: a t = +0: e = e0 y e& (t) = 0

σ = σs = E es = σd = η dt

ded = η ( )dt

eed s− = –η dt

des

–η dt

des = E es

s

se

de = dtηE

−

ln es = tηE

− + C

es = t

ηE

e−

×C’

σ(t) = E es = E × exp[-t/T] × C’ (solución general)

T ≡ ηE ; [ ] ⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡= 2

2

mNmNss

En relaj. a la tensión: a t = 0, σ0 = E e0. Por lo tanto: C’ = e0. Reemplazando:

σ(t) = E e0 exp[-t/T];

Módulo de Relajación a la Tensión: Er(t) = σ0 exp[-t/T]

T = ηE

• A t = T: σ(t) = 00 σ0,37

eσ

= , (σ0 = E e0).

A.16. 9

Respuesta en Frecuencia

Multiplicamos a ησ

dtdσ

E1

dtde

+= por E y reemplazamos T = ηE ,

tenemos:

σ& (t) + ( )Ttσ = E e& (t)

Supongamos una entrada sinusoidal en la deformación e(t) = e0 sen (ωt). Pasemos la ec. dif. al dominio transformado de Laplace:

s σ(s) + σ(s)T = E s e(s)

σ(s) (s + 1T ) = E s e(s)

G~ (s): F. de transferencia reducida (o Laplaciano del módulo elástico): ( )EsG~ = σ(s) s Ts

e(s) s 1/T Ts 1= =

+ +

Respuesta en frecuencia (con E = G0): ( )0Gjω*G = σ(jω) Tjω

e(jω) Tjω 1=

+ Tjω 1

Tjω 1⎛ ⎞−⎜ ⎟−⎝ ⎠

= 2 2

2 2 2 2

T ω Tω jT ω 1 T ω 1

⎛ ⎞ ⎛ ⎞+ ⎜ ⎟⎜ ⎟+ +⎝ ⎠⎝ ⎠

Eje Imag.

G´´(ω) G*(ω) δ G´(ω) Eje real

( )0Gjω*G = G´(ω) + G´´(ω) j;

con: G´(ω) = G0 2 2

2 2

T ωT ω 1

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

; G´´(ω) = G0 2 2

TωT ω 1

⎛ ⎞⎜ ⎟+⎝ ⎠

Alternativamente, en magnitud y ángulo:

⏐G*(jω)⏐ = G0 2 2

TωT ω 1+

δ = arctan G'

'G' = arctan ωT1

• Cuando ω → ∞: ⏐G*(jω)⏐ → G0 y δ → 0 (→ elem. elástico puro) • Cuando ω → 0: ⏐G*(jω)⏐ → 0 y δ → +90º (→ elem. viscoso puro)

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Nótese que la respuesta en frecuencia también depende de un único parámetro: T. Respuesta en frecuencia (para G0 = 1) en escala doble-logarítmica: a) eje de abscisas adimensional log(ωT); y b) escala logarítmica para el módulo complejo, expresada en decibelios:

[Rel. Ampl. en dB ≡ 10 × log10 (σ0/e0)]

Se denomina Diagrama de Bode al conjunto de asíntotas del diagrama anterior. Nótese que la constante de tiempo (T = 1) se ubica en la intersección de las asíntotas del diagrama doble logarítmico de la relación de amplitudes. Alternativamente, representando G1, G2 y tan δ (en ejes lineales) vs. log ωT, se obtiene:

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También, con ejes doble-logarítmicos, resulta:

La respuesta en frecuencia por DMTA da resultados muy similares a los del Modelo de Maxwell en cuanto a la variación de los módulos (a bajas frecuencias, el material luce como más blando, y G´´ es máximo en la región viscoelástica). Sin embargo, en los materiales reales el máximo de tanδ se encuentra próximo al máximo de G´´, y no en f→0. En resumen:

1) Los módulos del Modelo de Maxwell representan bastante bien al sólido amorfo (G’ presenta dos mesetas y G’’ pasa por un máximo en ω = 1/T).

2) Sin embargo, el máximo de tan δ no aparece cercano al de G’’. (Según tan δ, el material se comporta como un sólido elástico ideal a altas frecuencias, y como un líquido viscoso ideal a bajas frecuencias.)

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Tiempo Medio de Relajación y Número de Débora Verso bíblico de la Profetisa Débora: “Las montañas fluyeron delante del Señor…”. El N° Débora es un adimensional que identifica el carácter (rígido o plástico) de un material a una temperatura dada.

oexperiment del Tiempoconstanten deformació ante Maxwell de Modelo del relajación de TiempoDe =

• De bajo: el material tiende a comportarse como un fluido viscoso newtoniano;

• De alto: el material tiende a un sólido elástico.

El tiempo de relajación depende por supuesto también de la temperatura: Módulo de relajación a la tensión t1: tiempo medio de rel. a T (>T0) t1×a(T→T0): tiempo medio de rel. a T0 < T0

Limitaciones de los Modelos Simples • El modelo de Maxwell no describe respuestas elásticas retardadas (p.ej.: en “creep”). • El modelo de Voigt no describe relajaciones de la tensión. • Ambos modelos involucran a un único tiempo de relajación y en muchos casos la descripción del proceso requiere de varios tiempos de relajación e incluso hasta de un espectro de tiempos de relajación.

Principio de Superposición de Boltzmann Ante los diversos tipos de entradas temporales (ya sea en σ o en ε), los modelos viscoelásticos lineales permiten resolver las ecuaciones del movimiento por aplicación del siguiente Principio de Superposición:

“Como la deformación es una función lineal de la tensión, entonces la deformación total ante una suma de tensiones es igual a la suma de los efectos

de aplicar cada una de ellas en forma independiente”.

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Ej. 1: Deformación de un material viscoelástico lineal ante una entrada en tensión de 2 escalones:

La deformación final depende no sólo de la magnitud del cambio que la genera, sino también del tiempo transcurrido desde la aplicación del esfuerzo hasta la observación de dicho efecto. Ej. 2: Sea un Elemento de Maxwell de E = 109 Pa y η = 1011 Pa s. Hallar la tensión generada a t = 100 s, luego de la aplicación de las siguientes deformaciones: a t = 0 s, ε pasa de 0% a 1%, y a t = 30 s, pasa de 1% a 2%: Relaj. a est. constante a t = t1 en El. Maxwell:

σ(t) = E ε0 exp[-(t – t1)/τ]; con τ = ηE

Por el Ppio de Superposición: σ(t) = σ1 exp[-(t – t1)/τ] + σ2 exp[-(t – t2)/τ]

s 100Pa10

s Pa10τ 9

11

==

σ1 = σ2 = E ε01 = E ε02= 109 Pa 0,01 = 107 Pa t1 = 0 s; t2 = 30 s

σ(100) = 107 Pa exp[-(100/100] + 107 Pa exp[-(100 – 30)/100] = 107 (e-1 + e-0,7)

σ(100) = 8,6×106 Pa.

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Sólido Estándar de 4 Parámetros (elástico + viscoso + elástico retardado) La conexión en serie de los modelos de Maxwell y Voigt permiten simular adecuadamente el ensayo de “creep”/ recuperación de un sólido viscoelástico lineal. Requiere del ajuste de 4 parámetros constantes. Consideremos 3 elementos en serie (un resorte E0, un amortiguador η0, y un elemento de Voigt) sometidos a una misma tensión constante σ0 entre t = 0 y t = t0. Aplicamos el principio de superposición a cada uno de los 3 elementos en serie:

Resorte: ε0 = σ0/E0 Amortiguador: εv = (σ0 t)/η0 Elemento de Voigt-Kelvin: εrel = σ0/Erel [1 – exp(- Erel t/ηrel)]

Deformación de “creep”:

ε(t) = σ0(t) {0E

1 + relE1 [1 – exp(- t/τ)]+

0ηt } con

rel

relEητ =

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Modelos de Sólidos con Varios Mecanismos de Relajación El modelo anterior resulta insuficiente para describir a sistemas que responden simultáneamente a varios tiempos de relajación distintos. En tales casos, se proponen modelos lineales que involucren a varias constantes de tiempo τi, cada una de las cuales queda determinada por el par (Ei, ηi). Existen 2 posibilidades básicas.

Dos ó más el. de Maxwell en paralelo (Maxwell-Weichert):

Dos ó más elementos de Voigt-Kelvin en serie:

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Expresiones teóricas para mediciones de respuesta en frecuencia mediante elementos de Maxwell en paralelo

Los módulos totales se calculan por simple adición de los efectos de cada elemento de Maxwell. Así por ejemplo, si se emplean 2 Modelos de Maxwell en paralelo, resulta:

G´(ω) = G1 1ωτ

ωτG1ωτ

ωτ22

2

222

2221

221

++

+;

G´´(ω) = G1 1ωτ

ωτG1ωτ

ωτ22

2

2222

1

1

++

+

Ej.: DMA oscilatorio de un shampoo para cabello. Al aumentar la frecuencia, el material pasa de viscoso a elástico.

1) Ajuste con 1 sólo Elemento de Maxwell, resultando η = 97,7 Pa s y τ = 0,162 s; por lo cual resulta G = 603 Pa y 1/τ = 6,17 rad/s.

Con 2 parámetros se reproduce bien la constante de tiempo, pero el ajuste general es sólo aproximado.

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2) Ajuste con 4 Elementos de Maxwell en paralelo

Con 8 parámetros, se ajustan perfectamente las mediciones experimentales. Tentativamente, se propone un elemento de Maxwell por década de frecuencias.

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Relajación a la tensión de un termoplástico amorfo no entrecruzado y de alto M mediante un modelo de Maxwell-Weichert de 2 elementos El elemento de Maxwell permite modelar a un único modo de relajación a la tensión. Representemos en escala doble logarítmica al módulo de relajación relativo vs. log(t/τ). Se observa la meseta vítrea pero no la gomosa:

Para incluir a la meseta gomosa, se requieren al menos 2 elementos de Maxwell en paralelo de distintas constantes de tiempo τi = ηi/Ei:

Ejemplo. Simule la relajación a la tensión en un termoplástico a T > Tg, con las siguientes características:

a tiempos cortos o altas frecuencias: mat. elástico de E1 = 3×109 Pa; a tiempos o frecuencias intermedias: aparecen relajaciones

moleculares de τ1 = 1 min. (típicas de una Tg), que representan a desplazamientos de pedazos de cadenas de entre 40 y 50 Carbonos;

meseta gomosa con E2 = 5×105; y a tiempos largos o frecuencias bajas: relajaciones moleculares de τ2 =

1000 min. características de un fluido, que representan a deslizamientos de cadenas completas de unas contra otras.

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En el ensayo de relajación a la tensión, imponemos un desplazamiento constante, y entonces:

0 ε ε ε 21 === &&& σ(t) = σ1(t) + σ2(t)

σ(t) = σ01 exp(-t/τ1) + σ02 exp(-t/τ2) Er(t) = σ(t)/ε0 = (σ01/ε0) exp(-t/τ1) + (σ02/ε0) exp(-t/τ2)

con E1 = σ01/ε0 y E2 = σ02/ε0

Er(t) = σ(t)/ε0 = 3×109 exp(-t) + 5×105 exp(-t/1000) Se obtiene:

El resultado anterior puede generalizarse a n componentes en paralelo:

Er(t) = ∑n

En exp(-t/τ1n) , con En = σ0n/εn

Más aún, asumiendo una distribución continua de los tiempos de relajación Er(τn), la sumatoria anterior se reemplazae por la integral:

Er(t) = ∫∞

0 E(τ1) exp(-t/τ1) dτ1.

Gregorio Meira, 2014