unifesp – 18/12/2009 CpV seu pé direito também na Medicina

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16

MATEMÁTICA

16. Considere, num sistema ortogonal, conforme a figura, a reta de equação r:y = kx (k > 0 um número real), os pontos A(xo, 0) e B(xo, kxo) (com xo > 0) e o semicírculo de diâmetro AB.

a) Calcule a razão entre a área S, do semicírculo, e a área T, do triângulo OAB, sendo O a origem do sistema de coordenadas. b) Calcule, se existir, o valor de k que acarrete a igualdade S = T, para todo xo > 0.

Resolução:

a) S = 12pr2 =

12 p

kx k x02 2

02

2 8

=

π e

T = x kx kx0 0 0

2

2 2.

=

Portanto a razão será AA

k x

kxsr= =

π 202

028

2

pk4

b) Para S = T, temos:

πk x kx2

02

02

8 2= Þ pk = 4 Þ k =

4p

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17

17. Uma função f : R ® R diz-se par quando f(−x) = f(x), para todo x Î R, e ímpar quando f(−x) = − f(x), para todo x Î R.

a) Quais, dentre os gráficos exibidos, melhor representam funções pares ou funções ímpares? Justifique sua resposta. b) Dê dois exemplos de funções, y = f(x) e y = g(x), sendo uma par e outra ímpar, e exiba os seus gráficos.

Resolução:

a) Função par: simétrica ao eixo x Þ f(–x) = f(x) Função ímpar: simétrica a origem Þ f(–x) = –f(x)

Gráfico I – Função par Gráfico II – Não é função par nem ímpar Gráfico III – Função par Gráfico IV – Função ímpar Gráfico V – Função ímpar

b) Função par: y = f(x) = x2 Função ímpar: y = g(x) = x

1

y

x

1

–1

y

–1

–1 1

1

x

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18

18. Considere as funções quadráticas q1(x) e q2(x) cujos gráficos são exibidos na figura.

a) Faça o esboço de um possível gráfico da função produto q(x) = q1(x)q2(x). b) Calcule o quociente do polinômio h(x) = xq(x) pelo polinômio k(x) = x + 1 e exiba suas raízes.

Resolução:

a) As formas fatorada das funções quadráticas são:

q1(x) = a1 . (x + 1) . (x – 3), com a1 > 0 q2(x) = a2 . (x – 1) . (x – 4), com a2 < 0

Assim, q(x) = a1 . a2 . (x + 1) . (x – 1) . (x – 3) . (x – 4), com a1 . a2 < 0

Então um possível gráfico dessa função q(x) seria:

b) h(x) = x . q(x) = a1 . a2 . x . (x + 1) . (x – 1) . (x – 3) . (x – 4)

Como k(x) = x + 1 é um fator de h(x), o quociente da divisão será a1 . a2 . x . (x – 1) . (x – 3) . (x – 4), que tem como raízes 0, 1, 3 e 4.

y

1–1 3 4 x

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19. Um jovem possui dois despertadores. Um deles funciona em 80% das vezes em que é colocado para despertar e o outro em 70% das vezes. Tendo um compromisso para daqui a alguns dias e preocupado com a hora, o jovem pretende colocar os dois relógios para despertar.

a) Qual é a probabilidade de que os dois relógios venham a despertar na hora programada? b) Qual é a probabilidade de que nenhum dos dois relógios desperte na hora programada?

Resolução:

a) A probabilidade dos dois relógios despertarem na hora programada é 80% . 70% = 56%

b) A probabilidade de nenhum dos dois relógios despertarem na hora programada é:

(100% – 80%) . (100% – 70%) = 20% . 30% = 6%

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20. Um jogo eletrônico consiste de uma pista retangular e de dois objetos virtuais, O1 e O2, os

quais se deslocam, a partir de uma base comum, com O1 sempre paralelamente às laterais

da pista e O2 formando um ângulo x com a base, x Î (0, p2

). Considere v1 e v2 os módulos,

respectivamente, das velocidades de O1 e O2. Considere, ainda, que os choques do objeto O2

com as laterais da pista (lisas e planas) são perfeitamente elásticos e que todos os ângulos

de incidência e de reflexão são iguais a x.

a) Exiba o gráfico da função y = f(x) que fornece o módulo da componente da velocidade

de deslocamento do objeto O2, no sentido do deslocamento do objeto O1, em função do

ângulo, x Î (0, p2 ).

b) Se v1 = 10 m/s e v2 = 20 m/s, determine todos os valores de x, x Î (0, p2 ), para os quais

os objetos O1 e O2, partindo num mesmo instante, nunca se choquem.

Resolução:

a)

Temos no triângulo retângulo da figura:

senx = v

vy2

2 Þ v2y = v2 . senx Þ f(x) = v2 . senx

Essa função f(x) possui o seguinte gráfico:

b) Para que os dois objetos não se choquem, temos:

f(x) ¹ v1 Þ v2 . senx ¹ v1 Þ 20 . senx ¹ 10 Þ

Þ senx ¹ 12

Þ x ¹ p6

Portanto, eles não se chocam em qualquer valor diferente de p

6 no intervalo dado.

y

v2

x0 p2

V2y

V2