16.1 MODELET E PLANEVE DITORE 16. 1. 1. MODEL MËSIMIbedri-jaka.com/download/KAPITULLI_16.pdf · • Cila nga mbledhjet 9 + 6 dhe 6 + 9 të duket “më e kollajshme”? Përse? Reflektimi:

wwwbedri-jakacom

16 SHTOJCA

161 MODELET E PLANEVE DITORE 16 1 1 MODEL MEumlSIMI

Leumlnda Matematikeuml Klasa I Njeumlsia meumlsimore Mbledhja e numrave duke ploteumlsuar numrin 10 Mjetet meumlsimore Objekte konkrete objekte teuml vizatuara numeumlratorja Fjaleumlt kyccedile Numri numeumlrori mbledhja shuma dhjeteumlshja e pareuml dhjeteumlshja e dyteuml ploteumlsimi i numrit dhjeteuml Objektivat Neuml fund teuml oreumls seuml meumlsimit nxeumlneumlsi teuml jeteuml i afteuml

bull Teuml identifikojeuml mbledhoreumlt (teuml parin dhe teuml dytin) bull Teuml llogariteuml shumeumln e dy numrave duke ploteumlsuar numrin 10

STRUKTURA E OREumlS E R R E Fletushkat e peumlrziera 5primeprimeprimeprime R Meumlsimdheumlnie e ndeumlrsjelleuml 35primeprimeprimeprime R Mendo Puno neuml dyshe 5primeprimeprimeprime Evokimi Sistemoni copeumlzat e letrave neuml meumlnyreuml qeuml shumat teuml jeneuml teuml sakta Realizimi i kuptimit Meumlsuesi shpeumlrndan fletushkat e dyta ashtu qeuml ccedildo dysheje nxeumlneumlsish i peumlrket njeuml detyreuml e formeumls seuml pari 2 e pastaj seuml pari 1 e pastaj 8 + 7 = _______ 8 + 6 = _______ 9 + 6 = _______ 9 + 7 = ________ 8 + 5 = _______ 8 + 4 = _______ 9 + 4 = _______ 9 + 5 = ________

19

19

19

7

6

15

16

8

14 9

18 5 17

2 + 3 =

3 + 4 = 4 + 2 =

12 + 3 =

4 + 5 =

13 + 4 =

5 + 3 =

14 + 5 =

16 + 3 =

14 + 2 =

6 + 3 =

15 + 3 =

METODOLOGJI E MEumlSIMDHEumlNIES SEuml MATEMATIKEumlS

wwwbedri-jakacom

418

seuml pari 4 e pastaj seuml pari 3 e pastaj 6 + 8 = _______ 6 + 9 = _______ 7 + 5 = _______ 7 + 8 = ________ 6 + 7 = _______ 6 + 5 = _______ 7 + 9 = _______ 7 + 6 = ________ Meuml pas vijojmeuml me mbledhjet 9 + 3 8 + 3 8 + 9 3 + 9 9 + 8 4 + 7 3 + 8 7 + 4 Si e zgjidhe Ti Pyetje analizeuml

bull Ploteumlsoje dhe ldquopeumlrkthejerdquo ldquoSeuml pari 2 e pastaj rdquo ldquoSeuml pari 1 e pastajrdquo ldquoSeuml pari 4 e pastaj rdquo ldquoSeuml pari 3 e pastaj rdquo

bull Ccedilfareuml veprove me 2-shin Po me 4-shin me 3-shin bull Si eumlshteuml ldquoshkrireumlrdquo mbledhori i dyteuml bull Cilin operacion aritmetik e peumlrdore tek mbledhori i dyteuml bull Le teuml shkruajmeuml 8 + 7 = _______ - A ka vend ky ldquopeumlrkthimrdquo

Prej 8 deri 10 2 7 minus 2 5 10 edhe 5 15 bull Si po e ldquondeumlrtojmeumlrdquo dhjeteumlshen Kur mund teuml prishet dhjeteumlshja bull Cila nga mbledhjet 9 + 6 dhe 6 + 9 teuml duket ldquomeuml e kollajshmerdquo

Peumlrse Reflektimi Nxeumlneumlsit teuml cileumlt aktualisht japin prova diturie dhe shkathteumlsie marrin ldquorolin e meumlsuesitrdquo duke veumlneuml neuml funksion ccediliftet heterogjene

16 1 2 MODEL MEumlSIMI

Leumlnda Matematikeuml Klasa II Njeumlsia meumlsimore Shpalosje e rreshtimeve 6 me 9 dhe 9 me 6 Mjetet meumlsimore Aplikacione me ngjyra libri fletorja fleta A4 markera Fjaleumlt kyccedile Rreshtimi modeli i rreshtimit rreshti shtylla peumlrmasat e rreshtimit ecuria e copeumltimit Objektivat Neuml fund teuml oreumls seuml meumlsimit nxeumlneumlsi teuml jeteuml i afteuml

bull Teuml dallojeuml rreshtin nga shtylla bull Teuml copeumltojeuml peumlrmasat e rreshtimit bull Teuml veccedilojeuml prodhimet e copeumltuara me rreshtime teuml njeumljta bull Teuml vizatojeuml modele teuml rreshtimeve bull Teuml identifikojeuml qeuml numri i rreshtimeve 6 me 9 eumlshteuml i ndrysheumlm nga

numri i rreshtimeve 9 me 6

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

419

STRUKTURA E OREumlS E R R E Diskutim peumlr njohuriteuml paraprake 5primeprimeprimeprime R Mendo Puno veteumlm Puno neuml dyshe 30primeprimeprimeprime R Shqyrtim i peumlrbashkeumlt - ldquoZbulimrdquo 10primeprimeprimeprime Evokimi - Ccedilfareuml dini peumlr peumlrmasat e rreshtimit 6 middot 7 dhe 7 middot 6 - Vizato modelet e rreshtimeve teuml meumlsipeumlrme - Veccediloje njeuml rreshtim me peumlrmaseuml 5 - Si e shpjegon qeuml numri i rreshtimeve 6 me 7 eumlshteuml i barabarteuml me numrin e rreshtimeve 7 me 6 - Numri i rreshtimeve 9 me 4 peumlr sa eumlshteuml meuml i vogeumll se numri i rreshtimeve 4 me 9 Peumlrse Numri 9 neuml sa meumlnyra mund teuml shprehet si shumeuml e mbledhoreumlve Realizimi i kuptimit Theksojmeuml temeumln meumlsimore Numri i elementeve teuml rreshtimit 6 me 9 dhe 9 me 6

Puna e pareuml eumlshteuml shpeumlrndarja e fletushkave ku njeumlri nga nxeumlneumlsit e njeuml banke i merr peumlr zgjidhje rreshtimet 6 middot9 (lexo 6 me 9) ndeumlrkaq tjetri 9 middot 6 (lexo 9 me 6)

Ccedildo nxeumlneumls tashmeuml i merr detyrat e puneumls A) Gjej prodhimin duke copeumltuar rreshtimin A1 (6 me 9) A2 (9 me 6) B) Sa mund teuml jeteuml numri i gjithmbarsheumlm i tyre C) Veccedilo njeuml rreshtim me njeuml peumlrmaseuml 5 D) Veccedilo cilat prodhime janeuml copeumltuar neuml rreshtime teuml njeumljta

__________ VEumlREJTJE Qeuml teuml mos e harrojneuml asnjeuml rreshtim nxeumlneumlsve me koheuml do teuml duhej trsquou

sqarojmeuml faktin qeuml kur njeumlra nga peumlrmasat e rreshtimit po e zeumlmeuml 6 me 7 (6middot7) copeumltohet ateumlhereuml me shkalleumlzim 7=6+1 7=5+2 7=4+3 7=3+4 7=2+5 7=1+6 dhe po keumlta mbledhoreuml njeuml peumlr njeuml shumeumlzohen me peumlrmaseumln tjeteumlr (6) dhe prodhimet e fituara mblidhen 6middot7= 6middot6+6+1 6middot7=6middot5+6middot2 6middot7=6middot4+6middot3 6middot7 = 6middot3 + 6middot4 etj


wwwbedri-jakacom

420

F M 1

Fig 174

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

421

F M 2

Reflektimi Nxeumlneumlsit neuml kateumlrshe formulojneuml detyra 1 Gjashteuml bashkeumlsi me nga neumlnteuml peteumlza peumlrmbajneuml 54 peteumlza 2 Neumlnteuml nxeumlneumls me vete kaneuml sjelleuml neuml shkolleuml nga 6 euro Ata seuml bashku kaneuml 54euro 3 Neuml gjashteuml kuti shkrepeumlseje janeuml futur nga 9 fije Po qe se teuml teumlra fijet i vendosim veteumlm neuml njeuml kuti ateumlhereuml seuml bashku do teuml kemi 54 fije 4 Neumlnteumlfishi gjashteuml topthave na jep 54 toptha etj Duke ndjekur ecurineuml e copeumltimit teuml dy peumlrmasave teuml rreshtimit nxeumlneumlsit ldquozbulojneumlrdquo llogaritje teuml prodhimit 6 middot 9 dhe 9 middot 6 edhe neumlpeumlrmjet tabelave

Fillimisht rreshtimi i copeumltuar 69

(shih Fig 174) ldquoshndeumlrrohetrdquo neuml tabelat T1

dhe T2 Meuml pas rreshtimi tjeteumlr i copeumltuar 96

(shih Fig 175) shndeumlrrohetrdquo neuml tabelat T3 dhe T4

Fig 175


wwwbedri-jakacom

422


Leumlnda Matematikeuml Klasa III Njeumlsia meumlsimore Trekeumlndeumlshi llojet Mjetet meumlsimore Materiali fleteuml A 4 markera modele teuml trekeumlndeumlshave Fjaleumlt kyccedile Kulmi themeli krahu brinja larteumlsia keumlndgjereuml keumlndngushteuml keumlnddrejteuml kateti hipotenuza brinjeumlndrysheumlm barakraheumls barabrinjeumls Objektivat Neuml fund teuml oreumls seuml meumlsimit nxeumlneumlsi teuml jeteuml i afteuml

bull Teuml dallojeuml trekeumlndeumlshin nga sipeumlrfaqja trekeumlndeumlshe bull Teuml identifikojeuml elementet e trekeumlndeumlshit (neumlpeumlrmjet simboleve) bull Teuml klasifikojeuml (shtateuml) llojet e trekeumlndeumlshave bull Teuml vizatojeuml (njeuml nga njeuml) llojet e trekeumlndeumlshave bull Teuml formulojeuml (neuml gjuheumln e tij) peumlrkufizimet lidhur me trekeumlndeumlshin

llojet elementet e trekeumlndeumlshit raportet ndeumlrmjet brinjeumlve raportet ndeumlrmjet keumlndeve

STRUKTURA E OREumlS E R R E Breinstorming 5primeprimeprimeprime R DRTA 35primeprimeprimeprime R Peseumlvargeumlshi 5primeprimeprimeprime

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

423

Evokimi Nxeumlneumlsit ftohen qeuml teuml parandiejneuml se ccedilfareuml do teuml lexojneuml - Ccedilfareuml paraqesin Nxeumlneumlsi ndash Meumlsuesi Po Nxeumlneumlsi ndash Meumlsuesi ndash Prindi (trekeumlndeumlsh didaktik) - Ccedilfareuml paraqesin periudhat jeteumlsore Feumlmijeumlri ndash Rini Po Feumlmijeumlri ndash Rini ndash Pleqeumlri (trekeumlndeumlsh jeteumlsor) - Peumlr ccedilfareuml beumljneuml fjaleuml keumlto relacione Peumlrse mendoni keumlshtu - Ccedilfareuml peumlrmban aforizmi ldquoMbolleumln teuml tjereumlt - heumlngra uneuml Po mbjelleuml uneuml - le teuml haneuml teuml tjereumltrdquo Realizimi i kuptimit Beumlhet leximi me ndalesa Pas ccedildo ndalese parashtrohen keumlto pyetje peumlr diskutim I 1 Neuml ambientin ku gjendesh zbuloje apo vizatoje vijeumln e mbyllur Po vija e thyer e mbyllur ku ldquostrehohetrdquo Vizatoje neuml fletore Formuloje Vija e thyer peumlrbeumlhet nga Paraqitni kateumlr pika neuml rrafsh dhe vizatoni vijeumln e thyer Segmentet e saj janeuml Cilat janeuml llojet e vijeumls seuml thyer Le teuml jeteuml A B C vija e thyer e mbyllur Cilat janeuml segmentet dhe keumlndet e

saj Formuloje peumlrkufizimin lidhur me trekeumlndeumlshin II 1 Vizato trekeumlndeumlshat e nevojsheumlm peumlr teuml ldquozbuluarrdquo tek ata kulmin

themelin krahun brinjeumln brinjeumlt pingule katetin hipotenuzeumln larteumlsineuml keumlndin e brendsheumlm keumlndin e jashteumlm drejteumlza simetrie

Cilat janeuml llojet e keumlndeve teuml trekeumlndeumlshit Vizato keumlndet e teuml tri llojeve Sipas keumlndeve si mund teuml ndahen trekeumlndeumlshat Po sipas brinjeumlve Ccedilfareuml mendoni A ekziston trekeumlndeumlsh keumlnddrejteuml barakraheumls A ekziston trekeumlndeumlshi keumlnddrejteuml barabrinjeumls Peumlrse mendoni keumlshtu Katrorin ta ndani neuml dy trekeumlndeumlsha Trekeumlndeumlshat e formuar emeumlrtoni sipas

keumlndeve dhe sipas brinjeumlve III 1

Ccedilfareuml mund teuml emeumlrtosh teuml numeumlrosh dhe teuml mateumlsh neuml njeuml trekeumlndeumlsh Neuml njeuml trekeumlndeumlsh ccedilfareuml mund teuml thuash peumlr brinjeumlt dhe keumlndet peumlrballeuml

Po ateumlhereuml cilat brinjeuml dhe cilat keumlnde ekzistojneuml Ccedilfareuml quajmeuml trekeumlndeumlsh brinjeumlndrysheumlm Ccedilfareuml quajmeuml trekeumlndeumlsh barakraheumls Ccedilfareuml quajmeuml trekeumlndeumlsh barabrinjeumls Kur trekeumlndeumlshi ABC mund ta ldquombulojeumlrdquo trekeumlndeumlshin A1B1C1 Trekeumlndeumlshi eumlshteuml keumlnddrejteuml Brinja meuml e gjateuml eumlshteuml peumlrballeuml

dhe brinja meuml e shkurteumlr eumlshteuml peumlrballeuml Sa keumlnde teuml ngushta ka trekeumlndeumlshi keumlndgjereuml Ccedilfareuml quajmeuml trekeumlndeumlsh keumlndpjerreumlt


wwwbedri-jakacom

424

IV 1 Trekeumlndeumlshin keumlndgjereuml zbeumlrtheni neuml dy trekeumlndeumlsha keumlnddrejteuml Trekeumlndeumlshin keumlndgjereuml zbeumlrtheni neuml gjashteuml trekeumlndeumlsha keumlnddrejteuml Teumlrhiqe larteumlsineuml mbi hipotenuzeuml Gjykoni peumlr trekeumlndeumlshat e formuar Tek trekeumlndeumlshi keumlnddrejteuml ldquozbulonirdquo shumeumln e dy keumlndeve teuml ngushta Ku qeumlndron dallimi midis trekeumlndeumlshit dhe sipeumlrfaqes trekeumlndeumlshe Si mund teuml vizatohet (konstruktohet) trekeumlndeumlshi barabrinjeumls neuml njeuml rreth Cileumlt trekeumlndeumlsha peumlrmbajneuml drejteumlza simetrie Janeuml dheumlneuml tri segmente teuml ndryshme A mund teuml ndodheuml qeuml ndeumlrtimi i

trekeumlndeumlshit eumlshteuml i pamundur Reflektimi Peseumlvargeumlshi

Trekeumlndeumlshi

i rregullt jo i rregullt

barabrinjeumls barakraheumls brinjeumlndrysheumlm Trekeumlndeumlshi eumlshteuml figureuml gjeometrike ∆ - shi Leksioni I2

bull Vijeumln e thyer ABCDE e peumlrbeumljneuml segmentet AB BC CD DE bull Vija e thyer e mbyllur e sajuar nga tre segmente quhet trekeumlndeumlsh

bull Pjesa e rrafshit e kufizuar nga segmentet AB BC dhe CA quhet trekeumlndeumlsh bull Bashkeumlsia e tre segmenteve qeuml bashkojneuml tre pika A B C teuml cilat nuk i peumlrkasin njeuml

drejteumlze quhet trekeumlndeumlsh bull Trekeumlndeumlshi simbolikisht sheumlnohet ∆ ABC Pikat A B C quhen kulmet e

trekeumlndeumlshit Segmentet AB BC dhe CA quhen brinjeumlt e trekeumlndeumlshit Keumlndet BAC CBA dhe ACB quhen keumlndet e trekeumlndeumlshit

bull Pjesa e rrafshit e kufizuar me ∆ - shin ABC quhet sipeumlrfaqe trekeumlndeumlshe II 2 bull Elementet e trekeumlndeumlshit janeuml kulmet (ABC) brinjeumlt (abc) keumlndet (αβγ)

Elemente e ldquoveccedilantardquo janeuml katetet (ab) hipotenuza (c) keumlndet e brendshme (αβγ) keumlndet e jashtme (α1β1γ1) larteumlsiteuml (ha hb hc) themeli a krahu b

bull Keumlndet e trekeumlndeumlshit mund teuml jeneuml i drejteuml i gjereuml dhe i ngushteuml bull Sipas madheumlsiseuml seuml keumlndeve trekeumlndeumlshi mund teuml jeteuml keumlnddrejteuml keumlndngushteuml

dhe keumlndgjereuml bull Sipas madheumlsiseuml (barabareumlsiseuml) seuml brinjeumlve trekeumlndeumlshi mund teuml jeteuml barabrinjeumls

barakraheumls dhe brinjeumlndrysheumlm bull Rrjedhojeuml e madheumlsiseuml seuml keumlndeve dhe madheumlsiseuml seuml brinjeumlve paraqet trekeumlndeumlshi

barakraheumls keumlnddrejteuml

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

425

III 2

bull Brinjeumlt e trekeumlndeumlshit janeuml veteumlm tre sosh Ato neuml mes vete dy nga dy janeuml brinjeuml fqinje

bull Trekeumlndeumlshi brinjeumlt e teuml cilit janeuml teuml madheumlsiseuml seuml ndryshme quhet trekeumlndeumlsh brinjeumlndrysheumlm

bull Trekeumlndeumlshi qeuml ka dy brinjeuml teuml barabarta quhet trekeumlndeumlsh barakraheumls Brinjeumlt e barabarta teuml ∆ - shit barakraheumls quhen kraheuml Brinja e treteuml quhet themel

bull Trekeumlndeumlshi brinjeumlt e teuml cilit janeuml teuml barabarta (teuml puthitshme) quhet trekeumlndeumlsh barabrinjeumls

bull Trekeumlndeumlshi qeuml ka njeuml keumlnd teuml drejteuml quhet ∆ -sh keumlnddrejteuml Brinja peumlrballeuml keumlndit teuml drejteuml quhet hipotenuzeuml ndeumlrsa dy brinjeumlt tjera quhen katete

bull Trekeumlndeumlshi qeuml ka njeuml keumlnd teuml gjereuml quhet trekeumlndeumlsh keumlndgjereuml bull Trekeumlndeumlshi qeuml i ka teuml gjitha keumlndet e ngushta quhet ∆ -sh keumlndngushteuml bull Trekeumlndeumlshat keumlndgjereuml dhe ata keumlndngushteuml quhen trekeumlndeumlsha keumlndpjerreumlt IV 2

bull ldquoPeumlrballeuml brinjeumls meuml teuml madhe neuml trekeumlndeumlsh gjendet keumlndi meuml i madhrdquo dhe anasjelleuml ldquoPeumlrballeuml keumlndit meuml teuml madh gjendet brinja meuml e madherdquo

bull ldquoPeumlrballeuml brinjeumls meuml teuml madhe neuml trekeumlndeumlsh gjendet keumlndi meuml i madhrdquo dhe e kundeumlrta ldquoPeumlrballeuml brinjeumls meuml teuml vogeumll neuml trekeumlndeumlsh gjendet keumlndi meuml i vogeumllrdquo

bull Hipotenuza e trekeumlndeumlshit keumlnddrejteuml eumlshteuml brinja meuml e gjateuml bull Shuma e dy brinjeumlve teuml njeuml trekeumlndeumlshi eumlshteuml meuml e madhe se brinja e treteuml bull Ndryshimi i dy brinjeumlve teuml njeuml trekeumlndeumlshi eumlshteuml meuml e vogeumll se brinja e treteuml bull Dy trekeumlndeumlsha janeuml teuml puthitsheumlm (kongruent) po qe se i kaneuml brinjeumlt peumlrkateumlse teuml

puthitshme bull Shuma e keumlndeve teuml brendshme teuml trekeumlndeumlshit eumlshteuml 180deg bull Shuma e keumlndeve teuml jashtme teuml trekeumlndeumlshit eumlshteuml 360deg

16 1 4 MODEL MEumlSIMI Leumlnda Matematikeuml Klasa IV Njeumlsia meumlsimore Ekuacionet e formeumls Mjetet meumlsimore Libri fletoret fleteuml A 4 markera tabela shkumeumlsi Fjaleumlt kyccedile Zgjidhje e barazimit (ekuacionit) problem algjebrik proveuml e zgjidhjes Objektivat Neuml fund teuml oreumls seuml meumlsimit nxeumlneumlsi teuml jeteuml i afteuml bull Teuml identifikojeuml teuml njohurat nga e panjohura (ndryshorja) bull Teuml gjykojeuml qeuml mbledhja dhe zbritja janeuml veprime aritmetike teuml kundeumlrta bull Teuml veccedilojeuml teuml panjohureumln neuml njeumlreumln aneuml teuml barazimit dhe teuml njohurat neuml aneumln

tjeteumlr teuml barazimit bull Teuml zgjidheuml ekuacione dhe teuml provojeuml sakteumlsineuml e zgjidhjes STRUKTURA E OREumlS E R R E Parashikim me nocione paraprake 5primeprimeprimeprime R Ndeumlrthurja II (Fleteuml eksperti) 30primeprimeprimeprime R Letra sekrete 10primeprimeprimeprime

x + a = b a - x = b x-a =b


wwwbedri-jakacom

426

Evokimi Neuml tabeleuml sheumlnohen teuml zeumlmeuml 12-teuml fjaleuml e njohura e panjohura ndryshorja mbledhori i zbritshmi zbriteumlsi ndryshimi shuma ana e majteuml ana e djathteuml zgjidhja prova e zgjidhjes Keumlrkojeuml nga nxeumlneumlsit (neuml grupe) teuml diskutojneuml rreth keumltyre fjaleumlve dhe teuml beumljneuml peumlrpjekje peumlr ldquoteuml zbuluarrdquo nocionin matematik i cili karakterizohet nga keumlto fjaleuml Nocionet matematike teuml ofruara nga nxeumlneumlsit sheumlnohen neuml tabeleuml ku secili grup e argumenton peumlrgjigjen e dheumlneuml Po qe se ndonjeumlri nga grupet ldquoe ka zbuluarrdquo emeumlrtimin e njeumlsiseuml meumlsimore (Ekuacionet e formeumls ) ateumlhereuml vazhdohet me pjeseumln tjeteumlr teuml oreumls Neuml teuml kundeumlrteumln meumlsuesi tregon njeumlsineuml meumlsimore Ekuacionet e formeumls x + a = b a - x = b dhe x - a = b Realizimi i kuptimit Meumlsuesi keumlrkon nga nxeumlneumlsit qeuml teuml numeumlrojneuml nga 1-3 duke krijuar neuml keumlteuml meumlnyreuml grupet familjare bull Nxeumlneumlsve me numeumlr 1 iu shpeumlrndan fleteumln e ekspertit Nr 1 Formax+a=b bull Nxeumlneumlsve me numeumlr 2 iu shpeumlrndan fleteumln e ekspertit Nr 2 Formaandashx=b bull Nxeumlneumlsve me numeumlr 3 iu shpeumlrndan fleteumln e ekspertit Nr 3 Formaxndasha=b Meqeneumlse ka shumeuml nxeumlneumls me numrat 12 dhe 3 meumlsuesi formon dy grupe eksperteumlsh me numeumlr 1 dy grupe eksperteumlsh me numeumlr 2 dhe dy grupe eksperteumlsh me numeumlr 3 Teuml gjitheuml nxeumlneumlsit udheumlzohen peumlr teuml lexuar meumlsimin neuml teumlreumlsi Ccedildo njeumlri nga ata duhet teuml marreuml gjitheuml kujdesin e nevojsheumlm peumlr pyetjet dhe detyrat e fleteumls seuml tyre teuml ekspertit Grupet e eksperteumlve shqyrtojneuml peumlrgjigjet e keumlrkuara dhe i diskutojneuml teuml njeumljtat Seuml fundi ata kthehen neuml grupet familjare Duke filluar nga eksperti me numeumlr 1 deri te ai me numeumlr 3 secili shpaloseuml peumlrgjigjet e debatuara neuml grupin e tij teuml eksperteumlve Fleteuml eksperti Nr 1 1deg Cila nga format x+a=b dhe a-x=b teuml duket ldquomeuml e kollajshmerdquo dhe peumlrse 2deg Formulo ligjeumlsorineuml Mbledhori i panjohur eumlshteuml baras 3deg Formulo shembuj me numra 4-shifror Provo zgjidhjen 4deg Ccedilfareuml mendoni a dhe b a mund trsquoi peumlrkasin edhe ndonjeuml tjeteumlr bashkeumlsi numrash Fleteuml eksperti Nr 2 1deg Cilat nga format a-x=b dhe x+a=b teuml duket ldquomeuml e ndeumlrlikuarrdquo dhe peumlrse 2deg Formulo ligjeumlsorineuml Zbriteumlsi eumlshteuml baras 3deg Formulo shembuj me numra 2-shifror Provo zgjidhjen 4deg Ccedilfareuml bashkeumlsie tjeteumlr numrash mund trsquoi peumlrkasin a dhe b Fleteuml eksperti Nr 3 1deg Krahaso formeumln xndasha=b dhe a-x=b Cila nga ato teuml veuml neuml veumlshtireumlsi Peumlrse 2deg Formulo ligjeumlsorineuml I zbritshmi eumlshteuml baras 3deg Formulo shembuj me numra 3-shifror Provo zgjidhjen 4deg Po qe se a dhe b do trsquoi peumlrkisnin gjithnjeuml bashkeumlsiseuml seuml numrave natyral komento ldquozgjidhjetrdquo

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

427

Reflektimi Shembull Peumlr ldquoletreumln sekreterdquo teuml meumlposhtme nga sirtari i juaj teuml nxirret ldquoccedileleumlsirdquo i leteumlrkeumlmbimit teuml fshehteuml x + 19 = 40 1

63 ndash x = 17 2

x + 13 = 15 3

x ndash 18 = 52 4

41 ndash x = 20 5

x ndash 25 = 35 6

x ndash 14 = 7 7

80 ndash x = 54 8

x +27 = 50 9

x ndash 98 = 22

Ccedileleumlsi i leteumlrkeumlmbimit teuml fshehteuml 2 26 60 23 46 21 70 O S P Euml M E R Peumlrpiqu teuml zbulosh ccedilfareuml eumlshteuml shkruar neuml keumlteuml leteumlr Zgjidhja (E MORE PESEuml)

Leksioni Zgjidhja e barazimeve teuml formeumls x + a = b a - x = b dhe x - a = b a) Forma x + a = b Zgjidhe ekuacionin x+a=b ku x eumlshteuml e panjohura (ndryshorja) ndeumlrsa a bisinN E panjohura eumlshteuml njeumlri mbledhor prandaj duke marreuml parasysh se mbledhja dhe zbritja janeuml veprime teuml kundeumlrta kemi x = b ndash a Nga x + a = b rrjedheuml x = b ndash a Mbledhori i panjohur eumlshteuml baras me ndryshimin e shumeumls dhe mbledhorit tjeteumlr bull Zgjidhje e barazimit x + 14 = 21

x + 14 = 21 x = 21 ndash 14 x = 7 eumlshteuml zgjidhje e barazimit

Peumlr trsquou bindur neuml keumlteuml beumljmeuml proveumln Neuml barazimin x + 14 = 21 neuml vend teuml x zeumlvendeumlsojmeuml x = 7 Neumlse fitohet barazia e sakteuml konstatojmeuml se zgjidhja eumlshteuml e peumlrpikteuml Prova x + 14 = 21 7 + 14 = 21 21 = 21

b) Forma a ndash x = b Zgjidhe ekuacionin a ndash x = b ku x eumlshteuml e panjohura ndeumlrsa a b isin N Meqeuml e panjohura x eumlshteuml zbriteumlsi ateumlhereuml Zbriteumlsi eumlshteuml baras me ndryshimin e teuml zbritshmit dhe ndryshimit Nga a ndash x = b rrjedheuml x = a ndash b bull Zgjidhje e barazimit 13 ndash x = 8 13 ndash x = 8 x = 13 ndash 8 x = 5 Provoje c) Forma x ndash a = b Zgjidhe ekuacionin x ndash a = b ku a b isin N Meqeuml I zbritshmi eumlshteuml baras me shumeumln e ndryshimit dhe zbriteumlsit pason


wwwbedri-jakacom

428

Nga x ndash a = b rrjedheuml x = b + a bull Zgjidhje e barazimit x ndash 28 = 9 x ndash 28 = 9 x = 28 + 9 x = 37 Provoje 16 1 5 MODEL MEumlSIMI NGA KURRIKULI SIPAS ZGJEDHJES Leumlnda Matematikeuml Klasa V Njeumlsia meumlsimore Sekretet e neumlnteumls Mjetet meumlsimore Fletoret stilolapsat tabela fleteuml A4 markera Fjaleumlt kyccedile Numri shifra shumeumlfishi i numrit pjeseumltimi pa mbetje shuma ndryshesa Objektivat Neuml fund teuml oreumls seuml meumlsimit nxeumlneumlsi teuml jeteuml i afteuml - ldquoTeuml zbulojeumlrdquo sekretet e numrit 9 - Teuml tregojeuml dhe interpretojeuml ldquomagjineumlrdquo e numrit 9 - Teuml provojeuml ldquosekretet e neumlnteumlsrdquo me numra teuml tjereuml natyraleuml STRUKTURA E OREumlS DYSHE E R R E Mendo Puno neuml dyshe Puno neuml kateumlrshe 10primeprimeprimeprime R Grupet e eksperteumlve 65primeprimeprimeprime R Klaster 15primeprimeprimeprime Evokimi Meumlsuesi beumln njeuml paraqitje teuml peumlrgjithshme teuml temeumls duke i futur nxeumlneumlsit neuml ldquoboteumln e bukur teuml numrit 9rdquo me mbledhje shumeumlzim dhe zbritje 1 1 1 1 1 1 1deg Je i shkeumllqyer po teuml gjesh shumeumln peumlr 8 sekonda 8 8 8 8 8 9 1 2 3 4 5 6 + 8 7 6 5 4 4 ------------ 2deg Neuml qofteuml se ke harruar teuml shumeumlzosh me 9 ldquothirr neuml ndihmeumlrdquo gishtat e duarve tuaja (Shih Fig 33 c) d) dhe Fig 34) 3deg Kryej shumeumlzimin 1 2 3 4 5 6 7 9 middot 9 neumlpeumlrmjet zbritjes 4deg a) Mendo njeuml numeumlr bull Gjeje shumeumln e shifrave teuml tij bull Zbrite shumeumln e shifrave teuml tij nga numri i menduar bull Ndryshesa e fituar a eumlshteuml shumeumlfish i numrit 9 b) Provo edhe me njeuml numeumlr tjeteumlr Realizimi i kuptimit Nxeumlneumlsit ndahen neuml grupe me nga kateumlr veta Eksperteumlt ldquohisen e normuarrdquo teuml tyre do ta ldquohulumtojneumlrdquo neuml koheumlzgjatje 7-8 min Peumlr teuml fituar njeuml ombrelleuml ldquo sigurieldquo ata diskutojneuml njeumlri me tjetrin si partnereuml Neuml ccedilastin kur eksperteumlt janeuml ldquomaturuarrdquo ata rikthehen neuml grupet e tyre teuml bashkeumlpunimit peumlr trsquoi meumlsuar teuml tjereumlt

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

429

Fleteuml eksperti Nr 1 1deg Shuma e shifrave teuml numrit 65133 eumlshteuml 18 Dimeuml se 18 pjeseumltohet pa mbetje nga numri 9 Edhe numri 65133 pjeseumltohet pa mbetje nga numri 9 Pra numri 65133 eumlshteuml shumeumlfish i numrit 9 2deg Shuma e shifrave teuml numrit 12699 eumlshteuml 27 Dimeuml se 27 M 9 peumlrkateumlsisht 27 eumlshteuml shumeumlfish i numrit 9 Pra numri 12699 eumlshteuml shumeumlfish i numrit 9 3deg Shuma e shifrave 387783 eumlshteuml 36 Dimeuml se 36 M 9 peumlrkateumlsisht 36 eumlshteuml shumeumlfish i numrit 9 Pra numri 387783 eumlshteuml shumeumlfish i numrit 9 Neuml peumlrgjitheumlsi Neumlse shuma e shifrave teuml njeuml numri eumlshteuml shumeumlfish i numrit 9 ateumlhereuml edhe veteuml numri eumlshteuml shumeumlfish i numrit 9 Fleteuml eksperti Nr 2 1deg Marrim njeuml numeumlr arbitrar teuml zeumlmeuml 346 Shuma e shifrave teuml tij eumlshteuml 13 Ndryshesa e numrit 346 me 13 eumlshteuml 333 i cili eumlshteuml shumeumlfish i numrit 9 (333 9 = 37)

2deg Marrim njeuml tjeteumlr numeumlr teuml zeumlmeuml 1234 Shuma e shifrave teuml tij eumlshteuml 10 Ndryshesa 1234 ndash 10 eumlshteuml baras 1224 Numri 1244 eumlshteuml shumeumlfish i numrit 9 (1224 9 = 136)

3deg Seuml fundi le teuml marrim numrin 5678 Shuma e shifrave teuml tij eumlshteuml 26 Ndryshesa 5678 ndash 26 eumlshteuml baras 5652 Numri 5652 eumlshteuml shumeumlfish i numrit 9 (5652 9 = 628)

Neuml peumlrgjitheumlsi Ndryshesa e njeuml numri arbitrar me shumeumln e shifrave teuml tij eumlshteuml shumeumlfish i numrit 9 Fleteuml eksperti Nr 3 1deg Shuma e shifrave teuml numrit 3425 eumlshteuml 14 Po ashtu shuma e shifrave teuml numrit 671 eumlshteuml 14 Pra shuma e shifrave teuml secilit numeumlr eumlshteuml e njeumljteuml Ndryshesa e keumltyre numrave eumlshteuml 3425 ndash 671 = 2754 por 2754 M 9 (2754 9 = 306)

2deg Shuma e shifrave teuml numrit 9867 eumlshteuml 30 Po ashtu shuma e shifrave teuml numrit 6879 eumlshteuml 30 Pra shuma e shifrave teuml secilit numeumlr eumlshteuml e njeumljteuml Ndryshesa e keumltyre numrave eumlshteuml 9867 ndash 6879 = 2988 por 2988 M 9 (2988 9 = 332)

3deg Shuma e shifrave teuml numrit 2114 eumlshteuml 8 Po ashtu shuma e shifrave teuml numrit 1421 eumlshteuml 8 Shuma e shifrave teuml secilit numeumlr eumlshteuml e njeumljteuml Ndryshesa e keumltyre numrave eumlshteuml 2114 ndash 1421 = 693 por 693 M 9 (693 9 = 77)

a) Shuma e shifrave teuml numrit 41111 eumlshteuml 8 po ashtu shuma e shifrave teuml numrit 2114 eumlshteuml 8 Shuma e shifrave teuml secilit eumlshteuml e njeumljteuml Ndryshesa e keumltyre numrave eumlshteuml 41111 ndash 2114 = 38997 por 38997 M 9 (38997 9 = 4333)

Neuml peumlrgjitheumlsi Ndryshesa e numrave me shumeuml shifrash teuml njeumljteuml eumlshteuml shumeumlfish i numrit 9


wwwbedri-jakacom

430

Reflektimi Neuml vend teuml peumlrfundimit bull Vrojto shembullin 95 ndash 59 = 36 por 36 = 4 middot 9 Nga ana tjeteumlr 9 ndash 5 = 4 Pra ndryshesa 95 ndash 59 eumlshteuml 4-fishi i 9-teumls bull Pa beumlreuml zbritjen e a) numrit 82 me 28 gjeje ndrysheseumln 82 ndash 28 b) numrit 75 me 57 gjeje ndrysheseumln 75 ndash 57 c) numrit 91 me 19 gjeje ndrysheseumln 91 ndash 19 bull Marrim njeuml numeumlr treshifror qeuml nuk mbaron me zero psh 357 Duke

ndeumlrruar shifrat neuml teuml kundeumlrt marrim 753 bull Ndryshesa e tyre eumlshteuml 753 ndash 357 = 396 por 396 = 44 middot 9 dmth 44-fishi i

numrit 9 Ndryshesa e shifreumls seuml pareuml me ateuml teuml treteuml e numrit 753 eumlshteuml 4 po keumlshtu ndryshesa e shifreumls teuml treteuml me ateuml teuml pareuml e numrit 357 eumlshteuml 4

bull Provoje me njeuml numeumlr tjeteumlr bull A mund teuml krijosh ndonjeuml lojeuml me keumlteuml veti bull Peumlrse 9-ta shpaloset me tiparet e njeuml numri teuml ccediluditsheumlm bull Valleuml a peumlrmban 9-ta edhe sekrete teuml tjera Klaster Sekretet e numrit 9

51-15=36 5-1=4 4-fish i 9-teumls

85-58=27 8-5=3 3-fish i 9-teumls

65133 6+5+1+3+3=18 shumeumlfish i 9-teumls 65133M 9

71-17=54 7-1=6 6-fish i 9-teumls

83-38=45 8-3=5 5-fish i 9-teumls

9 3425 671 3+4+2+5=14 6+7+1=14 3425-671=2754 shumeumlfish i 9-teumls 2754 M 9

346 3+4+6=13 346-13=333 shumeumlfish i 9-teumls

333 M 9

346 3+4+6=13 1+3=4 346-4=342 shumeumlfish i 9-teumls 342 M 9

987 789 987-789=198 shumeumlfish i 9-teumls

198 M 9

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

431

1616 MODEL MEumlSIMI Leumlnda Matematikeuml Klasa VI Njeumlsia meumlsimore Shumeumlfishi meuml i vogeumll i peumlrbashkeumlt Fjaleumlt kyccedile Shumeumlfish shumeumlfish i peumlrbashkeumlt shumeumlfishi meuml i vogeumll i peumlrbashkeumlt Objektivet Neuml fund teuml oreumls seuml meumlsimit nxeumlneumlsi teuml jeteuml i afteuml - Teuml dallojeuml shumeumlfishin meuml teuml vogeumll teuml peumlrbashkeumlt (shmvp) nga pjeseumltuesi meuml i madh i peumlrbashkeumlt (pmmp) - Teuml demonstrojeuml si gjendet shmvp i dy numrave dhe - Teuml peumlrcaktojeuml shmvp teuml ccedilfareumldo dy numrave STRUKTURA E OREumlS E R R E Brainstorming 5 primeprimeprimeprime R Kubimi 30primeprimeprimeprime R Zgjidhje detyrash 10primeprimeprimeprime Evokimi Fillimisht keumlrkojeuml nga nxeumlneumlsit qeuml teuml rikujtojneuml pjeseumltuesin meuml teuml madh teuml peumlrbashkeumlt (pmmp) teuml dy numrave Neumlpeumlrmjet puneumls neuml grupe ofrohen keumlto detyra P(312) P(416) P(1618) P(1080) P(3648) P(3654) P(4560) P(1824) ldquoKryetareumltrdquo e grupeve referojneuml peumlr rezultatet e fituara Gjateuml 5 minutave teuml para me gjaseuml ndonjeumlri nga grupet mund ta pranojeuml edhe detyreumln e dyteuml Neuml vazhdim nxeumlneumlsve iu komunikojmeuml objektivat e oreumls meumlsimore Realizimi i kuptimit Ccedildo grupi ia ofrojmeuml materialin e shkruar teuml cilin ldquoe peumlrkthejmeumlrdquo neumlpeumlrmjet interpretimit SHUMEumlFISHI MEuml I VOGEumlL I PEumlRBASHKEumlT Le trsquoi peumlrcaktojmeuml shumeumlfishat e peumlrbashkeumlt teuml numrave 2 dhe 3 Shumeumlfishat e numrit 2 = SH2= 24 6810 12 1416 18 20hellip Shumeumlfishat e numrit 3=SH3= 3 6 9 12 15 18 21242730 hellip Elementet e peumlrbashkeumlta teuml bashkeumlsive SH2 dhe SH3 SH2 cap SH3 = 612 18 hellip janeuml shumeumlfishe teuml peumlrbashkeumlta peumlr numrat 2 dhe 3 Numri meuml i vogeumll i keumlsaj ldquoprerjerdquo eumlshteuml 6 Ky numeumlr quheumlt shumeumlfish meuml i vogeumll i peumlrbashkeumlt i numrave 2 dhe 3 Simbolikisht shmvp(23)=6 (Ky fillim ore seuml bashku me fazeumln e Evokimit nuk do teuml duhej teuml keteuml koheumlzgjatje meuml shumeuml se 10 min) Vazhdojmeuml me teknikeumln e KUBIMIT duke ua doreumlzuar grupeve materialin e shkruar (Peumlr ccedildo ldquofaqe teuml kubitrdquo nuk do duhej teuml humbasim meuml shumeuml se 5 min 6bull5 = 30 min)


wwwbedri-jakacom

432

PEumlRSHKRUAJE Theumlniardquoa eumlshteuml shumeumlfish i numrit brdquo zeumlvendeumlsohet ldquoNumri a eumlshteuml i plotpjeseumltuesheumlm me brdquo Ccedildo numeumlr natyror ka meuml shumeuml se njeuml shumeumlfish Dy numra natyror kaneuml pafund shumeumlfisha teuml peumlrbashkeumlt Neuml mesin e tyre ldquomeuml i keumlrkuarirdquo eumlshteuml Shumeumlfishi meuml i vogeumll i peumlrbashkeumlt i cili shkurt sheumlnohet shmvp

KRAHASOJE Shumeumlfishi meuml i vogeumll i peumlrbashkeumlt i dy apo meuml shumeuml numrave shmvp(abc) eumlshteuml i ngjasheumlm me Pjeseumltuesin meuml teuml madh teuml peumlrbashkeumlt teuml dy apo meuml shumeuml numrave pmmp (abc) Kaneuml ngjashmeumlri neuml emeumlrtim ldquomeuml i vogeumll i peumlrbashkeumltrdquo dhe ldquomeuml i madh i peumlrbashkeumltrdquo por ldquopika takueserdquo kaneuml edhe neuml aplikim Fitohen duke i zbeumlrthyer numrat e peumlrbeumlreuml neuml faktoreuml teuml thjeshteuml Ndodheuml qeuml nxeumlneumlsit e ngateumlrrojneuml shmvp me pmmp Psh 90 135 315 3 90 2 135 5 315 5 90 135 315 5 30 45 105 3 45 3 27 3 63 3 18 27 63 3 10 15 35 5 15 3 9 3 21 3 6 9 21 3 2 3 7 5 5 3 3 7 7 2 3 7 2 1 1 1 1 3 7 3 1 7 7 1

pmmp (90135315) = 3middot3middot5 = 45 shmvp (90135315) = 2middot3sup3middot5middot7 = 1890 SHOQEumlROJE

ldquoShumeumlfishi meuml i vogeumll i peumlrbashkeumltrdquo eumlshteuml i shoqeumlruar me ldquokuptimin e shumeumlfishitrdquo ldquofaktorin e numrit natyrorrdquo ldquoplotpjeseumltueshmeumlrineuml e shumeumlsrdquo ldquoplotpjeseumltueshmeumlrineuml e prodhimitrdquo ldquoplotpjeseumltueshmeumlrineuml me 245 dhe 10rdquo ldquoplotpjeseumltueshmeumlrineuml me 3 dhe 9rdquo ldquozbeumlrthimin e numrit natyror neuml faktoreuml teuml thjeshteumlrdquo ldquopjeseumltuesin meuml teuml madh teuml peumlrbashkeumlt (pmmp)rdquo etj

ANALIZOJE Njeuml numeumlr ka meuml shumeuml se njeuml shumeumlfish Ndeumlr ata shumeumlfisha ekziston meuml i vogli Mund teuml formohet vargu i numrave ldquoShumeumlfisha teuml njeuml numrirdquo Ky varg vazhdon neuml pafund Elementet e tij quhen kufiza (aneumltareuml) teuml vargut Bashkeumlsia e shumeumlfishave teuml peumlrbashkeumlt teuml dy numrave paraqet prerjen e bashkeumlsive teuml atyre shumeumlfishave Kjo bashkeumlsi nuk e ka elementin meuml teuml madh (meqeneumlse eumlshteuml e pafundme) por e ka elementin meuml teuml vogeumll qeuml quhet Shumeumlfishi meuml i vogeumll i peumlrbashkeumlt i atyre dy numrave

ZBATOJE Shumeumlfishi meuml i vogeumll i peumlrbashkeumlt (shmvp) filloi teuml peumlrdoret qeuml neuml lashteumlsi ateumlhereuml kur filluan ldquombledhjet dhe zbritjet me thyesardquo Neuml ccedildo ldquokoheumlrdquo dhe neuml ccedildo ldquohapeumlsireumlrdquo aty dhe ateumlhereuml kur shpjegohen ldquooperacionet aritmetike me thyesardquo teuml nxeumlnit cileumlsor teuml shmvp eumlshteuml domosdoshmeumlri Aplikimin metodologjik teuml shmvp mund ta veumlshtroni tek ldquoDemonstrimi neuml meumlsimdheumlnien e matematikeumlsrdquo

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

433

ARSYETOJE Ccedildo personi neuml njeuml meumlnyreuml apo neuml njeuml tjeteumlr i rastiseuml peumlr teuml mbledhur apo peumlr teuml zbritur dy thyesa ldquojo teuml peumlrshtatshmerdquo E para e puneumls eumlshteuml teuml gjendet ldquoemeumlruesi i peumlrbashkeumltrdquo i cili implikon njohjen e ldquoshmvprdquo teuml atyre dy numrave Reflektimi Shpjegimi i keumltij leksioni eumlshteuml i reumlndeumlsiseuml seuml veccedilanteuml Peumlr keumlteuml arsye fundi i keumlsaj ore meumlsimore por edhe teuml ndonjeuml ore tjeteumlr neuml vazhdim do duhej teuml ndiqen neumlpeumlrmjet detyrave peumlr ushtrime numri i teuml cilave eumlshteuml i pafund Shembull Neuml bashkeumlsineuml 1421314251636875 caktoni numrat qeuml janeuml

a) shumeumlfisha teuml 7 b) shumeumlfisha teuml 17 c) shumeumlfisha teuml 8 d) shumeumlfisha teuml 3 e) shumeumlfisha teuml 9 dhe f) shumeumlfisha teuml 5

Shembull a) Caktoje shmvp (122030) = b) Caktoje shmvp (12157290) = Shembull Neuml njeuml karton neuml formeuml katrori duhet ngjitur disa pulla postare me gjateumlsi 60 mm dhe gjereumlsi 45 mm Peumlr trsquou mbeumlshtetur pulla teumlreumlsisht neuml karton caktoni gjateumlsineuml e brinjeumls meuml teuml vogeumll teuml mundshme teuml katrorit Interpretoje 1617 MODEL MEumlSIMI Leumlnda Matematikeuml Klasa VII Njeumlsia meumlsimore Kuptimi i funksionit Mjetet meumlsimore Materiali fleteuml A 4 markera fleteuml flipcharti Fjaleumlt kyccedile Funksioni pasqyrimi relacioni vlerat hyreumlse vlerat daleumlse meumlnyra e shoqeumlrimit dyshe teuml renditura Objektivat Neuml fund teuml oreumls seuml meumlsimit nxeumlneumlsi teuml jeteuml i afteuml

bull Teuml dallojeuml funksionin pasqyrimin dhe relacionin bull Teuml dallojeuml vlerat hyreumlse vlerat daleumlse domenin kodomenin

argumentin funksionin dhe meumlnyreumln e shoqeumlrimit bull Teuml vizatojeuml modelin e funksionit dhe modelin e relacionit bull Teuml caktojeuml vlereumln meuml teuml madhe dhe meuml teuml vogeumll teuml funksionit

STRUKTURA E OREumlS E R R E Stuhi mendimesh (brainstorming) 10primeprimeprimeprime R Di Dua teuml di Meumlsova 25primeprimeprimeprime R Zgjidhje detyrash 10primeprimeprimeprime Evokimi Keumlrkojmeuml nga nxeumlneumlsit qeuml teuml rikujtojneuml se ccedilfareuml ata dineuml lidhur me funksionet (Kuptimi intuitiv peumlr funksionin neumlpeumlrmjet ploteumlsimit teuml tabelave diagrameve shigjetare hellip zeumlneuml fill neuml arsimin fillor I ndash V)


wwwbedri-jakacom

434

- Ploteumlsimi alternativ i tabelave neumlpeumlrmjet ldquooperatoreumlverdquo ldquo+rdquo ldquondashldquo ldquobullrdquo etj shpie tek ideja e funksionit - Interpretimi i figurave gjeometrike eumlshteuml i thurur me ideneuml e funksionit bull Perimetri i trekeumlndeumlshit barabrinjeumls eumlshteuml funksion i gjateumlsiseuml seuml brinjeumls seuml tij P=3a bull Syprina e sipeumlrfaqes seuml katrorit eumlshteuml funksion i gjateumlsiseuml seuml brinjeumls seuml tij S=asup2 bull Numri i diagonaleve teuml shumeumlkeumlndeumlshit eumlshteuml funksion i numrit teuml brinjeumlve

teuml tij Dn = 2

)3( minusnn Shuma eumlshteuml funksion i teuml gjitheuml mbledhoreumlve

bull Prodhimi i dy numrave paraqet funksion bull Ndryshimi i dy numrave paraqet funksion teuml teuml zbritshmit dhe teuml zbriteumlsit bull Hereumlsi i dy numrave ndodhet neuml ldquovareumlsi funksionale lidhur me teuml

pjeseumltueshmin dhe pjeseumltuesin hellip Meqeneumlse nxeumlneumlsit kaneuml informacione lidhur me - numrin i cili mbetet i ldquopandryshuarrdquo (konstanteumln) - ldquonumrinrdquo i cili ldquondeumlrron sjelljen e tijrdquo (ndryshoren) - shprehje numerike dhe shprehje me ndryshore ateumlhereuml mund teuml aplikojmeuml teknikeumln e Brainstormingut

Peumlrderisa nxeumlneumlsit teuml shpalosin mendime e tyre me gjaseuml meumlsuesi peumlrgatiteuml njeuml tabeleuml me tre shtylla DI DUA TEuml DI dhe MEumlSOJ

Mendimet e tyre do teuml shkruhen neuml shtylleumln DI Meuml pas nxeumlneumlsve iu parashtrojmeuml pyetje Peumlr ccedilfareuml janeuml teuml interesuar teuml

dineuml meuml shumeuml lidhur me funksionet Po qe se nxeumlneumlsit hezitojneuml teuml beumljneuml pyetje meumlsuesi ka peumlr trsquoi nxitur neumlpeumlrmjet disa pyetjeve teuml parapeumlrgatitura Teuml gjitha pyetjet e parashtruara do teuml shkruhen neuml shtylleumln e dyteuml DUA TEuml DI DI DUA TEuml DI MEumlSOJ Lidhjen ndeumlrmjet dy bashkeumlsive me diagrame me shigjeta me tabela me shkronja Vareumlsineuml funksionale Ploteumlsimin alternativ teuml tabelave Operacionet aritmetike janeuml teuml thurura me ideneuml e funksionit Formulat neuml gjeometri janeuml teuml thurura me ideneuml e funksionit Funksionet trajtohen neuml shkenceuml teknologji industri statistikeuml sistemin bankar mjekeumlsi sizmologji hellip Funksionet e shoqeumlrojneuml njeriun gjateuml teumlreuml jeteumls seuml tij

Dallimin ndeumlrmjet funksionit pasqyrimit dhe relacionit Ccedilrsquoeumlshteuml Domeni (vlerat hyreumlse) Ccedilrsquoeumlshteuml Kodomeni ( vlerat daleumlse) Ccedilrsquoeumlshteuml Rregulla e shoqeumlrimit dyshet e renditura Ccedilfareuml paraqesin argumenti dhe funksioni Si caktohet vlera meuml e vogeumll dhe vlera meuml e madhe e funksionit Ccedilka quajmeuml Pasqyrim

Nocionet Pasqyrim dhe Funksion merren sinonime Nocioni Pasqyrim konsiderohet si etapeuml bashkeumlkoheumlse e zhvillimit teuml nocionit Funksion Ccedildo funksion eumlshteuml relacion Anasjell nuk vlen Ccedildo relacion nuk eumlshteuml funksion DomeniequivVlerat hyreumlseequivXequivargumentiequiv equiv ndryshore e pavarur Kodomeni equivVlerat daleumlseequivYequivFunksioniequiv equiv ndryshore e varur Rregulla e shoqeumlrimit paraqet shqyrtimin e lidhjes ndeumlrmjet vlerave hyreumlse x dhe atyre daleumlse y Ligjeumlsoria ndeumlrmjet seuml cileumls elementet e njeuml bashkeumlsie i shoqeumlrohen bashkeumlsiseuml tjeteumlr quhet Pasqyrim

Realizimi i kuptimit Nxeumlneumlsit udheumlzohen peumlr ta lexuar materialin me ndalesa Fillimisht ata do ta lexojneuml pjeseumln e pareuml neuml peumlrpjekje peumlr trsquoi gjetur peumlrgjigjet neuml pyetjet e parashtruara

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

435

Peumlrgjigjet e gjetura do trsquoi shkruajneuml neuml shtylleumln e treteuml meumlsoj Neuml keumlteuml shtylleuml kaneuml vend peumlr trsquou sheumlnuar edhe informacione teuml tjera ldquoteuml panjohurardquo deri ateumlhereuml (peumlr nxeumlneumlsin) peumlr teuml cilat nuk janeuml parashtruar pyetje Neuml pjeseumln e pareuml lexojmeuml Besa e Ceni me teuml birin Arianitin shkojneuml peumlr viziteuml tek ccedilifti bashkeumlshortor fqinj (Dardani dhe Emira) Gjateuml peumlrsheumlndetjes kemi keumlteuml shtreumlngim duarsh

Fig 176 PRODHIM DEKARTIAN --- M X N = (ad)(ae)(bd)(be)(cd)(ce) DYSHE TEuml REumlNDITURA DETYREuml A paraqesin FUNKSIONE bashkeumlsiteuml e DYSHEVE TEuml RENDITURA

a) f = (12)(34)(-48)(0-5) b) g = (13)(-43)(93)(02) c) h = (30)(29)(3-1)(-17)

13-40

248-5

32

1-490

0997

3

2-1

fg h

a) b) c)

-1

Fig 177

f eumlshteuml funksion peumlr faktin qeuml nuk ekzistojneuml dyshe teuml renditura qeuml kaneuml komponentin e pareuml teuml njeumljteuml

g eumlshteuml funksion me arsyetim teuml njeumljteuml Neuml bashkeumlsineuml g janeuml 3 dyshe teuml renditura qeuml kaneuml kompo-nentin e dyteuml teuml njeumljteuml por kjo nuk prisheuml puneuml neuml peumlrkufizimin e funksionit

h nuk eumlshteuml funksion meqeneumlse dyshet e renditura (30) dhe (3-1) i kaneuml komponenteumlt e para teuml njeumljta Ndeumlrkaq kompo-nenteumlt e dyta teuml ndryshme


wwwbedri-jakacom

436

Meuml pas nxeumlneumlsit do teuml vazhdojneuml leximin e pjeseumls seuml dyteuml Duke mbajtur sheumlnime nga fjala-neuml fjaleuml nga rreshti-neuml rresht ata do teuml beumljneuml shqyrtimin analitik teuml materialit neuml teumlreumlsi Njohuriteuml e vjelura gjateuml leximit teuml pjeseumls seuml dyteuml por edhe peumlrgjigjet e gjetura neuml pyetjet e parashtruara do teuml shkruhen neuml vazhdim teuml shtylleumls MEumlSOJ Reflektimi Gjateuml keumlsaj faze ofrojmeuml dhe zgjidhim disa detyra teuml zeumlmeuml 1 Eumlshteuml dheumlneuml bashkeumlsia A = Londra Berlini Stambolli Parisi Moska Caktoni funksionin f teuml bashkeumlsiseuml A neuml bashkeumlsineuml e paramenduar B neuml meumlnyreuml qeuml ccedildo kryeqyteti trsquoi korrespondojeuml shteti teuml cilit i peumlrket Shpalose asociacionin eventual 2 Formuloje njeuml detyreuml teuml ngjashme 3 Po qe se f(bilbili) = zogu caktoje neuml meumlnyreuml natyrore funksionin e peumlrkufizuar f peumlr f (delja) = f(trofta) = f(pisha) = Keumlteuml funksion paraqite neuml diagram 4 Formuloje vareumlsineuml funksionale ndeumlrmjet ldquopyetjesrdquo dhe ldquopeumlrgjigjesrdquo Ilustroje me shembuj 5 Peumlr ccedilfareuml veccedilohen diagramet e funksionit nga diagramet e relacionit Po qe se ka mbetur ndonjeuml pyetje seuml cileumls nuk mund tlsquoi japim peumlrgjigje (peumlr momentin) ateumlhereuml nxeumlneumlsit udheumlzohen peumlr trsquoi keumlrkuar dhe gjetur po ato neuml burime teuml tjera informacioni 1618 MODEL MEumlSIMI Leumlnda Matematikeuml Kl VII Njeumlsia meumlsimore Rregulla e thjeshteuml e treshit Mjetet meumlsimore Materiali fleta A 4 markera Fjaleuml kyccedile Rregulla e thjeshteuml e treshit pohim (rresht) i kushteumlzuar pyeteumls madheumlsi teuml drejta teuml zhdrejta peumlrpjeseumltimore shigjetat Objektivat Neuml fund teuml oreumls seuml meumlsimit nxeumlneumlsi teuml jeteuml i afteuml - Teuml skicojeuml skemeumln e peumlrpikteuml teuml Rregulleumls seuml treshit - Teuml dallojeuml madheumlsiteuml e drejta dhe teuml zhdrejta peumlrpjeseumltimore - Teuml dallojeuml Rregulleumln e thjeshteuml nga Rregulla e peumlrbeumlreuml e treshit dhe - Teuml formulojeuml dhe zgjidheuml detyra lidhur me Rregulleumln e thjeshteuml e treshit STRUKTURA E OREumlS E R R E MINI LEKSION 5primeprimeprimeprime R MEumlSIMDHEumlNIE E NDEumlRSJELLEuml 30primeprimeprimeprime R KLASTER 10primeprimeprimeprime Evokimi Nxeumlneumlsit tashmeuml kaneuml informacion lidhur me bull Numrat peumlrpjeseumltimoreuml bull Llogaritja e teuml kateumlrteumls peumlrpjeseumltimore dhe bull Madheumlsiteuml e drejta peumlrpjeseumltimore Aplikojmeuml minileksionin 5-minutash

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

437

Peumlr trsquoi krahasuar madheumlsiteuml (e matshme me njeumlsi matjeje teuml njeumljteuml) neuml praktikeuml peumlrdoren peumlrpjeseumltimet (teuml vizatuarit e planeve teuml hartave teuml caktuarit e peumlrbeumlrjes seuml legurave teuml tretjeve farmaceutike teuml shit-blerjeve teuml puneumlve fizike qeuml presin ekzekutim hellip) Neuml tekstin e njeuml detyre (teuml zeumlmeuml Nga 100 toneuml xehe fitohen 18 toneuml hekur Sa toneuml hekur fitohen nga 36 toneuml xehe -teuml cileumln nuk do ta zgjidhim tani) le teuml jeneuml dheumlneuml madheumlsi teuml drejta peumlrpjeseumltimore tri prej teuml cilave janeuml teuml njohura Keumlrkohet teuml gjendet e kateumlrta peumlrpjeseumltimore Peumlr ta llogaritur (si veteumltima) kjo shpie neuml aplikimin e teuml ashtuquajtureumls Rregulla e thjeshteuml e treshit Realizimi i kuptimit Meumlsuesi me synim qeuml nxeumlneumlsit e tij teuml provojneuml ldquorolin e meumlsuesitrdquo atyre peumlr ldquoDetyreuml shteumlpierdquo iu ka dheumlneuml ldquonxeumlnienrdquo Rregulla e thjeshteuml e treshit Meumlsuesi neuml keumlteuml fazeuml teuml oreumls do teuml jeteuml drejtues i debatit dhe i sqarimeve Ai para nxeumlneumlsve mund teuml shpaloseuml artin e teuml pyeturit me synim qeuml teuml sqarojeuml edhe ndonjeuml ldquodromceuml peumlrmbajtjeje teuml erreumltrdquo ldquoStafeteumlnrdquo peumlr meumlsimdheumlnie do ta marreuml nxeumlneumlsi dhe kjo do teuml peumlrcjelleumlt nga nxeumlneumlsi tek nxeumlneumlsi Fillimisht ofrohet materiali Shembulli 1 Peumlr 7 kg mjalteuml janeuml paguar 21euro

a) Sa euro nevojiten peumlr teuml paguar 12 kg mjalteuml b) Sa kg mjalteuml mund teuml blihen me 144 euro

Detyra neumln a) mund teuml zgjidhet neuml dy meumlnyra Meumlnyreumln e pareuml e zgjidheuml dhe e interpreton njeumlri nxeumlneumls ndeumlrkaq meumlnyreumln e dyteuml e zgjidhur neumlpeumlrmjet skemeumls 7 kg 21 euro 12kg x euro e interpreton njeuml tjeteumlr nxeumlneumls Nxeumlneumlsi i treteuml do teuml duhej teuml dijeuml teuml parashtrojeuml disa pyetje - Cili eumlshteuml rreshti i kushteumlzuar - Peumlrse quhet rresht i kushteumlzuar - Po rreshti pyeteumls - Ccedilfareuml dallimi ekziston midis rreshtit teuml kushteumlzuar dhe pohimit teuml kushteumlzuar - Ccedilfareuml paraqet pohimi pyeteumls - A mund teuml zgjidhen detyrat pa shigjeta - Po qe se numri i kg teuml mjalteumls rritet ccedilfareuml do ndodheuml me pageseumln neuml euro - A mund trsquoi ndeumlrrojneuml vendet madheumlsiteuml xeuro dhe 12 kg - Peumlrse madheumlsiteuml janeuml neuml peumlrpjeseumltim teuml drejteuml - Orientimi i shigjetave a mund teuml jeteuml me kah tjeteumlr - Kur ndodheuml kjo - Me ateuml rast madheumlsiteuml neuml ccedilfareuml peumlrpjeseumltimi ndodhen - A mund teuml formulosh ndonjeuml detyreuml praktike teuml keumlsaj ldquonatyrerdquo - Peumlrse quhet Rregull


wwwbedri-jakacom

438

- Po peumlrse e treshit - Peumlrse quhet e thjeshteuml - Meqeneumlse pyetja e fundit eumlshteuml sugjestive ccedilfareuml mund teuml shtosh - Formuloje njeuml detyreuml (i ndihmuar nga imagjinata ) - Lidhur me detyreumln e meumlsipeumlrme a kaneuml kuptim skemat A] X euro 12 kg B] 12 kg X euro C] 7 kg 21 21euro 7 kg 7 kg 21 euro 12 kg X euro - Cilat skema janeuml teuml gabueshme Peumlrse - ldquoPeumlrkthejerdquo tekstin e nevojsheumlm peumlr teuml zgjidhur detyreumln neumlpeumlrmjet ldquoRregulleumls seuml treshitrdquo Peumlrdore fjaleumln ldquomeuml shumeumlrdquo - Peumlr teuml justifikuar (pa)sakteumlsineuml e zgjidhjes le teuml peumlrdoret fjala ldquomeuml pakrdquo Kuptohet vetiu neuml puneumln e nxeumlneumlsve nuk peumlrjashtohet asistimi ldquominiaturalrdquo i drejtpeumlrdrejt i meumlsuesit me ndonjeumlreumln nga pyetjet e parashtruara Njeuml tjeteumlr nxeumlneumls ka peumlr ta zgjidhur detyreumln neumln b) Pasi ta keteuml formuar skemeumln 7 kg 21 euro X kg 144 euro nga shokeumlt e tij (ta zeumlmeuml) pasojneuml keumlto pyetje - Peumlrse pohimi (rreshti) i kushteumlzuar mbetet i pandryshuar - Peumlrse x nuk eumlshteuml shkruar peumlrfundi numrit 21 - Zakonisht ldquoshigjeta e pareumlrdquo neuml ccedilfareuml kahe sheumlnohet - Po shigjeta neuml shtylleumln e dyteuml peumlrse nuk eumlshteuml sheumlnuar me kahe teposhteuml Shembulli 2 Njeuml keumlmbeumlsor peumlr 8 oreuml ka ecur 48 km sa oreuml i nevojiten peumlr teuml ecur 108 km Analizeuml Janeuml dheumlneuml neuml km udha e kaluar (48) dhe udha qeuml do teuml kalohet (108) Keumlrkohet koha e shpenzuar neuml oreuml I Duhet llogaritur sa koheuml i duhet keumlmbeumlsorit peumlr teuml kaluar 1 km

Keumlmbeumlsori 1 km do ta kalojeuml peumlr 48

8=

6

1oreuml

Meuml pas 108 km do teuml kalojeuml peumlr 108 km middot 6

1=

6

108= 18 oreuml

II 8 oreuml 48 km x 8 = 108 48 X 108 km 48 x = 108 middot 8

x = 108 48

8=

6

108 = 18 oreuml

Ccedilfareuml do ndodheuml po qe se ballafaqohemi me njeuml detyreuml ldquopaksa ndrysherdquo Shembulli 3 Peseuml puneumltoreuml e kryejneuml njeuml puneuml peumlr 6 diteuml Peumlr sa diteuml do ta kryejneuml teuml njeumljteumln puneuml tre puneumltoreuml 5 puneumltoreuml 6 diteuml 3 puneumltoreuml x diteuml - Peumlrse xhaxhi autor nuk beumln fjaleuml peumlr detyrat e keumlsaj ldquonatyrerdquo - Po qe se keumlsaj radhe nuk do teuml meumlsojmeuml peumlr zgjidhjen e detyrave teuml keumlsaj ldquonatyrerdquo cili do jeteuml ldquorasti tjeteumlr meuml i afeumlrmrdquo peumlr trsquoi nxeumlneuml po keumlto - Provoje vendosjen e shigjetave si keni zbatuar deri tani

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

439

- Ccedilfareuml keni fituar - Analizoje peumlrse keni fituar keumlteuml rezultat - Ku ndodhet gabimi tek dheumlnia e detyreumls apo tek zgjidhja e saj - Ateumlhereuml keumlto janeuml madheumlsi _____________ peumlrpjeseumltimore - ldquoPeumlrkthejerdquo me fjalorin teumlnd ccedilfareuml do teuml thoteuml kjo - Neuml teuml tilla raste a mund teuml zbatohet Rregulla e treshit - Si do teuml dukej skema e zgjidhjes Neuml peumlrmbyllje le teuml jeteuml dheumlneuml 16 puneumltoreuml do ta kryejneuml njeuml puneuml peumlr 25 diteuml duke punuar 6 oreuml neuml diteuml Sa puneumltoreuml do ta kryejneuml puneumln e njeumljteuml peumlr 20 diteuml duke punuar 8 oreuml neuml diteuml - Zgjidhjen e keumlsaj detyre praktike a do teuml duhej ta dini - A mund teuml zgjidhet neumlpeumlrmjet Rregulleumls seuml treshit - Cila fjaleuml do teuml duhej trsquoi shtohet keumlsaj rregulle - Puneumltoreumlt dhe diteumlt e puneumls janeuml madheumlsi _____________ peumlrpjeseumltimore - Interpretoje Neuml fund theksojmeuml Ky leksion do teuml shtjerre neuml ndonjeumlreumln nga shkalleumlt e shkollimit Reflektimi Nxeumlneumlsit neumlpeumlrmjet puneumls neuml ldquotresherdquo do ta punojneuml nga njeuml Klaster

Numrat peumlrpjestimoreuml

E kateumlrta peumlrpjestimore

Madheumlsi teuml drejtapeumlrpjestimore

Madheumlsi teuml zhdrejtapeumlrpjestimore

Me kahe teuml kundeumlrt

Shigjeta

Me kahe teuml njeumljteuml

Pohimi i kushteumlzuar Pohimi i pakushteumlzuar

Rregulla e thjeshteuml e treshit

Rregulla e zgjeruar e treshit

Rreshti i kushteumlzuar Rreshti pyeteumls

Fig 178 16 1 9 MODEL MEumlSIMI Leumlnda Matematikeuml Kl VIII Njeumlsia meumlsimore Kateumlrkeumlndeumlshi Mjetet meumlsimore Materiali fleteuml A 4 markera fleteuml flip charti Fjaleumlt kyccedile kateumlrkeumlndeumlshi paralelogrami katrori rombi drejt keumlndeumlshi romboidi konstruksioni


wwwbedri-jakacom

440

Objektivet Neuml fund teuml oreumls seuml meumlsimit nxeumlneumlsi teuml jeteuml i afteuml - Teuml dallojeuml kateumlrkeumlndeumlshin nga paralelogrami - Teuml llogariteuml shumeumln e keumlndeve teuml brendshme teuml kateumlrkeumlndeumlshit - Teuml llogariteuml shumeumln e keumlndeve teuml jashtme teuml kateumlrkeumlndeumlshit - Teuml klasifikojeuml ndarjen e paralelogrameve sipas keumlndeve dhe sipas barabareumlsiseuml seuml brinjeumlve - Teuml konstruktojeuml paralelogramin po qe se janeuml dheumlneuml elementet peumlrkateumlse

STRUKTURA E OREumlS E R R E Brainstorming 5primeprimeprimeprime R Di Dua teuml di Meumlsoj 30primeprimeprimeprime R Klaster 10primeprimeprimeprime Evokimi Neuml keumlteuml fazeuml teuml oreumls meumlsimore keumlrkojmeuml qeuml njeuml nxeumlneumls teuml vizatojeuml njeuml kateumlrkeumlndeumlsh neuml tabeleuml Nxeumlneumlsit tjereuml do ta veumlshtrojneuml vizatimin neuml peumlrpjekje peumlr teuml evidentuar teuml gjitheuml elementet qeuml e ldquostolisinrdquo kateumlrkeumlndeumlshin (brinjeumlt kulmet keumlndet diagonalet drejteumlzat e simetriseuml hellip) Teuml gjitha teuml dheumlnat e tyre teuml cilat i dineuml apo gjykojneuml se i dineuml sheumlnohen neuml shtylleumln DI teuml ldquotabeleumls me tre shtyllardquo DI DUA TEuml DI MEumlSOJ Si zakonisht nxeumlneumlsve iu parashtrojmeuml pyetje Peumlr ccedilfareuml janeuml teuml interesuar teuml dineuml meuml shumeuml lidhur me kateumlrkeumlndeumlshat Pyetjet e parashtruara do teuml shkruhen neuml shtylleumln e dyteuml DUA TEuml DI DI DUA TEuml DI MEumlSOJ brinjeumltkulmet keumlndet e brendshme keumlndet e jashtme diagonaletperimetrin rdquozbeumlrthiminrdquo e kateumlrkeumlndeumlshit neuml dy trekeumlndeumlsha disa nga kateumlrkeumlndeuml- -shat kaneuml drejteumlza simetrie brinjeumlt e peumlrballshme brinjeumlt paralele brinjeumlt pingule brinjeumlt e barabarta keumlndet e barabarta gjateumlsi diagonalesh teuml barabarta diagonale ndeumlrsjelleuml pingule

Dallimi ndeumlrmjet kateumlrkeumlndeumlshit dhe sipeumlrfaqes kateumlrkeumlndeumlshe Shumeumln e keumlndeve teuml brendshme teuml kateumlrkeumlndeumlshit Shumeumln e keumlndeve teuml peumlrbrinjshme tek kateumlrkeumlndeumlshi Shumeumln e keumlndeve teuml jashtme teuml kateumlrkeumlndeumlshit Ccedilrsquoeumlshteuml paralelogrami Si ndahen paralelogramet Cileumlt prej paralelogrameve i kaneuml diagonalet me gjateumlsi teuml barabarteuml Cileumlt paralelograme veccedilohen me diagonale ndeumlrsjelleuml pingule Diagonalet e paralelogrameve priten Ccedilfareuml mund teuml thuash peumlr madheumlsineuml e tyre Cileumlt nga paralelogramet kaneuml drejteumlza simetrie dhe sa eumlshteuml numri i tyre

Sipeumlrfaqen kateumlrkeumlndeumlshe e peumlrbeumljneuml pikat e njeuml kateumlrkeumlndeumlshi dhe pikat brenda tij Shuma e keumlndeve teuml brendshme teuml kateumlrkeumlndeumlshit eumlshteuml e barabarteuml me 360˚ Shuma e keumlndeve teuml peumlrbrinjsheumlm eumlshteuml 180˚ Shuma e keumlndeve teuml jashtme teuml kateumlrkeumlndeumlshit eumlshteuml 360˚ Kateumlrkeumlndeumlshi i cili ka brinjeumlt e peumlrballshme paralele quhet paralelogram Paralelogramet ndahen sipas keumlndeve neuml keumlnddrejteuml (katrori dhe drejtkeumlndeumlshi) dhe neuml keumlndpjerreumlt (rombi dhe romboidi) dhe sipas barabareumlsiseuml seuml brinjeumlve neuml barabrinjeumls (katrori dhe rombi) dhe neuml brinjeumlndrysheumlm (drejtkeumlndeumlshi dhe romboidi) Diagonalet me gjateumlsi teuml barabarteuml i kaneuml katrori dhe drejtkeumlndeumlshi Diagonalet e katrorit dhe teuml rombit janeuml ndeumlrsjelleuml pingule Diagonalet e peumlrgjysmojneuml njeumlra- tjetreumln Katrori(4) Drejtkeumlndeumlshi(2) Rombi(2) Romboidi(asnjeuml)

Realizimi i kuptimit

Nxeumlneumlsit fillojneuml peumlr ta lexuar materialin me ndalesa(klVlll-2005 f66) neuml peumlrpjekje peumlr trsquoi ldquozbuluarrdquo peumlrgjigjet neuml pyetjet e parashtruara Udheumlzohen qeuml gjateuml leximit trsquoi peumlrdorin shenjat INSERT ( radic minus+) Pasi teuml mbarojneuml seuml lexuari do beumljneuml peumlrpjekje peumlr trsquoiu peumlrgjigjur pyetjeve teuml ngritura neuml shtylleumln DUA TEuml DI Peumlrgjigjet e vjela (duke qeneuml teuml bindur neuml sakteumlsineuml e tyre) do trsquoi shkruajneuml neuml shtylleumln MEumlSOJ

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441

Nxeumlneumlsit e prapambetur mund teuml konsolidohen neumlpeumlrmjet puneumls neuml tandem apo neuml grupe teuml vogla Peumlr disa nga pyetjet e parashtruara mund teuml merren peumlrgjigje jo teuml plota apo jo teuml sakta Peumlr ato mund teuml debatohet duke i ploteumlsuar dhe peumlrmireumlsuar Reflektimi Neuml peumlrmbyllje teuml oreumls meumlsimore nxeumlneumlsit do teuml punojneuml neuml grupe nga njeuml Klaster me nocionin kateumlrkeumlndeumlsh

trekeumlndeumlshi brinjeumlndrysheumlm

trekeumlndeumlshi barakraheumls

trekeumlndeumlshi barabrinjeumls

trekeumlndeumlshi katrori

kulmi

romboidi

rombi

drejteumlza simetrie

KATEumlRKEumlNDEumlSHI

drejtkeumlndeumlshi

peseumlkeumlndeumlshi

gjashteumlkeumlndeumlshi

shumeumlkeumlndeumlshi

keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179

Peumlr detyreuml shteumlpie nxeumlneumlsit do ta shkruajneuml njeuml peseumlvargeumlsh peumlr kateumlrkeumlndeumlshin KATEumlRKEumlNDEumlSHI (KEumlNDDREJTEuml) BARABRINJEumlS BRINJEumlNDRYSHEumlM VIZATOHET KONSTRUKTOHET LLOGARITET KATERKEumlNDEumlSHI EumlSHTEuml FIGUREuml GJEOMETRIKE DREJTKEumlNDEumlSHI Leksioni 1 Vija e thyer e mbyllur poligonale e cila peumlrbeumlhet prej kateumlr segmenteve quhet kateumlrkeumlndeumlsh 2 Kateumlrkeumlndeumlsh quhet shumeumlkeumlndeumlshi qeuml ka kateumlr keumlnde 3 Shumeumlkeumlndeumlshi i cili paraqet unionin e kateumlr segmenteve quhet kateumlrkeumlndeumlsh 4 Shumeumlkeumlndeumlshi ABCD numri i brinjeumlve (kulmeve) i teuml cilit eumlshteuml kateumlr quhet

kateumlrkeumlndeumlsh Pikat A B C D quhen kulme teuml kateumlrkeumlndeumlshit Segmentet AB

BC CD dhe DA quhen brinjeuml Brinjeumlt mes vete mund teuml jeneuml teuml peumlrballeumlt (po qe se nuk kaneuml asnjeuml pikeuml teuml peumlrbashkeumlt AB dhe DC) dhe fqinje (po qe se kaneuml njeuml kulm teuml peumlrbashkeumlt AB dhe BC)


wwwbedri-jakacom

442

5 Keumlndet e kateumlrkeumlndeumlshit mund teuml jeneuml teuml peumlrballeumlt (α dhe γ β dhe δ) dhe fqinje (α dhe β α dhe δ β dhe γ β dhe α ) 6 Segmenti qeuml bashkon dy kulme jo fqinje teuml kateumlrkeumlndeumlshit quhet diagonale (AC BD) 7 Pjesa e rrafshit e kufizuar me kateumlrkeumlndeumlshin ABCD quhet sipeumlrfaqe kateumlrkeumlndeumlshe 8 Ccedildo kateumlrkeumlndeumlsh mund teuml paraqitet si union i dy trekeumlndeumlshave Peumlrfundojmeuml se shuma e keumlndeve teuml brendshme teuml kateumlrkeumlndeumlshit eumlshteuml baras α + β + γ + δ = 2 middot 180deg = 360deg 9 Trapezoid quhet kateumlrkeumlndeumlshi qeuml nuk ka asnjeuml paleuml brinjeuml paralele 10 Kateumlrkeumlndeumlshi qeuml ka dy paleuml brinjeuml paralele quhet paralelogram 11 Brinjeumlt e peumlrballeumlt teuml paralelogramit kaneuml gjateumlsi teuml barabarta 12 Shuma e dy keumlndeve teuml brendshme fqinje teuml paralelogramit eumlshteuml 180deg Peumlrse 13 Keumlndet e peumlrballeumlt teuml paralelogramit janeuml teuml barabarta (α = γ β = δ) ndeumlrsa keumlndet fqinje janeuml suplementare (α + β = 180deg β + γ = 180deg γ + δ = 180deg δ + α = 180deg) 14 Diagonalet e paralelogramit ndeumlrmjet veti peumlrgjysmohen 15 Pikeumlprerje e diagonaleve tek paralelogrami paraqet qendeumlr simetrie 16 Paralelogramet sipas krahasimit teuml brinjeumlve ndahen neuml barabrinjeumls (katrori rombi) dhe brinjeumlndrysheumlm (romboidi drejtkeumlndeumlshi) Por ata mund teuml ndahen edhe sipas keumlndeve neuml keumlnddrejteuml (katrori drejtkeumlndeumlshi) dhe keumlndpjerreumlt (rombi romboidi) 17 Brinjeumlt fqinje teuml paralelogramit mund teuml jeneuml teuml barabarta me keumlteuml edhe teuml gjitha brinjeumlt e tij janeuml teuml barabarta (katrori rombi) 18 Njeuml keumlnd i paralelogramit mund teuml jeteuml i drejteuml me keumlteuml edhe teuml gjitha keumlndet e brendshme teuml tij janeuml teuml drejteuml (katrori drejtkeumlndeumlshi) 19 Drejtkeumlndeumlshi eumlshteuml paralelogram keumlndet e brendshme teuml teuml cilit janeuml teuml drejta 20 Katrori eumlshteuml drejtkeumlndeumlsh brinjeumlt e teuml cilit janeuml teuml puthitshme (kongruente) 21 Katrori eumlshteuml drejtkeumlndeumlsh barabrinjeumls 22 Paralelogrami brinjeumlt fqinje teuml teuml cilit nuk janeuml teuml barabarta dhe nuk peumlrmban asnjeuml keumlnd teuml drejteuml quhet romboid 23 Katrori dhe rombi janeuml paralelograme me diagonale ndeumlrsjelltazi pingule 24 Diagonalet e katrorit janeuml kongruente ndeumlrsjelltazi pingule dhe peumlrgjysmojneuml njeumlra-tjetreumln 25 Diagonalet e drejtkeumlndeumlshit janeuml kongruente ndeumlrmjet tyre 26 Diagonalet e paralelogrameve keumlnddrejteuml janeuml me gjateumlsi teuml barabarteuml 27 Drejteumlza simetrie kaneuml keumlto paralelograme katrori (4) drejtkeumlndeumlshi (2) rombi (2) romboidi (asnjeuml) 28 Cilat theumlnie janeuml pohime bull Ccedildo katror eumlshteuml drejtkeumlndeumlsh bull Ccedildo drejtkeumlndeumlsh eumlshteuml paralelogram bull Ccedildo paralelogram eumlshteuml trapez bull Ccedildo trapez eumlshteuml kateumlrkeumlndeumlsh 29 Katrori mund teuml konstruktohet po qe se eumlshteuml dheumlneuml gjateumlsia e brinjeumls seuml tij ose gjateumlsia e diagonales 30 Rombi mund teuml konstruktohet po qe se janeuml dheumlneuml gjateumlsia e brinjeumls seuml tij dhe njeumlri keumlnd i brendsheumlm ose gjateumlsiteuml e diagonaleve 31 Drejtkeumlndeumlshi mund teuml konstruktohet po qe se janeuml dheumlneuml gjateumlsiteuml e brinjeumlve teuml tij

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443

32 Romboidi mund teuml konstruktohet po qe se janeuml dheumlneuml gjateumlsiteuml e brinjeumlve teuml tij dhe njeumlri keumlnd i brendsheumlm 33 Kateumlrkeumlndeumlshi ABCD le teuml jeteuml zbeumlrthyer neuml dy trekeumlndeumlsha ∆ ABC dhe ∆ ACD Konstruksioni i ∆ ABC eumlshteuml i mundur po qe se janeuml dheumlneuml tre elemente (brinja keumlndi) Ndeumlrkaq peumlr ∆-shin ACD janeuml teuml nevojshme veteumlm dy elemente meqeuml brinjeumln AC (teuml peumlrbashkeumlt) tashmeuml e dimeuml Peumlr konstruksionin e kateumlrkeumlndeumlshit ABCD eumlshteuml e nevojshme teuml dimeuml 3 + 2 = 5 elemente 16110 MODEL MEumlSIMI Leumlnda Matematikeuml Kl VIII Njeumlsia meumlsimore Elemente teuml gjaseumls (probabilitetit) Mjetet meumlsimore Urna (arkeumlza) monedha zar toptha teuml ngjyrave teuml ndryshme ldquoletra fatirdquo Fjaleumlt kyccedile Eksperimenti ngjarja llojet e ngjarjeve e pamundshme e rasteumlsishme me gjaseuml teuml barabarteuml e mundshme e sigurt Objektivet Neuml fund teuml oreumls seuml meumlsimit nxeumlneumlsi teuml jeteuml i afteuml bull Teuml veccedilojeuml eksperimentin nga ngjarja bull Teuml dallojeuml dhe peumlrkufizojeuml (me fjaleumlt e tij)

- ngjarjen e pamundshme - ngjarjen e rasteumlsishme - ngjarjen me gjaseuml teuml barabarteuml - ngjarjen e mundshme dhe - ngjarjen e sigurt

bull Teuml formulojeuml ngjarje ldquoteuml ndodhurardquo dhe ldquojo teuml ndodhura rdquo me shkalleuml teuml ndryshme gjase

bull Teuml identifikojeuml komponenteumlt peumlrbeumlreumlse teuml gjaseumls rastet e volitshme dhe rastet e mundshme

bull Teuml dallojeuml vareumlsineuml funksionale teuml zhdrejteuml midis gjaseumls dhe gjaseumls seuml kundeumlrt

STRUKTURA E OREumlS E R R

E Diskutim peumlr njohuri paraprake 5primeprimeprimeprime R Meumlsimdheumlnie e ndeumlrsjelleuml 35primeprimeprimeprime R Shqyrtim ldquoProdukti i teuml nxeumlnitrdquo 5primeprimeprimeprime Evokimi Nxeumlneumlsit tashmeuml rikujtojneuml njohuri lidhur me nocionet themelore teuml statistikeumls

- Formuloje mendimin se ccedilfareuml paraqet populacioni - Ccedilfareuml eumlshteuml zgjidhje rasti ose mosteumlr - Formuloje frekuenceumln absolute dhe frekuenceumln relative - Ccedilfareuml paraqet mesatarja aritmetike - Peumlrkufizo (me fjaleumlt tua) nocionet modeuml medianeuml dhe rang


wwwbedri-jakacom

444

Realizimi i kuptimit Elemente teuml probabilitetit I Ngjarja eksperimenti ngjarja e rasteumlsishme bull Ardhmeumlria personale e ccedildo individi eumlshteuml e paparashikueshme peumlr teuml mireuml apo peumlr

teuml keq Shumeuml njereumlz gjateuml jeteumls ldquongacmohenrdquo peumlr teuml marreuml pjeseuml neuml ldquoLojeumlrat e fatitrdquo Keumlshtu teuml zeumlmeuml neuml vigjilje teuml Vitit teuml Ri rastisi qeuml personi FF neuml mesin e 10000 vetave teuml fitojeuml njeuml automobil Rast i rralleuml i paparashikuesheumlm por ndodhi Neuml keumlteuml lojeuml fati eksperimentuan jo meuml pak se 10000 veta

bull Realizimi i njeuml eksperimenti teuml tilleuml quhet ngjarje Ngjarja eumlshteuml kuptim themelor neuml probabilitet e cila nuk peumlrkufizohet tamam sikurse numri bashkeumlsia elementi

bull Shumeuml dukuri dhe procese qeuml ndodhin neuml natyreuml apo neuml shoqeumlri jemi neuml gjendje trsquoi parashikojmeuml apo trsquoi shpjegojmeuml dhe interpretojmeuml mbeumlshtetur neuml shkaqet e (mos)shfaqjes seuml tyre Psh Kur do ndodheuml dhe sa do zgjaseuml zeumlnia e Diellit Neuml cilin vend dhe neuml cilin hark kohor do ndodheuml teuml peumlrhapurit e gripit Neuml cilin vend dhe neuml ccedilfareuml rrethana mund teuml ndodheuml shndeumlrrimi i Protektoratit neuml Shtet Ekzistojneuml edhe shumeuml dukuri dhe shfaqje tjera qeuml i studiojneuml Astronomia Gjeografia Sociologjia

bull Peumlrkundeumlr keumltyre dukurive proceseve ngjarjeve neuml natyreuml dhe shoqeumlri ka edhe teuml tjera peumlr teuml cilat nuk dimeuml a do teuml ndodhin dhe neumlse po kur do ndodhin Teuml tilla janeuml psh shumeuml dukuri qeuml i studion Meteorologjia Akoma sot nuk jemi neuml gjendje teuml dimeuml sakteumlsisht njeuml muaj meuml pareuml ccedilfareuml kohe do jeteuml e mireuml apo e keqe a do jeteuml vit i thateuml apo me shi Ose teuml zeumlmeuml nuk jemi neuml gjendje teuml parashikojmeuml shfaqjen e Teumlrmetit dhe forceumln shkateumlrruese teuml tij shfaqjen e Tsunamit Keumlto beumljneuml pjeseuml neuml grupin e ngjarjeve teuml rasteumlsishme Ngjarje rasti janeuml edhe aksidentet neuml komunikacion Ato mund teuml mos ndodhin por edhe nuk janeuml teuml pamundshme

II Peumlrkufizimi i probabilitetit (p) bull Po teuml marrim njeuml zar (kub neuml faqe teuml teuml cilit janeuml sheumlnuar numrat 1-6) dhe e

rrotullojmeuml mbi tavolineuml Faqja e sipeumlrme e tij do jeteuml njeumlri prej numrave 1-6 Neumlse keumlteuml ldquongjarjerdquo e peumlrseumlrisim shumeuml hereuml shohim qeuml numrat do teuml ndeumlrrohen Psh Po qe se zarin e hedhim 600 hereuml dhe e sheumlnojmeuml sa hereuml eumlshteuml paraqitur teuml zeumlmeuml 5-sa shohim qeuml ai numeumlr eumlshteuml paraqitur afro 100 hereuml Neuml 6000 hedhje do teuml shihej edhe meuml sakteumlsisht qeuml ccedildo numeumlr (1-6) do teuml paraqitej afeumlrsisht 16 e teuml gjitha hedhjeve

bull Le teuml jeteuml n - numri i rasteve teuml mundshme dhe m- numri i rasteve teuml volitshme (teuml cilat lojtari synon trsquoi realizojeuml) ateumlhereuml Gjasa (probabiliteti) e njeuml ngjarjeje quhet hereumlsi midis rasteve teuml volitshme dhe atyre teuml mundshme Tek zari ekzistojneuml gjashteuml raste teuml mundshme pra n = 6 ndeumlrkaq 5-sa e keumlrkuar paraqet

njeuml rast teuml volitsheumlm pra m= 1 Keumlshtu n

mp =

6

1=

bull Kufiri peumlr teuml (mos)ndodhur njeuml ngjarje shtrihet mid is 0 dhe 1 (zeros dhe njeumlshit) Gjasa qeuml njeuml ngjarje teuml mos ndodheuml kurreuml eumlshteuml zero (0) ndeumlrsa gjasa qeuml njeuml ngjarje teuml ndodheuml me siguri (neuml kushte teuml dheumlna) eumlshteuml njeuml (1)

bull Neuml jeteumln e peumlrditshme jemi teuml shoqeumlruar me ngjarje teuml pamundshme teuml rasteumlsishme me gjaseuml teuml barabarteuml (mos)realizimi teuml mundshme dhe teuml sigurt Neumlpeumlrmjet njeuml vetkeumlrkimi zbulo dhe formulo keumlto lloje ngjarjesh ldquoteuml ndodhurardquo dhe ldquo jo teuml ndodhurardquo

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445

III Peumlrkufizimi i ngjarjeve me shkalleuml teuml ndryshme teuml gjaseumls bull Ngjarje teuml pamundshme quhet ngjarja e cila nuk mund teuml realizohet edhe pas

kryerjes (ldquoploteumlsimitrdquo) teuml kompleksit teuml kushteve C (psh Paraqitja e numrit 7 pas hedhjes seuml zarit)

bull Ngjarje e rasteumlsishme quhet ngjarja e cila mund teuml ndodheuml ose jo pasi teuml jeteuml ploteumlsuar kompleksi i kushteve C (psh Pranimi i golit neuml njeuml ndeshje futbollistike brenda 30 sekondave teuml para teuml lojeumls)

bull Ngjarje me gjaseuml teuml barabarteuml quhet ngjarja e cila peumlr teuml (mos)ndodhur ndiqet me shanse teuml barabarta (psh Tek teuml hedhurit e monedheumls teuml paraqiturit e figureumls apo numrit ndiqet me shanse teuml barabarta)

bull Ngjarje e mundshme quhet ngjarja e shanseve teuml meumldha peumlr trsquou realizuar pasi teuml jeteuml ploteumlsuar kompleksi i kushteve C (psh Teuml diplomuarit neuml Fakultetin e Drejteumlsiseuml)

bull Ngjarje e sigurt quhet ccedildo ngjarje A e cila realizohet ccedildo hereuml pasi teuml jeteuml ploteumlsuar kompleksi i kushteve C (psh Teuml priturit e Vitit teuml Ri )

bull Gjasa qeuml njeuml ngjarje teuml ndodheuml eumlshteuml aq meuml e madhe sa meuml i madh teuml jeteuml numri i rasteve teuml volitshme-neuml raport me numrin e teuml gjitha rasteve teuml mundshme

IV Gjasa dhe gjasa e kundeumlrt bull Po qe se me p sheumlnojmeuml gjaseumln me m sheumlnojmeuml numrin e rasteve teuml

volitshme ndeumlrsa me N sheumlnojmeuml numrin e rasteve teuml mundshme ateumlhereuml

gjasa N

mp = =

eeteumlmundshmitharastevnumriiteumlgj

bull Po qe se me q sheumlnojmeuml gjaseumln e ngjarjes seuml kundeumlrt men sheumlnojmeuml numrin e rasteve teuml pavolitshme ndeumlrsa me N sheumlnojmeuml numrin e rasteve teuml mundshme

ateumlhereuml gjasa e kundeumlrt eeteumlmundshmitharastevnumriiteumlgj

itshmeeveteumlpavolnumriirast

N

nq ==

bull Meqeneumlse numri i teuml gjitha rasteve teuml volitshme dhe teuml pavolitshme eumlshteuml baras me numrin e teuml gjitha rasteve teuml mundshme ateumlhereuml Nnm =+ prej nga pason

1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp

bull Shuma e gjaseumls dhe gjaseumls seuml kundeumlrt se do teuml (mos)ndodheuml njeuml ngjarje eumlshteuml baras me 1 Pra 1=+ qp prej nga pason qp minus= 1 dhe pq minus= 1 (0 lt plt 1)

bull Midis gjaseumls dhe gjaseumls seuml kundeumlrt ekziston vareumlsia funksionale e zhdrejteuml Po qe se gjasa zvogeumllohet nga njeuml deri neuml zero ateumlhereuml gjasa e kundeumlrt rritet nga zero neuml njeuml

Reflektimi Neuml fund diskutohet lidhur me keumlto pyetje - Ccedilfareuml quhet ngjarje - Si e veccediloni eksperimentin nga ngjarja - Formuloni seuml paku tri ngjarje rasti - Si llogaritet gjasa e njeuml ngjarjeje - Ccedilfareuml kuptoni me numrin e rasteve teuml volitshme dhe numrin e rasteve teuml mundshme Ccedilfareuml relacioni ndodhet midis tyre

numri i rasteve teuml volitshme

numri i teuml gjitha rasteve teuml mundshme

numri i rasteve teuml pavolitshme



wwwbedri-jakacom

446

- Formuloni seuml paku nga dy ngjarje teuml pamundshme teuml rasteumlsishme me gjaseuml teuml shanseve teuml barabarta teuml mundshme dhe teuml sigurta - Cili eumlshteuml kufiri peumlr teuml (mos)ndodhur njeuml ngjarje - Formulo (me fjaleumlt tua) peseuml lloj ngjarjesh - Shkruaj dhe interpreto gjaseumln dhe gjaseumln e kundeumlrt - Sa eumlshteuml shuma e gjaseumls dhe gjaseumls seuml kundeumlrt - Po qe se gjasa e kundeumlrt rritet nga zero deri neuml njeuml ccedilfareuml ndodheuml me gjaseumln Neuml fund meumlsuesi udheumlzon nxeumlneumlsit peumlr teuml shpaloseuml ndeumlrtimin e njohurive duke mbrojtur me fakte dhe prova deumlshmi dhe arsye neumlpeumlrmjet pyetjeve teuml shkruara neuml tabeleuml -Cila mund teuml jeteuml pyetja thelbore lidhur me temeumln Elemente teuml Gjaseumls -Cila eumlshteuml veumlrejtja e Juaj lidhur me peumlrgjigjen e dheumlneuml -Ccedilfareuml arsyesh ofrohen peumlr ta mbeumlshtetur keumlteuml peumlrgjigje -Cilat prova jepen peumlr teuml mbeumlshtetur keumlteuml arsyetim -Cilat arsye dhe fakte lihen meumlnjaneuml -Cilat fakte do teuml duhej trsquoi pranojmeuml pa diskutim -Ccedilfareuml do teuml duhej teuml dini nga ky leksion

NEuml VEND TEuml PEumlRFUNDIMIT

ldquoShtesardquo peumlrmban 10 modele teuml Meumlsimdheumlnies bashkeumlkohore ku meumlsimi zhvillohet sipas struktureumls ERR dhe kryet e vendit e zeumlneuml Teuml meumlsuarit me objektiva Po keumltu janeuml aplikuar Teknika dhe Strategji bashkeumlkoheumlse neuml angazhim teuml nxeumlneumlsit qeuml ai veteuml teuml ndeumlrtojeuml sistemin e tij teuml nxeumlnies Neumlpeumlrmjet shembujve teuml peumlrzgjedhur u mundova trsquoi prekeuml majat meuml teuml ndritura teuml meumlsimdheumlnies bashkeumlkoheumlse Shembujt ofrojneuml ndihmeseuml teuml njeuml stimuli moral peumlr ta thyer dhe peumlr trsquou shkeumlputur (pjeseumlrisht) nga meumlsimdheumlnia tradicionale


wwwbedri-jakacom

418

seuml pari 4 e pastaj seuml pari 3 e pastaj 6 + 8 = _______ 6 + 9 = _______ 7 + 5 = _______ 7 + 8 = ________ 6 + 7 = _______ 6 + 5 = _______ 7 + 9 = _______ 7 + 6 = ________ Meuml pas vijojmeuml me mbledhjet 9 + 3 8 + 3 8 + 9 3 + 9 9 + 8 4 + 7 3 + 8 7 + 4 Si e zgjidhe Ti Pyetje analizeuml

bull Ploteumlsoje dhe ldquopeumlrkthejerdquo ldquoSeuml pari 2 e pastaj rdquo ldquoSeuml pari 1 e pastajrdquo ldquoSeuml pari 4 e pastaj rdquo ldquoSeuml pari 3 e pastaj rdquo

bull Ccedilfareuml veprove me 2-shin Po me 4-shin me 3-shin bull Si eumlshteuml ldquoshkrireumlrdquo mbledhori i dyteuml bull Cilin operacion aritmetik e peumlrdore tek mbledhori i dyteuml bull Le teuml shkruajmeuml 8 + 7 = _______ - A ka vend ky ldquopeumlrkthimrdquo

Prej 8 deri 10 2 7 minus 2 5 10 edhe 5 15 bull Si po e ldquondeumlrtojmeumlrdquo dhjeteumlshen Kur mund teuml prishet dhjeteumlshja bull Cila nga mbledhjet 9 + 6 dhe 6 + 9 teuml duket ldquomeuml e kollajshmerdquo

Peumlrse Reflektimi Nxeumlneumlsit teuml cileumlt aktualisht japin prova diturie dhe shkathteumlsie marrin ldquorolin e meumlsuesitrdquo duke veumlneuml neuml funksion ccediliftet heterogjene


Leumlnda Matematikeuml Klasa II Njeumlsia meumlsimore Shpalosje e rreshtimeve 6 me 9 dhe 9 me 6 Mjetet meumlsimore Aplikacione me ngjyra libri fletorja fleta A4 markera Fjaleumlt kyccedile Rreshtimi modeli i rreshtimit rreshti shtylla peumlrmasat e rreshtimit ecuria e copeumltimit Objektivat Neuml fund teuml oreumls seuml meumlsimit nxeumlneumlsi teuml jeteuml i afteuml

bull Teuml dallojeuml rreshtin nga shtylla bull Teuml copeumltojeuml peumlrmasat e rreshtimit bull Teuml veccedilojeuml prodhimet e copeumltuara me rreshtime teuml njeumljta bull Teuml vizatojeuml modele teuml rreshtimeve bull Teuml identifikojeuml qeuml numri i rreshtimeve 6 me 9 eumlshteuml i ndrysheumlm nga

numri i rreshtimeve 9 me 6

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

419







wwwbedri-jakacom

420

F M 1

Fig 174

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

421

F M 2






Fig 175


wwwbedri-jakacom

422






SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

423










wwwbedri-jakacom

424



Trekeumlndeumlshi













SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

425

III 2













x + a = b a - x = b x-a =b


wwwbedri-jakacom

426


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

427


63 ndash x = 17 2

x + 13 = 15 3

x ndash 18 = 52 4

41 ndash x = 20 5

x ndash 25 = 35 6

x ndash 14 = 7 7

80 ndash x = 54 8

x +27 = 50 9

x ndash 98 = 22







wwwbedri-jakacom

428


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

429










wwwbedri-jakacom

430





51-15=36 5-1=4 4-fish i 9-teumls

85-58=27 8-5=3 3-fish i 9-teumls


71-17=54 7-1=6 6-fish i 9-teumls

83-38=45 8-3=5 5-fish i 9-teumls



333 M 9



198 M 9

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

431



wwwbedri-jakacom

432







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

433








wwwbedri-jakacom

434


teuml tij Dn = 2










SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

435



a) f = (12)(34)(-48)(0-5) b) g = (13)(-43)(93)(02) c) h = (30)(29)(3-1)(-17)

13-40

248-5

32

1-490

0997

3

2-1

fg h

a) b) c)

-1

Fig 177





wwwbedri-jakacom

436


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

437





wwwbedri-jakacom

438



8=

6

1oreuml


1=

6

108= 18 oreuml


x = 108 48

8=

6

108 = 18 oreuml


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

439







Shigjeta








wwwbedri-jakacom

440







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446




SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

419







wwwbedri-jakacom

420

F M 1

Fig 174

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

421

F M 2






Fig 175


wwwbedri-jakacom

422






SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

423










wwwbedri-jakacom

424



Trekeumlndeumlshi













SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

425

III 2













x + a = b a - x = b x-a =b


wwwbedri-jakacom

426


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

427


63 ndash x = 17 2

x + 13 = 15 3

x ndash 18 = 52 4

41 ndash x = 20 5

x ndash 25 = 35 6

x ndash 14 = 7 7

80 ndash x = 54 8

x +27 = 50 9

x ndash 98 = 22







wwwbedri-jakacom

428


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

429










wwwbedri-jakacom

430





51-15=36 5-1=4 4-fish i 9-teumls

85-58=27 8-5=3 3-fish i 9-teumls


71-17=54 7-1=6 6-fish i 9-teumls

83-38=45 8-3=5 5-fish i 9-teumls



333 M 9



198 M 9

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

431



wwwbedri-jakacom

432







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

433








wwwbedri-jakacom

434


teuml tij Dn = 2










SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

435



a) f = (12)(34)(-48)(0-5) b) g = (13)(-43)(93)(02) c) h = (30)(29)(3-1)(-17)

13-40

248-5

32

1-490

0997

3

2-1

fg h

a) b) c)

-1

Fig 177





wwwbedri-jakacom

436


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

437





wwwbedri-jakacom

438



8=

6

1oreuml


1=

6

108= 18 oreuml


x = 108 48

8=

6

108 = 18 oreuml


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

439







Shigjeta








wwwbedri-jakacom

440







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446





wwwbedri-jakacom

420

F M 1

Fig 174

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

421

F M 2






Fig 175


wwwbedri-jakacom

422






SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

423










wwwbedri-jakacom

424



Trekeumlndeumlshi













SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

425

III 2













x + a = b a - x = b x-a =b


wwwbedri-jakacom

426


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

427


63 ndash x = 17 2

x + 13 = 15 3

x ndash 18 = 52 4

41 ndash x = 20 5

x ndash 25 = 35 6

x ndash 14 = 7 7

80 ndash x = 54 8

x +27 = 50 9

x ndash 98 = 22







wwwbedri-jakacom

428


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

429










wwwbedri-jakacom

430





51-15=36 5-1=4 4-fish i 9-teumls

85-58=27 8-5=3 3-fish i 9-teumls


71-17=54 7-1=6 6-fish i 9-teumls

83-38=45 8-3=5 5-fish i 9-teumls



333 M 9



198 M 9

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

431



wwwbedri-jakacom

432







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

433








wwwbedri-jakacom

434


teuml tij Dn = 2










SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

435



a) f = (12)(34)(-48)(0-5) b) g = (13)(-43)(93)(02) c) h = (30)(29)(3-1)(-17)

13-40

248-5

32

1-490

0997

3

2-1

fg h

a) b) c)

-1

Fig 177





wwwbedri-jakacom

436


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

437





wwwbedri-jakacom

438



8=

6

1oreuml


1=

6

108= 18 oreuml


x = 108 48

8=

6

108 = 18 oreuml


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

439







Shigjeta








wwwbedri-jakacom

440







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446




SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

421

F M 2






Fig 175


wwwbedri-jakacom

422






SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

423










wwwbedri-jakacom

424



Trekeumlndeumlshi













SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

425

III 2













x + a = b a - x = b x-a =b


wwwbedri-jakacom

426


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

427


63 ndash x = 17 2

x + 13 = 15 3

x ndash 18 = 52 4

41 ndash x = 20 5

x ndash 25 = 35 6

x ndash 14 = 7 7

80 ndash x = 54 8

x +27 = 50 9

x ndash 98 = 22







wwwbedri-jakacom

428


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

429










wwwbedri-jakacom

430





51-15=36 5-1=4 4-fish i 9-teumls

85-58=27 8-5=3 3-fish i 9-teumls


71-17=54 7-1=6 6-fish i 9-teumls

83-38=45 8-3=5 5-fish i 9-teumls



333 M 9



198 M 9

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

431



wwwbedri-jakacom

432







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

433








wwwbedri-jakacom

434


teuml tij Dn = 2










SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

435



a) f = (12)(34)(-48)(0-5) b) g = (13)(-43)(93)(02) c) h = (30)(29)(3-1)(-17)

13-40

248-5

32

1-490

0997

3

2-1

fg h

a) b) c)

-1

Fig 177





wwwbedri-jakacom

436


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

437





wwwbedri-jakacom

438



8=

6

1oreuml


1=

6

108= 18 oreuml


x = 108 48

8=

6

108 = 18 oreuml


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

439







Shigjeta








wwwbedri-jakacom

440







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446





wwwbedri-jakacom

422






SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

423










wwwbedri-jakacom

424



Trekeumlndeumlshi













SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

425

III 2













x + a = b a - x = b x-a =b


wwwbedri-jakacom

426


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

427


63 ndash x = 17 2

x + 13 = 15 3

x ndash 18 = 52 4

41 ndash x = 20 5

x ndash 25 = 35 6

x ndash 14 = 7 7

80 ndash x = 54 8

x +27 = 50 9

x ndash 98 = 22







wwwbedri-jakacom

428


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

429










wwwbedri-jakacom

430





51-15=36 5-1=4 4-fish i 9-teumls

85-58=27 8-5=3 3-fish i 9-teumls


71-17=54 7-1=6 6-fish i 9-teumls

83-38=45 8-3=5 5-fish i 9-teumls



333 M 9



198 M 9

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

431



wwwbedri-jakacom

432







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

433








wwwbedri-jakacom

434


teuml tij Dn = 2










SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

435



a) f = (12)(34)(-48)(0-5) b) g = (13)(-43)(93)(02) c) h = (30)(29)(3-1)(-17)

13-40

248-5

32

1-490

0997

3

2-1

fg h

a) b) c)

-1

Fig 177





wwwbedri-jakacom

436


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

437





wwwbedri-jakacom

438



8=

6

1oreuml


1=

6

108= 18 oreuml


x = 108 48

8=

6

108 = 18 oreuml


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

439







Shigjeta








wwwbedri-jakacom

440







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446




SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

423










wwwbedri-jakacom

424



Trekeumlndeumlshi













SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

425

III 2













x + a = b a - x = b x-a =b


wwwbedri-jakacom

426


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

427


63 ndash x = 17 2

x + 13 = 15 3

x ndash 18 = 52 4

41 ndash x = 20 5

x ndash 25 = 35 6

x ndash 14 = 7 7

80 ndash x = 54 8

x +27 = 50 9

x ndash 98 = 22







wwwbedri-jakacom

428


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

429










wwwbedri-jakacom

430





51-15=36 5-1=4 4-fish i 9-teumls

85-58=27 8-5=3 3-fish i 9-teumls


71-17=54 7-1=6 6-fish i 9-teumls

83-38=45 8-3=5 5-fish i 9-teumls



333 M 9



198 M 9

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

431



wwwbedri-jakacom

432







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

433








wwwbedri-jakacom

434


teuml tij Dn = 2










SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

435



a) f = (12)(34)(-48)(0-5) b) g = (13)(-43)(93)(02) c) h = (30)(29)(3-1)(-17)

13-40

248-5

32

1-490

0997

3

2-1

fg h

a) b) c)

-1

Fig 177





wwwbedri-jakacom

436


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

437





wwwbedri-jakacom

438



8=

6

1oreuml


1=

6

108= 18 oreuml


x = 108 48

8=

6

108 = 18 oreuml


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

439







Shigjeta








wwwbedri-jakacom

440







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446





wwwbedri-jakacom

424



Trekeumlndeumlshi













SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

425

III 2













x + a = b a - x = b x-a =b


wwwbedri-jakacom

426


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

427


63 ndash x = 17 2

x + 13 = 15 3

x ndash 18 = 52 4

41 ndash x = 20 5

x ndash 25 = 35 6

x ndash 14 = 7 7

80 ndash x = 54 8

x +27 = 50 9

x ndash 98 = 22







wwwbedri-jakacom

428


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

429










wwwbedri-jakacom

430





51-15=36 5-1=4 4-fish i 9-teumls

85-58=27 8-5=3 3-fish i 9-teumls


71-17=54 7-1=6 6-fish i 9-teumls

83-38=45 8-3=5 5-fish i 9-teumls



333 M 9



198 M 9

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

431



wwwbedri-jakacom

432







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

433








wwwbedri-jakacom

434


teuml tij Dn = 2










SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

435



a) f = (12)(34)(-48)(0-5) b) g = (13)(-43)(93)(02) c) h = (30)(29)(3-1)(-17)

13-40

248-5

32

1-490

0997

3

2-1

fg h

a) b) c)

-1

Fig 177





wwwbedri-jakacom

436


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

437





wwwbedri-jakacom

438



8=

6

1oreuml


1=

6

108= 18 oreuml


x = 108 48

8=

6

108 = 18 oreuml


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

439







Shigjeta








wwwbedri-jakacom

440







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446




SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

425

III 2













x + a = b a - x = b x-a =b


wwwbedri-jakacom

426


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

427


63 ndash x = 17 2

x + 13 = 15 3

x ndash 18 = 52 4

41 ndash x = 20 5

x ndash 25 = 35 6

x ndash 14 = 7 7

80 ndash x = 54 8

x +27 = 50 9

x ndash 98 = 22







wwwbedri-jakacom

428


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

429










wwwbedri-jakacom

430





51-15=36 5-1=4 4-fish i 9-teumls

85-58=27 8-5=3 3-fish i 9-teumls


71-17=54 7-1=6 6-fish i 9-teumls

83-38=45 8-3=5 5-fish i 9-teumls



333 M 9



198 M 9

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

431



wwwbedri-jakacom

432







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

433








wwwbedri-jakacom

434


teuml tij Dn = 2










SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

435



a) f = (12)(34)(-48)(0-5) b) g = (13)(-43)(93)(02) c) h = (30)(29)(3-1)(-17)

13-40

248-5

32

1-490

0997

3

2-1

fg h

a) b) c)

-1

Fig 177





wwwbedri-jakacom

436


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

437





wwwbedri-jakacom

438



8=

6

1oreuml


1=

6

108= 18 oreuml


x = 108 48

8=

6

108 = 18 oreuml


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

439







Shigjeta








wwwbedri-jakacom

440







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446





wwwbedri-jakacom

426


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

427


63 ndash x = 17 2

x + 13 = 15 3

x ndash 18 = 52 4

41 ndash x = 20 5

x ndash 25 = 35 6

x ndash 14 = 7 7

80 ndash x = 54 8

x +27 = 50 9

x ndash 98 = 22







wwwbedri-jakacom

428


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

429










wwwbedri-jakacom

430





51-15=36 5-1=4 4-fish i 9-teumls

85-58=27 8-5=3 3-fish i 9-teumls


71-17=54 7-1=6 6-fish i 9-teumls

83-38=45 8-3=5 5-fish i 9-teumls



333 M 9



198 M 9

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

431



wwwbedri-jakacom

432







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

433








wwwbedri-jakacom

434


teuml tij Dn = 2










SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

435



a) f = (12)(34)(-48)(0-5) b) g = (13)(-43)(93)(02) c) h = (30)(29)(3-1)(-17)

13-40

248-5

32

1-490

0997

3

2-1

fg h

a) b) c)

-1

Fig 177





wwwbedri-jakacom

436


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

437





wwwbedri-jakacom

438



8=

6

1oreuml


1=

6

108= 18 oreuml


x = 108 48

8=

6

108 = 18 oreuml


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

439







Shigjeta








wwwbedri-jakacom

440







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446




SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

427


63 ndash x = 17 2

x + 13 = 15 3

x ndash 18 = 52 4

41 ndash x = 20 5

x ndash 25 = 35 6

x ndash 14 = 7 7

80 ndash x = 54 8

x +27 = 50 9

x ndash 98 = 22







wwwbedri-jakacom

428


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

429










wwwbedri-jakacom

430





51-15=36 5-1=4 4-fish i 9-teumls

85-58=27 8-5=3 3-fish i 9-teumls


71-17=54 7-1=6 6-fish i 9-teumls

83-38=45 8-3=5 5-fish i 9-teumls



333 M 9



198 M 9

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

431



wwwbedri-jakacom

432







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

433








wwwbedri-jakacom

434


teuml tij Dn = 2










SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

435



a) f = (12)(34)(-48)(0-5) b) g = (13)(-43)(93)(02) c) h = (30)(29)(3-1)(-17)

13-40

248-5

32

1-490

0997

3

2-1

fg h

a) b) c)

-1

Fig 177





wwwbedri-jakacom

436


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

437





wwwbedri-jakacom

438



8=

6

1oreuml


1=

6

108= 18 oreuml


x = 108 48

8=

6

108 = 18 oreuml


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

439







Shigjeta








wwwbedri-jakacom

440







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446





wwwbedri-jakacom

428


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

429










wwwbedri-jakacom

430





51-15=36 5-1=4 4-fish i 9-teumls

85-58=27 8-5=3 3-fish i 9-teumls


71-17=54 7-1=6 6-fish i 9-teumls

83-38=45 8-3=5 5-fish i 9-teumls



333 M 9



198 M 9

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

431



wwwbedri-jakacom

432







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

433








wwwbedri-jakacom

434


teuml tij Dn = 2










SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

435



a) f = (12)(34)(-48)(0-5) b) g = (13)(-43)(93)(02) c) h = (30)(29)(3-1)(-17)

13-40

248-5

32

1-490

0997

3

2-1

fg h

a) b) c)

-1

Fig 177





wwwbedri-jakacom

436


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

437





wwwbedri-jakacom

438



8=

6

1oreuml


1=

6

108= 18 oreuml


x = 108 48

8=

6

108 = 18 oreuml


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

439







Shigjeta








wwwbedri-jakacom

440







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446




SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

429










wwwbedri-jakacom

430





51-15=36 5-1=4 4-fish i 9-teumls

85-58=27 8-5=3 3-fish i 9-teumls


71-17=54 7-1=6 6-fish i 9-teumls

83-38=45 8-3=5 5-fish i 9-teumls



333 M 9



198 M 9

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

431



wwwbedri-jakacom

432







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

433








wwwbedri-jakacom

434


teuml tij Dn = 2










SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

435



a) f = (12)(34)(-48)(0-5) b) g = (13)(-43)(93)(02) c) h = (30)(29)(3-1)(-17)

13-40

248-5

32

1-490

0997

3

2-1

fg h

a) b) c)

-1

Fig 177





wwwbedri-jakacom

436


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

437





wwwbedri-jakacom

438



8=

6

1oreuml


1=

6

108= 18 oreuml


x = 108 48

8=

6

108 = 18 oreuml


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

439







Shigjeta








wwwbedri-jakacom

440







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446





wwwbedri-jakacom

430





51-15=36 5-1=4 4-fish i 9-teumls

85-58=27 8-5=3 3-fish i 9-teumls


71-17=54 7-1=6 6-fish i 9-teumls

83-38=45 8-3=5 5-fish i 9-teumls



333 M 9



198 M 9

SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

431



wwwbedri-jakacom

432







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

433








wwwbedri-jakacom

434


teuml tij Dn = 2










SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

435



a) f = (12)(34)(-48)(0-5) b) g = (13)(-43)(93)(02) c) h = (30)(29)(3-1)(-17)

13-40

248-5

32

1-490

0997

3

2-1

fg h

a) b) c)

-1

Fig 177





wwwbedri-jakacom

436


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

437





wwwbedri-jakacom

438



8=

6

1oreuml


1=

6

108= 18 oreuml


x = 108 48

8=

6

108 = 18 oreuml


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

439







Shigjeta








wwwbedri-jakacom

440







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446




SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

431



wwwbedri-jakacom

432







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

433








wwwbedri-jakacom

434


teuml tij Dn = 2










SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

435



a) f = (12)(34)(-48)(0-5) b) g = (13)(-43)(93)(02) c) h = (30)(29)(3-1)(-17)

13-40

248-5

32

1-490

0997

3

2-1

fg h

a) b) c)

-1

Fig 177





wwwbedri-jakacom

436


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

437





wwwbedri-jakacom

438



8=

6

1oreuml


1=

6

108= 18 oreuml


x = 108 48

8=

6

108 = 18 oreuml


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

439







Shigjeta








wwwbedri-jakacom

440







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446





wwwbedri-jakacom

432







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

433








wwwbedri-jakacom

434


teuml tij Dn = 2










SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

435



a) f = (12)(34)(-48)(0-5) b) g = (13)(-43)(93)(02) c) h = (30)(29)(3-1)(-17)

13-40

248-5

32

1-490

0997

3

2-1

fg h

a) b) c)

-1

Fig 177





wwwbedri-jakacom

436


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

437





wwwbedri-jakacom

438



8=

6

1oreuml


1=

6

108= 18 oreuml


x = 108 48

8=

6

108 = 18 oreuml


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

439







Shigjeta








wwwbedri-jakacom

440







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446




SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

433








wwwbedri-jakacom

434


teuml tij Dn = 2










SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

435



a) f = (12)(34)(-48)(0-5) b) g = (13)(-43)(93)(02) c) h = (30)(29)(3-1)(-17)

13-40

248-5

32

1-490

0997

3

2-1

fg h

a) b) c)

-1

Fig 177





wwwbedri-jakacom

436


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

437





wwwbedri-jakacom

438



8=

6

1oreuml


1=

6

108= 18 oreuml


x = 108 48

8=

6

108 = 18 oreuml


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

439







Shigjeta








wwwbedri-jakacom

440







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446





wwwbedri-jakacom

434


teuml tij Dn = 2










SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

435



a) f = (12)(34)(-48)(0-5) b) g = (13)(-43)(93)(02) c) h = (30)(29)(3-1)(-17)

13-40

248-5

32

1-490

0997

3

2-1

fg h

a) b) c)

-1

Fig 177





wwwbedri-jakacom

436


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

437





wwwbedri-jakacom

438



8=

6

1oreuml


1=

6

108= 18 oreuml


x = 108 48

8=

6

108 = 18 oreuml


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

439







Shigjeta








wwwbedri-jakacom

440







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446




SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

435



a) f = (12)(34)(-48)(0-5) b) g = (13)(-43)(93)(02) c) h = (30)(29)(3-1)(-17)

13-40

248-5

32

1-490

0997

3

2-1

fg h

a) b) c)

-1

Fig 177





wwwbedri-jakacom

436


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

437





wwwbedri-jakacom

438



8=

6

1oreuml


1=

6

108= 18 oreuml


x = 108 48

8=

6

108 = 18 oreuml


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

439







Shigjeta








wwwbedri-jakacom

440







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446





wwwbedri-jakacom

436


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

437





wwwbedri-jakacom

438



8=

6

1oreuml


1=

6

108= 18 oreuml


x = 108 48

8=

6

108 = 18 oreuml


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

439







Shigjeta








wwwbedri-jakacom

440







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446




SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

437





wwwbedri-jakacom

438



8=

6

1oreuml


1=

6

108= 18 oreuml


x = 108 48

8=

6

108 = 18 oreuml


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

439







Shigjeta








wwwbedri-jakacom

440







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446





wwwbedri-jakacom

438



8=

6

1oreuml


1=

6

108= 18 oreuml


x = 108 48

8=

6

108 = 18 oreuml


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

439







Shigjeta








wwwbedri-jakacom

440







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446




SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

439







Shigjeta








wwwbedri-jakacom

440







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446





wwwbedri-jakacom

440







SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446




SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

441






kulmi

romboidi

rombi



drejtkeumlndeumlshi




keumlndi

diagonalja

trapeze deltoidi

brinja

KONSTRUKSIONI

GJEOMETRI

Fig 179





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446





wwwbedri-jakacom

442


SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446




SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

443










wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446





wwwbedri-jakacom

444










mp =

6

1=



SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446




SHTOJCA

wwwbedri-jakacom

445










gjasa N

mp = =





N

nq ==


1==+=+=+N

N

N

nm

N

n

N

mqp









wwwbedri-jakacom

446





wwwbedri-jakacom

446




Documents

16.1 MODELET E PLANEVE DITORE 16. 1. 1. MODEL MËSIMIbedri-jaka.com/download/KAPITULLI_16.pdf · • Cila nga mbledhjet 9 + 6 dhe 6 + 9 të duket “më e kollajshme”? Përse? Reflektimi: