Upload
ahmadi
View
6
Download
0
Embed Size (px)
Citation preview
J. Sains MIPA, Desember 2007, Vol. 13, No. 3, Hal.: 197 - 200 ISSN 1978-1873
2007 FMIPA Universitas Lampung 197
HUBUNGAN PELABELAN GRACEFUL PADA
DIGRAF BIDIRECTIONAL G DAN GRAF UNDERLYING DARI G
Kristiana Wijaya
Jurusan Matematika FMIPA Universitas Jember E-mail: [email protected]
Diterima 12 Juni 2007, perbaikan 25 Januari 2008, disetujui untuk diterbitkan 28 Januari 2008
ABSTRACT
A graceful labelling of digraph D with n vertices and e arcs is a one to one function { }eDV ,,1,0)(: L→λ such
that each arc xya = in D is labelled with )()()()( xyxya λλλλ −== mod )1( +e , the resulting arc labels
are distinct. A digraph D is called graceful if it admits any graceful labeling. In this paper we give the relation between a
graceful labeling on bidirectional digraph G and underlying graph of G , i.e GG = . Keywords: graceful labeling, bidirectional digraph and underlying graph
1. PENDAHULUAN Pelabelan graf merupakan pemberian nilai (biasanya bilangan bulat tak negatif) pada himpunan titik atau sisi graf yang memenuhi aturan tertentu. Pelabelan graf sudah dikenal sejak tahun 60-an. Sejak itu sudah lebih dari 300 tulisan yang dihasilkan mengenai pelabelan graf. Pelabelan graf menjadi topik yang banyak mendapat perhatian, karena model-model yang ada pada pelabelan graf mempunyai aplikasi yang luas, seperti dalam masalah teori koding, kristalografi sinar-X, radar, sistem alamat jaringan komunikasi dan desain sirkuit 1). Salah satu jenis pelabelan graf yang telah dikenal adalah pelabelan graceful. Pelabelan graceful diperkenalkan oleh Rosa2) pada tahun 1967 dengan
nama valuasi-β, yang didefinisikan sebagai fungsi λ yang merupakan fungsi satu-satu dari himpunan titik graf G ke himpunan bilangan bulat {0, 1, 2,…,
)(GE }, sehingga setiap sisi (x, y) di G mendapat
label |λ(x) − λ(y)| yang berbeda semua. Kemudian pada tahun 1972, Golomb menamakan pelabelan ini sebagai pelabelan graceful. Pelabelan graceful pada graf telah banyak dikaji, diantaranya adalah sebagai berikut: 1. Rosa2) membuktikan bahwa graf sikel Cn graceful
jika dan hanya jika n ≡ 0 atau 3 (mod 4), 2. Hoede dan Kuiper3) membuktikan bahwa graf roda
Wn graceful untuk setiap 3≥n , 3. Golomb4) membuktikan bahwa graf lengkap Kn
graceful jika dan hanya jika 4≤n ; dan graf bipartit lengkap Km,n adalah graceful untuk setiap m dan n.
Hasil tentang graceful pada graf, selengkapnya dapat dilihat di Galian5).
Sejalan dengan ide pelabelan graceful pada graf, Bloom dan Hsu6) memperkenalkan pelabelan graceful pada
digraf (graf berarah). Misalkan ),( enD digraf dengan
n titik dan e arc. Pelabelan graceful pada digraf D adalah fungsi satu-satu:
{ }eZDV e , 2, 1, 0,)(: 1 L=→ +λ , dengan
setiap arc ),( yx di D mendapat label
( ))1(mod)()(),( +−= exyyx λλλ
yang berbeda semua. Sebuah digraf D disebut digraf graceful jika setiap titik dan arc pada digraf D dapat diberi labell menurut aturan pelabelan graceful. Graf (tak berarah) G = |D| merupakan graf underlying
dari digraf D, jika )()( DVGV = dan sisi ),( yx
adalah sisi di G jika arc ),( yx atau arc ),( xy
adalah arc di D. Karena setiap sisi di |D| merupakan salah satu arah atau dua arah yang ada di D, maka ada 3e digraf D yang berasosiasi dengan graf underlying |D|. Jadi setiap digraf merupakan orientasi dari |D|.
Sedangkan digraf bidirectional G dari graf G adalah
graf dengan himpunan titik )()( GVGV = dan arc
simetri ),( yx dan ),( xy adalah arc di G jika sisi
),( yx adalah sisi di G. Dengan demikian jika G
adalah graf dengan n titk dan e sisi, maka digraf
bidirectional G adalah graf dengan n titik dan 2e arc.
Untuk selanjutnya, digraf bidirectional G akan disebut
digraf G saja. Selebihnya mengenai konsep graf dan digraf dapat dibaca pada buku Graphs and Digraphs7) dan Graph Theory8).
Kristiana Wijaya... Hubungan Pelabelan Graceful pada Digraf Bidirectional
2007 FMIPA Universitas Lampung 198
Pada paper ini dibahas mengenai hubungan pelabelan graceful pada digraf bidirectional dan graf underlying-
nya, yaitu apakah pelabelan graceful pada digraf G dapat diperoleh dari pelabelan graceful pada graf
underlying dari G (yaitu || GG = ). Hubungan ini
akan diterapkan pada beberapa kelas graf, khususnya kelas graf yang telah dikaji kegracefulannya, yaitu graf sikel, graf roda, graf lengkap dan graf bipartit lengkap.
2. METODE PENELITIAN
Penulisan paper ini dilakukan dengan metode teoritis, yaitu dengan cara mempelajari dan mengkaji karya-karya ilmiah yang telah ada mengenai pelabelan graceful, baik pelabelan graceful pada graf maupun pelabelan graceful pada digraf. Langkah selanjutnya adalah menyelidiki hubungan antara pelabelan graceful pada graf dan digraf, khususnya pelabelan graceful
pada digraf bidirectional G dan graf underlying
|| GG = , yaitu apakah untuk mendapatkan pelabelan
graceful pada digraf bidirectional dapat diperoleh dari pelabelan graceful pada graf underlying-nya. Langkah terakhir, diselidiki perumusan pelabelan graceful pada kelas digraf bidirectional, yaitu digraf sikel dan digraf lengkap guna melihat hubungannya dengan pelabelan graceful pada graf sikel dan graf lengkap.
3. PEMBAHASAN
Pada bagian ini dibahas hubungan pelabelan graceful
pada digraf G dengan pelabelan graceful pada graf
|| GG = , yaitu bahwa pelabelan graceful pada digraf
G bisa didapatkan dari pelabelan graceful pada graf G. Selanjutnya akan dibahas pelabelan graceful pada beberapa kelas digraf bidirectional, yaitu kelas digraf
G dengan graf || GG = yang telah diketahui
graceful atau tidak. Kelas digraf yang dimaksud adalah
digraf sikel nC , digraf roda nW , digraf lengkap nK
dan digraf bipartit lengkap nmK , .
Teorema 1. Jika graf G graceful, maka digraf G juga graceful dengan label titik yang sama dengan graf G 6).
Bukti: Jika G adalah graf dengan n titik dan e sisi, maka
G adalah graf dengan n titik dan 2e arc. Dengan
demikian pelabelan graceful pada digraf G
menggunakan modulo )12( +e . Misalkan G graceful
dengan label titik λ(x) untuk setiap )(GVx ∈ , maka
λ(x) juga menjadi label titik di G untuk setiap
)(GVx ∈ . Dan untuk setiap sisi ),( yx di G
mendapat label λ(x, y) = |λ(y) - λ(x)|. Karena label titik
pada digraf G sama dengan label titik pada graf G,
maka kita tinggal menunjukkan bahwa label arc di G
semuanya berbeda. Berdasarkan definisi G , jika (x, y)
di E(G) maka arc ),( yx dan ),( xy di A( G ). Tanpa
mengurangi keumuman bukti, kita misalkan λ(y) > λ(x),
sehingga setiap arc di G mendapat label
( )),(
)12(mod)()(),(
yx
exyyx
λλλλ
=+−=
dan
( )( )),(12
)12(mod),(
)12(mod)()(),(
yxe
eyx
eyxxy
λλ
λλλ
−+=+−=+−=
.
Karena G graceful maka label sisi di G adalah
e,,2,1 L . Dengan demikian sebanyak e arc di G
yaitu arc ),( yx mempunyai label yang sama dengan e
sisi di G, yaitu e,,2,1 L . Sedangkan e arc selebihnya
di G yaitu arc ),( xy mempunyai label
))12((mod,,2,1 +−−− eeL yang tidak lain
adalah 1,,12,2 +− eee L secara berturut-turut.
Dengan demikian sebanyak 2e arc di G mempunyai label yang semuanya berbeda. Jadi jika setiap titik di
G diberi label sama dengan label titik di G, maka 2e
arc di G mendapat label e2,,3,2,1 L . Jadi
pelabelan pada digraf G memenuhi sifat pelabelan graceful. ■ Sebagai contoh, pada Gambar 1 diperlihatkan pelabelan graceful pada bidirectional digraf yang dihasilkan dari pelabelan graceful graf underlying-nya. Akibat 1 Berdasarkan Teorema 1 dan hasil dari garceful pada kelas graf, kita dapatkan:
1. Digraf sikel nC graceful untuk n ≡ 0 atau 3 (mod
4),
2. Digraf roda nW graceful untuk setiap n ≥ 3,
3. Digraf lengkap nK graceful untuk 4≤n ; dan
digraf bipartit lengkap nmK , graceful untuk
setiap m dan n. ■ Sebagai contoh, Gambar 2 merupakan pelabelan
graceful pada digraf lengkap 4K yang dihasilkan dari
pelabelan graceful pada graf lengkap 4K .
Kebalikan dari Teorema 1, bahwa jika digraf G graceful maka graf G graceful, belum tentu benar. Hal
J. Sains MIPA, Desember 2007, Vol. 13, No. 3
2007 FMIPA Universitas Lampung 199
Gambar 1. Pelabelan Bidirectional Digraf Graceful Yang Dihasilkan Dari Pelabelan Graf Graceful
Gambar 2. Pelabelan Graceful Pada Graf K4 dan Digraf 4K
ini akan dibahas pada digraf sikel nC dan digraf
lengkap nK . Walaupun graf sikel Cn graceful 2) jika
dan hanya jika n ≡ 0 atau 3 (mod 4), tetapi digraf sikel
nC graceful untuk setiap n. Hal ini dibahas pada
teorema berikut.
Teorema 2 Digraf sikel nC graceful untuk setiap n 6).
Bukti: Misalkan himpunan titik dari digraf sikel nC
adalah ( ) { }nn xxxCV ,,, 21 L= dan himpunan
arcnya adalah
( ) { }nnn aaaeeeCA LL ,,,,,, 2121= dengan
1+= iii xxe , iii xxa 1+= untuk
1,,2,1 −= ni L dan 1xxe nn = , nn xxa 1= .
Berdasarkan Akibat 1 diketahui bahwa digraf sikel nC
graceful untuk 0≡n atau 3 (mod 4). Dengan demikian kita tinggal menunjukkan bahwa digraf sikel
nC graceful untuk 1≡n atau 2 )4(mod .
Definisikan pelabelan titik pada digraf nC dengan
)4(modrn ≡ untuk 1=r atau 2=r sebagai
berikut :
=+
−−+−==−−
−−==−
+−=+=
=
.untuk ,1
,2
,,4
4,
4,2untuk ,1
,4
4,,2,1,2untuk ,
,2
4,,1,0,12untuk ,
)(
nin
rnrnrnjjijn
rnjjijn
rnjjij
xi
L
L
L
λ
Dengan demikian arc di nC mendapatkan label:
( )
( )
=
−=++
−−+−=++−
−−+−−=−−
−−=+−
−−=−
=
,untuk
,1untuk 2
2
,2,,2
4,
2untuk ,)12(mod1
,1,,2
2,
2
2untuk ,1
,2
4,,4,2untuk ,)12(mod
,2
6,,3,1untuk ,
)(
nin
nirn
nrnrn
inin
nrnrn
iin
rninni
rniin
ei
L
L
L
L
λ
dan ( ))12mod()()( +−= nea ii λλ untuk setiap .,,2,1 ni L=
Kristiana Wijaya... Hubungan Pelabelan Graceful pada Digraf Bidirectional
2007 FMIPA Universitas Lampung 200
Dapat dibuktikan dengan mudah bahwa pelabelan titik di atas memenuhi fungsi satu-satu dan setiap arc di
nC untuk 1≡n atau 2 (mod 4) mendapat label yang
berbeda semua. Dengan demikian pelabelan di atas
adalah pelabelan graceful. Jadi digraf sikel nC
graceful untuk setiap n. ■
Contoh pelabelan graceful pada digraf 5C diberikan
pada Gambar 3.
Gambar 3. Pelabelan Graceful Pada Digraf Sikel 5C
Selanjutnya dibahas pelabelan graceful pada digraf
lengkap nK . Telah diketahui bahwa graf lengkap nK
graceful 4) jika dan hanya jika 4≤n . Sehingga graf
lengkap nK tidak graceful untuk 5≥n . Menurut
Akibat 1, digraf lengkap nK graceful untuk 4≤n .
Bagaimana dengan digraf lengkap nK untuk 5≥n ?
Dalam paper ini penulis mendapatkan bahwa digraf
lengkap nK untuk 5=n dan 6=n adalah digraf
graceful. Sedangkan untuk 7≥n masih menjadi open
problem. Pelabelan graceful digraf lengkap nK untuk
5=n dan 6=n disajikan dalam bentuk matriks
( ) [ ]ijn aK =λ dengan entri ija menyatakan label
arc jivv sebagai berikut.
( )
=
027811
190569
1416014
13152003
101217180
11
9
4
3
0
11 9 4 3 0 titik label
5Kλ
( )
=
0411131419
270791015
20240238
182229016
1721283005
12162325260
19
15
8
6
5
0
19 15 8 6 5 0 titik label
6Kλ
4. KESIMPULAN DAN SARAN Dengan label titik yang sama, jika graf G graceful maka
digraf G juga graceful. Sedangkan jika digraf G graceful maka graf G belum tentu graceful. Sebagai
contoh, digraf sikel nC dengan 1≡n atau 2 (mod 4)
graceful, tetapi graf sikel Cn dengan 1≡n atau 2 (mod
4) tidak graceful. Demikian juga digraf lengkap 5K
dan 6K graceful, tetapi graf lengkap 5K dan 6K
tidak graceful. Pada paper ini masih belum ditemukan apakah ada
digraf G yang tidak graceful. Hal ini dapat diselidiki
pada digraf lengkap nK untuk 7≥n .
DAFTAR PUSTAKA 1. Bloom, G. S. and Golomb, S. W. 1977.
Applications of numbered undirected graphs. Proc. of the IEEE, 65: 562-570.
2. Rosa, A. 1967. On certain valuations of the
vertices of a graph, in Theory of Graphs (Internat. Symposium Rome, July 1966). Gordon and Breach, N. Y. and Dunod Paris, 349-355.
3. Hoede, C. and Kuiper, H. 1978. All wheels are
graceful. Utilitas Mathematica 14: 311. 4. Golomb, S. W. 1972. How to number a graph, in
Graph Theory and Computing. New York, Academic Press, 23-37.
5. Gallian, J. A. 2007. A dynamic survey of graph
labelings. Electronic J. Combinatorics 4. 6. Bloom, G. S. and Hsu, D. F. 1985. Graceful
directed graphs. SIAM Journal on Matrix Analysis and Applications, 519-536.
7. Chartrand, G. and Lesniak, L. 1996. Graphs and Digraphs. Chapman & Hall, New York.
8. Harary, F. 1994. Graph Theory. Third Edition. Addison-Wesley Publishing Company, Inc. Philippine
J. Sains MIPA, Desember 2007, Vol. 13, No. 3
2007 FMIPA Universitas Lampung 1